5.3应用二元一次方程组---鸡兔同笼
北师大版初二数学上册5.3 应用二元一次方程组---鸡兔同笼
第五章二元一次方程组5.3 鸡兔同笼平川区王家山中学赵进芳一、教材分析《鸡兔同笼》是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第五章《二元一次方程组》第三节.本节安排1个课时。
借助"鸡兔同笼"这一中国古代名题，让学生经历列二元一次方程组解决实际问题的过程，进行根据实际问题情境列二元一次方程组的训练，强化方程的模型思想，培养了学生列方程（组）解决实际问题的意识和应用能力.，同时将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体。
当然，在题材的选择上，教科书注意了题材的现实性、科学性和趣味性；在题材的呈现顺序上，遵循了由易到难的原则，教学中，教师可以根据学生的生活实际和认知实际，选择更贴近学生实际的素材进行教学，此外，在教学过程中，教师应更多地关注学生的建模过程，关注学生是否能顺利地列出正确的二元一次方程组.二、学情分析●学生的年龄特点和认知特点初中二年级的学生，正处于少年期，已具备了初步的抽象、概括和分析问题解决问题能力，要培养他们敢于面对挑战和勇于克服困难的意志.鼓励他们大胆尝试，敢于发表自己的看法，以从中获得成功的体验，激发学习激情.●在学习本课之前，应具备的基础知识和基本技能(1)方程的思想;(2)能整体地系统地审清题意，找出等量关系;(3)能从具体问题中的数量关系列出二元一次方程组;(4)熟练解二元一次方程组.●学习者对即将学习的内容已经具备的水平(1)本课是在学生已对一元一次方程、二元一次方程、二元一次方程组解法有了足够的认识的基础上来学习的，也学过了列一元一次方程解决实际问题，因此，大部分学生学习本课应该没有太大的困难的.(2)初二的学生已经初步的具备了初步的抽象、想象、逻辑思维能力，初步的分析问题和解决问题的能力.三、教学目标●知识目标在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能；●能力目标使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤，让学生亲自经历和体验运用方程（组）解决实际问题的过程，进一步体会方程（组）是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的抽象、概括、分析解决实际问题的能力;●情感目标1.进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识.2．通过"鸡兔同笼"，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的"趣"；进一步强调课堂与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；通过对祖国文明史的了解，培养学生爱国主义精神，树立为中华崛起而学习的信心.●教学重点根据等量关系列二元一次方程组解应用题.●教学难点1.读懂古算题;2根据题意找出等量关系，列出方程.四、教学方式采用"先学后教，当堂训练"的模式展开教学..五、教学媒体和教学技术选用多媒体课件及微课辅助教学.六、教学活动过程本节课设计了五个教学环节：第一环节：引入课题；第二环节：出示学习目标；第三环节：先学后教，当堂训练；第四环节：感悟和收获；第五环节：作业布置.第一环节：引入课题活动1：应用幻灯片1中的图片提问并采用相应文字说明引入新课。
5.3. 应用二元一次方程组——鸡兔同笼 导学案
子洲三中 “双主”高效课堂 导学案2014-2015学年第一学期 姓名： 组名： 使用时间2014年 月 日年 级科 目课 题主 备 人 备 课 方 式负责人（签字） 审核领导（签字） 序号 八（3） 数学 §5.3. 应用二元一次方程组——鸡兔同笼乔智一、教学目标1、在具体问题的解决过程中提高学生的解二元一次方程组的技能；2、使学生掌握运用方程组解决实际问题的一般步骤， 二、教学过程第一环节：引入课题例1 今有雉（兔）同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？提问：（1）"上有三十五头"的意思是什么？"下有九十四足"呢？（2）你能解决这个有趣的问题吗？1.用一元一次方程求解解：设有鸡x 只，则有兔（35-x ）只,得.1235.23.462.9441402.94)35(42=-=-=-=-+=-+x x x x x x x所以有鸡23只，兔12只. 2.用二元一次方程求解： 解：设有鸡x 只，兔y 只，则x +y =35, ① 2x +4y =94. ② ① ×2,得 2x +2y =70 , ③ ②－③,得 2y =24, y =12, 把 y =12 代入①，得x =23. 所以有鸡23只，兔12只.随堂练习列方程解古算题："今有牛五、羊二，值金十两；有牛二、羊五，值金八两.牛、羊各值金几何？第二环节：典型例题例1 以绳测井，若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？第三环节：课堂小结1．通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？2．这里面应该注意的是什么？关键是什么？3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。
