随机过程[2]
由以上定义可得 (1) mZ(t)=mX(t)+jmY(t) t∈T
(2) DZ(t)= DX(t)+DY(t)
t∈T
(3) CX(s,t)=RZ(s,t)-mZ(s)mZ(t) s,t∈T
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举例
Zt = ∑ X k e j ( ω t +Φk ) ,t ∈ R , 其中ω0为正常数, n为 设
解
mX (t ) = E[ X t ] = 0
− ∞ < t < +∞
RX ( s, t ) = E[ X s X t ]
= E[ A ]cos ω s cos ωt + E[ AB](sin ω s cos ωt + cos ω s sin ωt )
2
+ E[ B 2 ]sin ω s sin ωt 2 = σ cos ω (t − s ) − ∞ < s, t < +∞
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5. 均方值函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 E[Xt]2存在 则称E[Xt]2为随机过程X的均方值函数，记为ΦX(t).即 ΦX(t)= E[Xt]2 t∈T
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随机过程的数字特征有如下关系 CX(s,t)=RX(s,t)-mX(s)mX(t) DX(t)=CX(t,t) ΦX(t)=RX(t,t) t∈T t∈T s,t∈T
0
n
固定正整数, X 1 , X 2 , L , X n , Φ1 , Φ 2 , L , Φ n 是相互独立 的实随机变量,且 EX k = 0, DX k = σ k2 , Φk～U[0,2π], k=1,2,…,n. 计算S.P.{Zt ,t∈R}的均值函数和相关函数.
k =1
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随机过程的数字特征
1. 均值函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 E[Xt ]存在, 则称E[Xt ]为随机过程X的 均值函数，记为mX(t)， 即 mX(t)= E[Xt ]， t∈T
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2. 方差函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意t∈T,若 D[Xt ]=E[Xt -mX(t)]2存在, 则称D[Xt ]为随机过程X的方差函数， 记DX(t). 即 DX(t)= E[Xt -mX(t)]2 ，t∈T
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3. 协方差函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意s,t∈T, 若 Cov(Xs, Xt)=E[Xs-mX(s)][Xt -mX(t)]存在, 则称Cov(Xs, Xt)为随机过程X的协方差函数.记 CX(s,t). 即 CX(s,t)= E[Xs-mX(s)][Xt -mX(t)] s,t∈T
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4. 相关函数 设X={Xt , t∈T}是一实值随机过程，对任意s,t∈T, 若 E[XsXt] 存在, 则称E[XsXt]为随机过程Xt的相关函数. (自相关函数) 记RX(s,t).即 RX(s,t)= E[XsXt] s,t∈T 显然 mX(t)=0时, CX(s,t)= RX(s,t)
复随机过程的数字特征
定义 设{Zt, t∈T}是复S.P. 对任意t ∈T,称 mZ(t)=E[Zt] 为复S.P.的均值函数 称 DZ(t)=D[Zt] =E| Zt- mZ(t)|2 为复S.P.的方差函数
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称 ΦZ(t)=E|Zt|2 为复S.P.的均方值函数. 对任意的s,t∈T,称 RZ(s,t)=E[ZsZt] 为复S.P.的相关函数. 称 CX(s,t) =cov(Zs，Zt) =E[(Zs-mz(s))(Zt-mz(t))] 为复S.P.的协方差函数.
最关键的数学系 冯海林
数字特征练习 1. 设S.P. Xt=acos(ωt+Θ). a, ω常数, Θ~U[0, 2π] 求该过程的均值函数,相关函数,方差函数.
解
mX (t ) = E[ X t ]
1 =∫ ⋅ a cos(ωt + θ )dθ 0 2π =0 − ∞ < t < +∞
k =1 l =1 n n
n
n
= E[∑∑ X k X l e j ( Φl −Φ k ) ]e jω0 ( t − s )
k =1 l =1
=e
jω0 ( t − s )
∑σ
k =1
n
2 k
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= RX ( s , t ) a2 = cos ω (t − s ), 2
a2 ∴ DX (t ) = C X (t , t ) = 2
− ∞ < s, t < +∞
− ∞ < t < +∞
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2. 设S.P. Xt=Acosωt+Bsinωt t≥0, ω为常数. A,B相互独立,同服从正态分布N(0,σ2) 求该过程的数字特征.
