图形的计数
四年级奥数第二讲图形的计数问题含答案
四年级奥数第⼆讲图形的计数问题含答案第⼆讲图形的计数问题⼀、知识点：⼏何图形计数问题往往没有显⽽易见的顺序，⽽且要数的对象通常是重叠交错的，要准确计数就需要⼀些智慧了．实际上，图形计数问题，通常采⽤⼀种简单原始的计数⽅法－⼀枚举法．具体⽽⾔，它是指把所要计数的对象⼀⼀列举出来，以保证枚举时⽆⼀重复、．⽆⼀遗漏，然后计算其总和．正确地解答较复杂的图形个数问题，有助于培养同学们思维的有序性和良好的学习习惯．⼆、典例剖析：例（1）数出右图中总共有多少个⾓分析：在∠AOB内有三条⾓分线OC1、OC2、OC3，∠AOB被这三条⾓分线分成4个基本⾓，那么∠AOB内总共有多少个⾓呢？⾸先有这4个基本⾓，其次是包含有2个基本⾓组成的⾓有3个（即∠AOC2、∠C1OC3、∠C2OB），然后是包含有3个基本⾓组成的⾓有2个（即∠AOC3、∠C1OB），最后是包含有4个基本⾓组成的⾓有1个（即∠AOB），所以∠AOB内总共有⾓：4＋3＋2＋1＝10（个）解：4＋3＋2＋1＝10（个）答：图中总共有10个⾓。
练⼀练：数⼀数右图中总共有多少个⾓？答案: 总共有⾓：10+9+8+…+4+3+2+1=55（个）例（2 ）数⼀数共有多少条线段？共有多少个三⾓形？分析：①要数多少条线段：先看线段AB、AD、AE、AF、AC、上各有2个分点，各分成3条基本线段，再看BC、MN、GH这3条线段上各有3个分点，各分成4条基本线段.所以图中总共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）.②要数有多少个三⾓形，先看在△AGH中，在GH上有3个分点，分成基本⼩三⾓形有4个.所以在△AGH中共有三⾓形4+3+2+1=10（个）.在△AMN与△ABC中，三⾓形有同样的个数，所以在△ABC中三⾓形个数总共：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）解：：①在△ABC中共有线段是：（3+2+1）×5+（4+3+2+1）×3=30+30=60（条）②在△ABC中共有三⾓形是：（4+3+2+1）×3=10×3=30（个）答：在△ABC中共有线段60条，共有三⾓形30个。
图形的计数奥数拓展
千里之行，始于足下。
图形的计数【奥数拓展】
【例1】
下面的图形有多少个？你会数吗？
【例2】
你能按照这个侧面图算算砌好这面墙一共需要多少块砖吗？
【例3】
数一数，下面的方块各有多少？
如图所示为一堆转，中央最高一摞是10块，它的左右两边各是9块，再往两边是8块、7块、6块、5块、4块、3块、2块、1块。
问：这堆砖共有多少块？
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朽木易折，金石可镂。
【例4】
下面这堆木方块共有多少块？(中间画阴影的部分从上到下是空心)
这堆木方块共有多少块？(中间画阴影的部分从上到下是空心)
【例5】
用10个小正方体摆成一个“工”字形(如下图)，然后又将表面涂成粉色(下面也被涂色)，最后又把小正方体分开，数一数；
⑴3面涂成粉色的小正方体有( )个。
⑵4面涂成粉色的小正方体有( )个。
⑶5面涂成粉色的小正方体有( )个。
千里之行，始于足下。
将8个小立方块组成“丁”字型，再将表面都涂成粉色，然后再把小立方块分开。
⑴3面被涂成粉色的小立方块有( )个。
⑵4面被涂成粉色的小立方块有( )个。
⑶5面被涂成粉色的小立方块有( )个。
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一年级下册数学讲义-思维拓展：图形的计数(含答案PDF)全国通用