4．列二元一次方程组解决实际问题的主要步骤是什么？列二元一次方程组解应用题的步骤：1）审清题意，设未知数;2）弄清各个量之间的关系，找出等量关系;3）列出方程，联立方程，得二元一次方程组;4）解二元一次方程组;5）作答.1．通过前面几个题，你对列方程组解决实际问题的方法和步骤掌握的怎样？2．这里面应该注意的是什么？关键是什么？3．通过今天的学习，你能不能解决求两个量的问题？（可以用二元一次方程组解决的。
北师大版八年级数学上册《5.3应用二元一次方程组—鸡兔同笼》同步测试题及答案
北师大版八年级数学上册《5.3应用二元一次方程组—鸡兔同笼》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（ ） A ．甲比乙大5岁 B ．甲比乙大10岁 C ．乙比甲大10岁D ．乙比甲大5岁2．唐代初期数学家王孝通撰写的《缉古算经》中记载：“今有五十鹿入舍，小舍容四鹿，大舍容六鹿，需舍几何？”大意为：今有50只鹿进圈舍，小圈舍可以容纳4头鹿，大圈舍可以容纳6头鹿，若每个圈舍都住满，求需要多少圈舍？设需要小圈舍x 间，大圈舍y 间，根据题意可列方程为（ ） A ．4y +6x =50 B ．50+4x =6yC ．4x +6y =50D ．50+6y =4x3．中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）：马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x 两，牛每头y 两，根据题意可列方程组为（ ）A ．{4x +6y =383x +5y =48B ．{4x +6y =485x +3y =38C ．{4x +6y =483x +5y =38D ．{4x +6y =385x +3y =484．如图，足球的表面是由32块呈多边形的黑、白皮块缝合而成的，已知黑色皮块数比白色皮块数的一半多2块，则白色皮块的块数是（ ）A ．18B ．20C ．22D ．245．一工坊用铁皮制作糖果盒，每张铁皮可制作盒身20个，或制作盒底30个，一个盒身与两个盒底配成一套糖果盒．现有35张铁皮，设用x 张制作盒身，y 张制作盒底，恰好配套制成糖果盒，则下列方程组中符合题意的是（ ） A ．{x +y =35y =2xB ．{x +y =352×20x =30yC ．{x +y =3520x =2×30yD ．{x +y =352x 20=y 306．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有木，不知长短．引绳度之，余绳五尺四寸；屈绳量之，不足二尺．木长几何？意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余5.4尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余2尺，问木长多少尺？设木长x尺，绳长y尺，根据题意列方程组得（）A．{x−y=5.412y+2=x B．{y−x=5.412y−2=x C．{y−x=5.412y+2=x D．{x−y=5.412y−2=x7．“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡图各几何”是《孙子算经》卷中著名数学问题．意思是：鸡兔同笼，从上面数，有35个头；从下面数，有94条腿.问鸡兔各有多少只?若设鸡有x只，兔有y只，则所列方程组正确的是（）A．{x+y=35x+2y=94B．{x+y=35x+4y=94C．{x+y=352x+4y=94D．{x+y=354x+2y=948．《九章算术》中有这样一道数学问题：端午游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船？其大意为：端午时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38个人，刚好坐满，问：大小船各有几只？若设有x只大船，y只小船，则列出关于x、y 的二元一次方程组正确的是（）A．{x+y=86x+4y=38B．{x+y=88x+8y=38C．{x+y=84x+6y=38D．{x−y=86x+4y=38二、填空题9．已知两个角的和是67°56′，差是12°40′，则这两个角的度数分别是．10．《九章算术》中有这样的问题：只闻隔壁人分银，不知多少银和人；每人6两少6两，每人半斤多半斤；试问各位善算者，有人分银（注：1斤=10两）．11．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为岁，乙的年龄为岁．12．我国古代劳动人民不仅擅长诗歌，而且有时还借助诗歌讨论数学问题．下面便是一个例子：“三百七十八里关，初行健步不为难，脚痛每日减一半，六天才能到其关，要问每天行里数，请君仔细算周详．“请你根据这首诗歌的意思确定“第一天行的里数”是．（注：诗歌中的“里”是我国古代计量路程的单位）13．古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有这样一道题：甲、乙两人一同放牧，两人暗地里在数羊的数量．如果乙给甲9只羊，则甲的羊数量为乙的两倍；如果甲给乙9只羊，则两人的羊数量相同．则乙的羊数量为只．14．新农村建设工地需派96名工人去挖土或运土，平均每人每天挖土5m3或运土3m3．如何分配挖土和运土的人数，使得挖出的土刚好能被运完？若设分配x人挖土，y人运土．为求x，y，小聪正确地列出了其中一个方程x+y=96，你所列的另一个方程为．15．《九章算术》是我国东汉初年编订的一部数学经典著作．在它的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成的．