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定义 设{Xt, t∈T}, {Yt, t∈T}是二个 S.P.若 CXY(s,t)=0 或 RX,Y(s,t)= mX(s)mY(t) s,t∈T, 则称S.P {Xt, t∈T},与S.P {Yt, t∈T}不相关.
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两个随机过程的数字特征
互相关函数 设{Xt,Yt, t∈T}是二维S.P. 对任意s,t∈T，若 E[XsYt]存在, 则称 E[XsYt]=RX,Y(s,t) 为该二维S.P.的 互相关函数
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设{Xt,Yt, t∈T}是二维S.P. 对任意s,t∈T，若 cov(Xt,Yt）=E[(Xs-mX(s))(Yt-mY(t)]存在, 则记 cov(Xt,Yt)= CXY(s,t) 称为二维S.P.的互协方差函数 显然有 CXY(s,t)=RXY(s,t)-mX(s)mY(t)
解 mZ (t ) = E[∑ X k e j (ω0t +Φ k ) ] = 0
k =1 n
n
R Z ( s, t ) = E[∑ X k e j (ω0 s +Φ k ) ⋅ ∑ X k e j (ω0t +Φ k ) ]
k =1 k =1
n
= E[∑∑ X k X l e − j (ω0 s +Φ k ) e j (ω0t +Φ l ) ]
随机过程的数字特征
虽然有限维分布函数族能够比较完整的描述随机过程 的统计特征,但是在实际中很难得到. 思考：还可以用什么工具表征随机过程的一些特点？
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下面介绍数字特征，内容包括： 随机过程的数字特征 两个随机过程的数字特征 复随机过程的数字特征
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RX ( s, t ) = E[ X s X t ]
2π
=∫
2π
0
1 2 a cos(ω s + θ ) cos(ωt + θ )dθ 2π − ∞ < s, t < +∞
a2 = cos ω (t − s ), 2
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Q C X ( s, t ) = RX ( s, t ) − m X ( s )m X ( t )
随机过程第二章
4、有限维分布族
定义：设
X t ; t T 为一个 S .P. ，其有限
维分布函数的全体（一维分布函数，二维分布函
数，n维分布函数）。
F Ft1 ,t2 ,,tn x1, x2 ,, xn ; xi R，ti T，n N, i 1,2,, n
称之为 S.P. X t 的有限维分布函数。
2、特点：
独立增量过程在零均值且二阶矩存在时，是正交增量过程。 注：独立增量过程在现实环境中大量存在（例2.10）
3、平稳独立增量过程（定义 2.8）
增量 X(t)-X(s) 的分布律仅依赖于区间长度t-s。(第三章) （三）马尔可夫过程（第四、五章） （四）正态过程 1、定义 2.10： X(t)的有限维分布律是n维正态随机向量的分布律. 2、特点： ①二阶矩过程 ②数字特征成为其参数。
状态空间：S .P. X t 的状态所有可能取值的 集合，称之为状态空间。
小结：
X e, t 是状态与参数的二元函数
若 若
e
t
确定 确定
X e, t 是时间函数
X e, t 是随机变量
是一个确定值 是随机过程 S .P.
r.v.
