性常微分方程的保线性变换及其应用

２常见的保线性变换
在常微分方程的一般理论中，线性性质尤为重要
能保持微分方程的线性性质的变换统称为保线性变 换下面讨论最常见的两种保线性变换
２．１变换，（ｚ】．“（ｔ）ｅ“”的保线性性质 为确定起见．在以下讨论中规定一般的二阶线性
变系数常微分方程的标准方程为
挈岬（ｚ）塞＋Ｑ（ｍ＝０
（１）
对方程（１）作变换得
（６），则式（１４）就是判别式，有的书上称为方程的不变
式‘…
３．３作自变量与未知函数的联合变换
若经自变量变换（１１），式（１２）不满足，或经未知函
数的齐次线性变换（１３）．式（】４）不成立，则可考虑作自
变量与未知函数的联合变换为便于处理问题，先考虑
自变量的变换Ｑ。（１）＝Ｑ（ｚ）章２，即式（１０’），可以算得
万方数据
第７期
柬仁贵等：线性常微分方程的保线性变换及其应用
若式方（１４程）成ｃ立 ｔ，．气则 章ｉ萼；器方程ｃｅ， ｙ（ｚ）＝＾一１（ｚ），【』） 已知方程（６）的解为式（１９），则方程（１）的解为
ｙ（ｆ）＝＾（Ｔ）ｙ（Ｔ）＝ｃｌ＾（ｚ）ｙ１（ｚ）＋旬＾（ｚ）ｙ２（ｒ）
若式方（程１８）（成·立），；则赢若考等等揣方程（６）
其中、几盯田ｄｆ＝、几盯习ｄｚ，ｚ＝Ｐ（ｆ），Ｐ＝脚一
÷．＾（ｆ）＝ｅ。ｆ忡耳”。已知方程（６）的解为式（１９），则
方程（１）的解为
ｙ（ｚ）＝ｆ．＾［甲。１（ｚ）ｈ［妒１（ｚ）］＋ｃｚ＾［尹。１（ｚ）ｋ［驴＿１（ｚ）］
４．１．１常系数化方法
二阶线性常系数常微分方程总是可解的，将一个 给定的二阶线性变系数常微分方程化为常系数方程求 解称为常系数化方法这时，可在方程（６）中取Ｐ．（ｆ）
蹦沪ｚ｝＋脚一詈
（９）
㈣““刮）＝＋卿｝２卜＋ｉ【詈脚）一＋言善）＋“｝ ｏ，“０）
这正是变换ｙ（ｚ）＝ｙ（ｆ）ｅ巾’（其中ｅ巾’＝＾（￡），。＝９ （ｆ））能将方程（１）变为方程（６）的充分必要条件下面 分别情况作进一步讨论． ３．１作于自变量的任意变换
此时ａ（ｆ）＝０，＾（ｆ）＝１，式（９）与式（１０）分别化 为：
［掣ｎ”。（ｚ）＋ｎａ “ｚ）ｄ嘉ｚ ｙ…（ｚ）＋‰７山）Ⅶ（圳Ⅱ 南Ｔ …（小 ７。（ｚ）＋ｎ：（ｚ）］，｛“（ｚ）＝ｏ
令ｙ（ｚ）＝，…（ｚ），则上式化为
ａ［。掣ｎ（”ｚ）。善（ｙｚ（）ｚ＋）一＋［ａ’∥．。（（ｚｚ））＋ｈｎ（：ｚ（）ｚ］）墨］ｙｙ（（ｚｚ））＝＋ｏ
（２１）
５倒置
关于常系数化方法求解的讨论与例题，详见参考 文献［４］．这时着重讨论一般的二阶变系数常微分方 程，是否可以及通过什么样的变换才能化为常见的特 殊函数方程来求解
由式（１３）可以确定
～
∞
Ｐ２唧一÷
妒
（１５）
＾（ｆ）＝ｅ帆” （１６）
将其代人式（１４）式，若
扣喀＝ｏ
（１７）
方程（Ｉ）可经变换ｙ（ｚ）＝＾“）ｒ（ｒ）化为方程（６），式 （１７）为判别式为便于记忆与应用，可将判别式化为
÷砰＋吾ｐ．＝｛茸＋毒宣
（，８）
４应用
根据上述研究与讨论，可用来解一类二阶线性变 系数常微分方程
Ｐ。（ｆ）＝脚÷
９
Ｑ，（ｆ）＝西２
从式（１０’）可以解出
（９’） （１０’）
