投资比例优化组合
金融经济学中的投资组合优化
金融经济学中的投资组合优化投资组合优化是金融经济学中的一个重要概念，指的是根据一定的规则和目标，在给定的投资资产中选择最佳的投资组合。
这是一个涉及到资产配置、风险管理和收益优化等多个因素的复杂问题，通过数学建模和计算方法，可以得到最优的投资组合。
投资组合优化的目标是在给定的投资资产中，寻找最佳的资产配置方式，以实现对投资收益的最大化或风险的最小化。
投资组合优化的基本原理是通过将不同资产的收益率、风险和相关性等因素进行综合考虑，建立数学模型并使用计算方法进行求解，以达到最优的投资组合配置。
投资组合优化的基本步骤包括确定投资资产、建立资产收益模型、确定投资组合权重、优化目标函数和求解最优解。
首先，需要确定投资组合中包含的资产种类，这通常包括股票、债券、房地产等多种金融产品。
其次，需要建立每个资产的收益率模型，预测未来的收益率，并计算出资产之间的协方差和相关系数等风险因素。
然后，通过给定的投资目标和约束条件，确定投资组合的权重，即每个资产在总投资中的比例。
接下来，需要建立优化目标函数，通常是风险调整后的收益或收益与风险的权衡。
最后，使用数学模型和计算方法，求解最优的投资组合权重，从而得到最优的投资组合配置。
在实际应用中，投资组合优化可以用于制定投资策略、风险管理和资产配置等领域。
通过优化投资组合，可以实现收益的最大化或风险的最小化，提高投资组合的效率和稳定性。
同时，投资组合优化还可以用于资产配置的决策过程中，帮助投资者根据自身的风险偏好和投资目标，选择最合适的投资组合。
然而，投资组合优化也存在一些挑战和限制。
首先，投资组合优化需要对未来的收益和风险进行预测，然而预测的准确性往往是不确定的。
其次，投资组合优化需要假设投资者的行为和市场的反应是理性的，然而现实市场中存在着各种非理性因素和市场失效现象，这会对投资组合优化的效果产生一定的影响。
此外，投资组合优化通常基于历史数据和静态模型，无法完全考虑到市场风险和结构性的变化。
投资组合优化
投资组合优化在当今的金融世界中，投资组合优化是一个备受关注的话题。
无论是个人投资者还是专业的投资机构，都希望通过合理的投资组合配置来实现资产的增值和风险的控制。
那么，什么是投资组合优化？为什么它如此重要？又该如何去实现呢？简单来说，投资组合优化就是在众多的投资品种中，选择合适的资产并确定它们在投资组合中的比例，以达到特定的投资目标。
这个目标可能是在给定的风险水平下追求最高的收益，或者在给定的收益目标下最小化风险。
投资组合优化的重要性不言而喻。
首先，它有助于分散风险。
我们都知道“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”这个道理。
通过将资金分散投资于不同的资产类别，如股票、债券、房地产、黄金等，可以降低单一资产价格波动对整个投资组合的影响。
当某一类资产表现不佳时，其他资产可能会表现良好，从而平衡整体的收益和损失。
其次，投资组合优化能够提高投资的效率。
通过科学的分析和计算，我们可以找到那些在风险和收益之间达到最佳平衡的资产组合，从而使我们的投资更有可能实现预期的目标。
再者，它适应了不同投资者的风险偏好和投资目标。
不同的人在面对风险和追求收益方面有着不同的态度和需求。
投资组合优化可以根据个人的情况量身定制，满足个性化的投资需求。
那么，如何进行投资组合优化呢？这可不是一件简单的事情，需要综合考虑多个因素。
第一步，要明确自己的投资目标和风险承受能力。
投资目标可能是为了短期的资金增值，也可能是为了长期的养老储备或者子女教育基金。
风险承受能力则取决于个人的财务状况、年龄、收入稳定性等因素。
如果您是一位即将退休的老年人，可能更倾向于低风险、稳定收益的投资组合；而如果您是一位年轻的投资者，拥有较长的投资期限和稳定的收入来源，可能能够承受更高的风险以追求更高的回报。
