线性规划求解算法研究
线性和非线性优化的算法研究
线性和非线性优化的算法研究优化问题是现代科学与工程领域中的重要问题之一。
在日常生活中，我们经常面临着各种各样的优化问题。
例如，我们要求自己每天的工作和生活都能够更加高效地完成，我们要让自己的饮食和运动更加合理科学，我们的公司要最大化盈利并最小化成本，我们的政府要优化资源配置以满足人民的不同需求等等。
为了解决这些优化问题，科学家们利用数学建立了各种优化模型，并研究了相应的优化算法。
其中，线性和非线性优化算法是两种最常用也最基础的优化算法之一。
1. 线性优化的算法研究线性优化问题指的是目标函数和约束条件都是线性的优化问题。
这类问题在现实中非常常见。
例如，制定一个最佳的生产计划以最大化利润、最小化成本；设计一个最优的物流运输方案以最小化总运费等等。
线性优化问题的数学基础是线性代数和线性规划。
线性代数是研究向量空间和线性映射的数学分支，在许多优化问题的模型建立中，经常需要使用向量和矩阵进行表达。
而线性规划是一个针对线性优化问题的数学分支，它的主要目标是寻找一个在所有满足约束条件的解中，能够最大/最小化目标函数值的解。
而解决线性规划问题有两个重要的算法：单纯形法和内点法。
单纯性法是由美国数学家George Dantzig在1947年发明的算法。
它是目前解决线性规划问题最重要且最常用的算法之一。
单纯性法的核心思想是：通过不断地将无界的解空间向各约束的可行域逼近，最终找到全局最优解。
单纯性法不断调整进入基变量和离开基变量，直到找到满足约束条件的最大/最小值。
此外，内点法是针对线性规划问题的另一种重要算法。
它于1984年被美国数学家Narendra Karmarkar发明，相对于单纯性法而言，内点法对于大规模更为复杂的问题具有很高的求解效率。
内点法的基本思想是：将可行域内的每个解都转化为具有一定可行性的解，然后在这个集合中找到全局最优解。
2. 非线性规划的算法研究对于非线性优化问题，目标函数和/或约束条件包含非线性项。
线性规划问题的研究与优化
线性规划问题的研究与优化线性规划是运筹学中的一个重要分支，主要研究如何在一系列约束条件下，寻找一组变量的最佳取值，使得某种目标函数的值达到最大或最小。
这是一个数学建模的问题，它的应用十分广泛，涉及到工程、经济、决策等众多领域。
线性规划问题的求解方法有很多，其中最常见的是单纯形法。
单纯形法是一种基于迭代的算法，通过循环改进当前解，逐步接近最优解。
在每一次迭代中，单纯形法通过选取非基变量入基和基变量出基，重新计算目标函数值，来达到不断优化解的目的。
虽然单纯形法在许多实际问题中具有很好的效果，但它的复杂度随着问题规模的增加而增加，对于大规模问题来说，计算时间会相对较长。
为了解决单纯形法在大规模线性规划问题中的效率问题，人们提出了许多优化的方法。
其中比较著名的是内点法和启发式算法。
内点法通过引入中心路径的概念，将原问题转化为一系列等价问题，并通过求解这些等价问题来逼近最优解。
相比于单纯形法，内点法具有更好的稳定性和全局收敛性，适用于复杂的大规模问题。
启发式算法则是一种基于经验和启发性的求解方法，通过寻找问题的局部最优解来接近全局最优解。
尽管启发式算法在求解效率上不如内点法，但在某些特定问题上有着很好的表现，例如在旅行商问题等NP难问题的求解中。
除了求解方法的优化，线性规划问题还有很多其他方面的研究。
例如，在现实生活中，由于各种原因，约束条件的系数可能会发生变化。
针对这种情况，研究人员发展了鲁棒优化方法，通过引入不确定性集合，使得求解结果能够在一定范围内具有鲁棒性。
此外，多目标规划也是线性规划问题的一个重要的扩展，它将问题目标的优化拓展到多个方面，从而在实际应用中更好地体现各种约束条件和目标的权衡。
线性规划问题的研究与优化不仅仅停留在理论层面，也有着广泛的应用。
例如，在运输领域，线性规划可以用来优化货物的调度和运输路径，从而降低成本和提高效率。
在金融领域，线性规划可以应用于投资组合优化问题，帮助投资者在风险和收益之间找到最佳平衡点。
（运筹学与控制论专业论文）线性规划的可行点算法