《九章算术》中的算筹图是竖排的，现在我们把它改为横排，如图1、图2，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x 、y 的系数与相应的常数项，把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来就是{3x +2y =19x +4y =23，类似的，图2所示的算筹图我们可以用方程组形式表述为 ．16．用如图①中的长方形和正方形纸板分别作为侧面和底面，制作如图②的竖式和横式两种无盖纸盒．现有a 张长方形纸板和b 张正方形纸板，若做出竖式纸盒x 个，横式纸盒y 个，恰好将纸板用完，则两种纸盒的总个数为 .（用含a ，b 的式子表示）三、解答题17．列方程或方程组解应用题福林制衣厂现有24名制作服装的工人，每天都制作某种品牌的衬衫和裤子，每人每天可制作这种衬衫3件或裤子5条．已知制作一件衬衫可获得利润30元，制作一条裤子可获得利润16元，若该厂要求每天获得利润2100元，则需要安排多少名工人制作衬衫？多少名工人制作裤子？18．某蔬菜种植户有甲、乙两块菜地，甲菜地去年收获xkg 西蓝花，乙菜地去年收获ykg 西蓝花，今年在县技术专家的帮助下，甲菜地增收10%，乙菜地增收15%．(1)今年两块菜地共收获__________kg 西蓝花；（用含x ，y 的代数式表示）(2)若去年两块菜地共收获10000kg 西蓝花，今年共收获11200kg 西蓝花，求甲、乙两块菜地今年分别收获多少千克西蓝花．19．学校七年级为了开展球类兴趣小组，需要购买一批足球和篮球．若购买4个篮球和3个足球需花费530元，若购买1个篮球和6个足球需花费500元． (1)篮球和足球的单价各是多少元？(2)实际购买时，正逢商场进行促销，所有体育用品都按原价的八折优惠出售．已知该年级决定购进这两种球，恰好花费960元．若两种球都要，请问有几种购买方案，请加以说明．20．重庆市某足球特色学校在七年级各班男队开展足球单循环比赛，即每个班男队都与其他各班男队比赛一场，再按各队总积分（即该队所有比赛场得分之和）排列名次．记分办法是胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．(1)比赛中，若七一班男队胜场数的两倍比平场数多1场，总积分为14分，求七一班男队胜了多少场？ (2)已知该校七年级共有16个班，比赛中，若七一班男队的平场数是负场数的整数倍，且总积分为15分，请推算七一班男队最少负了多少场？21．2024年4月13日，以“共享开放机遇、共创美好生活”为主题的第四届中国国际消费品博览会在海南海口开幕，吉祥物“元元”和“宵宵”深受大家的喜欢，某商家购进一批“元元”和“宵宵”，已知一个“元元”的进价比一个“宵宵”的进价多20元，并且购买4个“元元”的价格是购买3个“宵宵”价格的2倍． (1)商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是多少元？(2)若商家购进“元元”和“宵宵”各1000个，先按进价的120%标价销售，宵宵很快就售完，剩下的200个按照标价的八折销售完，请问商家共盈利多少元？22．小莉家用钢管做防盗窗，按设计要求，其中需要长为1.2m 的钢管88根，长为2.3m 的钢管36根（钢管的粗细均相同），并要求这些用料不能是焊接而成的．现钢材市场的这种规格的钢管每根都为6m ． (1)试问一根6米长的钢管有哪些裁剪方法呢？请填写下空(余料作废)． 方法1：当只裁剪长为1.2米的用料时，最多可剪_____________根；方法2：当先剪下1根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根； 方法3：当先剪下2根2.3米的用料时，余下部分最多能剪1.2米长的用料_____________根．(2)联合用（1）中的方法2和方法3各裁剪多少根6米长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料？ (3)小明经过探究发现：如果联合（1）中的二种裁剪方法，还有一种不同于（2）中的方案能刚好得到所需要的相应数量的材料，请写出这个裁剪方案，并说理理由．参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案ACCBB CCA1．解：设甲现在的年龄为x 岁，乙现在的年龄为y 岁 依题意，得：{y −(x −y)=15x +(x −y)=30解得：{x =25y =20．∴甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁 ∴甲比乙大5岁 故选：A ．2．解：设需要小圈舍x 间，大圈舍y 间根据题意可列方程为：4x +6y =50 故选：C ．3．解：由题可列方程组为：{4x +6y =483x +5y =38故选：C ．4．解：设黑色的有x 块，白色的有y 块 ∴{x +y =32x =12y +2解得，{x =12y =20∴白色皮块的块数为20 故选：B ．5．解：设用x 张制作盒身，y 张制作盒底 根据题意得：{x +y =352×20x =30y故选：B ．6．解：设木长x 尺，绳长y 尺，根据题意得：{y −x =5.412y +2=x 故选：C ．7．解：设鸡有x 只，兔有y 只，则由题意可得{x +y =352x +4y =94故选：C ．8．解：设有x 只大船，y 只小船，根据题意可得{x +y =86x +4y =38故选：A9．解：设这两个角的度数分别是x ，y ，则有：{x +y =67°56′x −y =12°40′解得：{x =40°18′y =27°38′故答案为：40°18′ 27°38′．