北京理工大学信息论第八章
北京理工大学《概率论与数理统计》课件-第8章
数学期望和方差是两个重要的数字特征，分别表示单个随机变量的平均值和离散程度；而对于多维随机变量，不仅能够确定边缘分布，还包含各分量之间关系的信息.刻划两个r.v.间相互关系的一个重要数字特征：协方差和相关系数若DX 、DY 存在，则有D (X ±Y )=DX +DY ±2E [(X−EX )(Y−EY )]这说明E [(X −EX )(Y −EY )]表达了X 与Y 之间的某种关系.且当X 和Y 独立时，有D (X ±Y )=DX +DY即：若X 和Y 独立，从而有结论：若E [(X −EX )(Y −EY )]≠0，则X 和Y 不独立.则有E [(X−EX )(Y−EY )]=0协方差1.定义设：二维随机变量(X ,Y )，它的分量的数学期望为E (X )和E (Y )，若E [(X −E (X ))(Y −E (Y ))]存在，则称它为X ,Y 的协方差，记为Cov (X ,Y )，即一、协方差（Covariance ）()(,)(())(())Cov X Y E X E X Y E Y =--协方差为正说明同向变化程度更高;协方差为负说明反向变化程度更高2.计算（1）若二维离散型随机变量(X ,Y )的联合分布律为P (X =x i ,Y =y j )=p ij i,j =1,2,…（2）若二维连续型随机变量(X ,Y )的密度函数为f (x ,y )且Cov (X,Y )存在，则E [g (X ,Y )] E [g (X ,Y )] (,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--11(())(())i j iji j x E X y E Y p ∞∞===--∑∑(,)[(())(())]Cov X Y E X E X Y E Y =--(())(())(,)x E X y E Y f x y dxdy+∞+∞-∞-∞=--⎰⎰可见，若X 与Y 独立，Cov (X ,Y )=0.Cov (X ,Y )=E {[X -E (X )][Y -E (Y )]}=E (XY )-E (X )E (Y )-E (Y )E (X )+E (X )E (Y )=E (XY )-E (X )E (Y )=E {XY -XE (Y )-YE (X )+E (X )E (Y )}（3）Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )证明：（5）Cov (X 1+X 2,Y )=Cov (X 1,Y )+Cov (X 2,Y )（2）Cov (X ,Y )=Cov (Y ,X )3.简单性质（4）Cov (aX ,bY )=abCov (X ,Y )a ,b 是常数（6）若X ,Y 的协方差Cov (X ,Y )存在，则E (XY )=E (X )E (Y )+Cov (X ,Y )（3）Cov (X ,X )=D (X )（1）Cov (X ,a )=0若X 1,X 2,…,X n 两两独立，则有D (X +Y )=D (X )+D (Y )+2Cov (X ,Y )4.随机变量和的方差与协方差的关系11()()n ni i i i D X D X ===∑∑11()()2(,)n ni i i j i j i i D X D X Cov X X <===+∑∑∑∑例1.设：随机变量X 和Y 的联合概率分布为求X 和Y 的协方差.解：,()[()](,)i j iji j E Z E g X,Y g x y p ==∑YX−1 0 1 010.06 0.18 0.160.080.32 0.20Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )E (XY )=0×(−1)×0.06+0×0×0.18+0×1×0.16+1×(−1)×0.08+1×0×0.32+1×1×0.20=0.12另外，X 和Y 的边缘分布律分别为所以YX−1 0 1 010.06 0.18 0.160.080.32 0.20X 0 1P 0.4 0.6Y−1 0 1 P 0.14 0.5 0.36EY =−1×0.14+0×0.5+1×0.36=0.22EX =0×0.4+1×0.6=0.6E (XY )=0.12Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )=0.12-0.6×0.22=-0.012例2.