指数函数比较大小与单调性

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利用指幂对函数单调性比较大小解答题

1.已知幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝的图象关于y 轴对称，且在区间()0+∞，上是减函数， (1)求函数()f x 的解析式；(2)若>a k ，比较()0.7lna 与()0.6lna 的大小．【解答】解(1)幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝的图象关于y 轴对称，2*23013,12k k k k N k ∴--<∴-<<∈∴=，，,；且幂函数()()223*kk f x x k N --∈＝在区间()0+∞，为减函数， ()41k f x x -∴=∴=, ；(2)由(1)知，1a >．①当1a e <<时，()()0.70.601lna lna lna <<∴<,；②当a e =时，()()0.70.61,lna lna lna =∴=； ③当a e >时，()()0.70.61,lna lna lna >∴>．2.设a>0，a≠1，t>0，比较12a log t 与12a t log +的大小，并证明你的结论．【解答】解：当t>0时，由基本不等式可得12t +≥1t =时取“=”号 ∴1t =时，111222aa a t t log log log log t ++∴==， 1t ≠时，12t t +>，当01a <<时，a y log x =是单调减函数，∴111222aa a t t log log log log t ++<<; 当1a >时，a y log x =是单调增函数，∴111222aa a t t log log log log t ++>∴>. 3.比较()231log x +与()3x -的大小.答案：解答：要使()231log x +与()3x -有意义，则310330x x x +>∴>->⎧⎨⎩，，()()()22331331log x log x x log x -∴+--=+-()2222313123(3)x log x log x log x +=+--=-（），当2)131(3x x +->，即()2313x x +>-时，即18x <<时，())()()223130,313log x x log x x +-->∴+>-；当2)131(3x x +-<时，即()2313x x +<-时，即1x <(舍去)或8x >， ∴当8x >时，()()()()223130,313log x x log x x +--<∴+<-.4.当34a >且1a ≠时，判断()1a log a +与(1)a log a +的大小，并给出证明. 答案：当1a >时，()(1)1a a log a log a ++>；当314a <<时，()(1)1a a log a log a ++<. 解答：当1a >时，()(1)1a a log a log a ++>；当314a <<时，()(1)1a a log a log a ++<. 证明如下：()()()()()()22111111a a lg a lg a lg a lgalog a log a lga lg a lgalg a +++-+--==++，(1)当1a >时，()()0101lga lg a lg a lga >+>+>,，．∴()()11101a a a a log a log a log a log a +++->∴+>（）（）,； (2)当314a <<时，()()()()221111a a lg a lg a log a log a lgalg a ++-+-=+()()()()()()()()()211111lg a lga lg a a lg a lga lg a lga lgalg a lgalg a +-++-++=++=，()()231010104a lga lg a lg a a lg <<∴<+>+>=，，,，()()()()2101lg a lga lg aa lgalg a +-+∴<+，()(1)1a a log a log a +∴+<.5.函数()y f x =定义在R 上，对于任意实数m n ,，恒有()()()f m n f m f n +=⋅ ，且当0x >时，()01f x <<． (1)求证：()01f =；(2)当0x <时，比较()f x 与1的大小. 答案：解答：(1)∵任意实数m n ,，恒有()()()f m n f m f n +=⋅, 令()()()1,0,110m n f f f ==∴=,∵x>0时，()()()01,011,01f x f f <<∴<<∴=; (2)当0x <时，0x ->，则()()()()()()()01,01,01()11,f x f f x f x f x f x f x <-<=-=∴∈∴>=-，； 6.求不等式()2120,1x x a a a a -+>≠>中x 的取值范围．答案：当1a >时，{}3|x x >；当01a <<时，{}3|x x < 解答：()2120,1x x a a a a -+>≠>当1a >时，212,3x x x ->+∴>；当01a <<时，212,3x x x -<+∴<，故不等式()2120,1x x aa a a -+>≠>的解集：当1a >时，{}3|x x >，当01a <<时，{}3|x x <.7.若()210,13alog a a <>≠，求实数a 的取值范围．答案：()0123⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞，，解答：213aa log log a <= ，当1a >时，函数是一个增函数，不等式成立，当01a <<时，函数是一个减函数，根据函数的单调性有23a <，综上可知a 的取值是()0123⎛⎫+ ⎪⎝⎭∞，，. 8.若311,210x a lgx b lgx c lg x ⎛⎫∈=== ⎪⎝⎭，,,，试比较a b c ,,的大小．答案：b a c << 解答：111010x a lgx ⎛⎫∈∴-<=< ⎪⎝⎭，，，()()320110,a b lgx lgx lgx c a lg x lgx lgx lgx lgx -=-=->-=-=-+>,32 lg x lg x lg x b a c ∴<<∴<<,.9.设()32f x x x=-. (1)指出函数的定义域，证明()f x 为奇函数；(2)判断函数()f x 在()0+∞，上的单调性并用定义证明； (3)试比较()f π与()27f log 的大小关系．答案：解答： (1)()32f x x x=-的定义域为()()00-∞+∞，，， ()()()()3322,f x x x f x f x x x ⎛⎫-=--=--=-∴ ⎪-⎝⎭为奇函数； (2)函数()f x 在()0+∞，上是增函数，证明如下，任取()120x x ∈+∞,，，且12x x <，则()()()12121212123332(22)()f x f x x x x x x x x x -=---=-+， ()()()1212121230(20)x x x x f x f x x x <∴-+∴<<<，, ，故()f x 在()0+∞，上是增函数； (3)()()220737log f f log ππ<<<∴>；.10.设x y z R +∈,,，且346x y z ==． (1)求证：1112z x y-=； (2)比较34,6x y z ,的大小．答案：(1)见证明； (2)346x y z << 解答：(1)证明：∵x y z R +∈,,，且1346x y z ==>，346lgk lgk lgk x y z lg lg lg ∴===,,, 1163214222lg lg lg lg lg z x lgk lgk lgk y lgk lgk∴-=-===,, 1112z x y=∴-；(2)34634346lgk lgk lgk x y z lg lg lg ====== ，1.0336921346k lgk x y z >∴=>=>>∴<<，，，.11.设()()12313a a y log x y log x =+=-,，其中0a >且1a ≠． (1)若12y y =，求x 的值； (2)若12y y >，求x 的取值范围．(1)16x =-； (2)当01a <<时，1136x -<-<；当a>1时，106x -<<. 解答：(1)()()12,1313313,6a a y y log x log x x x x =+=-∴+=-∴∴=-，，经检验31030x x +>->，，所以，16x =-是所求的值；(2)当01a <<时，∵12y y >，即()()313a a log x log x +>-，3102031311,36x x x x x⎧⎪+>->-<-+<∴∴<-⎨⎪⎩；当1a >时，∵()()12313a a y y log x log x ∴+>->,， 31012006313x x x x x +>->-<+>⎧⎪∴<⎨⎪⎩-,，综上，当01a <<时，1136x -<-<；当a>1时，106x -<<. 12.设函数()()21x ax bx a b R ϕ=++∈,.(1)若()10ϕ-=，且对任意实数x 均有()0x ϕ≥成立，求实数a b ,的值；(2)在(1)的条件下，令()()4f x x x ϕ=-，若()g x 与()f x 在()1+∞，上有相同的单调性，()()12312412111x x x mx m x x m x mx <<=+-=-+,,且3411x x >>,，试比较：()()34||g x g x -与()()12||g x g x -的大小．答案：(1)12a b ==,； (2)①()01m ∈，时，()()()()3412||g x g x g x g x -<-；②0m ≤时，()()()()3412||||g x g x g x g x -≥-； ③1m ≥时，()()()()3412||||g x g x g x g x -≥-(1)10101a b b a ϕ-=∴-+=∴=+（），,，又对任意实数x 均有()0x ϕ≥成立∴0a >且240b ac -≤恒成立，即()210a -≤恒成立，12a b ∴==,；(2)()()()241f x x x x ϕ=-=-在()1+∞，上单调递增． ∴()g x 在()1+∞，上单调递增． ①()()()()312111322201111m x mx m x mx m x x x mx m x x ∈=+->+-=<+-=，,∴()312x x x ∈,同理可得()412x x x ∈，，由()g x 得单调性可知，()()()()()3412,g x g x g x g x ∈（,从而有 ()()()()3412||g x g x g x g x -<- ；②0m ≤时，()()3122211x mx m x mx m x =+-≥+-()()241211111x x m x mx m x mx x ==-+≤-+=，于是由3411x x >>,及()g x 得单调性可知()()()()()()()()41233412||||g x g x g x g x g x g x g x g x ≤<≤∴-≥-；③1m ≥时，同理可得3142x x x x ≤≥,，进而可得()()()()3412||||g x g x g x g x -≥- ．13.已知010x a <<>,且1a ≠，试比较()||1a log x +与()||1a log x -的大小，写出判断过程．答案：()()1|1|a a log x log x ->+ 解答：∵已知0111011x x x <<∴+><-<，，．当1a >时，()()()()()2111|11|a a a a a log x log x log x log x log x --+=---+=--，20111011x x x <-<<+∴<-<,，()()()()22101|0|11a a a a log x log x log x log x ∴-<∴-->∴->+，，．当01a <<时，由01x <<，则有()()1010a a log x log x ->+<，，()()()()()2111|110|a a a a a log x log x log x log x log x ∴--+=-++=->，∴()()1|1|a a log x log x ->+．综上可得，当0a >且1a ≠时，总有()()1|1|a a log x log x ->+．14.