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数列的概念与简单表示法PPT课件
否有一定的对应关系 项 1， 1， 1， 1， 1，
2345
序号 1 2 3
4
项 2, 4, 6, 8, 10,,,,
5
,,,
序号 1 2 3 4
5
,,,
数列中的每一个数都对应着一个序号, 反过来,每个序号也都对应着一个数,
项 1， 1， 1， 1， 1， 2345
序号 1 2 3
4
5
,,,
这说明：数列的项是序号的函数,序号从1 开始依次增加时,对应的函数值按次序排出就是 数列,这就是数列的实质,
1 ， 2 ， 2 2 ， 2 3 ， 2 63 1
有穷数列 递增数列
1， 1， 1， 1， 2 234
无穷数列 递减数列
1 ， 2， 3 ， 4， 35 3
有穷数列 递增数列
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 5
无穷数列 摆动数列
数列的一般形式可以写成
( 3 )已知数列 { an }的通项公式
an
n2 n2
1
,那么 0.98 (
)
A.是这个数列的项 ， 且 n 6 ;
B .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
C .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
D .不是这个数列的项 .
an 30
an 3n1
27
24
21
18
15
12
9
6
3
o
1
2
3
4
5
n
问题：如果一个数列 an 的首项a1=1,从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1,
即 an = 2 an-1 + 1 n∈N,n>1 , ※ 你能写出这个数列的前三项吗
2345
序号 1 2 3
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项 2, 4, 6, 8, 10,,,,
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序号 1 2 3 4
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数列中的每一个数都对应着一个序号, 反过来,每个序号也都对应着一个数,
项 1， 1， 1， 1， 1， 2345
序号 1 2 3
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这说明：数列的项是序号的函数,序号从1 开始依次增加时,对应的函数值按次序排出就是 数列,这就是数列的实质,
1 ， 2 ， 2 2 ， 2 3 ， 2 63 1
有穷数列 递增数列
1， 1， 1， 1， 2 234
无穷数列 递减数列
1 ， 2， 3 ， 4， 35 3
有穷数列 递增数列
1 ， 1 ， 1 ， 1 ， 1 5
无穷数列 摆动数列
数列的一般形式可以写成
( 3 )已知数列 { an }的通项公式
an
n2 n2
1
,那么 0.98 (
)
A.是这个数列的项 ， 且 n 6 ;
B .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
C .是这个数列的项 ， 且 n 7 ;
D .不是这个数列的项 .
an 30
an 3n1
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o
1
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n
问题：如果一个数列 an 的首项a1=1,从第二项 起每一项等于它的前一项的2倍再加1,
即 an = 2 an-1 + 1 n∈N,n>1 , ※ 你能写出这个数列的前三项吗
《数列的概念与简单表示法》ppt课件
精品课件
4
精品课件
5
斐波那契数列指的是这样一个数列： 1、1、2、3、5项开始， 每一项都等于前两项之和。
精品课件
6
数列的概念及表示方法
精品课件
7
传说古希腊毕达哥拉斯学派数学家研究的问题：
三角形数
1, 3,
6,
10, .…..
正方形数
1, 4,
9,
问1： 数列 3 1，2 ，3 ，… ，35 改为 3 , 2 ，1 ，… ，35 请问：是不是同一数列？
问2: 数列 4 -1，1，-1，1…… 改为： 1，-1，1，-1……，请问：是不是同一数列？
精品课件
10
数列中的每一个数叫 做这个数列的项。
各项依次叫做这个数列 的第1项，第2 项，······，第n 项， ······
1 2 3 4
a n ( -1 ) n (nN*)
1 ,1 , 1 ,, 1 , 5
=1 a精n品课件 (nN*)
12
例1 写出数列的一个通项公式 ，使它的前4项分别是下列各数：
（1）1，3，5，7；
解：此数列的前四项1，3，5，7都 是序号的2倍减去1，所以通项公式 是：
an 2n1
精品课件
13
数列的分类
(1)按项数分： 项数有限的数列叫有穷数列 项数无限的数列叫无穷数列
(2)按项之间的大小关系：
递增数列， 递减数列，
摆动数列， 常数列。
1 ， 2 ， 22 ， 23 ， 263 1
有穷数列 递增数列
1， 1， 1， 1， 2 234
无穷数列 递减数列
1 ， 2， 3 ， 4， 35 3
数列
精品课件
数列的概念与简单表示法 课件
数列的通项公式与递推公式
数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项) 开始的任一项an与它的前一项_a_n_-1_(或前几项)(n≥2，n∈N*) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式.