设：(X,Y)在圆域D={(x,y):x2+y2≤r2(r>0)}上服从均匀分布，求Cov(X,Y).解：易知(X,Y)的联合概率密度为所以22222221,(,)0,x y r f x y rx y rπ⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩22221x y ry dxdyrπ+≤=⋅⎰⎰=22221x y rx dxdyrπ+≤=⋅⎰⎰=(,)EX xf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰(,)EY yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞=⎰⎰所以E (X )=E (Y )=0Cov (X ,Y )=E (XY )-E (X )E (Y )=0此题表明，Cov (X ,Y )等于0,但X 与Y 不独立，.22222221, (,)0,x y r f x y r x y r π⎧+≤⎪=⎨⎪+>⎩(,)EXY xyf x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰22221x y r xy dxdy r π+≤=⋅⎰⎰0=协方差衡量了X和Y之间同向或反向的变化趋势。
北航信息论讲义(1讲)
甲将一棋子放在某格内，让乙猜测。
1 A B C D E F G H 2 3 4 5 6 7 8
2.1.2 条件自信息量（续）
1.将方格按顺序编号（1,2, „ ,64），让 乙猜测棋子所在格的序号。 2.将方格按行，列编号(如图所示)，甲告 诉乙棋子所在行或者列的编号，让乙猜测 位置。 计算乙猜中的信息量。
参考书目
傅祖芸，《信息论-基础理论与应用》，2001 电 子工业出版社
朱雪龙 ，《应用信息论基础》，2003年清华大 学出版社
傅祖芸，《信息理论与编码——学习辅导及精 选题解》，2004年电子工业出版社 陈杰，徐华平，周荫清《信息论习题集》， 2005年清华大学出版社
第一章 绪论
信息的概念 信息、消息与信号 通信系统模型
1 1 log log p ( xi ) p( xi ) p( xi | y j )
自信息量 条件信息量
• 互信息量是一种消除的不确定性的度量。
• 互信息量=先验的不确定性-尚存在的不确定性。
2.2.1 互信息量（续）
二、互信息量的性质
（1）互易性 由事件提供的有关事件的信息量等于由事 件提供的有关事件的信息量。
个既复杂又抽象的概念。
信息概念十分广泛，由于信息科学比起其他学 科（如物理学、化学、数学）还很年轻，人类 对信息的认识还很不够。迄今为止，信息并没
有形成一个很完整的、系统的概念。
不同的研究学派对信息的本质及其定义还没有 形成统一的意见和认识。
1.2.1 通俗的信息概念
信息是一种消息。 这是一种最普遍的概念，是目前社会上最 流行的概念，这个概念好像使人一听就明 白，但不准确。确切地说，这种概念把消 息认为是信息。 信息消息，同一条消息有不同信息量。 例如: 某人收到一条消息 ①包含许多原来不知道的新内容信息量大
实施启发式的开放实验教学研究
系统集成技术 、通信技术 研究等关键 技术统一考 虑 。从而形成全方位 、应用性 、跨学科的信息安全 与对抗体系。 （ ）实验体系分为梯形教学过程 ，从验证性 、 ３
提高性到开放性实验教学 。
２ 实施 启发 式教 学 方 法 。提 高 实验 的综 合
关键词 ：信 息安全与对抗 实验体系 ；开 放实验 ；启发式实验教 学 中图分 类号 ： ６ ２ ０ Ｇ ４ ． 文献标识码 ： Ｂ 文章编号 ：１０ — ９６ ２０ ）３ ０９ － ２ ０ ２ ４ ５ （０ ６ ０ — ０ １ ０
Ｔ ｅ Ｒｅ ｅ ｒｈ ｏ ｈ ｕ ｉｔｃ Ｅ ｐ ｒｍｅ ｔＴ ａ ｈ ｎ ｔ ｏ ｓ ｈ ｓ ａ ｃ ｎ ｔｅ Ｈｅ ｒｓｉ ｘ ｅｉ ｎ ｅ ｃ ｉｇ Ｍｅｈ ｄ
将对我国未来国防建设 、信息化安全具有承前启后
的作用 。
（ ）具 有横 向与纵 向 学科 的 交 汇 ，在 系 统 论 、 ２