已知a b R ∈+,，函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=. (1)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(2)比较22a b a b++的大小．答案：解答：(1)函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=递增函数，证明如下：设x y <，则0x y -<，()()()()()()x y x y y y xxyya b a b a b f x f y abab----++=- ，①当a b =时，()f x 为常数函数，此时不单调． ②若a b >，则()()00x yx y x y x y a b ab a b f x f y ----<<->-∴<,,,，此时函数()()11x x x xa b f x x R a b+++∈+=递增函数． ③当a b <，则00x y x y x y x y a b a b a b -----<>->,,，所以()()f x f y <，此时函数()()11x x x x a b f x x R a b +++∈+=递增函数.(2)2222a b a b a b a b++-=++ 123322311322222212a b a b a b a b a b a b a b--+⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭⎝=+⎭--=+，因为幂函数3122x x , 在()0+∞，上单调递增，具有相同的单调性．所以当a b =时，22a b a b ++=当a b ≠时，22a b a b++> .15.已知()()()()()1101a a f x log x g x log x a a =+=->≠,,． (1)求函数()()f x g x -的定义域；(2)判断函数()()f x g x -的奇偶性，并予以证明； (3)求使()()0f x g x ->的x 的取值范围．答案：(1)()11-,； (2)奇函数；(3)当 1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<. 解答：(1)由于()()()()()1101a a f x log x g x log x a a =+=->≠,,，故()()()()1111a a axf xg x log x log x log x+-=+--=- ， 1011,10x x x ⎧+>->∴⎨<-⎩<，故函数的定义域为()11-,． (2)令()()()h x f x g x =-，可得()()1111a a x xh x log log h x x x-+-==-=-+-，故函数()()()h x f x g x =-为奇函数． (3)由()()0f x g x ->可得101a xlog x+>-，当1a >时，有11 011xx x+∴><<-，；当01a <<时，有 101101,101111x x x x x x x +⎧<⎪+⎪-<<∴∴-<<⎨+-⎪<⎪-⎩, ，综上可得，当 1a >时，01x <<；当01a <<时，10x -<<． 16.已知1m a b >==,,a b 的大小关系，a _____b .答案：< 解答:10m >>><,,,1a m b a b +===∴<=．17.已知1m >，试比较()0.9lgm 与()0.8lgm 的大小．答案：即10m >时，()()0.90.8lgm lgm >；10m =时，()()0.90.8lgm lgm =；110m <<时，()()0.90.8lgm lgm <．解答：()()()0.90.10.8lgm lgm lgm =，当1lgm >，即10m >时，()0.10.111lgm >> ，∴()()0.90.8lgm lgm >．当1lgm =，即10m =时，()()0.90.8lgm lgm =；当01lgm <<，即110m <<时，()()0.90.8lgm lgm <．18.已知函数()1211xf x log x +-＝.若1a b >>，试比较()f a 与()f b 的大小. 答案：()()f a f b > 解答：函数()1211xf x log x +-＝的定义域为()()11-∞-+∞，，，再判断函数的单调性，()112212111x f x log log x x +=⎡⎤⎢⎥⎣=+--⎦因为函数21u x x =-（）在区间()()1,1-∞-+∞，，都是减函数，所以()f x 在区间()1-∞-，和()1+∞，都是增函数，∵1a b >>，根据()f x 在()f x 上是增函数得， ∴()()f a f b >.19.已知函数()()22401a f x x x a g x log x a a =-+=>≠,（,）．(1)若函数()f x 在[12]m -,上不具有单调性，求实数m 的取值范围； (2)若()()11f g =． (i)求实数a 的值； (ii)设()()123122x t f x t g x t ==,,=，当()01x ∈，时，试比较123t t t ,,的大小．答案：(1)1()2+∞，； (2)(i)2；(ii)213t t t <<. 解答：(1)∵抛物线224y x x a =-+开口向上，对称轴为1x =，∴函数()f x 在(]1-∞，单调递减，在[1)+∞，单调递增， ∵函数()f x 在[12]m -,上不单调， ∴21m >，得12m >，∴实数m 的取值范围1()2+∞，； (2)(i)()()11202f g a a =∴-+=∴=，，， (ii)()221223()121122x t f x x x x t g x log x t =-+=-===,（）,＝， ∴当()01x ∈，时，()()()12321301012t t t t t t ∈∈-∞∈∴<<,,，,，,. 20.已知函数()()101x f x aa a -=>≠,.(1)若函数()y f x =的图象经过()34P ，点，求a 的值； (2)比较1(0)10f lg 与()2.1f -大小，并写出比较过程．答案：(1)2；(2)当1a >时，)1(( 2.1)100f lgf >-当01a <<时，)1(( 2.1)100f lg f <-. 解答：(1)∵函数()y f x =的图象经过()2344P a ∴=,,．又0a >，所以2a =． (2)当1a >时，)1(( 2.1)100f lg f >-；当01a <<时，)1(( 2.1)100f lg f <-；证明：由于()3 3.11()2( 2.1)100f lgf a f a --=-=-=,，当1a >时，xy a =在R 上为增函数， ∵3 3.13 3.1a a --->-∴>，，即)1(( 2.1)100f lgf >- 当01a <<时，xy a =在R 上为减函数， ∵3 3.13 3.1a a --->-∴<,，故有)1(( 2.1)100f lg f <-. 21.已知函数()3f x x x x R =+∈,．(1)判断函数()f x 的单调性，并证明你的结论；(2)若a b R ∈,，且0a b +>，试比较()()f a f b +与0的大小．答案：(1)增函数；(2)()()0f a f b +>.解答：(1)函数()3f x x x x R =+∈,是增函数，证明如下：任取12,x x R ∈，且12x x <，因为()()()()332212121212112210f x f x x x x x x x x x x x -=-+-=-+++<所以函数()3f x x x x R =+∈,是增函数．(2)由0a b +>，得a b >-，由(1)知()()f a f b >，因为()f x 的定义域为R ，定义域关于坐标原点对称，又()()()()()333f x x x x x x xf x -=-+-=--=-+=-，所以函数()f x 为奇函数．于是有()()f b f b -=-，所以()()f a f b >-，从而()()0f a f b +> ． 22.已知函数()()()10xxf x ln a ba b =->>>．(1)判断函数()f x 在其定义域内的单调性(2)若函数()f x 在区间()1+∞，内恒为正，试比较a b -与1的大小关系．答案：(1)增函数； (2)1a b -≥ 解答:(1)要使函数有意义，则1)10(01x xa aa b x a b b b-∴>>>>>∴>,,,, ()0x f x ∴>∴,的定义域为()0+∞，．设21010x x a b >>>>>,，21122122110xxx xxxxxxxa ab b b b a b a b ∴>>∴->-∴->->,,，，22111x x a b ax bx ∴->-，∵函数y lgx =在定义域上是增函数，()()()()21210,f x f x f x f x ∴∴>-> ， ∴()f x 在()0+∞，是增函数． (2)由(1)知，函数()f x 在()0+∞，是增函数， ∴()f x 在()1+∞，是增函数，即有()()1f x f >，要使()0f x >恒成立，必须函数的最小值()10f ≥，即()011lg a b lg a b -≥=∴-≥,． 23.已知函数()21px f x x q +=+ 是奇函数，且()522f =.(1)求实数p q ,的值；(2)判断()f x 在[1)+∞，上的单调性，并证明你的结论； (3)若对任意的1t ≥，试比较()21f t t -+与()22f t t -的大小．答案： (1)1,0； (2)增函数；(3)()()2212f t t f t t -+≤-. 解答：(1)∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，()2211,0p x px q x q x q-++-∴=-++∴=，()54152,1222p f p +=∴=∴=,；(2)∵()1f x x x=+，任取12[1)x x ∈+∞,，，且12x x <， ()()()()()121211212122121211111x x x x f x f x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭---=+-+-- 1212121210110,x x x x x x x x <<≤+∞∴-∴-><>，，()()()()121212121,x x x x fx f x x x --∴∴<∴()f x 在[1)+∞，上为增函数； (3)∵211y t t =-+的对称轴12t =， ∴211y t t =-+在[1)+∞，上单调递增，∴11111y ≥-+= ，又∵222y t t =-的对称轴为12t =， 222112248()y t t t =-=--在[1)+∞，上单调递增， 2211y ∴≥-= ，又()222212121101()(),y y t t t t t t y y ∴----+≥=-≥∴≥=, ，又()f x 在[1)+∞，上的单调递增， ()()()()222112f y f y f t t f t t ∴≥∴-+≤-,.24.已知函数()3f x x x =+．(1)指出()f x 在定义域R 上的奇偶性与单调性(只要求写出结论，无须证明)；(2)已知实数a b c ,,满足000a b b c c a +>+>+>,,，试判断()()()f a f b f c ++与0的大小，并加以证明．答案：(1)奇函数，增函数； (2)()()()0f a f b f c ++> 解答:(1)∵函数()3f x x x =+的定义域为R ，关于原点对称又∵()()()()()33f x x x x x f x -=-+-=-+=-，∴()f x 为奇函数，又∵3y x =在R 上单调递增，y x =在R 上单调递增，∴()3f x x x =+在定义域R 上也为增函数．(2)由0a b +>，得a b >-，故()()()f a f b f b >-=-，于是()()0f a f b +>．同理，()()()()00f b f c f c f a +>+>,．故()()()()()()0f a f b f b f c f c f a +++++> ，即有()()()0f a f b f c ++>． 25.已知函数()()10f x x x x->=. (1)试判断函数()f x 的单调性，并用单调性的定义证明； (2)设m R ∈，试比较()223f m m -++与()5f m +的大小．答案：(1)增函数；(2)()()2235f m m f m -++<+.