几何体与展开图(北师版)(含答案)
展开与折叠(3种题型)-2023年新七年级数学核心知识点与常见题型(北师大版)(解析版)
展开与折叠（3种题型）【知识梳理】一．几何体的展开图（1）多数立体图形是由平面图形围成的．沿着棱剪开就得到平面图形，这样的平面图形就是相应立体图形的展开图．同一个立体图形按不同的方式展开，得到的平面展开图是不一样的，同时也可看出，立体图形的展开图是平面图形．（2）常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形．④三棱柱的侧面展开图是长方形．（3）立体图形的侧面展开图，体现了平面图形与立体图形的联系．立体图形问题可以转化为平面图形问题解决．从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．二．展开图折叠成几何体通过结合立体图形与平面图形的相互转化，去理解和掌握几何体的展开图，要注意多从实物出发，然后再从给定的图形中辨认它们能否折叠成给定的立体图形．三．专题：正方体相对两个面上的文字（1）对于此类问题一般方法是用纸按图的样子折叠后可以解决，或是在对展开图理解的基础上直接想象．（2）从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．（3）正方体的展开图有11种情况，分析平面展开图的各种情况后再认真确定哪两个面的对面．【考点剖析】一．几何体的展开图（共9小题）1．（2022秋•江汉区期末）下列平面图形中，是棱柱的展开图的是（）A．B．C．D．【分析】依据棱柱的所有的面的形状以及位置，即可得到棱柱的表面展开图．【解答】解：A．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；B．该图是棱柱表面展开图，故本选项正确；C．该平面图形不能围成棱柱，故本选项错误；D．该平面图形不能围成棱柱，能围成圆柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了几何体的展开图以及棱柱的结构特征，从实物出发，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．2．（2022秋•南京期末）如图是一个正方体的表面展开图，在这个正方体中，与点B重合的点为（）A．点C和点D B．点A和点E C．点C和点E D．点A和点D【分析】根据图形，把正方体展开图折叠成正方体，观察得到重合的点．【解答】解：在这个正方体中，与点B重合的点为点C和点D．故选：A．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握折叠后的正方体的图形是关键．3．（2022秋•莲湖区期末）诗语同学周末帮妈妈拆完快递后，将包装盒展开，进行了测量，结果如图所示．已知长方体盒子的长比宽多3cm，高是2cm．（1）求长方体盒子的长和宽．（2）求这个包装盒的体积．【分析】（1）利用图中关系首先求出宽，然后求出长；（2）用体积公式即可．【解答】解：（1）宽为：（14﹣2×2）÷2＝5（cm），长为：5+3＝8（cm）；（2）8×5×2＝80（cm3）．【点评】本题考查的是几何体的展开图，解题的关键是求出长和宽．4．（2022秋•鹤壁期末）如图是一个用硬纸板制作的长方体包装盒展开图，已知它的底面形状是正方形，高为12cm．（1）制作这样的包装盒需要多少平方厘米的硬纸板？（2）若1平方米硬纸板价格为元，则制作10个这样的包装盒需花费多少钱？（不考虑边角损耗）【分析】（1）根据长方体的表面积公式计算即可；（2）根据题意列式计算即可．【解答】解：（1）由题意得，2×（12×6+12×6+6×6）＝360cm2；答：制作这样的包装盒需要360平方厘米的硬纸板；（2）360÷10000×5×10＝1.8元，答：制作10个这样的包装盒需花费1.8元钱．【点评】本题考查了几何体的表面积，正确的计算出长方体的表面积是解题的关键．5．（2022秋•和平区期末）某校积极开展文明校园的创建活动，七年级学生设计了正方体废纸回收盒，如图所示，将写有“收”字的正方形添加到图中，使它们构成完整的正方体展开图，共有种添加方式．【分析】根据正方体表面展开图的特征进行判断即可．【解答】解：“收”字分别放在“垃”“圾”“分”“类”下方均可成完整的正方体展开图，所以有4种添加方式．故答案为：4．【点评】本题主要考查了正方体的展开图特点，掌握正方体表面展开图的特征是正确判断的关键．6．（2022秋•江阴市期末）如图是一个正方体纸盒，下面哪一个可能是它的表面展开图（）A．B．C．D．【分析】正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．B，D与此不符，所以错误；再观察3个图案所在的位置，而选项C不符，正确的是A．故选：A．【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．（2022秋•二道区校级期末）图①，图②，图③均为5×5的正方形网格，在网格中选择2个空白的正方形涂上阴影，使它们与图中四个有阴影的正方形一起构成一个正方体的表面展开图，并且3种方法得到的展开图不相同．【分析】依据正方体展开图的特征进行判断，即可得到3种不同的正方体展开图．【解答】解：如图所示：（答案不唯一）【点评】此题主要考查了几何体的展开图，关键是掌握正方体展开图的结构特点．8．（2022秋•伊川县期末）如图，是一个几何体的表面展开图：（1）请说出该几何体的名称；（2）求该几何体的表面积；（3）求该几何体的体积．【分析】（1（2）依据长方体的表面积等于六个面面积之和即可得出结论；（3）依据体积计算公式，即可得到该几何体的体积．【解答】解：（1）该几何体的名称是长方体；（2）该几何体的表面积为：2×（2×3+2×1+1×3）＝22（平方米）；（3）该几何体的体积为：2×3×1＝6（立方米）．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握立体图形与平面图形的转化，建立空间观念是关键．9．（2022秋•仪征市期末）将一个无盖正方体展开成平面图形的过程中，需要剪开条棱．【分析】根据无盖正方体的棱的条数以及展开后平面之间应有棱连着，即可得出答案．【解答】解：∵无盖正方体有5个表面，两个面共一条棱，共8条棱，要展成如图所示图形必须4条棱连接，∴要剪8﹣4＝4条棱，故答案为：4．【点评】此题主要考查了正方体的展开图的性质，根据展开图的性质得出要展成如图所示图形必须4条棱连接，是解题关键．二．展开图折叠成几何体（共9小题）10．（2022秋•沈河区期末）如图，如果裁掉一个正方形后能折叠成正方体，那么能裁掉的是（）A．①B．②和③C．③和④D．②或③或④【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由正方体的展开图可知，去掉②或③或④原图都可以折叠成正方形，故选：D．11．（2022秋•高新区期末）下列图形经过折叠不能成为一个封闭的正方体的是（）A．B．C．D．【分析】根据正方体的展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折叠成正方体，故选：D．【点评】本题主要考查正方体的展开图，熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．12．（2022秋•青秀区校级期末）如图平面图形不能折成无盖长方体盒子的是（）A．B．C．D．【分析】根据长方体展开图得出结论即可．【解答】解：由题意知，图形不能折成无盖长方体盒子，故选：C．【点评】本题主要考查长方体展开图的知识，熟练掌握长方体展开图的知识是解题的关键．13．（2022秋•晋江市期末）图①是正方体的表面展开图，该正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体，在图①标注的顶点A、B、C、D中，与点P重合的顶点是（）A．点A B．点B C．点C D．点D【分析】先找出下面，然后折叠，找出正方形ABCD位于正方体的哪个面上，点P所在正方形位于正方体的哪个面上，即可找出与点P重合的顶点．【解答】解：如图：以正方形1为下面，将正方体从图①所示的位置折叠成图②的正方体时，正方形ABCD位于正方形的上面，点P所在正方形在前面，点B与点P重合．故选：B．【点评】本题考查正方形的展开图和空间想象能力，关键是找出或想象出折叠前后图形的关系．14．（2022秋•秦淮区期末）下列图形中，能通过折叠围成一个三棱柱的是（）A．B．C．D．【分析】根据三棱柱及其表面展开图的特点对各选项分析判断即可得解．【解答】解：A、折叠后两侧面重叠，不能围成三棱柱，故本选项错误；B、折叠后能围成三棱柱，故本选项正确；C、底面有2个三角形，不能折叠围成一个三棱柱，故本选项错误；D、展开图有3个底面，不能围成三棱柱，故本选项错误．故选：B．【点评】本题考查了三棱柱表面展开图，上、下两底面应在侧面展开图长方形的两侧，且是全等的三角形，15．（2022秋•姜堰区期末）小明在学习了《展开与折叠》这一课后，掌握了长方体盒子的制作方法．如图是他制作的一个半成品的平面图：（1）在中补充一个长方形，使该平面图能折叠成一个长方体盒子；（2）已知小明制作长方体的盒子长是宽的2倍，宽是高的2倍，且长方体所有棱长的和为56cm，求这个长方体盒子的体积．【分析】（1）根据长方体的展开图补充图形即可求解；（2）根据题意，设长方体的高为a，则宽为2a，长为4a，根据长方体所有棱长的和为56cm，列出方程，进而根据体积公式即可求解．【解答】解：（1）如图所示，（2）设长方体的高为acm，则宽为2acm，长为4acm，根据题意得，4（a+2a+4a）＝56（cm），解得：a＝2，∴这个长方体的高为2cm，宽为4cm，长为8cm，∴这个长方体盒子的体积为：2×4×8＝64（cm3）．【点评】本题考查了长方体的展开图，一元一次方程的应用，掌握以上知识是解题的关键．16．（2022秋•宛城区校级期末）某“综合实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长为a（cm）的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）．【操作一】根据图1方式制作一个无盖的长方体盒子．方法：先在纸板四角剪去四个同样大小边长为b （cm）的小正方形，再沿虚线折合起来．【问题解决】（1）若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面积为；【操作二】根据图2方式制作一个有盖的长方体纸盒．方法：先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b （cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来．