2021年高一下学期数学综合训练(五)含答案
2021-2022学年吉林省长春市第五中学高一下学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年吉林省长春市第五中学高一下学期期末数学试题一、单选题1．复数5i2-的共轭复数是（）A．2i+B．2i-+C．2i--D．2i-【答案】B【分析】根据复数的除法运算化简5i2-，根据共轭复数的概念可得答案.【详解】55(i2)2i i25--==---,故5i2-的共轭复数为2i-+，故选：B2）A．3 B．C．6 D．【答案】B【分析】设圆锥的母线长为l，根据圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长可求得l的值，即为所求.【详解】设圆锥的母线长为l，由底面半径为r所以2πr＝πl，所以该圆锥的母线长为l＝2r＝故选：B.3．已知向量(1,2),(2,3)a b=-=，若()a ma b⊥-，则m=（）A．54B．54-C．45D．45-【答案】C【分析】根据向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，向量(1,2),(2,3)a b=-=，可得25,4a a b=⋅=-因为()a ma b⊥-，可得2()540ma ab bma ma=+-⋅-=⋅=，解得45 m=.故选：C.4．某棋牌室有20名爱好棋牌的棋友，技能分为高级、中级和初级三个等级，中级11人，从棋牌室中抽取一名棋友，若抽取高级棋友的概率是0.2，则抽到初级的概率是（）A．0.20B．0.22C．0.25D．0.42【答案】C【分析】首先求得初级棋友的人数，由古典概型概率公式计算可得结果. 【详解】由题意知：高级棋友有200.24⨯=人，∴初级棋友有201145--=人， ∴从棋牌室中抽取一名棋友，抽到初级的概率是50.2520=. 故选：C.5．设ABC 的内角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c ，若2cos a b C =，则此三角形一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．钝角三角形【答案】B【分析】根据余弦定理表示出cos C ，与已知等式联立，化简求解. 【详解】由余弦定理得222cos 2a b c C ab+-=，又2cos a b C =，所以得：22222222a b c a b c a b ab a+-+-=⋅=， ∴2222a a b c =+-， ∴22c b =.又b 和c 都大于0， 则b c =，即三角形为等腰三角形. 故选：B .【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题.6．北京冬奥会已在北京和张家口市如火如荼的进行，为了纪念申奥成功，中国邮政发行《北京申办2022年冬奥会成功纪念》邮票，图案分别为冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”、冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”.若从一套5枚邮票中任取2枚，则恰有2枚会徽邮票的概率为（ ） A ．110 B ．15C ．310 D ．25【答案】A【分析】将冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”分别记为a 、b ，将冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”分别记为A 、B 、C ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】将冬奥会会徽“冬梦”、冬残奥会会徽“飞跃”分别记为a 、b ，将冬奥会吉祥物“冰墩墩”、冬残奥会吉祥物“雪容融”及“志愿者标志”分别记为A 、B 、C ，从一套5枚邮票中任取2枚，则所有的基本事件有：ab 、aA 、aB 、aC 、bA 、bB 、bC 、AB 、AC 、BC ，共10种，其中，事件“恰有2枚会徽邮票”包含的基本事件为：ab ，共1种， 故所求概率为110P =. 故选：A.7．已知正三棱锥S ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，且球心O 在三棱锥的内部.若该三棱锥的侧面积为73,2BC =，则球O 的表面积为（ ） A ．25π B ．16π C ．1219πD ．1699π【答案】D【分析】由条件作出如图辅助线，并根据正三棱锥的性质确定球心的位置，OAM △中，利用勾股定理求半径R ，最后求球的表面积.【详解】作SM ⊥平面ABC ，连结AM 并延长交BC 于点D ，连结SD ， 正三棱锥外接球的球心O 在高SM 上，连结OA ， 123732S SD =⨯⨯⨯=，解得：733SD =,正三角形ABC 中，3363DM BC ==，233AM = 224SM SD DM ∴=-=，设SO AO R ==，OAM △中，()2222343R R ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭，解得：136R =, 则球O 的表面积216949S R ππ==.故选：D【点睛】本题考查几何体与球的综合问题，意在考查空间想象能力，和推理计算，属于基础题型.8．在ABC 中，角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，已知c =，且2sin cos sin sin a C B a A b B =-+sin C ，点O 满足0OA OB OC ++=，3cos 8CAO ∠=，则ABC 的面积为A B ．C ．D 【答案】D【分析】运用正弦定理和余弦定理将角统一成边，再利用向量的数量积运算和三角形的面积公式结合求解.【详解】由2sin cos sin sin sin a C B a A b B C =-，可得2222222a c b ac a b ac +-⨯=-，即c =.又c =，所以4b =．因为0OA OB OC ++=，所以点O 为ABC 的重心， 所以3AB AC AO +=，所以3AB AO AC =-，两边平方得22|9|6cos AB AO AO AC CAO =-∠2||AC +．因为3cos 8CAO ∠=，所以2223|9|6||8AB AO AO AC AC =-⨯+，于是29||AO -940AO -=，所以43AO =，AOC △的面积为114sin 4223AO AC CAO ⨯⨯⨯∠=⨯⨯⨯=.因为ABC 的面积是AOC △面积的3倍.故ABC【点睛】本题关键在于运用向量的平方可以转化到向量的夹角的关系，再与三角形的面积公式相结合求解，属于难度题. 二、多选题9．设l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的有（ ） A ．若//m l ，且m α⊥，则l α⊥ B ．若//m l ，且//m α，则//l α C ．若l αβ=，m βγ=，n γα=，则////l m n D ．若m αβ=，l βγ=，n γα=，且//n β，则//l m【答案】AD【分析】对于A ，由线面垂直的判定定理判断；对于B ，//l α或l α⊂；对于C ，////l m n 或l ，m ，n 三条直线交于一点；对于D ，由线面平行的判定定理、性质定理和公理4判断.【详解】由l ，m ，n 表示不同的直线，α，β，γ表示不同的平面，知： 对于A ，若//m l ，且m α⊥，则由线面垂直的判定定理得l α⊥，故A 正确； 对于B ，若//m l ，且//m α，则//l α或l α⊂，故B 错误； 对于C ，若l αβ=，m βγ=，n γα=，则////l m n 或l ，m ，n 三条直线交于一点，故C 错误； 对于D ，若m αβ=，l βγ=，n γα=，且//n β，则由线面平行的判定定理、性质定理和公理4得到//l m ，故D 正确. 故选：AD .【点睛】本题主要考查，线线、线面关系命题的判断，还考查了空间想象和逻辑推理的能力，属于基础题.10．若84i z z +=-，其中i 为虚数单位，则下列关于复数z 的说法正确的是（ ） A ．5z = B ．z 的虚部为4i -C ．34i z =-+D ．z 在复平面内对应的点位于第四象限【答案】AD【分析】先设出复数z ，由84i z z +=-求出34i z =-，进而根据复数的模长、虚部、共轭复数、所在象限依次判断即可.【详解】设i z b a =+，则z =i 84i z z a b +=+-，则84a b ⎧⎪=⎨=-⎪⎩，即得34a b =⎧⎨=-⎩，即34i z =-，5z =，A 正确；z 的虚部为4-，B 错误；34i z =+，C 错误；z 在复平面内对应的点为()3,4-，位于第四象限，D 正确. 故选：AD.11．一组数据1x ，2x ，…，n x 的平均数是3，方差为4，关于数据131x -，231x -，…，31n x -，下列说法正确的是（ ）A ．平均数是3B ．平均数是8C ．方差是11D ．方差是36【答案】BD【分析】利用平均数和方差的线性关系直接求解.【详解】设：1x ，2x ，3x ，…，n x 的平均数为x ，方差为2s ，则3x =，24s =.所以131x -，231x -，…，31n x -的平均数为313318x -=⨯-=， 方差为22233436s =⨯=. 故选：BD.12．已知四边形ABCD 是等腰梯形（如图1），AB ＝3，DC ＝1，∠BAD ＝45°，DE ⊥AB .将△ADE 沿DE 折起，使得AE ⊥EB （如图2），连结AC ，AB ，设M 是AB 的中点.下列结论中正确的是（ ）A ．BC ⊥ADB ．点E 到平面AMC 的距离为63C ．EM ∥平面ACDD ．四面体ABCE 的外接球表面积为5π 【答案】BD【分析】对选项A ，在图1中，过C 作CF EB ⊥，连接CE ，易证BC ⊥平面AEC ，假设BC AD ⊥，得到BC ⊥平面AED ，与已知条件矛盾，故A 错误；对选项B ，设点E 到平面AMC 的距离为h ，根据A BCE E ABC V V --=求解即可；对选项C ，假设//EM 平面ACD ，从而得到平面//AEB 平面ACD ，与已知条件矛盾，故C 错误；对选项D ，连接MC ，易得M 为四面体ABCE 的外接球的球心，再计算外接球表面积即可。
2021-2022学年山东省济南市长清中学高一年级下册学期5月月考数学试题【含答案】
2021-2022学年山东省济南市长清中学高一下学期5月月考数学试题一、单选题1．甲、乙两支曲棍球队在去年的国际比赛中，甲队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的3.2标准差为3；乙队的平均每场进球数为，全年比赛进球个数的标准差为．下列说法正确的个1.80.3数为（ ）①甲队的技术比乙队好； ②乙队发挥比甲队稳定；③甲队的表现时好时坏．A ．0B ．3C ．2D ．1【答案】B【分析】根据平均数、方差的知识，对四个说法逐一分析，由此得出正确选项.【详解】∵甲队平均数大于乙队的平均数，∴甲队的技术比乙队好，又∵甲队的标准差大于乙队的标准差，∴乙队发挥比甲队稳定，甲队的表现时好时坏，故①②③都对．故选：B【点睛】本题主要考查平均数、方差在实际生活中的应用，属于基础题.2．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为（ ）A ．3件都是正品B ．至少有1件次品C ．3件都是次品D ．至少有1件正品【答案】C【分析】根据随机事件、不可能事件、必然事件即可得出结果.【详解】25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品.故选：C3．长方体同一顶点上的三条棱长分别为2，2，3，则长方体的体积与表面积分别为（ ）A ．12，32B ．12，24C ．22，12D ．12，11【答案】A【分析】根据长方体的体积公式和表面积公式可得正确的选项.【详解】长方体的体积为，表面积为，22312⨯⨯=()222+23+2332⨯⨯⨯=故选：A.4．饕餮纹是青铜器上常见的花纹之一，最早见于长江中下游地区的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．将青铜器中的饕餮纹的一部分画到方格纸上，如图所示，每个小方格的边长为一个单位长度，有一点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，且向右或向下跳是等可能P A 的，那么点经过3次跳动后恰好是沿着饕餮纹的路线到达点的概率为（ ）P BA ．B ．C ．D ．116181412【答案】B【分析】利用古典概型的概率求解.【详解】解：点从点出发，每次向右或向下跳一个单位长度，跳3次，P A 则样本空间{（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），Ω=（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）}，记“3次跳动后，恰好是沿着饕餮纹的路线到达点B ”为事件，则{（下，下，右）}，由古典C C =概型的概率公式可知．()18P C =故选：B ．5．连掷两次骰子分别得到点数m ，n ，则向量与向量的夹角的概率是（ ）(,)m n (1,1)-2πθ>A ．B ．C ．D ．1213712512【答案】D【分析】确定的可能组合数，由题设列举出的可能组合，即可求概率.(,)m n n m <【详解】由题设，向量的可能组合有36种，(,)m n 要使向量与向量的夹角，则，即，(,)m n (1,1)-2πθ>(1,1)(,)0n m n m ⋅-=-<n m <满足条件的情况如下：时，，2m ={1}n ∈时，，3m ={1,2}n ∈时，，4m ={1,2,3}n ∈时，，5m ={1,2,3,4}n ∈时，，6m ={1,2,3,4,5}n ∈综上，共有15种，故向量与向量的夹角的概率是.(,)m n (1,1)-2πθ>1553612=故选：D6．某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：66674037146405711105650995866876832037905716031163149084452175738805905223594310若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（ ）A ．10B ．09C ．71D ．20【答案】B【分析】按照题意依次读出前4个数即可.【详解】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，所以选出来的第4个个体的编号为09，故选：B7．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为A ．85，85，85B ．87，85，86C ．87，85，85D ．87，85，90【答案】C【详解】由题意可知，学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各有1人，则该小组数学成绩的平均数，成绩排列为75,80,85,85,85,85，90,90,95,100，可得众数为1009590285480758710++⨯+⨯++=85，中位数，因此选C8585852+=8．用斜二测画法画出边长为2的正方形的直观图，则直观图的面积为（ ）A B ．C ．4D ．【答案】A【分析】画出直观图，求出底和高，进而求出面积.【详解】如图，，，，过点C 作CD ⊥x 轴于点D ，则所以直观2OA =1OC =45COA ∠=︒CD =图是底为2､的平行四边形.OABC故选：A.