6-2 静电场的高斯定理
选取闭合的柱形高斯面
E
dS
S＇
S
0 底面积
2S＇E S＇
E
S＇
0
S＇ E
S＇
E 20
x
E
2 0
E
O
( 0)
E
EE
E
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线 ++++++++++++
电场线特性
1） 始于正电荷,止于负电荷(或来自无穷远,去 向无穷远).
2） 电场线不相交. 3） 静电场电场线不闭合.
二、电场强度通量
通过电场中某一个面的电场线数，叫做通过这个
面的电场强度通量.
均匀电场 ，E垂直平面
§6-2 静电场的高斯定理
曹青松 qscao@
一、电场线 （电场的图示法）
规定 1） 曲线上每一点切线方向为该点电场方向,
2） 通过垂直于电场方向单位面积电场线数为 该点电场强度的大小. E E dN / dS
S
E
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
+
一对等量正点电荷的电场线
说明：
（1）电通量只与闭合面内的电荷有关，与外部电荷 以及内电荷的分布无关。 （2）高斯面S上各点的电场强度是由高斯面内、外 所有电荷共同激发的；电通量只有内电荷贡献。
（3）高斯定理适用于任何电场。 （4）高斯定理说明静电场是有源场。
四、高斯定理的应用
（用高斯定理求解的静电场必须具有一定的对称性）
s(柱面）
s ( 上底）
s (下底）
E dS
s (柱面）
+
E
+
r h
x
+
+o
+
eenn
y
E dS
EdS h
S
s ( 柱面）
0
2π rhE h 0
E 2π 0r
z
+
+
r h
+
+o
x+
E
en y
例3 无限大均匀带电平面的电场强度
无限大均匀带电平面，单位面积上的电荷，即电
r 荷面密度为 ，求距平面为 处的电场强度.
S
E
dS
S
E
Φe 的物理意义：
通过一个曲面的电通量等于通过这一曲面的 电场线的条数。
说明：
（1）电通量是对面或面元而言的，对某一点无意义。 （2）电通量是标量，可正、可负、可零。 （3）电通量的叠加原理（叠加代数和）。
三、高斯定理
（1）求通过包围一个点电荷q的任意球面的电通量
E q
4o R2
Φe ES
S
E
均匀电场 ，E 与平面夹角
Φe ES cos
Φe E S
en
S
E
非均匀电场强度电通量
dS
dS
en
dΦe E dS
Φe dΦe s E cosdS
Φe s E dS
E
en
dS
E
闭合曲面的电场强度通量
dΦe E dS
Φe
E dS
S
E cosdS
其步骤为 对称性分析； 根据对称性选择合适的高斯面； 应用高斯定理计算.
例1 均匀带电球壳的电场强度
一半径为R , 均匀带电 Q 的薄
球壳 . 求球壳内外任意点的电场强 度.
解（1）0 r R
r S +
r +
+
O
+ 1+ + +
+R +
E dS 0 S1
E 0
s +++ 2
（2） r R
i（内） S
Ei
dS
0
qi
i (内）
E
dS
高斯定理：
在真空中,通过任一闭合曲面的电场强度通量,
等于该曲面所包围的所有电荷的代数和除以 0 .
（闭合曲面称为高斯面）
1 n
Φe
E dS
S
0
qi
i 1
请思考：1）高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？
s 2）哪些电荷对闭合曲面 的 Φe 有贡献 ？
条数等于穿出曲面的电
场线条数。
e
E dS 0
S
S
+
即：S面外的电荷对通过闭合曲面电通量没有贡献。
（4）由多个点电荷产生的电场
E E1 E2
q1
q2
Φe
E dS
S
S
Ei dS
i
s qi
i(内） S
Ei
dS
i（外）S
Ei
dS
i（外） S
Ei dS
0
1
Φe
de
E
cos 0dS
q dS
4o R2
Eห้องสมุดไป่ตู้
dS
+
e
qdS
S 4o R2
q
4 o R 2
4
R2
q
o
(2)求通过包围一个点电荷得任意闭合曲面的电通量
通过球面S的电场线 也必通过任意曲面S‘ ，即 它们的电通量相等，为
q/o
e
E dS
q
S
o
S
+r
S
（3）电荷q 在闭合曲面以外
穿进曲面的电场线
Q
QE
E dS
S2
0
4π r2E Q
0
E
Q
4π 0r2
4π 0R2
o
R
r
例2 无限长均匀带电直线的电场强度
无限长均匀带电直线，单位长度上的电荷，即
r 电荷线密度为 ，求距直线为 处的电场强度.