【拓展延伸】（2）若a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒的体积为；（3）现有两张边长a均为30cm的正方形纸板，分别按图1、图2的要求制作无盖和有盖的两个长方体盒子，若b＝5cm，求无盖盒子的体积是有盖盒子体积的多少倍？【分析】（1）由折叠可得底面是边长为6cm的正方形，进而求出底面积即可；（2）由展开与折叠可知，折叠成长方体的长、宽、高分别为a﹣2b，，b，根据体积公式进行计算即可；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，分别求出按图1，图2的折叠方式所得到的长方体的体积即可．【解答】解：（1）如图1，若a＝12cm，b＝3cm，则长方体纸盒的底面是边长为12﹣3×2＝6（cm）的正方形，因此面积为6×6＝36（cm2），故答案为：36cm2；（2）如图2，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为b（cm）的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来可得到长为a﹣2b，宽为，高为b的长方体，当a＝12cm，b＝2cm，该长方体纸盒长为12﹣2×2＝8（cm），宽为＝4（cm），高为2cm，所以体积为8×4×2＝64（cm3），故答案为：64cm3；（3）当a＝30cm，b＝5cm时，按图1作无盖的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（30﹣5×2）×5＝2000（cm3），按图2作的长方体的纸盒的体积为（30﹣5×2）（）×5＝1000（cm3），2000÷1000＝2（倍），答：无盖盒子的体积是有盖盒子体积的2倍．【点评】本题考查展开图折叠成几何体，掌握棱柱的展开图的特征是正确解答的前提，根据展开图得出折叠后长方体的长、宽、高是解决问题的关键．17．（2022秋•昆明期末）图（1）和图（2）中所有的正方形都相同，将图（1）的正方形放在图（2）中的①②③④⑤某一位置，所组成的图形不能围成正方体的位置是（）A．①②B．②③C．③④D．②⑤【分析】由平面图形的折叠及正方体的表面展开图的特点解题．【解答】解：将图1的正方形放在图2中的②⑤的位置出现重叠的面，所以不能围成正方体．故选：D．【点评】本题考查了展开图折叠成几何体，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．注意：只要有“田”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．熟记正方体的11种展开图是解题的关键．18．（2022秋•阳泉期末）小明在学习了正方体的展开图后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀剪开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪开了一条棱，把纸盒剪成了两部分，如图1、图2所示．请根据你所学的知识，回答下列问题：观察判断：小明共剪开了条棱；动手操作：现在小明想将剪断的图2重新粘贴到图1上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒（如图3），请你帮助小明在图1中补全图形；解决问题：经过测量，小明发现这个纸盒的底面是一个正方形，其边长是长方体的高的5倍，并且纸盒所有棱长的和是880cm，求这个纸盒的体积．【分析】（1）根据平面图形得出剪开棱的条数，（2）根据长方体的展开图的情况可知有四种情况，（3）设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出长宽高，即可求出长方体纸盒的体积．【解答】解（1）小明共剪了8故答案为：8．（2）如图，四种情况．（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴设最短的棱长高为acm，则长与宽相等为5acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，∴4（a+5a+5a）＝880，解得a＝20，∴这个长方体纸盒的体积为20×100×100＝200000（立方厘米）．【点评】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．三．专题：正方体相对两个面上的文字（共7小题）19．（2022秋•泗阳县期末）动手操作：做一个正方体木块，在正方体的各面分别写上1，2，3，4，5，6这6个不同的数字，若它可以摆放成如图所示的两种不同位置，请你判断数字5对面的数字是（）A．1B．2C．3D．6【分析】根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2【解答】解：根据图形以及数字的摆放，第一图可得6的下面为1，1的右边为4，第二个图可知4的下面是5，5的右边是2，将正方形展开如图所示，∴5的对面是6，故选：D．【点评】本题考查了正方体展开图，相对面上的字，注意数字的摆放是解题的关键．20．（2022秋•溧水区期末）如图是一个正方体的平面展开图，若该正方体相对两个面上的数相等，则a+b+c ＝．【分析】利用正方体及其表面展开图的特点解题．【解答】解：由图可知，c+1＝3，1+b＝1，a＝﹣2，所以a＝﹣2，b＝0，c＝2，所以a+b+c＝0．故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，解答本题的关键在于注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．21．（2022秋•高邮市期末）一个正方体的6个面上分别标有字母a、b、c、d、e、f．若甲、乙两位同学分别在f、e朝上时，看到的另两个字母如图，则b对面的是．【分析】根据第一个图形和第二个图形中都含有d的面，即可判断．【解答】解：由题意可知d字母所在面相邻的面上的字母分别为a、c、e、f，则d的对面是b．即b对面的是d．故答案为：d．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，同时也考查了空间想象能力和推理能力．正确记忆立方体的特点是解题关键．22．（2022秋•川汇区期末）党的二十大报告提出，要以中国式现代化全面推进中华民族伟大复兴．将“中国式现代化”这六个字分别写在一个正方体的六个表面上，如图是它的一种展开图，则与“式”相对的字是（）A．中B．国C．现D．代【分析】正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，据此作答．【解答】解：∵正方体的平面展开图中，相对面的特点是之间一定相隔一个正方形，∴在此正方体上与“式”字相对的面上的汉字是“中”．故选：A．【点评】本题考查了正方体的展开图形，掌握相对面进行分析及解答是关键．23．（2022秋•青神县期末）如果一个骰子相对两面的点数之和为7，它的表面展开图如图所示，则下面判断正确的是（）A．A代表B．B代表C．C代表D．B代表【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，A与点数是1的对面，B与点数是2的对面，C与点数是4的对面，∵骰子相对两面的点数之和为7，∴A代表的点数是6，B代表的点数是5，C代表的点数是3．故选：A．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，掌握从相对面入手是关键．24．（2022秋•汉台区期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．25．（2022秋•青神县期末）一个立方体的六个面上分别标上一至六点（一个小圆表示一点，每个面上的点数不同），然后将完全一样的四个立方体摆放成如图样式的一个长方体，我们能看到的面上的点数如图所示，则长方体底面上的点数之和是．【分析】先判断出相对的面的点数，再进行计算即可．【解答】解：由题意可知，“3点”的面的邻面有“2点、6点、4点、5点”，所以与“3点”相对的面的点数为“1点”；因为“4点”的面的邻面有“6点、5点、3点、1点”，所以与“4点”相对的面的点数为“2点”；因为“6点”的面的邻面有“3点、1点、4点、2点”，所以与“6点”相对的面的点数为“5点”；所以长方体底面上的点数之和是：4+1+5+2＝12．故答案为：12．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，关键是弄清每个骰子六面点数之和是几，每个骰子看见面的点数之和是几．【过关检测】一．选择题（共4小题）1．（2022•河南三模）某正方体的每个面上都有一个汉字，如图是它的一种展开图，那么在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是（）A．老B．南C．河D．家【分析】根据正方体的平面展开图找相对面的方法，同层隔一面判断即可．【解答】解：在原正方体中，与“豫”字所在面相对的面上的汉字是“家”，故选：D．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的平面展开图找相对面的方法是解题的关键．2．（2022•金坛区二模）某几何体的表面展开图如图所示，这个几何体是（）A．圆柱B．长方体C．四棱锥D．五棱锥【分析】根据四棱锥的侧面展开图得出答案．【解答】解：这个几何体由四个三角形和一个正方形围成，故这个几何体为四棱锥．故选：C．【点评】此题主要考查了几何体的展开图，熟记常见立体图形的平面展开图的特征是解决此类问题的关键．3．（2022•梧州模拟）下列在立体图形中，它的侧面展开图是扇形的是（）A．正方体B．长方体C．圆柱D．圆锥【分析】根据常见立体图形的侧面展开图判断即可得出答案．【解答】解：A选项，正方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；B选项，长方体的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；C选项，圆柱的侧面展开图是长方形，故该选项不符合题意；D选项，圆锥的侧面展开图是扇形，故该选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，掌握常见几何体的侧面展开图：①圆柱的侧面展开图是长方形．②圆锥的侧面展开图是扇形．③正方体的侧面展开图是长方形是解题的关键．4．（2022•丰台区二模）如图，下列水平放置的几何体中，侧面展开图是扇形的是（）A．