高中数学竞赛专题讲座---数列与和式不等式(1)

数列与和式不等式数列与和式不等式的解题方法需要同学们深入了解，在解题过程中，往往要利用一些恒等式、变换法等方法对数列和式进行变形，并结合数列求和等相关知识，灵活运用各种技巧．尤其当涉及到整数命题的证明，有时候也可以考虑用归纳法进行证明，当然在证明过程中，解题方法并非千篇一律，而是灵活多变，根据具体题意可以寻找恰当的解法，二者之间的紧密结合，也在竞赛中作为考察学生的重要题型之一，下面通过例题简要介绍几种解题方法与技巧：例1 已知i x R ∈(1,2,,,2)i n n =≥，满足11||1,0n ni i i i x x ====∑∑．求证：11122ni i x i n =≤-∑ 证：设11,nnii i i x x A B a b i===+=+∑∑，其中,A a 为正项之和，,B b 为负项之和，由题意知， 0,1A B A B +=-=，得12A B =-=,因为,A B a A B b n n ≤≤≤≤，所以A B B a b A n n+≤+≤+, 即11111()2222n i i x n i n =--≤≤-∑，也就是11122ni i x in =≤-∑ 说明：本题通过设元，将数列拆分成正负两部分，然后运用不等式相关知识，很自然过渡到绝对值不等式．例2 设1112n a n =+++，*n N ∈，求证：对2n ≥，有2322()23nn a a a a n>+++． 证：2222122211111111(1)(1)2(1)221211211()2.n n n n a a n n n n n a a n n n n n--=+++-+++=+⋅+++--=+-=⋅-故223212221112()()2323n n a a a a a n n -=+++-+++.所以 2332222233221111112()(1)2()(1)2323231223(1)12()2().2323n n n n n a a a a a a a n n n n na a a a a a n n n=++++---->++++----⨯⨯-=++++>+++ 说明：本题若通过n a 表达式来证明将非常复杂，可以考虑通过建立递推关系，使问题很容易得到解决．例3 无穷正实数列{}n x 有以下性质：011,(0)i i x x x i +=≤≥(1) 试证：对具有上述性质的任一数列，总能找到一个1n ≥，使下式成立22201112 3.999nnx x x x x x -+++≥ (2) 寻找这样一个数列，使得下列不等式222011124nnx x x x x x -+++<对任一n 成立. 证：（1）32222222222222010210301111112121122121111122112422222313121222.n n n n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x xx x x x ----------++++++----+++≥++++≥++++≥+++++≥≥+≥=2122lim 24n n --→∞=，因此必存在足够大的n 使得222011123.999nn x x x x x x -+++≥. （2）取无穷递缩等比数列12nn x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2222011121121422n n n x x x x x x --⎛⎫+++=++++< ⎪⎝⎭.( 0,1,2,n =)说明：该题用到了数列极限的思想，运用放缩法，通过步步缩小，得到新数列之和恒比一极限为4的数列大，从而得证．例4 设12,,a a 是正实数列，且对所有,1,2,i j =，满足i j i j a a a +≤+．求证：对于正整数n ，有32123nn a a a a a n++++≥ 证：记12,1,2,,i n s a a a i n =+++=，约定00s =，则112()()i i i s a a a a =++++1i ia +≥11111111111111111111()()122111111.2212nn n n i i i i i n ni i i i n ni i n n i i a s s ia s s s s i n i i n i i n a a s s s i n i n --+====-+==-∴==-+≥+-+++=+⋅+=⋅++∑∑∑∑∑∑1122211()()2ni n n n n n n n i a n n s s a a a a a i n n n n-=-+∴≥=+≥+=>∑,原不等式成立． 方法二：对n 用数学归纳法．当1n =时，11a a ≥，不等式显然成立．假设当1,2,,1n k =-时不等式成立，即有11221211221k k a a a a a a a a a k --≥⎧⎪⎪+≥⎪⎨⎪⎪+++≥⎪-⎩ 相加得121121(1)(2)((1))21k k a a k a k k k a a a k ---+-++--≥+++-，即121121112211()2()()()()21k k k k k k k a a k a a a a a a a a a a ka a k -----+++≥+++=++++++≥--整理得212k k a aa a k +++≥，得原不等式成立．说明：本题在证法1中采用了Abel 变换法，将和式进行转化，得到需要的形式，然后加以证明．另外，在证明数列求和不等式的时候，因是涉及到自然数的命题，我们也可以多考虑应用数学归纳法. 