摘要本文研究的是线性规划的可行点算法，一个由线性规划的内点算法衍生而来的算法．线性规划的内点算法是一个在线性规划的可行域内部迭代前进的算法．有各种各样的内点算法，但所有的内点算法都有一个共同点，就是在解的迭代改进过程中，要保持所有迭代点在可行域的内部，不能到达边界．当内点算法中的迭代点到达边界时，现行解至少有一个分量取零值．根据线性规划的灵敏度分析理论，对线性规划问题的现行解的某些分量做轻微的扰动不会改变线性规划问题的最优解．故我们可以用一个很小的正数赋值于现行锯中等于零的分量，继续计算，就可以解出线陛规划问题的最优解．这种对内点算法的迭代点到达边界情况的处理就得到了线性规划的可行点算法．它是一个在可行域的内部迭代前进求得线性规划的最优解的算法．在此算法中，只要迭代点保持为可行点．本文具体以仿射尺度算法和原始一对偶内点算法为研究对象，考虑这两种算法中迭代点到达边界的情况，得到相对应的’仿射尺度可行点算法’和’原始．对偶可行点算法，．在用理论证明线性规划的可行点算法的可行性的同时，我们还用数值实验验正了可行点算法在实际计算中的可行性和计算效果．关键词：线性规划，仿射尺度算法，原始一对偶内点算法，内点，可行点算法，步长可行点．ＡｂｓｔｒａｃｔｄｅｒｉｖｅｄＴｈｉｓＤａｐｅｒｆｏｃｕｓｅｓｏｎａｆｅａｓｉｂｌｅｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ，ａｎａｌｇｏｒｉｔｈｍｆｒｏｍｔｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｏｒｌｉｎｅｚａ＂ｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．ＴｈｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｆｉｎｄｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｂｙｓｅａｒｃｈｉｎｇｗｉｔｈｉｎｔｈｅｆｅａｓｍｌｅＴｅ譬ｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．ＴｈｅｒｅａｒｅａＵｋｉｎｄｓｏｆｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｌｒｍａｌｌｔｈｅｆｏｒｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｎｆｉｎｇ．Ｂｕｔａｌｌｔｈｅｓｅｉｎｔｅｒｉｏｒｐｏｉｎｔａｌｇｏｒｉｔｈｍｓｓｈａｒｅａｓｐｅｃｉａｌｉｔｙ，ｗｈｉｃｈｉｓｓｏｌｕｔｉｏｎ｜ｔｅｒａｔｉｖｅＤｏｉｎｔｓｃａｎｎｏｔｒｅａｃｈｔｈｅｂｏｕｎｄｓＡｃｃｏｒｄｉｎｇｔｏｔｈｅｓｅｎｓｉｔｉｖｉｔｙｔｈｅｏｒｙ，ｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇｗｉｌｌｎｏｔｂｅｃｈａｎｇｅｄｂｙｌｉｔｔｌｅｄｉｓｔｕｒｂａｎｃｅｓｏｆｔｈｅｐｒｅｓｅｎｔｓｏｌｕｔｉｏｎ·ＳｏＷｅｌｅｔｔｈｅ｛ｘｊＩｚＪ＝ｏ，Ｊ＝１，２，－··）ｎ）ｅｑｕａｌａｖｅｒｙｓｍａｌｌｐｏｓｉｔｉｖｅｎｕｎｌｂｅｒ，ｇｏｏｎｗｉｔｈｔｈｅｃｏｍｐｕｔａｔｉｏ“一ａｎｄｔｈｅｎｗｅｇｅｔｔｈｅｏｐｔｉｍａｌｓｏｌｕｔｉｏｎｏｆｔｈｅｌｉｎｅａｒｐｒｏｇｒａｍｍｉｎｇ．Ａｌｌｔｈｅｓｅｌｅａｄｔｏｔｈｅｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ。
线性规划问题规范型算法计算机实现研究
线性规划问题规范型算法的计算机实现研究摘要：随着科技的飞速发展，现如今世界已经步入信息时代，掌握一定的计算机技能是每一个当代人必备的一项生存手段。
然而在计算机专业技术的教学和学习过程中，算法便是计算机编程技术的核心思想，如何将算法研究到位制约着计算机技术学习得好坏，因此，笔者在平时的计算机学习与教学过程中比较关注各种计算机算法的应用，本文重点阐述关于线性规划问题规范算法的计算机实现研究，希望本文的研究成果能够为从事计算机事业和教育界带来一些有意义的帮助。
关键词：线性规划；规范型算法；计算机实现中图分类号：tp301.6文献标识码：a文章编号：1007-9599 (2013) 07-0000-02编程对于学习计算机的人而言并不陌生，对于大多数不熟悉计算机的人士而言，其实编程就是编制程序的意思。
编制程序就是在实际生活中遇到一些棘手而复杂的实际问题难以解决的时候，运用计算机语言编制一定的算法和代码，借助计算机运行来解决这些问题。
真正学好并运用好计算机必须掌握几种常见的算法。