B．C．D．【分析】根据几何体的展开图：三棱柱的侧面展开图是三个长方形；四棱柱的侧面展开图是四个长方形；圆柱的侧面展开图是矩形；圆锥的侧面展开图是扇形；可得答案．【解答】解：AB、侧面展开图是四个长方形，故此选项不符合题意；C、侧面展开图是一个长方形，故此选项不符合题意；D、侧面展开图是扇形，故此选项符合题意．故选：D．【点评】本题考查了几何体的展开图，记住常用几何体的侧面展开图是解题的关键．二．填空题（共3小题）5．（2022•晋中一模）“双奥之城”指既举办过夏季奥运会又举办过冬季奥运会的城市．2008年北京夏季奥会之后，2022年北京冬季奥运会成功举办，使北京成为世界上首座“双奥之城”．下列正方体展开图的每个面上都标有一个汉字，把它们折成正方体后，与“双”字相对面上的汉字是．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面，判断即可．【解答】解：与“双”字相对面上的汉字是城，故答案为：城．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．6．（2021秋•息县期末）根据表面展开图依次写出立体图形的名称：、、．【分析】根据表面展开图的形状判断即可．【解答】解：圆锥的表面展开图是一个扇形和圆，四棱锥的表面展开是一个四边形和四个三角形，三棱柱的表面展开是三个长方形和两个三角形．【点评】本题考查立体图形的表面展开，熟悉各几何体表面展开的形状是求解本题的关键．7．（2021秋•绵阳期末）如图是一个小正方体的展开图，把展开图折叠成小正方体后，有“y”一面与相对面上的代数式相等，则有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0（用数字作答）．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端对面，判断即可．【解答】解：由图可知：y与2y﹣3相对，xy2与﹣3xy相对，由题意得：y＝2y﹣3，∴y＝3，∴xy2+（﹣3xy）＝9x+（﹣9x）＝0，∴有“xy2”一面与相对面上的代数式的和等于0，故答案为：0．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．三．解答题（共5小题）8．（2021秋•武功县期末）如图是正方体的平面展开图，若将图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为7，求x﹣y+z的值．【分析】根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z”字两端是对面判断即可．【解答】解：由图可知：z与4相对，y与﹣2相对，x与12相对，由题意得：z+4＝7，y+（﹣2）＝7，x+12＝7，∴z＝3，y＝9，x＝﹣5，∴x﹣y+z＝﹣5﹣9+3＝﹣11，∴x﹣y+z的值为﹣11．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．9．（2021秋•临汾期末）阅读与思考请阅读下列材料，并完成相应的任务：任务：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置是；A．字母B B．字母A C．字母R D．字母T（2）若在图③中，网格中每个小正方形的边长为1，求包装盒的表面积．【分析】（1）根据长方体的表面展开图找相对面的方法，同层隔一面，判断即可；（2）根据长方体的表面积公式进行计算即可解答．【解答】解：（1）在图②中，若字母Q表示包装盒的上表面，字母P表示包装盒的侧面，则下表面在包装盒表面展开图中的位置：字母B，故答案为：A；（2）由题意得：2×3×2+2×3×1+2×2×1＝12+6+4＝22，∴包装盒的表面积为22．【点评】本题考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握根据长方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．10．（2021秋•渠县期末）如图，是底面为正方形的长方体的表面展开图，折叠成一个长方体，那么：（1）与N重合的点是哪几个？（2）若AB＝3cm，AH＝5cm，则该长方体的表面积和体积分别是多少？【分析】（1）把展开图折叠即可得出答案；。
2021_2022学年新教材高中数学第6章立体几何初步§2直观图学案含解析北师大版必修第二册 (1)
§2 直观图学习任务核心素养1．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图．(重点)2．用斜二测画法画常见的柱、锥、台以与简单组合体的直观图．(难点)1．通过对用斜二测画法画直观图的学习，培养学生直观想象素养．2．借助于斜二测画法的相关计算，培养学生数学运算素养．美术与数学有着千丝万缕的联系，在美术图中，空间图形或实物在画板上既要有立体感，又要表现出各主要局部的位置关系和度量关系．空间图形或实物如何在画板上表示出来？如何反映它们的主要特征呢？这就是空间几何体的直观图，画好空间几何体的直观图应首先从水平放置的平面图形入手．阅读教材，结合上述情境回答如下问题：问题1：在画实物图的平面图形时，其中的直角在图中一定画成直角吗？问题2：正方形、矩形、圆等平面图形在画实物图时习惯画成什么？为什么？问题3：水平放置的平面图形中的线段在直观图中长度不变吗？知识点1 平面图形直观图的画法1.相等的角在直观图中还相等吗？[提示] 不一定．例如正方形的直观图为平行四边形．1.如下关于用斜二测画法画直观图的说法中，正确的答案是( )A．水平放置的正方形的直观图不可能是平行四边形B．平行四边形的直观图仍是平行四边形C．两条相交直线的直观图可能是平行直线D．两条垂直的直线的直观图仍互相垂直B[选项A错误，水平放置的正方形的直观图一定是平行四边形；选项B正确；选项C错误，两条相交直线的直观图仍然是相交直线；选项D错误，两条垂直的直线的直观图不一定垂直．]知识点2 空间图形直观图的画法(斜二测画法)步骤(1)在的空间图形中取水平平面和互相垂直的轴Ox，Oy；再取Oz轴，使∠xOz＝90°，且∠yOz＝90°.(2)画直观图时，把Ox，Oy，Oz画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°．x′O′y′所确定的平面表示水平平面．(3)图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴，y′轴或z′轴的线段．(4)图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段长度为原来的一半．(5)擦去辅助线，并将被遮线画成虚线．2.空间几何体的直观图是唯一的吗？[提示] 不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不一样．2.思考辨析(正确的画“√〞，错误的画“×〞)(1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，假如∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，如此在直观图中，∠A＝45°.( )(2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，且长度不变．( )(3)建立z轴的一般原如此是让z轴过空间图形的顶点．( )[提示](1)错误．∠A也可能等于135°.(2)错误．用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行，但长度可能改变．(3)正确．[答案](1)×(2)×(3)√类型1 水平放置的平面图形的直观图【例1】(教材北师版P201例1改编)用斜二测画法画边长为4 cm的水平放置的正三角形(如图)的直观图．[解](1)如图①所示，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y 轴．(2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝12OA，连接A′B′，A′C′，如此三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图，如图②所示．在画水平放置的平面图形的直观图时，选取适当的直角坐标系是关键之一，一般要使平面多边形尽可能多的顶点落在坐标轴上，以便于画点．原图中不平行于坐标轴的线段可以通过作平行于坐标轴的线段来作出其对应线段．关键之二是确定多边形顶点的位置，借助于平面直角坐标系确定顶点后，只需把这些顶点顺次连接即可．[跟进训练]1．画一个锐角为45°的平行四边形ABCD 的直观图(尺寸自定).[解] (1)画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy ，再建立坐标系x ′O ′y ′，其中∠x ′O ′y ′＝45°.(2)描点．如图②，在x ′轴上截取O ′A ′＝OA ，O ′B ′＝OB ，在y 轴上截取O ′D ′＝12OD ，过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且D ′C ′＝DC .(3)连线．连接B ′C ′，A ′D ′.(4)成图．如图③，四边形A ′B ′C ′D ′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD 的直观图． 类型2 空间几何体的直观图【例2】(教材北师版P 202例2改编)用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm 、3 cm 、2 cm 的长方体ABCD A ′B ′C ′D ′的直观图．[解](1)画轴．如图，画x 轴、y 轴、z 轴，三轴相交于点O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°.(2)画底面．以点O 为中点，在x 轴上取线段MN ，使MN ＝4 cm ；在y 轴上取线段PQ ，使PQ ＝32M 和N 作y 轴的平行线，过点P 和Q 作x 轴的平行线，设它们的交点分别为A ，B ，C ，D ，四边形ABCD 就是长方体的底面ABCD .(3)画侧棱．过A ，B ，C ，D 各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm 长的线段AA ′，BB ′，CC ′，DD ′.(4)成图．顺次连接A ′，B ′，C ′，D ′(去掉辅助线，将被遮挡的局部改为虚线)，就得到长方体的直观图．