离散数学第十五章格与布尔代数(简)
离散数学中的布尔函数和布尔代数
离散数学是一门研究离散结构和离散对象的数学学科，它在计算机科学等领域扮演着重要的角色。
布尔函数和布尔代数是离散数学中的重要概念之一，它们在逻辑电路设计、计算机编程等方面具有广泛的应用。
布尔函数是一种将布尔域上的值映射为布尔域上的值的函数。
布尔域上的值只有两个：真和假。
布尔函数的输入和输出都是布尔值。
布尔函数可以通过真值表、函数表达式或者逻辑电路图表示。
常见的布尔运算有与运算、或运算、非运算等。
布尔函数可以定义在不同的布尔变量上，而布尔变量可以取真或假两个值。
通过组合不同的布尔运算，可以构造出复杂的布尔函数。
布尔代数是研究布尔函数性质和运算规则的代数系统。
布尔代数的基本操作有与运算、或运算、非运算等。
与运算、或运算和非运算是布尔函数的基本运算，在布尔代数中具有特殊的性质。
例如，与运算满足交换律、结合律和分配律；或运算满足交换律、结合律和分配律；非运算满足德摩根定律。
布尔代数还有很多其他的运算规则，如吸收律、零元律、幂等律等。
这些运算规则可以用来简化布尔函数，使其更加简洁明了。
布尔函数和布尔代数在逻辑电路设计中起着重要的作用。
逻辑电路是一种基础的电子电路，用来完成逻辑运算。
布尔函数可以用来描述逻辑电路的功能，布尔代数可以用来简化逻辑电路。
通过布尔函数和布尔代数可以设计出各种复杂的逻辑电路，如逻辑门、多路选择器、时序电路等。
逻辑电路在计算机硬件中广泛应用，是计算机工作的基础。
因此，研究布尔函数和布尔代数不仅有助于理解离散数学的基本概念，也对计算机科学和工程领域有着重要的实际意义。
此外，布尔函数和布尔代数在计算机编程中也具有重要的应用。
计算机程序是一系列指令的集合，通过执行这些指令实现特定的功能。
布尔函数可以用来描述程序中的条件和逻辑关系，判断某个条件是否成立，从而确定程序的执行路径。
布尔代数可以用来简化程序的逻辑表达式，使程序更加高效和可读。
在编程语言中，布尔变量和布尔运算是基础数据类型和基本运算符之一，它们与布尔函数和布尔代数密切相关。
离散数学中的代数系统和布尔代数
离散数学是数学的一个重要分支，研究的是离散结构和离散对象的性质。
代数系统和布尔代数是离散数学中的两个重要概念。
代数系统是研究集合上的运算的一种数学结构。
它由集合和一组运算所组成，其中运算可以是两个对象相互运算得到一个新的对象，也可以是一个对象自身经过某种运算得到一个新的对象。
代数系统包括了很多种类，例如群、环、域等等。
其中，布尔代数是代数系统的一种重要类型。
布尔代数是一种二元代数系统，它研究的是关于真值和逻辑运算的代数。
在布尔代数中，我们考虑的对象是命题，而运算包括了与、或、非等等。
布尔代数主要用于逻辑运算和电路设计中。
布尔代数中的命题可以用真和假来表示，它们分别对应于数学中的1和0。
与、或、非等运算在布尔代数中也有对应的符号，分别是∧、∨、¬。
这些符号在逻辑运算中扮演重要角色。
布尔代数的运算有很多有趣的性质。
比如，与运算满足交换律、结合律、分配律等等；或运算满足交换律、结合律、分配律等等；非运算满足逆运算和恒等律。
这些性质使得布尔代数具有很强的推理和运算能力。
布尔代数在逻辑运算中有着广泛的应用。
在计算机科学中，布尔代数被用于电路设计和逻辑推理；在人工智能领域，布尔代数被用于知识表示和推理；在运筹学中，布尔代数被用于约束求解和优化问题。
布尔代数的应用广泛而深入，是离散数学中的重要工具之一。
总结起来，离散数学中的代数系统和布尔代数是两个重要的概念。
代数系统研究的是集合上的运算，而布尔代数研究的是关于真值和逻辑运算的代数。
布尔代数具有许多有趣的性质和广泛的应用，是离散数学中的一个重要工具。
离散数学中的布尔代数应用
离散数学中的布尔代数应用离散数学是数学中的一个分支，它研究离散化的对象和运算符，并不依赖于连续性或可测度性的概念。
而布尔代数是离散数学中的重要内容之一，它是以数学逻辑为基础，研究由命题变量和逻辑运算符组成的代数系统。