若 e, t 确定 若 e, t 不定
随机过程的分类
一维正态过程分布律：
X (t ) ~ N u(t ),
2 2
2
(t )
二维正态过程分布律：
X (t1 ), X (t2 ) ~ N u(t1 ),u(t2 ),
这里有5个参数。 其中 1
(t1 ), (t2 ), (t1 , t2 )
(t1 , t2 ) 1 为相关系数或归一化协方差函数
2随机过程(上课用)
xf ( x ) dx
n
[x
i 1
i
a ] P ( xi )
2
( x a ) f ( x ) dx
2
第二章 随机过程
3、随机变量的数字特征(续)
（3）相关函数
无论是离散的还是连续的随机变量，两个随机
变量的相关函数统一定义为
R ( 1 , 2 ) E [ 1 2 ]
第二章 随机过程
一维概率分布函数和密度函数
因为随机过程在任一时刻对应1个随机变量
把随机过程在时刻
则该随机过程在时刻 F1 ( x , t 1 ) P [ ( t 1 ) x ]
t 1 对应随机变量记为
t 1的一维概率分布函数定
( t1 )
义为
其一维概率密度函数定
义为 f 1 ( x , t 1 )
(t ) 都是是连续的随机变量
xf 1 ( x , t ) dx
第二章 随机过程
2、随机过程的方差
同理，随机过程的方差也是一个关于时间 的函数，可由下式计算
( t ) D [ ( t )]
2
E {[ ( t ) a ( t )] }
2
若每个时刻对应的 则 (t )
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
1 T
T
li m
T /2 T / 2
f
2
(t ) d t
第二章 随机过程
二、能量谱密度和功率谱密度
能量信号f(t)的能量谱密度E(ω)
(解答)《随机过程》第二章习题
第二章 Markov 过程 习题解答1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
解：（1）显然，随机序列}2,{≥n X n 的状态空间为}3,2,1,0{=S 。
任意取S i i i j i n ∈-132,,,,, ，由于当i X n =给定时，即1,-n n ξξ的值给定时，就可以确定1+n X 的概率特性，即我们有：}{},,,,{12233111i X j X P i X i X i X i X j X P n n n n n n ========+--+因此}2,{≥n X n 是齐次马氏链，其一步转移概率矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=p qp q p q p qP 0000000 由于01,0>-=>p q p ，画出状态转移图，可知各个状态都相通，且都是非周期的，因此此链是不可约的遍历链。
（也可以利用02>P 判定此链是不可约的遍历链）（2）显然，}2,{≥n Y n 的状态空间为}1,0{=S ，由于：}1,1{}1,1,0{}1,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P}0,1{}0,1,0{}0,10{23234234=========Y Y P Y Y Y P Y Y Y P由}2,{≥n Y n 的定义，可知}1,1,1{}1,1,0{}0,1,1{}0,1,0{}1,0,1{}1,1{12312312312312323===⋃===⋃===⋃⋃===⋃======ξξξξξξξξξξξξξξξY Y}1,1,0,0{}0,1,0,0{}1,1,0{12341234234====⋃========ξξξξξξξξY Y Y}0,0,1{}0,1{12323======ξξξY Y ， ∅====}0,1,0{234Y Y Y利用}1,{≥n n ξ是相互独立同分布的随机变量序列及其分布，我们有：322233}1,1{q q p pq Y Y P ++=== 223234}1,1,0{q p pq Y Y Y P +==== 223}0,1{pq Y Y P ===0}0,1,0{234====Y Y Y P即有：22222343}1,10{q p pq qp pq Y Y Y P +++==== 0}0,10{234====Y Y Y P由于01,0>-=>p q p ，因此有}0,10{}1,10{234234===≠===Y Y Y P Y Y Y P根据马氏链的定义可知}2,{≥n Y n 不是马氏链。
随机过程-第二章 随机过程
同样地， k 维随机过程的
n 维联合分布函数具有对称性和相容性。
i 1 i
k
例 2.1 设随机变量 X b(n, p) ，求 X 的特征函数
解：当 n 1 时， X 服从 0-1 分布，
P( X k ) p k (1 p)1k , k 0,1
所以
(t ) eitk P( X k ) peit (1 p)
自协方差函数与自相关函数之间的关系：
CX (s, t ) RX (s, t ) X (s) X (t )