本文主要介绍线性规划问题规范型算法的背景、定义、应用以及意义，希望这些研究对于计算机的使用和计算机技术的学习提供必要的帮助。
一、线性规划问题规范型算法的背景对于线性规划，最初来自于数学领域，它属于运筹学的范畴，对于处理线性目标函数以及应用线性约束来求解最优化解的问题方面，应用较多。
但是鉴于近年来越来越多的实际问题需要运用计算机编程，通过运用计算机能够处理巨大规模的运算数据的能力来解决数学、天文、生物、化学、物理、金融等各个领域的实际问题，线性规划问题规范型算法便应用而生。
经过实践证明，这种算法在使用过程中，操作比较精简而凝练，剪短了计算机运行程序的时间，降低了编制程序的复杂性，因此，它的使用相对其他算法来说是非常广泛的，目前，除了数学、物理、化学等自然科学应用这种算法外，还有像心理学、金融学、统计学等社会性质的学科也会应用这种算法处理大量数据。
线性规划问题的两种求解方式
线性规划问题的两种求解⽅式线性规划问题的两种求解⽅式线性规划是运筹学中研究较早、发展较快、应⽤⼴泛、⽅法较成熟的⼀个重要分⽀，它是辅助⼈们进⾏科学管理的⼀种数学⽅法。
线性规划所研究的是：在⼀定条件下，合理安排⼈⼒物⼒等资源，使经济效果达到最好。
⼀般地，求线性⽬标函数在线性约束条件下的最⼤值或最⼩值的问题，统称为线性规划问题。
解决线性规划问题常⽤的⽅法是图解法和单纯性法，⽽图解法简单⽅便，但只适⽤于⼆维的线性规划问题，单纯性法的优点是可以适⽤于所有的线性规划问题，缺点是单纯形法中涉及⼤量不同的算法，为了针对不同的线性规划问题，计算量⼤，复杂繁琐。
在这个计算机⾼速发展的阶段，利⽤Excel建⽴电⼦表格模型，并利⽤它提供的“规划求解”⼯具，能轻松快捷地求解线性模型的解。
⽆论利⽤哪种⽅法进⾏求解线性规划问题，⾸先都需要对线性规划问题建⽴数学模型，确定⽬标函数和相应的约束条件，进⽽进⾏求解。
从实际问题中建⽴数学模型⼀般有以下三个步骤；1、根据所求⽬标的影响因素找到决策变量；2、由决策变量和所求⽬标的函数关系确定⽬标函数；3、由决策变量所受的限制条件确定决策变量所要满⾜的约束条件。
以下是分别利⽤单纯形法和Excel表格中的“规划求解”两种⽅法对例题进⾏求解的过程。
例题：某⼯⼚在计划期内要安排⽣产I、II两种产品，已知⽣产单位产品所需的设备台时分别为1台时、2台时，所需原材料A分别为4单位、0单位，所需原材料B分别为0单位、4单位，⼯⼚中设备运转最多台时为8台时，原材料A、B的总量分别为16单位、12单位。
每⽣产出I、II产品所获得的利润为2和3，问I、II两种产品的⽣产数量的哪种组合能使总利润最⼤？这是⼀个典型的产品组合问题，现将问题中的有关数据列表1-1如下：表1-1I II 限量设备 1 2 8台时原材料A 4 0 16单位原材料B 0 4 12单位所获利润 2 3⾸先对例题建⽴数学模型。
问题的决策变量有两个：产品I的⽣产数量和产品II的⽣产数量；⽬标是总利润最⼤；需满⾜的条件是：(1)两种产品使⽤设备的台时<= 台时限量值(2) ⽣产两种产品使⽤原材料A、B的数量<= 限量值(3)产品I、II的⽣产数量均>=0。
线性规划问题的混合整数规划算法研究
线性规划问题的混合整数规划算法研究线性规划是一种常见的数学优化方法，广泛应用于各个领域的决策问题中。
它通过构建数学模型，寻找可以使目标函数最小或最大的变量值，帮助决策者更好地制定方案。
但是，在某些实际问题中，变量需要满足整数约束，而线性规划只能解决实数问题，所以需要混合整数规划算法来解决这类问题。
一、混合规划问题混合规划问题是指线性规划问题中包含整数（0或正整数）变量的约束条件，也就是说，它在线性规划的基础上增加了一定的约束。
这种情况下，原本的线性规划算法无法得到满足整数要求的最优解。
混合规划问题的解决方法是使用混合整数规划算法。
二、混合整数规划算法混合整数规划算法（Mixed Integer Programming，MIP）是指解决包含整数、实数变量的线性规划问题的算法。
MIP算法的核心思想是将整数规划问题转化为线性规划问题，然后利用线性规划算法求得最优解。
它的过程包括建立问题的数学模型、求解线性规划问题、判断是否满足整数约束、选择分支策略、再次求解线性规划问题等等。
在其中，转换整数规划问题的线性松弛问题是MIP算法求解混合整数规划问题的重要环节。
线性松弛问题是将整数规划中整数变量的约束条件转换为线性约束条件的问题。