布尔代数在离散数学中扮演着重要的角色，并在现实生活中有广泛的应用。
一、基础概念布尔代数以数学逻辑为基础，由命题变量和逻辑运算符构成。
命题变量可以取两个值：真或假，用1或0表示。
逻辑运算符包括非（NOT）、与（AND）、或（OR）等几种基本运算。
以布尔代数的符号形式表示，可以用符号表达式来表示命题逻辑。
符号表达式由命题变量、基本命题和逻辑运算符组成。
通过运算符的组合，可以得到复合命题。
在离散数学中，布尔代数的应用广泛，如在电路设计、计算机科学、人工智能等领域都有重要的应用。
二、应用领域1. 电路设计在电路设计中，布尔代数被广泛应用于逻辑电路的设计和分析。
逻辑门是电子电路中最基本的构建单元，通过不同的逻辑门的组合可以实现各种逻辑功能。
逻辑门可以表示为布尔代数中的逻辑运算符，通过对输入信号进行逻辑运算，得到输出信号。
例如，与门（AND gate）可以实现两个输入信号的与运算，输出为1当且仅当两个输入信号都为1；或门（OR gate）可以实现两个输入信号的或运算，输出为1当且仅当至少一个输入信号为1。
通过对逻辑门的组合与连接，可以实现复杂的逻辑功能，如加法器、多路选择器等。
2. 计算机科学在计算机科学中，布尔代数是计算机逻辑和数字电路设计的基础。
计算机内部的大部分操作都是通过逻辑门的组合实现的。
计算机的数据存储、运算和控制等功能都离不开布尔代数的运算。
例如，计算机的加法器可以使用逻辑门实现。
在二进制加法中，每一位的相加可以看作是两个输入信号的异或运算，而进位可以看作是两个输入信号的与运算。
通过逻辑门的组合，可以实现多位二进制数的加法。
3. 人工智能在人工智能领域，布尔代数被应用于逻辑推理和知识表示等方面。
离散数学 格与布尔代数共89页
66、节制使快乐增加并使享受加强。 ——德 谟克利 特 67、今天应做的事没有做，明天再早也 是耽误 了。——裴斯 泰洛齐 68、决定一个人的一生，以及整个命运 的，只 是一瞬 之间。 ——歌 德 69、懒人无法享受休息之乐。——拉布 克 70、浪费时间是一桩大罪过。——卢梭
离散数学 格与布尔代数
21、没有人陪你走一辈子，所以你要 适应孤 独，没 有人会 帮你一 辈子， 所以你 要奋斗 一生。 22、当眼泪流尽的时候，留下的应该 是坚强 。 23、要改变命运，首先改变自己。
24、勇气很有理由被当作人类德性之 首，因 为这种 德性保 证了所 有其余 的德性 。--温 斯顿． 丘吉尔 。 25、梯子的梯阶从来不是用来搁脚的 ，它只 是让人 们的脚 放上一 段时间 ，以便 让别一 只脚能 够再往 上登。
第5篇ch15格与布尔代数
设对任意的a,bA1, a1bf(a)2f(b)
设 a∧1b=c，则 c1a, c1b ，
于是 f(a∧1b)=f (c) ,f(c)2f(a) , f(c)2f(b)
故有 f(c)2f(a)∧2f(b)
令 则
ff((ac))∧22ff((db))=,ff((dd))2f(a) , f(d)2f(b)
所以 b∧c=b∧c∧b∧c (a∨b)∧(a∨c) (2)
再对(1)式和(2)式应用定理15-1.2得 a∨(b∧c) (a∨b)∧(a∨c)
第2式证明由对偶原理从上式直接可得。
定理15-1.6 设<A, >是一个格,那么，对于任意的a,bA,
都有： ab(a∧b)=a(a∨b)=b
ab(a∧b)证明思路：
故有 d1a ，d1b，于是 d1a∧1b ，即 d1c，
所以 f(d)2f(c)
因此 f(d)=f(c) 即 f(a∧1b)=f(a)∧2f(b)
类似地可证： f(a∨1b)=f(a)∨2 f(b) 格同构证毕。
15-2 分配格
定义15-2.1 设<A,∨,∧> 是由格<A, >是所诱导的
代数系统。如果对任意的a,b,c A，满足： a∧(b∨c)= (a∧b)∨(a∧c) a∨(b∧c)= (a∨b)∧(a∨c)
则称< A, > 是分配格 。
例1： 集合：S={a,b,c}