数列的递推公式 已知一个数列的首项为a1=a，从第二项起每一项都等于它的前 一项的b倍再加c，即an=ban-1+c，该式子体现了相邻两项之间 的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：
2.(1)由an为负数，得n2-5n+4<0，解得1<n<4.
因为n∈N*，所以n=2，3.故数列有两项为负数.
(2)因为an=n2-5n+4(=n
5 2
)2
9 ，4 所以对称轴为n=
=2.5.
又因n∈N*，故n=2或3时，an有最小值.
5 2
其最小值为22-5×2+4=-2.
类型二 由递推公式求数列的项
an1 an2
a2 a1
an
an a n 1
a n 1 an2
a3 a2
a2 a1
a1
an-1=a1+2a2+…+(n-2)an-2(n≥3).
两式相减得：an-an-1=(n-1)an-1(n≥3)，
所以an=n·an-1，即 =n(n≥3)，
an a n1
所以 a3 a4 a5 an1 an =3×4a×2 5a×3 …a4 ×(na-n12)×ann1，
所以 an (nn！≥3). 又因为a2a1=21，a2=a1=1，所以an=
1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5项
数列的递推公式
如果已知数列{an}的第1项(或前几项)，且从第2项(或某一项) 开始的任一项an与它的前一项_a_n_-1_(或前几项)(n≥2，n∈N*) 间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个
数列的递推公式.
数列的递推公式 已知一个数列的首项为a1=a，从第二项起每一项都等于它的前 一项的b倍再加c，即an=ban-1+c，该式子体现了相邻两项之间 的关系，称之为数列的递推公式，结合该定义探究下面的问题：
2.(1)由an为负数，得n2-5n+4<0，解得1<n<4.
因为n∈N*，所以n=2，3.故数列有两项为负数.
(2)因为an=n2-5n+4(=n
5 2
)2
9 ，4 所以对称轴为n=
=2.5.
又因n∈N*，故n=2或3时，an有最小值.
5 2
其最小值为22-5×2+4=-2.
类型二 由递推公式求数列的项
an1 an2
a2 a1
an
an a n 1
a n 1 an2
a3 a2
a2 a1
a1
an-1=a1+2a2+…+(n-2)an-2(n≥3).
两式相减得：an-an-1=(n-1)an-1(n≥3)，
所以an=n·an-1，即 =n(n≥3)，
an a n1
所以 a3 a4 a5 an1 an =3×4a×2 5a×3 …a4 ×(na-n12)×ann1，
所以 an (nn！≥3). 又因为a2a1=21，a2=a1=1，所以an=
1.根据框图，建立所打印数列的递推公式，数列的前5项
数列的概念与简单表示法PPT课件
2．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2， 3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的 函数解析式，即f(n)＝an(n∈N*)．
由数列的前几项求数列的通项公式
[典题导入]
(2014·西安五校联考)下列公式可作为数列{an}：1，2，1，2，
1，2，…的通项公式的是
[跟踪训练] 1．写出下面数列的一个通项公式．
(1)3，5，7，9，…； (2)12，34，78，1156，3312，…； (3)3，33，333，3 333，…； (4)－1，23，－13，34，－15，36，….
解析 (1)各项减去 1 后为正偶数，所以 an＝2n＋1. (2)每一项的分子比分母少 1，而分母组成数列 21，22，23，24，…， 所以 an＝2n2－n 1. (3)将数列各项改写为93，939，9399，9 9399，…，分母都是 3，而分 子分别是 10－1，102－1，103－1，104－1，…. 所以 an＝13(10n－1)．
A [a8＝S8－S7＝64－49＝15.]
()
3．已知数列{an}的通项公式为 an＝n＋n 1，则这个数列是
A．递增数列
B．递减数列
()
C．常数列
D．摆动数列
A [an＋1－an＝nn＋ ＋12－n＋n 1＝（（n＋n＋1）1）2－（n（n＋n＋2）2）
＝（n＋1）1（n＋2）>0.]
4．(教材习题改编)已知数列{an}的通项公式是 an＝ 22· n－3n5－（1（n为n为奇偶数数）），，则 a4·a3＝________． 解析 a4·a3＝2×33·(2×3－5)＝54. 答案 54
5．已知数列{an}的通项公式为 an＝pn＋qn，且 a2＝32，a4＝23，则
2.1-数列的概念与简单表示法(优秀课件)
从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列
（3）常 数 列：各项都相等的数列
（4）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
思考：观察下列数列的特点，用适当的数填空，并猜想
这些数列的第n项an是什么？
（1）1 ， 4
，9，16，25， 36 ，49，… ；
（2）2，4， 8
解：（1）a1 1 4 1 2， a2 4 8 1 3
a3 9 12 1 2， a4 16 16 1 1
（2）∵an=-n2+4n-1= -(n-2)2+3
∴当n=2时，an取到最大值3
注意：an=-n2+4n-1可看成以n为自变量的一个函数
4．已知数列 an 的通项公式
它的最小项是（ D ）
A.第一项
B. 第二项
C. 第三项
D. 第二项或第三项
2
5.已知数列 an ，an kn 5, 且a8 11
则 a17
29
.