例5 设12,,,(2)n a a a n ≥是n 个互不相同的实数，22212n S a a a =+++，21min ()i j i j nM a a ≤<≤=-,求证:2(1)12S n n M -≥ 证：不妨设12n a a a <<<，则1(11)i i a a i n +-≥≤≤-,令i a 中的第一个非负数为k a （若所有0i a <，则取k n =）,令min{k k b a =,((1)i k b b i k i n =+-≤≤,则对i k <有0i i a b ≤≤，对i k >有0i i a b >≥，所以对一切i 均有||||i i b a ≤，再令11(122ni ki b b b n k n===++-∑，则22222211111221122211[()][()]()1[((1212[(12)]21(1)(1)(1).412n n n nn i i i i i i i i i i n nk k i i nni i a b b b b b b nb b b SM M M M M M b i k b n k i k n k M n n i n i n =========-+-+-=≥==≥+--+-==--+--=-+++=∑∑∑∑∑∑∑∑∑说明：将数列进行排序，化无序为有序，构造新的数列帮助解题． 例6 设*n N ∈，00,0(1,2,,)i x x i n =>=，且11ni i x ==∑，求证：11112nii i i i nx x x x x π=-+≤<+++++证：01101111(1)()[(1)()] 1.2ni i i n i i i n i x x x x x x x x x x -+-+=++++++≤+++++++=∑∴11(1)ii i i i i nx s x i n x x x x -+=≥≤≤+++++,故111nni i i i s s x ===≥=∑∑，不等式右边得证．又因为0101,0,1,2,,,i x x x i n ≤+++≤=令01arcsin()[0,],0,1,2,,,2i i x x x i n πθ=+++∈=01202n πθθθθ=<<<<=,而且011011sin ,sin i i i i x x x x x x θθ--=+++=+++,∴111sin sin 2cos sin,1,2,,.22i i i i i i i x i n θθθθθθ---+-=-== ∵1112coscoscos 22i i i i θθθθ---+<=, 且在[0,]2πθ∈时，tan sin θθθ>>，∴11112cos ()cos (),1,2,,2i i i i i i i x i n θθθθθθ-----<⋅=-=∴11cos ii i i x θθθ--<-,故10111()cos 2n ni i i n i i i x πθθθθθ-==-<-=-=∑∑,而21cos )i i x θ-==++11i i i n x x x x -+++⋅+++,∴2s π<.说明：本题采用的是三角代换法，将其中的一个算式用反三角函数代替，利用三角函数之间的转化关系，达到证明的目的．例7 设12,,,n a a a 为正实数列，且满足1212111n na a a a a a +++=+++． 求证：121111111n n a n a n a +++≥-+-+-+证：令1,1,2,,,1i ib i n n a ==-+则11i b n <-，且1(1),1,2,,.i i i n b a i n b --==故条件转化为111(1)1(1)nni ii i i in b b b n b ==--=--∑∑,下面用反证法，假设121n b b b +++<. （1）由柯西不等式，得21(1(1))(1)1(1)jj ij ijn b n n b≠≠--⋅≥---∑∑,由（1），(1(1))(1)jjj in b n b ≠--<-∑，∴111(1)j i j i n n b b ≠-<--∑,故1(1)1(1)(1)1(1)i i j i ji n b n b n n b b ≠---->-⋅--∑,上式对1,2,,i n =求和，有111(1)1(1)(1)1(1)nni ii j i i j i n b n b n n b b =≠=---->---∑∑∑, （2） 由（1）得，(1(1))(1)i j i j n b b n ≠--<-∑,由（2）可得， 111(1)(1)(1)1(1)nnjii i ji b n b n n n b b ==--->---∑∑,矛盾！∴121111111nn a n a n a +++≥-+-+-+.说明：当问题从正面入手难以解决时，可考虑用反证法，反正假设就相当于又多了一个条件，更如意入手解决．例8 设{}(1)k a k ≥是一个正实数数列，存在一个常数k ，使得2222121n n a a a ka ++++<,（对所有1n ≥）．证明：存在一个常数c ，使得：121n n a a a ca ++++<（对所有1n ≥）．证：考查不等式链22222212121()()n n n a a a t a a a c a ++++<+++<，其中，1222212()nn t a a a tk a ++++<⋅，故只需取2tk c =即可（t 为一参数）. 设命题i P 为：22221212()()i i a a a t a a a +++<+++,设命题i Q 为：121i i a a a ca ++++<.