几种证明全等三角形添加辅助线方法

全等三角形复习课
适用学科数学适用年级初中二年级
适用区域通用课时时长（分钟）120
知识点全等三角形的性质和判定方法
熟练掌握全等三角形的性质和判定方法，并学会用应用
教学目标
学会做辅助线证明三角形全等，常用的几种作辅助线的方法
教学重点
通过学习全等三角形，提高学生观察能力和分析能力
教学难点
教学过程
构造全等三角形几种方法
在几何解题中，常常需要添加辅助线构造全等三角形，以沟通题设与结论之间的联系。

现分类加以说明。

一、延长中线构造全等三角形
例1.如图1，AD是厶ABC的中线，求证：AB+ AC>2AD。

图1 图2
证明：延长AD至E,使AD= DE,连接CE如图2。

••• AD是厶ABC的中线，二BD= CD。

又•••/ 1 = Z 2，AD= DE,
•••△ ABD^A ECD( SAS。

AB= CE
•••在△ ACE中，CE+ AC>AE,
••• AB+ AC> 2AD。

、沿角平分线翻折构造全等三角形
例 2.如图 3,在厶 ABC 中，/ 1 = / 2,/ ABC = 2/C 。

求证：AB + BD = AC 。

A
D 图3 ■ 3 ---- -- C 图4
证明：将厶ABD 沿AD 翻折，点B 落在AC 上的E 点处，即：在AC 上截取 AE = AB,连接EDb 如图4。

•••/ 1 = / 2, AD =AD , AB = AE,
•••△ ABD^A AED ( SAS 。

••• BD = ED,/ ABC =/ AED = 2/C 。

而/AED =/ C +/ EDC
•••/ C =/ EDC 所以 EC = ED = BD 0
••• AC = AE + EC,二 AB + BD = AG
三、作平行线构造全等三角形
例3.如图5,A ABC 中，AB = AG E 是AB 上异于A 、B 的任意一点，延长 AC 至U D , 使 CD = BE,连接 DE 交 BC 于 F 。

求证：EF = FD
证明：过E 作EM // AC 交BC 于M ，如图6
则/ EMB
=/ ACB / MEF =/ CDR
••• AB = AC,A / B =/ ACB
•••/ B =/ EMB 。

故 EM = BE
••• BE = CD,二 EM = CB
又•••/ EFM=/ DFC / MEF =/ CDF
•••△ EFM^A DFC( AAS。

EF= FD。

四、作垂线构造全等三角形
例4.如图7,在厶ABC中，/ BAO90°, AB= AC。

M是AC边的中点。

AD
丄BM交BC于D,交BM于E。

求证：/ AMB=Z DMC。

vZ BAO90°, AD丄BM,
•••/ FAC=Z ABM= 90°—Z BAE
v AB= AC, Z BAM=Z ACM 90°,
•••△ ABM^A CAF( ASA。

•••Z F=Z AMB, AM = CF
v AM = CM,.'. CF= CMo
vZ MCD=Z FCD= 45°, CD= CD,
•△ MCD^A FCD(SASo 所以Z F=Z DMC。

•Z AMB=Z F=Z DMCo
五、沿高线翻折构造全等三角形
例5.如图9,在厶ABC中，AD丄BC于D,Z BAD>Z CAB 求证：AB>AC。

A
D 图9
A
D 图10
证明：把厶ADC沿高AD翻折，点C落在线段DB上的E点处，即：在DB 上截取DE= DC,连接AEo如图10。

•••△ ADC^AADE (SAS。

AC= AE,Z C=Z AED
vZ AED>Z B,A Z C>Z B。

从而AB>AC
六、绕点旋转构造全等三角形
例6.如图11,正方形ABCD中，Z 1 = Z 2, Q在DC上, P在BC上。

求证：PA= PB+ DQ。

图11 图L2
证明：将厶ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°,使AD与AB重合，得到△
ABM,即：延长CB到M，使BM = DQ,连接AM。

如图12。

•••△ ABM^AADQ (SAS。

•••Z 4=Z 2=Z 1,Z M = Z AQD0
v AB// CD, •••/ AQD=Z BAQ=Z 1 + Z 3=Z 4+Z 3 = Z MAP。

•Z M = Z MAPo
•PA= PM = PB+ BM = PB+ DQ (因BM = DQ)。

【课堂练习】
1、如图，已知AD=AE,AB=A(求证：BF=FC
2、如图，在△ ABC 中，AB=AC 延长AB 到D ,使BD=AB 取AB 的中点E ,连 接CD 和CE.F 为CD 中点 求证：CD=2CE
4、 已知：AB=CD / A=Z D ,求证：/
B=Z C
AB =AC + CD. / 1 = / 2。

求
A D
5、已知：如图，CD丄AB于点D, BE±AC于点E, BE、CD交于点O,且AO平分/ BAC 求证：OB= OC.
6如图，已知C为线段AB上的一点，- ACM和CBN都是等边三角形，AN和
CM相交于F点，BM和CN交于E点。

求证：厶CEF是等边三角形。

7、如图所示，已知AE!AB, AF丄AC，AE=AB AF=AC 求证：(1) EC=BF (2)
EC丄BF
F
8、如图10，四边形ABCD DEFG 都是正方形，连接 AE 、CG,AE 与CG 相交于点 M , CG 与AD 相交于点N .
求证：AE 二 CG ;
9、如图，在等腰RtAABC 中，/ C = 90°, D 是斜边上AB 上任一点，AE 丄CD 于 E, BF 丄CD 交CD 的延长线于F , CPU AB 于H 点，交AE 于G.
10、已知：如图，在梯形 ABCD 中，AD// BC, BC=DC CF 平分/ BCD, DF// AB ， BF 的延长线交 DC 于点E 。

求证：(BFC^A DFC (2) AD=DE
11、 已知：BC=DE / B=Z E,Z C=Z D , F 是 CD 中点，求证：/ 仁/
2
1 _______________ R
求证：BD- CG.
:,求证:
AE=AD+BE 13、如图，△ ABC中, E、F分别在AB AC上, DEL DF, D是中点，试比较BE+CF
与EF的大小
.
/ B+Z
12、已知：AC平分/ BAD, CEL AB,
补充: 常见辅助线的作法有以下几种
1)遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的
“对折”.
2)遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用
的思维模式是全等变换中的“旋转”.
3)遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变
换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理.
4)过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的
“平移”或“翻转折叠”
5)截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延
长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明•这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目.
特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连
接起来，利用三角形面积的知识解答.
1、如图，AC// BD, EA,EB分别平分/ CAB,/ DBA CD过点 E,求证；AB = AC+BD
2、如图，△ ABC 中，AD 平分/ BAC DGL BC 且平分 BC, DEI AB 于 E, DF 丄 AC于 F.
(1)说明BE=CF的理由；(2)如果AB=a , AC=b，求AE、BE的长.
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3、
如亂在阿边廉ABCD 中r AD//BC,点恵是曲上一牛动点，若£*二60冷肋=內，風 ZMC =60°，判断4D ”4恵ij RC 的关系刑:剧你的结论. ^ ^ 解:
A。