空间几何体的直观图的画法：(1)对于一些常见几何体(柱、锥、台、球)的直观图，应该记住它们的大致形状，以便可以较快较准确地画出．(2)画空间几何体的直观图时，比画平面图形的直观图增加了一个z′轴，表示竖直方向．(3)z′轴方向上的线段，方向与长度都与原来保持一致．[跟进训练]2．画出一个上、下底面边长分别为1，2，高为2的正三棱台的直观图．[解] (1)画轴．如图，画x轴、y轴、z轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画下底面．以O为线段中点，在x轴上取线段AB，使AB＝2，在y轴上取线段OC，使OC＝32.连接BC，CA，如此△ABC为正三棱台的下底面的直观图．(3)画上底面．在z轴上取OO′，使OO′＝2，过点O′作O′x′∥Ox，O′y′∥Oy，建立坐标系x′O′y′.在x′O′y′中，类似步骤(2)的画法得上底面的直观图△A′B′C′.(4)连线成图．连接AA′，BB′，CC′，去掉辅助线，将被遮住的局部画成虚线，如此三棱台ABC－A′B′C′即为要求画的正三棱台的直观图．类型3 直观图的相关计算【例3】如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图．请画出原来的平面图形的形状，并求原图形的周长与面积．x轴平行的线段AB＝2，和y轴平行的线段CD＝4，那么用斜二测画法画出线段AB，CD 的直观图A ′B ′和C ′D ′的长度分别是什么？[提示] A ′B ′＝2，C ′D ′＝2.2.如下列图，水平放置的矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝2，其直观图A ′B ′C ′D ′的面积是多少？[提示] 由斜二测画法可知，矩形ABCD 的直观图A ′B ′C ′D ′的面积为S ＝12×2×22×4＝22．3.建立平面直角坐标系xOy →画原图形OABC →计算平行四边形OABC 的周长和面积[解] 如图，建立直角坐标系xOy ，在x 轴上取OA ＝O ′A ′＝1 cm ；在y 轴上取OB ＝2O ′B ′＝22cm ；在过点B 的x 轴的平行线上取BC ＝B ′C ′＝1 cm.连接O ，A ，B ，C 各点，即得到了原图形．由作法可知，OABC 为平行四边形，OC ＝OB 2＋BC 2＝8＋1＝3 cm ，∴平行四边形OABC 的周长为(3＋1)×2＝8 cm ，面积为S ＝1×22＝22cm 2.把例3中的正方形O ′A ′B ′C ′换为如下列图的等腰直角三角形A ′B ′O ′，假如O ′B ′＝1，求原三角形ABO 的面积．[解]直观图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为12，又直观图与原平面图形面积比为2∶4，所以原图形的面积为 2.由直观图复原为平面图形的关键是找与x ′轴、y ′轴平行的直线或线段，且平行于x ′轴的线段复原时长度不变，平行于y ′轴的线段复原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．由此可得，直观图面积是原图形面积的24倍．[跟进训练]3．△ABC 是正三角形，且它的边长为a ，那么△ABC 的平面直观图△A ′B ′C ′的面积为( )A ．34a 2B ．38a 2C ．68a 2D ．616a 2D [如图①，建立如下列图的平面直角坐标系xOy .如图②，建立坐标系x ′O ′y ′，使∠x ′O ′y ′＝45°，由直观图画法知：A ′B ′＝AB ＝a ，O ′C ′＝12OC ＝34a ，过C ′作C ′D ′⊥O ′x ′于D ′，如此C ′D ′＝22O ′C ′＝68a .所以△A ′B ′C ′的面积是S ＝12·A ′B ′·C ′D ′＝12·a ·68a ＝616a 2.]1．根据斜二测画法的规如此画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 轴画成对应的O ′x ′，O ′y ′，O ′z ′，如此∠x ′O ′y ′与∠x ′O ′z ′的度数分别为( )A ．90°，90°B ．45°，90°C ．135°，90°D ．45°或135°，90°D [根据斜二测画法的规如此，∠x ′O ′y ′的度数应为45°或135°，∠x ′O ′z ′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.]2．如下列图为某一平面图形的直观图，如此此平面图形可能是如下图中的( )A [由直观图知，原四边形一组对边平行且不相等，为梯形，且梯形两腰不能与底垂直，应当选A.]3．利用斜二测画法画边长为1 cm 的正方形的直观图，可能是下面的( )C [正方形的直观图是平行四边形，且边长不相等，应当选C.]4．有一个长为5 cm ，宽为4 cm 的矩形，如此其用斜二测画法得到的直观图的面积为________cm 2.52[该矩形直观图的面积为24×5×4＝5 2.]△ABC 的直观图如下列图，如此原△ABC 的面积为______．9 [由题意，易知在△ABC 中，AC ⊥AB ，且AC ＝6，AB ＝3.∴S △ABC ＝12×6×3＝9.]回顾本节内容，自我完成以下问题：1.如何画水平放置的平面图形的直观图？[提示] 画水平放置的平面图形的直观图，关键是确定直观图的顶点．确定点的位置，可采用直角坐标系．建立恰当的坐标系是迅速作出直观图的关键，常利用图形的对称性，并让顶点尽量多地落在坐标轴上或与坐标轴平行的直线上．2.用斜二测画法画直观图时应注意哪些问题？[提示] 用斜二测画法画直观图时要紧紧把握住“一斜〞、“二测〞两点：(1)一斜：平面图形中互相垂直的Ox，Oy轴，在直观图中画成O′x′，O′y′轴，使∠x′O′y′＝45°或135°.(2)二测：在直观图中平行于x轴的长度不变，平行于y轴的长度取一半，记为“横不变，纵折半〞．。
专题 丰富的图形世界章末重难点题型(举一反三)(北师大版)(原卷版)
专题丰富的图形世界章末重难点题型汇编【举一反三】【北师版】【考点1 认识立体图形】【方法点拨】认识各类立体图形，在对几何体进行分类时要做到不重不漏，分类合理．【例1】（秋迎泽区校级月考）下列说法，不正确的是（）A．长方体是四棱柱，四棱柱是长方体B．棱锥底面边数与侧棱数相等C．棱柱的上、下底面是形状、大小相同的多边形D．圆锥和圆柱的底面都是圆【变式1-1】（秋沈河区期中）下列几何体中，属于棱柱的是（）A．①③B．①C．①③⑥D．①⑥【变式1-2】下列几何体中（如图）属于棱锥的是（）A．①⑤B．①C．①⑤⑥D．⑤⑥【变式1-3】（秋河西区期末）如图所示为8个立体图形．其中，是柱体的序号为；是锥体的序号为；是球的序号为．【考点2 点、线、面、体】【方法点拨】点、线、面、体的认识：(1)图形是由点、线、面构成的；(2)面与面相交得到线，线与线相交得到点；(3)面有平面，也有曲面；线有直线，也有曲线．【例2】（秋红山区期末）下列说法：①一点在平面内运动的过程中，能形成一条线段；②一条线段在平面内运动的过程中，能形成一个平行四边形；③一个三角形在空间内运动的过程中，能形成一个三棱柱；④一个圆形在空间内平移的过程中，能形成一个球体．其中正确的是（）A．①②③④B．①②③C．②③④D．①③④【变式2-1】（岳池县模拟）如下图，将直角三角形绕一条边所在直线旋转一周后形成的几何体不可能是（）A．B．C．D．【变式2-2】（秋宿州期末）雨滴滴下来形成雨丝属于下列哪个选项的实际应用（）A．点动成线B．线动成面C．面动成体D．以上都不对【变式2-3】（秋平度市期中）下列现象，能说明“线动成面”的是（）A．天空划过一道流星B．汽车雨刷在挡风玻璃上刷出的痕迹C．抛出一块小石子，石子在空中飞行的路线D．旋转一扇门，门在空中运动的痕迹【考点3 几何体的展开图】【方法点拨】我们知道，每一个正方体都是由三对相对的面围成的．在平面展开图中找相对的面是探索正方体展开图的关键．【例3】（新华区一模）在下列各图形中，不是正方体的展开图的是（）A．B．C．D．【变式3-1】（秋盐田区校级期中）正方体的展开图可能是（）A．B．C．D．【变式3-2】（秋金水区校级期中）如图，将长方体的表面展开，得到的平面图形不可能是（）A．B．C．.D．．【变式3-3】（福州三模）某几何体如图所示，则下列选项的四个图形中是其展开图的是（）A．B．C．D．【考点4 正方体相对两个面的文字】【例4】（春南岗区期末）如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后有“水”字一面的相对面上的字是（）A．共B．山C．绿D．建【变式4-1】（金水区校级模拟）如图是正方体的表面展开图，则与“”字相对的字是（）A．考B．必C．胜D．【变式4-2】（碑林区校级模拟）如图，是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“祝”字一面的相对面上的字是（）A．你B．试C．顺D．利【变式4-3】（襄阳）某正方体的平面展开图如图所示，则原正方体中与“春”字所在的面相对的面上的字是（）A．青B．来C．斗D．奋【考点5 判断展开图标记物的位置】【例5】（鄂尔多斯）下面四个图形中，经过折叠能围成如图所示的几何图形的是（）A．B．C．D．【变式5-1】（秋高新区期末）下面四个图形是右图所示正方体的展开图的是（）A．B．C．D．【变式5-2】（秋海淀区校级月考）如图是一个正方体的表面展开图，则这个正方体是（）A．B．C．D．【变式5-3】（秋槐荫区期中）如图，为正方体展开图的是（）A．B．C．D．【考点6 截一个几何体】【方法点拨】截一个几何体，关键明确截面的形状既与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关．对于这类题，最好是动手动脑相结合，亲自动手做一做，从中学会分析和归纳的思想方法．【例6】（秋锦江区校级期末）用一个平面去截圆柱体，则截面形状不可能是（）A．正方形B．三角形C．长方形D．圆【变式6-1】（秋丹东期末）如图，是一个正方体，用一个平面去截这个正方体，截面形状不可能为下图中的（）A．B．C．D．【变式6-2】（秋三明期末）用平面截一个几何体，如果截面的形状是长方形（或正方形），那么该几何体不可能是（）A．圆柱B．棱柱C．圆锥D．正方体【变式6-3】（秋福田区校级期中）用不同的方法将长方体截去一个角，在剩下的各种几何体中，顶点最多的个数以及棱数最少的条数分别为（）A．9个，12条B．9个，13条C．10个，12条D．10个，13条【考点7 判断正方体的个数】【方法点拨】这类题目的解题思路如下：先根据从正面和从左面看到的图形，在从上看到的图形的每个小正方形的相应位置上的小正方体的个数，然后求出它们的和，即是组成这个几何体的小正方体的个数.