，
6.数列11，13，15，…，2n+1的项数是
（ C）
A．n
B．n-3
C．n-4 D．n-5
= ( − )
拓展、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项
分别是下列各数：
（1）-2，2，-2，2；
,
− , ,
（3）2，0，2，0；
练习：课本P31第1，4题
an=(−)
(−) +
a n=
an=(−) + +
小结
观察法求通项公式：
，16，32， 64 ，128，… ；
（3）常 数 列：各项都相等的数列
（4）摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，
有些项小于它的前一项的数列
思考：观察下列数列的特点，用适当的数填空，并猜想
这些数列的第n项an是什么？
（1）1 ， 4
，9，16，25， 36 ，49，… ；
（2）2，4， 8
解：（1）a1 1 4 1 2， a2 4 8 1 3
a3 9 12 1 2， a4 16 16 1 1
（2）∵an=-n2+4n-1= -(n-2)2+3
∴当n=2时，an取到最大值3
注意：an=-n2+4n-1可看成以n为自变量的一个函数
4．已知数列 an 的通项公式
它的最小项是（ D ）
A.第一项
B. 第二项
C. 第三项
D. 第二项或第三项
2
5.已知数列 an ，an kn 5, 且a8 11
则 a17
29
.
，
6.数列11，13，15，…，2n+1的项数是
（ C）
A．n
B．n-3
C．n-4 D．n-5
= ( − )
拓展、试写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项
分别是下列各数：
（1）-2，2，-2，2；
,
− , ,
（3）2，0，2，0；
练习：课本P31第1，4题
an=(−)
(−) +
a n=
an=(−) + +
小结
观察法求通项公式：
，16，32， 64 ，128，… ；
《数列的概念与简单表示法》课件
公式
等差数列的通项公式是 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是第一项，$d$ 是公差 。
等比数列的定义与特性
01
02
03
定义
等比数列是一组数，其中 任意两个相邻的数之间的 比是一个常数。
特性
等比数列的任意一项都可 以表示为前一项乘以一个 常数，这个常数被称为公 比。
金融
在金融领域，数列常用于研究投资回报、风险评估和资产定价等 。
贸易
在贸易中，数列用于分析商品销售的周期性和趋势，以及预测市场 需求。
经济学
在经济学中，数列用于研究经济增长、通货膨胀和就业等经济指标 的规律和趋势。
2023
REPORTING
THANKS
感谢观看
唯一性
一个数列只能有一个极 限。
稳定性
如果数列${ a_n }$的极 限为$a$，则对于任意 小的正数$epsilon$， 存在正整数$N$，当 $n>N$时，有$|a_n a| < epsilon$。
数列的收敛性定义与性质
收敛性定义
如果数列${ a_n }$的极限 存在，则称数列${ a_n }$ 收敛。
REPORTING
文字叙述法
文字叙述法是用文字描述数列的方法，通常包括起始值、递增值和项数等要素。
例如，数列“1, 4, 7, 10, 13”可以用文字叙述法表示为“从1开始，每次递增3，共 有5项”。
文字叙述法虽然直观易懂，但不够精确和简洁，容易产生歧义。
公式表示法
公式表示法是用数学公式来表 示数列的方法，通常包括通项 公式和求和公式等。
详细描述
数列是一种有序的数集，这些数按照 一定的次序排列，每个数称为数列的 一个项，每个项都有一个与之对应的 正整数，称为项的序号。
等差数列的通项公式是 $a_n = a_1 + (n-1)d$，其中 $a_n$ 是第 $n$ 项，$a_1$ 是第一项，$d$ 是公差 。
等比数列的定义与特性
01
02
03
定义
等比数列是一组数，其中 任意两个相邻的数之间的 比是一个常数。
特性
等比数列的任意一项都可 以表示为前一项乘以一个 常数，这个常数被称为公 比。
金融
在金融领域，数列常用于研究投资回报、风险评估和资产定价等 。
贸易
在贸易中，数列用于分析商品销售的周期性和趋势，以及预测市场 需求。
经济学
在经济学中，数列用于研究经济增长、通货膨胀和就业等经济指标 的规律和趋势。
2023
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感谢观看
唯一性
一个数列只能有一个极 限。
稳定性
如果数列${ a_n }$的极 限为$a$，则对于任意 小的正数$epsilon$， 存在正整数$N$，当 $n>N$时，有$|a_n a| < epsilon$。
数列的收敛性定义与性质
收敛性定义
如果数列${ a_n }$的极限 存在，则称数列${ a_n }$ 收敛。
REPORTING
文字叙述法
文字叙述法是用文字描述数列的方法，通常包括起始值、递增值和项数等要素。
例如，数列“1, 4, 7, 10, 13”可以用文字叙述法表示为“从1开始，每次递增3，共 有5项”。