解答：(1)()f x 为单调增函数，证明：设120x x >>，则()()()12121221211111f x f x x x x x x x x x --⎛-+=-+⎫= ⎪⎝⎭，()()1212121210,01> 0,0x x x x f x f x x x ∴->+∴->>>，， ∴()f x 为单调增函数； (2)解：222314455m m m m -++=--+≤+≥（）,，()2235,m m m f x ∴-++<+为单调增函数；()()2235f m m f m ∴-++<+.34.已知指数函数()()01xf x a a a =>≠,图象过点831⎛⎫⎪⎝⎭，. (1)求()f x 的解析式；(2)利用第(1)的结论，比较0.1a -与0.2a -的大小．答案：(1)()1()2xf x =；(2)0.10.2a a --<. 解答：(1)函数()()01xf x a a a =>≠,图象过点831⎛⎫ ⎪⎝⎭，，()311,821()2x a a f x ==∴∴=∴, ； (2)由(1)知()()1122x a f x =,=在R 上是减函数．0.10.20.10.2a a --->-∴<,. 26.指数函数()1xy a =-与)1(x y a =具有不同的单调性，比较13()1m a =-与3()1n a=的大小.答案： m n > 解答：因为指数函数()1xy a =-与)1(xy a=具有不同的单调性，所以11101a a ⎧-><<⎪⎨⎪⎩ 或10111a a <-<⎧>⎪⎨⎪⎩ ， ()131333112,1()()1211()28a m a n a ∴>=->-==<<，，m n ∴>.27．已知函数()21xf x a -=(0a >且1a ≠).(1)若函数()f x 的图象经过点)4P ,求a 的值; (2) 判断并证明函数()f x 的奇偶性;(3)比较2()f -与()2.1f -的大小,并说明理由. 答案： (1)2；(2)偶函数；(3)当1a >时,()()2 2.1f f -<-; 当01a <<时,()()2 2.1.f f ->-解答：(1)∵函数()f x 的图象经过点)4P ,24, 2.f a a ∴==∴=(2)函数()f x 为偶函数.∵函数()f x 的定义域为R,且()()22()11x x f x a af x ----===,∴函数()f x 为偶函数.(3)∵21y x =-在(),0-∞上单调递减, ∴当1a >时,()f x 在(),0-∞上单调递减,()()2 2.1f f ∴-<-;当01a <<时,f(x)在(),0-∞上单调递增, ∴()()2 2.1.f f ->-28．函数()(,xf x k a k a =⋅为常数，0a >且1)a ≠的图象经过点()0,1A 和()3,8B ，()()()11f xg x f x -=+.(1)求函数()f x 的解析式； (2)试判断()g x 的奇偶性；(3)记()()()(()2ln 2,ln ln 2,ln ,ln 2a g b g c g d g ====，试比较,,,a b c d 的大小，并将,,,a b c d 按从大到小顺序排列. 答案：(1)()2xf x =；(2)奇函数；(3)a d c b >>>. 解答：(1)由题知0318k a k a ⎧⋅=⎨⋅=⎩，解得12k a ==,，所以()2xf x =. (2)由(1)知，()2121x x g x -=+，所以()()2121x x g x g x ----==-+，显然()g x 的定义域为R ，所以()g x 是定义在R 上的奇函数.(3)因为()21212121x x xg x -==-++，所以()g x 是定义在R 上的增函数，又1ln2ln 12e =<<=，所以210ln2ln 2ln22<<<，()ln ln 20<，所以()21ln2ln 2ln2ln ln 22>>>，于是，故a d c b >>>.29．已知定义在R 上的奇函数()f x ,在()0,1x ∈时, ()2 41xxf x =+且()()11f f -=. (1)求()f x 上,1[]1x ∈-上的解析式; (2)当()0,1x ∈时,比较()f x 与12的大小. 答案：(1)()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxxx f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩; (2)()12f x <.解答：(1)∵()f x 是R 上的奇函数且()0,1x ∈时,()2 41xxf x =+, ∴当,0()1x ∈-时,()22414(1)x xx xf x f x --=-==-++-. 又由于()f x 为奇函数,()()00(),00f f f ∴=-∴=-, 又()()()()(11,11(),110)f f f f f f =-=-∴=-=- .综上所述,当,1[]1x ∈－时,()()(){}2,1,0412,0,1410,1,0,1xxxx x f x x x ⎧-∈-⎪+⎪⎪=∈⎨+⎪∈-⎪⎪⎩; (2)当()0,1x ∈时,()2 41xxf x =+, ()()()()2211212241 2412241241xxxxx x xf x --⋅--=-==+++-， ()20,1(21)0,410x x x ∈∴->+>， ()()110,22f x f x ∴-<∴<. 30．比较下列各组数的大小： (1)0.2456-⎛⎫⎪⎝⎭与1456-⎛⎫⎪⎝⎭；(2)π1π-⎛⎫ ⎪⎝⎭与1； (3)(0.8)-2与1254-⎛⎫ ⎪⎝⎭. 答案： (1)10.2445566--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭; (2)π11π-⎛⎫> ⎪⎝⎭(3)12250.84--⎛⎫> ⎪⎝⎭.解答：(1)考察函数56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵5016<<，∴函数56xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞,+上是减函数. 又10.244->-，∴10.2445566--⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. (2)考察函数1πxy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，∵101π<<，∴函数1πxy ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝在()-∞∞,+上是减函数.又－π<0，∴π111ππ-⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. (3)先考察函数0.8x y ＝.00.81<<，∴函数0.8xy ＝在()-∞∞,+上是减函数. 又20-<，∴200.80.81>=－.再考察函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ∵514>，∴函数54xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭在()-∞∞,+上是增函数. 又102-<，∴1255144-⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=. 综上可知，12250.84--⎛⎫> ⎪⎝⎭.31．已知01,b 1,1a ab <<>>，试比较11log log b log b ba ab 、、的大小. 答案：11log b log log b ba ba <<解答：因为01,b 1a <<>,所以log b 0a <,1log 1b b =-,1log 0ba >; 又因为b 1a >，01a <<，所以1b 1a>>; 所以11log b log 1?log b a aa a <=-=；所以11log b log log b ba b a <<.32．已知函数()2f x ax bx c =++(0a >且0bc ≠).(1)若()()()0111f f f ==-=,试求()f x 的解析式;(2)令()2g x ax b =+,若()10g =,又()f x 的图像在x 轴上截得的弦的长度为l ,且02l <≤,试比较b 、c 的大小.答案：(1)()21f x x x =+-或()21f x x x =--；(2)0c b >>. 解答：(1)由已知()()()0111f f f ==-=,有()()22a b c a b c a b c a b c ++=-+⇒++=-+,得()40b a c +=．∵0bc ≠,∴0b ≠,∴0a c +=,由0a >知,0c <； ∵1c =,∴1c =-，则1,1a b ==±； ∴()21f x x x =+-或()21f x x x =--．(2)()2g x ax b =+,由()10g =且0a >,知20,0a b b +=<且0a >, 设方程()0f x =的两根为12,x x ,则12122,b c x x x x a a+=-==,∴12x x -== 由已知1202x x <-≤,∴01ca≤<；又∵0,0a bc >≠,∴0c >；又0b <,∴0c b >>．33．设()f x 是定义在R 上的奇函数,且对任意a 、b ∈R ,当0a b +≠时,都有()()0f a f b a b+>+.(1)若a b >,试比较()f a 与()f b 的大小关系; (2)若()()923290x xxf f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∞∈+恒成立,求实数k 的取值范围.答案：(1)()()f a f b >； (2).1k <. 解答：(1)因为a b >,所以0a b ->,由题意得:()()0f a f b a b+->-；所以()()0f a f b +->；又()f x 是定义在R 上的奇函数,()()f b f b ∴-=-，()()0f a f b ∴->；即()()f a f b >.(2)由(1)知()f x 为R 上的单调递增函数,()()923290x x x f f k -⋅+⋅->对任意[)0,x ∞∈+恒成立, ()()92329x x x f f k ∴-⋅>-⋅-，即()()92329x x x f f k -⋅>-⋅, 923293923x x x x x k k ∴-⋅>-⋅∴<⋅-⋅，对任意[)0,x ∞∈+恒成立,即k 小于函数[)3923,0,xxu x ∞=⋅-⋅∈+的最小值.令3x t =,则[]1,t ∞∈+；即22113923323133xxu t t t ⎛⎫=⋅-⋅=-=--≥ ⎪⎝⎭； 1k ∴<.34．已知函数()211,0f x x a x a a ⎛⎫=-++> ⎪⎝⎭(1)当12a =时,解不等式()0f x ≤; (2)比较1a a与的大小;(3)解关于x 的不等式()0f x ≤. 答案：(1)1{|2}2x x ≤≤; (2)当01a <<时,有1a a >；当1a >时,有1a a <；当1a =时,1a a=; (3)当01a <<时,1{|}x a x a ≤≤;当1a >时,1{|}x x a a≤≤;当1a =时,{}1x ∈.解答： (1)当12a =时,有不等式()23102f x x x =-+≤, ∴()1202x x ⎛⎫--≤ ⎪⎝⎭, ∴不等式的解集为：1{|2}2x x ≤≤; (2)∵()()111a a a a a+--=且0a > ∴当01a <<时,有1a a> 当1a >时,有1a a < 当1a =时,1a a=;(3)∵不等式()()10f x x x a a ⎛⎫=--≤ ⎪⎝⎭当01a <<时,有1a a >,∴不等式的解集为1{|}x a x a ≤≤; 当1a >时,有1a a <,∴不等式的解集为1{|}x x a a≤≤;当1a =时,不等式的解集为{}1x ∈. 35．比较下列各题中两个幂的值的大小: (1)352.1,35π;(2)13(-,13( 1.4)--;(3)452()3-,453()4.答案： (1)33552.1π<；(2)1133(( 1.4)-->-；(3)4455((23))34-<.解答：(1) ∵35y x =为R 上的增函数,又33552.1, 2.1ππ∴<<.(2) ∵13y x-=在(),0-∞上为减函数,且 1.40<-<,∴1133(( 1.4)-->-.(3)∵45y x =为R 上的偶函数,∴4455((22))33-=,又函数45y x =在[)0,+∞上为增函数,且2334<,∴4455()3(23)4<,即4455((23))34-<.36．