解 对称性分析：轴对称 选取闭合的柱形高斯面
z en
SE dS
E dS E dS E dS
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理
关于静电场的高斯定理和静电场的环路定理静电场的高斯定理和静电场的环路定理是库仑定律的推论，所以称之为定理。
由于库仑定律是静电场的基本规律，适用于静电场，所以库仑定律的推论也适用于静电场。
电场有许多种：静电场（由静止电荷激发）、恒定电场（由运动然而空间分布不随时间改变的电荷体系激发的电场）、位电场（可以在其中建立电位函数的电场，位电场的电场强度等于电位的负梯度，分为恒定的与时变的，静电场和恒定电场就属于恒定的位电场）、涡旋电场。
静电场的高斯定理的文字表述是：静电场中，电场强度穿出闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包围的总电量除以真空电容率。
静电场的高斯定理的数学表述式是：in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 。
英国著名物理学家麦克斯韦首先假设静电场的高斯定理的数学表示式in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 适用于一切电场，也就是说，实际的电场强度（即总电场强度）穿出闭合曲面的通量等于闭合曲面内的总电量除以真空电容率。
这个假设后来被实验证实了。
正因为这个原因，数学表示式in 0d i S qE S ε⋅=∑⎰ 也叫做高斯定律。
由于德国数学家高斯根据库仑定律推出的这个静电场规律的数学表示式是普遍适用的，这让高斯在电磁学中享有很高的声誉。
in 0d i S q E S ε⋅=∑⎰ 有好几个称谓：高斯定理、高斯通量定理、电场的高斯定理、电场的高斯通量定理、高斯定律、高斯通量定律、电场的高斯定律、电场的高斯通量定律。
对于静电场，这个规律叫做静电场的高斯定理，或者静电场的高斯通量定理。
高斯在数学方面有一项重要成就，叫做高斯公式（也可以叫做高斯通量公式或者高斯散度公式）。
高斯公式的数学表示式是d d S Vf S f V ⋅=∇⋅⎰⎰ 。
其含义是：矢量场穿出闭合曲面的通量等于矢量场的散度在闭合曲面所包围的空间区域内的体积分。
高斯定理是电（磁）学规律，高斯公式是纯粹数学规律，两者截然不同。
但是把两者结合起来，就可以推出0E ρε∇⋅= 。
静电场的高斯定理
例7-10 求电荷呈“无限长”圆柱形轴对称均匀分布时 所激发的电场强度。
解：电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。 作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面,
高为h,半径为r
•当r>R 时，
sE dS 侧面 E dS E 2 r h 为什么?