文字叙述法虽然直观易懂，但不够精确和简洁，容易产生歧义。
公式表示法
公式表示法是用数学公式来表 示数列的方法，通常包括通项 公式和求和公式等。
详细描述
数列是一种有序的数集，这些数按照 一定的次序排列，每个数称为数列的 一个项，每个项都有一个与之对应的 正整数，称为项的序号。
人教版数学第二章《数列的概念与简单表示法》教学(共21张PPT)教育课件
（ 5 ） 1 , 1 , 5 , 13 , 29 ; 2 4 8 16 32
（ 6 ） 1 ,0 , 1 ,0 ,1 ;
注意：①一些数列的通项公式不是唯一的
②不是每一个数列都能写出它的通项公式
③ {an}表示以 an为通项的数列{， an}即 表示 数列a1，a2，a3， ，an；而an表示这个 数列{an}中的第 n项，其n中表示项的位置 序号。
❖-1的1次幂，2次幂，3次幂，……排列成一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1
❖无穷多个1排列成的一列数：
1 ， 1 ， 1 ， 1 ，
1，3，6，10，···
1，4，9，16，···
1 ， 2 ， 2 2， 2 3 ， 2 63 1
1， 12，31，14，
2
1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 35
那么
a22a11，
a32a21，
象 这 样 给 出 数 列 叫的 做方 递法 推 法 ， 其 中
an 2an1 （ 1 n1） 称为递推公式。
如果已知 {an}的 数1第 列 项（或 n项前 ），且an任 与一 它 的前一 an （ 1 项或n项 前）间的关系 个可 公以 式用 来一 表 那么这个公式 个就 数叫 列做 的这 递推公式。
例2 ：图2.1-5中的三角形称为希尔宾斯基 （Sierpinski）三角形。在下图4个三角形中， 着色三角形的个数依次构成一个数列的前4项， 请写出这个数列的一个通项公式，并在直角坐 标系中画出它的图象。
如果一{个 an}的 数首 列 a1 项 1，从 2项 第起每一项
的前一 2倍 项再 的1加 ，上 即 an2an1（ 1n1）
an 通项 n
公式
序号（正整数 或它的有限 子集）
数列的概念和简单表示法ppt
递增性
总结词
数列的各项按照从小到大的顺序排列。
详细描述
递增性指的是数列中的每一项都比前一项大，即数列按照从小到大的顺序排列。 例如，一个递增的整数数列可以是1，2，3，4，5，…。
递减性
总结词
数列的各项按照从大到小的顺序排列。
详细描述
递减性指的是数列中的每一项都比后一项小，即数列按照从大到小的顺序排 列。例如，一个递减的整数数列可以是5，4，3，2，1，…。
2023
数列的概念和简单表示法
目录
• 数列的定义和分类 • 数列的表示法 • 数列的特性 • 数列的简单运算 • 数列的扩展知识 • 数列的应用案例
01
数列的定义和分类
数列的定义
数列是一种特殊的函数，它按照顺序排列一组实数。 数列的第一个数叫做首项，最后一个数叫做末项。
数列中的每一个数叫做项，而每个项与它前面的那个 数的差叫做公差。
数列的极限和收敛性
数列的极限
如果当n趋向无穷大时，数列的项无限接近某个常数a，则称a为该数列的极限。
数列的收敛性
如果一个数列存在极限，则称该数列为收敛数列。
06
数列的应用案例
数列在金融领域的应用
复利计算
01
数列常用于计算投资收益的复利，如等比数列的求和公式被广
泛应用于计算累计利息。
风险评估
02
等差数列的性质
等差数列的任意一项都等于其首项加上一个常数，即第n 项a_n=a_1+(n-1)d，其中d为公差。
等比数列的概念和性质
等比数列的定义
如果一个数列从第二项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，这个数列 就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比。
等比数列的性质
第七章 第一节 数列的概念与简单表示法 课件(共48张PPT)
1．(多选)(2020·山东“百师联盟”)对于数列{an}，令 bn＝an－a1n ，则下 列说法正确的是( )
A．若数列{an}是单调递增数列，则数列{bn}也是单调递增数列 B．若数列{an}是单调递减数列，则数列{bn}也是单调递减数列 C．若 an＝3n－1，则数列{bn}有最小值 D．若 an＝1－－12 n ，则数列{bn}有最大值
3．已知 an＝nn－ ＋11 ，那么数列{an}是(
)
A．递减数列
B．递增数列
C．常数列
D．摆动数列
A [因 an＋1－an＝nn－ ＋11 －n＋n 2 ＝（n＋1）－（2 n＋2） <0，则 an＋1<an，
∴数列{an}是递减数列．]
4．(必修 5P67T2 改编)数列{an}的前几项为12 ，3，121 ，8，221 ，…， 则此数列的通项公式为________．
当 n＝1 时，2S1＝3a1－3，解得 a1＝3， 所以数列{an}是以 3 为首项，3 为公比的等比数列， 所以 a4＝a1q3＝34＝81.故选 B.