信息论 、控制论等理论的指导下 ，将光电对抗 、雷 达对抗 、网络对抗及智能化计算机 、微电子光电子
前性 的开放 实验规 划 ，编写适合 Nhomakorabea于开放实验 的教
材 ，目 由北京理工大学 出版社发行 《 前 信息 安全 与对抗技术实验教程》 ，基本覆盖 了开放实验的主 要项 目：基于 Ｔ Ｐ Ｉ Ｃ ／Ｐ的计算机通信技术 、信息网 络防火墙技术 、无线信息系统技术 、信息系统攻防 技术 、计算机信息系统病毒技术 、信息系统加密与
结合开放实验的任务 ，编写实验教材遵循如下
原则 ：
１ 基于 开放 实验 教 学的 需 求 。编 写相应 的
实验教材
信息安全与对抗技术蕴涵着多学科 、多层次的
信息论基础 ppt课件
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(2)信息与消息和信号的区别
在通信中对信息的表达分为三个层次：信号、消息、信 息。
信号：是信息的物理表达层，是三个层次中最具体的层 次。它是一个物理量，是一个载荷信息的实体，可测量、
可描述、可显示。如电信号、光信号等。
消息：(或称为符号)是信息的数学表达层，它虽不是一 个物理量，但是可以定量地加以描述，它是具体物理信 号的进一步数学抽象，可将具体物理信号抽象为两大类 型： 1) 离散(数字)消息，是一组未知量，可用随机序列来 描述：U=(U1…Ui…UL) 2) 连续(模拟)消息，也是未知量，它可用随机过程来 描述：U(t,ω)
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学习方法
本课程以概率论为基础，数学推导较多，学 习时主要把注意力集中到概念的理解上，不要 过分追求数学细节的推导。学习时一定要从始 至终注意基本概念的理解，不断加深概念的把 握。学习时注意理解各个概念的“用处”，结 合其他课程理解它的意义，而不要把它当作数 学课来学习，提倡独立思考，注重思考在学习 中的重要性。
信息论--基础理论与应用
北京理工大学 信息与电子学院 2014年3月
ppt课件
课程类型：专业选修课 学 时：32学时 授课时间：第一周----第八周 考试时间：第九周 教 材：《信息论—基础理论与应用》,傅祖芸,电子工业出版社 参考教材：
①《信息论与编码》,陈运,电子工业出版社 ②《应用信息论基础》,朱雪龙，清华大学出版社 ③《信息论与编码学习辅导及习题详解》傅祖芸,电子工业出版社
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信息论
信息论已经成为现代信息科学的一个重要组成部分，它 是现代通信和信息技术的理论基础。现代信息论又是数 学概率论下的一个分支，与遍历性理论、大偏差理论以 及统计力学等都有密切关系，因此信息论已成为大学诸 多专业的必修课和选修课，并不再局限于已有的通信工 程、电子工程、信息工程等专业。
北理工《多媒体技术》课程学习资料(八)41
北理工《多媒体技术》拓展资源（八）第八章多媒体网络基础一、多媒体服务类型的分类。
1、段行为(PHB)使用6位区分服务码点(DSCP)表示在理论上，6位代码可定义64种不同的交通类型和等级，但RFC文件仅定义了为数不多的服务类型和等级，其余的留给网络操作员定义。
2、IETF已经定义的段行为(PBH)有如下4种(1) 默认型PHB(定义在RFC 2474中)典型的尽力服务型，其行为是尽力转发数据包。
不适合其他类型的段行为都归到这里，推荐使用的区分服务码点(DSCP)为000000。
(2) 急转(expedited forwarding, EF)型PBH(定义在RFC 3246中)最简单的服务类型，提供时延短、抖动小和丢包少的服务，适合用于声音、影视和其他实时应用的服务。
急转型的交通可以这样理解: 假设网络只提供常规和急转两个等级的服务，大多数(如80%)数据包都是常规的，只有少量数据包(如(20%))是要急转的。
实现这种服务策略的一种方法是，在路由器中编写一段有两个输出队列的程序，一个用于转发常规数据包，另一个用于转发急转数据包。
在这种情况下，可将30%甚至更多的带宽专门用于转发20%的急转数据包，其他的带宽用于转发常规数据包(3) 保障转发型(assured forwarding, AF) PBH(RFC2597)服务质量等级的详细描述。
