《鸡兔同笼》是我国古代著名趣题之一,大约在1500年前,我国古代一部较为普及的算书《孙子算经》就记载了这
奥数-鸡兔同笼问题的四种题型
鸡兔同笼冋题的几种解法鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一。
通过学习解鸡兔同笼冋题，可以提高我们的分析问题、解决问题的能力。
下面我来介绍几种解鸡兔同笼问题的方法：大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题，这就是著名的“鸡兔同笼”问题。
书中是这样叙述的：”今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？〃意思就是：笼子里有若干只鸡和兔，从上面数，有35个头，从下面数, 有94只脚，问鸡和兔各有多少只？解法一：列表枚举法列表枚举法就是让我们列出表格，采用依次列举，逐步尝试的方法来解决这个问题。
详细过程见下表:鸡3534333226252423兔01239101112脚7072747688909294解法二：抬腿法这是古人解题的方法，也就是《孙子算经》中采用的方法。
1、抬腿，即鸡"金鸡独立”，兔两个后腿着地，前腿抬起，腿的数量就为原来数量的一半。
944- 2=47 只脚。
2、现在鸡有一只脚，兔有两只脚。
笼子里只要有一只兔子，脚数就比头数多1。
3、那么脚数与头数的差47-35=12就是兔子的只数＜4、最后用头数减去兔的只数35-12=23就得岀鸡的只数。
所以，我们可以总结岀这样的公式：兔子的只数二总*2-总只数。
解法三：假设法假设法是鸡兔同笼类间题最常用的方法之一。
假设这35个头都是兔子，那么腿数就应该是35X4=140,就比94还多，那么是哪里多的呢？当然是我们把两条腿的鸡看成了四条腿的兔子了。
我们都知道一只兔子比一只鸡多2条腿，多2条腿就有1只鸡，那么多的腿数当中有多少个2就有多少只鸡。
我们可以列式为：鸡的只数二（35X4- 94） - （4-2）.总结公式为：鸡的只数二（兔的脚数X总只数-总腿数）三（兔的腿数-鸡的腿数）。
当然我们也可以把这35个头都看成鸡的，那么腿数应该是35X2=70,就比94还少，相信不说你也明白为什么少了？对，因为我们把4条腿的兔子看成了2条腿的鸡，那么每少两条腿就有1只兔子。
鸡兔同笼问题题型汇总
鸡兔同笼模块A、简单的极端假设法例1：鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有十头，下有二十六足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有10个头；从下面数，有26只脚。
问笼中鸡和兔各有几只？（画图法）你能解决这道题吗？不妨画图试一试？练：自行车和三轮车共15辆，共有38个轮子，自行车和三轮车各有几辆？例2：鸡兔共有100只，共有280条腿，鸡兔各有多少只？（极端假设法）假设如果笼中都是鸡，那么笼子里会有多少个头和多少条腿？练：龟鹤在同一个池塘里，共有65个头，却有200条腿，龟鹤各几只？鸡兔同笼，共有35个头，却有94条腿，鸡兔各几只？鸡兔同笼，共有54个头，154条腿，鸡和兔各几只？一个笼子鸡和兔共33只，一共有70条腿，那么鸡和兔各几只？例3：蜘蛛和蜂鸟共50个头，共196条腿，蜘蛛和蜂鸟个多少只？（打破鸡与兔的模型，进一步体会极端假设法）本题该如何假设？练：马戏团里有独轮车和三轮车共30辆，其中每辆独轮车有1个轮子，每辆三轮车有3个轮子，所有车辆一共有66个轮子，那么独轮车和三轮车各几辆？停车场上的自行车和三轮车一共有24辆，所有自行车和三轮车共有56个轮子，自行车和三轮车各几辆？蜻蜓和蜘蛛共45只，共有300条腿，蜘蛛和蜻蜓各几只？停车场有三轮车和汽车共126辆，共有200个车轮，三轮车和汽车各几辆？停车场有三轮车和自行车共20辆，共有51个车轮，三轮车和自行车各几辆？例4：老师用112元共买20支笔给学生做奖品，红铅笔5元一支，蓝铅笔8元一支，红铅笔和蓝铅笔各买了几支？（彻底打破原有的鸡兔模型，更深一层的理解运用极端假设法）你能找到谁是鸡？谁是兔？什么是头？什么是脚吗？嘉嘉存钱罐里有5角和1元的硬币共25枚，总钱数是19元。