第二步，了解不同资产类别的特点和风险收益特征。
股票通常具有较高的收益潜力，但同时也伴随着较大的风险；债券相对较为稳定，收益相对较低；房地产具有保值增值的特点，但流动性较差；黄金则在经济不稳定时期往往能发挥避险的作用。
投资组合优化
投资组合优化随着金融市场的发展，投资已经成为一种越来越受欢迎的方式，而投资组合优化则是投资者在选择不同资产组合时需要考虑的重要因素之一。
投资组合优化旨在最大化投资回报，同时降低投资风险。
本文将探讨投资组合优化的基本概念、方法以及应用案例。
一、投资组合优化的基本概念投资组合是指将不同的资产按照一定比例组合在一起，形成一个整体的投资策略。
投资组合优化则是在给定投资目标和限制条件的情况下，通过合理配置各类资产，使得投资者可以在预期风险下获得最大的回报。
在投资组合优化中，投资者需要考虑以下几个关键因素：1. 投资目标：包括投资回报率、风险承受能力和投资期限等。
2. 限制条件：包括资金约束、交易成本和法律法规等。
3. 资产选择：不同资产类别的风险收益特征以及其相互之间的相关性。
二、投资组合优化的方法1. 均值方差模型均值方差模型是最经典的投资组合优化方法之一。
该模型的基本思想是通过计算各个资产的预期收益率和方差，从而得到不同资产的权重，使得资产组合的风险最小，投资回报最大。
2. 黏性模型黏性模型是一种基于历史数据的投资组合优化方法，它考虑了资产类别之间的相关性。
通过对历史数据的分析，黏性模型可以更准确地估计各个资产的预期收益率和协方差矩阵，从而计算出最优的资产配置比例。
3. 风险价值模型风险价值模型是一种基于风险承受能力的投资组合优化方法。
该模型通过设定不同风险水平下的最大损失限制，计算出资产配置比例，以达到最小化风险的目标。
三、投资组合优化的应用案例1. 个人投资组合优化个人投资者可以通过投资组合优化方法来确定最适合自己的资产配置比例。
根据自己的风险承受能力和投资目标，个人投资者可以选择不同的投资组合策略，以获得理想的投资回报。
2. 机构资产配置机构投资者通常拥有巨额资金，因此在进行资产配置时需要更加注重风险控制。
投资组合优化方法可以帮助机构投资者在满足预期回报的同时，降低投资风险。
3. 量化交易策略量化交易策略是一种利用数学和统计方法来制定投资决策的方法。
如何进行投资组合优化
如何进行投资组合优化投资组合优化是指在给定投资组合中，通过合理配置不同的资产，最大限度地实现预期收益，同时控制风险。
在投资领域，投资组合优化对于投资者来说非常重要，它可以帮助投资者在资产配置方面做出明智的决策，提高投资回报率。
本文将介绍如何进行投资组合优化的方法和步骤。
一、收集资产数据首先，进行投资组合优化之前，我们需要收集各个资产的相关数据。
这些数据可以包括历史收益率、风险水平、流动性等指标。
通过收集和整理这些数据，可以为后续的投资组合优化提供基础。
二、建立投资组合优化模型在收集完资产数据之后，我们需要建立一个投资组合优化模型。
根据现代投资组合理论，一个优秀的投资组合应该具备高收益、低风险和良好的流动性。
在建立模型时，我们可以运用数学方法和统计学工具来对不同的资产进行分析和评估。
三、确定投资目标和约束条件在确定投资组合时，投资者需要明确自己的投资目标和个人的风险承受能力。
投资目标可以包括资产增值、收益稳定等。
约束条件可以包括最大风险水平、最大资产配置比例等。
明确了这些因素后，可以帮助投资者更好地选择适合自己的投资组合。
四、进行投资组合优化计算通过使用计算机和专业的软件，我们可以进行投资组合优化计算。
这些软件可以帮助我们根据预设的目标和约束条件，自动计算出最优的投资组合。
计算结果将会给出每个资产的权重分配，以及整个投资组合的预期收益和风险水平。
五、风险管理和后续调整在得到最优的投资组合之后，我们需要进行风险管理和后续调整。