二、多选题9．已知甲、乙两名同学在高三的6次数学测试的成绩统计如图，则下列说法正确的是（ ）A ．若甲、乙两组数据的平均数分别为，，则1x 2x 12x x >B ．若甲、乙两组数据的方差分别为，，则12s 22s 2212s s >C ．甲成绩的极差小于乙成绩的极差D ．甲成绩比乙成绩稳定【答案】ACD【分析】根据折线图中的数据，结合平均数的求法、方差的求法及其意义、极差的概念，应用数形结合的方法即可判断各项的正误.【详解】由图知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学，其他次考试都高于乙同学，知，12x x >A 正确；甲同学的成绩比乙同学稳定，故，所以B 错误，D 正确；极差为数据样本的最大值2212s s >与最小值的差，甲成绩的极差小于乙成绩的极差，所以C 正确.故选：ACD ．10．一组数据，，…，的平均数是3，方差为4，关于数据，，…，，1x 2x n x 131x -231x -31n x -下列说法正确的是（ ）A ．平均数是3B ．平均数是8C ．方差是11D ．方差是36【答案】BD【分析】利用平均数和方差的线性关系直接求解.【详解】设：，，，…，的平均数为，方差为，则，.1x 2x 3x n x x 2s 3x =24s =所以，，…，的平均数为，131x -231x -31n x -313318x -=⨯-=方差为.22233436s =⨯= 故选：BD.11．如图，是水平放置的的直观图，A B C ''' ABC 2,A B A C B C ''=''=''=中，有（ ）ABCA ．B ．AC BC =2AB =C ．D ．AC =ABC S =△【答案】BD【分析】将直观图还原为原平面图形即可求解.A B C ''' ABC 【详解】解：在直观图中，过作于A B C ''' C 'C D A B ''''⊥D ¢2,A B A C B C ''=''=''=，∴1,2A D C D ''''===又，所以，，，45C O D '''∠=2O D ''=1O A ''=O C ''=所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图A B C ''' ABC，故选项B 正确；1,2OC OA AB ===又A 、C 错误；AC AC ====D 正确；11222ABC S AB OC =⨯⨯=⨯⨯= 故选：BD.12．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，1412下列结论正确的是（ ）A ．2个球都是红球的概率为B ．2个球中恰有一个红球的概率为1812C ．至少有1个红球的概率为D ．2个球不都是红球的概率为3878【答案】ABD【分析】A 选项直接乘法公式计算；B 选项分甲袋红球和乙袋红球两种情况；C 、D 选项先计算对立事件概率.【详解】对于A ，，正确；对于B ，，正确；对于C ，111428P =⨯=1131142422P =⨯+⨯=，错误；对于D ，，正确.3151428P =-⨯=1171428P =-⨯=故选：ABD.三、填空题13．同时抛三枚均匀的硬币，则事件“恰有2个正面朝上”的概率为________.【答案】##380.375【分析】由古典概型的概率公式求解，【详解】设正面为1，反面为0，则同时抛三枚均匀的硬币的结果有000，001，010，011，100，101，110，111共8种，其中恰有2个正面朝上的结果有3种，故所求概率为 38故答案为：3814．某歌手电视大奖赛中，七位评委对某选手打出如下分数：，则其百7.9,8.1,8.4,8.5,8.5,8.7,9.950分位数为________．【答案】8.5【分析】由题意，数据按照从小到大的顺序排列，分析得百分位数即为这组数据的中位数，所50以找第个数据.48.5【详解】由题意可知，共有个数据并且已经按照从小到大的顺序排列，其百分位数即为这组数750据的中位数，所以其百分位数是第个数据为.5048.5故答案为：8.515．《九章算术》第三章“衰分”中有如下问题:“今有甲持钱五百六十，乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱，欲以钱数多少衰出之，问各几何?”其意为:“今有甲带了560钱，乙带了350钱，丙带了180钱，三人一起出关，共需要交关税100钱，依照钱的多少按比例出钱”，则丙应出 ____________钱．（所得结果四舍五入，保留整数）【答案】17【分析】利用分层抽样找到丙所带钱数占三人所带钱总数的比例即可.【详解】依照钱的多少按比例出钱，则丙应出:钱.18056100=1617560+350+180109⨯≈故答案为：1716．在三棱锥中，点Р在底面ABC 内的射影为Q ，若，则点Q 定是-P ABC PA PB PC ==的______心．ABC 【答案】外【分析】由可得，故是的外心.PA PB PC ==QA QB QC ==Q ABC 【详解】解：如图，∵点在底面ABC 内的射影为,∴平面P Q PQ ⊥ABC 又∵平面、平面、平面，QA ⊂ABC QB ⊂ABC QC ⊂ABC∴、、.PQ QA ⊥PQ QB ⊥PQ QC ⊥在和中，,∴，∴Rt PQA Rt PQB PA PB PQ PQ =⎧⎨=⎩PQA PQB ≅ QA QB =同理可得：,故QA QC =QA QB QC ==故是的外心.Q ABC 故答案为：外.四、解答题17．一只口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球．（1）共有多少个样本点？（2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？【答案】（1）10个；（2） .310【分析】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，即可枚举出基本事件；（2）根据古典概型公式即可得到结果.【详解】（1）分别记白球为1，2，3号，黑球为4，5号，从中摸出2只球，有如下样本点(摸到1，2号球用(1，2)表示)：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(3，4)，(3，5)，(4，5)．因此，共有10个样本点；（2）上述10个样本点发生的可能性相同，且只有3个样本点是摸到两只白球(记为事件A )，即(1，2)，(1，3)，(2，3)，故P (A )＝.310故摸出2只球都是白球的概率为.31018．《九章算术》卷5《商功》记载一个问题“今有圆堡墙（dǎo ），周四丈八尺，高一丈一尺，文积几何？”意思是：今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是多少立方尺？（注：，1丈=10尺）3π≈【答案】(立方尺)2112【分析】根据圆柱底面周长求出城堡的底面半径，结合圆柱的体积公式计算即可.【详解】设圆柱形城堡的底面圆半径为，r 则，解得尺，248r π=4882r π==又城堡的高尺，11h =所以它的体积立方尺．211642112V r h ππ==⨯=19．国家射箭女队的某优秀队员射箭一次，击中环数的概率统计如表：命中环数10环9环8环7环概率0.300.320.200.10若该射箭队员射箭一次.求：(1)射中9环或10环的概率；(2)至少射中8环的概率.【答案】(1)0.62(2)0.82【分析】由事件间的关系结合互斥事件概率加法公式即可计算所求事件概率.【详解】（1）设射中9环或10环的概率为，则；1P 10.300.320.62P =+=（2）设至少射中8环的概率为，则.2P 20.300.320.200.82P =++=20．已知四棱台的上、下底面分别是边长为4和8的正方形，侧面是腰长为8的等腰梯形，求该四棱台的表面积.【答案】80+【解析】首先求出四棱台上、下底面面积与侧面面积，然后求出表面积即可.【详解】如图，在四棱台中，1111ABCD A B C D -过作，垂足为，1B 1B F BC ⊥F 在中，，，1Rt B FB 1(84)22BF =⨯-=18B B =故，1B F ==所以111(84)2BB C C S =⨯+⨯=梯形故四棱台的侧面积，4S =⨯=侧所以四棱台的表面积448880S =⨯+⨯=+表【点睛】本题考查了四棱台的表面积，属于基础题.21．某中学要从高一年级甲乙两个班级中选择一个班参加电视台组织的“环保知识竞赛”，该校对甲乙两班的参赛选手（每班7人）进行了一次环保知识测试，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数是85.（1）求，的值；x y （2）根据茎叶图，求甲乙两班同学方差的大小，并从统计学角度分析，该校应选择甲班还是乙班参赛.【答案】（1），；（2）乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．9x =5y =【分析】（1）利用茎叶图，根据甲班7名学生成绩的平均分是85，乙班7名学生成绩的中位数是85．先求出，，x y （2）求出乙班平均分，再求出甲班7名学生成绩方差和乙班名学生成绩的方差，由此能求出结果．【详解】解：（1）甲班的平均分为：；1(75788080859296)857x +++++++=解得，9x =乙班7名学生成绩的中位数是85，，5y ∴=（2）乙班平均分为：；1(75808085909095)857++++++=甲班7名学生成绩方差，2222222211360(107540711)77S =++++++=乙班名学生成绩的方差，2222222221300(105505510)77S =++++++=两个班平均分相同，，2221S S <乙班成绩比较稳定，故应选乙班参加．∴【点睛】本题考查茎叶图的应用，解题时要认真审题，属于基础题．22．某家水果店的店长为了解本店苹果的日销售情况，记录了近期连续120天苹果的日销售量(单位：)，并绘制频率分布直方图如下：kg（1）请根据频率分布直方图估计该水果店苹果日销售量的众数和平均数；(同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)（2）一次进货太多，水果会变得不新鲜；进货太少，又不能满足顾客的需求.店长希望每天的苹果尽量新鲜，又能80%地满足顾客的需求(在10天中，大约有8天可以满足顾客的需求).请问每天应该进多少千克苹果？(精确到整数位)【答案】（1）众数为为85，平均数为；（2）每天应该进98千克苹果.89.75【分析】（1）在图中找最高的矩形对应的值即为众数，利用平均数公式求平均数；（2）由题意分析需要找概率为0.8对应的数，类比在频率分布直方图中找中位数的方法即可求解.【详解】（1）如图示：区间频率最大，所以众数为85，[)80,90平均数为：()650.0025750.01850.04950.0351050.011150.002510x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯89.75.=（2）日销售量[60，90)的频率为，日销量[60，100)的频率为，0.5250.8<0.8750.8>故所求的量位于[)90,100.由得0.80.0250.10.40.275,---=0.2759098,0.035+≈故每天应该进98千克苹果.【点睛】从频率分布直方图可以估计出的几个数据：(1)众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标；(2)平均数：频率分布直方图每组数值的中间值乘以频率后相加；(3)中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．。
2021-2022学年山东省潍坊市高一(下)学科核心素养数学试卷(5月份)(含答案解析)
2021-2022学年山东省潍坊市高一（下）学科核心素养数学试卷（5月份）1. 已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A. 1B. 4C. 1或4D. 2或42. 已知a ⃗ ，b ⃗ 是平面内两个不共线向量，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =m a ⃗ +2b ⃗ ，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3a ⃗ −b ⃗ ，A ，B ，C 三点共线，则m =( )A. −23 B. 23 C. −6 D. 63. sin2cos3tan4的值( )A. 小于0B. 大于0C. 等于0D. 不存在4. 已知i ，j 是平面内的两个向量，i ⊥j ，且|i |=|j |=2,a ⃗ =i +2j ,b ⃗ =−3i +4j ，则|a ⃗ −b ⃗ |=( )A. 2√2B. 4√2C. 2√5D. 4√55. 已知θ为第三象限角，tan2θ=−2√2，则sin 2θ+sin(3π−θ)cos(2π+θ)−√2cos 2θ等于( )A. −√26B. √26C. −23D. 236. 关于函数y =sin(2x +φ)(φ∈R)有如下四个命题：甲：该函数在(−π3,π6)上单调递增；乙：该函数图象向右平移π12个单位长度得到一个奇函数； 丙：该函数图象的一条对称轴方程为x =−5π6； 丁：该函数图像的一个对称中心为(π12,0). 如果只有一个假命题，则该命题是( )A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁7. 在△ABC 中，AP⃗⃗⃗⃗⃗ =119AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AC ⃗⃗⃗⃗⃗，则P 点( ) A. 在线段BC 上，且BPBC =29 B. 在线段CB 的延长线上，且BP BC =29 C. 在线段BC 的延长线上，且BPBC =29D. 在线段BC 上，且CP BC =298. 已知π8<α<β<π2，且sin2αsin π4−cos2αsin 54π=13,sin2βcos π4+cos2βsin π4=√33，则cos(2β−2α)的值为( )A.5√39B. √33C. −5√39D. −√339. 下列命题正确的是( )A. 若a ⃗ //b ⃗ ，b ⃗ //c ⃗ ，则a ⃗ //c ⃗B. 若a ⃗ =b ⃗ ，b ⃗ =c ⃗ ，则a ⃗ =c ⃗C. 若a ⃗ //b ⃗ ，则存在唯一实数λ，使得若a ⃗ =λb ⃗D. 若点P 为△ABC 所在平面上一点，若PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +2PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0⃗ ，则△APB 面积与△ABC 面积之比为1：410. 已知α,β,γ∈(0,π2)，且α+β+γ=π2，则( ) A. 若sinα+cosα=√2，则tanα=1 B. 若tanα=12，则sin(β+γ)=2√55C. tanα，tanβ可能是方程x 2−6x +7=0的两根D. tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=111. 已知点(π6,0)是函数f(x)=cos(ωx +φ)(0<ω<3,|φ|<π)图象的一个对称中心，且f(x)在x =5π12处取得最大值，则( )A. 函数f(x)的最小正周期为πB. f(x)在[−π6,π4]上的值域为[−12,12] C. 函数f(x)在[5π12,11π12]上单调递减 D. 若f(x)=−12(x ∈[0,2π])的根为x i (i =1,2,…，n)，则∑x i n i=1=11π312. 