注：自相关函数与自协方差函数均具有对称性和非负定性的性质。
2.3.2 二维随机过程
两个随机过程 X (t ), t T 和 Y (t ), t T 的互协方差函数
n
Ft1 ,,tm ,tm1 ,,tn ( x1 ,, xm , ,, ) Ft1 ,,tm ( x1 ,, xm )
对应具有有限分布族的随机过程 X (t ), t T 的特征函数
t ,,t (u1 ,, un ) E (ei (u X (t )u X (t )) ) ei (u X (t )u X (t )) dFt ,,t ( x1 ,, xn )
解：先求 Y
X
的特征函数。因为 Y N (0,1) ，所以
2 2
Y (t ) e
由于 ixe
itx x2 2
itx
x itx 1 x2 1 2 e dx e dx 2 2
x2 2
xe
，且
2
xe
x2 2
dx ห้องสมุดไป่ตู้ ，所以
《随机过程答案》第二章习题答案
第二章Markov 过程习题完整答案，请搜淘宝1、 设}1,{≥n n ξ为相互独立同分布的随机变量序列，其分布为：01}0{,0}1{>-===>==p q P p P n n ξξ定义随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=========----;1,1,3;0,1,2;1,0,1;0,0,01111n nn n n n n nn X ξξξξξξξξ ⎩⎨⎧===-;,1;0,0,01其它n n n Y ξξ试问随机序列}2,{≥n X n 和}2,{≥n Y n 是否为马氏链？如果是的话，请写出其一步转移概率矩阵并研究各个状态的性质。
不是的话，请说明理由。
2、 天气预拨模型如下：今日是否下雨依赖于前三天是否有雨（即一连三天有雨；前两天有雨，第三天是晴天；…），试将此问题归纳为马尔可夫链，并确定其状态空间。
如果过去一连三天有雨，今天有雨的概率是0.8；过去三天连续为晴天，而今天有雨的概率为0.2；在其它天气情况时，今日的天气和昨日相同的概率为0.6。
试求此马氏链的转移概率矩阵。
3、 设}0;{≥n X n 是一齐次马氏链，状态空间为}2,1,0{=S ，它的初始状态的概率分布为：4/1}0{0==X P ，2/1}1{0==X P ，4/1}2{0==X P ，它的一步转移转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4341031313104341P （1） 计算概率：}1,1,0{210===X X X P ； （2） 计算)3(12)2(01,p p 。
4、 独立地连续抛掷一颗质地均匀的骰子，以n ξ表示前n 次抛掷出的最大点数，试证明}1;{≥n n ξ是一马氏链，并求其n 步转移概率矩阵。
5、 设有一个三个状态}2,1,0{=S 的齐次马氏链，它的一步转移概率矩阵为：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=33221100p q q p q p P 试求：（1） )3(01)2(01)1(01)3(00)2(00)1(00,,,,,f f f f f f ； （2） 确定状态分类，哪些属于常返的，哪些属于非常返的。
第二章 随机过程
T /2
（2-2-7）
16
如果平稳过程使下式成立
a = a
σ
2
=σ
2
（2-2-8）
R (τ ) = R (τ )
称该平稳过程ξ(t)具有各态历经性。 称该平稳过程 具有各态历经性。 具有各态历经性 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 意义：随机过程中的任一次实现都经历了随机过程的 实现 所有可能状态。 所有可能状态。 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程， 具有各态历经性随机过程一定是平稳过程，反之不 一定成立。 一定成立。 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 求解各种统计平均时（实际中很难获得大量样本）， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察， 无需作无限多次考察，只要获得一次考察，用一次 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。 实现的时间平均值代替过程的统计平均即可。
满足上式则称ξ(t)为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 满足上式则称 为广义平稳随机过程或宽平稳随机过 程。 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程） 严平稳随机过程（狭义平稳随机过程）只要 Eξ2(t) 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 均方值有界，它必定是广义平稳随机过程。 反之不一定成立。 反之不一定成立。