保障服务指定了4种优先等级，每级都规定了使用的资源(如缓存大小，接口带宽)。
到底使用哪一级转发数据包，这要取决于服务商的服务等级协议(SLA)该方案还定义了在网络遭遇拥塞时，把数据包扔掉的3种概率：低(Low Drop)、中(Med Drop)和高(High Drop)。
因此服务质量等级就有4×3=12种。
参考用的12种服务质量等级的区分服务码点(DSCP)见表17-3。
保障转发数据包的过程见图17-14，步骤如下1）使用分类器(classifier)将数据包分到4个等级中的一个2）按照给定的服务等级，使用标记器(marker)对数据包做标记，也就是分配区分服务码点(DSCP)3）将数据包送到整形器/删除器(shaper/dropper)进行调整，产生符合服务质量等级要求的数据包流。
通信信号处理中的概率计算及其应用
概率计算原理小结
概率计算最基本的运算为概率乘法和加法。基于 这种概率加法和乘法，可以衍生出一些基本概率 逻辑，即概率“与”、概率“非”、概率“或” 和概率“异或”； 基于接收符号或序列计算发送符号和序列的概率 运算可以转换成基本的概率运算，即概率乘法、 概率加法和包括概率与、概率非、概率或和概率 异或等概率逻辑； 采用模拟集成电路构建基本的概率运算单元，算 法任务用这些基本计算单元完成； 概率计算适合于低功耗、快速的密集概率运算任 务。
内容提要
概率计算的基本原理
概通 率信 计信 算号 及处 其理 应中 用的
国内外发展情况
基于概率计算的帧同步
基于概率计算的置信传播译码
小结
20
概率计算的研究状况（1）
1970年James N. Cronholm给出了概率门的定义 [James 1970] Probability gates statistics 概率门表示一个固定但可控的转移概率P，P具有数字电路的随时 钟变化特性 由于数字技术的迅猛发展，直到近几年基于概率门的信号处理方 法才又被人们重视起来 1998年～1999年瑞士研究人员在瑞士国家科学基金的支持下完成 了turbo/LDPC码中的BP算法在模拟VLSI上的实现工作 [Hans-Andrea Loeliger] Probability Propagation and Decoding in Analog VLSI （IEEE TRANS. ON I.T., 47（2）, FEB. 2001; 会议版本ISIT 1998） [Hans-Andrea Loeliger] Decoding in Analog VLSI （IEEE Communications Magazine , April 1999）
信息论北理工复习2013
信息论复习1．消息、信号、信息的含义、定义及区别。
信息是指各个事物运动的状态及状态变化的方式。
消息是指包含信息的语言，文字和图像等。
信号是消息的物理体现。
消息是信息的数学载体、信号是信息的物理载体信号：具体的、物理的消息：具体的、非物理的信息：非具体的、非物理的同一信息，可以采用不同形式的物理量来载荷，也可以采用不同的数学描述方式。
同样，同一类型信号或消息也可以代表不同内容的信息信息是可以量度的，信息量有多少的差别。
4．信息论的起源、历史与发展。
1948年，Shannon提出信息论，“通信中的数学理论”—现代信息论的开创性的权威论文，为信息论的创立作出了独特的贡献。
6．通信的目的？要解决的最基本问题？通信有效性的概念。
提高通信有效性的最根本途径？通信可靠性的概念。
提高通信可靠性的最根本途径？通信安全性的概念，提高通信安全性的最根本途径？通信系统的性能指标主要是有效性，可靠性，安全性和经济性。
通信系统优化就是使这些指标达到最佳。
从提高通信系统的有效性意义上说，信源编码器的主要指标是它的编码效率，即理论上所需的码率与实际达到的码率之比。
提高通信有效性的最根本途径是信源编码。
减少冗余。
提高可靠性：信道编码。
增加冗余。
7．随机事件的不确定度和它的自信息量之间的关系及区别？单符号离散信源的数学模型，自信息量、条件自信息量、联合自信息量的含义？信源符号不确定度：具有某种概率的信源符号在发出之前，存在不确定度，不确定度表征该符号的特性。