已知函数()2()f x x a x =+∈R .(1)对任意的12,x x ∈R ,比较()()1212f x f x +⎡⎤⎣⎦与12()2x x f +的大小; (2)若10,11a x -≤≤-≤≤,求证:()11f x -≤≤. 答案： (1)()()12121)22(x x f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦+； (2)见证明. 解答：(1)对任意的12,x x ∈R ,有()()1212122()x x f x f x f ⎡⎤+-⎣⎦+ 222121222(2)x x a x x a +++=--22121224x x x x +-=()212104x x =-≥,所以()()12121)22(x x f x f x f ⎡⎤+≥⎣⎦+. (2)由于()2,11,10f x x a x a =+-≤≤-≤≤, 则当0x =时,()1min f x a =≥-; 当1x =±时,()1 1.max f x a =+≤ 综上可知,()11f x -≤≤. 37．比较下列各组数的大小：(1)3log 2.5与3 log 3.7. (2)0.2 log 2与0.2 log 4.1. (3)3log 0.24与0.2 log 0.24. (4) log 3a 与 log 3.1a . 答案：(1)332.5 3.7log log <； (2)0.20.22 4.1log log > ； (3)30.20.240.24log log <； (4)当1a >时，3 3.1a a log log <；当01a <<时，3 3.1a a log log > 解答：(1)因为()3f x log x =为增函数，且2.5 3.7<，所以332.5 3.7log log <. (2)因为()0.2f x log x =为减函数，且2 4.1<，所以0.20.22 4.1log log >(3)因为330.2410log log <=，0.20.20.2410log log >＝，所以30.20.240.24log log <. (4)当1a > 时，因为()a f x log x =为增函数，且3 3.1<，所以3 3.1a a log log <；当01a <<时，同理可得，3 3.1a a log log > 38．比较()3.412b -与()3.5112()2b b -<且0b ≠)的大小，答案：当0b <时， 3.43.5()(121)2b b -<-；当102b <<时，102b <<.(1)当11b ->，即0b <时，()12xy b =- 递增. 所以 3.43.5()(121)2b b -<-.(2)当0121b <<－，即102b <<时，()12xy b =-递减，所以 3.43.5()(121)2b b ->- .综上所述，当0b <时， 3.43.5()(121)2b b -<-；当102b <<时，102b <<. 39．已知()()1log 32log 2x x f x g x =+=，，试比较()f x 与()g x 的大小. 答案：当01x <<或43x >时，()() f x g x >; 当403x <<时，()() f x g x <; 当43x =时，()() f x g x =. 解答：()() log 3log 4x x f x x g x ==，，所以()()3 log 4x x f x g x -=；当01x <<时，3log 04xx>，所以()()f xg x >; 当403x <<时，3log 04xx<，所以()() f x g x <; 当43x =时，3log 04xx=，所以()() f x g x =; 当43x >时，3log 04xx>，所以()() f x g x >; 综上所述：当01x <<或43x >时，()() f x g x >; 当403x <<时，()() f x g x <; 当43x =时，()() f x g x =. 40．已知()(0xf x a a =>,且)1,a ≠当12x x ≠时,比较(12()2x x f +与()()122f x f x +的大小. 答案：()()1212()22f x f x x x f ++<()12122,()2x x xx x f x a f a ++=∴=,()()121211()22x x f x f x a a ⎡⎤+⎣⎦+=. ∵0a >,且121,a x x ≠≠, ∴10x a >,20x a >,且12x x a a ≠,∴121221()2x x x x a a a ++>=,即()()1212()22f x f x x x f ++<. 41.设二次函数()2f x x ax a =++,方程()0f x x -=的两根1x 和2x 满足1201x x <<<.(1)求实数a 的取值范围; (2)试比较()()()010f f f -与116的大小,并说明理由. 答案：(1)(0,3-； (2)()()()101016f f f -<. 解答：(1)令()()()21g x f x x x a x a =-=+-+,则由题意可得()()0,101,210,00,a g g ∆>⎧⎪-⎪<<⎪⎨⎪>⎪>⎪⎩，0,11,3a 3a a a ⎧>⎪∴-<<⎨⎪<->+⎩或，03a ∴<<- 故所求实数a的取值范围是(0,3-).(2)()()()()()2010012f f f g g a -==,令()22h a a =.∵当0a >时()h a 单调增加,∴当03a <<-时,()20323((217(h a h <<-=-=-116=<,即()()()101016f f f -<.42．()()21x xa f x a a a -=--,其中0a >,且1a ≠. (1)判断函数()f x 在(),-∞+∞上的单调性,并加以证明;(2)判断()22f -与()()11,33f f --与()22f -的大小关系,由此归纳出一个更一般的结论,并加以证明. 答案：(1)增函数；(2)()()()()2211,3322f f f f ->-->-. 解答：(1)当01a <<时，201aa <-,x x a a --为减函数，根据复合函数的性质可得()f x 在(),-∞+∞上是增函数；当1a >时，201aa >-，x x a a --为增函数，根据复合函数的性质可得()f x 在(),-∞+∞上是增函数；综上，0a >,且1a ≠时，()f x 在(),-∞+∞上是增函数. (2)()()()()2211,3322f f f f ->-->- . 一般的结论:()()()*(11.)f n n f n n n N +-+>-∈证明如下:上述不等式等价于()()11f n f n +-> ,即21111n n na a a+++>+, 化简得1()(110)n n aa +-->,在0a >,且1a ≠的条件下,()1()110n n aa +-->显然成立,故()()()*1()1f n n f n n n N +-+>-∈成立.43. 已知()log (01),a f x x a a =>≠,若120,0,x x >>判断121[()()]2f x f x +与12()2x x f +的大小，并加以证明．答案：①当1a >时，12121[()()]()22x x f x f x f ++≤； ②当01a <<时，12121[()()]()22x x f x f x f ++≥．解答：由题可得121212()()log log log ()a a a f x f x x x x x +=+=，因为120,0x x >>，所以21212()2x x x x +≤(当且仅当12x x =时取“=”号)． ①当1a >时，21212log ()log ()2a a x x x x +≤， 12121211(log log )log ()log ()222a a a a x x x x x x +∴+=≤，即12121[()()]()22x x f x f x f ++≤(当且仅当12x x =时取“=”号)． ②当01a <<时，21212log ()log ()2a a x x x x +≥ ， 12121211(log log )log ()log ()222a a a a x x x x x x +∴+=≥ 即12121[()()]()22x x f x f x f ++≥(当且仅当12x x =时取“=”号)． 44.已知3201,log (1),log (1),a a a a x a y a >≠=+=+,试比较,x y 的大小.答案：.x y >解答：322(1)(1)(1)a a a a +-+=-，∴当1a >时，10a -> ，∴3211,log a a a y x +>+=在(0,)+∞上递增，∴.x y >当01a <<时，10a -<，∴3211,log (0,)a a a y x +<+=+∞因在上递减，∴.x y > 综上知：.x y >45.不等式223221x x k x x ++≥++ ，对任意实数x 都成立，满足条件自然数k 最大值为a ，若已知0mn m n >≠,，试比较()22134alog m mn n ++与()2126alog m mn +的大小．答案：()()222113426aalog m mn n log m mn ++<+解答：不等式223221x x k x x ++≥++ 对于任意的实数x 均成立，等价于()()23220k x k x k -+-+-≤ 对于任意的实数x 均成立．当3k =时，101x x +≤∴≤-,，不满足题意；当3k ≠时，()()230243(20)k m k k ⎧⎨<-<----⎩，解得3k <，∵满足条件自然数k 最大值为a ，30a mn m n ∴=>≠,,，()222222342620m mn n m mn m mn n m n ∴++--=-+=->， 2223426m mn n m mn ∴++>+，∵对数函数13y log x =为减函数，()()222113426aalog m mn n log m mn ∴++<+.46.定义在R 上的函数()f x 满足()()4f x f x +=，当26x ≤≤时，()||1()2x m f x n -=+，且()831f = ． (1)求m n ,的值；(2)比较2()2f log m 与2()f log n 的大小．答案： (1)4，30；(2)22()()2f log m f log n >. 解答：(1)∵()()4f x f x +=，故函数的一个周期为4．当26x ≤≤时，()()())26(12x m nf x f f -+∴=＝，，26112642))2((m n m nm m m -+-+∴=∴-=-∴=，，，()()4418431302()f f n n -+∴=＝＝＝，；(2)由(1)的计算知，当26x ≤≤时，()4()1302x f x -+＝图象的对称轴为4x =，且在4x =处()f x 取最大值．又()()()22234()()305f log m f f f log f =<<,，由函数解析式可知()()22352()()f f f log m f log n =∴>，.47.函数()(x f x k a k a =⋅，为常数，01a a ≠＞,)的图象经过点1(0)A ，和8(3)B ,，()()()11f xg x f x -=+. (1)求函数()f x 的解析式；(2)试判断()g x 的奇偶性；(3)记()()()(()2222a g ln b g ln ln c g d g ln ====、、，，试比较a b c d ，，，的大小，并将a b c d ，，，从大到小顺序排列.答案：(1)()2x f x =；(2)奇函数；(3)a d c b >>>.解答：(1)代入1(0)A ，和8(3)B ,中得 031128k a k a k a ⎧⋅=∴==⎨⋅=⎩，,，即有()2x f x = ；(2)∵()()()21212121x x x x g x g x g x ----=∴-==-++，，又()210x x R g x +≠∈∴,，是定义在R 上的奇函数．(3)∵()21212121x x x g x -==-++， ∴g(x)是定义在R 上的增函数，21122122222ln e ln lne ln ln ln ln <<∴<<<<，，， ()()220222ln ln ln ln ln ln <∴>>>，,()()()()2(222g ln g ln g g ln ln ∴>>>， a d c b >>>.48.若()2f x x x b =-+，且()22()()21f log a b log f a a ⎡⎤⎣=⎦=≠,．。