C (t1 , t 2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][ξ (t 2 ) − a (t 2 ) ]} =
∞ ∞ −∞ −∞
∫ ∫ [x
1
− a (t1 ) ][ x 2 − a (t 2 ) ] f 2 ( x1 , x2 ; t1 , t 2 ) dx1 x 2
（2-1-5） 2-1-5
互相关函数（针对两个随机过程） 互相关函数（针对两个随机过程）
Cξ ,η (t1 , t2 ) = E {[ξ (t1 ) − a (t1 ) ][η (t2 ) − a (t2 ) ]}
随机过程 第2章
随机变量 随机变量族
e → x(e) (e, t) → xt(e)=x(e, t)
x=xt(ei)
x
e1 e2 e3
e
概率空间和随机对象
样本空间
概率空间
随机变量
随机向量
随机过程
2.1 随机过程的基本概念
定义：设(Ω, ö,P)为概率空间，T是参数集。 若对任意 t ∈T ，有随机变量X(t, e)与之 对应，则称随机变量族{X(t, e)， t ∈T } 是(Ω, ö,P)上的随机过程，简记为 {X(t)，t ∈T }或{Xt，t ∈T }。 ★ X(t)的所有可能的取值的集合称为状态空 间或相空间，记为I。
由此可将随机过程分为以下四类：
a. 离散参数离散型随机过程； b. 离散参数连续型随机过程； c. 连续参数离散型随机过程； d. 连续参数连续型随机过程。
2. 以随机过程的统计特征或概率特 征分类：
a. 独立增量过程； b. Markov过程； c. d. e. f. g. 二阶矩过程； 平稳过程； 鞅； 更新过程； Poission过程；
称之为随机过程X(t) 的二维概率密度。
2.3 随机过程的分布律
随机过程的二维分布函数比一维分布函数包含了随 机过程变化规律更多的信息，但它仍不能完整地反 映出随机过程的全部特性及变化规律。用同样的方 法，我们可以引入随机过程 X(t) 的 n 维分布函数和 n 维概率密度。
FX ( x1 , x2 , , xn ; t1 , t2 , tn )
• 又如移动某基站每天的通话次数，X 显然不 能确定，即为随机变量，进一步分析知这 个 X 还和时间 t 有关，即 X(t)，所以 X(t) 也构成一个过程，即随机过程；类似地， 气温、气压、商店每天的顾客流量等都构 成一个随机过程。
随机过程答案2
⎪2. （1） 求参数为(p , b )的Γ 分布的特征函数，其概率密度为⎧ b p p (x ) = ⎪ x p -1e -bx , x > 0 b > 0, p 是正整数（2）求其期望和方差。
⎨Γ( p ) ⎪⎩0 x ≤ 0（3）证明对具有相同参数b 的Γ 分布，关于参数 p 具有可加性。
解 （1） 首先，我们知道Γ 函数有下面的性质：Γ(p ) = (p -1)!根据特征函数的定义，有f X (t ) = E [e jtX]= ⎰∞ejtxp (x )dx = ⎰e jtxb p Γ(p ) x p -1e -bx dx= ⎰0bpΓ( p ) -∞ 0x p -1e -(b - jt )x dx =b p 1p -1 -(b - jt )x ∞ b p p - 1 ∞ p -2 -(b - jt )x Γ(p ) - (b - jt ) x e0 + Γ( p ) (b - jt ) ⎰0 x e dx = b p p - 1 ⎰∞ x p -2 e -(b - jt )x dx Γ(p ) (b - jt ) 0 ==b p ( p - 1)! ∞ 0 -(b - jt )x Γ(p ) (b - jt )p -1 ⎰0 x e dx= b p ( p - 1)! = ⎛ b ⎫ Γ(p ) (b - jt )p b - jt ⎪ ⎝ ⎭所以⎛ b ⎫ pf X (t ) = ⎪b - jt ⎝ ⎭（2）根据期望的定义，有∞∞ p]⎰ b ⎰ ∞( )∞b pp -1 -bxb p∞p -bxm X = E [X ] = ⎰-∞ xp x dx = ⎰0 x Γ(p ) x e dx = Γ( p ) ⎰0 x e dx = b p 1 p -bx ∞ b p p ∞p -1 -bxΓ( p ) - b x e 0 + Γ(p ) b ⎰0 xe dx = p ⎰∞ bp -1 -bx = p ⎰∞ ( ) = p b 0 Γ( p ) x 类似的，有e dx p x dx b -∞ bE [X 2= ∞x 2-∞ p (x )dx = ⎰0 2b px Γ(p ) x p -1e -bx dx = p Γ(p ) ⎰0x p +1e -bx dx b p 1 p +1 -bx ∞ b p ( p + 1) ∞ p -bx= Γ( p ) - b x e 0 + Γ(p ) b ⎰0 x e dx= b p Γ( p ) =(p + 1) b 0 x p e -bx dx= (p + 1)p ∞ b pp -1 -bx= ( p + 1)p ∞ ( )b 2⎰0=(p + 1)p b 2Γ(p ) xe dxb 2⎰-∞p x dx所以， X 的方差为D X =E [X 2]- m 2= ( p + 1)p b 2⎛ p ⎫2⎪ b= p b 2⎝ ⎭ （3）p ∞∞ ∞ X -M M M M ∑ ∑ i =1 k =1 i =1 k =1i =1 k =1i =1 k =15. 试证函数 ( ) =e jt (1 - e jnt ) 为一特征函数，并求它所对应的随机变f tn (1 - e jt )量的分布。
