北师版数学高二-试卷第二章章末质量评估

章末质量评估(二)(时间：100分钟 满分：120分)一、选择题(每小题5分，共50分)1.参数方程⎩⎨⎧x ＝sin θ＋cos θ，y ＝sin θ·cos θ (θ为参数)表示的曲线为( )解析 x 2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θ·cos θ＝1＋2y ， ∴y ＝12x 2－12，且x ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4∈，故选C.答案 C2.椭圆⎩⎨⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈，则椭圆上的点(－a ，0)对应的θ＝( )A.πB.π2C.2πD.32π解析 ∵点(－a ，0)中x ＝－a ，∴－a ＝a cos θ， ∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 答案A3.若双曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tan θ，y ＝1＋2cos θ(θ为参数)，则它的渐近线方程为( )A.y －1＝±12(x ＋2)B.y ＝±12x C.y －1＝±2(x ＋2) D.y ＝±2x解析 把参数方程化为普通方程为（y －1）24－(x ＋2)2＝1，∴a ＝2，b ＝1，焦点在y 轴上，渐近线的斜率±ab ＝±2，中心坐标为(－2，1)，∴渐近线方程为y －1＝±2(x ＋2). 答案 C4.若P (2，－1)为圆⎩⎨⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ(θ为参数且0≤θ<2π)的弦的中点，则该弦所在的直线方程为( ) A.x －y －3＝0 B.x ＋2y ＝5 C.x ＋y －1＝0D.2x －y －5＝0解析 ∵由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋5cos θ，y ＝5sin θ，消去θ得(x －1)2＋y 2＝25∴圆心C (1，0)，∴k CP ＝－1，∴弦所在的直线的斜率为1 ∴弦所在的直线方程为y －(－1)＝1·(x －2)， 即x －y －3＝0. 答案 A5.下列参数方程(t 为参数)与普通方程x 2－y ＝0表示同一曲线的方程是( ) A.⎩⎨⎧x ＝|t |，y ＝tB.⎩⎨⎧x ＝cos t ，y ＝cos 2t C.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1＋cos 2t 1－cos 2t D.⎩⎨⎧x ＝tan t ，y ＝1－cos 2t 1＋cos 2t解析 注意参数范围，可利用排除法.普通方程x 2－y ＝0中的x ∈R ，y ≥0.A 中x ＝|t |≥0，B 中x ＝cos t ∈，故排除A 和B.而C 中y ＝2cos 2t 2sin 2t ＝cot 2t ＝1tan 2t ＝1x 2，即x 2y ＝1，故排除C. 答案 D6.直线3x －4y －9＝0与圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ (θ为参数)的位置关系是( )A.相切B.相离C.直线过圆心D.相交但直线不过圆心解析 把圆的参数方程化为普通方程，得x 2＋y 2＝4，得到半径为2，圆心为(0，0)，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，即可判断直线和圆的位置关系. 答案 D7.方程⎩⎨⎧x ＝e t ＋e －t ，y ＝e t－e－t (t 为参数)的图形是( ) A.双曲线左支 B.双曲线右支 C.双曲线上支D.双曲线下支解析 ∵x 2－y 2＝e 2t ＋2＋e －2t －(e 2t －2＋e －2t )＝4. 且x ＝e t ＋e －t ≥2, e t ·e －t ＝2.∴表示双曲线的右支.答案 B8.双曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tan θ，y ＝1＋2cos θ (θ为参数)的渐近线方程为( ) A.y －1＝±12(x ＋2) B.y ＝±12x C.y －1＝±2(x ＋2)D.y ＋1＝±2(x －2)解析 根据三角函数的性质把参数方程化为普通方程，得（y －1）24－(x ＋2)2＝1，可知这是中心在(－2，1)的双曲线，利用平移知识，结合双曲线的渐近线的概念即可. 答案 C9.设r >0，那么直线x cos θ＋y sin θ＝r 与圆⎩⎨⎧x ＝r cos φ，y ＝r sin φ (φ是参数)的位置关系是( ) A.相交 B.相切C.相离D.视r 的大小而定解析 根据已知圆的圆心在原点，半径是r ，则圆心(0，0)到直线的距离为d＝|0＋0－r |cos 2θ＋sin 2θ＝r ，恰好等于圆的半径，所以，直线和圆相切.答案 B10.半径为3的圆的摆线上某点的纵坐标为0，那么其横坐标可能是( ) A.π B.2π C.12πD.14π解析 根据条件可知圆的摆线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3φ－3sin φ，y ＝3－3cos φ(φ为参数)，把y＝0代入，得cos φ＝1， 所以φ＝2k π(k ∈Z ).而x ＝3φ－3sin φ＝6k π(k ∈Z )， 根据选项可知选C. 答案 C二、填空题(每小题5分，共30分)11.已知圆的渐开线⎩⎨⎧x ＝r （cos φ＋φsin φ），y ＝r （sin φ－φcos φ） (φ为参数)上有一点的坐标为(3，0)，则渐开线对应的基圆的面积为________. 解析 把已知点(3，0)代入参数方程得 ⎩⎪⎨⎪⎧3＝r （cos φ＋φsin φ），0＝r （sin φ－φcos φ）.①②①×cos φ＋②×sin φ得r ＝3，所以，基圆的面积为9 π. 答案 9π12.对任意实数k ，直线y ＝kx ＋b 与椭圆⎩⎨⎧x ＝3＋2cos θ，y ＝1＋4sin θ(0≤θ＜2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________.解析 椭圆的普通方程是（x －3）24＋（y －1）216＝1.令x ＝0，得y ＝－1或3，直线y ＝kx ＋b 对任意的实数k ，恒过点(0，b ).