指数函数及其性质

指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31x y =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存有．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域（0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x>1x>0时，0<a x<1⑤x<0时，0<a x<1x>0时，a x>1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数要点诠释：（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。

（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。

当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。

当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。

（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。

指数函数比较大小及复合函数的单调性测试题(含答案)

指数函数比较大小及复合函数的单调性一、单选题(共8道，每道12分)1.已知实数a，b满足，则( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用2.设，则这三个数的大小关系是( )A.a>b>cB.b>a>cC.c>a>bD.a>c>b答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质3.已知，这三个数的大小关系是( )A.b<a<cB.c<a<bC.a<b<cD.c<b<a答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数的图象与性质4.设，那么( )A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用5.函数的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用6.若函数，满足，则的单调递减区间是( )A. B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用7.函数，在上的最大值和最小值之和是5，则a＝( )A. B.C.2D.4答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数函数单调性的应用8.函数的单调递增区间与值域相同，则实数a的值是( )A.﹣2B.2C.﹣1D.1答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：指数型复合函数的性质及应用。

指数、对数、幂函数总结归纳

指数与指数幂的运算【学习目标】1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算.2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理.5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质. 6．知道指数函数与对数函数互为反函数(a ＞0，a ≠1).【要点梳理】要点一、幂的概念及运算性质1.整数指数幂的概念及运算性质2.分数指数幂的概念及运算性质为避免讨论，我们约定a>0，n ，m ∈N *，且mn为既约分数，分数指数幂可如下定义： 1n na a =()m n m m n na a a ==-1m nm naa=3．运算法则当a ＞0,b ＞0时有：（1）nm nma a a +=⋅；（2）()mn nma a =；（3）()0≠>=-a n m a aa nm n m ，；（4）()mm m b a ab =.要点诠释：(1)根式问题常利用指数幂的意义与运算性质，将根式转化为分数指数幂运算；(2)根式运算中常出现乘方与开方并存，要注意两者的顺序何时可以交换、何时不能交换.如2442)4()4(-≠-；(3)幂指数不能随便约分.如2142)4()4(-≠-.要点二、根式的概念和运算法则1．n 次方根的定义：若x n=y(n ∈N *，n>1，y ∈R)，则x 称为y 的n 次方根，即x=n y .n 为奇数时， y 的奇次方根有一个，是负数，记为n y ；零的奇次方根为零，记为00=n ；n 为偶数时，正数y 的偶次方根有两个，记为n y ±负数没有偶次方根；零的偶次方根为零，00n =. 2．两个等式（1）当1n >且*n N ∈时，nnaa =；（2）⎩⎨⎧=)(||)(,为偶数为奇数n a n a a nn要点诠释：①计算根式的结果关键取决于根指数n 的取值，尤其当根指数取偶数时，开方后的结果必为非负数，可先写成||a 的形式，这样能避免出现错误．②指数幂的一般运算步骤有括号先算括号里的；无括号先做指数运算．负指数幂化为正指数幂的倒数．底数是负数，先确定符号，底数是小数，先要化成分数，底数是带分数(如)，先要化成假分数（如15/4），然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数运算性质．在化简运算中，也要注意公式： a 2－b 2＝（a －b ）（a ＋b ），a 3－b 3＝（a －b ）（a 2＋ab ＋b 2），a 3＋b 3＝（a ＋b ）（a 2－ab ＋b 2），（a ±b ）2＝a 2±2ab ＋b 2，（a ±b ）3＝a 3±3a 2b ＋3ab 2±b 3，的运用，能够简化运算.指数函数及其性质【要点梳理】要点一、指数函数的概念：函数y=a x(a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x(a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在． ②如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了。

高中数学第四章指数函数与对数函数指数函数第2课时指数函数及其性质的应用学案新人教A版必修第一册

第2课时　指数函数及其性质的应用课程标准(1)掌握指数函数与其他函数复合所得的函数单调区间的求法及单调性的判断．(2)能借助指数函数图象及单调性比较大小．(3)会解简单的指数方程、不等式．(4)会判断指数型函数的奇偶性．新知初探·课前预习——突出基础性教材要点要点一　比较大小❶1．对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的________来判断；2．对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的______的变化规律来判断；3．对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过______来判断．要点二　解指数方程、不等式(1)形如a f(x)＞a g(x)的不等式，可借助y＝a x的________求解❷；(2)形如a f(x)＞b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助y＝a x的_ _______求解；(3)形如a x＞b x的不等式，可借助两函数y＝a x，y＝b x的图象求解．要点三　指数型函数的单调性❸一般地，有形如y＝a f(x)(a>0，且a≠1)函数的性质(1)函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)有________的定义域．(2)当a>1时，函数y＝a f(x)与y＝f(x)具有________的单调性；当0<a<1时，函数y＝a f(x)与函数y＝f(x)的单调性________．助学批注批注❶　注意区别指数函数与幂函数的比较大小．批注❷　如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况进行讨论．批注❸　与复合函数的单调性“同增异减”一致，即内外两个函数单调性相同，则复合函数为增函数；内外两个函数单调性相反，则复合函数为减函数．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若0.3a>0.3b，则a>b.( )(2)函数y＝3x2在[0，＋∞)上为增函数．( )(3)函数y＝21x在其定义域上为减函数．( )(4)若a m>1，则m>0.( )2．设a＝1.20.2，b＝0.91.2，c＝0.3－0.2，则a，b，c大小关系为( ) A.a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a3．已知2m>2n>1，则下列不等式成立的是( )A．m>n>0B．n<m<0C．m<n<0D．n>m>04．函数f(x)＝2|x|的递增区间是________．题型探究·课堂解透——强化创新性题型 1　利用指数函数的单调性比较大小例1　若a＝(12)32，b＝(34)14，c＝(34)34，则a，b，c的大小关系是( ) A．a>b>c B．b>a>cC．b>c>a D．c>b>a方法归纳底数与指数都不同的两个数比较大小的策略巩固训练1　下列选项正确的是( )A.0.62.5>0.63B.1.7−13<1.7−12C.1.11.5<0.72.1D.212>313题型 2　解简单的指数不等式例2　(1)不等式3x －2＞1的解集为________．(2)若a x ＋1＞(1a )5−3x(a ＞0且a ≠1)，求x 的取值范围．方法归纳利用指数函数单调性解不等式的步骤巩固训练2　已知集合M ＝{－1，1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩▒N ＝ ()A ．{－1，1}B ．{－1}C ．{0}D ．{－1，0}题型 3　指数型函数的单调性例3　求函数f (x )＝(13)x 2－2x 的单调区间．方法归纳指数型函数单调区间的求解步骤巩固训练3　函数f (x )＝2x2－1的单调减区间为________.题型 4　指数函数性质的综合问题例4　已知函数f (x )＝e x －mex 是定义在R 上的奇函数．(1)求实数m 的值；(2)用单调性定义证明函数f (x )是R 上的增函数；(3)若函数f (x )满足f (t －3)＋f (2t 2)<0，求实数t 的取值范围．方法归纳有关指数函数性质的综合问题的求解策略是奇函数．巩固训练4　已知函数f(x)＝2x−a2x+a(1)求实数a的值；(2)求f(x)的值域．第2课时　指数函数及其性质的应用新知初探·课前预习[教材要点]要点一单调性　图象　中间值要点二单调性　单调性要点三相同　相同　相反[基础自测]1．答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2．解析：∵a＝1.20.2>1.20＝1，b＝0.91.2<0.90＝1，∴b<a，又y＝x0.2在(0，＋∞)上单调递增，∴1<a＝1.20.2<0.3－0.2＝(103)0.2，∴b<a<c.答案：C3．解析：因为2m>2n>1，所以2m>2n>20；又函数y＝2x是R上的增函数，所以m>n>0.答案：A4．解析：因为f(x)＝2|x|＝{2x，x>0(12)x，x≤0，故函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．答案：(0，＋∞)题型探究·课堂解透例1　解析：因为b＝(34)14，c＝(34)34，函数y＝(34)x在R上单调递减，所以(34)14>(34)34，即b>c；又a＝(12)32＝(14)34，c＝(34)34，函数y＝x34在(0，＋∞)上单调递增，所以(14)34<(34)34，即a<c，所以b>c>a.答案：C巩固训练1　解析：对于A：y＝0.6x在定义域R上单调递减，所以0.62.5>0.63，故A正确；对于B：y＝1.7x在定义域R上单调递增，所以1.7−13>1.7−12，故B错误；对于C：因为1.11.5>1.10＝1，0<0.72.1<0.70＝1，所以1.11.5>0.72.1，故C错误；对于D：因为¿)6＝23＝8，¿)6＝32＝9，即(212)6<¿)6，所以212<313，故D错误．答案：A例2　解析：(1)3x－2＞1⇒3x－2＞30⇒x－2＞0⇒x＞2，所以解集为(2，＋∞)．(2)因为a x＋1＞(1a)5−3x，所以当a＞1时，y＝a x为增函数，可得x＋1＞3x－5，所以x＜3.当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，可得x＋1＜3x－5，所以x＞3.综上，当a＞1时，x的取值范围为(－∞，3)，当0＜a＜1时，x的取值范围为(3，＋∞)．答案：(1)(2，＋∞)　(2)见解析巩固训练2　解析：∵12＜2x＋1＜4，∴2－1＜2x＋1＜22，∴－1＜x＋1＜2，∴－2＜x＜1.又∵x∈Z，∴x＝0或x＝－1，即N＝{0，－1}，∴M∩N＝{－1}．答案：B例3　解析：令u＝x2－2x，则原函数变为y＝(1 3 )u.∵u＝x2－2x＝(x－1)2－1在(－∞，1)上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，又∵y＝( 13)u在(－∞，＋∞)上单调递减，∴y＝(13)x2－2x单调递增区间是(－∞，1)，单调递减区间是[1，＋∞)．巩固训练3　解析：令t＝x2，则y＝2t－1为增函数，当x∈(－∞，0)时，t＝x2为减函数，所以f(x)＝2x2－1在x∈(－∞，0)上是减函数．答案：(－∞，0)例4　解析：(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，得m＝1；(2)设x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝e x1−1e x1−e x2+1e x2＝(e x1−e x2)¿)∵x1<x2，∴0<e x1<e x2，因此f(x1)<f(x2)，即f(x)是R上的增函数；(3)∵f(x)是奇函数，∴f(2t2)<－f(t－3)＝f(3－t)，又f(x)在R上为增函数，∴2t2<3－t，解得－32<t<1.巩固训练4　解析：(1)因为f(x)＝2x−a2x+a，f(－x)＝2−x−a2−x+a ＝1−a·2x 1+a·2x由f(－x)＝－f(x)，可得1−a·2x1+a·2x ＝－2x−a2x+a，(1－a·2x)(2x＋a)＝(1＋a·2x)(a－2x)，2x－a·2x·2x＋a－a2·2x＝a＋a2·2x－2x－a·2x·2x，整理得2x(a2－1)＝0，于是a2－1＝0，a＝±1.当a＝1时，f(x)定义域为R，f(x)是奇函数．当a＝－1时，f(x)定义域为{x|x≠0}，f(x)是奇函数．因此a＝±1.(2)当a＝1时，f(x)＝1－22x+1，定义域为R，所以2x>0，于是2x＋1>1，0<22x+1<2，因此－1<1－22x+1<1，故f(x)的值域为(－1，1)．当a＝－1时，f(x)＝1＋22x−1，定义域为{x|x≠0}，所以2x>0，且2x≠1，于是2x－1>－1，且2x－1≠0，所以22x−1<－2，或22x−1>0.因此1＋22x−1<－1或1＋22x−1>1，故f(x)的值域为(－∞，－1)∪(1，+∞)．。