ｉ：√鲁或锕“＝属ｄｔ…）
代人式（９ ７），得到
击厄＋２丢同尚２墒南＋２丢厢嚣…，…
在自变量变换（“）下，若式（１２）成立，方程（１）可 化为方程（６），式（１２）就是判别式 ３．２作关于来知函数的齐次线性变换
２￡，鲁３ 此时Ｔ
４．１化方程为可解的方程 如果方程（１）或方程（６）的解已知．则另一个方程
的解也可经相应变换给出
若式（１２）成立，则
方程（１’‘ｆ ２ ；∞ ！ｉ１；Ｌｚ等，等方程（６）
如果方程（６）的解为
ｒ（￡）＝ｃ１，１（￡）＋ｆ２ｙ２（ｆ）
（１９ Ｊ
（ｆ。、ｃ：为任意常数，ｙ，、ｙ。为两个线性无关解），则方
程（１）的解 ｙ（ｚ）＝ｆｌｙｌ［Ｐ一１（ｚ）］＋ｃ２，２［妒一１（Ｔ）］
ｐ ２ｌ·ｙ（ｆ）２＾（ｒ）ｙ（￡），式（９）
与式（１０）分别化为：
Ｐ－（ｆ）＝２｝＋Ｐ（￡）
（９”）
州ｒ）－Ｑ“）＋｝（ｆ）＋；
（１∥）
从式（９ｗ）可以解得
＾“）：ｅ｛ｎ…。７ （１３） 代人式（１０”），得到
Ｑ，一号ｐ．｛Ｐ２＝Ｑ一丢Ｐ，＿丢Ｐ２ （１４）
若上式成立．可经变换（１３）使得方程（１）变换为方程
解：把方程化为标准型：
警＋吾蓑＋［－一掣］删， Ｐ＝』，Ｑ：卜坐盟
标准的一阶Ｂｅｓｓｄ方程为：
＃＋｛￡＋（一一；），＝ｏ， ｄＴ２
Ｔ ｄｚ
、‘
”’
Ｔ‘Ｊ’
Ｐ＝土。Ｑ：１一乓
根据变换式（１３）有
＾（ｚ）＝ｅ｛Ｊ”·。”２＝｛：
Ｖｚ
检验判别式（１４），有：
卜”｛Ｐ，１一扣㈡一掣一
丢未（吾）一丢（导）２＝－一堕掣
驴去弓浩２习毒’毒
卜壳十吉嚣２密‘毒
来表示
解：标准的Ｌｅｇｅｎｄｒｅ方程为：
（卜ｚ ２）ｄ祭ｚ‘ 协菩ｄＴ十ｆ（…）ｙ＝ｏ
ｎｏ＝ｌ～ｚ２， 口ｌ＝ ２ｚ，
将方程阿边对ｚ求”阶导数，则
ｄ２＝ｆ（ｆ＋１）
可以看出，若取ｐ；以，。＝ｆ２时，判别式Ｊ。＝Ｊ，即原 方程经自变量的变换，可以化为厄阶的Ｂｅ站ｅｌ方程因
ｙ（ｚ）＝“（ｆ）ｅ“”
（２）
即同时作未知函数的齐次线性变换和自变量的变换，
经过通常的微分运算方程（１）可化为未知函数“关于
自变量为￡的二阶线性常微分方程：
；（￡）２＋二［塞＋ｚ二（老）２＋Ｐ害］＋
“［；（塞）２＋；（睾＋，盎）＋ｉ ２（￡）２＋Ｑ］＝。
（３）
可见变换（２）能保持微分方程的线性性质，是保线性变 换 ２．２二阶线性齐次常微分方程对自变量求ｎ阶导数
二阶线性变系数齐次常微分方程对数学物理方法教学中怎样通过适当的变换把给定的二阶线性变系数齐次常微
分方程化为可解的方程给出了合理解释
关键词：二阶线性常微分方程；保线性变换
中圈分类号：ｏ ４１ｌ
文献标识码：Ａ
文章编号：１０００．０７１２（２００３）０７—００１１—０５
ｌ引言
二阶线性常微分方程在物理学及科学技术中有广 泛的应用“。２ ｏ根据线性常微分方程的一般理论，求任 何线性非齐次常微分方程的解都归结为求相应齐次常 微分方程的基本解组”…然而，即使对二阶线性变系 数常微分方程，至今也没有求出其基本解组的一般方 法在通常的高等数学及数理方法教科书中都给出了 二阶线性常系数常微分方程及一些特殊函数方程求解 方法，如果能够通过适当的变换把一个给定的二阶线 性变系数常微分方程化为这些可解的方程，则很容易 得出该二阶线性变系数常微分方程的通解问题在于 如何知道这个方程能否化为可解的方程并通过怎样的 变换才能化为可解的方程