r h
E 2 r h h 0
P点的场强
E 2 0 r
1
0
d V
V
关于高斯定理的几点讨论
以上是通过用闭合曲面的电通量概念来说明高斯 定理，仅是为了便于理解而用的一种形象解释， 不是高斯定理的证明
高斯定理是在库仑定律基础上得到的，但是前者 适用范围比后者更广泛。后者只适用于真空中的 静电场，而前者适用于静电场和随时间变化的场， 高斯定理是电磁理论的基本方程之一。
③ 场源电荷为无限长均匀带电直线、均匀带电直圆柱面、直 圆柱体或同轴导体圆筒等，则电场的分布具有柱对称性。
(2) 选取高斯面
用高斯定理求场强时，选取恰当的高斯面是解题的关键。
选取高斯面的原则：
① 选取的高斯面必须通过所考查的场点。 ② 应使高斯面上各点的场强大小相等， 方向与该处面元 的
法线平行(这样则可将Ｅ提到积分号外，只对面积积分)； 或者使高斯的部分面上各点场强大小相等，方向与 的法线 平行，另一部分面上各点场强为零或场强的方向与面元的 法线垂直(即通过这部分的Ｅ通量为零)。
高斯定理解题步骤： 总结
(1)分析电场的对称性
根据题意画出示意图，分析电场的分布情况 (最好画出电场 线)，看是否具有某种特殊的对称性，这可从产生电场的场 源电荷的分布看出。
常见的情况有以下几种：
① 场源电荷为均匀带电球面、均匀带电球体、同心的均匀带 电导体球壳等，则电场的分布具有球对称性；
电通量真空中静电场的高斯定理
高斯定理的适用范围
真空环境
高斯定理适用于真空中静电场的情况，即没有电流和 变化的磁场。
静态场
高斯定理适用于描述静态场，即电场不随时间变化的 情况。
远场近似
对于远处的观察者或大尺度的空间区域，高斯定理提 供了一种近似描述电场分布的方法。
02 电通量与静电场的关系
电通量的概念
电通量是电场中穿过某一封闭曲面内 的电场线数，表示电场分布的强度和 方向。
详细描述
首先，根据微积分基本定理，电场E可以表示为电势V的负梯度，即E=-grad(V)。然后，对任意闭合曲面S 的体积分，有∫∫∫E⋅dV=∫∫(E⋅dS)⋅dV=∫∫∫grad(V)⋅dV=∫∫∫dV=∫∫V⋅dS。由于E⋅dS的方向与dS的方 向相同，因此高斯定理成立。
证明方法二：利用高斯公式
05 高斯定理的推广
推广到非均匀电场
总结词
在非均匀电场中，高斯定理的应用范围得到 扩展，可以描述电场分布的不均匀性。
详细描述
在非均匀电场中，电场线不再是均匀分布， 而是呈现出复杂的空间变化。高斯定理通过 引入电通量密度概念，能够准确描述这种非 均匀分布的电场特性。
推广到非线性电场
总结词
高斯定理在非线性电场中同样适用，可以描 述电场随空间和时间变化的非线性行为。
高斯定理是静电场的基本定理之一，它表明穿过任意封闭曲面的电通量等于该曲面 所包围的电荷量。
电通量与静电场的关系是相互依存的，电通量的计算需要依赖于静电场的分布，而 静电场的分布又受到电荷分布的影响。
03 高斯定理的证明
证明方法一：利用微积分基本定理
总结词
通过微积分基本定理，将电场分布表示为电势函数的梯度，再利用积分性质证明高斯定理。
静电场-高斯定理
电容器极板间电场分布
极板间相互作用力计算
理介
第 推质
四 章
广中 及高 应斯用定Fra bibliotek电介质极化现象及极化强度矢量引入
为了描述电介质极化 的程度和方向，引入 极化强度矢量P，其 大小与电偶极矩成正 比，方向由负电荷指 向正电荷。
在电场作用下，电介质内部正负电荷中心发生相对 位移，形成电偶极子，从而产生宏观上的电极化现 象。
高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它表述了静电场中电场强度与电荷分布之间的关系。
高斯面选取原则及技巧
高斯面选取应遵循简单、对称、便于计算等原则。
