重庆市巴蜀中学2018届高三适应性月考八数学理

重庆市巴蜀中学2018届高三适应性月考（八）

数学（理）试题

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．若复数z 满足2018

1)1(i z i -=+，则复数z 的模为（ ）

A ．21

B ．1

C ．2

D ．3

2．已知全集R U =，集合}1|1||{<-=x x A ，

}115

2|

{≥--=x x x B ，则=B C A U I （ ）

A ．}21|{<

B ．}21|{≤

C ．}21|{<≤x x

D ．}41|{<≤x x 3．在等差数列}

{n a 中，

7

4,a a 是函数183)(2

--=x x x f 的两个零点，则}

{n a 的前10项和等于

（ ）

A ．15-

B ．15

C ．30

D ．30- 4．设n m ,是两条不同的直线，γβα,,是三个不同的平面，给出下列命题： ①若βαγα⊥⊥,，则βγ//； ②若βαγα⊥⊥,，则βγ//； ③若α//,//m n m ，则α//n . 其中真命题的个数是（ ）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

5．甲、乙、丙、丁四个人聚在一起讨论各自的体重（每个人的体重都不一样）. 甲说：“我肯定最重”； 乙说：“我肯定不是最轻”；

丙说：“我虽然没有甲重，但也不是最轻” 丁说：“那只有我是最轻的了”.

为了确定谁轻谁重，现场称了体重，结果四人中仅有一人没有说对. 根据上述对话判断四人中最重的是（ ）

A ．甲

B ．乙

C ．丙

D ．丁 6．已知

?=π

sin xdx

n ，则5)1()1(-+x x n 的展开式中4

x 的系数为（ ）

A ．15-

B ．15

C ．5-

D ．5

7．甲、乙、丙、丁四个人到重庆旅游，朝天门、解放碑、瓷器口三个景点，每个人只去一个景点，每个景点至少有一个人去，则甲不到瓷器口的方案有（ ） A ．60种 B ．54种 C ．48种 D ．24种

8．如图所示的程序框图输出的结果为510，则判断框内的条件是（ ）

A. ?7

B. ?7≤n

C. ?8

D. ?8≤n

9．某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，该三棱锥的外接球表面积为1S ，俯视图中的三角形以长度为3的边为轴旋转得到的几何体的侧面积为2S ，则21:S S 为（ ）

A ．1:5

B ．2:5

C ．4:5

D ．1:10

10．把x y sin =的图象向左平移?个单位（?为实数），再把所得图象各点的横坐标缩短到原来的

21，纵坐标不变，得到)(x f 的图象，若|)6(|)(πf x f ≤对R x ∈恒成立，且)

()2(ππ

f f >，若

π

θ310tan 21)(=f ，则θ的可能取值为（ ） A ．43π B ．125π C ．6π

D ．12π

11．已知双曲线122

2

2=-b y a x 的左、右顶点分别为B A ,，P 为双曲线左支上一点，ABP ?为等腰三

角形且外接圆的半径为a 5，则双曲线的离心率为（ ）

A ．515

B ．415

C ．315

D ．215

12．已知x a x x f ln )(2

+=在点))1(,1(f 处的切线方程为034=--y x ，

n n f a n -=

)('21

),1(*N n n ∈≥，}{n a 的前n 项和为n S ，则下列选项正确的是（ ）

A ．2018ln 12018<-S

B ．12018ln 2018+>S

C ．

1

2018ln 1009-

2017

2018ln S >

二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）

13．已知y x ,满足约束条件

??

?

??≥+≤-≥+-0020

43y x x y x （R y x ∈,），则22y x +的最大值为 .

14．抛物线

y x 22

=上一点P 的纵坐标为3，则点P 到抛物线焦点的距离为 . 15．数列

}

{n a 中，11=a ，n n n S a 31+=+（1,*≥∈n N n ），则数列}{n S 的通项公式为 .

16．三角形ABC 中一点O 满足||||||OC OB OA ==，AB 的长度为1，BC 边上的中点M 与O 的连线分别交AC BC ,于点D M ,，若3=?，则AC 的长度为 .

三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）

17．在ABC ?中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，已知)1,cos (C c =，

)cos cos ,2(A b B a n +=，且n m ⊥.

（1）若

32,722==?ABC S b c ，求b 的值；

（2）若A A A A cos sin cos sin +=λ，求实数λ的取值范围.