第二讲图形的计数一、平面图形1、规则图形方法：开火车①单层总数=基本线段数依次加到1②多层三角形A、边到边B、角到边2、不规则图形方法：分类数①按大小②按方向二、立体图形1、分层数2、空白=实心-空心3、分割法【例1【解析】要数清图中一共有多少个圆点点，小朋友们不妨先想一想我们有哪些观察角度。
方法一：从上到下观察，分层数，那么总数是：1+2+3+4+5+6+7+6+5+4+3+2+1=49（个）方法二：斜着看，有7排7列个圆点点，总数是：7+7+7+7+7+7+7=49（个）【例2】时钟1时敲1下，2时敲2下，3时敲3下，……照这样敲下去，从1时起到时钟共敲28下时，时钟显示是几时？当共敲80下的时候又是几时？【解析】注意：13点的时候指针指向1，敲击一下，敲击的次数与时钟上时针所指数字相同；记住一些常用的加和结果可以方便解题。
（1）1+2+3+4+5+6+7=28（下），所以共敲28次的时候是7时的最后一次敲击。
（2）从1时到12时一共敲了1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12=78（下）（这里小朋友要是背过常用加和结果就可以迅速发现从1加到12的结果是78了），过了12时，又会从1开始敲，78+1+1=80（下），所以敲击第80下的时候，时钟显示的是2时，此时正好敲2时的第一下。
【例3】艾迪、薇儿、加加、减减和6个士兵一起分54颗珍珠。
要求每个人都分到珍珠，但分到的珍珠颗数又不能一样多，怎么分？如果不能分，至少应该有多少颗珍珠才能够分？【解析】小朋友们一定要注意，一共有10个人，不要见到数字6就以为只有6个人啦。
每个人都分到珍珠，但颗数又不能相同，我们不知道分到珍珠最多的人可以分到多少颗，但是我们可以让分的最少的只分到1个，然后其他人依次比上一个人多拿一个，这样就能算出至少需要多少颗珍珠才够分。
至少需要的珍珠数为：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=55（颗），所以54颗珍珠不够分。
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）
图形的计数（四年级奥数秋季思维训练教程）教学内容：第二讲图形的计数（四年级秋季思维训练教程）课时：第一、二课时课型：新授课教学目的：知识与技能理解并掌握数线段的两种方法：基本线段法、定端点法。
学会灵活地将数图形（三角形、正方形、长方形等）问题转化为数线段问题。
过程与方法通过引导学生复习旧知，鼓励学生总结归纳数线段的基本方法，培养学生的观察能力、抽象概括能力，增强学生探究问题的本领。
在观察、分析图形的过程中，要逐步培养学生掌握从特殊到一般的研究问题的方法。
情感态度与价值观在观察、总结归纳数线段的基本方法的过程中，体会探索新知的乐趣，养成善于思考，勇于探索，乐于交流的习惯。
在数图形个数时，要求按一定的顺序去做，做到不遗漏，不重复，提高学生的逻辑思维能力，养成严密的数学思维习惯。
教学重、难点：重点：通过观察、分析复杂图形并数出其中基本图形的个数的过程中，促进学生掌握类比转化的方法，培养学生分析和解决问题的能力。
难点：如何将复杂图形的计数问题转化为线段的计数问题教具、学具准备：教学过程：复习旧知，凝疑导入同学们，看看我左手上是什么？（粉笔）数数有几只？（三只）。
再看看老师右手上拿了什么？（纸）瞅瞅它们共有几张呢？我们两三岁时家人就开始教我们数数了，所以刚刚那两个问题对同学们来说都是小菜一碟，有没有？但是，不知，同学们还是否记得我们之前学过一种稍微复杂一点的数数问题---数线段。
下面我们来简单地复习一下：问题一：数一数下面图形中共有多少条线段？(10条)线段：有两个端点的直线组成的图形要求：不遗漏不重复展示与总结：定端点法：4+3+2+1=10（条）基本线段法：有4条基本线段由两条基本线段组成的线段：3条由三条基本线段组成的线段：2条由四条基本线段组成的线段：1条共有4+3+2+1=10（条）这道题有没有唤起同学们对以前学过知识的记忆呢？同学们应该都知道，学习是一个连续且不断发展的过程，随着我们年龄和年级的不断增加，我们会对同一个大问题进行更深入的研究，所以，理所当然，数数问题也需要我们对它进行更深一步的探究。