符号的不确定度在数量上等于它的自信息量，两者的单位相同，但含义不同：•不确定度是信源符号固有的，不管符号是否发出；•自信息量是信源符号发出后给予收信者的；•为了消除该符号的不确定度，接受者需要获得信息量。
自信息量条件自信息量：联合自信息量：8．信息量的性质？含义？分别从输入端、输出端和系统总体来理解互信息量的含义。
自信息量指的是该符号出现后，提供给收信者的信息量。
9. 各种熵（信源熵，条件熵，联合熵（共熵），等）的含义及其关系。
北京理工大学-2016版学术型研究生培养方案(2017年修订)-信息与通信工程
北京理工大学2016版学术型研究生培养方案学科专业：信息与通信工程学科代码：081000信息与通信工程（081000）一、学科简介及研究方向“信息与通信工程”一级学科包含4个二级学科：通信与信息系统，信号与信息处理，信息安全与对抗，目标探测与识别。
本学科点始于1953年建立的雷达专业和遥控遥测专业，是我国首批从事雷达、遥控遥测领域科研与专业人才培养的单位之一，是我国第一个完成电视发射和接收试验系统并拥有我国第一频道的学科点。
1956年开始招收二年制研究生。
1984年建立通信与电子系统博士点，1987、2002年均被评为国家重点学科。
2007年被评为国家一级重点学科。
经过六十余年的发展，本学科已成为我国在信息与通信工程学科领域承担国家和国防重大课题研究、高新技术研发与高层次人才培养的重要基地，在不同时期均产生出技术引领和带动作用显著的代表性研究成果，并为国家和国防科研部门等单位输送了大批优秀人才。
本学科从事各类电子信息与通信系统的原理、体制与处理方法研究，包括信息获取、传输、处理、存储、交换、识别、对抗等。
主要研究方向有:通信与信息系统：该方向主要包括高效空间信号处理技术与信源编译码技术，高数据速率、低信噪比无线传输技术，复杂电磁环境下的无线传输技术，宽带卫星传输与网络技术，空天地一体化信息网络,无线宽带多媒体通信、处理、计算与存储一体化技术，移动通信和网络技术，分布式网络和信息系统等。
该学科方向在下一代移动通信、空间通信信号处理方面的研究工作在国际和国内都具有较强的影响力。
信号与信息处理：该方向主要研究信号处理基础理论及其在新体制雷达、航天测控通信、卫星导航定位、空间目标探测与识别、电子信号侦察等领域的应用。
具体研究内容包括：高速交会目标相对定位测量方法与技术、天基空间目标与环境感知技术、航天测控通信技术、卫星导航定位技术、空间目标探测与成像技术、复杂战场环境下目标探测信号处理技术、高灵敏度电子信号侦察处理技术等，在高速交会目标无线电相对定位测量和空间目标雷达探测方面处于国际领先水平。
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2
有些编码原理和技术在通信原理和信号处理等相 关课程中已经介绍过。例如： 连续信源编码：脉冲编码调制(PCM)、矢量量 化技术； 相关信源编码： 预测编码：增量编码、差分脉冲调制 (DPCM)、自适应差分脉冲调制(ADPCM)、 线性预测声码器； 变换编码：K－L变换、离散变换、子带编码、 小波变换。
对该信源编二进制香农码。其编码过程如下表所示。
表5.1.1 二进制香农编码
xi
p(xi)
pa(xj)
li
码字
x1
0.25
0
2
00(0.000)2
x2
0.25
0.25
2
01(0.010)2
x3
0.2
0.5
3
x4
0.15
0.7
3
x5
0.1
0.85
4
100(0.100)2 101(0.101)2 1101(0.1101)2
R 2.7
可以看出，编码效率并不是很高。
10
第二节 费诺编码
费诺编码也是一种常见的信源编码方法。编码步骤 如下：
将概率按从大到小的顺序排列，令
p(x1)≥ p(x2)≥…≥ p(xq)
按编码进制数将概率分组，使每组概率和尽可能
接近或相等。如编二进制码就分成两组，编r进制 码就分成r组。
给每一组分配一位码元。 将每一分组再按同样原则划分，重复步骤2和3，
概率
编码
码字 码长
x1
0.25
0
x2
0.25 0 1
00
2
01
2
x3
0.125
x4
0.125
0
0
1
100 3 101 3
x5
0.0625 1
0
0 1100 4
x6
0.0625
3 log 2 p(xi ) li 1 log2 p(xi )
4 把pa (x j )用二进制表示，用小数