设|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=8,|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=5，且对任意t ∈R ，均有|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，D 为线段AB 上一点，连接OD 并延长到P ，使|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15，若PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(53−x)PA⃗⃗⃗⃗⃗ ，则( ) A. △ABO 为直角三角形B. |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=10C. |OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=6 D. 这样的D 点有2个13. 若OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=______.14. 函数f(x)=lg(3−4sin 2x)的定义域为______.15. 设a ⃗ =(3,2),b ⃗ =(√x −3,√10−x)，则a ⃗ ⋅b ⃗ 的最大值为______.16. 函数f(x)=√3cosωx +3sinωx(ω>0)，若f(x)在[0,π]上的值域为[√3,2√3]，则实数ω的取值范围是______.17. 已知sinα=1−sin(π2+β)，求sin 2α+sin(π2−β)+1的取值范围．18. 如图所示，已知矩形ABCD 中，AB =2，AD =1，DM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC 与MN 相交于点E.(1)若MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，求λ和μ的值； (2)用向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示AE ⃗⃗⃗⃗⃗ .19. 已知函数f(x)=3sin(2x +π6)−6sin(x +π4)sin(x +34π).(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)若函数y =f(x)−k 在区间[0,1312π]上有且仅有两个零点x 1，x 2，求k 的取值范围，并求x 1+x 2的值．20. 少林寺作为国家AAAAA 级旅游景区，每年都会接待大批游客，在少林寺的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余不少，浪费很严重．为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，人住客栈的游客人数基本相同；②人住客栈的游客人数在1月份最少，在7月份最多，相差约400；③1月份入住客栈的游客约为300人，随后逐月递增，在7月份达到最多． (1)试用一个正弦型函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问客栈在哪几个月份要至少准备600份食物？21. 如图，圆O 是边长为4的正方形ABCD 的内切圆，S 为圆周上一点，过S 作AB ，AD 的垂线，垂足分别为M ，N.设p =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,q =ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . (1)求pq 的取值范围；(2)求5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8的最小值．22. 在△ABC 中，设CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ,|a ⃗ |=2,|b ⃗ |=4，P 为△ABC 内任意动点，记PA⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2取最小值时的点P 为P 0.过P 0作直线交线段CA 于M.交线段CB 于N ，试求1|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+2|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗|的值．答案和解析1.【答案】C【解析】 【分析】本题考查扇形面积公式，考查方程思想，考查计算能力，是基础题．设出扇形的圆心角为α，半径为Rcm ，根据扇形的周长为6，面积是2，列出方程组，即可求出扇形的圆心角的弧度数． 【解答】解：设扇形的圆心角为α，半径为R ， 则{2R +αR =612R 2α=2，解得α=1或α=4. 故选：C.2.【答案】C【解析】解：∵A ，B ，C 三点共线， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线， ∴存在λ，使AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴m a ⃗ +2b ⃗ =3λa ⃗ −λb ⃗ ，且a ⃗ ,b ⃗ 不共线， ∴{m =3λ−λ=2，解得m =−6. 故选：C.根据共线向量和平面向量基本定理即可得出m 的值．本题考查了共线向量和平面向量基本定理，考查了计算能力，属于基础题．3.【答案】A【解析】解：∵1弧度大约等于57度，2弧度等于114度，∴sin2>0∵3弧度小于π弧度，在第二象限∴cos3<0∵4弧度小于3π2弧度，大于π弧度，在第三象限∴tan4>0 ∴sin2cos3tan4<0故选：A.根据2弧度、3弧度、4弧度所在象限分析三角函数值的正负，最后得出答案． 本题主要考查三角函数值的符号问题．常常根据角所在的象限来判断函数值的正负．4.【答案】D【解析】解：因为i ⊥j ，且|i |=|j |=2,a ⃗ =i +2j ,b ⃗ =−3i +4j ， 所以|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2=√(4i −2j )2=2√4i 2+j 2−2⋅2i ⋅j =4√5. 故选：D.|a ⃗ −b ⃗ |=√(a ⃗ −b ⃗ )2，以此可解决此题．本题考查平面向量数量积运算，考查数学运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：因为θ为第三象限角， 所以tanθ>0， 又tan2θ=−2√2=2tanθ1−tan 2θ，整理可得√2tan 2θ−tanθ−√2=0，所以tanθ=√2，则sin 2θ+sin(3π−θ)cos(2π+θ)−√2cos 2θ=sin 2θ+sinθcosθ−√2cos 2θsin 2θ+cos 2θ=tan 2θ+tanθ−√2tan 2θ+1=2+√2−√22+1=23.故选：D.由已知可得tanθ>0，利用二倍角的正切公式化简已知等式可得√2tan 2θ−tanθ−√2=0，解方程可得tanθ的值，进而利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可化简求解．本题考查了二倍角的正切公式，诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：令−π2+2kπ≤2x +φ≤π2+2kπ，k ∈Z ，则函数的增区间为[kπ−π4−φ2,kπ+π4−φ2](k ∈Z)…①；函数图象向右平移π12个单位长度得到y =sin[2(x −π12)+φ]=sin(2x −π6+φ)…②；令2x +φ=π2+kπ⇒x =kπ2+π4−φ2，k ∈Z …③； 令2x +φ=kπ⇒x =kπ2−φ2，k ∈Z …④．若甲错误，则乙丙丁正确，由②，由函数的奇偶性性，令kπ−π4−φ2+kπ+π4−φ22=π6，由①，函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)，则甲正确，矛盾；令φ=7π6，由①，函数的增区间为[kπ−5π6,kπ−π3](k ∈Z)，则甲错误，满足题意． 由③．函数的对称轴方程为x =kπ2−π3，k ∈Z ，k =−1时，x =−5π6，则丙正确．由④，函数的对称中心为(kπ2−7π12,0)(k ∈Z)，令kπ2−7π12=π12⇒k =43，丁错误．不合题意； 若乙错误，则甲丙丁正确，易知函数增区间的两个端点的中点为对称中心， 由①．令x =kπ−π4−φ2+kπ+π4−φ22=kπ−φ2，结合④．令kπ−φ2=π12⇒φ=2kπ−π6(k ∈Z)， 由函数的奇偶性，取k =0，φ=−π6， 由③．x =kπ2+π4+π12=kπ2+π3，k ∈Z ，令kπ2+π3=−5π6⇒k =−73，则丙错误．不合题意；若丙错误，则甲乙丁正确，由②，由函数的奇偶性，令φ=7π6， 由①．函数的增区间为[kπ−5π6,kπ−π3](k ∈Z)，则甲错误，不合题意． 令φ=π6，由①．函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)，甲正确． 取区间中点x =kπ−π3+kπ+π62=−π12+kπ(k ∈Z)，则丁错误．不合题意；若丁错误，则甲乙丙正确．由②，由函数的奇偶性，令φ=7π6， 由①．函数的增区间为[kπ−5π6,kπ−π3](k ∈Z)，则甲错误，不合题意． 令φ=π6，由①．函数的增区间为[kπ−π3,kπ+π6](k ∈Z)，甲正确． 由③．x =kπ2+π4−π12=kπ2+π6，k ∈Z.k =−2时，x =−5π6，则丙正确． 由④．x =kπ2−π12，k ∈Z ，令kπ2−π12=π12⇒k =13，④错误．满足题意．综上：该命题是丁． 故选：D.根据题意首先求出函数的增区间，平移后的解析式，对称轴和对称中心，进而分别讨论甲、乙、丙、丁为错误时其它命题的正误，进而得到答案． 本题考查了分类讨论思想、三角函数的性质，属于中档题．7.【答案】B【解析】解：由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =119AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =29(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以P 点在线段CB 的延长线上，且BP BC =29.由AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =119AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −29AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得AP ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =29(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )得BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =29CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，以此可判断正确选项． 本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：由题意知，sin(2α+π4)=13，sin(2β+π4)=√33， 因为π8<α<β<π2，所以π2<2α+π4<2β+π4<5π4， 所以cos(2α+π4)=−√1−sin 2(2α+π4)=−2√23， cos(2β+π4)=−√1−sin 2(2β+π4)=−√63，所以cos(2β−2α)=cos[(2β+π4)−(2α+π4)]=cos(2β+π4)cos(2α−π4)+sin(2β+π4)sin(2α−π4) =(−√63)×2√23−√33×13=−5√39.故选：A.根据两角和差的正弦公式，结合诱导公式，可得sin(2α+π4)=13，sin(2β+π4)=√33，再由α，β的取值范围，利用同角三角函数的平方关系求得cos(2α+π4)，cos(2β+π4)的值，然后配凑角，由两角差的余弦公式，得解．本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握两角和差公式，诱导公式，同角三角函数的平方关系是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：A ：当b ⃗ 为零向量时a ⃗ //c ⃗ 不一定成立，错误； B ：由条件知：a ⃗ =b ⃗ =c ⃗ ，正确；C ：a ⃗ ，b ⃗ 为零向量时a ⃗ =λb ⃗ 中实数λ不唯一，错误；D ：由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，易知：P 为△ABC 平行于AC 的中位线中点，则S △ABC =2S △APC 且S △APB =S △PBC ，故△APB 面积与△ABC 面积之比为1：4，正确．A 、C 注意零向量的情况；B 由相等向量传递性判断；D 由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +PB ⃗⃗⃗⃗⃗ )确定P 的位置，进而判断面积关系．本题考查了共线向量、相等向量的概念、判定以及向量的加法法则，属于基础题．10.【答案】ABD【解析】解：∵α,β,γ∈(0,π2)，且α+β+γ=π2， ∴α=π2−(β+γ)，对于A ，若sinα+cosα=√2sin(α+π4)=√2，则α+π4=π2，即α=π4，故tanα=1，故A 正确； sinα+cosα=√2，对于B ，若tanα=12，则sinα=√1+2=√55，cosα=√1+2=2√55， 则sin(β+γ)=cosα=2√55，故B 正确；对于C ，若tanα，tanβ是方程x 2−6x +7=0的两根，则tanα+tanβ=6，tanαtanβ=7， ∴tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=61−7=−1<0，这是不可能的，故C 错误；对于D ，tanαtanβ+tanβtanγ+tanγtanα=tanαtanβ+tanγ(tanα+tanβ)=tanαtanβ+cot(α+β)⋅tan(α+β)(1−tanαtanβ)=1，故D 正确； 故选：ABD.依题意，可得α=π2−(β+γ)，结合题意，对四个选项逐一分析可得答案．本题考查了两角和与差的三角函数，涉及诱导公式，辅助角公式，考查了逻辑推理能力与运算求解能力，属于中档题．11.【答案】ACD【解析】解：已知点(π6,0)是函数f(x)=cos(ωx +φ)(0<ω<3,|φ|<π)图象的一个对称中心，且f(x)在x =5π12处取得最大值； 所以：{cos(π6ω+φ)=0cos(5π12ω+φ)=1，则{π6ω+φ=π2+k 1π5π12ω+φ=2k 2π(k 1,k 2∈Z)；所以：ω=−2+4(2k 2−k 1)，φ=−5π6+2k 2π；(k 1,k 2∈Z)； 由于0<ω<3； 所以ω=2； 由于：|φ|<π；所以φ=−5π6； 故f(x)=cos(2x −5π6)；对于A ：函数的最小正周期为π，故A 正确； 对于B ：由于x ∈[−π6,π4]，所以2x −5π6∈[−7π6,−π3]，故cos(2x −5π6)∈[−1,12]，故B 错误；对于C ：由于2x −5π6∈[0,π]，故x ∈[5π12,11π12]，故C 正确； 对于D ：令cos(2x −5π6)=−12；解得x =3π4+kπ或x =π12+kπ，(k ∈Z)；由于x ∈[0,2π]，故x 1=π12;x 2=3π4；x 3=13π12;x 4=7π4；故∑x i 4i=1=11π3，故D 正确． 