外力作用下的振动
受迫振动运动方程
受迫振动运动方程
受迫振动运动方程描述了一个振动系统在外力作用下的运动。
一般来说，受迫振动系统的运动方程可以写成如下形式：
m * d²x/dt² + c * dx/dt + k * x = F(t)
其中，m是系统的质量，x是系统的位移，t是时间，F(t)是外力的函数，c是阻尼系数，k是弹性系数。
这个方程可以通过牛顿第二定律推导得到。
m * d²x/dt²表示质量m 的加速度，c * dx/dt表示阻尼力，k * x表示弹性力，F(t)表示外力。
受迫振动运动方程的解可以通过求解这个微分方程得到。
具体的解法取决于外力的形式和系统的特性。
常见的外力形式包括正弦函数、余弦函数、阶跃函数等。
受迫振动系统的运动方程在物理学和工程学中有广泛的应用，例如描述弹簧振子、电磁振子等。
解析求解这个方程可以帮助我们理解振动系统的行为和性质。
外力作用下的振动
这种周期性的外力叫驱动力
物体在外界驱动力作用下的振动叫受迫振动
二、受迫振动
1、受迫振动：物体在外界驱动力
作用下的振动 2、驱动力：维持受迫振动的周期性外力
思考：物体做受迫振动时，振动稳定 后的频率与什么有关？
四、共振的应用和防止 微波炉加热原理:
食物中水分子的振动频率约为2500MHz ， 具有大致相同频率的电磁波称为 “微 波” 。微波炉加热食品时，炉内产生很强 的振荡电磁场，使食物中的水分子作受迫 振动，发生共振，将电磁辐射能转化为内 能，从而使食物的温度迅速升高。微波加 热是对物体内部的整体加热，极大地提高 了加热效率。
例2、汽车的车身是装在弹簧上的，如果 这个系统的固有周期是0.5s，汽车在一条 起伏不平的路上行驶，路上各凸起处大约 都是相隔8m，汽车以多大速度行驶时， 车身上下颠簸得最剧烈？
16m/s
例3、如图所示是一个单摆的共振曲线， 求： （1）单摆的摆长L（g取9.8m/s2） （2）若摆长减小，共振曲线的峰将怎样 移动？为什么？
3、物体做受迫振动时，振动稳定后 的频率等于驱动力的频率，跟物体的 固有频率无关
三、共振
1、定义：驱动力的频率接近物体的
固有频率时，受迫振动的振幅增大， 这种现象叫做共振。
2、条件：f驱=f固
3.在曲轴A上悬挂一个弹簧振子，如果不
转动把手B，而用手拉振子，放手后让其
上下振动，其作60次全振动所用的时间
外力作用下的振动
一、阻尼振动
1.固有振动与固有频率： 振动系统不受外力作用时的振动叫固 有振动；其振动频率叫做固有频率。
第七讲 单摆 物体在外力作用下的振动
第七讲单摆、物体在外力作用下的振动知识要点1.单摆2.单摆的周期3.外力作用下的振动4.共振教学目标1.知道什么是单摆；2.理解摆角很小时单摆的振动是简谐运动；3.知道单摆的周期跟什么因素有关，了解单摆的周期公式，并能用来进行有关的计算；4.知道什么是阻尼振动和阻尼振动中能量转化的情况5.知道做受迫振动物体的振动频率跟固有频率无关，而等于驱动力的频率课前检测一、单摆1、组成：（1）（2）2、理想化要求（1）细线形变要求：细线的可以忽略。
（2）质量要求：细线的质量与球质量相比（3）线长度要求：球的与线的长度相比可以忽略（4）受力要求：忽略摆动过程中所受作用实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，小的球和尽量的弹性小的线。
1.单摆的回复力1、回复力的提供：摆球的重力沿方向的分力。
2、回复力的特点：在偏角很小时，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成，方向总是指向，即F=3、运动规律：单摆在偏角很小时做运动，其振动图像遵循函数规律、3.单摆的周期1、探究单摆的振幅、位置、摆长对周期的影响（1）探究方法：法（2）实验结论①单摆振动的周期与摆球质量②振幅较小时周期与振幅③摆长越长，周期；摆长越短，周期2、周期公式（1）提出：周期公式是由荷兰物理学家惠更斯首先提出的。