投资组合中的资产价格和市场条件都会随着时间的推移而发生变化，因此需要定期检查和调整投资组合的权重分配。
通过及时的风险管理和调整，可以降低投资组合的风险，提高收益率。
总结投资组合优化是一项复杂且需要持续跟踪和调整的任务。
通过合理的资产配置和优化策略，投资者可以降低风险，提高回报率，实现个人的投资目标。
然而，投资者在进行投资组合优化时也需要注意市场风险和其他不可预测的因素，以确保投资决策的准确性和及时性。
投资组合优化模型及策略研究
投资组合优化模型及策略研究投资组合优化是金融领域的一个重要课题，通过合理配置不同投资资产的比例，能够有效降低投资风险并获得预期收益。
在过去几十年的研究中，学者们提出了许多投资组合优化模型和策略，旨在找到最优的投资组合。
一、投资组合优化模型1.1. Markowitz模型Markowitz模型是投资组合优化领域的开创性工作，由哈里·马科维茨于1952年提出。
该模型认为，投资者的目标是在给定风险水平下最大化预期收益，或在给定预期收益的情况下最小化风险。
马科维茨提出了有效边界的概念，有效边界上的投资组合即为最优投资组合。
1.2. 基于均值方差的优化模型基于均值方差的优化模型是应用广泛的一类投资组合优化模型。
该模型假设投资者的收益率符合正态分布，并以投资组合的平均收益率和方差作为衡量指标，通过调整不同资产的权重来实现最优化。
1.3. 基于风险价值的优化模型基于风险价值的优化模型是近年来发展起来的一类模型。
该模型通过引入风险价值度量，例如条件风险价值或极端风险价值，来对投资风险进行衡量。
通过最小化或最大化风险价值，可以得到最优的投资组合。
二、投资组合优化策略2.1. 马科维茨均衡模型马科维茨提出的马科维茨均衡模型是一种相对比较保守的投资组合优化策略。
该策略根据不同资产的预期收益率和协方差矩阵，构建出投资组合的有效边界，并选择在该边界上风险最低的投资组合。
2.2. 最小方差模型最小方差模型是一种追求较低风险的投资组合优化策略。
该策略认为，通过降低投资组合的方差可以减小投资风险。
因此，最小方差模型的目标是找到方差最小的投资组合。
2.3. Sharpe比率模型Sharpe比率模型是一种综合考虑风险和预期收益的投资组合优化策略。
该策略通过计算投资组合预期收益与风险之间的比率来评估投资组合的绩效。
目标是选择使得Sharpe比率最大化的投资组合。
2.4. 增量风险模型增量风险模型是一种关注投资组合下行风险的策略。
投资组合优化的原则和实施方法
投资组合优化的原则和实施方法投资组合是指将投资资金分配在若干种不同的投资品种中，以期获得较高的投资回报。
由于不同投资品种存在着风险与收益的差异，在构建投资组合时需要考虑各种因素，以达到最佳的投资效果。
本文将介绍投资组合优化的原则和实施方法，希望对投资人士提供参考和帮助。
一、投资组合优化的原则1.1 风险分散原则风险分散是投资组合优化的基本原则，也是投资组合管理中最关键的一环。
具体来讲，风险分散就是将投资资金分散在多种不同的投资品种中，以降低整个投资组合的风险。
这种分散投资的好处是，当一个投资标的的表现不佳时，其他标的的表现可以弥补亏损，从而减少损失的可能性。
1.2 收益与风险的平衡原则投资人士在优化投资组合时，需要考虑到收益与风险的平衡。
一般来说，高风险的投资标的可能带来相对高的回报，但同时也意味着更高的风险。
因此，投资人士需要在风险合理可控的前提下，追求最高的回报。
1.3 投资期限匹配原则投资期限匹配是指投资组合中各个标的的投资周期应与该组合的总投资期限相一致。
如果某个标的的投资期限与总投资期限不一致，就可能出现资金不能及时回流导致资产配置风险和缺少流动性问题。
1.4 资产与负债的匹配原则投资人士需要根据自身的资产和负债情况，来确定投资组合的合理配置。
如果有大量的负债存在，那么选择低风险但回报稳定的投资标的将更为适合。