要使直线与椭圆恒有公共点，根据图像得b ∈. 答案13.曲线⎩⎨⎧x ＝t 2－1，y ＝2t ＋1(t 为参数)的焦点坐标为________.解析 将参数方程化为普通方程(y －1)2＝4(x ＋1)，该曲线为抛物线y 2＝4x 向左、向上各平移一个单位得到，所以焦点为(0，1). 答案 (0，1)14.已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝1＋2sin θ，则C 上各点到l 的距离的最小值为________.解析 圆方程为(x －1)2＋(y －1)2＝4， ∴d ＝|1－1＋4|12＋（－1）2＝22，∴距离最小值为22－2. 答案 22－215.在圆的摆线上有点(π，0)，那么在满足条件的摆线的参数方程中，使圆的半径最大的摆线上，参数φ＝π4对应点的坐标为________.解析 首先根据摆线的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r （φ－sin φ），y ＝r （1－cos φ） (φ为参数)，把点(π，0)代入可得⎩⎪⎨⎪⎧π＝r （φ－sin φ），0＝r （1－cos φ）⇒cos φ＝1，则sin φ＝0，φ＝2k π (k ∈Z )， 所以，r ＝π2k π＝12k (k ∈N ＋).∴x ＝12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－22＝π－228k ，y ＝12k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－22＝2－24k .答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－228k ，2－24k16.在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ<2π)中，曲线ρ＝2sin θ与ρcos θ＝－1的交点的极坐标为________.解析 由ρ＝2sin θ，得ρ2＝2ρsin θ，其普通方程为x 2＋y 2＝2y ，ρcos θ＝－1的普通方程为x ＝－1，联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝2y ，x ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，点(－1，1)的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，3π4三、解答题(每小题10分，共40分)17.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t (t 为参数)，直线l 与抛物线y 2＝4x 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长.解将直线l 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－22t ，y ＝2＋22t代入抛物线方程y 2＝4x ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋22t 2＝4⎝⎛⎭⎪⎫1－22t ，解得t 1＝0，t 2＝－8 2. 所以|AB |＝|t 1－t 2|＝8 2.18.如图所示，连接原点O 和抛物线y ＝2x 2上的动点M ，延长OM 到点P ，使|OM |＝|MP |，求P 点的轨迹. 解 因为抛物线标准方程为x 2＝12y ， 所以它的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝12t2(t 为参数)，得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2，t 22.设P (x ，y )，则M 是OP 的中点，所以⎩⎪⎨⎪⎧12t ＝0＋x 2，12t 2＝0＋y 2，即⎩⎨⎧x ＝t ，y ＝t 2(t 为参数)， 消去参数t ，得y ＝x 2.所以，点P 的轨迹方程为y ＝x 2，它是以y 轴为对称轴，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14的抛物线. 19.A 为椭圆x 225＋y 29＝1上任意一点，B 为圆(x －1)2＋y 2＝1上任意一点，求|AB |的最大值和最小值.解 化椭圆普通方程为参数方程⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝3sin θ (θ为参数)，圆心坐标为C (1，0)，再根据平面内两点之间的距离公式可得|AC |＝（5cos θ－1）2＋9sin 2θ ＝16cos 2θ－10cos θ＋10＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－5162＋13516， 所以，当cos θ＝516时，|AC |取最小值为3154； 当cos θ＝－1时，|AC |取最大值为6.所以，当cos θ＝516时，|AB |取最小值为3154－1； 当cos θ＝－1时，|AB |取最大值为6＋1＝7.20.设直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ(θ为参数).(1)若直线l 经过圆C 的圆心，求直线l 的斜率.(2)若直线l 与圆C 交于两个不同的点，求直线l 的斜率的取值范围.解 (1)由已知得直线l 经过的定点是P (3，4)，而圆C 的圆心是C (1，－1)，所以，当直线l 经过圆C 的圆心时，直线l 的斜率为k ＝52.(2)由圆C 的参数方程⎩⎨⎧x ＝1＋2cos θ，y ＝－1＋2sin θ得圆C 的圆心是C (1，－1)，半径为2，由直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝4＋t sin α(t 为参数，α为倾斜角)，得直线l 的普通方程为y －4＝k (x －3)， 即kx －y ＋4－3k ＝0，当直线l 与圆C 交于两个不同的点时，圆心到直线的距离小于圆的半径，即|5－2k |k 2＋1<2，由此解得k >2120.直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞.。