（2）公式：T=，即T与摆长L的二次方根成，与重力加速度g的二次方根成。
（3）应用：①计时器（摆钟）a、原理：单摆的b、校准：调节可以调节钟表的快慢。
②测重力加速度由单摆公式可知，g=，即只要测出单摆的和，就可以求出当地的重力加速度。
（其中摆长L=绳长L1+小球半径r）二、阻尼振动：1、固有频率：如果振动系统_________作用，此时的振动叫固有振动，其振动频率称为__________.2、阻尼振动(减幅振动)：_______逐渐减小的振动叫阻尼振动振动物体克服摩擦和其他阻力做了功，它自己的______逐渐减小，_____也随着变小说明：（1）同一简谐运动能量的大小由振幅大小确定（2）阻尼振动振幅减小的快慢跟所受阻尼的大小有关，阻尼越大，振幅减小得越快（3）物体做阻尼振动时，振幅虽不断减小，但振动的频率仍由自身结构特点所决定，并不会随振幅的减小而变化（4）阻尼振动若在一段不太长的时间内振幅没有明显的减小，可以把它当做简谐运动来处理三、受迫振动:1、驱动力：加在振动系统上的____________，叫做驱动力2、受迫振动：系统在_________作用下的振动，叫受迫振动3、受迫振动的周期和频率：1物体做受迫振动时，振动________的频率等于________的频率，跟物体的______频率无关．四、共振1、共振：______频率等于系统的_____频率时，受迫振动的____最大，这种现象叫做共振2、共振的条件：驱动力的频率与物体的固有频率______3、共振曲线共振曲线直观地反映出驱动力的频率对受迫振动物体振幅的影响，由共振曲线可知，当驱动力的频率与物体的固有频率相等时，受迫振动的振幅最大。
外力与振动间的关系
5、外力作用下的振动教学目标：（一）知识与技能（1）知道阻尼振动和无阻尼振动，并能从能量的观点给予说明。
（2）知道受迫振动的概念。
知道受迫振动的频率等于驱动力的频率，而跟振动物体的固有频率无关。
（二）过程与方法理解共振的概念，知道常见的共振的应用和危害。
（三）情感、态度与价值观常见的共振的应用和危害二、教学重点、难点：受迫振动，共振。
三、教具：弹簧振子、受迫振动演示仪、摆的共振演示器四、教学过程（一）复习提问让学生注意观察教师的演示实验。
教师把弹簧振子的振子向右移动至B点，然后释放，则振子在弹性力作用下，在平衡位置附近持续地沿直线振动起来。
重复两次让学生在黑板上画出振动图象的示意图（图1中的Ⅰ）。
再次演示上面的振动，只是让起始位置明显地靠近平衡位置，再让学生在原坐标上画出第二次振子振动的图象（图1中的Ⅱ）。
Ⅰ和Ⅱ应同频、同相、振幅不同。
结合图象和振子运动与学生一起分析能量的变化并引入新课。
（二）新课教学现在以弹簧振子为例讨论一下简谐运动的能量问题。
问：振子从B向O运动过程中，它的能量是怎样变化的？引导学生答出弹性势能减少，动能增加。
问：振子从O向C运动过程中能量如何变化？振子由C向O、又由O向B运动的过程中，能量又是如何变化的？问：振子在振动过程中总的机械能如何变化？引导学生运用机械能守恒定律，得出在不计阻力作用的情况下，总机械能保持不变。
教师指出：将振子从B点释放后在弹簧弹力（回复力）作用下，振子向左运动，速度加大，弹簧形变（位移）减少，弹簧的弹性势能转化为振子的动能。
当回到平衡位置O时，弹簧无形变，弹性势能为零，振子动能达到最大值，这时振子的动能等于它在最大位移处（B点）弹簧的弹性势能，也就是等于系统的总机械能。
在任何一位置上，动能和势能之和保持不变，都等于开始振动时的弹性势能，也就是系统的总机械能。
由于简谐运动中总机械能守恒，所以简谐运动中振幅不变。
如果初始时B点与O点的距离越大，到O点时，振子的动能越大，则系统所具有的机械能越大。
物体在外力作用下的振动
5、利用共振时，应使驱动力的频率接近或等于 振动系统的固有频率； 防止共振时，应使驱动力的频率与系统的固 有频率不同，而且相差越大越好．
复习
简谐运动中动能和势能在发 生相互转化，但机械能的总量 保持不变，即机械能守恒。