10．解：设共有x 人，y 两银子，则可列方程组为：{6x =y +65x =y −5解得：{x =11y =60故答案为：11．11．解：设今年甲的年龄为x 岁，乙的年龄为y 岁，则甲比乙大(x −y )岁 由题意得：{x2=y −(x −y )x +(x −y )=2y −7解得：{x =28y =21即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁 故答案为：28 21．12．解：设第六天走了x 里，则第5天走了2x 里，第4天走了4x 里，第3天走了8x 里，第2天走了16x 里，第1天走了32x 里，根据题意得：x +2x +4x +8x +16x +32x =378解得：x =6∴第一天走了32×6=192（里）． 故答案为：192．13．解：设甲放x 只羊，乙放y 只羊 由题意得：{x +9=2(y −9)x −9=y +9解得：{x =63y =45即：乙的羊数量45只． 故答案为：45． 14．解：由题意得 5x =3y ； 故答案：5x =3y ．15．解：第一个方程x 的系数为2，y 的系数为1，相加的结果为11；第二个方程x 的系数为4，y 的系数为3，相加的结果为27，所以可列方程为{2x +y =114x +3y =27．故答案为：{2x +y =114x +3y =27．16．解：根据题意得：{4x +3y =b①x +2y =a②①+②得：5x +5y =5(x +y)=a +b∴x +y =15（a +b ）．故答案为：15(a +b)．17．解：设安排x 名工人制作衬衫，y 名工人制作裤子，根据题意，得{x +y =2430×3x +16×5y =2100解得{x =18y =6答：安排18名工人制作衬衫，6名工人制作裤子． 18．（1）解：(1+10%)x +(1+15%)y =(1.1x +1.15y )kg ∴今年两块菜地共收获(1.1x +1.15y )kg 西蓝花 故答案为：(1.1x +1.15y )；（2）解：根据题意，得{x +y =100001.1x +1.15y =11200 解得{x =6000y =4000∴(1+10%)x =1.1×6000=6600，(1+15%)y =1.15×4000=4600． 答：甲菜地今年收获6600kg 西蓝花，乙菜地今年收获4600kg 西蓝花． 19．（1）解：设篮球的单价是x 元，足球的单价是y 元 依题意，得：{4x +3y =530x +6y =500解得：{x =80y =70答：篮球的单价是80元，足球的单价是70元； （2）解：设购买篮球m 个，足球n 个 依题意，得：0.8(80m +70n)=960∴m =15−78n∵m 、n 均为正整数 ∴ {m =8n =8 或{m =1n =16答：有二种方案：购买篮球8个、足球8个或者篮球1个、足球16个． 20．（1）解：设七一班男队胜了x 场，平了y 场． 依题意得：{2x −y =13x +y =14解得：x =3,y =5．答：七一班男队胜了3场． （2）解：∴该校七年级共有16个班 ∴七一班男队共比赛15场设七一班男队负了z 场，则平了kz 场，k 是整数．依题意得：3(15−kz −z)+kz =15，解得：(2k +3)z =30． 因为k 为整数，所以(2k +3)只能是奇数．即(2k +3)为30的正奇数约数 所以(2k +3)只可能为1、3、5、15． 当2k +3=1时z =30，不合题意，舍去； 当2k +3=3时k =0,z =10； 当2k +3=5时k =1,z =6； 当2k +3=15时k =6,z =2．经比较可知，七一班男队最少负了2场．21．（1）解：设供应商购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是x 元，y 元 由题意得{x −y =204x =2×3y解得{x =60y =40答：商家购进每个“元元”和“宵宵”的进价分别是60元，40元． （2）宵宵的利润：40×0.2×1000=8000（元）元元的利润：(60×0.2×800)+(60×1.2×0.8−60)×200=9120（元） 8000+9120=17120（元） 答：商家共盈利17120元．22．（1）解：方法1：6÷1.2=5，最多可剪5根； 方法2：(6−2.3)÷1.2=3.7÷1.2=3112，最多可剪3根； 方法3：(6−2.3×2)÷1.2=1.4÷1.2=116，最多可剪1根； 故答案为：5 3 1；（2）解：设用方法2剪x 根，用方法3剪y 根6m 长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料 ∴{x +2y =363x +y =88解得：{x =28y =4；∴用方法2剪28根，方法3剪4根6m 长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料；（3）解：设用方法1剪m 根，用方法3剪n 根6m 长的钢管才能刚好得到所需要的相应数量的材料 ∴{2n =365m +n =88 解得：{m =14n =18；∴用方法1剪14根，方法3剪18根6m 长的钢管，才能刚好得到所需要的相应数量的材料；。
北师大版八年级数学上册第五章5.3应用二元一次方程组-鸡兔同笼
3×（井深+5）=绳长 或绳长÷3-5=井深
或绳长÷3-井深=5
4×（井深+1）=绳长 或绳长÷4-1=井深 或绳长÷4-井深=1
3×（井深+5）=绳长
4×（井深+1）=绳长
解：设绳长x尺，井深y尺，由题意，得
解得 x =48，y=11. 答：所以绳长48尺，井深11尺.