反之，如果没有负债或者负债规模较小的话，投资人士可以选择风险更高的投资品种，以获取更高的回报。
二、投资组合优化的实施方法2.1 选择适合的资产类别在投资组合中选择适合的资产类别是非常重要的一步。
投资人士可以根据自己的风险承受能力和收益期望，来选择不同类型的投资标的。
例如，如果想要长期稳健的回报，可以选择股票、基金等标的；如果想要短期回报，可以选择现金、债券等标的。
2.2 确定合理的配置比例在选择适合的资产类别后，投资人士需要确定各个标的的配置比例，以达到整个投资组合的最优化。
其中，配置比例的选取要充分考虑到不同标的的风险和收益，以及自身的资产规模和投资目的等因素。
基金的投资组合优化与调整
基金的投资组合优化与调整随着金融市场的发展和投资理念的变革，投资者对于基金的投资组合优化与调整的需求日益增加。
本文将探讨基金的投资组合优化与调整的重要性、方法以及对投资者的意义。
一、基金的投资组合优化投资组合优化是指通过资产的分散配置来达到平衡风险和回报的目标。
在基金投资中，通过优化投资组合能够有效降低投资风险、提高回报率。
1.1 投资组合优化的目标投资组合优化的目标是在保持一定收益水平的基础上，最小化投资组合的风险。
具体而言，投资组合优化追求以下几个目标：首先是最大化预期收益。
投资组合的目标是获得最大的预期回报率，以满足投资者对经济效益的要求。
其次是最小化风险。
通过配置多样化的资产，将风险分散化，降低整体投资组合的风险水平。
最后是根据投资者的需求调整投资组合。
根据投资者的风险承受能力、投资期限和资金规模等特点，定制投资组合，使其符合投资者的风险偏好和投资目标。
1.2 投资组合优化的方法投资组合优化的方法主要包括均值-方差模型、风险价值模型、期望下限模型等。
均值-方差模型是最常用的投资组合优化方法之一。
该模型通过计算资产预期收益和协方差矩阵，利用风险和收益之间的权衡关系，构建最优化模型，确定最佳的资产配置比例。
风险价值模型是一种风险敞口控制方法。
该模型通过计算资产的风险价值，确定资产的敞口水平，从而制定有效的风险控制策略。
期望下限模型是一种考虑下行风险的优化方法。
该模型不仅考虑资产的预期收益率，还考虑投资组合在不同市场环境下的最坏情况，以保证在不利市场条件下的最小收益。
二、基金的投资组合调整投资组合调整是指根据市场环境的变化和投资者的需求，对基金的资产配置进行动态调整。
通过定期评估和调整投资组合，可以更好地适应市场的变动，优化基金的回报与风险。
2.1 投资组合调整的原则投资组合调整的原则主要包括长期性原则、风险控制原则、灵活性原则和合理性原则。
长期性原则是指将投资组合的调整与长期投资目标相结合，避免频繁调整带来的交易成本和纳税成本。
投资组合优化
投资组合优化投资组合优化是一种通过合理配置投资组合中不同资产来最大化回报或降低风险的方法。
在金融领域，投资者需要在不同的资产类别之间进行选择，以达到最佳的投资收益。
由于市场的不确定性和复杂性，投资组合优化成为实现投资目标的重要工具。
一、投资组合的定义投资组合是指将投资者的可用资金按照一定比例投入到不同的资产类别中，以实现预期收益和风险管理的方法。
投资者可以选择股票、债券、房地产、商品等不同类型的资产来构建组合。
每个资产的收益和风险特征不同，通过合理地配置组合中的资产，投资者可以实现收益最大化或风险最小化的目标。
二、投资组合优化的目标投资组合优化的目标是使投资者在给定的风险水平下，最大化预期收益；或在给定的预期收益下，最小化投资组合的风险。
为了实现这一目标，投资者需要考虑以下几个方面：1. 预期收益率：投资者需要对各个资产类别的预期收益率进行评估，并按照一定比例权重来配置。
高风险资产通常具有更高的预期收益率，但也伴随着更高的风险。
2. 风险评估：投资者需要对各个资产类别的风险进行评估。
风险可以通过标准差等指标来衡量。
投资者应该将资金分散投资到不同的资产，以降低整个投资组合的风险。