确定每个位置上的小正方的个数时，要分清是哪一行和哪一列，不要张冠李戴.【例7】（秋攀枝花期末）如图是由一些相同的小正方体构成的几何体从不同方向看得到的平面图形，在这个几何体中，小正方体的个数是（）A．7 B．6 C．5 D．4【变式7-1】（秋于都县校级月考）由一些完全相同的小立方块搭成的几何体从三个方向看到的图形如图所示，那么搭成这个几何体所用的小立方块的个数是（）A．8 B．7 C．6 D．5【变式7-2】（秋龙口市期中）如图是一个立体图形从三个不同方向看到的形状图，这个立体图形是由一些相同的小正方体构成，这些相同的小正方体的个数是（）A．4 B．5 C．6 D．7【变式7-3】从三个方向看到一几何体的图形如图所示，则这个几何体中小正方体的个数有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【考点8 画几何体三个方向的图形】【例8】（秋荣成市期中）（1）如图1，画出下面几何体从三个方向看的图形（2）如2，这是一个由小立方块塔成的几何体从上面看的图形，小正方形中的数字表示该位置的小立方块的个数．请你画出从它正面和左面看的图形．【变式8-1】（秋鄄城县期中）在平整的地面上，有若干个完全相同棱长的小正方体堆成一个几何体，如图所示．（1）请画出这个几何体的三个方向看到的图形．（2）如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有个正方体只有一个面是黄色，有个正方体只有两个面是黄色，有个正方体只有三个面是黄色．【变式8-2】（秋峄城区校级月考）画图题：（1）如图1是由五块积木搭成，这几块积木都是相同的正方体，请画出这个图形从正面看，左面看，上面看的方向．（2）如图2是几个正方体所组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置小正方块的个数．请画出这个几何体的从正面看和上面看到的图形．【变式8-3】（春新泰市校级月考）（1）画出下面几何体从正面、左面、上面看到的图形．（2）如图所示，这是一个由小立方体搭成的几何体从上面看的图形，小正方形中的数字表示在该位置的小立方体的个数，请画出这个几何体从另外两个方向看的图形．。
北师版七年级数学上册 第一章丰富的图形世界 综合测试卷(含答案)
第一章丰富的图形世界综合测试卷一、选择题(每题3分，共30分)1．将半圆形绕它的直径所在的直线旋转一周，形成的几何体是()A．圆柱B．圆锥C．球D．正方体2．如图，这是某个几何体的展开图，该几何体是()A．三棱柱B．三棱锥C．圆柱D．圆锥2．一个长方体从三个方向看到的图形如图所示，则这个长方体的体积为()A．30 B．15C．45 D．204．由若干个相同的小正方体搭成一个几何体，从上面看，它的形状如图所示，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则从左面看，这个几何体的形状图是()5．一个几何体从三个方向看到的图形如图所示，则该几何体的表面积为()A．4π B．3π C．2π＋4 D．3π＋46．一个正方体的表面展开图如图所示，六个面上各有一字，连起来是“祝福祖国万岁”，把它折成正方体后，与“万”相对的字是()A．祖B．岁C．国D．福7．一个物体的外形是圆柱，但不清楚它的内部结构，现在用一组水平的平面去截这个物体，从上至下的五个截面依次如图所示，则这个物体可能是()8．在一个正方体容器内装入一定量的水，把容器按不同方式倾斜一点，容器内水面的形状不可能．．．是()9．如图，贤贤同学用手工纸制作一个台灯灯罩，做好后发现上口太小了，于是他把纸灯罩对齐压扁，剪去上面一截后，正好合适．以下裁剪示意图中，正确的是()10．由5个大小相同的正方体拼成的几何体如图所示，则下列说法正确的是()A．从正面看到的图形面积最小B．从左面看到的图形面积最小C．从上面看到的图形面积最小D．从三个方向看到的图形面积相等二、填空题(每题3分，共30分)11．假如我们把水滴看成一个点，当水滴向下落时，就能形成水线，说明了____________；钟的时针旋转时，形成一个面，说明了____________；正方形铁丝框架绕它的一边所在的直线旋转一周，形成一个圆柱，说明了____________．12．如果某六棱柱的一条侧棱长为5 cm，那么所有侧棱长之和为__________．13．下列图形中，属于棱柱的有________个．14．如图所示的几何体有______个面、______条棱、______个顶点．15．下列各图是几何体的平面展开图，请写出对应的几何体的名称．16．如图，将七个小正方形中的一个去掉，就能成为一个正方体的展开图，则去掉的小正方形的序号是____________________________________．17．用平面去截正方体，在所得的截面中，边数最少的截面形状是__________．18．从不同方向观察一个几何体，所得的平面图形如图所示，那么这个几何体的侧面积是__________(结果保留π)．19．如图，这是从不同方向观察由一些相同的小立方块搭成的几何体得到的形状图，则该几何体是由______个小立方块搭成的．20．图②是圆柱被一个平面斜切后得到的几何体，请类比梯形面积公式的推导方法(如图①)，推导图②中几何体的体积为__________(结果保留π)．三、解答题(22题8分，26题12分，其余每题10分，共60分)21．根据如图所示的图形，完成下列各题：(1)将以上图形按平面图形与立体图形分类；(2)把立体图形按柱体、锥体、球分类；(3)指出立体图形中各面都是平面的图形．22．如图所示的平面图形折叠成正方体后，相对面上的两个数之和为10，求x＋y＋z的值．23．一个几何体从三个方向看到的图形如图所示(单位：cm)．(1)写出这个几何体的名称：__________；(2)若从上面看该几何体为正方形，根据图中数据计算这个几何体的体积．24．由7个相同的小立方块搭成的几何体如图所示．(1)请画出该几何体从三个方向看到的形状图；(2)若每个小立方块的棱长为1，请计算它的表面积．25．如图①，把一张长10 cm 、宽6 cm 的长方形纸板分成两个相同的直角三角形(圆锥的体积公式为V 圆锥＝13πr 2h ，π取3.14)． (1)甲三角形(如图②)旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？(2)乙三角形(如图③)旋转一周，可以形成一个怎样的几何体？它的体积是多少立方厘米？26．把如图①所示的正方体切去一块，可得到如图②～⑤所示的几何体．(1)所得几何体各有多少个面？多少条棱？多少个顶点？(2)举例说明把其他形状的几何体切去一块，得到的几何体的面数、棱数和顶点数各是多少．(3)若面数记为f，棱数记为e，顶点数记为v，则f，e，v应满足什么关系式？参考答案一、1.C 2.A 3.C 4.A 5.C 6.C 7．B 8.B 9.A 10.B二、11. 点动成线，线动成面，面动成体12.30 cm 13.314．9；16；9 15.圆锥；三棱锥；圆柱16．6或7 17.三角形 18.6π19．10 20.63π三、21.解：(1)平面图形：②④⑦⑧；立体图形：①③⑤⑥⑨.(2)柱体：①③⑤；锥体：⑨；球：⑥.(3)立体图形中各面都是平面的图形：①⑤.22．解：由题意知x ＋5＝10，y ＋2＝10，2z ＋4＝10，解得x ＝5，y ＝8，z ＝3.所以x ＋y ＋z ＝5＋8＋3＝16.23．解：(1)长方体(2)由题图可知长方体的底面是边长为3 cm 的正方形，高为4 cm ，则这个几何体的体积是3×3×4＝36(cm 3)．24．解：(1)如图所示．(2)从正面看有5个正方形，从后面看有5个正方形，从上面看有5个正方形，从下面看有5个正方形，从左面看有3个正方形，从右面看有3个正方形，中间空处的两边共有2个正方形，所以表面积为(5＋5＋3)×2＋2＝26＋2＝28.25．解：(1)甲三角形旋转一周可以形成一个圆锥，它的体积是13×3.14×62×10＝376.8(cm 3)． (2)乙三角形旋转一周可以形成一个圆柱，里面被挖去一个圆锥，它的体积是3.14×62×10－13×3.14×62×10＝753.6(cm 3)．26．解：(1)题中图②有7个面、15条棱、10个顶点，图③有7个面、14条棱、9个顶点，图④有7个面、13条棱、8个顶点，图⑤有7个面、12条棱、7个顶点．(2)答案不唯一，例如：把三棱锥切去一块，如图所示，得到的几何体有5个面、9条棱、6个顶点．(3)f，e，v满足的关系式为f＋v－e＝2.。
五年级下册数学一课一练 - 2.2展开与折叠 北师大版(含答案)
五年级下册数学一课一练-2.2展开与折叠一、单选题1.观察:和字母D相对的面是（），F面对（）A. A，BB. C ，AC. B，E2.下面三个图形中（每格都是正方形），不是正方体展开图的是（）。
A. B. C.3.下面三个图形中，（）不是正方体的表面展开图。
A. B. C.4.下图是一个无盖正方体的展开图，①号面的对面应该是( )号面。
A. ②B. ③C. ④D. ⑤二、判断题5.. 长方体的6个面一定都是长方形．（）6.图形，一定能围成正方体。
（）三、填空题7.将如下图所示的纸沿虚线折成正方体后，1的对面是________．8.一个长方体的展开图如下，求它的表面积________．(单位：厘米)9.下面是一个长方体的展开图，请判断相对面上的字各是什么?与“创”相对的面上的字是“________”；与“建”相对的面上的字是“________”；与“和”相对的面上的字是“________”。
10.用A、B、C、D、E、F这六个字母给火柴盒的各个面标上号，如图是将该火柴盒拆开后的平面图．A的对面是________ ；D的对面是________ ；E的对面是________ ．11.将右图沿线折成一个立方体，它的共顶点的三个面的数字之积的最大值是________。
四、解答题12.如图是一个无盖长方体铁盒其中的两个面，想一想．（1）这个铁盒可能有________种形状．（2）请你选择其中的一种形状，根据图中有关数据算一算，制作这个铁盒用了多少铁皮？13.图哪些可以折成长方体或正方体？五、应用题14.图（1）是图（2）正方体的表面展开图，请在图（2）的正方体中将BD、E、F画出来．参考答案一、单选题1.【答案】C【解析】【分析】根据观察规律，里面有一个小正方体，只有在上面看才能看到，所以一共有3个；能看到的物体，该面应该与视线垂直对应，所以，在右边看小正方体只能看到两个面，所以选择A.2.【答案】A【解析】【解答】解：A项中的图不是正方体的展开图。
2024年《学考精练》数学七年级上册北师大版PPT教学课件：第二课时 其他常见几何图形的展开与折叠
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1.如图是正方体的展开图，如果a在后面，b在下面，c在左面，那么在 右面的是 f 面.