1.今有牛五、羊二，直金十两．牛二、羊五， 直金八两．牛、羊各直金几何？
舍住6人，则有3人住不下；若每间宿舍住8人，
则有一间只住3人，且空一间宿舍。求该年级
寄宿人数及宿舍间数？ 解：设该年级寄宿人数是x,宿舍y间
6y x 3 8( y 1) 3 x
解得x=27, y=4 答该年级寄宿人数是27,宿舍4间
4．4辆小卡车和5辆大卡车一次共可以运货物 27吨,6辆小卡车和10辆大卡车一次共可以运货 物51吨,问小卡车
B. 鸡11兔13
C. 鸡12兔12
D. 鸡13兔11
2．一队敌人一队狗,两队并成一队走,脑
袋共有八十个,却有二百条腿走,请君仔
细数一数，多少敌军多少狗？ 解：设敌人x，狗y只
x y 80 2x 4 y 200 解得x=60 , y= 20 答：敌人有60个，狗有20只
3.某校为初一年级学生安排宿舍，若每间宿
不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊价各几何？”其大意是：今
有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，
问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，羊价为 y 钱，根据题
意，可列方程组为( A )
y＝5x＋45
y＝5x－45
y＝5x＋45
y＝5x－45
八年级数学上册5_3应用二元一次方程组_鸡兔同笼“鸡兔同笼”补遗素材新版北师大版
“鸡兔同笼”补遗北师大版八年级（上）第五章第三节介绍了《应用二元一次方程组---鸡兔同笼》，本文再介绍与之相关的一些知识，供同学们学习时参考．今有雉兔同笼，上有三十五头．下有九十四足，问雉兔各几何？它出自我国古代数学著作《孙子算经》中著名的“雉兔同笼”问题．书中给出的解法是：“上置头，下置足，半其足，以头除（此处‘除’之意为‘除去’即减去）足，以足除头，即得．”书中先设“金鸡独立”，玉兔双腿（即“半其足”），这时共有腿数为94÷2 = 47．在这47条腿中，每数一条腿应该有一只鸡，而每数两条腿才有一只兔，所以：兔数为 47－35 = 12，即“以头除足”．鸡数为 35－12 =23．这道题用列二元一次方程组的方法可以很容易求解：设鸡有x 只，兔有y 只，则由题意，可得352494.x y x y +=⎧⎨+=⎩解这个方程组，得2312x y =⎧⎨=⎩． 我们再把这个解法一般化：在一般情况下，设鸡有x 只，兔有y 只，A 为鸡、兔总共只数，B 为鸡、兔总共足数．则24.x y A x y B +=⎧⎨+=⎩解之，可得22.2B x A B y A ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩ 这就是说，兔数为腿数的二分之一（半其足），与总头数之差（以头除足）．在古代朱世杰《算学启蒙》（1299年）《永乐大典》中的《丁巨算法》（1355年）严恭《通原算法》中，也载有鸡兔同笼问题，朱世杰的解法与《孙子算经》不同，而与现代的算术解法则几乎完全一样．今有鸡兔100，共足272只，只云鸡足二，兔足四，问鸡兔各几何？其解法是：“列一百，以兔足乘之，得数内减共足余一百二十八为实，列鸡、兔足以少减多余二为法而一得鸡，反减一百即兔，合问．”又术曰：“倍一百以减共足余半之即兔也．”此即：鸡数 （100×4－272）÷（4－2） = 64．兔数 100－64 = 36．或兔数 （272－100×2）÷2 = 36．鸡数 100－36 = 64．吴敬《九章算法比类大全》（1450年）卷六也载有几个很有趣味的类似的诗词古体算题，如争强斗胜八臂一头号夜叉，三头六臂是哪吒．两处争强来斗胜，二相胜负正交加．三十六头齐厮打，一百八手乱相抓．旁边看者殷勤问，几个哪吒几夜叉？吴敬原书的解法：置列互乘对减得 108×3－36×6 = 108为被除数，3×8－1×6 = 18为除数，故：夜叉数为108÷18 = 6．哪吒数为（36－6）÷3 = 10．此法与现在的方程组解法相类似：设夜叉数为x ，哪吒数为y ，则86108.336x y x y +=⎧⎨+=⎩解得6.10x y =⎧⎨=⎩ “鸡兔同笼”问题，在我国民间流传十分广泛，民间流传有“野鸡兔子四十九，一百条腿地下走．借问英贤能算士，野鸡兔子各多少？