振动的能量与振幅有关，振幅 越大，振动的能量越大
一、阻尼振动
1、演示 2、阻尼振动：振幅逐渐减小的振动 3、阻尼振动的图像：
4、振动系统受到的阻尼越大，振幅减 小得越快，阻尼过大时，系统将不能 发生振动。
5、实际的自由振动一定是阻尼振动
二、受迫振动
1、驱动力： 作用在振动系统上的周期性外力
2、受迫振动： 系统在驱动力作用下的振动
3、受迫振动的特点：演示 受迫振动的频率总等于驱动力的频率，
与系统的固有频率无关。
三、共 振
1、演示 2、共振曲线
3、共振 驱动力的频率等于系统的固有频率时，
受迫振动的振幅最大，这种现象叫做共振。 驱动力的频率与系统的固有频率相差越
1831年，一队骑兵通过曼彻斯特附近的一座 便桥时，由于马蹄节奏整齐，桥梁发生共振而 断裂。
塔柯姆大桥 在建成后的4个月就因风共振而倒塌
小结
1、阻尼振动：振幅越来越小的振动
2、受迫振动：系统在外界驱动力作用下的振动
3、系统做受迫振动时，振动稳定后的频率等于 驱动力的频率，跟系统的固有频率无关
少，振幅越大，相差越多，振幅越小。
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就会发生裂变。如果是年轻力壮的人， 好歹失在明处，她还是阅历、经验、胆魄三位共同的学生。蜜蜂一定以为我要置它于死地，依旧遗憾； 使思维向
外力作用下的振动 受迫振动
结论：受迫振动的频率总是与驱动力的频率相等，与系统 的固有频率无关。
既然受迫振动的频率和驱动力频率有关，那么受迫振动的 频率是否也和驱动力的频率有关呢？
实验探究（二）
仿真鱼洗（共振碗） 驱动力来源： 带偏心轮的马达 驱动力频率改变：滑动变阻器 观察：水面的变化
结论：当系统做受迫振动时，系统的振幅与驱动力的频率有关。
神奇的现象
11.5 外力作用下的振动
北仑中学 邵奇
从受力的角度进行分类
简谐运动
• 弹簧振子 • 单摆（小角度）
什么力提供回复力？
• 弹簧弹力和重力的合力 • 这个合力总是指向平衡位置
如果振动系统只有内部的回复力，此时振动叫做固有振动。 固有振动的频率叫做固有频率。
现实生活中是否存在简谐运动？
当系统受到阻力作用时，我们说振动受到了阻尼。 系统克服阻尼的做功，消耗机械能，因而振幅减小，最后 停下来。这种振幅逐渐减小的振动，叫做阻尼振动。 那么阻尼的大小和振动幅度的减小有什么关系呢？
这种现象叫做共振。
振动曲线
图像特点 f驱= f固时，振幅有最大值 f驱与 f固差别越大时，振幅越小
生活中的共振
阅读：科学漫步
思考： ①生活中有哪些共振的例子 ②如何应用共振 ③如何防治共振
共振的应用
筋膜枪
微波炉加热
共振的防治
风阻尼器
微格教室的隔音墙板
小结：比较
共振带来的感悟
实验探究（三）
已知受迫振动的单摆的固有周期是2s
实验： 跟随节拍器，用手分别以1s、2s、3s为周期 提供驱动力。 观察： 受迫振动的小球的振幅差别。
结论：当系统做受迫振动时，如果驱动力的频率十分接近 系统的固有频率，系统的振幅会很大。
外力作用下的振动
振动成型与破碎
振动成型
利用振动作用，使物料在模具内产生形变，形成所需的形状和尺寸。
破碎
利用振动作用，使物料在冲击和摩擦下产生形变和破裂，实现物料的破碎和细化。
05
外力作用下的振动问题 与解决方案
共振问题与预防
共振问题
当外部激励频率与系统固有频率相同时，系统会产生共振现象，导致振动幅度增大，可 能对系统造成损坏。
振动的能量转换与耗散
能量转换
在振动过程中，系统的动能和势能之间相互转换，同 时伴随着能量的耗散。
能量耗散
由于摩擦、阻尼等因素，振动系统的能量会逐渐减少， 最终趋于静止状态。
阻尼系数
描述系统阻尼效应的参数，影响振动的幅度和持续时 间。
03
外力作用下的振动特性
振动的频率与周期
总结词
频率和周期是描述振动特性的重要参 数，它们决定了振动的快慢和规律性。
详细描述