故选：ACD.直接利用方程组确定函数的解析式f(x)=cos(2x −5π6)；进一步利用函数的性质的应用判断A 、B 、C 、D 的结论．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．12.【答案】AC【解析】解：∵对任意t ∈R ，均有|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |，两边平方得：|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2≤||OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠AOB +t 2|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |2， 即8t 2+10cos∠AOBt ≥0对任意t ∈R 恒成立， ∴Δ=100cos 2∠AOB ≤0，∴cos∠AOB =0， ∴∠AOB =π2，故A 正确；设PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ[μPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=λμPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ[μPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=λμPA⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∵PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =x PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +(53−x)PA⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴{λμ=53−xλ(1−μ)=x，解得λ=53，∴PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =53PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =25OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DP ⃗⃗⃗⃗⃗ =35OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=25|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=25×15=6，|DP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35|OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=35×15=9，故B 错误，C 正确；设OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方整理得89m 2−50m −11=0， 此方程有两异号的根，∵D 在线段AB 上，∴0<m <1，∴方程89m 2−50m −11=0只有一个正根，即这样的点D 只有一个，故D 错误． 故选：AC.将|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≤|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +t OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |两边平行，化简得8t 2+10cos∠AOBt ≥0对任意t ∈R 恒成立，即可判断A ；设PO ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ[μPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ]=λμPA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ(1−μ)PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，解得λ=53，即可判断BC ；设OD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，两边平方整理得89m 2−50m −11=0，再根据D 在线段AB 上，确定方程解的个数即可判断D.本题考查向量数量积公式、向量运算法则、三角函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．13.【答案】23【解析】解：由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 可得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=23.故答案为：23.由OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −2OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2(OC ⃗⃗⃗⃗⃗ −OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 得2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，然后可求得|AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗||AC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的值．本题考查平面向量线性运算，考查数学运算能力，属于基础题．14.【答案】(−π3+kπ,π3+kπ),k ∈Z【解析】解：要使f(x)有意义，则：3−4sin 2x >0； ∴−√32<sinx <√32；∴−π3+kπ<x <π3+kπ,k ∈Z ； ∴f(x)的定义域为(−π3+kπ,π3+kπ),k ∈Z. 故答案为：(−π3+kπ,π3+kπ),k ∈Z.可看出，要使得函数f(x)有意义，则需满足3−4sin 2x >0，解出x 的范围即可． 考查函数定义域的定义及求法，对数函数的定义域，要熟悉正弦函数的图象．15.【答案】√91【解析】解：由(x −3)+(10−x)=7，不妨设√x −3=√7cosθ，√10−x =√7sinθ，θ∈[0,π2]， 又a ⃗ =(3,2)，则a ⃗ ⋅b ⃗ =3√7cosθ+2√7sinθ=√91sin(θ+φ)，tanφ=32， 则当θ+φ=π2时，a ⃗ ⋅b ⃗ 取最大值√91，故答案为：√91.由(x −3)+(10−x)=7，不妨设√x −3=√7cosθ，√10−x =√7sinθ，θ∈[0,π2]，然后结合辅助角公式求最大值即可．本题考查了三角函数的应用，重点考查了平面向量数量积的运算，属基础题．16.【答案】[13,23]【解析】解：函数f(x)=√3cosωx +3sinωx =2√3sin(ωx +π6)，在[0,π]上，ωx +π6∈[π6,ωπ+π6]. 若f(x)在[0,π]上的值域为[√3,2√3]，则sin(ωx +π6)∈[12,1]， ∴π2≤ωπ+π6≤5π6，求得13≤ω≤23， 故答案为：[13,23].利用两角和的正弦公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的定义域和值域，求得实数ω的取值范围．本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属基础题．17.【答案】解：因为sinα=1−sin(π2+β)=1−cosβ，所以cosβ=1−sinα， 因为−1≤cosβ≤1，所以−1≤1−sinα≤1，0≤sinα≤2， 又−1≤sinα≤1，所以sinα∈[0,1]，所以sin 2α+sin(π2−β)+1=sin 2α+cosβ+1=sin 2α−sinα+2=(sinα−12)2+74，(∗)， 又sinα∈[0,1].所以当sinα=12时，(∗)式取得最小值74； 当sinα=1或sinα=0时，(∗)式取得最大值2， 故所求范围为[74,2].【解析】利用诱导公式化简已知等式可得cosβ=1−sinα，根据三角函数的性质可求sinα∈[0,1]，化简所求可得sin 2α+sin(π2−β)+1=(sinα−12)2+74，根据正弦函数的性质以及二次函数的性质即可求解其取值范围．本题考查了诱导公式，三角函数的性质以及二次函数的性质的综合应用，考查了函数思想，属于中档题．18.【答案】解：以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，D(0,1),B(2,0),M(23,1),N(2,23)，C(2,1)(1)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(43,−13)=λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2λ,μ)，解得：λ=23,μ=−13： (2)设AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =m AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n AN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AC⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1)=(23m +2n,m +23n).解得m =37,n =67， 即AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =37AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +67AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =t AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =37t AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +67t AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，又因为M ，E ，N 三点共线，所以37t +67t =1,t =79，所以AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +23AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗﹒【解析】以A 点为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系， 写出A 、D 、B 、M 、N 、C 各点坐标(1)把MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +μAD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中的向量都用坐标表示，可求得λ和μ的值； (2)把向量AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,AN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 用坐标表示后可解决此问题．本题考查平面向量坐标运算，考查数学运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)因为f(x)=3sin(2x +π6)−6sin(x +π4)sin(x +34π)=32cos2x +3√32sin2x +3(sinx +cosx)(sinx −cosx)=32cos2x +3√32sin2x +3(sin 2x −cos 2x)=32cos2x +3√32sin2x +3cos2x =3sin(2x −π6)，所以函数f(x)的最小正周期T =2π2=π，因为2kπ−π2≤2x −π6≤2kπ+π2，所以kπ−π6≤x ≤kπ+π3(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3](k ∈Z)； (2)由题意得f(x)−k =0在区间[0,1312π]上有且仅有两个解x 1，x 2， 即曲线y =f(x)与直线y =k 在区间x 1，x 2上有且仅有两个交点， x ∈[0,1312π]，得2x −π6∈[−π6,2π]， 设t =2x −π6，则y =3sint,t ∈[−π6,2π]，由函数y =3sint,t ∈[−π6,2π]的性质可知k 的取值范围为(−3,−32)∪(0,3)， 设曲线y =3sint 与直线y =k 在区间[−π6,2π]上的两个交点的横坐标分别为t 1，t 2，当k ∈(−3,−32)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =32π对称，即x 1，x 2关于直线x =5π6对称，所以x 1+x 2=5π3；当k ∈(0,3)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =π2对称，即x 1，x 2关于直线x =π3对称，所以x 1+x 2=2π3， 综上，x 1+x 2的值是5π3或2π3.【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简可求函数解析式为f(x)=3sin(2x −π6)，进而根据正弦函数的性质即可求解．(2)由题意设t =2x −π6，则y =3sint ，t ∈[−π6,2π]，根据三角函数的性质可求k 的取值范围，设曲线y =3sint 与直线y =k 在区间[−π6,2π]上的两个交点的横坐标分别为t 1，t 2，当k ∈(−3,−32)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =32π对称，可求x 1+x 2=5π3；当k ∈(0,3)时，由图可知t 1，t 2关于直线t =π2对称，可求x 1+x 2=2π3，从而可求x 1+x 2的值．本题考查了三角恒等变换，正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题意设函数为f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π)，x =1，2，…，12，由①可知这个函数的周期是12，即2πω=12，得ω=π6，由②可知f(1)最小，f(7)最大，且f(7)−f(1)=400，故(A +B)−(−A +B)=400，则A =200， 由③可知f(x)在[1,7]上是增函数，且f(1)=300，得f(7)=A +B =700，则B =500， 又当x =1时，f(x)最小，当x =7时，f(x)最大，∴sin(π6+φ)=−1，且sin(7×π6+φ)=1，可得φ=−2π3+2kπ,k ∈Z ， 已知|φ|<π，取k =0，得φ=−2π3. 