第二讲图形的计数教案
第二讲图形的计数知识点：本讲学习的主要内容有：（一）线段、角、三角形的计数；（二）长方形、正方形、立体的计数。
图形计数是指对满足一定条件的某图形进行观察并逐一数出来。
在计数过程中，必须有次序有条理地进行计数：做不重复也不遗漏。
最常用的方法是：分类计数，利用基本图形计数。
教学目标：通过本讲的学习，学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成；掌握图形的基本方法做到不重不漏；能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
重难点：1.学生能认识各种要数图形的基本特征和基本构成。
2.掌握数图形的基本方法做到不重复不遗漏。
3.能够正确能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
第一课时教学时间：教学内容：数线段和角教学目标：1.通过学习让学生掌握数角和线段的方法，做到不遗漏不重复，并能正确，有序，合理，迅速地数出图形。
2.培养学生思维的有序性和良好的学习习惯。
重难点：1.掌握数线段和角的方法，做到不遗漏不重复。
2.能够正确，有序，合理，迅速地数出图形。
教学过程：一.例题1如下图中有多少条线段？ＡＢＣＤＥ（1）学生先独立数一数，并交流结论。
（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中的线段AB、BC、CD、DE看作是基本线段，那么：由1条基本线段构成的线段有AB、BC、CD、DE共4条；由2条基本线段构成的线段有AC、BD、CE共3条；由3条基本线段构成的线段有AD、BE共2条；由4条基本线段构成的线段有AE共1条；方法二：从线段的两个端点出发去数：以A点为左端点的线段有AB、AC、AD、AE共4条；以B点为左端点的线段有BC、BD、BE共3条；以C点为左端点的线段有CD、CE共2条；以D点为左端点的线段有DE共1条；2.仿练：如图，数一数图中各有多少条线段？二、教学数角1.例2如下图中共有几个角？O A（1）组织学生数一数，并交流数的方法和结论（2）教师引导学生得出正确答案，并总结方法方法一：将图中AOB COD看作基本角，那么：由1个基本角构成的角有AOB BOC COD 共3个；由2个基本角构成的角有AOC BOD 共2个；由3个基本角构成的角有AOD共1个；方法二：从角的一边出发来数以OA为一边的角有AOB AOC AOD 共3个；以OB为一边的角有BOC BOD 共2个；以OC 为一边的角只有COD1个。
枚举法—图形计数
枚举法图像计数要求：分类要全面，枚举要清，分类不全，就会造成遗漏，当分类确定之后，要例1、下列图中有多少个三角形分析：分类：第一类有6个第二类有6个第三类有3个总共有6+6+315（个）例2、下图中有多少个正方形？分类：由1个正方形组成的有24个。
由4个正方形组成的有13个。
由9个正方形组成的有4个。
由正方形组成的有1个总共：24+13+4+1=42个练习1：你能数出下面中共有多少个三角形？在图中，一共有多少个四边形，多少条线段图中一共有多少个正方形例3、如右图所示，ABCD是一个正方形，边长为2厘米，沿着图中线段从A到C的最短长度为4厘米，问这样的最短路线共有多少条？请一一画出来。