第２２卷第７期 ２００３年７月
大学 物理 ＣＯＩ，ＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳ
Ｖ０ｌ ２２ Ｎｏ ７ Ｊｕｌｙ ２００３
线性常微分方程的保线性变换及其应用
柬仁贵１，束萱２，李珍１
（１．东北师范大学物理系，吉林长春 １３００２４；２清华大学经管学院．北京 １０００８４）
摘要：研究了线性常微分方程的保线性变换，得到任意两个二阶线性常微分方程等价的条件，并用于求解一类
＝ｄ．（常数），Ｑ。（ｆ）＝Ｊ：（常数）： １）变换式（１１）化为
ｆ摆ａｚ ｐ叫（ｚ）
（¨’）
条件（１２）化为
”护√害（ｒ＋是） …’，
这是方程（１）经自变量的变换（１１’）可常系数化的判别
式
２）变换式（１３）化为
＾（ｒ）＝ｅ趴“
（１３，）
条件（１４）化为
△：＝Ｑ÷Ｐ７÷Ｐ２＝ｃ（常数） 【１４’）
ａ。＝ａ：＋｛。》ｃ＋｛穰
这是方程（１）经未知函数的齐次线性变换ｙ（ｆ）＝＾（ｆ） ｙ（ｆ）可常系数化的判别式
３）变换式（１１）与（１６）化为
ｒ＝ｆ摆扣Ｐ１扎＾“）＝ｅ玳南“
（Ｐ＝昂＝÷）
（２０）
妒
条件式（１８）化为
△，＝÷＃２＋芦＝÷正（常数） （１８７）
此为方程（１）经自变量和未知函数的联合变换可常系
３两个二阶线性齐次方程能够相互转换的判别式
设给定二阶线性齐次常微分方程为
警＋Ｐｌ（ｆ）萼旧㈩ｙ（ｆ）＿０ （６）
如果方程（１）能够经变换（２）化为方程（６），则在方程 （３）中＇７（ｆ）＝“（ｆ），且同时满足：
州沪鍪（鲁）２忆＋，鲁 ㈩ 臼ｍ，＝ｑ（鲁）２＋；［霉（等）２＋Ｐ警］＋二＋；’
（８）
因为警＝÷，ｅ“】－＾（ｆ），二＝鲁，二＋ｊ ２＝鲁，又有：
ｙ（ｚｊ ２ ｃｔ，ｏ（２／虹）＋ｆ２Ｎｏ（２￣／ｎｚ） 饲２：判断方程ｆ２ｊ＋西＋４（￡‘一２）Ⅳ＝ｏ能香化为 Ｂｅｓｓｅｌ方程求解
若取。２÷２ ｚ（ｆ＋１），即取ｖ＝ｆ＋告，则方程可作变 换，（ｚ）２＾（ｚ）Ｒ（ｚ）化为，＋｛阶的Ｂｅｓｓｅｌ方程因
解：将方程化为标准型ｊ＋扣＋４（ｚ２一舌），＝ ｏ，Ｐｔ＝÷，Ｑ，＝４（ｒ ７一；），，阶Ｂｅ５ｓｅｌ方程为：
数化的判别式 这些正是文献［４］中的结果，有关的详细讨论与应
用，不再赘述 ４．１．２化为已知可解的特殊函数方程
将方程（６）取为已知可解的特殊函数方程，则可以 确定一个给定的二阶线性变系数常微分方程能不能化 为特殊函数方程来解（详见例题） ４．２ 以，“１（ｊ）为解的二阶线性齐次常微分方程
若已知方程（４）有解ｙ（ｚ），可以导出以ｙ“’（－） （不等于零）为解的二阶线性方程以及方程（４）的系数 所应满足的条件从方程（５）中不难看出，若它有懈 ，“’（ｚ），则ｎ。（ｚ）最多只能为ｚ的二次多项式．ｎ． （ｚ）最多只能为。的一次式，而ａ：（ｚ）只能是常数因 此，方程（５）化为