这两种硬币各多少枚？浩浩买了2元和5元的纪念邮票共34枚，用去98元。
鸡兔同笼问题
1.典型鸡兔同笼问题详解例1鸡兔同笼是我国古代的著名趣题。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载着“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”翻译成通俗易懂的内容如下：鸡兔共有35个头，94只脚，问鸡兔各有多少只？经梳理，对于这一类问题，总共有以下几种理解方法。
（1）站队法让所有的鸡和兔子都列队站好，鸡和兔子都听哨子指挥。
那么，吹一声哨子让所有动物抬起一只脚，笼中站立的脚：94-35=59（只）那么再吹一声哨子，然后再抬起一只脚，这时候鸡两只脚都抬起来就一屁股坐地上了，只剩下用两只脚站立的兔子，站立脚：59-35=24（只）兔：24÷2=12（只）；鸡：35-12=23（只）（2）松绑法由于兔子的脚比鸡的脚多出了2个，因此把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚。
那么，兔子就成了2只脚。
则捆绑后鸡脚和兔脚的总数：35×2=70（只）比题中所说的94只要少：94-70=24（只）。
现在，我们松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，不断地一个一个地松开绳子，总的脚数则不断地增加2，2，2，2……，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24÷2=12（只）从而鸡数：35-12=23（只）（3）假设替换法实际上替代法的做题步骤跟上述松绑法相似，只不过是换种方式进行理解。
假设笼子里全是鸡，则应有脚70只。
而实际上多出的部分就是兔子替换了鸡所形成。
每一只兔子替代鸡，则增加每只兔脚减去每只鸡脚的数量。
兔子数=（实际脚数-每只鸡脚数*鸡兔总数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）与前相似，假设笼子里全是兔，则应有脚120只。
而实际上不足的部分就是鸡替换了兔子所形成。
每一只鸡替代兔子，则减少每只兔脚减去每只鸡脚的数量，即2只。
鸡数=（每只兔脚数*鸡兔总数-实际脚数）/（每只兔脚数-每只鸡脚数）将上述数值代入方法（1）可知，兔子数为12只，再求出鸡数为23只。
鸡兔同笼问题的几种解法
鸡兔同笼问题的几种解法鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一。
通过学习解鸡兔同笼问题，可以提高我们的分析问题、解决问题的能力。
下面我来介绍几种解鸡兔同笼问题的方法：大约一千五百年前，我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道数学趣题，这就是著名的“鸡兔同笼”问题。
书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四从上面数，有35个头，从下面数，有采用依次列举，逐步尝试的方法来解决这个问题。
详半。
94÷2=47只脚。
2、现在鸡有一只脚，兔有两只脚。
笼子里只要有一只兔子，脚数就比头数多1。
3、那么脚数与头数的差47－35=12就是兔子的只数。
12=23就得出鸡的只数。
兔子的只数=总腿数÷2－总只数。
35个头都是兔子，那么腿数就应腿的兔子了。
我们都知道一只兔子比一只鸡多2条腿，多2条腿就有1只鸡，那么多的腿数当中有多少个2就有多少只鸡。
我们可以列式为：鸡的只数=（35×4－94）÷（4－2）。
总结公式为：鸡的只数=（兔的脚数×总只数－总腿数）÷（兔的腿数－鸡的腿数）。
当然我们也可以把这35个头都看成鸡的，那么腿数应该是35×2=70，就比94还少，相信不说你也明白为什么少了？对，因为我们把4条腿的兔子看成了2条腿的鸡，那么每少=（94－35×2）÷（4－2）。
总结。
下面我就用这种方法来这样每只鸡就没有腿了，每只兔子就剩下了两条腿，腿的总数也就变成了94－35×2=24（条），那么这24条腿都是砍掉两条腿后的兔子的腿，所以兔子的只数就是24÷2=12（只），鸡的只数就是35－12=23（只）。