频率是指单位时间内振动的次数，通 常用赫兹（Hz）表示。周期是指完成 一次振动所需的时间，通常用秒（s） 表示。频率和周期互为倒数关系，即 频率越高，周期越短。
振动的振幅与相位
总结词
振幅和相位是描述振动幅度的两个重要 参数，它们决定了振动的幅度和相位关 系。
VS
详细描述
振幅是指振动偏离平衡位置的幅度，通常 用长度或幅度表示。相位是指振动在时间 上的相对位置，通常用角度或时间表示。 振幅和相位的变化会影响振动的能量和传 播方向。
简谐振动方程
描述周期性振动的方程，其解为正弦或余弦函 数。
阻尼振动方程
考虑阻尼效应的振动方程，其解为衰减的振荡函数。
线性振动系统与非线性振动系统
线性振动系统
当外力作用与振动的位移、速度或加 速度成正比时，振动系统被称为线性 系统。线性系统具有叠加性和比例性 。
外力作用下的振动
受迫振动与共振现象
受迫振动定义
物体在外界周期性驱动力作用下的振 动。
共振现象
共振条件
驱动力的频率与物体的固有频率相等 时，发生共振。此时物体的振幅达到 最大值，且振动状态最稳定。
当驱动力的频率接近物体的固有频率 时，物体的振幅会显著增大的现象。
03
振动图像与波动图像分析
位移-时间图像（x-t图像）
波的传播方向
通过波动图像可以判断波的传 播方向，如横波和纵波的传播
方向不同。
波的叠加原理
当多个波源产生的波在同一介 质中传播时，它们会相互叠加
，形成复杂的波动现象。
04
能量转化与守恒在振动中 体现
机械能守恒定律在振动中应用
机械能守恒定律
在只有重力或弹力做功的物体系统内 ，动能与势能可以相互转化，而总的 机械能保持不变。
阻尼振动特点及其影响因素
振幅逐渐减小
阻尼振动中，由于阻尼力的作用，振动的振幅会 逐渐减小。
周期不变
阻尼振动的周期与无阻尼时的周期相同，不会因 阻尼的存在而改变。
影响因素
阻尼振动的特点受阻尼系数、振动频率和初始条 件等因素的影响。
受迫振动产生条件及规律总结
产生条件
受迫振动是由外界周期性驱动力作用在振动系统上而产生 的。
THANKS
感谢观看
振动特性
弹簧振子的振动频率和振幅取决于 弹簧的劲度系数和振子的质量。
单摆模型
01
02
03
摆线定义
连接在固定点上的轻杆或 细线，其下端悬挂一个质 点，能在外力作用下在竖 直平面内做往复运动。
振动方程
根据牛顿第二定律和单摆 的受力分析，可以推导出 单摆的振动方程。
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外力作用下的振动
一、阻尼振动
1．固有振动和固有频率
(1)固有振动：不受外力作用的振动。
(2)固有频率：固有振动的频率。
2．阻尼振动
图11-5-1
(1)阻尼：当振动系统受到阻力作用时，振动受到了阻尼。
(2)阻尼振动：振幅逐渐减小的振动，如图11-5-1所示。
二、受迫振动
1．自由振动
在没有任何阻力的情况下，给振动系统一定能量，使它开始振动，这样的振动叫自由振动。
自由振动的周期是系统的固有周期。
如果把弹簧振子拉离平衡位置后松手，弹簧振子的振动就是自由振动。
2．驱动力
如果存在阻尼作用，振动系统最终会停止振动。
为了使系统持续振动下去，对振动系统施加的周期性的外力，外力对系统做功，补偿系统的能量损耗，这种周期性的外力叫做驱动力。
3．受迫振动
(1)定义：系统在驱动力作用下的振动，叫做受迫振动。
(2)受迫振动的频率(周期)
做受迫振动的物体，其振动频率总等于驱动力的频率，与系统的固有频率无关。
三、共振
1．条件：驱动力的频率等于系统的固有频率。
2
．特征：在受迫振动中，共振时受迫振动的振幅最大。
3．共振曲线：如图11-5-2所示。
1．简谐运动是一种理想化的模型，物体运动过程中的一切阻力都不考虑。
2．阻尼振动考虑阻力的影响，是更实际的一种运动。
3．受迫振动是物体做阻尼振动时受到周期性驱动力作用下的振动。
4．三者对比列表如下：
简谐运动阻尼振动受迫振动
产生条件不受阻力作用受阻力作用受阻力和驱动力作用频率固有频率频率不变驱动力频率