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2.直棱柱的侧面都是( B )
A.正方形
B.长方形
C.五边形
D.菱形
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3.下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是( D )
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4.将如图所示的直棱柱展开，下列各示意图中不. 可. 能. 是它的展开图的是 (D)
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5.如图是某几何体的展开图，则该几何体的名称是 圆柱 ，侧面积是 300π (用含π的式子表示).
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▶知识点1：棱柱的展开图 1.如图，把图中的三棱柱展开，所得到的展开图可以是( B )
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2.下列图形中是直三棱柱展开图的是( A )
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▶知识点2：圆柱、圆锥的侧面展开图
3.下列几何体中，侧面展开图没. 有. 长方形的是( C )
A.正方体
B.圆柱
C.圆锥
D.直五棱柱
4.圆柱的侧面展开图是 长方形 ，圆锥的侧面展开图是 扇形 .
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12 展开与折叠(备作业)-2021-2022学年七年级数学上(北师大版)(解析版)
1.2展开与折叠一、单选题1．下面四个图形中，不能做成一个正方体的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据空间想象能力判断出四个选项中不能拼成正方体的那个．A、B、C选项都是正确的；D选项拼起来之后会有一个面重合，不正确．故选：D．【点睛】本题考查正方体展开图的识别，解题的关键是要通过空间想象能力进行判断．2．下列图形中，是正四棱柱展开图的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据正四棱柱展开图的特点即可求解．A选项，正四棱柱的展开图中应该有两个正方形，故本选项错误；B选项，正四棱柱的展开图中，两个小正方形应该分别在上下两侧，故本选项错误；C选项，该图是正四棱柱的展开图，故本选项正确；D选项，正四棱柱的展开图中应该有四个长方形，故本选项错误．故选C．【点睛】此题主要考查几何体展开图的判断，解题的关键是熟知正四棱柱展开图的特点．3．下列选项中，左边的平面图形能够折成右边封闭的立体图形的是（）．A．B．C．D．【答案】C【解析】根据几何体的展开图，可得答案．A选项，不能折成正方体，故该选项错误；B选项，不能折成圆锥，故该选项错误；C选项，能折成圆柱，故该选项正确；D选项，不能折成三棱柱，故该选项错误．故选C．【点睛】本题主要考查了展开图折叠成几何体，熟记常见几何体的展开图是解题的关键．4．用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是( )．A．B．C．D．【答案】C【解析】分别找出长方体的对面，进而可得答案．解：如图所示：根据题意可知，A的对面是A'，B的对面是B'，C的对面是C'，A面阴影的短边与C面阴影的一边重合．故用如图所示的纸片折成一个长方体纸盒，折得的纸盒是C．故选：C．【点睛】本题考查了长方体的展开图，属于常见题型，注意从相对面入手是解题的关键．、都重合的点是（）5．把下图形折叠成长方体后，与F NA．L点B．A点C．J点D．I点【答案】C【解析】根据长方体的展开图即可得．由长方体的展开图可知，矩形ABIJ、矩形HGNM、矩形DEFG是长方体的三IJ MN GF相交于一点个相邻面，边,,、都重合的点是J点则与F N故选：C．【点睛】本题考查了长方体的展开图，掌握理解长方体的展开图是解题关键．6．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“美”字一面相对面的字是（）A．丽B．连C．云D．港【答案】D【解析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，“美”与“港”是相对面，“丽”与“连”是相对面，“的”与“云”是相对面．故选D．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．7．如图所示为几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为A．圆锥，正方体，三棱锥，圆柱B．圆锥，正方体，四棱锥，圆柱C．圆锥，正方体，四棱柱，圆柱D．圆锥，正方体，三棱柱，圆柱【答案】D【解析】根据常见的几何体的展开图进行判断，即可得出结果．根据几何体的平面展开图，则从左到右，其对应的几何体名称分别为：圆锥，正方体，三棱锥，圆柱；故选：D【点睛】本题考查了常见几何体的展开图；熟记常见几何体的平面展开图的特征，是解决此类问题的关键．8．在课题学习中，老师要求用长为12厘米，宽为8厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．三位同学分别以下列方式在长方形纸片上截去两角（图中阴影部分），然后沿虚线折成一个无盖的长方体纸盒．甲：如图1，盒子底面的四边形ABCD 是正方形；乙：如图2，盒子底面的四边形ABCD 是正方形；丙：如图3，盒子底面的四边形ABCD 是长方形，AB=2AD ．将这三位同学所折成的无盖长方体的容积按从大到小的顺序排列，正确的是A ．甲＞乙＞丙B ．甲＞丙＞乙C ．丙＞甲＞乙D ．丙＞乙＞甲【答案】C【解析】 分别将甲乙丙三位同学折成的无盖长方体的容积计算出来，即可比较大小.甲：长方体的长为5cm ，宽为3 cm ，高为3 cm ，容积为353345cm ⨯⨯=乙：长方体的长为10 cm ，宽为2 cm ，高为2 cm ，容积为3102240cm ⨯⨯=丙：长方体的长为6 cm ，宽为4 cm ，高为2 cm ，容积为364248cm ⨯⨯=所以，丙＞甲＞乙故选C【点睛】本题主要考查了长方体的体积，掌握长方体的体积公式是解题的关键.9．将如图所示的几何体沿某些棱剪开，展开成一个平面图形，要剪开的棱数是（ ）A．4 条B．5 条C．6 条D．7 条【答案】B【解析】由平面图形的折叠以及立体图形的表面展开图的特点结合思考，即可得出答案.上下两个底面需要各剪开两条棱，侧面需要剪开一条棱，所以至少需要剪开5条棱，故答案选择B.【点睛】本题考查了几何体表面展开图的特征，易错易混点是学生对相关图的位置想象不准确.10．如图表示一个无盖的正方体纸盒，它的下底面标有字母“M”，沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，这个平面展开图是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据无盖可知底面M没有对面，再根据图形粗线的位置，可知底面的正方形与侧面的四个正方形从左边数第2个正方形的下边，然后根据选项选择即可．解：∵正方体纸盒无盖，∴底面M没有对面，∵沿图中的粗线将其剪开展成平面图形，∴底面与侧面的从左边数第2个正方形相连，根据正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形可知，只有C选项图形符合．故选C．【点睛】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．沿着其中的四条棱剪开后，得到的展开图如图2所示，则剪开的四条棱11．将如图1所示的四棱锥A BCDE可以为（）A．AC，AD，BC，DE B．AB，BE，DE，CDC．AC，BC，AE，DE D．AC，AD，AE，BC【答案】A【解析】根据四棱锥的展开图特点即可判断.由四棱锥的展开图可知，需剪开两条侧棱与两条底面的棱，并且侧棱需剪掉共点顶点，底面为相对的棱，故A正确；【点睛】此题主要考查四棱锥的展开图，解题的关键是熟知根据四棱锥的展开图的特点.12．将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与如图不同的是（）A．B．C．D．【答案】B观察图形可知，将选项中的四个正方体分别展开后，所得的平面展开图与上面展开图不同的是选项B．二、填空题13．下列图形中，不能折成正方体的有___（填序号）．【答案】①②④【解析】利用正方体及其表面展开图的特点解题即可得出答案．解：③可以折成正方体；①、②、④折叠后有一个面重合，缺少一个底面，故不能折成正方体．故答案为：①、②、④．【点睛】此题考查了展开图折叠成几何体．解题的关键是明确能组成正方体的“一，四，一”“三，三”“二，二，二”“一，三，二”的基本形态要记牢．14．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的平面展开图，若图中的“锦”表示正方体的右面，则“_______”表示正方体的左面．【答案】程.【解析】根据展开图得到“锦”的对面是“程”.由展开图得到“锦”的对面是“程”，故填：程.【点睛】此题考查正方体展开的平面图，需熟知正方体展开的形式，由此即可正确解答.15．如图，将甲、乙、丙、丁四个小正方形中的一个剪掉，使余下的部分不能围成一个正方体，则剪掉的这个小正方形是________【答案】丁【解析】能围成正方体的“一四一”，“二三一”，“三三”，“二二二”的基本形态要记牢．解题时，据此即可判断答案．解：将如图所示的图形剪去一个小正方形，使余下的部分不能围成一个正方体，编号为甲乙丙丁的小正方形中剪去的是丁，故答案为：丁.【点睛】本题考查了展开图折叠成正方体的知识，解题关键是根据正方体的特征，或者熟记正方体的11种展开图，只要有“田”，“凹”字格的展开图都不是正方体的表面展开图．16．