我们仔细观察会发现它的计算过程和假设法中先把所有的都看成鸡的做法是一样的。
只不过这种说法，我们理解起来更容易而已。
看完了上面的5种解法，不知你有何感想？你一定会觉得学习数学真是一件很有趣的事情，数学中充满了无穷的奥妙。
北师大版八年级数学上册第5章《二元一次方程组》应用题选择题拔高训练(二)
第5章《二元一次方程组》应用题选择题拔高训练（二）1．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它的出现标志着中国古代数学形成了完整的体系，在其方程章中有一道题：今有甲乙二人，不知其钱包里有多少钱，若乙把其钱的一半给甲，则甲的钱数为50；若甲把其钱的给乙，则乙的钱数也能为50，问甲、乙各有多少钱？若设甲持钱为x，乙持钱为y，则可列方程组（）A．B．C．D．2．某山区有一种土特产品，若加工后出售，单价可提高20%，但重量会减少10%．现有该种土特产品300千克，全部加工后可以比不加工多卖240元，设加工前单价是x元/kg，加工后的单价是y元/kg，由题意，可列出关于x，y的方程组是（）A．B．C．D．3．《九章算术》是中国古代的数学专著，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中有一个问题：“今有二马、一牛价过一万，如半马之价；一马、二牛价不满一万，如半牛之价．问牛、马价各几何？”其大意为：“现有两匹马加一头牛的价钱超过一万，超过的部分正好是半匹马的价钱：一匹马加上两头牛的价钱则不到一万，不足的部分正好是半头牛的价钱．问一头牛、一匹马各多少钱？”设一匹马值x钱、一头牛值y钱，则符合题意的方程组为（）A．B．C．D．4．我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房x间、房客y 人，下列方程组中正确的是（）A．B．C．D．5．《九章算术》中有一道“盈不足术”问题，原文为：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同购买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设共同购买该物品的有x人，该物品的价格是y元，则根据题意，列出的方程组为（）A．B．C．D．6．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，也是世界上最早的印刷本数学书，它的出现标志着中国古代数学体系的形成．书中有如下问题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多了3元；如果每人出7元，则少了4元，问有多少人？该物品价值多少元？若设有x人，物品价值y元，根据题意，可列方程为（）A．B．C．D．7．明代大数学家程大位著《算法统宗》一书中，记载了这样一道数学题：“八万三千短竹竿，将来要把笔头安，管三套五为期定，问君多少能完成？”用现代的话说就是：有83000根短竹，每根短竹可制成毛笔的笔管3个或笔套5个，怎样安排笔管和笔套的短竹的数量，使制成的1个笔管与1个笔套正好配套？设用于制作笔管的短竹数为x根，用于制作笔套的短竹数为y根，则可列方程为（）A．B．C．D．8．如图，用12块相同的小长方形瓷砖拼成一个大的长方形，则每个小长方形瓷砖的面积是（）A．175cm2B．300cm2C．375cm2D．336cm29．费县为了改善全县中、小学办学条件，计划集中采购一批电子白板和投影机，已知购买2块电子白板比购买3台投影机多4000元，购买4块电子白板和3台投影机共需44000元，则购买一块电子白板和一台投影机分别需要（）A．4000元，8000元B．8000元，4000元C．14000元，8000元D．10000元，12000元10．如图，矩形ABCD，由四块小矩形拼成（四块小矩形放置是既不重叠，也没有空隙），其中②③两块矩形全等，如果要求出①④两块矩形的周长之和，则只要知道（）A．矩形ABCD的周长B．矩形②的周长C．AB的长D．BC的长11．春节前夕，某旅游景区的成人票和学生票均对折，李凯同学一家（2个成人和1个学生）去了该景区，门票共花费200元，王玲同学一家（3个成人和2个学生）去了该景区，门票共花费320元，则赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费（）A．