3. 相关性分析：投资者需要考虑各个资产之间的相关性。
相关性表示不同资产之间的运动趋势是否存在相关性。
如果资产之间存在负相关性，投资者可以通过组合投资来降低整个投资组合的风险。
三、投资组合优化的方法1. 均值方差模型：均值方差模型是投资组合优化中最常用的方法之一。
该模型通过计算各个资产的预期收益率和方差，并结合资产之间的相关系数，找到最优的资产配置比例。
2. 马科维兹模型：马科维兹模型是在均值方差模型基础上进一步发展而来的。
该模型通过计算有效前沿，即在给定风险水平下，能够实现最大收益的投资组合。
四、投资组合优化的挑战投资组合优化面临许多挑战，包括数据不完整、参数估计误差、投资者偏好的不确定性等。
此外，金融市场的变动性和不确定性也使得投资组合优化变得复杂。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
从掷硬币打赌看投资组合问题什么是投资组合？首先我们从掷硬币打赌谈起。
假设有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。
现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?我们可以象小孩子玩登山棋那样，几个人下不同的赌注，然后重复掷硬币，看谁最先变成百万富翁。
你可能为了尽快地变为百万富翁而全部押上你的资金。
可是只要有一次你输了，你就变成穷光蛋，并且永远失去发财机会。
你可能每次下注10 元。
但是，如果连输10次，你就完了。
再说，如果你已经是万元户了，下10元是不是太少了? 每次将你的所有资金的10%用来下注，这也许是个不错的主意。
首先，你永远不会亏完假设下注的资金可以无限小；第二，长此以往，赢亏的次数大致相等时，你总是赚的。
假设平均两次，你输一次赢一次，则你的资金会变为原来的(1+0.2) ×(1-0.1)=1.08倍。
可是，以这样的速度变为百万富翁是不是太慢了，太急人了? 有没有更快的方法? 有! 理论研究表明，每次将你所有资金的25%或0.25倍用来下注，你变为百万富翁的平均速度将最快。
几个不同下注比例带来的资金变化如图1所示(掷币结果分别是A, B, A, B, ...)。
实验表明，张大胆每次投100％，嬴时嬴得多，可亏时亏得惨，一次亏损就永远被淘汰出局。
李糊涂每次下50％，收益大起大落，到头来白忙。
王保守每次下10％，稳赚但少赚；“你”每次下25％，长期看结果最好。
前面的打赌中，硬币只有一个。
如果同时有两个、三个或更多，各个硬币盈亏幅度不同，两面出现的概率（频率或可能性）也可能不同；怎样确定在不同硬币上的最优下注比例？如果不同硬币出现A面B面是不同程度相关的(比如一个出A面，另一个十有八九相同--正相关，或相反－－反相关)，又如何确定最优下注比例？股票、期货、期权、放贷、房地产、高科技等投资象掷硬币打赌一样，收益是不确定的且相互关联的。
如何确定不同证券或资产上的投资比例，以使资金稳定快速增长并控制投资风险，这就是投资组合理论要解决的问题。
投资组合也就是英文说的portfolio。
当今世界上著名的投资组合理论是美国的马科维茨(H. Markowitz)理论。
笔者则从自己建立的一个广义信息理论(参见专著《广义信息论》，中国科技大学出版社，1993)和自己的投资实践出发，得到了投资组合的几何增值理论，或者叫熵(shang)理论（因为其中采用了同物理学和信息论中的熵函数相似的熵函数作为优化标准），并完成了专著《投资组合的熵理论和信息价值--兼析股票期货等风险控制》（中国科技大学出版社，1997)。
现在笔者知道美国的H. A. Latane 和D. L. Tuttle最早提出了用几何平均产出比--即1+几何平均收益或平均复利--作为优化证券组合的准则；后来T. E.Cover等人研究了用几何平均产出比的对数作为优化准则. 最近有人提出也是信息论研究者Kelly曾提出过这一准则。