18．某营养协会对全市18岁男生的身高作调查，统计显示全市18岁男生的身高服从正态分布

)36,172(N ，现某校随机抽取了100名18岁男生的身高分析，结果这100名学生的身高全部介于160cm 到196cm 之间.现将结果按如下方式分为6组，第一组)166,160[，第二组)172,166[，…，第

六组]196,190[，得到如图所示的频率分布直方图.

（1）若全市18岁男生共有10000人，试估计该市身高在178cm 以上的18岁男生人数； （2）求a 的值，并计算该校18岁男生的身高的中位数（精确到小数点后三位）；

（3）若身高190cm 以上的学生校服需要单独定制，现从这100名学生中身高在184cm 以上的同学中任意抽取3人，这三人中校服需要单独定制的人数记为X ，求X 的分布列和期望.

附：

),(~2

σμN X ，则9974.0)33(=+<<-σμσμX P ； ),(~2σμN X ，则9544.0)22(=+<<-σμσμX P ； ),(~2σμN X ，则6826.0)(=+<<-σμσμX P .

19．如图，在正四棱锥ABCD S -中，底边2=AB ，侧棱3=SA ，P 为侧棱SD 上的点. （1）若⊥SD 平面PAC ，求二面角D AC P --的余弦值的大小；

（2）若PD SP 2=，侧棱SC 上是否存在一点E ，使得//BE 平面PAC ，若存在，求EC SE :的值；若不存在，试说明理由.

20．设椭圆方程为)0(122

2

2>>=+b a b y a x ，离心率为22，21,F F 是椭圆的两个焦点，A 为椭圆

上一点且

321π

=

∠AF F ，21AF F ?的面积为33

.

（1）求椭圆的方程；

（2）已知点)1,0(P ，直线l 不经过点P 且与椭圆交于C B ,两点，若直线PB 与直线PC 的斜率之和为1，证明直线l 过定点，并求出该定点.

21．已知函数

)2()(2

-+-=ax x e x f x （R a ∈）. （1）若),0(+∞∈x 时，)(x f 不单调，求a 的取值范围；

（2）设)()()(,)2()(2

2x g x f x F x b e x x g x +=++=，若1=a ，

)41

,0(∈b 时，),0(+∞∈x 时，)(x F 有最小值，求最小值的取值范围.

请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分. 22．选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为??

?=+-=ααsin cos 1t y t x （t 为参数），以坐标原点O 为

极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程θρcos 4-=.

（1）当

3π

α=

时，1C 交2C 于B A ,两点，求||AB ；

（2）已知点)2,1(-P ，点Q 为曲线2C 上任意一点，求?的最大值. 23．选修4-5：不等式选讲

设)10(|||2|)(≤<-+-=a a x a x x f . （1）若1=a ，解关于x 的不等式2)(>x f ；

（2）求证：6

)1

()(≥-+t f t f .

理科数学答案

一、选择题

13. 8 14. 27

15. n n n S 23-= 16.

7 三、解答题

17．（1）∵⊥，∴0cos cos cos 2=++=?A b B a C c ， 由正弦定理，得0cos sin cos sin sin 2=++A B B A C ， ∴C B A C C sin )sin(cos sin 2-=+-=. 又∵),0(π∈C ，0sin ≠C ，∴

21

cos -

=C ，

∴

32π=

C

由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=，又2

27b c =， ∴062

2=+-ab b a ，∴b a 2=或b a 3-=（舍去），

32sin 21

==

?C ab S ABC ，∴8=ab ，

∴2,4==b a .

（2）

A A A A cos sin cos sin +=

λ，设)

4sin(2cos sin π

+=+=A A A t ，

∵

)

3,0(π

∈A ，∴]2,1(∈t ， ∴

),22[12122

+∞∈-=-=

t t t t λ.

18. (1)6,172==σμ,

1587.026826

.01)178(=-=

≥ξP ,

15871587.010000=?（人）

(2)16)005.001.007.005.0015.0(=?+++++a ，∴017.0=a . 设中位数为x ，则5.007.0)172(605.06015.0=?-+?+?x ， ∴571.173=x .

（3）身高)190,184[：6601.0100=??， 身高)196,190[：36005.0100=??，

X 的所有可能取值为0，1，2，3，

215

)0(3936===C C X P ，2815)1(3

91

326===C C C X P ， 143)2(392316===C C C X P ，841

)3(3

933===C C X P ，

X 的分布列如下：

184********)(=?+?+?