B枚举计数例3、在算盘上用两粒珠子可以表示几个不同的三位数，分别是哪几个数？分析：根据两粒珠子的位置，将其分类：1）两粒珠子分别均在上面：则有505 550 有2个2)两粒珠子分别均在下面：则有101 110 200 有3个3)1粒珠子在上面，1粒在下面：150 510 105 501 600 有5个总共2+3+5=10个例4、用数字7 、8、9可以组成多少个不同的三位数？分别是哪几个数字？分析：根据百位上的数字不同，可以分成三类百位上是7的有789 798百位上是8的有879 897百位上有9的有978 987总共有2+2+2=6个例5、往返于南京和上海之间的沪宁高速列车沿途要经过常州，无锡，苏州三站。
问：铁路部门要为这趟车准备多少张车票分析：根据起点位置的不同进行分类南京：南京—常州南京—无锡南京—苏州南京—上海常州：常州—无锡常州—苏州常州—上海无锡：无锡—苏州无锡—上海苏州：苏州—上海总共有：（4+3+2+1）×2=20（种）例6、在10和1000之间有多少个数是3的倍数？分析：10÷3=3……1所以在10以内有3个是3的倍数1000÷3=333……1所以在1000以内有333个是3的倍数。
奥数2年级图形计数
图形计数：计算某一图形的个数。
要求： 1、计数时不重复，即不能 把同一图
形计数两次。 2、不遗漏。 3、要按一定的顺序或按一某一个标
准统一分类去计算，即有规律地 计数。
图形计数方法： 1、线段端点法 2、基本图形数量法 3、分式法 4、分类法
典型例题 例1：下图中有多少条线段？
AB C
D
练习： 下图中有多少条线段？
练习： 下图中有多少条线段？
……
A C1 C2
C20 B
典型例题 例2：下图中有多少个三角形？
练习 下图中有多少个三角形？
典型例题 例3：下图中有多少个三角形？
A
D NM
BF E
CHale Waihona Puke 练习 下图中有多少个三角形？
典型例题 例4：下图中有多少个长方形？
练习 下图中有多少个长方形？
典型例题 例4：下图中有多少个正方形？
练习 下图中有多少个正方形？
从武汉到上海的客船，中途要停靠5 站，航运公司要为这艘客船准备多 少种不同的船票价？
有10个小朋友，每个小朋友都要和 其他小朋友拍手，这些小朋友一共 要拍多少次手？
五年级上册数学试题-奥数：图形定稿全国通用
（2）
3
例 6．如图，从甲地到乙地有 2 条路可走，从乙地到丙地有 3 条路可走；从甲地到丁地有 4 条路可走， 从丁地到丙地有 2 条路可去。从甲地到丙地共有多少种不同的走法？
【试一试】 1、如果线段 AB 上共有 8 个点（包括 A、B 两点），那么，共有多少条线段？
2、联结 A、B、C、D 四个城市的道路如图所示： （1）从 A 城经 B 城到 C 城的不同走共有多少种？ （2）从 A 城到 C 城的不同走法共有多少种？
厘米?
AE
FB
D H
【试一试】
GC
1、求出阴影部分的周长。
2、如右图，阴影部分是正方形，求出最大的长方形的周长。
5 厘米
A
B
E
H
7 厘米
C
D
E
G
当堂测试
1、下图是一个锯齿状的零件，每一个锯齿的两条线段都长 2 厘米，求这个零件的周长．
2、求图 12、图 13 的周长。
3、图 14 是一座楼房的平面图，这座楼房平面图的周长是多少米？
例 1．一个等腰三角形中，有一个内角的度数是另一个内角的 4 倍，则这个等腰三角形的顶角是 _________度。
【试一试】
1、17 点整，钟面上的分针和时针所组成的角是（ ）。
A、锐角
B、直角
C、钝角
D、平角
2、在直角、锐角、平角、钝角中，度数最小的角是（ ）。
A、 直角
B、锐角
C、平角
D、钝角
3、在一个直角三角形中，已知一个锐角是 68°，则另一个锐角是（ ）。
能力测试（一）…………………………………………………………………25
第六讲
割补 …………………………………………………………28
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图形的计数