三、分支定界算法分支定界算法（Branch and Bound Algorithm）是解决混合整数规划问题的一种常用的方法。
在混合整数规划问题中，得到的线性规划问题无法满足整数约束条件，因此，需要将解空间划分为子集，在每个子集上进行测算，再通过分支判定来进一步判断是否继续搜索。
该算法的核心思想是通过每次分支，将问题分成两个子问题，然后只对其中一个问题进行搜索，直到找到最优解。
这个搜索过程的组织和管理是通过数学模型的剪枝法来进行的。
四、混合整数规划软件混合整数规划算法的使用需要专门的数学模型软件，如GAMS、AMPL、CPLEX等软件。
这些软件对MIP算法进行编程优化，使得在求解过程中，可以有效地进行剪枝和搜索，从而得到最优解。
线性规划问题的算法综述
线性规划问题的算法综述本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！线性规划概念是在1947年的军事行动计划有关实践中产生的，而相关问题1823年Forier和口1911年PQusi就已经提出过，发展至今已有将近100年的历史了。
现在已成为生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题决策的依据。
线性规划就是在满足线性约束下，求线性函数的极值。
毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。
提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。
单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。
把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。
显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。
几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。
1数学模型线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。
设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数；线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。
在20世纪50年代到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticPKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiyPivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。
线性规划的解法
线性规划的解法线性规划是现代数学中的一种重要分支，它是研究如何在一定约束条件下优化某种目标函数的一种数学方法。
在现实生活中，许多问题都可以用线性规划求解。
如在生产中，如何安排产品的产量才能最大化利润；在运输中，如何安排不同的运输方式最大程度降低成本等等。
线性规划的解法有多种，下面我们就来对其进行详细的介绍。
1. 单纯形法单纯形法是线性规划中最重要的求解方法之一，它是由Dantzig于1947年提出的。
单纯形法的基本思路是从某一个初始解出发，通过挑选非基变量，使得目标函数值逐步减少，直到得到一个最优解。
单纯形法的求解过程需要确定初始解和逐步迭代优化的过程，所以其求解复杂度较高，但是在实际中仍有广泛应用。
2. 对偶线性规划法对偶线性规划法是一种将线性规划问题转化为另一个线性规划问题来求解的方法。
这种方法的主要优势是，它可以用于求解某些无法用单纯形法求解的问题，如某些非线性规划问题。
对偶线性规划法的基本思路是将原问题通过拉格朗日对偶性转化为对偶问题，然后求解对偶问题，最终得到原问题的最优解。
3. 内点法内点法是一种由Nesterov和Nemirovsky于1984年提出的方法，它是一种不需要寻找可行起点的高效的线性规划求解方法。
内点法的基本思路是通过不断向可行域的内部靠近的方式来求解线性规划问题。
内点法的求解过程需要实现某些特殊的算法技术，其求解效率高，可以解决一些规模较大、约束条件复杂的线性规划问题。