（请同学们自己列方程组解答）．下面这道题是流传于我国民间的“板凳木马问题”它同“鸡兔问题”很相似．板凳木马三十三，共足一百单；请问能算者，它们各若干？这道题的意思是：板凳木马的总数是33个，腿的总数是101条．板凳、木马各有多少个？（注：板凳4条腿，木马3条腿）解：设有板凳x 个，木马y 个，根据题意，得33,43101.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得2,31.x y =⎧⎨=⎩即板凳有2条，木马有31个． 在李汝珍（约公元1763 － 1830）著的古典小说《镜花缘》中有这样一段趣味故事： 宗伯府的女主人卞宝云邀请众女才子们到府中的小鳌山观灯．当众才女在一片音乐声中来到小鳌山时，只见楼上楼下俱挂着许多灯球，五彩缤纷，秀丽壮观，宛如列星，高低错落．一时竟难分辨其有灯多少，卞宝云请精通筹算的才女米兰芬，算一算楼上楼下大小灯球的数目．她告诉米兰芬：“楼上的灯有两种；一种上做三个大灯球，下缀六个小灯球；另一种上做三个大灯球，下缀18个小灯球．楼下的灯也分两种：一种一个大球下缀两个小球；另一种是一个大球下缀四个小球．”她请米兰芬算一算楼上楼下大小灯球各多少盏？米兰芬想了一想，请宝云命人查一查楼上楼下大小灯球各多少个．查的结果是：楼上大灯球396个，小灯球1440个；楼下大灯球360个，小灯球1200个．米兰芬采用《孙子算经》中雉兔同笼“的解法，先算楼下的：一大四小灯的盏数：1200÷2－360 = 240．一大二小灯的盏数：360－240 = 120．楼上三大十八小的盏数：（1440÷2－396）÷6 = 54．三大六小的盏数：（396－3×54）÷3 = 78．用列二元一次方程组的方法求解如下：解：设楼下一个大球下缀两个小球的灯有x 盏，一个大球下缀四个小球的灯有y 盏，根据题意，得360,241200.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得120,240.x y =⎧⎨=⎩答：（略）．请同学们用同样的方法算一算楼上两种灯的盏数．在我国明朝永乐年间，由翰林学士解缙等人编撰的《永乐大典》中也有类似的题目，请看下面这道题：钱二十贯，买四百六十尺，绫每尺四十三，罗每尺四十四．问绫、罗几何？这道题的意思是：用20贯钱买了460尺绫和罗，绫的价格是每尺43文，罗的价格是每尺44文．问买了绫、罗各多少尺？（贯：古代货币单位；文：古代货币单位．1贯＝1000文；尺：已经废止使用的市制长度单位．）经过我们仔细地观察、比较，可以发现，此题也可以归为“鸡兔问题”来求解． 解：设买绫x 尺，买罗y 尺，根据题意，得460,434420000.x y x y +=⎧⎨+=⎩解得240,220.x y =⎧⎨=⎩ 即买绫240尺，买罗220尺． 在《九章算术》中的：“玉石问题”也属于这一类：今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并一十一斤．问玉、石各重几何？（斤、两：都是已经废止使用的重量单位．古代，1斤＝16两；寸：是已经废止使用的市制长度单位．）这道题的意思是：宝玉1立方寸重7两，石料1立方寸重6两．现有宝玉和石料混合在一起的一个正方体，棱长是3寸，重量是11斤．在这个正方体中的宝玉和石料各重多少两？解：设这个正方体中宝玉x 寸，石料y 寸，根据题意，得33,76176.x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 解得14,13.x y =⎧⎨=⎩则有宝玉：14×7＝98（两），石料：13×6＝78（两）．答：（略）中国的鸡兔问题后来传到了日本．日本江户时代出版社出版的《算法童子问》一书中就有许多类似这样解法的题目．下面这道题就是这本书中比较典型的一道：院子里有狗，厨房的菜墩上有章鱼．狗和章鱼的总头数是14，总足数是96，求狗和章鱼各有多少．（注：章鱼有8只足．）解：设狗有x 条，章鱼有y 尾，根据题意，得14,4896.x y x y +=⎧⎨+=⎩ 解得4,10.x y =⎧⎨=⎩即有狗4条，有章鱼10尾．列一次方程组解“鸡兔问题”的方法你学会了吗？下面的题目请你尝试一下：1． 鸡兔同笼不知数，三十六头笼中露；看来脚有一百只，几多鸡儿几多兔．2． 一千官兵一千布，一官四尺无零数；四兵才得布一尺，请问官兵多少数？答案：1．14只兔，22只鸡．2．200军官，800士兵．。