(2)当 n＝1 时，a1＝S1＝1＋2＋1＝4，
当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1，
经检验 a1＝4 不适合 an＝2n＋1，
故 an＝42n＋1
由递推关系式求数列的通项公式
(1)已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋2n＋1，则 a5＝________； (2)若 a1＝1，an＋1＝2nan，则通项公式 an＝________； (3)已知数列{an}中，若 a1＝1，an＋1＝2an＋3，则通项公式 an＝________．
解析： (1)依题意得 an＋1－an＝2n＋1，a5＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2
高中数学61数列的概念与简单表示法省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
1 时，a1 若适合 Sn－Sn－1，则 n＝1 的情况可并入 n≥2 时的通项 an；当 n＝1 时，a1 若不适合 Sn－Sn－1，则 用分段函数的形式表示．
n＝1， n≥2.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
由数列旳前n项和求通项公式
思维启迪 解析
探究提升
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关 系是 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2. 当 n＝
倍加 1，可得分子的通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，…，
联想到数列 1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝
(n32)＋an＝1，01因此nn可为 为得奇 偶它数 数的 一或个an通＝项1＋公2式－为1n或an＝an2n＝n2＋＋1＋11.c2os
着“从特殊到一般”的思想，由不完
全归纳得出的结果是不可靠的，要注
意代值检验，对于正负符号变化，可
用(－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)12，14，－58，1136，－2392，6614，…；(2)32，1，170，197，…；(3)0,1,0,1，….
解 (1)各项的分母分别为 21,22,23,24，…，易看出第 2,3,4 项的分
子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－2－2 3，原数列可化为 －212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…，因此 an＝(－1)n·2n2－n 3. (2)将数列统一为32，55，170，197，…，对于分子 3,5,7,9，…，是序的 2
n＝1， n≥2.
基础知识
题型分类
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
题型三
由数列旳前n项和求通项公式
思维启迪 解析
探究提升
【例 3】 已知下面数列{an}的前 n 项和 Sn，求{an}的通项公式： (1)Sn＝2n2－3n；(2)Sn＝3n＋b.
数列的通项 an 与前 n 项和 Sn 的关 系是 an＝SS1n，－nS＝n－11，，n≥2. 当 n＝
倍加 1，可得分子的通项公式为 bn＝2n＋1，对于分母 2,5,10,17，…，
联想到数列 1,4,9,16，…，即数列{n2}，可得分母的通项公式为 cn＝
(n32)＋an＝1，01因此nn可为 为得奇 偶它数 数的 一或个an通＝项1＋公2式－为1n或an＝an2n＝n2＋＋1＋11.c2os
着“从特殊到一般”的思想，由不完
全归纳得出的结果是不可靠的，要注
意代值检验，对于正负符号变化，可
用(－1)n 或(－1)n＋1 来调整．
思想方法
练出高分
题型分类·深度剖析
变式训练 1 根据数列的前几项，写出数列的一个通项公式：
(1)12，14，－58，1136，－2392，6614，…；(2)32，1，170，197，…；(3)0,1,0,1，….
解 (1)各项的分母分别为 21,22,23,24，…，易看出第 2,3,4 项的分
子分别比分母少 3.因此把第 1 项变为－2－2 3，原数列可化为 －212－1 3，222－2 3，－232－3 3，242－4 3，…，因此 an＝(－1)n·2n2－n 3. (2)将数列统一为32，55，170，197，…，对于分子 3,5,7,9，…，是序的 2