4. 分枝定界法分枝定界法是一种通过逐步将线性规划问题分解成子问题来求解的方法。
这种方法的基本思路是，在求解一个较大的线性规划问题时，将其分解成若干个较小的子问题，并在每个子问题中求解线性规划问题，在不断逐步求解的过程中不断缩小问题的规模，最终得到问题的最优解。
总之，不同的线性规划解法各有千秋，根据实际问题的需要来选择合适的求解方法是非常重要的。
希望本文能够对您有所帮助。
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线性规划求解算法研究
摘要：线性规划(Linear programming,简记为LP)模型是运筹学中的一个重要内容，其基本解法——单纯形方法（Simplex method）则是处理运筹学模型的一种主要方法，用于如何对有限的资源做出最佳方式的调配和最有利的使用，以便最充分地发挥资源的效能去获取最佳经济效益。
就一般线性规划问题求解方法——单纯形法作了详尽的综述。
对线性规划进行了概述,具体从线性规划发展简史、线性规划问题的数学模型和线性规划常见的一些应用3个方面进行了较详尽的综述；进行了单纯形法的概述，这一部分主要涉及了单纯形法解题的基本步骤以及对单纯性算法作了进一步的讨论。
关键词：运筹学；线性规划；单纯性法
0 引言
在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中，提高经济效果是人们不可缺少的要求，而提高经济效果一般通过两种途径：一是技术方面的改进，例如改善生产工艺，使用新设备和新型原材料.二是生产组织与计划的改进，即合理安排人力物力资源。
线性规划所研究的是：在一定条件下，合理安排人力物力等资源，使经济效果达到最好。
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题。
满足线性约束条件的解叫做可行解，
由所有可行解组成的集合叫做可行域。
决策变量、约束条件、目标函数是线性规划的3要素。
线性规划是运筹学的一个重要分支，自1947年乔治•伯纳德•丹兹格（G.B.Dantzig，1914—2005）提出了一般线性规划问题求解的方法——单纯形法之后，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛和深入。
1 线性规划——数学模型
要对实际规划问题作定量分析，必须先加以抽象，建立数学模型。
在建立线性规划模型时，需要有关的专业知识，并要有一定的经验和技巧。
建立线性规划模型包括：①明确问题的目标和划定决策实施的范围（包括时间界限），并将目标表达成决策变量的线性函数，称为目标函数；②选定决策变量和参数。
决策变量就是待决定的问题的未知量，一组决策变量的取值即构成一个规划方案。
决策变量的选定往往需要对问题进行仔细的分析；③建立约束条件。
问题的各种限制条件称为约束条件。
每一个约束条件均表达成决策变量的线性函数应满足的等式或不等式。
约束条件往往不止一个，通常表达成一组线性等式或不等式。
线性规划问题就是在决策变量满足一组约束条件的情况下使目标函数达到极大值或极小值。
式中max表示求极大值；min表示求极小值；s.t.表示受约束于或约束条件是；Z为目标函数;x\-j为决策变量；a\-\{ij\}，b\-i和c\-j分别为消耗系数、需求系数和收益系数, 在具体的线性规划问题
中具有不同的经济学意义，一般都是已知实数。
在线性规划中满足约束条件的一组数(x\-1,x\-2,…,x\-n),全体可行解构成的集合称为问题的可行域。
在可行域上使目标函数取得极大值（或极小值）的可行解称为问题的最优解，对应的目标函数值称为最
优值。
2 线性规划——应用问题
在工业、农业、商业、行政、军事、公用事业等各个领域，存在着大量的线性规划问题。
有些规划问题本身是非线性的，但往往可
以通过改变标度或采用分段线性化等方法，转化为线性规划模型。
用线性规划求解的典型问题有运输问题、生产计划问题、配套
生产问题、下料和配料问题等。
（1）运输问题。
某产品有n个产地，m个销地。
已知各产地的产量和各销地的销量，以及各产地到各销地的单位运价，问如何安排
各产地到各销地的运量，使总的运费为最少？
（2）生产计划问题。
用m种资源生产m种产品。
已知各种产品每生产一单位可得的利润和所需的各种资源的数量，以及各种资源的
限额。
问如何计划各种产品的生产量，使总的利润为最大?