知识讲解_指数函数及其性质_基础

指数函数及其性质要点一、指数函数的概念：函数y=a x (a>0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，a 为常数，函数定义域为R. 要点诠释：（1）形式上的严格性：只有形如y=a x (a>0且a ≠1)的函数才是指数函数．像23xy =⋅，12xy =，31xy =+等函数都不是指数函数．（2）为什么规定底数a 大于零且不等于1：①如果0a =，则000x x ⎧>⎪⎨≤⎪⎩xx时，a 恒等于，时,a 无意义.②如果0a <，则对于一些函数，比如(4)xy =-，当11,,24x x ==⋅⋅⋅时，在实数范围内函数值不存在．③如果1a =，则11xy ==是个常量，就没研究的必要了．要点二、指数函数的图象及性质：y=a x0<a<1时图象a>1时图象图象性质 ①定义域R ，值域（0，+∞）②a 0=1, 即x=0时，y=1，图象都经过(0，1)点 ③a x =a ，即x=1时，y 等于底数a④在定义域上是单调减函数 ④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0时，a x >1 x>0时，0<a x <1⑤x<0时，0<a x <1 x>0时，a x >1⑥ 既不是奇函数，也不是偶函数（1）当底数大小不定时，必须分“1a >”和“01a <<”两种情形讨论。

（2）当01a <<时，,0x y →+∞→；当1a >时,0x y →-∞→。

当1a >时，a 的值越大，图象越靠近y 轴，递增速度越快。

当01a <<时，a 的值越小，图象越靠近y 轴，递减的速度越快。

（3）指数函数xy a =与1xy a ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图象关于y 轴对称。

要点三、指数函数底数变化与图像分布规律（1）① xy a = ②xy b = ③x y c = ④x y d =则：0＜b ＜a ＜1＜d ＜c又即：x ∈(0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大） x ∈(－∞,0)时，x x x x b a d c >>> （2）特殊函数112,3,(),()23x x x x y y y y ====的图像：要点四、指数式大小比较方法(1)单调性法：化为同底数指数式，利用指数函数的单调性进行比较. (2)中间量法 (3)分类讨论法 (4)比较法比较法有作差比较与作商比较两种，其原理分别为：①若0A B A B ->⇔>；0A B A B -<⇔<；0A B A B -=⇔=； ②当两个式子均为正值的情况下，可用作商法，判断1A B >，或1AB<即可．【典型例题】类型一、指数函数的概念例1．函数2(33)xy a a a =-+是指数函数，求a 的值．【答案】2【解析】由2(33)xy a a a =-+是指数函数，可得2331,0,1,a a a a ⎧-+=⎨>≠⎩且解得12,01,a a a a ==⎧⎨>≠⎩或且，所以2a =．【总结升华】判断一个函数是否为指数函数：（1）切入点：利用指数函数的定义来判断；（2）关键点：一个函数是指数函数要求系数为1，底数是大于0且不等于1的常数，指数必须是自变量x ．举一反三：【变式1】指出下列函数哪些是指数函数（1）4xy =；（2）4y x =；（3）4xy =-；（4）(4)xy =-；（5）1(21)(1)2xy a a a =->≠且；（6）4x y -=．【答案】（1）（5）（6）【解析】（1）（5）（6）为指数函数．其中（6）4x y -==14x⎛⎫ ⎪⎝⎭，符合指数函数的定义，而（2）中底数x 不是常数，而4不是变数；（3）是-1与指数函数4x 的乘积；（4）中底数40-<，所以不是指数函数．类型二、函数的定义域、值域例2．求下列函数的定义域、值域.(1)313xxy =+；(2)y=4x -2x +1；(4)y =为大于1的常数)【答案】（1）R ，(0，1)；（2）R [+∞,43)；（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭[)0,+∞；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a ，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切x ∈R ，3x ≠-1).∵ (13)1111313x x xy +-==-++，又∵ 3x >0， 1+3x >1， ∴ 10113x <<+， ∴ 11013x-<-<+，∴ 101113x<-<+， ∴值域为(0，1). (2)定义域为R ，43)212(12)2(22+-=+-=x x x y ，∵ 2x >0， ∴ 212=x即 x=-1时，y 取最小值43，同时y 可以取一切大于43的实数，∴ 值域为[+∞,43). (3)要使函数有意义可得到不等式211309x --≥，即21233x --≥，又函数3x y =是增函数，所以212x -≥-，即12x ≥-，即1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭，值域是[)0,+∞.(4)∵011112≥+-=-+x x x x ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵111011≠+-≥+-x x x x 且，∴ a ay a y x x x x≠=≥=-+-+1121121且， ∴值域为[1，a)∪(a ，+∞).【总结升华】求值域时有时要用到函数单调性；第(3)小题中值域切记不要漏掉y>0的条件，第(4)小题中112111≠+-=+-x x x 不能遗漏. 举一反三：【变式1】求下列函数的定义域： (1)2-12x y =(2)y =(3)y =(4)0,1)y a a =>≠【答案】（1）R ；（2）(]-3∞，；（3）[)0,+∞；（4）a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，【解析】(1)R(2)要使原式有意义，需满足3-x ≥0，即3x ≤，即(]-3∞，．(3) 为使得原函数有意义，需满足2x -1≥0，即2x ≥1，故x ≥0，即[)0,+∞(4) 为使得原函数有意义，需满足10xa -≥，即1xa ≤，所以a>1时，(]-0∞，；0<a<1时，[)0+∞，.【总结升华】本题中解不等式的依据主要是指数函数的单调性，根据所给的同底指数幂的大小关系，结合单调性来判断指数的大小关系.类型三、指数函数的单调性及其应用例3．讨论函数221()3x xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭的单调性，并求其值域．【思路点拨】对于x ∈R ，22103x x-⎛⎫> ⎪⎝⎭恒成立，因此可以通过作商讨论函数()f x 的单调区间．此函数是由指数函数及二次函数复合而成的函数，因此可以逐层讨论它的单调性，综合得到结果．【答案】函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数（0，3] 【解析】解法一：∵函数()f x 的定义域为（－∞，+∞），设x 1、x 2∈（－∞，+∞）且有x 1＜x 2，∴222221()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，211211()3x x f x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，222222121212121122()()(2)2211()113()3313x x x x x x x x x x x x f x f x -----+--⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭．（1）当x 1＜x 2＜1时，x 1+x 2＜2，即有x 1+x 2－2＜0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＜0，则知2121()(2)113x x x x -+-⎛⎫> ⎪⎝⎭．又对于x ∈R ，()0f x >恒成立，∴21()()f x f x >． ∴函数()f x 在（－∞，1）上单调递增．（2）当1≤x 1＜x 2时，x 1+x 2＞2，即有x 1+x 2－2＞0．又∵x 2－x 1＞0，∴(x 2―x 1)(x 2+x 1―2)＞0，则知2121()(2)1013x x x x -+-⎛⎫<< ⎪⎝⎭．∴21()()f x f x <．∴函数()f x 在[1，+∞）上单调递减．综上，函数()f x 在区间（－∞，1）上是增函数，在区间[1，+∞）上是减函数．∵x 2―2x=(x ―1)2―1≥－1，1013<<，221110333x x--⎛⎫⎛⎫<≤= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． ∴函数()f x 的值域为（0，3]．解法二：∵函数()f x 的下义域为R ，令u=x 2－2x ，则1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭．∵u=x 2―2x=(x ―1)2―1，在（―∞，1]上是减函数，1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内是减函数，∴函数()f x 在（－∞，1]内为增函数．又1()3uf u ⎛⎫= ⎪⎝⎭在其定义域内为减函数，而u=x 2―2x=(x ―1)2―1在[1，+∞）上是增函数，∴函数()f x 在[1，+∞）上是减函数．值域的求法同解法一．【总结升华】由本例可知，研究()f x y a =型的复合函数的单调性用复合法，比用定义法要简便些，一般地有：即当a ＞1时，()f x y a=的单调性与()y f x =的单调性相同；当0＜a ＜1时，()f x y a=的单调与()y f x =的单调性相反．举一反三：【变式1】求函数2323xx y -+-=的单调区间及值域.【答案】3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减. 14(0,3]【解析】[1]复合函数——分解为：u=-x 2+3x-2， y=3u ；[2]利用复合函数单调性判断方法求单调区间； [3]求值域. 设u=-x 2+3x-2， y=3u ，其中y=3u 为R 上的单调增函数，u=-x 2+3x-2在3(,]2x ∈-∞上单增， u=-x 2+3x-2在3[,)2x ∈+∞上单减，则2323xx y -+-=在3(,]2x ∈-∞上单增，在3[,)2x ∈+∞上单减.又u=-x 2+3x-22311()244x =--+≤， 2323x x y -+-=的值域为14(0,3].【变式2】求函数2-2()(01)xxf x a a a =>≠其中，且的单调区间.【解析】当a>1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为增函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()(-1)x xf x a =∞在区间，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数；当0<a<1时，外层函数y=a u 在()-∞+∞，上为减函数，内函数u=x 2-2x 在区间(1)-∞，上为减函数，在区间[)1+∞，上为增函数，故函数2-2()xxf x a =在区间(1)-∞，上为增函数，在区间[)1,+∞上为减函数.例4．证明函数1()(1)1x xa f x a a -=>+在定义域上为增函数. 【思路点拨】利用函数的单调性定义去证明。

