时间序列分析与建模简介

第五章时间序列分析与建模简介
时间序列建模（ Modelling via time series ）。

时间序列分析与建模是数理统计的重要分支，其主要学术贡献人是Box 和 Jenkins。

本章扼要介绍吴宪民和 Pandit的工作，仅要求一般了解当前时间序列分析与建模的一些主要结果。

参考书：“时间序列及系统分析与应用（美）吴宪民，机械工业出版社（1988）TP13/66。

引言
根据对系统观测得出的按照时间顺序排列的数据，通过曲线拟合和参数估计或者谱分析，建立数学模型的理论与方法，理论基础是数理统计。

有时域和频域两类建模方法，这里概括介绍时域方法，即基于曲线拟合与参数估计（如最小二乘法）的方法。

常用于经济系统建模（如市场预测、经济规划）、气象与水文预报、环境与地震信号处理和天文等学科的信号处理等等。

§5—1 ARMA模型分析
一、模型类
把具有相关性的观测数据组成的时间序列{ x
k }视为以正态同分布白噪声序列{ a
k
}为
输入的动态系统的输出。

用差分模型ARMA (n,m) 为(z-1) x
k = (z-1) a
k
式（5-1-1）
其中： (z-1) = 1-
1 z-1-…-
n
z-n
(z-1) = 1-
1 z-1-…-
m
z-m
离散传函
式（5-1-2）
为与参考书符号一致，以下用B表示时间后移算子
即： B x
k = x
k-1
B即z-1，B2即z-2…
(B)=0的根为系统的极点，若全部落在单位园内则系统稳定；(B)=0的根为系统的零点，若全部在单位园内则系统逆稳定。

二、关于格林函数和时间序列的稳定性
1．格林函数G
i
格林函数G
i 用以把x
t
表示成a
t
及a
t
既往值的线性组合。

式（5-1-3）
G
I
可以由下式用长除法求得：
例1．AR(1): x
t -
1
x
t-1
= a
t
即： G
j =
1
j（显示）
例2．ARMA (1,1): x
t -
1
x
t-1
= a
t
-
1
a
t
G
0= 1 ; G
j
=(
1
-
1
)
1
j-1 ,j 1 （显示）
∑∞=-
=
j
j
t
j
t
a G
x
例3．ARMA (2,1)
(1-
1B -
2
B2)x
t
= (a
t
-
1
B )a
t
得出：G
= 1
G
1 =
G
-
1
G
2 =
1
G
1
+
2
G
. . . . .
G
j =
1
G
j-1
+
2
G
j-2
（j 2）
G
j 为满足方程 (1-
1
B -
2
B2) G
j
= 0 的解，称为隐式表达式。

该结论可推广到ARMA(n,m)
模型。

2．格林函数与系统稳定性
当j 时：G
j 有界，则系统稳定；G
j
衰减，则系统渐进稳定；G
j
发散，则系统不
稳定。

例： AR(1): G
j =
1
j
当 < 1时，G
j
衰减，渐进稳定；
当 = 1时，G
j =
1
j = 1，有界，则系统稳定；
当 > 1时，G
j
发散，不稳定。

例： ARMA (2,1)
1
和 2和为特征方程的根，有1 + 2 = 1 和 1 2 = 2
当 1 < 1 且 2 < 1 时，ARMA (2,1) 渐进稳定； 当 1 = 1 且 2 < 1 或1 < 1 且 2 = 1时，ARMA (2,1) 稳定；
当 1 = 2 且 或1 = 2（两根同号）时，不稳定。

由此得出ARMA (2, ×) 的稳定域如下图所示。

ARMA (2,m) 的稳定域
三、逆函数与逆稳定性
逆函数I j 表示x t 的既往值对当前值的影响，与格林函数G j 表示既往的a t 值对x t
的影响正相反。

定义： 即：
或：a t = ( 1- I 1 B - I 2 B 2- …) x t
t
t
t a B B B
a B
B B x )1)(1(1112112211λλθφφθ---=---=∑∞
==0
)()(j j
j B G B B φθ
a
t 格林函数 x
t
x
t 逆函数 a
t
系统逆稳定的条件是 (B) 的根 < 1 （落在单位园内）。