02
在实际问题中，常根据电荷分布和电场强度的对称性来选取高斯面，以便简化计算。
03
高斯面的形状和大小应根据具体问题灵活选择，可以是平面、球面、柱面等。
高斯定理物理意义阐释
高斯定理反映了静电场的空间分布特性，即电场 强度与电荷分布之间的定量关系。
高斯定理为求解复杂静电场问题提供了一种有效 的方法，即通过选取适当的高斯面来简化计算。
高斯定理揭示了静电场的有源性，即静电场是由 电荷产生的。
高斯定理在电磁学中的地位
高斯定理是电磁学四大基本定理之一，是静 电场理论的基础。 高斯定理在电磁学中具有重要的地位，它不 仅适用于静电场，还可推广应用于恒定电场、 恒定磁场以及时变电磁场等领域。
要点一
麦克斯韦方程组
麦克斯韦方程组是描述电磁场基本规律的方程组，包括高斯定理、 安培环路定律、法拉第电磁感应定律和麦克斯韦-安培定律。
要点二
高斯定理在麦克斯韦方程组中的地 位
高斯定理是麦克斯韦方程组中的重要组成部分，它描述了电荷分 布与电场之间的关系，为电磁场理论奠定了基础。
电场的高斯定理及其应用
电场的高斯定理及其应用1. 高斯定理的背景高斯定理，也称为高斯电场定理，是电磁学中的基本定律之一。
它描述了电场通过任意闭合曲面的电通量与该闭合曲面内部的总电荷之间的关系。
这个定理是由德国数学家和物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初期提出的。
高斯定理在电磁学、物理学和工程学等领域有着广泛的应用。
2. 高斯定理的数学表述高斯定理的数学表述如下：对于任意闭合曲面S，电场通过S的电通量（记作ΦE）与曲面S内部的总电荷（记作q）之间存在以下关系：ΦE = ∫∫S E·dA = q / ε₀其中，E是电场强度，dA是曲面元素的面积向量，ε₀是真空的电介质常数（也称为电常数），其值约为8.85×10^-12 C2/N·m2。
3. 高斯定理的物理意义高斯定理的物理意义可以从两个方面来理解：（1）电场线与闭合曲面的关系：高斯定理说明，对于任意闭合曲面S，电场线通过S的电通量等于曲面S内部的总电荷。
这意味着，无论曲面S如何选择，只要它是闭合的，电场线穿过它的总通量都与曲面内部的电荷有关，而与曲面的形状和位置无关。
（2）电场的分布与电荷的关系：高斯定理表明，电场是通过闭合曲面的电通量的度量，而电通量与曲面内部的总电荷成正比。
这意味着，电场的强度和分布与曲面内部的电荷量有关，而与曲面的具体形状和位置无关。
4. 高斯定理的应用高斯定理在电场分析和计算中有着广泛的应用，下面列举几个常见的应用例子：（1）计算静电场中的电荷分布：通过高斯定理，可以计算静电场中某个闭合曲面内的电荷分布。
只需测量通过该曲面的电通量，然后根据电通量与电荷的关系，可以确定曲面内部的电荷量。
（2）设计电容器和绝缘材料：在电容器和绝缘材料的设计中，高斯定理可以用来分析电场的分布和电荷的积累。
通过合理选择闭合曲面的形状和位置，可以优化电场分布，提高电容器的性能和绝缘材料的可靠性。
（3）研究电磁波的传播：在研究电磁波的传播过程中，高斯定理可以用来分析电磁波在不同介质中的电场分布和电荷的变化。
静电场的高斯定理
静 电 场 的 高 斯 定 理
静 电 场 的 高 斯 定 理
E dS q
S 0 i
1
i
q 是闭合 1. 2、在高斯定理表达式中，右端 当闭合曲线内q为正时，ΨΕ>0，表示有电 场线穿出闭合曲面，所以，正电荷 内电荷量的代数和，说明决定通过闭合曲面 q称为静电E 场的源头；当闭合曲线内 通量的只是闭合曲面的电荷量（如图中的 q为负时，ΨΕ<0， q1， 表示有电场线穿进闭合曲面，所以，负电荷 q2和q3）；而左端的电场强度E却是空间所有 q 称为静电场的尾闾。因此高斯定理说明了静 电荷（如图中的q1，q2，q3，q4和q5）在闭 电场是有源场。 合曲面上所激发的总电场强度，也就是说， 闭合曲面外的电荷（如图中的q4和q5）对闭 合曲面上各点的电场强度也有贡献，但对整 个闭合曲面上E通量的贡献却为零。