振幅不变减小大小变化不确定振动图像形状不确定
实例
弹簧振子振动，单摆做
小角度摆动敲锣打鼓发出的声音越
来越弱
扬声器纸盆振动发声、
钟摆的摆动
1．对共振条件的理解
(1)从受力角度看：当振动物体所受驱动力的方向跟它的运动方向相同时，驱动力对它起加速作用，使它的振幅增大，当驱动力的频率等于物体的固有频率时，它的每一次作用都使物体的振幅增加，从而振幅达到最大。
(2)从功能关系看：当驱动力的频率等于物体的固有频率时，驱动力始终对物体做正功，使振动能量不断增加，振幅不断增大，直到增加的能量等于克服阻尼作用损耗的能量，振幅才不再增加。
2．对共振曲线的理解
(1)两坐标轴的意义：
如图11-5-5所示。
纵轴：受迫振动的振幅。
横轴：驱动力频率。
(2)f0的意义：表示固有频率。
(3)认识曲线形状：f＝f0，共振；f>f0或f<f0，振幅较小。
f与f0相差越大，振幅越小。
(4)结论：驱动力的频率f越接近振动系统的固有频率f0，受迫振动的振幅越大，反之振幅越小。
当堂达标
1、(多选)如图11-5-3所示是一个弹簧振子做阻尼振动的振动图像，曲线上A、B两点的连线与横轴平行，下列说法正确的是()
A．振子在A时刻的动能等于B时刻的动能
B．振子在A时刻的势能等于B时刻的势能
C．振子在A时刻的机械能等于B时刻的机械能
D．振子在A时刻的机械能大于B时刻的机械能
2、如图11-5-4所示，在曲轴上悬挂一弹簧振子，转动摇把，曲轴可以
带动弹簧振子上下振动。
开始时不转动摇把，让振子自由上下振动，测得其
频率为2 Hz；然后以60 r/min的转速匀速转动摇把，当振子振动稳定时，它
的振动周期为()
A．s B．s
C．1 s D．2 s
3、(多选)若空气阻力不可忽略，单摆在偏角很小的摆动中，总是减小的物理量为()
A．振幅B．位移
C．周期D．机械能
4、(多选)一洗衣机在正常工作时非常平稳，当切断电源后，发现洗衣机先是振动越来越剧烈，然后振动再逐渐减弱，对这一现象，下列说法正确的是()
A．正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率大
B．正常工作时，洗衣机波轮的运转频率比洗衣机的固有频率小
C．正常工作时，洗衣机波轮的运转频率等于洗衣机的固有频率
D．当洗衣机振动最剧烈时，波轮的运转频率恰好等于洗衣机的固有频率
5、在一根张紧的水平绳上悬挂五个摆，其中A、E的摆长为l，B的摆长
为，C的摆长为，D的摆长为2l，先使A振动起来，其他各摆随后也振动
起来，则摆球振动稳定后()
A．D的振幅一定最大B．E的振幅一定最大
C．B的周期一定最短D．四个摆的周期相同
6、关于阻尼振动，以下说法中正确的是()
A．机械能不断减小B．动能不断减小
C．振幅不断减小D．一定不是简谐运动
7、铺设铁轨时，每两根钢轨接缝处都必须留有一定的间隙，匀速运行的列车经过轨端接缝处时，车轮就会受到一次冲击．由于每一根钢轨长度相等．所以这个冲击力是周期性的，列车受到周期性的冲击做受迫振动．普通钢轨长为m，列车固有振动周期为s．下列说法正确的是()
A．列车的危险速率为40 m/s
B．列车过桥需要减速，是为了防止列车发生共振现象
C．列车运行的振动频率和列车的固有频率总是相等的
D．增加钢轨的长度有利于列车高速运行
8、把一个筛子用四根弹簧支起来，筛子上装一个电动偏心轮，它每转一周，给筛子一个驱动力，这就做成了一个共振筛(如图11－5－9所示)．不
开电动机让这个筛子自由振动时，完成20次全振动用15 s；在
某电压下，电动偏心轮的转速是88 r/min.已知增大电动偏心轮
的电压可以使其转速提高，而增加筛子的总质量可以增大筛子的固有周期．为使共振筛的振幅增大，以下做法可行的是()
A．降低输入电压B．提高输入电压
C．增加筛子质量D．减小筛子质量
9、如图11-5-6所示为一单摆的共振曲线，该单摆的摆长约为多少共振时单摆的振幅多大共振时摆球的最大速度和最大加速度各为多少(g取10 m/s2)。