（3）配套生产问题。
用若干台机床加工某种产品的各种零件。
已知各机床加工不同零件的效率。
问如何分配各机床的任务，在零件
配套的前提下使一个生产周期内的产量最高？
（4）下料问题。
将一批固定规格的条材或板材裁剪成具有规定尺寸的若干种毛坯，并已设计出若干种下料方式。
问采用哪种下料方
式，能使各种毛坯满足所需数量，又使总的用料最省？
（5）混合配料问题。
用n种原料配制某些含有m种成分的产品。
已知各种成分在各种原料中的单位含量，以及各种原料的单价和限额。
问怎样混合调配，在满足产量要求和产品所含各种成分的要求下
使成本为最低？
3 单纯性算法基本步骤
（1）把线性规划模型变成它的标准形式。
（2）确定初始基可行解，建立初始单纯形表。
（3）检查对应于非基变量的检验数λ\-j,(j∈N)；若所有这
些λ\-j均小于零，则已得到最优解，停止计算，否则转入下一步。
（4）在所有的λ\-j>0中，若有一个λ\-k在单纯形表上对应的列向量的全部元素yik≤0(i=1,2,…,m)，则
（5）根据max{λ\-j>0|j∈N}=λ\-k, 即确定λ\-k对应的非基
变量λ\-k为进基变量；再根据
θ=min{b\-1[TX-][]y\-\{1k\}|y\-\{ik\}＞0}=b\-1
[TX-][]Y\-rk
确定基变量xr为离基变量。
（6）基可行解的转换运算，即实施行变换，将单纯形表上xk对应的列向量变换为单位向量，其中包括将λk变换为0，而原yrk变
换为1，称元素yrk为变换轴心。
4 单纯形法的进一步讨论
现在已有单纯形法的标准软件，可在电子计算机上求解约束条件和决策变量数达10000个以上的线性规划问题。
为了提高解题速度，又有改进单纯形法、对偶单纯形法、原始对偶方法、分解算法和各种多项式时间算法。
对于只有两个变量的简单的线性规划问题，也可采用图解法求解。
这种方法仅适用于只有两个变量的线性规划问题。
它的特点是直观而易于理解，但实用价值不大。
以下一个例子通
过图解法求解，可以理解线性规划的更多概念。
例如，某工厂生产A，B两种产品,已知生产A1kg，耗煤9t，耗电4kw，用劳力3个工；生产B1kg，耗煤4t，耗电5kw，用劳力10个工。
已知生产1kg A的利润是500元，生产1kg B的利润是900元。
现根据工厂条件，只能提供煤360t，电力200kw,劳力300个工。
问如何安排两种产品的生产量，才能使总的利润最大。
此问题的可行域为图中的多边形区域，即阴影部分。
目标函数的等值线为平行于直线l的平行直线族。
将直线l向右上方平行移动，对应的目标函数值逐渐增大,在即将脱离可行域之际，它与可行域的交点便对应于问题的最优解。
由此可知,在可行域的顶点B 处,目标函数达到最大值。
因此,问题的最优解为:x1＝20千克，x2＝24千克，最
大总利润为3.16万元。
参考文献：
\[1\] G.Dantzig,Linear Programming and Extensions Princeton
University Press,Princeton,NewJersey,1963.
\[2\] S.Gass,Linear Programming,4thed，McGraw-Hill,NewYork,1975.
\[3\] L.S.Srinath,LinearProgramming:PrinciplesandApplications,MacmillanPres
s,NewYork,1983.
\[4\] 胡清淮，魏一鸣.线性规划及其应用\[M\].北京：科学出版
社,2004.
\[5\] 《运筹学》教材编写组.运筹学（第3版）.\[M\].北京：清华大学出版社,2005.。