故f(x)=200sin(π6x −2π3)+500(x =1,2,⋯,12)；(2)由条件可知，200sin(π6x −2π3)+500≥600，化简得sin(π6x −2π3)≥12，即2kπ+π6≤π6x −2π3≤2kπ+5π6,k ∈Z ， 解得：12k +5≤x ≤12k +9，k ∈Z ，∵x ∈N ∗，且1≤x ≤12，∴x =5，6，7，8，9， ∴客栈在5，6，7，8，9月份要至少准备600份食物．【解析】(1)设函数为f(x)=Asin(ωx +φ)+B(A >0,ω>0,|φ|<π)，x =1，2，…，12，由已知求得A 、B 、ω与φ的值，可得函数解析式；(2)由题意，200sin(π6x −2π3)+500≥600，结合x 为自然数，即可求得x 值，则答案可求． 本题考查函数模型的选择及应用，考查y =Asin(ωx +φ)型函数的图象与性质，考查运算求解能力，是中档题．21.【答案】解：(1)如图，以O 为原点，以平行于BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的直线为x 轴，以平行于DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的直线为y 轴建立平面直角坐标系，设点S(2cosx,2sinx)，由题可知A(2,2)，B(−2,2)，M(2cosx,2)，N(2,2sinx)， 则p =4cosx +4，q =−4+4sinx ，则pq =16(cosx +1)(sinx −1)=16(cosxsinx +sinx −cosx −1)， 令sinx −cosx =t ∈[−√2,√2]， 则cosxsinx =1−t 22， 即pq =−8(t −1)2，t ∈[−√2,√2]，所以当t =−√2时pq 有最小值为−8(3+2√2)，当t =1时pq 有最大值0， 所以pq 的取值范围是[−8(3+2√2),0]；(2)由(1)得5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8=5−(4cos 2x+4)4sinx+4=4sin 2x−34(sinx+1)，令sinx +1=t ，t ∈(0,2], 则原式=4t 2−8t+14t=t +14t −2≥2√t ×14t −2=−1，当且仅当t =12时，即sinx =−12时等号成立，所以5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8的最小值为−1.【解析】(1)由平面向量数量积的坐标运算可得；pq =16(cosx +1)(sinx −1)=16(cosxsinx +sinx −cosx −1)，然后令sinx −cosx =t ∈[−√2,√2]，即pq =−8(t −1)2，t ∈[−√2,√2]，再结合二次函数求值域即可；(2)由(1)得5−OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2q+8=5−(4cos 2x+4)4sinx+4=4sin 2x−34(sinx+1)，令sinx +1=t ，t ∈(0,2],然后结合基本不等式可得：4t 2−8t+14t=t +14t−2≥2√t ×14t−2=−1，得解．本题考查了平面向量数量积的坐标运算，重点考查了基本不等式的应用，属基础题．22.【答案】解：设CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ⃗ .则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=(a ⃗ −p ⃗ )2+(b ⃗ −p ⃗ )2+p ⃗ 2，则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3p ⃗ 2−2(a ⃗ +b ⃗ )⋅p ⃗ +a ⃗ 2+b ⃗ 2=3(p ⃗ −a ⃗ +b ⃗3)2+a ⃗ 2+b ⃗ 2−(a ⃗ +b ⃗ )23，所以，当p ⃗ =a⃗ +b ⃗ 3时上式取得最小值， 显然，此时P 0为△ABC 的重心， 设CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =x CA ⃗⃗⃗⃗⃗ =x a ⃗ ,CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =y CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y b ⃗ ， 则CP 0⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =a⃗ +b ⃗ 3=13(1x CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +1y Cn ⃗⃗⃗⃗⃗ )由P 0，M ，N 三点共线可得13x +13y=1，即1x +1y=3，又x =|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2,y =|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||CB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |4， 则1|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12x ，2|CN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12y， 代入上式可得：1|CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2|CN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=32.【解析】设CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =p ⃗ .则PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+PC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2=3p ⃗ 2−2(a ⃗ +b ⃗ )⋅p ⃗ +a ⃗ 2+b ⃗ 2=3(p ⃗ −a ⃗ +b ⃗3)2+a ⃗ 2+b ⃗ 2−(a⃗ +b ⃗ )23，所以，当p ⃗ =a⃗ +b ⃗ 3时上式取得最小值，此时P 0为△ABC 的重心，然后结合三点共线的向量表示求解即可．本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了三点共线的向量表示，属基础题．。
南充市2020-2021学年高一下学期期末考试 数学试题(含答案)
南充市2020-2021学年高一下学期期末考试数学试题一、选择题：，每小题5分，共60分.1．棱长都是1的三棱锥的表面积为（ ）A B ．C ．D ．2．cos72cos12sin72sin12︒+︒︒=（ ）A ．cos84︒B ．sin84︒C ．0D ．123．设b a <，d c <，则下列不等式中一定成立的是（ ）A ．a c b d -<-B ．ac bd <C ．a c b d +>+D ．a d b c +>+4．下列命题中，错误的是（ ）A ．平行于同一个平面的两个平面平行B ．平行于同一条直线的两个平面平行C ．一个平面与两个平行平面相交，交线平行D ．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交5．在等差数列{}n a 中，12a =，533a a =，则3a =（ ）A ．-2B ．0C ．3D ．66．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若45B =︒，60C =︒，1c =，则ABC △的最短边的边长等于A ．2B ．12C ．2D ．37．不等式2252x x x -->的解集是A ．{}51x x x ≥≤-或B ．{}51x x x ><-或C ．{}15x x -<<D ．{}15x x -≤≤ 8．利用斜二测画法得到的（ ）①三角形的直观图是三角形②平行四边形的直观图是平行四边形③正方形的直观图是正方形④菱形的直观图是菱形以上结论正确的是A ．①②B ．①C ．③④D ．①②③④ 9．已知1tan 22α=，则sin 2α=（ ） A ．35- B ．2425- C ．2425 D ．3510．已知函数()2f x x =，设()3log 0.2a f =，()0.23b f -=，()1.13c f =-，则（ ） A ．a b c >> B ．b a c >> C ．c a b >> D ．c b a >>11．将正方形ABCD 沿对角线AC 折起，并使得平面ABC 垂直于平面ACD ，则折起后的直线AB 与CD 所成的角为（ ）A ．0°B ．30°C ．45°D ．60°12．在ABC △中，π6A =，ABC △的面积为2，则2sin sin sin 2sin sin CBC B C ++的最小值为（ ）A ．53B ．32C 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．sin15cos15︒︒=______.14．等比数列{}n a 中，312a =，548a =，则7a =______.15．在ABC △中，cos2C =，1BC =，5AC =，则AB =______.16．已知正三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上，棱锥的底面是边长为侧棱长为O 的表面积为______. 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（本题满分12分）已知等差数列{}n a 的前三项依次为a ，4，3a .（1）求a ；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和，若110k S =，求k .18．（本题满分12分）已知函数()23f x x ax =++.（1）若()f x 有一个零点为3x =，求a ；（2）若当x R ∈时，()f x a ≥恒成立，求a 的取值范围.19．（本题满分12分）如图，在三棱锥S ABC -中，平面SAC ⊥平面ABC ，且SAC △是正三角形，点O 是AC 的中点，点D 是AB 的中点.（1）求证：//OD 平面SBC ；（2）求证：SO AB ⊥.20．（本题满分12分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()2cos cos cos a b C c B +=.（1）求A ；（2）若1a =，ABC △2，求ABC △的面积.21．（本题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，数列{}n b 满足2n n n b a =. （1）求证：数列{}n b 是等差数列；（2）设()()1(1)21n n n n n n c n a n a ++=-+-，数列{}n c 的前n 项和为n T ，求满足12463n T <的n 的最大值.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．（本题满分10分）比较221x y ++与()21x y +-的大小；23．（本题满分10分）ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos a A b B =，判断ABC △的形状.参考答案一、选择题:1A 2D 3C 4B 5A 6D 7B 8A 9C 10C 11D 12B二、填空题:13.14 14.192 15. 16.25π 三､解答题:17.解:（1）由题意可得324a a +=⨯解得2a =（2）由（1）得，12a =，24a =，所以公差212d a a =-=， 所以1(1)(1)2222k k k k k S ka d k --=+⋅=+⨯ 2k k =+，因为110k S =，所以2110k k +=，解得10k =或11k =-（舍），所以10k =.18.解:（1）因为()f x 有一零点3x =，所以23330a +⨯+=，所以4a =-.（2）因为当x R ∈时，230x ax a ++-≥恒成立，需()2430a a ∆=--≤，即24120a a +-≤， 解得62a -≤≤，所以a 的取值范围是[]6,2-.19.证明:（1）因为O 为AC 的中点，D 为AB 的中点，所以//OD BC ， 又BC ⊂平面SCB ，OD ⊄平面SCB ，所以//OD 平面SBC .（2）因为SAC △是正三角形，O 是AC 的中点，所以SO AC ⊥，因为平面SAC ⊥平面ABC ，平面SAC ⋂平面ABC AC =，SO ⊂平面SAC ， 所以SO ⊥平面ACB ，又因为AB ⊂平面ACB ，所以SO AB ⊥.20.解:（1）由()2cos cos cos A b C c B +和正弦定理得 ()2cos sin cos sin cos A B C C B A +=，()2cos sin A B C A +=.因为πB C A +=-，所以2cos sin A A A =.因为π()0,A ∈，所以sin 0A ≠，所以cos 2A =，π6A =.（2）因为1a =，2a b c ++=，所以1b c += 由余弦定理可得，22222π2cos 6a b c bc b c =+-=+-()(22b c bc =+-所以bc == 所以，ABC △的面积为111sin 2224bc A ==. 21.（1）证明:因为1122n n n S a -⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭当2n ≥时，2111S 22n n n a ---⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭， 所以11112n n n n n n a S S a a ---⎛⎫=-=-++ ⎪⎝⎭.化简得11221n n n n a a --=+，因为2n n n b a =，所以11n n b b -=+.当2n ≥时，11n b b b --=. 当1n =时，11112S a a =--+=，即112a =又1121b a == 所以，数列{}n b 是首项和公差均为1的等差数列.（2）由（1）得()1112n n n b n n a =+-⨯==， 所以2n n n a =. 所以()()111(1)2121212122n n n n n n n n n c n n n n ++++==+⎛⎫⎛⎫---+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 11122121n n +⎛⎫=- ⎪--⎝⎭所以，223111111112121212121212121n n n n T ++⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭ 由12463n T <得162642n +<=， 所以5n <，所以n 的最大值为4.22.解:因为()22121x y x y ++-+-221222x y x y =++--+()()221110x y =-+-+>所以()22121x y x y ++>+-.23.证明:因为cos cos a A b B =所以sin cos sin cos A A B B =sin 2sin 2A B =.因为022πA <<，022πB <<，所以22A B =或22πA B +=，即A B =，或π2A B += 所以，三角形是等腰三角形，或是直角三角形.。