点 后 的li 位 作 为xi的 码 字
7
[例]有一单符号离散无记忆信源
X P( X
)
0x.21,5
x2 , 0.25
x3 , 0.20
x4 , 0.15
x5 , 0.10
0x.065
概率都相等的信源进行编码时，可达到理想的编码效
率。
14
[例] 有一单符号离散无记忆信源
X P( X
)
1x/14,
x2 , 1/ 4
x3 , 1/ 8
x4 , 1/ 8
x5 , 1/16
x6 1/16
x7 1/16
1 /x18 6
对该信源编二进制费诺码，编码过程如表。
信源符号
表 5.3.2 二进制费诺编码
x6
0.05
0.95
5
111110(0.11110)2
8
计算出给定信源香农码的平均码长
q
L p(xi )li i 1 0.25 2 2 (0.2 0.15) 3 0.10 4 0.05 5 2.7 (比 特/ 符 号)
若对上述信源采用等长编码，要做到无失真译码，每 个符号至少要用3个比特表示。相比较，香农编码对信 源进行了压缩。
表5.3.1 二进制费诺编码
编码
0
0 1
0
0
1
1
0
1
1
码字
00 01 10 110 1110 1111
码长
2 2 2 3 4 4
12
上述码字还可用码树来表示，如图下所示。
13
该信源的熵为
6
H( X ) p( xi )log2 p( xi ) 2.42325(比 特 / 符 号) i 1
H (S) LN H (S) 1 log r N log r N
当
N 则得：
lim
N
L
Hr
(S)
4
这个定理是香农信息论中非常重要的一个定理， 它指出，要做到无失真的信源编码，信源每个符号 所需要的平均码元数就是信源的熵值，如果小于这 个值，则唯一可译码不存在，可见，熵是无失真信 源编码的极限值。定理还指出，通过对扩展信源进 行编码，当N趋向于无穷时，平均码长可以趋近该 极限值。
直至概率不再可分为止。
11
[例] 设有一单符号离散信源
X P( X
)
0x.21 ,5
x2 , 0.25
x3 , 0.20
x4 , 0.15
x5 , 0.10
0x.065
对该信源编二进制费诺码。编码过程如下表。
信源符号
x1 x2 x3 x4 x5 x6
概率
0.25 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05
第八章 无失真的信源编码
第一节 香农编码 第二节 费诺编码 第三节 霍夫曼编码
第四节 游程编码 第五节 冗余位编码
1
信源编码概述
信源编码理论是信息论的一个重要分支，其理 论基础是信源编码的两个定理。
无失真信源编码：针对离散信源或数字信号 限失真信源编码：适用于波形信源或波形信号（模
拟信号）。
平均码长为
6
L p(xi )li 2.45(比 特/ 符 号) i 1
编码效率为
H ( X ) 2.423 2.423 98.91% 这 里N 1, r 2
L N
log 2
r
2.45 1
log
2
2
2.45
本例中费诺编码有较高的编码效率。费诺码比较适合
于每次分组概率都很接近的信源。特别是对每次分组
3
回顾香农第一定理
定理5.8 无失真变长信源编码定理（香农第一定理）
离散无记忆信源S的N次扩展信源S N ，其熵为H (S N ) ，并且编 码器的码元符号集为A：{1,2 ,...,q} 对信源 S N 进行编码，总 可以找到一种编码方法，构成唯一可译码，使信源S中每个符 号所需要的平均码长满足 ) p( xi )log2 p( xi ) 2.42(比 特 / 符 号) i1
对上述信源采用香农编码的信息率为
R
L N
log 2
r
2.7 1
log 2
2
2.7
这 里N 1, r 2
编码效率为信源熵和信息率之比。则
H (X ) 2.42 89.63%
5
第一节 香农编码
设有离散无记忆信源
x1
p(
x1
)
x2 p(x2 )
..... .....
xq p( xq
),
q
p(xi ) 1
i 1
6
香农编码方法的步骤
1 按信源符号的概率从大到小的顺序排队
设 p(x1) p(x2 ) ...... p(xq )
2 令p( x0 ) 0，用pa ( x j ), j i 1 j1 表示第i个码字的累加概率 pa(xj) p(xi) 1 i1