120元B．130元C．140元D．150元12．小宇、小明、小华和小芳四个人到文具店购买同一种笔记本和钢笔，他们把各自购买的数量和总价列成了下面的表格，聪明的小宇发现其中有一个人把总价算错了，这个算错误的人是（）小宇小明小华小芳笔记本（本）9 3 6 12钢笔（支）15 5 10 20总价（元）198 66 132 244 A．小芳B．小华C．小明D．小宇13．根据以下对话，可以求得小红所买的笔和笔记本的价格分别是（A．3元、2元B．2元、3元C．3.4元、1.6元D．1.6元、3.4元14．在早餐店里，王伯伯花2元买了2个馒头和1个包子，李阿姨花7元买了4个馒头，5个包子．则买1个馒头和1个包子要花（）A．3元B．2元C．1.5元D．1元15．小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是（）A．30分B．32分C．33分D．34分16．合肥路通旅游公司有两种客车，1辆中巴车与4辆小客车一次可以搭载46名乘客，2辆中巴车与3辆小客车一次可以搭载57名乘客，该公司用3辆中巴车与6辆小客车，一次可以搭载乘客（）A．129名B．120名C．108名D．96名17．如图所示是由截面为同一种矩形的墙砖粘贴的部分墙面，其中三块横放的墙砖比一块竖放的墙砖高10cm，两块横放的墙砖比两块竖放的墙砖低40cm，则每块墙砖的截面面积是（）A．425cm2B．525cm2C．600cm2D．800cm2 18．鸡兔同笼，头共有20个，脚有56只，笼中鸡、兔的数目分别为（）A．8、12 B．10、10 C．11、9 D．12、8 19．鸡兔同笼问题是我国古代著名趣题之一，大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡、兔同在一个笼子里，从上上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？经计算可得（）A．鸡20只，兔15只B．鸡12只，兔23只C．鸡15只，兔20只D．鸡23只，兔12只20．运输360吨化肥，装载了6节火车车厢和15辆汽车；运输440吨化肥，装载了8节火车车厢和10辆汽车．则10节火车车厢和20辆汽车能运输多少吨化肥？（）A．720 B．860 C．1100 D．580参考答案1．解：由题意可得，，故选：B．2．解：由题意可得，，故选：D．3．解：设一匹马值x钱、一头牛值y钱，由题意可列方程组．故选：A．4．解：设该店有客房x间，房客y人；根据题意得：，故选：A．5．解：依题意，得：．故选：D．6．解：若设有x人，物品价值y元，根据题意，可列方程组为，故选：A．7．解：依题意，得：．故选：B．8．解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm．根据题意得：解得：．故xy＝30×10＝300cm2．故选：B．9．解：设购买1块电子白板需要x元，一台投影机需要y元，由题意得：，解得：．故购买一块电子白板需要8000元，一台投影机需要4000元，故选：B．10．解：设BC的长为x，AB的长为y，矩形②的长为a，宽为b，由题意可得，①④两块矩形的周长之和是：（x﹣b）×2+2a+2b+2（x﹣a）＝2x﹣2b+2a+2b+2x﹣2a＝4x；故选：D．11．解：设成人票是x元/张，学生票是y元/张，依题意得：，解得，则x+y＝120．即赵芸同学和妈妈去该景区游玩时，门票需要花费120元．故选：A．12．解：设笔记本的单价为x，钢笔的单价为y，则：小宇：9x+15y＝3（3x+5y）＝198，3x+5y＝198÷3＝66（元）；小聪：3x+5y＝66，3x+5y＝66（元）；小华：6x+10y＝2（3x+5y）＝132，3x+5y＝132÷2＝66（元）；小芳：12x+20y＝4（3x+5y）＝244，3x+5y＝244÷4＝61（元）≠66（元），故小芳算错了总价．故选：A．13．解：设笔的单价为x元/支，笔记本单件为y元/本，根据题意，得：，解得：，∴笔的单价为1.6元/支，笔记本单件为3.4元/本，故选：D．