2021-2022学年广东省广州市五校(省实,广雅,执信,二中,六中)高一下学期期末联考数学试题
2021学年下学期高一期末五校联考试卷数学命题学校：广州第二中学审题人：石静钰一、单选题1．已知i 是虚数单位，复数i1iz =+，则z 是（）A ．1i 22+B ．1i 22-C ．1i 22-+D ．1i 22--2．已知直线l ⊄平面α，直线m ⊂平面α，则（）A ．若l 与m 垂直，则l 与α一定垂直B ．若l 与m 所成的角为30°，则l 与α所成的角也为30°C ．l m ∥是l α∥的充分不必要条件D ．若l 与α相交，则l 为m 一定是异面直线3．集合A ={}1,2，{}3,4,5B =，从A ，B 中各取一个数，则这两数之和等于5的概率是（）A ．23B ．13C ．16D ．124．五月初，受疫情影响线下课暂停，某校组织学生居家通过三种方式自主学习，每种学习方式人数分布如图1所示，解封后为了解学生对这三种学习方式的满意程度，利用分层抽样的方法抽取4%的同学进行满意率调查，得到的数据如图2所示．则下列说法中不正确的是（）A ．样本容量为240B ．若50m =，则本次自主学习学生的满意度不低于四成C ．总体中对方式二满意的学生约为300人D ．样本中对方式一满意的学生为24人5．△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别是a 、b 、c ，设向量()()p a c b q b a c a =+=--，，，，若p q ∥，则角C 的大小为（）A ．π6B ．π3C ．π2D ．2π36．已知三棱锥P ABC -，其中PA ⊥平面ABC ，120BAC ∠=︒，2PA AB AC ===，则该三棱锥外接球的表面积为（）A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π7．在平行四边形ABCD 中，,E F 分别是,BC CD 的中点，DE 交AF 于点G ，则AG =（）A ．2455AB BC - B ．2455AB BC +C ．2455AB BC-+D ．25AB BC--8．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4315⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．5915⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)⎡+∞⎣二、多选题9．下列命题正确的是（）A ．若向量,a b 满足3a b =-，则,a b 为平行向量B ．已知平面内的一组基底12,e e ，则向量1212,e e e e +-也能作为一组基底C ．模等于1个单位长度的向量是单位向量，所有单位向量均相等D ．若ABC 是等边三角形，则2,3AB BC π<>= 10．一个质地均匀的正四面体4个表面上分别标有数字1,2,3,4，抛掷该正四面体两次，记事件M 为“第一次向下的数字为3或4”，事件N 为“两次向下的数字之和为偶数”，则下列说法正确的是（）A ．事件M 发生的概率为12B ．事件M 与事件N 互斥C ．事件M N ⋂发生的概率为12D ．事件M 与事件N 相互独立11．小明用某款手机性能测试APP 对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，x ，y ，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（）A ．180x y +=B ．该组数据的均值一定为90C ．该组数据的众数一定为84和96D ．若要使该总体的标准差最小，则90x y ==12．如图，正方形ABCD -A 1B 1C 1D 1边长为1，P 是1A D 上的一个动点，下列结论中正确的是（）A ．BP的最小值为2B ．PA PC +C ．当P 在直线1AD 上运动时，三棱锥1A B PC -的体积不变D ．以点B为球心，2为半径的球面与面1AB C三、填空题13．若复数z 满足4z z ⋅=，则|3|z -的最小值为________．14．甲、乙独立地解决同一数学问题，甲解决这个问题的概率是0.8，乙解决这个问题的概率是0.6，那么其中至少有1人解决这个问题的概率是____________．15．如图，三棱台111ABC A B C -的上、下底边长之比为1:2，记三棱锥111C A B B -体积为1V ，三棱台111ABC A B C -的体积为2V ，则12V V =______．16．在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD -，并要求同学们将该四棱锥切割成三个小四棱锥.某小组经讨论后给出如下方案：第一步，过点A 作一个平面分别交PB ，PC ，PD 于点E ，F ，G ，得到四棱锥P AEFG -；第二步，将剩下的几何体沿平面ACF 切开，得到另外两个小四棱锥.在实施第一步的过程中，为方便切割，需先在模型表面画出截面四边形AEFG ，若35PE PB =，12PF PC =，则PG PD的值为___________.四、解答题17．把一个棋子放在△ABC 的顶点A ，棋子每次跳动只能沿△ABC 的一条边从一个顶点跳到另一个顶点，并规定：抛一枚硬币，若出现正面朝上，则棋子按逆时针方向从棋子所在的顶点跳到△ABC 的另一个顶点；若出现反面朝上，则棋子按顺时针方向从棋子所在的顶点跳到△ABC 的另一个顶点.现在抛3次硬币，棋子按上面的规则跳动3次.(1)列出棋子从起始位置A 开始3次跳动的所有路径（用△ABC 顶点的字母表示）；(2)求3次跳动后，棋子停在A 点的概率.18．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====,点D 是AB 的中点.（1）求证：1//AC 平面1CDB ；（2）求异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值．19．在直角梯形ABCD 中，已知//AB CD ，90DAB ∠=︒，224AB AD CD ===，点F 是BC 边上的中点，点E 是CD 边上一个动点.(1)若12DE DC = ，求AC EF ⋅的值；(2)求EA EF ⋅的取值范围.20．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.21．如图，在三棱柱111ABC A B C --中，90BAC ∠= ，2AB AC ==，14A A =，1A 在底面ABC 的射影为BC 的中点，D 为11B C 的中点.（1）证明：1A D ⊥平面1A B C ；（2）求二面角1A -BD-1B 的平面角的余弦值.22．如图：某公园改建一个三角形池塘，90C ∠=︒，2AB =百米，1BC =百米，现准备养一批观赏鱼供游客观赏.(1)若在ABC 内部取一点P ，建造APC 连廊供游客观赏，如图①，使得点P 是等腰三角形PBC 的顶点，且2π3CPB ∠=，求连廊AP PC PB ++的长（单位为百米）；(2)若分别在AB ，BC ，CA 上取点D ，E ，F ，并连建造连廊，使得DEF 变成池中池，放养更名贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得DEF 为正三角形，或者如图③，使得DE 平行AB ，且EF 垂直DE ，则两种方案的DEF 的面积分别设为2S ，3S 。
2021-2022学年湖南省师范大学附属中学数学高一第二学期期末经典试题含解析
2021-2022学年高一下数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．执行下图所示的程序框图，若输出的0y =，则输入的x 为（ ）A ．0B ．1C ．0或1D ．0或e2．已知()2,0A ,()0,2B ,从()1,0P 射出的光线经过直线AB 反射后再射到直线OB 上,最后经直线OB 反射后又回到P 点,则光线所经过的路程可以用对称性转化为一条线段,这条线段的长为( ) A ．10B ．3C 5D ．33．在正三棱锥P ABC -中，4,AB 3PA ==PA 与底面ABC 所成角的正弦值为（ ） A ．14B ．154C ．18D ．6384．已知1cos 32πα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则sin 6πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值等于 ( )A ．3B ．3C ．12D ．12-5．设α、β、γ为平面，为m 、n 、l 直线，则下列判断正确的是（ ） A ．若αβ⊥，l αβ=，m l ⊥，则m β⊥B ．若m αγ=，αγ⊥，βγ⊥，则m β⊥C ．若αγ⊥，βγ⊥，m α⊥，则m β⊥D ．若n α⊥，n β⊥，m α⊥，则m β⊥6．已知函数e 0()ln 0x x f x x x -⎧≤=⎨>⎩，，，，则1[()]3f f 的是A ．13B ．1eC ．eD ．37．若函数cos 0()(1)10x x f x f x x π-⎧=⎨++≤⎩，＞，，则4()3f -的值为（ ） A ．12-B ．12C ．32D ．528．设12,0,,22α⎧⎫∈-⎨⎬⎩⎭，则使函数y x α=的定义域是R ，且为偶函数的所有α的值是（ ） A ．0，2B ．0，-2C ．12D ．29．在区间[1,4]-内随机取一个实数a ，使得关于x 的方程2420x x a ++=有实数根的概率为（ ） A ．25B ．13C ．35D ．2310．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．8643π+B ．964(21)π+-C ．8643π-D ．4643π-二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021-2022学年重庆市永川中学校高一下学期第一次月考数学试题(解析版)
2021-2022学年重庆市永川中学校高一下学期第一次月考数学试题一、单选题1．若a R ∈，则2a =-是复数()()226a a a i +++-为纯虚数的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】根据纯虚数的概念和充分、必要条件的概念进行判定即可.【详解】设()2(2)6(2)(2)(3)z a a a i a a a i =+++-=++-+,当2a =-时4z i =-,是纯虚数，当z 为纯虚数时，()()20230a a a +=⎧⎨-+≠⎩，∴2a =-,故2a =-是复数()2(2)6a a a i ++--为纯虚数的充分必要条件.故选：C.2．已知a ，b 是不共线的非零向量，若()()2//2a kb a b -+，则实数k =（ ） A ．4- B ．1C ．1-D ．2【答案】A【分析】利用向量共线基本定理，可得()22a kb a b λ-=+，即2,2,k λλ=⎧⎨-=⎩求解即可【详解】由()()2//2a kb a b -+可知存在实数，使得()222a kb a b a b λλλ-=+=+，所以2,2,k λλ=⎧⎨-=⎩从而可得4k =-． 故选：A3．已知某圆柱的底面周长为12，高为2，矩形ABCD 是该圆柱的轴截面，则在此圆柱侧面上，从A 到C 的路径中，最短路径的长度为A ．210B ．25C ．3D ．2【答案】A【解析】由圆柱的侧面展开图是矩形，利用勾股定理求解． 【详解】圆柱的侧面展开图如图，圆柱的侧面展开图是矩形，且矩形的长为12，宽为2， 则在此圆柱侧面上从A 到C 的最短路径为线段AC ，2226210AC =+=.故选A ．【点睛】本题考查圆柱侧面展开图中的最短距离问题，是基础题．4．滕王阁，江南三大名楼之一，因初唐诗人王勃所作《滕王阁序》中的“落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色”而流芳后世.如图，若某人在点A 测得滕王阁顶端仰角为30︒，此人往膝王阁方向走了42米到达点B ，测得滕王阁顶端的仰角为45︒，则滕王阁的高度最接近于（ ）（忽略人的身高）（参考数据：3 1.732≈）A ．49米B ．51米C ．54米D ．57米【答案】D【分析】设滕王阁的高度为h ，由题设可得3tan 42h CAD h ∠==+，即可求滕王阁的高度. 【详解】设滕王阁的高度为h ，由题设知：45,30CBD CAD ∠∠=︒=︒， 所以BD CD h ==，则42AD AB BD h =+=+， 又3tan 42CD h CAD AD h ∠===+5731h =≈-米. 故选：D5．一个圆锥的表面积为5π，它的侧面展开图是圆心角为90︒的扇形，该圆锥的母线长为A ．83B ．4C ．D ．【答案】B【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，利用扇形面积公式和圆锥表面积公式，求出圆锥的底面圆半径和母线长．【详解】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l 它的侧面展开图是圆心角为90的扇形 22r l ππ=⋅∴ 4l r ∴=又圆锥的表面积为5π 2245r rl r r r πππππ∴+=+⋅=，解得：1r = ∴母线长为：44l r ==本题正确选项：B【点睛】本题考查了圆锥的结构特征与应用问题，关键是能够熟练应用扇形面积公式和圆锥表面积公式，是基础题．6．设向量a ，b 满足()1,3,0a a b a a b =+=⋅+=，则2a b -（ ）A ．2B ．C ．4D ．【答案】B【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得24,1b a b =-⋅=，从而求得2a b -的值． 【详解】解：∵()0a a b ⋅+=，1a = ∴21a a b =-⋅=∵向量a ，b 满足3a b += ∴2223a a b b +⋅+= ∴24b =则()2222244444a b a ba ab b -=-=-⋅+=++=故选B ．【点睛】本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模的方法，属于基础题．7．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马.若四棱锥P ABCD -为阳马，已知PA ⊥面ABCD ，PA AB AD ==四棱锥P ABCD -的顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．4πB ．5πC ．6πD ．7π【答案】C【分析】由题意，将四棱锥P ABCD -补形为正方体，则四棱锥P ABCD -外接球的直径即为正方体的体对角线长，最后根据球的面积公式即可得答案.【详解】解：由题意，因为PA ⊥面ABCD ，所以PA AB ⊥，PA AD ⊥，又AB AD ⊥，2PA AB AD ===，所以将四棱锥P ABCD -放置在如图所示的正方体中，则正方体的外接球即为四棱锥P ABCD -的外接球， 所以四棱锥P ABCD -的外接球直径为()()()22222226PC R ==++=所以球O 的表面积为246S R ππ==， 故选：C.8．