不同的是，笔者的研究更注重应用。
具体说来：1）结合打赌模型讨论了分散和相关问题；提供了各种复杂情况下（考虑手续费，卖空，透支，银行利率等）的最优投资比例公式；2）提出一些适用结论：比如分散投资极限定理，投资容量，新的风险测度.几何级数增值的魅力1988-1989年，日本股市从21564点上涨了80％，到达38921点；然后开始大跌，1992年8月跌到14194点，跌幅达63％。
虽然80％大于63％，算术平均大于0，可是总的来说是跌的，跌了约1/3，因为累积产出比是(1+0.8)(1-0.63)=0.666，累积收益是0.666-1= -0.334＝-33.4％.炒过股票的人都知道，如果你总是将所有的资金买入股票，则先赚50% 再亏50%；或者先亏后赚，虽然算术平均收益是0，可是你的资金会变少(变成0.5×1.5=0.75倍)。
可见算术平均收益不能反映实际增值情况。
能反映实际增值的收益是什么呢？是几何平均收益。
设每一元资金投资N 年后变为M元，则累计产出比是M/1=M。
累计产出比的N次开方M1/N被称为几何平均产出比，我们记为Rg, 即Rg=M1/N。
投资的平均复利又叫几何平均收益，我们记为rg，则有rg=Rg-1. 可见几何平均产出比或几何平均收益才能反映长期投资业绩。
因为N年累积产出比M=Rg N =(1+rg)N.投资组合的几何增值理论(或者说熵理论)就是用几何平均产出比作为优化投资组合的标准，根据这一标准，使几何平均收益达最大的投资比例就是最好的投资比例。
稳定的几何增长具有无比的魅力。
几何平均收益的微小优势，在长期累计后可能导致惊人的成功。
下表显示了几何平均收益对20年累积产出比的影响。
其中23.8%就是巴费特管理的伯克希尔公司32年里的几何平均收益。
在过去的32年里，伯克希尔公司每股资产从19美元增长到19011美元，算术平均年收益大约是1000/32=3125％，可是几何平均年收益只有23.8%（税后）. 美国的基金管理大师彼得·林奇之所以有成功，是因为他十年里使基金的几何平均收益达到30％。
据说李家诚的几何平均收益是28％，索罗斯的量子基金几何平均收益也是28％（早期是35％）。
有人做过计算说明，虽然两百年前美国政府从印地安人手里以极便宜的价格买了大片土地，但是如果印地安人把钱存入银行每年得到现在美国长期国债的收益，则利滚利后，印地安人现在将极其富有，足以买回更大面积的土地。
可见稳定的几何平均收益的威力。
有人炒期货看到可能的盈利幅度大于亏损幅度就大量投入；有人炒期货还要透支。
中国人在期货市场上破产的比例极大，原因就是因为许多人看不到稳定增值的重要性。
许多股民类似，他们对收益波动极大的亏损垃圾股、庄股、新股、权证等倍加追捧；而对收益较为稳定的年收益达20％－30％的投资（比如认购新股)不以为然。
这不能不说是中国股市不成熟的表现。
笔者特别羡慕那些有稳定收入的年轻人。
只要他们有耐心，采取稳健的策略(比如每年认购新股，如果认购新股效益不变的话)，一、二十年后成为百万富翁将极其容易。
当然，对于包括笔者在内的许多人－－既不年轻又有生活压力，要成为百万富翁，我们当采取更加进取的投资策略，即选择多种投资方式，优化投资组合，赢得更高的几何平均收益。
掷硬币打赌问题的数学解答掷硬币打赌问题是：有一种可以不断重复的投资或打赌，其收益由掷硬币确定，硬币两面出现的可能性相同；出A面你投一亏一，出B面你投一赚二；假设你开始只有100元，输了没法再借。
现在问怎样重复下注可以使你尽快地由百元户变为百万元户?不知读者是否记得中学学过的抛物线公式y=ax2+bx＋c。
抛物线可以用来描述炮弹飞行轨迹，它有一个最高点, 当水平距离x= - b/(2a) 时，高度y达最大。
下面我们说明中学数学知识如何能帮助我们尽快成为百万富翁。