当1i =时，欲使1P 成立，可取1t >．现在设命题k P 成立，即 22221212()()k k a a a t a a a +++<+++于是，由不等式链，得11222212()k k k a a a tka c a +++++<=，即 121k k a a a ca ++++<因此k P 成立⇒k Q 成立．我们希望证明：若k Q 成立⇒1k P +成立，即由121k k a a a ca ++++<⇒2222121121()()k k a a a t a a a +++++<+++,上述不等式成立，仅需22111212()k k k k a a a a a ta +++++++<，即12112k k t a a a a +-+++<，故取12t c -=即可满足要求． ∴21122c t k c --==，化简得220c kc k --=,取c k =21c t k =>符合条件，进而由归纳法原理知结论成立．说明：本题运用了数学归纳法的另一种形式，即螺旋归纳法：设(),()p n Q n 是两列关于正整数n 的命题，如果：（1）命题(1)P 成立；（2）对任何正整数k ，若命题()P k 成立，则命题()Q k 成立；若命题()Q k 成立，则命题(1)P k +成立．那么对于所有正整数n ，命题(),()p n Q n 都成立． 强化练习： １．设1111,223n S n n=++++>，证明：(1)(1)a b n n n n S n n n +-<<--，其中a 和b 满足1an =和(1)1b n -=-.证：1111341341(11)(1)(1)2(2)22323(1).nn nn n n S n n n n n n +++=++++++=++++>⨯⨯⨯⨯=+111111121121(11)(1)(1)(1)()(1).22323n n n n n n S n n n n n n-----∴-=-+-++-=+++>-⨯⨯⨯=-得证．2．设0(1,2,,)i a i n ≥=，12min{,,,}n a a a a =，试证：2211111()1(1)nni ii i i a n a a a a ==++≤+-++∑∑，其中11n a a +=证：11111111111111122121111111(1)1111111()()()()(1)(1)(1)(1)(1)nn n n n n ni i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i nn n i i i i i i i i i i i i a a a a a a a a a a a an a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ++=======+++++++===++++------=-==-=-+++++++----=≤≤+++++∑∑∑∑∑∑∑∑∑.∑3．设{}n a 为有下列性质的实数列：0121n a a a a =≤≤≤≤≤， （1） 又{}n b 是由下式定义的数列：11(1)1,2,3,nk n k k a b n a -==-=∑ （2） 求证：（1）对所有的1,2,3,n =，总有02n b ≤<;（2）对02c ≤<的任一c 总存在一个具有性质（1）的数列{}n a ，使得由（2）导出的数列{}n b 中有无限多个下标n 满足n b c >．证：（1）11111(1())k k k k k k a a a a a a ----=-==<111(12 2.nnk n k k ka b a -==∴=-<⋅<=∑∑（2）kd =，则当01d <<时条件（1）满足．又和式n b 中第k 项是2(1)22(1)(1)k k k kd d d d d ----=-, 122211(1)(1)(1)(1)(1),1n nnkkn n k k d d b d d d d d d d d d +==-=-=-=-=+--∑∑现在要求对无穷多个n ，(1)(1)n d d d c +->，所以1(1)n cd d d <-+ （*）为此，只需选择d1d <<． 事实上，此时有22(1)2d d d d d c +=+>>，故（*）右端为一正数．因为01d <<时，0nd →，所以存在一个确切的自然数N ，使得当n N >时，（*）成立，故（b ）得证． 4．设123,,,a a a 是正实数数列，对所有的1n ≥满足条件1nii a=≥∑,证明：对所有的1n ≥，21111(1)42ni i a n=>+++∑ 证：先证一个更一般的命题：设12,,,n a a a 和12,,,n b b b 是正数，且12n b b b >>>（1）若对所有的1,2,,k n =，11nni i i i b a ==≤∑∑, （2） 则有2211nni i i i b a ==≤∑∑, （3） 事实上，设10n b +=，由（1）（2）可得111111()()nnnnkk i k k i k i k i bb b b b a ++====-≤-∑∑∑∑,改变求和次序得111111()()nnn n ikk i k k i k i k b bb a b b ++====-≤-∑∑∑∑,由此可得 211n ni i i i i b a b ==≤∑∑两边平方利用柯西不等式可得2211n ni ii i b a==≤∑∑,为证明本题不等式，令(1,2,,)ib i n===，则2111111(1).42n n nii i ian ===≥>=+++∑。