如图，把某直三棱柱的表面展开图围成三棱柱后与A 重合的字母是_____.【答案】D 和M【解析】根据直三棱柱展开图特点即可判断A、D、M重合.将图形沿BF，CG、BC折叠，可得A、D、M重合，故答案为D 和M.【点睛】本题考察多面体展开图，需要一定空间想象能力.17．一个立体图形的表面展开图如图所示，这个立体图形顶点的个数是_________.【答案】6【解析】由平面图形的折叠及常见立体图形的展开图解题；这个几何体是三棱柱，它的顶点个数为6个.【点睛】本题考查立体图形的展开图，根据展开图判断立体图形是解题的关键.18．如图，要使图中平面展开图按虚线折叠成正方体后，相对面上两个数之和为0，则2x y -=________.【答案】6试题分析：由图中正方体平面展开图可知：x 与2是对面，y 与4是对面，因为相对面上两个数之和为0，所以x=-2，y=-4，所以x －2y=-2-2×（-4）=-2+8=6.考点：1.正方体平面展开图；2.有理数的计算.19．将一个边长为10cm 正方形，沿粗黑实线剪下4个边长为_________cm 的小正方形，拼成一个大正方形作为直四棱柱的一个底面；余下部分按虚线折叠成一个无盖直四棱柱；最后把两部分拼在一起，组成一个完整的直四棱柱，它的表面积等于原正方形的面积．【答案】2.5试题分析：利用剪下部分拼成的图形的边长等于棱柱的底面边长求解即可．解：设粗黑实线剪下4个边长为xcm 的小正方形，根据题意列方程2x=10÷2解得x=2.5cm ，故答案为2.5．考点：展开图折叠成几何体．20．如图所示的三个图中，不是三棱柱的展开图的是_____．（只填序号）【答案】③【解析】根据三棱柱的两底展开是在矩形两端各有一个三角形，侧面展开是三个矩形，可得答案．解：三棱柱的两底展开是在矩形两端各有一个三角形，侧面展开是三个矩形，所以不是三棱柱的展开图的是③．故答案为：③．【点睛】本题考查了几何体的展开图，注意两底面是对面，展开是两个全等的三角形，侧面展开是三个矩形． 21．有一个六个面分别标上数字1、2、3、4、5、6的正方体，甲、乙、丙三位同学从不同的角度观察的结果如图所示．如果记2的对面的数字为,3m 的对面的数字为n ，则方程1x m n +=的解x 满足1,k x k k <<+为整数，则k =________．【答案】0【解析】由图甲、乙、丙可看出看出2的相对面是4；再由图乙、丙可看出3的相对面是6，从而确定m、n的值后即可确定答案．解：从图可以看出2和6、1、3、5都相邻，所以2的对面只能是4，即m=43和1、2、5、4相邻，那么3的对面是6，即n=6，∵m x+1=n，∴4x+1=6，∴1＜x+1＜2，∵k＜x＜k+1，k为整数，∴k=0．故答案为：0．【点睛】本题考查灵活运用正方体的相对面解答问题，立意新颖，是一道不错的题．22．将正方体骰子（相对面上的点数分别为1和6、2和5、3和4）放置水平桌面上，如图1．在图2中，将骰子向右翻滚90︒，然后在桌面上按逆时针方向旋转90︒，则完成一次变换．若骰子的初始位置为图1所示的状态，那么按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是__________．【答案】5【解析】先向右翻滚，然后再逆时针旋转叫做一次变换，那么连续3次变换是一个循环．本题先要找出3次变换是一个循环，然后再求10被3整除后余数是1，从而确定第1次变换的第1步变换．解：根据题意可知连续3次变换是一循环．所以10÷3=3…1．所以是第1次变换后的图形，即按上述规则连续完成10次变换后，骰子朝上一面的点数是5．故应填：5．【点睛】本题考查了正方体相对两个面上的文字，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．三、解答题23．如图，是一个正方体纸盒的两个表面展开图，请把-4，3，9，6，-1，2分别填入六个面中，使得折成正方体后，相对面上的两数之和与-5互为相反数．【答案】答案见解析【解析】根据相反数的性质，得与-5互为相反数的数为：5，再根据有理数加法运算和正方体展开图的性质分析，即可得到答案．与-5互为相反数的数为：5根据题意计算，展开图如下：．【点睛】本题考查了有理数和立方体展开图的知识；解题的关键是熟练掌握相反数、有理数加法运算、正方体展开图的性质，从而完成求解．24．如图是长方体的展开图，若图中的正方形边长为6cm，长方形的长为8cm，宽为6cm，请求出由展开图折叠而成的长方体的表面积和体积．【答案】表面积：264cm2，体积：288 cm3【解析】根据表面积公式，可得答案；根据长方体的体积，可得答案．解：根据题意，则表面积=6×8×4+62×2=192+72=264cm2．折叠而成的长方体的体积=6×8×6=288cm3．【点睛】本题考查了展开图折叠成几何题，利用长方体展开图中每个面都有一个全等的对面是解题关键．25．下面是一个多面体的表面展开图每个面上都标注了字母，（所有字母都写在这一多面体的外表面）请根据要求回答问题：（1）如果面F在前面，从左边看是B，那么哪一面会在上面？（2）如果从右面看是面C面，面D在后边那么哪一面会在上面？（3）如果面A在多面体的底部，从右边看是B，那么哪一面会在前面．【答案】（1）C面会在上面；（2）A面会在上面；（3）C面会在前面【解析】利用长方体及其表面展开图的特点解题．这是一个长方体的平面展开图，共有六个面，其中面“A”与面“F”相对，面“B”与面“D”相对，面“C”与面“E”相对．解：（1）由图可知，如果F面在前面，B面在左面，那么“E”面下面，∵面“C”与面“E”相对，∴C面会在上面；（2）由图可知，如果C面在右面，D面在后面，那么“F”面在下面，∵面“A”与面“F”相对，∴A面在上面．（3）由图可知，如果面A在多面体的底部，从右边看是B，那么“E”面在后面，∵面“C”与面“E”相对，∴C面会在前面【点睛】考查了几何体的展开图，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分析及解答问题．26．李明同学设计了某个产品的正方体包装盒如图所示，由于粗心少设计了其中一个顶盖，请你把它补上，使其成为一个两面均有盖的正方体盒子．（1）共有种弥补方法；（2）任意画出一种成功的设计图（在图中补充）；（3）在你帮忙设计成功的图中，要把-6，8，10，-10，-8，6这些数字分别填入六个小正方形，使得折成的正方体相对面上的两个数相加得0．（直接在图中填上）【答案】（1）4；（2）见解析；（3）见解析【解析】（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以有四种弥补方法；（2）利用（1）的分析画出图形即可；（3）想象出折叠后的立方体，把数字填上即可，注意答案不唯一．解：（1）根据正方体展开图特点：中间4联方，上下各一个，中间3联方，上下各1，2，两个靠一起，不能出“田”字，符合第一种情况，中间四个连在一起，上面一个，下面有四个位置，所以共有4种弥补方法，故答案为：4；（2）如图所示：；（3）如图所示：．【点睛】此题主要考查了立体图形的展开图，识记正方体展开图的基本特征是解决问题的关键．27．小明在学习了《展开与折叠》这一课后，明白了很多几何体都能展开成平面图形．于是他在家用剪刀展开了一个长方体纸盒，可是一不小心多剪了一条棱，把纸盒剪成了两部分，即图中的①和②．根据你所学的知识，回答下列问题：（1）小明总共剪开了条棱．（2）现在小明想将剪断的②重新粘贴到①上去，而且经过折叠以后，仍然可以还原成一个长方体纸盒，你认为他应该将剪断的纸条粘贴到①中的什么位置？请你帮助小明在①上补全．（3）小明说：已知这个长方体纸盒高为20cm，底面是一个正方形，并且这个长方体纸盒所有棱长的和是880cm，求这个长方体纸盒的体积．【答案】（1）8；（2）见解析；（3）200000立方厘米【解析】1）根据长方体总共有12条棱，有4条棱未剪开，即可得出剪开的棱的条数；（2）根据长方体的展开图的情况可知有4种情况；（3）设底面边长为acm，根据棱长的和是880cm，列出方程可求出底面边长，进而得到长方体纸盒的体积．解：（1）由图可得，小明共剪了8条棱，故答案为：8．（2）如图，粘贴的位置有四种情况如下：（3）∵长方体纸盒的底面是一个正方形，∴可设底面边长acm，∵长方体纸盒所有棱长的和是880cm，长方体纸盒高为20cm，∴4×20+8a＝880，解得a＝100，∴这个长方体纸盒的体积为：20×100×100＝200000立方厘米．【点睛】本题主要考查了几何展开图，结合具体的问题，辨析几何体的展开图，通过结合立体图形与平面图形的转化，建立空间观念，是解决此类问题的关键．28．如图是从三个方向看几何体得到的形状图．（1）说出这个几何体的名称；（2）画出它的一种表面展开图；（3）若从正面看到的形状图的宽为4 cm，长为7 cm，从左面看到的形状图的宽为3 cm，从上面看到的形状图中斜边长为5 cm，求这个几何体所有棱长的和，以及它的表面积和体积．【答案】（1）三棱柱；（2）见解析；（3）这个几何体所有棱长的和为45cm，它的表面积为96cm2，体积为42cm3【解析】（1）根据三棱柱的三视图特征即可解答；（2）根据三棱柱的三视图特征，画出其表面展开图即可，答案不唯一；（3）根据题意可知，侧棱为7，共3条，两个底面三角形的三边长为3、4、5，继而相加即可求得棱长的和，结合表面积等于三个侧面与两个底面的面积和求得表面积，根据体积＝底面积×侧棱即可求解．解：（1）这个几何体是三棱柱，（2）表面展开图如图所示（答案不唯一）：（3）棱长和为：7×3+（3+4+5）×2=45cm表面积为：S=S（底）+S（侧）=12×3×4×2+（3+4+5）×7=96cm2体积为：V=S（底）×h=12×3×4×7=42cm3故：这个几何体所有棱长的和为45cm，它的表面积为96cm2，体积为42cm3．【点睛】本题主要考查三棱柱有关知识，解题的关键是熟练掌握三棱柱的特征，三视图，表面积及体积计算公式．29．我们知道，将一个正方体或长方体的表面沿某些棱剪开，可以展成一个平面图形．（1）下列图形中，是正方体的表面展开图的是_______．（2）如图所示的长方体，长、宽、高分别为4、3、6，若将它的表面沿某些棱剪开，展成一个平面图形．则下列图形中，可能是该长方体表面展开图的有______（填序号）（3）下列图是题（2）中长方体的一种表面展开图，它的外围周长为52，事实上，题（2）中长方体的表面展开图还有不少，聪明的你能画出一个使外围周长最大的表面展开图吗？