如图，在点电荷q（q>0）所激发的电 场中，作一以点电荷为中心、半径为r 的球面，求该闭合球面上的E通量。 解：∵该球面任一
静 电 场 的 高 斯 定 理
点的 E
q 4 0r
2
er
，
又∵en和er之间的 夹角θ=0，
∴该闭合球面上的E通量为
E E dS
S
q 4 0 r q
静 电 场 的 高 斯 定 理
E E dS
S
E dS E dS E dS 1 2 n
S S S
=
q1
0
n
+
q
q2
0
+…+
qn
0
=
i= 1
i 0
高斯定理：在静电场中，通过任意闭合
静电场高斯定理的应用实例
静电场高斯定理的应用实例静电场高斯定理是电磁学中的重要定理之一，它描述了电场的分布与电荷分布之间的关系。
在这个定理的基础上，我们可以推导出许多有用的应用。
下面将以一个具体的应用实例来详细介绍静电场高斯定理的应用。
1. 引言静电场高斯定理是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯在19世纪初提出的。
它表明，通过任意闭合曲面S所围成的体积V内部的总电荷Q与该曲面外部通过单位面积上垂直于该曲面方向上的电场强度E之积等于该曲面上所有点处垂直于该曲面方向上电场强度E在该点处对曲面所做投影之和。
2. 应用实例：均匀带电球体我们考虑一个半径为R、均匀带有正电荷Q的球体。
现在我们想要计算球体表面和球内任意一点处的电场强度。
我们选择一个球心位于原点、半径为r（r<R）的闭合曲面S作为高斯面。
根据高斯定理，通过这个闭合曲面的电场流量等于该曲面内部的电荷除以真空介电常数ε0。
3. 计算球体表面的电场强度我们先来计算球体表面的电场强度。
由于球体是均匀带有正电荷Q，根据对称性可知，球体表面上任意一点处的电场强度大小相等，方向沿径向指向球心。
根据高斯定理，通过高斯面的电场流量等于该曲面内部的总电荷除以真空介电常数ε0。
由于高斯面位于球体表面上，内部没有电荷，所以通过高斯面的电场流量为0。
另通过高斯面的电场流量可以表示为：E * 4πr²，其中E为球体表面处的电场强度。
将这两个等式相等，并解得E = 0。
这意味着在球体表面上，处处都是零点。
在均匀带有正电荷Q的球体表面上，任意一点处的电场强度为零。
4. 计算球内任意一点处的电场强度接下来我们来计算球内任意一点处（r<R）的电场强度。
同样选择一个位于原点、半径为r（r<R）的闭合曲面S作为高斯面。
根据高斯定理，通过这个闭合曲面的电场流量等于该曲面内部的电荷除以真空介电常数ε0。
由于球体是均匀带有正电荷Q，所以球内的总电荷为Q。
另通过高斯面的电场流量可以表示为：E * 4πr²，其中E为球内任意一点处的电场强度。
高斯定理
n
∫ v
S
v n
不闭合曲面： 不闭合曲面： 面元的法向单位矢 量可有两种相反取向， 量可有两种相反取向， 电通量可正也可负； 电通量可正也可负；
上页 下页
如图所示， 例1 如图所示，一个三棱柱体放在电场强度为 E = 200iN ⋅ C 的匀强电场中，求通过此三棱柱体的电场强度通量。 的匀强电场中，求通过此三棱柱体的电场强度通量。
四.高斯定理应用举例
应用高斯定理求场强 条件? 条件? 电荷分布具有特殊的对称性 决定性技巧？ 选取合适的高斯面， 决定性技巧？ 选取合适的高斯面，以使积分号中的 电场强度能以标量的形式从积分号中提出来 典型例题： 典型例题： 均匀带电球面和球体的电场 无限大均匀带电平面的电场 无限长均匀带电直线（或带电圆柱面） 无限长均匀带电直线（或带电圆柱面）的电场