设O 是ABC ∆的外心，满足11()22AO t AB t AC =+-，()t R +∈，若||||4AB AC ==，则ABC ∆的面积是 A ．4 B ．3C ．8 D ．6【答案】B【分析】取AC 中点D,由AO AD DO =+以及题设条件得到8AO AC ⋅=，计算11()22AO AC t AB AC t AC AC ⋅=⋅+-⋅，得到3sin BAC ∠.【详解】取AC 中点D ，因为O 是ABC ∆的外心，所以DO AC ⊥()21=82AO AC AD DO AC AD AC AC ⋅=+⋅=⋅=11()22AO t AB t AC =+-21111()cos ()82222AO AC t AB AC t AC AC t AB AC BAC t AC ∴⋅=⋅+-⋅=⋅∠+-=则111cos ()168226BAC t t ∠+-⨯= ，解得：1cos 2BAC ∠=所以3sin BAC ∠= 即13sin 44432212ABCS AB AC BAC ∆故选：B【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积运算以及三角形外心的知识，属于中档题.二、多选题9．已知i 为虚数单位，复数322iz i+=-，则以下真命题的是（ ） A ．z 的共轭复数为4755i-B ．z 的虚部为75i C ．3z = D ．z 在复平面内对应的点在第一象限【答案】AD【分析】先利用复数的除法、乘法计算出z ，再逐项判断后可得正确的选项. 【详解】()()32232474725555i i i i iz i ++++====+-，故4755i z =-，故A 正确.z 的虚部为75，故B 错，1649653z +==≠，故C 错， z 在复平面内对应的点为47,55⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确.故选：AD.【点睛】本题考查复数的概念、复数的运算以及复数的几何意义，注意复数(),z a bi a b R =+∈的虚部为b ，不是bi ，另外复数的除法运算是分子分母同乘以分母的共轭复数. 10．已知向量(cos ,sin )a αα=，(2,1)b =，则下列命题正确的是（ ） A ．||a b -51B ．若||||a b a b +=-，则1tan 2α=C ．若e 是与b 共线的单位向量，则255(,5e = D ．当()f a b α=⋅取得最大值时，1tan 2α=【答案】AD【分析】设(cos ,sin )OA a ==αα，(2,1)OB b ==，利用向量的减法的几何意义可判定A ；利用向量的数量积运算法则转化为2cos sin 0a b ⋅=+=αα，可判定B ；根据与b 共线的单位向量有两个相反的方向，可以否定C ；利用向量的数量积等于一个向量的模与另一个向量在第一个向量上的投影的乘积，转化为求何时向量(cos ,sin )a αα=在向量(2,1)b =上的投影最大，利用向量共线且方向相同的坐标表示即可判定D.【详解】∵22cos +sin =1a =αα，∴(cos ,sin )a αα=是单位向量，设(cos ,sin )OA a ==αα，(2,1)OB b ==，则||||||||15a b AB OA OB -=≤+=+，当(cos ,sin )a αα=，(2,1)b =方向相反，即cos 2sin 0αα=<时取等号，∴||a b -的最大值为51+，故A 正确；||||a b a b +=-等价于()()22a ba b +=-即222222a b a b a b a b ++⋅=+-⋅，即2cos sin 0a b ⋅=+=αα，∴1tan 2α=-，故B 错误；与b 共线的单位向量为(2,1)255,555b b⎛⎫±=±=± ⎪ ⎪⎝⎭，故Ｃ错误； ()f a b α=⋅最大，当且仅当向量(cos ,sin )a αα=在向量(2,1)b =上的投影最大，即向量(cos ,sin )a αα=与(2,1)b =同向，亦即cos 2sin 0αα=>，此时1tan 2α=，故D 正确. 故选：AD11．三角形ABC 中，P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =，点M 、N 在过点P 的直线上，若AM mAB =，AN nAC =，()0,0m n >>，则下列结论正确的是（ ）A ．12m n+为常数 B ．2m n +的最小值为3 C ．m n +的最小值为169D ．2211m n +的最小值为95 【答案】ABD【分析】利用三点共线可得12133m n+=，然后利用基本不等式和构造二次函数，即可判断正误. 【详解】解：对于A ：P 是斜边BC 上一点，且满足2BP PC =， 则1233AP AB AC =+， 若AM mAB =，AN nAC =，则1233AP AM AN m n=+，又由M 、P 、N 三点共线，可得12133m n+= 所以123m n+=，故12m n +为常数，A 选项正确；对于B ：11212212(2)5523333m n m n m n m n n m ⎡⎛⎫⎡⎤+=++=++≥+=⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣，当且仅当22m nn m=，即1m n ==时等号成立，则2m n +的最小值为3，B 选项正确；对于C ：112121()33213333m n m n m n m n n m ⎡⎛⎫⎡⎤+=++=++≥+=+⎢ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣当且仅当n =时等号成立，C 选项错误； 对于D ：11120,0,3m n m n>>+=， 121330,02m n n ∴=-><<，2222221*********(3)51295555m n n n n n n ⎛⎫+=-+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭， 即当16123,355n m n ==-=时，2211m n +的最小值为95，D 选项正确；故选：ABD.12．在ABC 中，D 在线段AB 上，且5AD =，3BD =.若2CB CD =，1cos 4CDB ∠=-，则（ ）A ．3sin 10CDB ∠=B ．ABCC ．ABC 的周长为12+D ．ABC 为钝角三角形【答案】CD【分析】由已知结合余弦定理，同角平方关系及三角形的面积公式分别判断各选项即可．【详解】由1cos 4CDB ∠=-可得sin CDB ∠=，故A 错误；设CD x =，2CB x =，在△CBD 中由余弦定理可得，2219446x x x+--=，整理可得，2260x x --=， 解可得，2x =，即2CD =，4CB =， 所以115115325221522ABC BCD ADC S S S =+=⨯⨯⨯⨯=△△△B 错误； 由余弦定理得222222cos 22BC BD CD BC AB AC B BC BD BC AB +-+-==⋅⋅, 即216941664234284AC +-+-=⨯⨯⨯⨯，解得26AC =故周长84261226AB AC BC ++=+++C 正确； 由余弦定理可得，6cos 02426C =⨯⨯， 故C 为钝角，D 正确， 故选：CD ．【点睛】本题综合考查了余弦定理，三角形的面积公式及同角平方关系的应用，属于中档题．关键在于熟练云用余弦定理进行计算.三、填空题13．在解三角形时，往往要判断三角形解的情况，现有△ABC 满足条件：边20c =，角60B =︒，我想让它有两解，那么边b 的整数值我认为可取______（只填符合条件的一种即可） 【答案】18或19【分析】在三角形中，已知其中一边和其中一角，根据几何关系得出另一边和已知边和角的关系，求出b 的取值范围，即可求出b 的整数值 【详解】解：由题意，在△ABC 中，20c =，60B =︒，b 为整数，∵三角形有两解， ∴sin c b c B >>即2020sin 60b ，解得：10320b，∴b 的整数值为18或19. 故答案为：18或19.14．复数z 满足34i 2z ++=，则z z ⋅的最大值是______． 【答案】49【分析】利用复数z 的几何意义，得到复数z 对应的图形，由图形求出z z ⋅的最大值.【详解】解：设复数z 在复平面内对应的点坐标为(),Z a b ，复数z 满足34i 2z ++=，则z 的几何意义为复平面内到点()3,4--的距离为2的点的集合，即以()3,4--为圆心，以2为半径的圆. 2z z z ⋅=，其几何意义为复平面内点Z 到原点距离的平方，所以z z ⋅的最大值为圆心到原点的距离加半径的平方，即()22234249z z ⋅=++=.故答案为：4915．如图，点O 为ABC 内一点，且0OA OB OC ++=，0OA OB ⋅=，2AB =，则CA CB ⋅=______【答案】8【分析】由0OA OB OC ++=，知点O 为ABC 的重心．连接CO 并延长，交AB 于点D ，可得CO 和OD 的长，又·()?()CA CB CO OA CO OB =++，利用平面向量的数量积公式计算即可得解． 【详解】解：由0OA OB OC ++=，所以点O 为ABC 的重心．连接CO 并延长，交AB 于点D ．又0OA OB ⋅=，所以OA OB ⊥． 在Rt ABO △中，112OD AB ==，所以22CO OD ==． ()()()222448CA CB CO OA CO OB CO CO OA OB OA OB CO CO OD ⋅=+⋅+=+⋅++⋅=+⋅=+=故答案为：8.四、双空题16．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，满足sin 2sin sin A B C =，则c bb c +的最大值为______，此时内角A 的值为______ 【答案】 22π4【分析】由正弦定理可得22sin a bc A =，结合余弦定理和辅助角公式、正弦函数的最值，可得所求角．【详解】解：由sin 2sin sin A B C =，根据正弦定理sin sin sin a b cA B C==，可得22sin a bc A =，再由余弦定理得222cos 2b c a A bc+-=，则()222cos sin b c bc A A +=+，所以()()222cos sin π2sin cos 24bc A A c b b c A A A b c bc bc ++⎛⎫+===+=+ ⎪⎝⎭，又()0,πA ∈，当π4A =时，πsin()4A +取得最大值1，则b c c b +取得最大值故答案为：π4五、解答题17．已知向量()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---.（1）若//AB BC ，求实数m 的值；（2）若AB AC ⊥，求实数m 的值.【答案】（1）12m =；（2）74m =. 【解析】（1）计算出AB 和BC 的坐标，利用//AB BC 得出关于实数m 的等式，解出即可； （2）求出AC 的坐标，由AB AC ⊥，可得出0AB AC ⋅=，利用向量数量积的坐标运算可得出关于实数m 的等式，解出即可.【详解】()()()6,33,43,1AB OB OA =-=---=，()()()5,36,31,BC OC OB m m m m =-=-----=---，//AB BC ，31m m ∴-=--，解得12m =； （2）()()()5,33,42,1AC OC OA m m m m =-=-----=--，AB AC ⊥，()()3211740AB AC m m m ∴⋅=⨯-+⨯-=-=，解得74m =. 【点睛】本题考查利用向量平行与垂直求参数，同时也考查了平面向量的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.18．已知复数()2i z a a =-∈R ，且()12i z -为纯虚数.（1）求复数z ；（2）若3iz ω=+，求复数ω及其模ω.【答案】（1）2i z =-；（2）11i 22ω=-，2ω=. 【分析】（1）先求出()12i z -，再由复数为纯虚数的条件求解即可；（2）先求出ω，再由模的公司求解即可【详解】（1）将2i z a =-代入()12i z -得()()()()12i 12i 2i 224i z a a a -⋅=--=--+，∵()12i z -为纯虚数，∴22040a a -=⎧⎨+≠⎩， 解得1a =，所以复数2i z =-.（2）由（1）知2i z =-， ()()()()2i 3i 2i 55i 1i 3i 3i 3i 3i 10221z ω----=====-+++-， 22112222ω⎛⎫⎛⎫=+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 19．已知在直角三角形ABC 中，AC BC ⊥，2,tan ABC 22BC =∠=（如右图所示）（Ⅰ）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，试说明所得几何体的结构特征并求所得几何体的表面积.（Ⅱ）一只蚂蚁在问题（Ⅰ）形成的几何体上从点B 绕着几何体的侧面爬行一周回到点B ，求蚂蚁爬行的最短距离.【答案】（Ⅰ）几何体为以2BC =为半径，高42AC =16π（Ⅱ）3【分析】（Ⅰ）若以AC 为轴，直角三角形ABC 旋转一周，形成的几何体为以2BC =为半径，高42AC =（Ⅱ）利用侧面展开图，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B 的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B 到点1B 的距离，代入数值，即可求出结果．【详解】解：（Ⅰ）在直角三角形ABC 中，由2,tan ABC 22BC =∠=即tan ABC 22AC BC∠==42AC =AC 为轴旋转一周， 形成的几何体为以2BC =为半径，高42AC =则()222426AB =+=，其表面积为212226162S πππ=⨯+⨯⨯⨯=. （Ⅱ）由问题（Ⅰ）的圆锥，要使蚂蚁爬行的最短距离，则沿点B 的母线把圆锥侧面展开为平面图形（如图）最短距离就是点B 到点1B 的距离，122263BAB ππ⨯∠==， 在1ABB ∆中，由余弦定理得：221266266cos33BB π=+-⨯⨯⨯=【点睛】本题考查了圆锥的表面积以及侧面展开图的应用，考查了学生的空间想象能力，属于基础题．20．在①2cos (cos cos )A c B b C a +=，3cos b c C C a++=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．问题：在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且________．(1)求角A ；(2)若O 是ABC 内一点，120,150,1,3∠=︒∠=︒==AOB AOC b c ，求tan ABO ∠．【答案】(1)60︒；3【分析】（1）若选条件①，利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，即可求出A 的值；若选条件②，利用利用正弦定理边化角公式以及两角和的正弦公式进行化简，3cos 1A A -=，再利用辅助角公式得1sin(30)2A -︒=，结合三角形中0180A <<︒︒，从而可求出A 的值；（2）结合题中条件及三角形内角和得出OAC ABO ∠=∠，利用正弦定理、两角和与差的正弦公式和同角三角函数关系，即可求出tan ABO ∠的值.