【知识要点】
1.要想准确地数出图形中所包含的某一个几何图形的个数，关键是要掌握有条理、有次序地数图形的方法，常用的方法有按顺序数和分类数两种
2.如果一条线段上有n 个分点（包括两个端点）时，那么它上面线段的总条数为 ()1231n ++++-
3.标准图形中长方形的个数是由标准图形相邻两边上线段的条数所确定的，即标准图形中长方形的个数等于相邻两边上线段条数的乘积
4.在数较复杂的图形的个数时，可以先按照一定的标准，把要计数的图形分成不同的类别，一类一类地去数（或算），最后把各类的个数合并起来
【典型题解】
例1.数出下面图形中有多少条线段？
分析：我们可按顺序数线段：首先固定端点A ，以点A 为左端点的线段有5条，再固定端点B ，以点B 为左端点的线段有4条，再依次固定端点C D E F 、、、，分别数出以点C D E F 、、、为左端点的线段的条数，依次是3条、2条、1条、0条，最后求出所有条数之和，也可以直接用计算方法去计算
解：()12345155215++++=+⨯÷=（条）
例2.数出图中锐角的个数
分析：这图是由顶点O 引出的八条射线所组成，每两条射线
夹一个锐角。
如果在图中加条虚线，就可发现，所要数的角
其实就是加虚线后构成的三角形中以O 点为顶点的角，并且
角的个数就是从O 点引出的射线将虚线所截得的线段的条
数，我们可用计算方法求出虚线上线段的条数
解：()1234567177228++++++=+⨯÷=（个）
所以，图中有28个锐角
例3.分别数出下面各图形里长方形的个数
分析与解
（1）先把AD作为宽，再配以AB上不同的线段为长，就得到一个长方形。
而AB上线段共有123410
⨯=（个），即+++=条，所以这个图形中长方形的个数是：10110
()
+++⨯=（个）
1234110
（2）思想同上：AD上线段共有123410
+++=（条）
+++=（条）
AB上线段共有123410
所以，这个图形中长方形的个数是：1010100
⨯=（个）
例4.数出44
⨯的方格图中正方形的个数
分析：这种图形中正方形的个数，可以用分类的方法数，即依次数
出边长分别为1个长度单位、2个长度单位、3个长度单位……的正
方形个数，然后再把个数相加
解：（1）边长为1个长度单位的正方形的个数为：4416
⨯=（个）（2）边长为2个长度单位的正方形的个数为：339
⨯=（个）
（3）边长为3个长度单位的正方形的个数为：224
⨯=（个）（4）边长为4个长度单位的正方形的个数为：1（个）
所以，共有正方形1694130
+++=（个）
【能力训练】
A 卷
1.数出下列每条线上线段的总条数
2.下图共有（）条线段
3.下图共有（）条线段
4.下图共有（）条线段
5.数出下面各图中三角形的个数
6.数出下图中，共有（）个三角形
7.数出下面各图中，锐角的个数
8.下图中共有（）个锐角
9. 图中共有（）个三角形
10.图中共有（）个正方形
B 卷
1.数出下面各图中的三角形的个数
2.图中共有（）个三角形
3.数出下面各图中长方形的个数
4.图中共有（）个长方形
5.图中共有（）条线段
6.数出下图中共有多少个三角形
7.数出下面各图中正方形的个数
8.图中共有多少个三角形
9.数出下面各图形中长方形的个数
10.数一数，下图共有多少个三角形
C 卷
1.图中共有（）个三角形
2.图中共有（）个长方形
3.图中共有（）个正方形
4.图中共有（）个长方形
5.数出下图中含有﹡号的长方形个数
6.数出图中长方形的个数
7.数一数，下图一共有多少个三角形
8.数一数，下面图形中共有多少个长方形（包括正方形）
9.在下图中，各种大小的形如“△”的正三角形与各种大小的形如“▽”的正三角
形的个数之差是多少？
10.三根木棍可以摆成一个小三角形，那么下面这个图形是由多少根木棍组成的？。