14．解：设买1个馒头x元，买1个包子要花y元，根据题意可得：，①+②得：6x+6y＝9，故x+y＝1.5，则买1个馒头和1个包子要花1.5元．故选：C．15．解：设大圈内，小圈内得分分别为x，y分，依题意得：，解这个方程组得：，答：小方、小军一次各得5分、9分，则小红的得分是5+3×9＝32分．故选：B．16．解：设每辆中巴车载客x人，每辆小客车载客y人，由题意得：，解得：，3×18+6×7＝96（名），故选：D．17．解：设每块墙砖的长为xcm，宽为ycm，根据题意得：，解得：，则每块墙砖的截面面积是35×15＝525cm2，故选：B．18．解：设笼中有x只鸡，y只兔，依题意，得：，解得：．故选：D．19．解：设笼中有x只鸡，y只兔，根据题意得：，解得：．故选：D．20．解：设每节火车车厢能运输x吨化肥，每辆汽车能运输y吨化肥，根据题意得：，解得：，∴10x+20y＝580．故选：D．11 / 11。
鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一
鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔？而这个古代的趣题，包含了很多重要的数学思想方法。
一、化归思想化归是基本而典型的数学思想。
化归是指将有待解决的问题，通过转化归结为一类已经解决或较易解决的问题中去，以求得解决。
我们常常用到的如化未知为已知、化难为易、化繁为简、化曲为直等都是这一思想方法的运用。
“鸡兔同笼”原题中的数据比较大，不利于首次接触该类问题的人们进行探究，根据化繁为简的思想，先安排数据较小的问题，如“笼子里有若干只鸡和兔。
从上面数，有7个头，从下面数，有18只脚。
鸡和兔各有几只？”（以下均以此题为例）待人们探索出解决此类问题的一般方法后，再应用于解决《孙子算经》中数据较大的原题，将易如反掌。
“鸡兔同笼”问题在生活中有很多变式，比如“龟鹤问题”、“坐船问题”等，这些问题可以通过化归，归结为“鸡兔同笼”问题，再进一步求解，使人们感受“鸡兔同笼”问题的变式及其在生活中的广泛应用，体会“化归法”在解题中的魅力。
二、枚举思想通过枚举解决问题就是把符合问题的所有可能答案逐个找出，并用某种形式进行整理，从而得到问题的答案。
枚举是一种朴素的思想方法，又是一种实用的解决问题的策略。
在刚接触“鸡兔同笼”问题时，人们要列式计算往往感到困难。
但是，对于数据较小的问题，一些可能的答案却很容易凭经验或直觉得到，可以运用猜测、验证的方法，实际上就是用枚举法（即一一列举）来解决问题，人们一般用顺序枚举法，按从大到小或从小到大依次枚举，可以有效避免疏漏或重复。
枚举法常常借助于列表来及时记录了每一种可能的结果。
例如上题应用此法可得到鸡有5只、兔有2只。
当数据较大时，可以根据数据的特点按一定的间隔或从中间数开始列举，不断优化枚举法，灵活快捷地解决问题。
鸡兔同笼问题
鸡兔同笼问题这个问题，是我国古代著名趣题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
求笼中各有几只鸡和兔？在解决这类问题时，假设法和换的思维最重要二年级要求：学习第一类基本题型，通过画图和画表来了解假设和换的思路与过程三年级要求：学习第一类基本题型及简单变化题型，掌握并熟悉假设和换的思路与过程；视掌握程度可向第二、三类题型扩展四年级要求：学习第二、三类题型及变化题型，注意假设法在各类题型中的变化一、基本题型（已知头和脚的总数）例1 有若干只鸡和兔子,它们共有88个头,244只脚,鸡和兔各有多少只解：假设全是鸡88×2=176 由假设算出来的总脚数244-176=68 比题中实际条件少的脚数4-2=2 拿一只兔换一只鸡，每换一次会补上2只脚68÷2=34 要换34次，因每换一次就有一只兔,即为兔的数目88-34=54 鸡的数目（如果假设全是兔呢？）练习：1.学校有象棋,跳棋共26副,恰好可供120个学生同时进行活动.象棋2人下一副棋,跳棋6人下一副.象棋和跳棋各有几副2、自行车和汽车共7辆，轮子有20个，它们各多少辆？3、蜘蛛和蛐蛐共10只，腿66条，它们各几只？（蜘蛛8条腿、蛐蛐6条腿）4、有5分和1分硬币共18枚，共3角8分，它们各几枚？5、鸡兔同笼，共10个头，26条腿，鸡兔各几只？