请画出这个表面展开图，并求出它的外围周长．【答案】（1）B；（2）①②③；（3）画出这个表面展开图见解析；外围周长为70．【解析】（1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（2）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题；（3）画出图象，根据外围周长的定义计算即可．（1）A折叠后不可以组成正方体；B折叠后可以组成正方体；C都是“2-4”结构，出现重叠现象，不能折成正方体，即不是正方体的表面展开图，故错误；D折叠后不可以组成正方体；故答案为：B；（2）可能是该长方体表面展开图的有①②③．故答案为：①②③；（3）外围周长最大的表面展开图，如图：观察展开图可知，外围周长为6×8+4×4+3×2=48+16+6=70．【点睛】本题考查了几何体的展开图，解题的关键是熟练掌握几何体的展开图的特征，属于中考常考题型．30．在一次青少年模型大赛中，小高和小刘各制作了一个模型，小高制作的是棱长为acm的正方体模型，小刘制作的是棱长为acm的正方体右上角割去一个长为3cm，宽为2cm，高为1cm的长方体模型（如图2）（1）用含a的代数式表示，小高制作的模型的各棱长度之和是___________；（2）若小高的模型各棱长之和是小刘的模型各棱长之和的56，求a的值；（3）在（2）的条件下，①图3是小刘制作的模型中正方体六个面的展开图，图中缺失的有一部分已经很用阴影表示，请你用阴影表示出其余缺失部分，并标出边的长度．②如果把小刘的模型中正方体的六个面展开，则展开图的周长是________cm；请你在图方格中画出小刘的模型中正方体六个面的展开图周长最大时的图形．【答案】（1）12a；（2）5；（3）①见解析；②72，图见解析【解析】（1）根据正方体由12条等长的棱即可计算．（2）根据立体图形求出小刘的模型的棱长之和，再根据题意即可列出关于a的方程，求出a即可．（3）①由题意可知另两个阴影再第一行和第三行第一个正方形内，再根据所给出的阴影，画出在第一行和第三行第一个正方形内的阴影即可．②展开图周长最长时，此时有12个5cm的边在展开图的最外围，画出此时的展开图，计算即可．（1）12×a=12acm （2）小高的模型的棱长之和为12acm，小刘的模型有9条长度为acm的棱，1条长度为（a-1）cm的棱，1条长度为（a-2）cm的棱，1条长度为（a-3）cm的棱，3条长度为1cm的棱，3条长度为2cm的棱，3条长度为3cm的棱，故小刘的模型的棱长之和为：9(1)(2)(3)132333(1212)a a a a a cm+-+-+-+⨯+⨯+⨯=+，根据题意可列512(1212)6a a=+解得：5a=（3）①如下图②如下图，此时展开图的周长512(12)32(31)72cm=⨯++++++=【点睛】本题考查正方体及其平面展开图，掌握正方体的几种展开图是解答本题的关键．。
北师大版数学七年级上册第一章丰富的图形世界展开与折叠
2 展开与折叠
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知识点一 正方体的展开与折叠 1.(2018河北临西一中月考)下列平面图形中,不是正方体的展开图的是 ( )
图1-2-3 答案 正方体;长方体;圆锥;圆柱;三棱柱 解析 由展开图各面的形状及展开图中各面的数量确定.
2 展开与折叠
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1.(2017山西农大附中月考)下列展开图不能叠合成无盖正方体的是 ()
答案 C 正方体的表面展开图不可能出现“凹”字形,故选C.
2 展开与折叠
2.一个几何体的表面展开图如图所示,则这个几何体是
2 展开与折叠
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题型二 由正方体展开图确定相对面 例2 图1-2-9是每个面上都有一个汉字的正方体的一种平面展开图,那 么在原正方体中,和“国”字所在面相对的面上的汉字是 ( )
图1-2-9 A.钓 B.鱼 C.岛 D.中
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解析 根据正方体的表面展开图的特征,易知与“中”字所在面相对的 面上的汉字是“的”,与“钓”字所在面相对的面上的汉字是“岛”, 与“国”字所在面相对的面上的汉字是“鱼”,故选B.
答案 A 可以自己动手折一下.
2 展开与折叠
知识点二 柱体、锥体的展开与折叠 3.图1-2-2是一个长方体包装盒,则它的平面展开图是 (
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)
图1-2-2
答案 A 长方体包装盒展开后,相对的面不能相邻,故B、C不正确;两 个底面不可能在四个长方形的同侧,故D不正确.故选A.
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：几何体可分为几类，分别是什么？
问题2：从面、棱和顶点说一下关于棱柱和圆柱的区别？
问题3：n棱柱有_______个顶点，_______条棱，_______个面．
问题4：n棱锥有_______个顶点，_______条棱，_______个面．
问题5：圆柱的侧面展开图是什么，圆锥的侧面展开图呢？
问题6：正方体的表面展开图有几种，你能画出来吗？
问题7：你能找出正方体的11种表面展开图中的相对面相邻面吗？请在上一题所画的11种表面展开图中表示出来．
几何体与展开图（北师版）
一、单选题(共15道，每道6分)
1.如下图，下列图形全部属于柱体的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：认识几何体
2.四棱柱的顶点、棱、面的个数分别是( )
A.8，8，4
B.8，12，6
C.4，8，6
D.4，5，5
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：棱柱的顶点、面、棱的个数
3.六棱锥的顶点、棱、面的个数分别是( )
A.12，6，7
B.12，18，8
C.6，12，7
D.7，12，7
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：棱锥的顶点、面、棱的个数
4.一个棱柱有30条棱，那么它的底面是( )
A.十五边形
B.十四边形
C.三十边形
D.十边形
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：棱柱的顶点、面、棱的个数
5.一个棱锥有18个面，那么它有( )条棱．
A.32
B.51
C.34
D.48
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：棱锥的顶点、面、棱的个数
6.将如图所示的直角梯形绕直线旋转一周，得到的几何体是( )
A. B.
C. D.
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：面动成体
7.下列四个图形中，是三棱柱的表面展开图的是( )
A. B.
C. D.
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：柱、锥表面展开图8.下面6个图形是正方体的表面展开图的有( )
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方体的表面展开图
9.从如图的纸板上11个无阴影的正方形中选1个（将其余10个都剪去），与图中5个有阴影的正方形折成一个正方体，不同的选法有( )
A.6种
B.5种
C.4种
D.3种
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方体的表面展开图
10.如图，下列四个选项的图形折叠后，能得到如图正方体的是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方体的表面展开图
11.将“创建文明城市”六个字分别写在一个正方体的六个面上，这个正方体的表面展开图如图所示，那么在这个正方体中，和“创”相对的字是( )
A.文
B.明
C.城
D.市
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方体的表面展开图——相对面
12.如图，是一个正方体的表面展开图，在正方体中写有“心”字的那一面的相对面的字是( )
A.祝
B.你
C.事
D.成
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方体的表面展开图——相对面
13.小明为了鼓励芦山地震灾区的学生早日走出阴影，好好学习，制作了一个正方体礼盒（如图）．礼盒每个面上各有一个字，连起来组成“芦山学子加油”，其中“芦”的对面是“学”，“加”的对面是“油”，则它的表面展开图可能是( )
A. B.
C. D.
答案：C
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方体的表面展开图——相对面、相邻面
14.六个面分别标有“我”、“是”、“初”、“一”、“学”、“生”的正方体有三种不同放置方式，则“是”和“学”的相对面分别是( )
A.“生”和“一”
B.“初”和“生”
C.“初”和“一”
D.“生”和“初”
答案：A
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方体的表面展开图——相对面、相邻面
15.一个小立方块的六面分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图是从三个不同方向看到的情形，则A，B，E的相对面分别是( )
A.E，D，F
B.E，F，D
C.F，D，E
D.F，D，C
答案：D
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：正方体的表面展开图——相邻面、相对面。