=X E .

19.（1）如图，连接BD ，设AC 交BD 于O ，由题意知⊥SO 平面ABCD ，以O 为坐标原点，

,,分别为z y x ,,轴，建立坐标系xyz O -如图所示.

底边2=AB ，侧棱3=SA ，则高7=

SO .

（1）于是)7,0,0(S ，)0,0,2(-D ，)0,2,0(C ，)0,2,0(=，)7,0,2(=， 由题设知，平面PAC 的一个法向量)7,0,2(=，平面DAC 的一个法向量)7,0,0(=，

设所求二面角为θ，则

37

797|

|||cos =

?==

OS DS θ， 故所求二面角的余弦值为37

.

（2）假设在棱SC 上存在一点E 使得//BE 平面PAC ， 在SC 上取点E ，连接EB ，

设平面PAC 的法向量为),,(z y x =，)

37,0,32(31==，

点)0,2,0(-A ，)0,0,2(B ，)0,22,0(=

)37

,2,322()37,0,32(

)0,2,2(-=+-=+=DP AD AP ，

?????=?=?00AC n 则?????=++-=03723220

22z y x y ，令1=x ，则)7142,0,1(=n ，

设

CS

t CE =，

)7),1(2,2()7,2,0()0,2,2(t t t t --=-+-=+=+=，

而0=?n BE ，∴

21=

t ，

即当1:1:=EC SE 时，//BE 平面PAC .

20.(1)

22==

a c e ，

由

333sin ||||212121==

?πAF AF S AF F ，∴34||||21=AF AF ，

a AF AF 2||||21=+，c F F 2||21=，

4

|)||(|3

cos

||||2||||||2

21212

221221=+=-+=AF AF AF AF AF AF F F π

，

∴

1,2,12

22===c a b ， ∴椭圆的方程为1

222

=+y x .

（2）设点),(11y x B ，),(22y x C ，直线l ：)1(±≠+=m m kx y ，联立椭圆方程得

0224)21(222=-+++m kmx x k

0)12(8)22)(21(4)4(22222>---=-+-=?k m m k km ，

22212212122,214k m x x k km x x +-=

+-=+， 11

12

211=-+-=

+x y x y k k FC FB ，

即0))(1()12(2121=+-+-x x m x x k ，

0214)1(2122)12(2

22=+--++--k km

m k m k ∴

21+=

m k ，

∴直线l ：m x m y ++=

21

，∴直线l 过定点)1,2(--.

21. （1）

]2)2([)2()2()(22-+-+-=+-+-+-='a x a x e a x e ax x e x f x x x ,

∵),0(+∞∈x 时，)(x f 不单调，∴

02)2(2

=-+-+-a x a x 在),0(+∞上有解，

∴0

211

1122>-+++=+=-x x x x a ，

∴2>a .

（2）2

)2()2()(++-=x b x e x F x ，

)2(2)1()('++-=x b x e x F x .

设)2(2)1()(++-=x b x e x x ?，则

b xe x x 2)('+=?，又),0(+∞∈x ， ∵0)('>x ?，∴)('x F 单调递增，又06)1('>=b F ，014)0('<-=b F ，

∴存在)1,0(∈t ，使得0)('=t F ，即0)2(2)1(=++-t b t e t

.

),0(t x ∈时，0)('x F ，)(x F 单调递增，

∴

)

1221()2()2(2)1()2()2()2()()(222

min

-+-=++--+-=++-==t

t e t t t e t e t b t e t F x F t t t

t

.

设)1221()(2-+-=t t e t h t ，则

)

21

221()('2-+-=t t e t h t ∵0)('

1

C ：)1(3+=x y ，

由???=+=θρρcos 2

22x y x 得2C ：

4)2(22=++y x ，圆心为)0,2(-，半径2=r ， 圆心到直线1C 的距离

23

2|0)12(3|=

-+-=

d ，

222

2)2||(

=+d AB ，∴13||=AB .

（2）设点),(y x Q ，则)2,1(-=OP ，)2,1(+-=y x PQ ，

52--=?y x PQ OP ，又??

?=+-=θθ

sin 2cos 22y x

7)sin(525sin 4cos 2252-+-=--+-=--=??θθθy x PQ OP ，