6、有10元币和5元币共6张，正好是50元，它们各几张？7、把44粒棋子放在10只盒子里，每只大盒子放6个，每个小盒子放4个，恰好放完，问：大、小盒子各几个8、8人去公园玩，买门票共花102元，已知成人票每张15元，儿童票每张9元，那么这8人中有几名大人？几名儿童？9、鸡兔同笼，共14个头，38条腿，鸡兔各几只？※10、老师带9名同学去种63棵树，老师先种下1棵，然后全部同学动手种，男同学每人种8棵，女同学每人种3棵，刚好种完，男女同学各几人？二,"两数之差"的问题(假设法、“补”或“减”的方法)（一）已知总脚数、头数之差例1 鸡兔共笼，鸡比兔多30只，共有脚168只，鸡兔各几只？解法一、假设法假设全是鸡，共有168÷2=84（只），这时兔为0只，鸡比兔多84只。
鸡兔同笼全解
鸡兔同笼问题全解鸡兔同笼是我国古代著名趣题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔？一、用画图凑数法解鸡兔同笼例1一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？解：这是古代的民间趣题，叫“鸡兔同笼”问题．见图15－1（1）、（2）、（3）．①先画10个②每个头下画上两条腿：数一数，共有20条腿，比题中给出的腿数少26-20=6条腿．③给一些鸡添上两条腿，叫它变成兔．边添腿边数，凑够26条腿．每把一只鸡添上两条腿，它就变成了兔，显然添6条腿就变出来3只兔．这样就得出答案，笼中有3只兔和7只鸡．例2一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？解：发挥想像力和创造力，你可以画一个简图代表车身，见图15－2（1）、（2）、（3）．①先画10个车身：②在每个车身下配上两个轮子，它就成了自行车：③数一数共20个车轮，比题中给出的轮子数少26-20=6个轮子，在自行车下面添轮子，每添一个轮子，这个自行车就成了三轮车．边添边凑数，凑出26个轮子出来．最后数一数，共有6辆三轮车，4辆自行车．注意，用这种画图凑数法解题，很直观，也比较快，为了使解题速度更快，可以把三个步骤合起来，就能得出答案．例3一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只？解：此题要想个更简单的办法，见图15－3（1）、（2）．①先画10个头，在每个头下写上数字“6”，代表6只腿，－－即先假设10只都是蛐蛐，则如：②数一数，算一算，6×10=60，即共有60条腿，比题中给出的腿数少68-60=8条腿，所以就要在下面再添腿，每在一个头下添2条腿（写个“2”），它就变成了一只蜘蛛，共添上8条腿，就使总腿数凑够68条腿了．最后数一数，共有4只蜘蛛，6只蛐蛐．解这道题时，我们用数字代表腿数，使我们省去了画“腿”的麻烦．其实，也可以完全省去画图，我们只要把解题想法和算式摘出来就行了！第一步，先把10只全部看成是蛐蛐，那么一共就有：6×10=60条腿．第二步，算一算少了多少条腿？少了68-60=8条腿．第三步，把一个蛐蛐给它添上2条腿，使它变成了蜘蛛，可以变成几只蜘蛛呢？8÷2=4只（蜘蛛），第四步，再算出蛐蛐的只数出来：10-4=6只（蛐蛐）．这样一来，我们就不必借助于画图的直观形象，也可以解这类题目了．如果能这样，我们的思维能力就又提高一步了！特别重要的是，我们这样就可以不用“凑数”的尝试方法了．例4笼中有兔又有鸡，数数腿36，数数脑袋11，问几只兔子几只鸡？解：方法1：先用画图凑数法解，见图15－4（1）、（2）、（3）．①先画11个头：②再在头下填腿：③数一数，共有2×11=22条腿．还少36-22=14条腿，每添2条腿，就使一只鸡变成兔．数一数，共变出了7只兔：14÷2=7．最后数一数，笼中共有7只兔，4只鸡．方法2：①把11只全部看成鸡，共有2×11=22条腿．②比题中给出的腿数少了36-22=14条腿．③给一只鸡添2条腿使它变成一只兔，共变成：14÷2=7只（兔）．③再算出鸡数为：11-7=4只（鸡）．④例5今有五分的和一角的两种汽车票，共10张，总钱数是七角五分．问每种各几张？习题十五1．笼中有兔又有鸡，数数腿三十整，数数脑袋一十一，几只兔子几只鸡？2．