5.3应用二元一次方程组-鸡兔同笼(教案)
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何建立方程组和选择合适的解法这两个重点。对于难点部分，如如何从问题中抽象出数量关系，我会通过具体的鸡兔同笼例子和图示来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与二元一次方程组相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如用代币或模型模拟鸡兔同笼问题，演示如何用代入法和消元法解方程组。
其次，在解方程组的过程中，我发现有的学生对于代入法和消元法的适用场景还不够明确，容易混淆。这可能是因为我在讲解时没有充分强调它们的特点和适用范围。在以后的教学中，我要加强对比讲解，让学生能够更加明确各种解法的优势和局限。
此外，学生在小组讨论中表现出较高的积极性，但也有一些学生在讨论中显得比较被动。为了提高学生的参与度，我打算在接下来的课堂中，多设置一些开放性问题，鼓励学生积极思考，勇于表达自己的观点。
-学生可能会困惑于如何将问题中的信息转化为数学表达式，需要教师引导分析头和脚的对应关系，并示范如何列出方程。
-难点二：选择合适的解法解二元一次方程组。
-学生可能会在选择代入法或消元法时感到困惑，需要教师通过具体例子讲解两种方法的适用场景，并展示解题步骤。
-难点三：在解决实际问题时，如何检验答案的正确性。
（二）新课讲授（用时10分钟）
1.理论介绍：首先，我们要了解二元一次方程组的基本概念。二元一次方程组是由两个未知数和它们对应的线性方程构成的，是解决许多实际问题的有力工具。它在数学和现实生活中有着广泛的应用。
北师大版八年级上册数学 5.3 应用二元一次方程组——鸡兔同笼教案1
5．3应用二元一次方程组——鸡兔同笼1．能根据具体问题的数量关系，列出二元一次方程组解决简单的实际问题．(重点)一、情境导入古算题：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．问有几客几房中？”题目大意：一些客人到李三公的店中住宿，若每间房里住7人，就会有7人没地方住；若是每间房住9人，就会空一间房．问有多少间房？多少客人？你能解答这个问题吗？二、合作探究探究点一：二元一次方程组在古代问题中的应用列方程组解古算题：“巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，看看用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．请问先生明算者，算来寺内几多僧？”解析：题目大意是：一座寺庙内不知有多少僧人，但饭碗和汤碗共有364只．如果3人共用一个饭碗吃饭，4人共用一个汤碗喝汤，都正好用完所有的碗，问寺庙内共有多少僧人？本题如果直接将僧人的人数设为x，则不易列方程组求解，因此需采用间接设法．解：设饭碗有x只，汤碗有y只．由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝364，3x＝4y.解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝208，y＝156.则僧人数量为3×208＝624(人)．所以寺庙内共有僧人624人．方法总结：古诗型问题是应用题中的一个常见类型，这种题型是通过诗歌的形式向大家说明几个量之间的关系，进而提出问题．解决这类问题的关键是要读懂题意，分清各量之间的关系，找出题中隐含的相等的量，列出方程组，从而解决实际问题．探究点二：列二元一次方程组解决实际问题某中学七年级甲、乙两班共有93人，其中参加数学课外兴趣小组的共有27人，已知甲班有14的学生，乙班有13的学生参加数学课外兴趣小组，求这两个班各有多少人．解析：本题的未知数有两个，即甲班的人数和乙班的人数；本题所含的等量关系有：①甲班人数＋乙班人数＝93；②甲班人数×14＋乙班人数×13＝27.解：设甲班的人数为x人，乙班的人数为y人，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x＋y＝93，14x＋13y＝27，解得⎩⎪⎨⎪⎧x＝48，y＝45.