合理的模型不仅要求是稳定的，
也要求是逆稳定的，因为如果 > 1，即意味着过时愈久的x
t 的老数据对x
t
的现在值影响
愈大，这显然是不合理的。

5. 自协方差函数与偏自相关函数及其截尾性(略)
§5—2 时间序列建模及其应用
一、关于吴宪民 and Pandit的建模策略简介
ARMA(n,m)模型,当n 和m 设定后,可由非线心、非线性最小二乘法估计参数,并计算出残差平方总和。

设定不同的n和m值，用F检验比较，确定合理的n 、m值。

穷举法（最笨的建模策略）：高阶模型要做很多次搜索，计算量大。

吴宪民— Pandit 建模策略
目的是减少建模的搜索次数。

策略可概括为：
10. 按照ARMA(2n,2n-1) 拟合模型，即当nn+1时，模型增加2阶，理由是过程的基点往往是成对的。

20. 检查ARMA(2n,2n-1) 模型的高阶项参数
2n 和
2n-1
的绝对值是否很小，它们的置
信区间是否包含零在内若是，则进一步拟合下降一阶后的模型ARMA(2n-1,2n-2)，并用F 检验检查。

30. 探索进一步降低MA的阶次的可能性，即设
ARMA ( 2n-1, m) ，m <2n –1 ，用F检验确定。

补充：关于参数估计误差的置信区间
假定参数估计符合正态分布N（0，2）则估计值的置信区间(95%置信度)为：j j
参数的估计误差协方差阵为：
的置信区间为：
j
j = 1, 2, …
二、时间序列建模应用举例
例1. 太阳黑子年均数,由1749-1924年共计176个观测数据。

拟合ARMA（2，1）模型，F检验ARMA（4，3）较前者没有明显改善。

ARMA（2，1）模型估计结果为：
参数估计 95%置信区间
= ( ~ )
1
= - ( - ~ - )
2
= ( - ~ )
1
因为
的值较小，而且置信区间包括零在内，所以进一步实验降为AR（2）模型。

估计结果：1
参数估计 95%置信区间
1 = ( ~ )
2 = - ( - ~ - )
F 检验表明ARMA （2，1）模型较之AR （2）模型并没有明显改善，而且 2 的置信区间不包含零，所以AR （2）模型合适。

例2 ．IBM 股票每天值（ ~ ）按照吴宪民—Pandit 建模策略，得出ARMA （6，5）模型。

例3．航空公司月销售额（ ~ ）建模结果- ARMA(13,13)
一、 趋势项和季节性 1． 恒定趋势
即总的趋势保持在同一水平，均值 0。

引入算子，定义为：
=（1 - B ） ， 即 x t = x t - x t-1 可以消除恒定趋势。

例如IBM 股票模型用 x t =（1 -
1
B ）a t 更为合适。

有恒定趋势的模型有一个极点的绝对值接近为1。

2． 线性趋势
总趋势按照线性规律增减，即模型有两个极点的绝对值接近为1的情况。

用算子 2 = ( 1 – B ) 2
可以消除线性趋势，例如：2 x t =（1 - 1B ）a t
3. 多项式趋势
有多个极点的绝对值接近于1 , 引入算子
3 = (1–B )3
例如：3 x
t =（1-
1
B-
2
B2）a
t
4. 季节性
有的时间序列按照一定的周期波动,例如月平均温度是按照12个月的周期波动的，每小时
用电量按照24小时的周期变化…，称为季节性。

为消除季节性的影响，引入算子：
s
=1–B s
例如，航空公司的模型AR（13，13）模型中的参数
1 ~
12
的数值都很小，而接近
于零，用周期为12的模型为合适。

由于该时间序列不仅有周期为12的季节性，而且还有恒定趋势，所以用以下模型最合适：
12 =(1–B)(1–B12) x
t
= (1-
1
B)(1-
12
B12)a
t。