对于上面的掷硬币打赌，几何平均产出比Rg随下注比例q的变化是要使Rg达最大，只需使上式右边括号中的内容达最大。
根据中学数学知识，q= -1/[2×(-2)]=1/4=0.25=25%时，括号中的内容和几何平均收益Rg达最大。
这就是说，对于上面的掷硬币打赌，25％是最优投资比例。
对于上面的掷硬币打赌，算术平均收益r a和几何平均收益r g随下注比例q 的变化如图1所示。
容易看出，算术平均收益r g和投资比例q成正比关系；而几何平均收益不是，q太大反而不好，如果q>0.5则从长远看必然亏损。
上面假设硬币的两面出现的可能性或概率相同，即P1=P2=0.5；嬴亏幅度是给定的（－1和2)。
如果硬币是弯的，一面出现的可能性大，另一面出现的可能性小, P1和P2皆不等于0.5, 并且嬴亏幅度也是变的(为r1小于0和r2大于0)，这时几何平均收益等于则这时最优比例如何求法？现在我们用H表示资金翻一番数目，如果Rg=2，则H=1; 如果Rg不等于2呢? 我们可以用log2Rg表示翻番数，即H=log2Rg=P1log2(1+r1q)+P2log2(1+r2q)这一公式很象通信理论中的熵公式，所以我们把翻番数H叫做增值熵。
这样求几何平均收益最大和求增值熵最大就是一回事。
可惜这时不能用中学生的方法求最优投资比例。
这时要用到大学生学到的求极值的方法(可见数学还是有用的)。
令H对q的导数等于0可以求出最优投资比例是q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2)=(P1r1+P2r2)/|r1r2|.注意上式分子括号中正好是算术平均收益。
有了这一公式，我们就可以对付收益更复杂的打赌或投资。
比如重复掷骰子打赌，可能出现的数字是1到6；出1，2亏一倍，出3，4，5，6嬴一倍。
P1=1/3, P2=2/3, r1= －1, r2=1。
于是可以求出最优下注比例q*=1/3=33.3%。
读者不妨通过反复掷硬币或掷骰子检验上面结论。
股票和国债的投资组合优化--漫谈投资组合的几何增值理论(5)上一节我们介绍了掷硬币打赌下注比例的优化公式：q*= -(P1r1+P2r2)/(r1r2).有人会问：剩下的资金不投资不是浪费掉了？回答是：剩下的资金如能产生稳定收益更好，即使不能产生，那也不是浪费。
就象打仗要有后备军一样，风险投资也要有后备军，它能在前次投资亏损后发挥更大效用。
可幸的是，目前深圳上海交易所允许股民同时从事股票和国债买卖，使得股民可以用“后备军”购买国债，同时得到稳定的国债收益。
假设只有购买二级市场股票和购买国债两种投资方式，股票收益近似用掷硬币打赌收益来模拟，即已知国债收益率r0和股票收益的概率预测P1,r1, P2, r2。
如何优化股票和国债的投资比例？这时资金的平均翻番数或增值熵变为H=log2Rg=P1log2【1+r0（1-q）+r1q】+P2log2【1+r0（1-q）+r2q】1－q是投资国债的比例。
令H对q的导数等于0可以求出最优投资比例：q*= -(P1d1+P2d2)R0/(d1d2).其中R0=1+r0, 是投资国债的产出比；d1=r1- r0和d2=r2-r0是超出国债收益的收益。
国债收益也可以说是市场平均收益，我们可以说d1和d2是超常收益。
因为国债利率反映了资金成本，我们也说上式是考虑资金成本的优化公式。
例：可选择的投资是股票和国债，投资人每年年终调整投资比例, 股市每年的涨跌幅由掷硬币确定，收益预测P1=P2=0.5, r1= -0.3, r2=0.8，一年期国债收益率是r0=0.1; 求股票最优投资比例q*(忽略手续费)。
解:已知R0=1+r0=1.1; d1= -0.3-0.1= -0.4, d2=0.8-0.1=0.7; 由上面公式可以求出q*=0.59.故最优的股票和国债投资比例是0.59:0.41。