答：甲班的人数为48人，乙班的人数为45人．方法总结：设未知数时，一般是求什么，设什么，并且所列方程的个数与未知数的个数相等．解这类问题的应用题，要抓住题中反映数量关系的关键字：和、差、倍、几分之几、比、大、小、多、少、增加、减少等，明确各种反映数量关系的关键字的含义．三、板书设计列方程组,解决问题)⎩⎪⎨⎪⎧一般步骤：审、设、列、解、验、答关键：找等量关系通过“鸡兔同笼”，把同学们带入古代的数学问题情景，学生体会到数学中的“趣”；进一步强调数学与生活的联系，突出显示数学教学的实际价值，培养学生的人文精神；进一步丰富学生数学学习的成功体验，激发学生对数学学习的好奇心，进一步形成积极参与数学活动、主动与他人合作交流的意识．。
5.3应用二元一次方程组_---鸡兔同笼
x 2 y3
1 x ,而正确的解是 的方程组是什么吗? y 1
,你知道正确
初中二年级（八年级）（下）
第五章
二元一次方程组
“鸡兔同笼”是我国古代数学名著 《孙子算经》中的31题:今有鸡兔同笼,上有 三十五头,下有九十四足.问鸡兔各几何?
设鸡有x只,兔有y只,可以得到关于x,y的二元一次方程组:
x y 35 2x 4 y 94
5.3 应用二元一次方程组1
自学检测
用代入消元法解下列方程组: x-7y=0, y=x , 2. 1. x–9y+8=0 ; 看看你掌 4x+y=15 ;
握了吗？
3x+2y=1, 2x-3y=1 , 3. 4. -x+2y=4 ; 3x + 4y= -7 .
用代入消元法解二元一次方程组的一般步骤:
1.给两个方程编号①、②; 变形. 通常将系数为1或-1的方程变形，用含有一 个未知数的代数式表示另一个未知数，并 编号为③. 2.将③代入没有变形的方程,从而将二元一次 方程组转化为一元一次方程. 3.解这个一元一次方程. 4.将已求出的未知数的值代入方程③,求 出另一个未知数的值. X= 5.下结论. ∴原方程组的解是 y=
学习目标
会用代入消元法
解二元一次方程ห้องสมุดไป่ตู้.
自学指导
认真看P.108-109的内容: 1.看例1时思考是如何消去x的?可以通过 消去y解这个方程组吗? 2.看例2时思考是如何消去x的?可以通 过消去y解这个方程组吗? 3.结合P.109的“议一议”下面一段文字 思考用代入消元法解二元一次方程组的 一般步骤; 5分钟后,比谁能正确地做出与例题 类似的习题.
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随堂练习
巩固练习
巩固练习
2.
拓展提升
课堂小结
应用二元一次方程组解应用题的步骤： （1）审题； （2）设两个未知数，找两个等量关系； （3）根据等量关系列方程，联立方程组； （4）解方程组； （5）检验并作答.
北师大版八年级上册数学
第五章 二元一次方程组
情境探究
《孙子算经》是我国古代一部较为普及的算书,许多 问题浅显有趣,其中下卷第31题”雉兔同笼”流传尤为 广泛,飘洋过海流传到了日本等国. “鸡兔同笼”题为:今有鸡兔同笼,上有三十五头,下有九十四 足,问鸡兔各几何?
（1）“上有三十五头”的意思是什么?“下有九十四足”呢? （2）你能根据（1）中的数量关系列出方程吗？ （3）你能解决这个有趣的问题吗？与同伴进行交流。
情境探究
①算术法： 兔：（94－35×2）÷2＝12
或鸡：（35×4－94）÷2＝23
鸡：35－12＝23 兔：35－23＝1244
②一元一次方程：设鸡有x只，则兔有（35-x)只。
2x+4×(35-x)=942x＋
③二元一次方程：设鸡有x只，兔有y只。
想一想
例题探究
例：以绳测井。若将绳三折测之，绳多五尺；若 将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
题目大意是：用绳子测量水井的深度.如果将绳子折成三等 份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份 绳长比井深多1尺.绳长、井深各是多少尺？
解：设绳长x尺，井深y尺，由题意，得
x 3
y
5
x
4
y
1
解得：
x
y
48 11
答：绳长48尺，井深11步骤是什么？