指数函数的单调性及应用

ʏ刘长柏指数函数是高考的必考知识点,高考侧重考查其单调性在解题中的灵活运用㊂下面通过归类举例分析,着重说明指数函数的单调性的解题应用,目的在于帮助同学们加深对指数函数的单调性的理解与认识㊂一㊁判断指数函数的单调性例1 已知f x=a -b2x +1是R 上的奇函数,且f 1 =13㊂(1)求f (x )的解析式㊂(2)判断函数f (x )的单调性,并根据定义证明㊂(1)已知f x=a -b2x +1是R 上的奇函数,且f 1 =13,所以f0 =a -b 2=0,f1 =a -b 3=13,解得a =1,b =2,所以函数fx =1-22x +1㊂(2)根据指数函数的单调性可判断fx =1-22x +1是R 上的增函数㊂下面用定义证明单调性㊂设x 1,x 2是R 上任意给定的两个实数,且x 1<x 2,则f x 1 -f x 2=1-22x 1+1-1-22x 2+1=2(2x 1-2x2)2x 1+1 ㊃2x 2+1㊂因为x 1<x 2,所以2x 2>2x 1,2x 1+1>0,2x2+1>0,所以f (x 1)-f (x 2)<0,即f x 1 <fx 2 ,所以函数y =f x 在R 上是单调递增函数㊂指数函数的单调性与底数a 的大小有关,当0<a <1时,指数函数单调递减;当a >1时,指数函数单调递增㊂指数函数单调性的证明,可借助函数单调性的定义进行证明㊂练习1:设函数f x =12x-2x,则fx ( )㊂A .是偶函数,且在0,+ɕ 上单调递增B .是偶函数,且在0,+ɕ 上单调递减C .是奇函数,且在0,+ɕ 上单调递增D .是奇函数,且在0,+ɕ 上单调递减提示:函数f x=12x-2x=2-x-2x的定义域为R ㊂由f -x=2x -2-x =-(2-x -2x)=-f (x ),可知函数f x 为奇函数㊂因为y =12x为减函数,y =-2x为减函数,又函数f x=12x-2x=12x+(-2x),所以f x是定义在R 上的减函数㊂故f x 是奇函数,且是R 上的减函数㊂应选D ㊂二㊁判断指数型复合函数的单调性例2 函数f (x )=122x 2-3x +1的单调递减区间为( )㊂A.(1,+ɕ) B .-ɕ,34C .-ɕ,1D .34,+ɕ因为函数u =2x 2-3x +1的对称轴为x =34,在区间-ɕ,34 上单调递减,在区间34,+ɕ 上单调递增,函数y =12 u在定义域内是单调递减函数,所以根据复合函数单调性的同增异减法则得函数f (x )=122x 2-3x +1的单调递减区间为34,+ɕ㊂应选D㊂指数型复合函数单调性的判断,可利用基本初等函数91知识结构与拓展高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.的单调性,结合同增异减法则进行判断㊂练习2:函数y =12-x2+2x的单调递增区间是( )㊂A.[-1,+ɕ)B .(-ɕ,-1]C .[1,+ɕ)D .(-ɕ,1]提示:令t =-x 2+2x ,则y =12t㊂因为t =-x 2+2x 在(-ɕ,1]上单调递增,在[1,+ɕ)上单调递减,又y =12t在定义域内为减函数,所以由复合函数的单调性得y =12-x 2+2x 在(-ɕ,1]上单调递减,在[1,+ɕ)上单调递增㊂应选C ㊂三㊁利用指数函数的单调性求参数的取值范围例3 已知函数f (x )=12x 2-2x +5在a ,+ɕ 上单调递减,则实数a 的取值范围是( )㊂A.[1,+ɕ)B .(-ɕ,1]C .(1,+ɕ)D .(-ɕ,1)令g x=x 2-2x +5,可知其图像的开口向上,且对称轴为x =1,所以函数g x 在(-ɕ,1]上单调递减,在[1,+ɕ)上单调递增㊂指数函数y =12g (x )在定义域上单调递减,结合复合函数的单调性法则得函数f x 在(-ɕ,1]上单调递增,在[1,+ɕ)上单调递减㊂又函数f (x )在a ,+ɕ 上单调递减,所以a ȡ1,即实数a 的取值范围是[1,+ɕ)㊂应选A㊂由指数型函数的单调性求参数的取值范围,仍然是利用基本初等函数的单调性,结合同增异减法则进行求解㊂练习3:已知函数f x=a x,x ȡ1,1-3a x +53,x <1在R 上单调递减,则实数a 的取值范围是( )㊂A .13,23B .1,2C .13,12D .0,23提示:因为f x在R 上单调递减,所以0<a <1,1-3a <0,1-3a +53ȡa ,解得13<a ɤ23,即实数a 的取值范围是13,23 ㊂应选A ㊂四㊁根据指数函数的单调性解不等式例4 设f x是定义在R 上的偶函数,且当x ɤ0时,f x=2-x,若对任意的x ɪm ,m +1 ,不等式f x ȡf 2x -m 恒成立,则正数m 的取值范围为( )㊂A .m ȡ1B .m >1C .0<m <1D .0<m ɤ1因为函数f x是定义在R 上的偶函数,且当x ɤ0时,fx =2-x,所以当x ȡ0时,-x ɤ0,f x =f-x =2x㊂所以对任意的x ɪR ,fx =2x㊂对任意的x ɪm ,m +1 ,不等式f x ȡf 2x -m 恒成立,即2xȡ22x -m,也即x ȡ2x -m 对任意的x ɪm ,m +1 恒成立,且m 为正数㊂由此可得,x ȡ2x -m ,所以x ɤ2m ,所以m +1ɤ2m ,可得m ȡ1㊂应选A㊂根据指数函数的单调性解不等式,先要掌握指数函数的相关性质,再利用单调性转化为具体的不等式进行求解㊂练习4:设函数f x=2x -2-x +x 3,则使得不等式f 2x -1 +f 3 <0成立的实数x 的取值范围是㊂提示:函数f x的定义域为R ,满足f-x =2-x -2x -x 3=-f x ,可知函数fx 是奇函数㊂由解析式知函数f x 是增函数,原不等式可化为f 2x -1 <f -3 ,所以2x -1<-3,解得x <-1,即实数x 的取值范围是-ɕ,-1㊂作者单位:江苏省盐城市时杨中学(责任编辑郭正华)2 知识结构与拓展高一数学 2022年11月Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

2021年人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数(讲解和习题)