随机过程第二章
B Z(s,t)R Z(s,t) m Z(s)m Z(t)
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复随机过程的性质
复随机过程{XT,,t∈T}的协方差函数B(s,t)具有性质： （1）对称性（埃米特性）， B(s,t) B(t,s) （2）非负定性，对任意ti ∈T及复数ai，i=1,2, …,n，n≥1，有
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在时间上离散， 状态上连续
连续型随机序列
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在时间上离散， 状态上离散
离散型随机序列
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有限个随机变量 随机过程
联合分布函数 有限维分布函数族
统计规律 统计规律
设XT={X(t),t∈T}是随机过程，对任意n≥1和t1,t2, …,tn ∈T，随机向量 (X(t1),X(t2), …,X(tn))的联合分布函数为
1?i复随机过程的数字特征函数均值函数方差函数相关函数协方差函数tttzieyexzetmtt2????????????z???mtmzemzetdztztztztszzzetsr????????????z??tmsmzetsbztzsz??t????m?smtsrtsbzzzz相互之间的关系16复随机过程的性质复随机过程xttt的协方差函数bst具有性质
例题2.8： 设X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，令W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值 函数和相关函数。
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复随机过程
定义： 设{Xt, t∈T}，{Yt, t∈பைடு நூலகம்}是取实数值的两个随机过程，若对任意t∈T
《随机过程》第二章补充习题
1、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其初始分布为),,,,()0(43210p p p p p =π一步转移矩阵为 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1000000000000000001p q p q p qP 试回答以下问题： （1） 求出该马氏链进入各常返类的概率；（2） 求出该马氏链平均多长时间进入常返类集；（3） 计算：nn P ∞→lim 。
2、 （网球比赛）：网球一局比赛在两个选手（发球者和接发球者）之间进行，网球的记分制是：15、30、40、和60分。
平分是指第五球后双方分数相同。
平分后，从第六球开始，如果发球者得分/失分，则此时发球者占先/接发球者占先。
如果发球者在发球占先后再得分，则发球者赢得该局。
如果接发球者在接发球后占先后再得分，则接发球者赢得该局。
若发球者发一球获胜的概率为p ，输的概率为q ，1=+q p ，试回答以下问题：（1） 试用马氏链建模网球一局比赛过程，确定其状态，画出状态转移图；（2） 分析各状态的性质；（3） 试确定一局网球比赛发球者获胜的概率；（4） 试确定一局比赛平均需要发几个球才能结束。
3、 设有状态空间为}4,3,2,1,0{=S 的齐次Markov 链}0;{≥n X n ，其一步转移概率为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=2/12/10004/14/104/14/1002/12/10004/34/1000001P 试回答以下问题：（1） 研究此马氏链的状态性质，并对各状态进行分类；（2） 针对状态1和2，确定其平稳分布；（3） 若i 和j 是非常返状态，试求ii f 、ij f 、ji f 和jj f ；（4） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，试求该链进入常返状态集的期望步数；（5） 假设该链起始的时候等概率处于非常返状态，求出该马氏链进入各常返类的概率；（6） 计算：}12{35==X X P ；（7） 计算：nn P ∞→lim 。