0 0
r v Φe = E ⋅ r
S 0
q
2
⋅dS
S(高斯面） e 高斯面） 高斯面 n
v dS
v E
=
q 4πε0 r
2
⋅ 4π r =
2
q
ε0
q
∴ Φe =
q
+ r
ε0
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当静止点电荷+ 当静止点电荷 q 在闭合曲面外时的情况
S
∴ Φe = 0
v dS
en
v E
§6 - 2
一.电场线 电场线
高斯定理
电场线： 电场线： 曲线上每一点的切线方 向与该点的电场方向一致 曲线的疏 密表示场强的大小。 密表示场强的大小。 几种典型电场的电场线分布图形
带电平行板电容器的电场
高斯
++ ++ + + + + +
第6章 静电场(2)高斯定理
0
q
S内
高斯面S上积分
S内一切电荷代数和
请思考：1）高斯面上的 E 与哪些电荷有关 ？
2）哪些电荷对闭合曲面 的 Φ e 有贡献 ？ （1）通过闭合曲面的总电通量只决定于它所包围的电荷，闭合曲面外部的电 荷对总电通量无贡献．
s
（2）虽然电场强度通量只与面内电荷有关，但高斯面上的电场强度是由全部 电荷（既包括闭合曲面内又包括闭合曲面外的电荷）共同产生的总电场强度，并 非只由闭合曲面内的电荷所产生。
四. 高斯定理应用
具有某种对称性的电场，可应用高斯定理求解静电场的场强分布。
1 用高斯定理直接求场强的条件： Φe E dS S
0
q
S内
电场（电荷）的分布具有某种对称性（球、面、轴对称性），使得高斯 面上的 E 为一常数，且 E 与d S 夹角 为一常数（为0、 2 或 ）这样E 才能由积分号中提出，将积分运算化为代数运算。
与球心相距r , 当 R a r R b 时， 该点的电场 强度的大小为： (D)
1 4
0
(A)
Qa Qb r
2
1
(B)
4
0
Qa Qb r
2
1
(C)
4
(
0
Qa r
2Qb Rb2来自1)(D)
4
0
Qa r
2
解：作半径为r的同心球面为高斯面，由高斯定理
Qa 2 E d S 4 r E
E dS
S
EdS
S
E 4π r
2
1
0
S内
静电场的高斯定理
n
n
O
E
S1
n
S2
S1
E dS
S1
E S2
S1 ER
2
R
n
下午8时21分
13
【课堂练习2】
求以点电荷为球心的一完整 球面的电通量。
分析：因球面上各处场强的 方向均沿法向
r
+
dS
球面上各处场强的大小相等
E
q 40 r 2
故： E dS EdS
（1）S与电场强度方向垂直
E
e ES
（2）S 法线方向与电场强度 方向成角
S
n
E
e ES cos E S
定义： 面矢量 S Sn
n 为面积S 的法向单位矢量8来自下午8时21分讨论
1) 电通量是标量；单位：伏特米，用符号Vm表示；
2) 电通量的值有正、负之分。 当 n 与 E 的夹角 为锐角时： Φe 0 当 为钝角时：Φe 0 当 为直角时：Φe 0
Φe1
S1
E dS
Φe3
q
0
q
S1 S2
q
S3
Φe2 0,
q
0
库仑定律和高斯定理并不是相互独立的定律，而是用 不同的形式表示的电场与场源电荷关系的同一规律 （1）库仑定律在电荷分布已知情况下，能求出场强的分布； （2） 高斯定理在电场强度分布已知时，能求出任意区域的 电荷； （3）当电荷分布具有某种对称分布时，可用高斯定理求 出这种电荷系的场强分布，而且这种方法在数学 上比用库仑定律简便得多；
dS dS 显然有： 2 2 dΩ （立体角 ） r r q 故 E dS dS 2 40 r q q q E dS dS dS 2 2 40 r 40 r 0 S S