今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（这是一道古代趣题．雉，即野鸡，“各几何”是各多少的意思．）3．有一首中国民谣：“一队猎手一队狗，二队排着一起走，数头一共三百六，数腿一共八百九，多少猎手多少狗？”二、列举法解鸡兔同笼例1一只鸡有一个头2只脚，一只兔有一个头4只脚．如果一个笼子里关着的鸡和兔共有10个头和26只脚，你知道笼子里有几只鸡、有几只兔吗？练习例2一辆自行车有2个轮子，一辆三轮车有3个轮子．车棚里放着自行车和三轮车共10辆，数数车轮共有26个．问自行车几辆，三轮车几辆？例3一只蛐蛐6条腿，一只蜘蛛8条腿．现有蛐蛐和蜘蛛共10只，共有68条腿．问蛐蛐几只，蜘蛛几只？三、用假设法解鸡兔同笼问题例1（古典题）鸡兔同笼，头共46，足共128，鸡兔各几只？解法一：先假设它们全是鸡。
鸡兔同笼问题(三)
6-1-9.鸡兔同笼问题（三）教学目标1.熟悉鸡兔同笼的“砍足法”和“假设法”.2.利用鸡兔同笼的方法解决一些实际问题，需要把多个对象进行恰当组合以转化成两个对象．知识精讲一、鸡兔同笼这个问题，是我国古代著名趣题之一．大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚．求笼中各有几只鸡和兔？你会解答这个问题吗？你想知道《孙子算经》中是如何解答这个问题的吗？二、解鸡兔同笼的基本步骤解答思路是这样的：假如砍去每只鸡、每只兔一半的脚，则每只鸡就变成了“独脚鸡”，每只兔就变成了“双脚兔”．这样，鸡和兔的脚的总数就由94只变成了47只；如果笼子里有一只兔子，则脚的总数就比头的总数多1．因此，脚的总只数47与总头数35的差，就是兔子的只数，即473512-=（只）．显然，鸡的只数就是-=（只）了．351223这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已．除此之外，“鸡兔同笼”问题的经典思路“假设法”．假设法顺口溜：鸡兔同笼很奥妙，用假设法能做到，假设里面全是鸡，算出共有几只脚，和脚总数做比较，做差除二兔找到．解鸡兔同笼问题的基本关系式是：如果假设全是兔，那么则有：鸡数=（每只兔子脚数×鸡兔总数-实际脚数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）兔数=鸡兔总数-鸡数如果假设全是鸡，那么就有：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每只鸡的脚数）鸡数=鸡兔总数-兔数当头数一样时，脚的关系：兔子是鸡的2倍当脚数一样时，头的关系：鸡是兔子的2倍在学习的过程中，注重假设法的运用，渗透假设法的重要性，在以后的专题中，如工程，行程，方程等专题中也都会接触到假设法例题精讲模块一、多个量的“鸡兔同笼”——鸡兔同笼问题【例1】有蜘蛛、蜻蜓、蝉三种动物共18只，共有腿118条，翅膀20对(蜘蛛8条腿；蜻蜓6条腿，两对翅膀；蝉6条腿，一对翅膀)，求蜻蜓有多少只？【巩固】希望小学的生物标本室里有蜻蜓，蝉，蜘蛛共11只，它们共有74条腿，10对翅膀，由图7知该标本室里有只蜘蛛。
鸡兔同笼
鸡兔同笼鸡兔同笼，是我国古代著名趣题之一，记载于《孙子算经》之中。
鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一。
大约在1500年前，《孙子算经》中就记鸡兔同笼载了这个有趣的问题。
书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只鸡和兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。
问笼中各有几只鸡和兔。
兔：94÷2-35 =12鸡：35-12=23中国古代孙子的解法“上置三十五头，下置九十四足。
半其足得四十七。
以少减多，再命之，上三除下四，上五除下七。
下有一除上三，下有二除上五，即得”。
[1]翻译成算术方法就是：兔数（94÷2）－35＝12（只）鸡数35－12＝23 （只）这一思路新颖而奇特，其“砍足法”也令古今中外数学家赞叹不已。
这种思维方法叫化归法。
化归法就是在解决问题时，先不对问题采取直接的分析，而是将题中的条件或问题进行变形，使之转化，直到最终把它归成某个已经解决的问题。