人教版高一数学必修一第4单元指数函数与对数函数（讲解和习题）基础知识讲解一．指数函数的定义、解析式、定义域和值域【基础知识】1、指数函数的定义：一般地，函数y＝a x（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）．2、指数函数的解析式：y＝a x（a＞0，且a≠1）【技巧方法】①因为a＞0，x是任意一个实数时，a x是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R．①规定底数a大于零且不等于1的理由：如果a＝0，当x＞0时，a x恒等于0；当x≤0时，a x无意义；如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在．如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要，为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1．二．指数函数的图象与性质【基础知识】1、指数函数y＝a x（a＞0，且a≠1）的图象和性质：y ＝a x a ＞1 0＜a ＜1图象定义域 R 值域（0，+∞）性质过定点（0，1）当x ＞0时，y ＞1； x ＜0时，0＜y ＜1当x ＞0时，0＜y ＜1；x ＜0时，y ＞1在R 上是增函数在R 上是减函数2、底数与指数函数关系①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a ＞l 时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y 轴；同样地，当0＜a ＜l 时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x 轴． ①底数对函数值的影响如图．①当a ＞0，且a ≠l 时，函数y ＝a x 与函数y ＝的图象关于y 轴对称．3、利用指数函数的性质比较大小：若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较：若底数不同而指数相同，用作商法比较；若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值．三．二次函数的性质与图象【二次函数】二次函数相对于一次函数而言，顾名思义就知道它的次数为二次，且仅有一个自变量，因变量随着自变量的变化而变化．它的一般表达式为：y＝ax2+bx+c（a≠0）【二次函数的性质】二次函数是一个很重要的知识点，不管在前面的选择题填空题还是解析几何里面，或是代数综合体都有可能出题，其性质主要有初中学的开口方向、对称性、最值、几个根的判定、韦达定理以及高中学的抛物线的焦点、准线和曲线的平移．这里面略谈一下他的一些性质．①开口、对称轴、最值与x轴交点个数，当a＞0（＜0）时，图象开口向上（向下）；对称轴x＝﹣；最值为：f（﹣）；判别式①＝b2﹣4ac，当①＝0时，函数与x轴只有一个交点；①＞0时，与x轴有两个交点；当①＜0时无交点．①根与系数的关系．若①≥0，且x1、x2为方程y＝ax2+bx+c的两根，则有x1+x2＝﹣，x1•x2＝；①二次函数其实也就是抛物线，所以x2＝2py的焦点为（0，），准线方程为y＝﹣，含义为抛物线上的点到到焦点的距离等于到准线的距离．①平移：当y＝a（x+b）2+c向右平移一个单位时，函数变成y＝a（x﹣1+b）2+c；四．指数型复合函数的性质及应用【基础知识】指数型复合函数性质及应用：指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（a x）与y＝a f（x）复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理U＝g（x）y＝a u y＝a g（x）增增增减减增增减减减增减．五．指数函数的单调性与特殊点【基础知识】1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a 的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．2、同增同减的规律：（1）y＝a x如果a＞1，则函数单调递增；（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．3、复合函数的单调性：（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．六．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．特别提醒：（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．七．指数式与对数式的互化【基础知识】a b＝N①log aN＝b；指数方程和对数方程主要有以下几种类型：（1）a f（x）＝b①f（x）＝log a b；log a f（x）＝b①f（x）＝a b（定义法）（2）a f（x）＝a g（x）①f（x）＝g（x）；log a f（x）＝log a g（x）①f（x）＝g（x）＞0（同底法）（3）a f（x）＝b g（x）①f（x）log m a＝g（x）log m b；（两边取对数法）（4）log a f（x）＝log b g（x）①log a f（x）＝；（换底法）（5）A log x+B log a x+C＝0（A（a x）2+Ba x+C＝0）（设t＝log a x或t＝a x）（换元法）八．对数的运算性质【基础知识】对数的性质：①＝N；①log a a N＝N（a＞0且a≠1）．log a（MN）＝log a M+log a N；log a＝log a M﹣log a N；log a M n＝n log a M；log a＝log a M．九．换底公式的应用【基础知识】换底公式及换底性质：（1）log a N＝（a＞0，a≠1，m＞0，m≠1，N＞0）．（2）log a b＝，（3）log a b•log b c＝log a c，十．对数函数的定义域【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．十一．对数函数的值域与最值【基础知识】一般地，我们把函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是（0，+∞），值域是R．定点：函数图象恒过定点（1，0）十二．对数值大小的比较【基础知识】1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）十三．对数函数的单调性与特殊点【基础知识】对数函数的单调性和特殊点：1、对数函数的单调性当a＞1时，y＝log a x在（0，+∞）上为增函数当0＜a ＜1时，y ＝log a x 在（0，+∞）上为减函数 2、特殊点对数函数恒过点（1，0）十四．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a ＞10＜a ＜1图象定义域（0，+∞）值域 R 定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x ＞1时，y ＞0；当0＜x ＜1，y ＜0当x ＞1时，y ＜0；当0＜x ＜1时，y ＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【技巧方法】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十五．指数函数与对数函数的关系【基础知识】指数函数和对数函数的关系：（1）对数函数与指数函数互为反函数，它们的定义域、值域互换，图象关于直线y＝x对称．（2）它们都是单调函数，都不具有奇偶性．当a＞l时，它们是增函数；当O＜a＜l时，它们是减函数．（3）指数函数与对数函数的联系与区别：十六．反函数【基础知识】【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x①A）的值域是C，根据这个函数中x，y的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y①C）叫做函数y＝f（x）（x①A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x）反函数y＝f （﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．【性质】反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且f（x）＝C（其中C 是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．（5）一切隐函数具有反函数；（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；（8）反函数是相互的且具有唯一性；（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．十七．对数函数图象与性质的综合应用【基础知识】1、对数函数的图象与性质：a＞10＜a＜1图象定义域（0，+∞）值域R定点过点（1，0）单调性在（0，+∞）上是增函数在（0，+∞）上是减函数函数值正负当x＞1时，y＞0；当0＜x＜1，y＜0当x＞1时，y＜0；当0＜x＜1时，y＞02、由对数函数的图象确定参数的方法已知对数型函数的图象研究其解析式及解析式中所含参数的取值范围问题，通常是观察图象，获得函数的单调性、对称性、奇偶性、经过的特殊点等，由此确定函数解析式以及其中所含参数的取值范围．【解题方法点拨】1、4种方法﹣﹣解决对数运算问题的方法（1）将真数化为底数（或已知对数的数）的幂的积，再展开；（2）将同底对数的和、差、倍合并；（3）利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用；（4）利用常用对数中的lg 2+lg 5＝1．2、3个基本点﹣﹣对数函数图象的三个基本点（1）当a＞1时，对数函数的图象“上升”；当0＜a＜1时，对数函数的图象“下降”．（2）对数函数y＝log a x（a＞0，且a≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a，1），（，﹣1）函数图象只在第一、四象限．（3）底数的大小与对数函数的图象位置之间的关系．3、2个应用﹣﹣对数函数单调性的应用（1）比较对数式的大小：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论．①若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．①若底数与真数都不同，则常借助1，0等中间量进行比较．（2）解对数不等式：形如log a x＞log a b的不等式，借助y＝log a x的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a＞1与0＜a＜1两种情况讨论．形如log a x＞b的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式．十八．函数的零点【基础知识】一般地，对于函数y＝f（x）（x①R），我们把方程f（x）＝0的实数根x叫作函数y＝f （x）（x①D）的零点．即函数的零点就是使函数值为0的自变量的值．函数的零点不是一个点，而是一个实数．十九．函数零点的判定定理【基础知识】1、函数零点存在性定理：一般地，如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f（a）•f（b）＜0，那么函数y＝f（x）在区间（a，b）内有零点，即存在c①（a，b），使得f（c）＝O，这个c也就是f（x）＝0的根．【技巧方法】（1）根据该定理，能确定f（x）在（a，b）内有零点，但零点不一定唯一．（2）并不是所有的零点都可以用该定理来确定，也可以说不满足该定理的条件，并不能说明函数在（a，b）上没有零点，例如，函数f（x）＝x2﹣3x+2有f（0）•f（3）＞0，但函数f（x）在区间（0，3）上有两个零点．（3）若f（x）在[a，b]上的图象是连续不断的，且是单调函数，f（a）．f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有唯一的零点．2、函数零点个数的判断方法：（1）几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f（x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．特别提醒：①“方程的根”与“函数的零点”尽管有密切联系，但不能混为一谈，如方程x2﹣2x+1＝0在[0，2]上有两个等根，而函数f（x）＝x2﹣2x+1在[0，2]上只有一个零点；①函数的零点是实数而不是数轴上的点．（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根．二十．函数的零点与方程根的关系【基础知识】函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．二十一. 二分法【基础知识】二分法即一分为二的方法．设函数f（x）在[a，b]上连续，且满足f（a）•f（b）＜0，我们假设f（a）＜0，f（b）＞0，那么当x1＝时，若f（x1）＝0，这说x1为零点；若不为0，假设大于0，那么继续在[x1，b]区间取中点验证它的函数值为0，一直重复下去，直到找到满足要求的点为止．这就是二分法的基本概念．习题演练一．选择题（共12小题）1．已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是( ) A ．()1,1- B ．()(),11,-∞-+∞C ．()0,1D ．()(),01,-∞⋃+∞2．下列式子计算正确的是（） A ．m 3•m 2＝m 6 B ．（﹣m ）2＝21m - C ．m 2+m 2＝2m 2D ．（m +n ）2＝m 2+n 23．在同一直角坐标系中，函数11,log (02a x y y x a a ⎛⎫==+> ⎪⎝⎭且1)a ≠的图象可能是（） A ． B ．C ．D ．4．设2,8()(8),8x x f x f x x ⎧≤=⎨->⎩，则(17)f =（）A ．2B ．4C ．8D ．165．函数13x y a +=-（0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（） A ．()0,2-B ．()1,3--C ．()0,3-D ．()1,2--6．设0.3log 0.6m =，21log 0.62n =，则（） A ．m n m n mn ->+> B ．m n mn m n ->>+ C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+7．已知函数1()ln 1f x x x =--，则()y f x =的图象大致为（）．A ．B ．C ．D ．8．已知2log a e =，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>9．函数()2xf 的定义域为[1,1]-，则()2log y f x =的定义域为（）A ．[1,1]-B．C ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[1,4]10．设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（） A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,)2-∞-单调递减11．已知函数()ln 1,01,0xx x f x e x ⎧+>=⎨+≤⎩，()22g x x x =--，若方程()()0f g x a -=有4个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（） A ．(),1-∞B ．(]0,1C ．(]1,2D ．[)2,+∞12．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫-⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫⎪⎝⎭二．填空题（共6小题）13．计算：13021lg8lg 25327e -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭__________．14．不等式2log 5x a -<对任意[]4,16x ∈恒成立，则实数a 的取值范围为____________. 15．已知当(]1,2x ∈时，不等式()21log a x x -≤恒成立，则实数a 的取值范围为________.16．若关于x 的方程11224a x x =-++-的解集为空集，求实数a 的取值范围______. 17．已知函数223,3()818,3x x f x x x x -⎧<=⎨-+≥⎩，则函数()()2g x f x =-的零点个数为_________．18．已知定义在R 上的函数()f x 满1(2)()f x f x +=，当[0,2)x ∈时，()x f x x e =+，则(2019)f =_______.三．解析题（共6小题）19．已知函数()log (1)log (3)(01)a a f x x x a =-++<<.（1）求函数()f x 的定义域；（2）求函数()f x 的零点；（3）若函数()f x 的最小值为－4，求a 的值.20．已知定义域为R 的函数，12()2x x bf x a+-+=+是奇函数.（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围.21．设()log (1)log (3)(0,1)a a f x x x a a =++->≠，且(1)=2f . (1)求a 的值；(2)求()f x 在区间30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值.22．已知实数0a >，定义域为R 的函数()x x e af x a e=+是偶函数，其中e 为自然对数的底数．（①）求实数a 值；（①）判断该函数()f x 在(0,)+∞上的单调性并用定义证明；（①）是否存在实数m ，使得对任意的t R ∈，不等式(2)(2)f t f t m -<-恒成立．若存在，求出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．23．函数()f x 对任意的实数m ，n ，有()()()f m n f m f n +=+，当0x >时，有()0f x >．（1）求证：()00=f ．（2）求证：()f x 在(),-∞+∞上为增函数．（3）若()11f =，解不等式()422x xf -<．24．甲商店某种商品4月份（30天，4月1日为第一天）的销售价格P （元）与时间t （天）的函数关系如图所示（1），该商品日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系如图(2)所示.（1）（2）（1）写出图（1）表示的销售价格与时间的函数关系式()P f t =，写出图（2）表示的日销售量与时间的函数关系式()Q g t =及日销售金额M （元）与时间的函数关系式()M h t =. （2）乙商店销售同一种商品，在4月份采用另一种销售策略，日销售金额N （元）与时间t （天）之间的函数关系式为22102750N t t =--+，试比较4月份每天两商店销售金额的大小关系。

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指数函数比较大小与单调性
设，函数在区间上的最大值是最小值的倍，则（
A．2 B．3 C．D．4 6，7，的大小顺序是（
A．0．7<< 6B．0．7<6<
C．<0．7<6D．<6<0．7
设，，，则（
A．B．C．D．
已知三个实数：、、，它们之间的大小关系是
A．B．C．D．
若，则（
A．B．C．D．
函数在上的最大值与最小值的和为，则函数在的最大值是（
A．B．C．
D．
三个数之间的大小关系是（
A．B．C．D．
设，则
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b 下图是指数函数的图象，则与的大小关
A．a＜b＜1＜c＜d B．
C．1＜a＜b＜c＜d D．a＜b＜1＜d＜c
当且时，函数的图象一定经过点（
A．B．C．D．设，则的大小关系是（
A．B．C．D．已知，，，则
A．B．C．D．
13. 的大小关系是（
A．B．C．D．三个数的大小关系为（
A．
B．
C．
D．
函数的图象必经过点（
A．（0，1）B．（1，1）C．（2， 0）D．（2，2）0< <1，则函数的图象必定不经过（
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限函数的图象必经过定点
设，，，则从小到大的顺序是
函数的图像恒过定点
若函数恒过定点，则_____________.
已知，那么、、的大小关系为（用号表示）。

如果指数函数在上的最大值与最小值的差为，则实数
满足的的取值集合是
已知函数在区间上的函数值总小于求的。

指数函数比较大小与单调性

利用指幂对函数单调性比较大小解答题

指数函数及其性质

指数函数比较大小及复合函数的单调性测试题(含答案)

指数、对数、幂函数总结归纳

高中数学第四章指数函数与对数函数指数函数第2课时指数函数及其性质的应用学案新人教A版必修第一册

知识讲解_指数函数及其性质_基础

指数函数的单调性及应用

2021年人教版高一数学必修一第4单元 指数函数与对数函数(讲解和习题)

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