【详解】（1）解：若选条件①：2cos (cos cos )A c B b C a +=，整理得：2cos (sin cos sin cos )sin +=A C B B C A ，则()2cos sin sin A B C A +=，即2cos sin sin A A A =，又0180A <<︒︒，sin 0A >，所以1cos 2A =， 所以60A =︒； 若选条件②：3sin cos b c C C a ++=， 整理得：sin sin 3sin cos sin B C C C A++=， 所以3sin sin cos sin sin()sin C A C A A C C +=++，化简得：(3sin cos )sin sin A A C C -=，又0180C ︒<<︒，sin 0C >，所以3sin cos 1A A -=，故1sin(30)2A -︒=，由于0180A <<︒︒，所以60A =︒．（2）解：由于60A OAC OAB ∠=∠+∠=︒，18012060OAB ABO ∠+∠=︒-︒=︒， 所以OAC ABO ∠=∠，在ABO 中，3sin sin120AO ABO =∠︒， 所以23sin AO ABO =∠，在ACO △中，1sin150sin sin(30)AO AOACO ABO ==︒∠︒-∠，所以2sin(30)AO ABO =︒-∠，2sin(30)23sin ABO ABO ︒-∠=∠， 整理得：cos 33sin ABO ABO ∠=∠，故3tan 9ABO ∠=． 21．如图，四边形ABCD 的四个顶点共圆，5cos 13ABD ∠=，14AB =，15AD =.（1）求BD 和sin A 的值；（2）求四边形ABCD 的周长的最大值.【答案】（1）13BD =，4sin 5A =；（2）29+【解析】（1）在ABD △中利用余弦定理可求得BD ，再利用正弦定理可求得sin A ；（2）求四边形ABCD 的周长的最大值，即求BC CD +的最大值，在BCD △中，利用余弦定理得到BC 与CD 关系式，利用基本不等式求最值，即可求得四边形周长的最大值.【详解】（1）在ABD △中，5cos 13ABD ∠=，14AB =，15AD = 利用余弦定理：22222214155cos 221413AB BD AD BD ABD AB BD BD +-+-∠===⋅⨯⋅，解得13BD =或2913BD =-（舍去）在ABD △中，5cos 013ABD ∠=>，可知02ABD π<∠<，则12sin 13ABD ∠= 利用正弦定理知sin sin AD BD ABD A =∠，即1513sin 1213A =，解得4sin 5A = 所以13BD =，4sin 5A =. （2）由四边形ABCD 的四个顶点共圆，可知A C π+=，即4sin 5C =， 又由（1）知，BD AB AD <<，即A 为ABD △中最小角，则2C ππ<<，所以3cos 5C =- 在BCD △中， 利用余弦定理：2222223513cos 22BC CD BD BC CD C BC CD BC CD +-+-===-⋅⋅， 整理得：()2221696964551BC CD BC CD BC CD BC CD +⋅=⇒+-⋅=+ 利用基本不等式得：()()2216944554BC CD BC CD BC CD +⨯+-=⋅≤即()216945BC CD +≤，解得0BC CD <+≤，当且仅当BC CD =时，等号成立.所以四边形ABCD 的周长的最大值为：141529+= 【点睛】关键点睛：本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，求四边形周长的最值，解题的关键是利用四边形外接圆找的A C π+=，从而求出cos C ，再利用余弦定理结合基本不等式求最值，考查学生的转化能力与运算解能力，属于中档题.22．某农场有一块等腰直角三角形的空地ABC ，其中斜边BC 的长度为400米，为迎接“五一“观光游，欲在边界BC 上选择一点P ，修建现赏小径PM ，PN ，其中M ，N 分别在边界AB ，AC 上，小径PM ，PN 与边界BC 的夹角都是60°，区域PMB 和区域PNC 内种植郁金香，区域AMPN 内种植月季花，(1)探究“赏小径PM ，PN 的长度之和是否为定值?请说明理由(2)为深度体验观赏，准备在月季花区域内修建小径MN ，当点P 在何处时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最小?(3)求郁金香区域面积之和的最小值.【答案】(1)400(31);(2)P 点是MN 的中点，31)； (3)20000(33).【分析】(1)在BPM △和CPN △中分别利用正弦定理即可求得PM 与PN 的长度之和；(2)在PMN 中利用MN 边的余弦定理，再根据两边的积与和的基本不等式求解即可；(3) 由（1）可知PM ＝(31)PB ，31)PN PC =，进而表达出BPM S △与CPN S，并利用PB +PC =BC 为定值，利用基本不等式求解即可.【详解】（1）解：在BPM △中，BMP ∠＝180°－60°－45°＝75°， 由正弦定理可得：sin sin PM PB B BMP=∠∠， 即sin 45sin 75PB PM ︒⋅=︒2226PB +＝(31)PB ， 同理可得(31)PN PC =， 所以(31)()PM PN PC PB +=+＝(31)31)BC =为定值；（2）解：在PMN 中，由余弦定理可得：2222cos60MN PM PN PM PN =+-⋅︒， 即2222()()3()34PM PN MN PM PN PM PN PM PN +=+-⋅≥+-⨯， 所以22()4PM PN MN +≥，2PM PN MN +≥，又由（1）有PM PN +＝1)，故1)MN ≥，当且仅当1)PM PN ==时等号成立.故当P 点是MN 的中点时，三条小径（PM ，PN ，MN ）的长度之和最小，最小为1)；（3）解：由（1）可知PM ＝1)PB ，故1sin 602BPM S PB PM =⋅⋅⋅︒21)PB ，同理可得：21)CPN SPC =，所以BPM CPN S S +221)()PB PC +＝2)2]PB PC PB PC +-⋅22())2]4PB PC PB PC +≥+-⨯2)PB PC +＝2＝20000(3.当且仅当PB =PC =200时取得最小值20000(3.。
河南省洛阳市第一高级中学2020-2021学年高一下学期5月月考数学试题+PDF版含答案
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
的值转化为求 n 个一次多项式的值．已知 f（x） ．
15．设 O 为△ABC 内部的一点，且
＝ ，则△AOC 的面积与△BOC 的面积之比为
．
16．已知锐角△ABC，且 tanA+tanB＝3tanAtanB，则 tanA•tanB•tanC 的最小值为
．
三．解答题（共 6 小题，第 17 题 10 分，其他小题每小题 12 分）
值作代表）．
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18．已知圆 C 经过点 A（2，﹣1），和直线 x+y﹣1＝0 相切，且圆心在直线 y＝﹣2x 上． （1）求圆 C 的方程； （2）已知直线 l 经过（2，0）点，并且被圆 C 截得的弦长为 2，求直线 l 的方程．
19．已知四棱锥 P﹣ABCD 的底面为平行四边形，平面 PBC⊥平面 ABCD，点 E 在 AD 上，AD⊥平面 PEC． （1）求证：PC⊥平面 ABCD； （2）若 AE＝2ED，在线段 PB 上是否存在一点 F，使得 AF∥平面 PEC，请说明理由．
22．已知函数
．
（1）求函数 f（x）在区间
上的值域；
（2）求函数 f（ωx）（ω＞0）图象上的所有点向右平移 个单位长度，再将各点的横坐标缩短到原来
的 倍（纵坐标不变），得到函数 g（x）的图象，若
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2021年高一下学期数学综合训练（五）含答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列命题正确的是（）
A．小于的角一定是锐角
B．终边相同的角一定相等
C．终边落在直线上的角可以表示为，
D．若,则角的正切值等于角的正切值
2.某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的中年职工为5人，则样本容量为（）
A.7
B.15
C.25
D.35
3.已知向量若∥，则实数的值是（）
A．B．C．D．
4.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再将所得的图象向左平移个单位，得到的图象对应的僻析式是（）
A． B． C. D.
5.平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，设，，则下列表示正确的是( )
A. B. C. D.
6.若，则的值为（）
Ａ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．
7.直线被圆截得的弦长为，则实数的值为（）
A.或
B.或
C.或
D.或
8.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出
s的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．3
9.已知函数，其图象的一条对称轴
是，则的取值为( )
A ．
B ．
C ．
D ．
10.如图是函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象的一段，它的解析式为()
A ． B.
C. D
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11.的夹角为，，则 .
12.扇形的周长为10cm ，面积为4cm 2，则扇形的圆心角弧度数为 ．
13.已知tan x ＝2，则的值为_______________.
14.设向量(cos25°,sin25°),=(sin20°,cos20°),若t 为实数，且，则的最小值为
15.在下列结论中：
①函数（k ∈Z ）为奇函数；
②函数对称；
③函数ππ3
2)32cos(-=+
=x x y 的图象的一条对称轴为； ④若
其中正确结论的序号为 （把所有正确结论的序号都．
填上）
三.解答题（解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤）
16.已知=，= ，=，设是直线上一点，是坐标原点
⑴求使取最小值时的；
⑵对（1）中的点，求的余弦值。
17.甲乙两人各有个材质、大小、形状完全相同的小球，甲的小球上面标有6，7，8，9，10五个数字，乙的小球上面标有1，2，3，4，5五个数字.把各自的小球放入两个不透明的口袋中，两人同时从各自的口袋中随机摸出个小球.规定：若甲摸出的小球上的数字是乙摸出的小球上的数字的整数倍，则甲获胜，否则乙获胜.
(1)写出基本事件空间；
(2)你认为“规定”对甲、乙二人公平吗？说出你的理由.
18.已知A、B、C三点的坐标分别是，其中．
（1）若，求的值；（2）若，求的值．
19.某校高三（1）班的一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的破坏，
但可见部分如下，据此解答如下问题：
（Ⅰ）求全班人数；
（Ⅱ）求分数在之间的试卷中任取两份分析学生失分情况，在抽取的试卷中，求至少有一份分数在之间的概率．
20.设函数 (其中＞0,),且的图象在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为.
（1）求的最小正周期；
（2）如果在区间上的最小值为，求a的值.
21.已知向量=，=，=，其中.
(1)若，求函数的最小值及相应的的值；
(2)若与的夹角为，且⊥,求的值.
高一数学综合训练(5)
一、DBDCD CDBCA
二、11. 7 12. 13. 14. 15.①③④
三、16.（1）设，则，由题意可知 又。
所以 即，所以， 则2)2(512205)1,25()7,21(22+-=+-=--•--=•y y y y y y y MB MA ，
当时，取得最小值，此时，即。
（2）因为17
174234)
1,1()5,3(||||cos -=⨯-•-==∠MB MA AMB 。
17. 解：（1）用表示发生的事件，其中甲摸出的小球上的数字为，乙摸出的小球上的数字为.则基本事件空间:
)}.
5,10(),5,9(),5,8(),5,7(),5,6(),4,10(),4,9(),4,8(),4,7(),4,6(),3,10(),3,9(),3,8(),3,7(),3,6(),2,10(),2,9(),2,8(),2,7(),2,6(),1,10(),1,9(),1,8(),1,7(),1,6{(=Ω ----4分
（2）由上一问可知，基本事件总数个，设甲获胜的事件为,它包括的基本事件有)}.5,10(),4,8(),3,9(),3,6(),2,10(),2,8(),2,6(),1,10(),1,9(),1,8(),1,7(),1,6(共含有基本事件个数.-------------------------8分
所以.------------------------10分
乙获胜的概率.显然.
所以，乙获胜的概率大，这个规定是不公平的. -----12分
18.解：（1）．
，．
，
，
，
．
，
．…………… 5分
（2）由（1）
知
=，
，
，…8分
．
平方，得，…10分
222sin sin 22sin 2sin cos 2sin (sin cos )52sin cos sin cos sin 1tan 91cos cos αααααααααααααααα
+++∴====-+++…12分. 19.解：（Ⅰ）由茎叶图知：分数在之间的2个分数编号为5，6．
则在之间的试卷中任取两份的基本事件为：（1，2），（1，3），（1，4）， （1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5）， （3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15个．
至少有一个在之间的基本事件有9个，
∴至少有一份分数在之间的概率是．
20.解：（1）
＝＝，
∵的图象在y 轴右侧的第一个高点的横坐标为，
，；
所以
（2）由（1）的，
，，
∴当时，取最小值，
∴在区间的最小值为，
，
21.解：∵,,.
∴·ααcos sin 2cos sin sin cos 2sin cos x x x x x x +++=
.---------------2分
令sin cos )()44t x x x x ππ
π=+=+<<，
则,且
∴，.
当时，，此时.---------6分
即，,
∵ ∴.
∴，即.
所以函数的最小值为，相应的的值为.---------------8分
（2）∵与的夹角为, ∴cos cos cos sin sin cos()3||||
a b x x x a b π
ααα⋅==+=-. ∵，∴.
∴. -----------10分
∵⊥，∴0)cos 2(cos sin )sin 2(sin cos =+++ααααx x .
化简得. --------12分
代入得02cos 2
32sin 252sin 2)32sin(=+=++αααπ
α, ∴. ---------14分
J40202 9D0A 鴊37969 9451 鑑8 C3 36352 8E00 踀L 29655 73D7 珗34844 881C 蠜C。