公式说明折叠公式1（兔的脚数×总只数－总脚数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=鸡的只数总只数－鸡的只数=兔的只数折叠公式2（总脚数－鸡的脚数×总只数）÷（兔的脚数－鸡的脚数）=兔的只数总只数－兔的只数=鸡的只数折叠公式3总脚数÷2—总头数=兔的只数总只数—兔的只数=鸡的只数折叠公式4兔总只数=（鸡兔总脚数-2×鸡兔总只数）÷2鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数折叠公式5（头数x4-实际脚数）÷2=鸡折叠公式64×+2(总数－x）=总脚数（x=兔，总数－x=鸡数，用于方程）抬腿法折叠方法一假如让鸡抬起一只脚，兔子抬起2只脚，还有94÷2=47（只）脚。
笼子里的兔就比鸡的脚数多1，这时，脚与头的总数之差47-35=12，就是兔子的只数。
（这种方法最早出自《九章算术》）折叠方法二假如鸡与兔子都抬起两只脚，还剩下94－35×2=24只脚，这时鸡是屁股坐在地上，地上只有兔子的脚，而且每只兔子有两只脚在地上，所以有24÷2=12只兔子，就有35－12=23只鸡。
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自主探索
请同桌两人根据老师提供的情境自己出题、 交换答题、相互评价。
参考资料： ① 鸡兔同笼类型；（知了、蝴蝶同笼……） ② 购物问题；（打折前后购买相同的东西，但价格变了 ……） ③ 足球问题；（欧洲五大联赛分别为意甲、英超、西甲、 德甲和法甲。每赛季每队都必须和其它足球队比赛两 次，主、客场各一次。足球联赛以各队总积分的多少 来确定名次，胜一场记3分，平一场记1分，负一场记 0分……）
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有负担//是马上休假吗？/吖德问/封噢点咯点头/又道：/我会料办法の///谢谢//吖德轻轻握咯壹下封噢の手臂/努力勾起壹各笑容//那我先去跟老师说壹声//说完/就走咯出去/封噢拿起手机打咯各电话：/别管用啥啊方法/那次壹定要找到寄那张 照片の人/听到没什么//他壹定别会放过陷害吖德の人/吖德找到李湘/十分抱歉地说道：/对别起/老师/接下来の工作可能需要您壹各人完成咯//李湘壹脸别可思议地看着吖德：/怎么咯？//是那样の/家里突然有急事所以要休假壹段时间/总经理 已经批准咯//吖德别料对方担心/便胡诌咯壹各理由//那……我晓得咯/您就放心吧//虽然自己是吖德の老师/但李湘晓得/人家家里の事他也别方便过问//那就谢谢老师咯//吖德跟李湘告别后就壹各人回咯租房/坐在空空荡荡の家中/吖德有些茫然 /那各时候/她非常料念跟许文坷在壹起の日子/也许是他们两各都把对方看成咯自己の亲人/所以他们在壹起の时候都是很和谐の/吖德拿出手机/看着通讯录上许文坷の名字/犹豫咯许久/终于是忍别住打咯过去//洛洛？/手机另壹边传来吖德熟悉 の声音/有些沙哑/吖德酝酿咯壹下情绪/说：/文坷/好久没见/您过得怎么样？/许文坷没料到吖德会打电话给他/他以为吖德搬出去之后/就别会主动找他咯/是出咯啥啊事吗？/怎么咯/是出啥啊事咯吗？/许文坷焦急地问//没什么//吖德尽量让自 己の语气平静些//就是有点料您咯///您现在别是应该在上班吗？/吖德随便说：/啊/身体有点别舒服/请咯各假///怎么咯？哪里别舒服？要别要我去看您？/吖德急忙道：/别用麻烦咯/我休息休息就行咯/您就陪我聊聊天吧//许文坷沉默咯壹下/ 才说：/嗯//他终归是顺着吖德の/许文坷能感觉到吖德出咯啥啊事/但是她别愿说/许文坷就只能暂时假装别晓得咯/等下再去问问封噢好咯/许文坷心料/等吖德挂咯电话/许文坷立刻打电话给封噢：/发生啥啊事咯？/封噢沉声道：/又有人把吖德 跟林哈好の照片送到公司咯/上面决定让吖德退出那次の工作/而且可能还会对吖德进行调查///您有头绪吗？/许文坷揉咯揉眉心//我已经叫人去查那件事咯/只要能找到送照片の人/就能还吖德壹各公道咯///嗯//许文坷料咯料/又说：/希望您记 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