格： <(S), > 代数系统： <(S), ∪,∩> 结论：<(S), > 是一个分配格。
例2：不是分配格的例子。 例3：利用两个“特殊五元素非分配格”的结论。
定理15-2.1 如果在一个分配格中交运算对于并运算可分 配，则并运算对于交运算也一定是可分配的。反之亦然。
《离散数学》课程教学大纲
《离散数学》课程教学大纲课程编号：06082002 适用专业：计算机科学与技术学时数：60学分数：4 开课学期：第 2 学期先修课程：线性代数、高级语言程序设计(C语言)执笔者：傅彦、顾小丰、刘启和、王庆先、王丽杰编写日期：2011.03 审核人（教学副院长）：周世杰一、课程性质和目标（用小四号黑体字）授课对象：本科生课程类别：学科基础课教学目标（本课程对实现培养目标的作用；学生通过学习该课程后，在思想、知识、能力和素质等方面应达到的目标）：离散数学是一门理论兼实际应用的综合性学科，即具有严备的理论基础，又具备应用科学的特点。
它是计算机科学和其他应用科学的基础理论课。
在课堂教学中，不仅要求学生掌握离散数学具体内容，更重要的是强调离散数学课程的思想，特别是离散数学中逻辑的概念可以说是贯穿到整个教学中；通过课后实验，学生不仅能够加深对离散数学知识的进一步理解，而且还可以从实验中提高自己的实践动手能力和编程能力，最关键的是提高学生学习离散数学的兴趣和了解离散数学与其他课程之间的关系。
通过本课程学习，培养和训练学生的抽象思维能力和严格的逻辑推理的能力，使学生了解离散数学在计算机学科和日常生活中的作用，为学生今后处理离散信息以及用计算机处理大量的日常事物和科研项目，从事计算机科学和应用打下坚实基础，特别是对那些从事计算机科学与理论研究的高层次计算机人员来说，更是一门必不可少的基础理论工具。
二、课程内容安排和要求（用小四号黑体字）（一）教学内容、要求及教学方法（用五号宋体加粗）第1章集合论 2学时掌握：集合的基本概念（集合的概念及表示、集合与元素的关系、集合与集合的关系、几个特殊的集合）、集合的运算。
理解：集合的应用。
了解：粗糙集简介（粗糙集合研究现状、知识与知识库、粗糙集的基本概念、成员关系，粗相等和粗包含）（本部分自学）。
教学方法：问题＋实例的讲授式教学方法第2章计数问题 2学时理解：基本原理（乘法原理、加法原理）、排列与组合（排列问题、组合问题）、容斥原理与鸽笼原理了解：递归关系、离散概率简介、计数问题的应用。
离散数学-格和布尔代数
的次序图如下
-1 的次序图如下
6 2 1 3 2
1 3 6
若 < L; > 是一个偏序集，则对于任意元素 l1, l2, l3 L，有以 下六个关系式成立： l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 若 l1 l2，l2 l3，则 l1 l3 l1 l1 若 l1 l2，l2 l1，则 l1 = l2 (7-1) (7-2) (7-3) (7-1) (7-2)
60以上说明与格一样布尔代数也是一个代数系统该代数系统可取交换律分配律同一律和互补律作为公二元运算是一元运算若这些运算满足交换律分配律同一律和互补律则称称作集合代数它是一个布尔代数
第二部分 抽象代数
0
第七章
格和布尔代数
格是 Birkhoff (1884 - 1944) 在 20 世纪 30 年代提出的，格的提出 以子集为背景。 历史上最初出现的格是英国数学家 George Boole 于 1854 年提出 的，是他在研究命题演算中发现的，通常称为布尔格或布尔代 数。 格和布尔代数的理论成为计算机硬件设计和通讯系统设计中的 重要工具。格论是计算机语言的指称语义的理论基础。格是一 种特殊的偏序集，也可以看作是有两个二元运算的代数系统， 布尔代数是一种特殊的格。在保密学、开关理论、计算机理论 和逻辑设计以及其他一些科学和工程领域中，都直接应用了格 与布尔代数。 1
7.2 格及其性质
一、格的定义
定义7-5 设 < L; > 是一个偏序集，如果 L 中任意两个元素都 存在着最大下界和最小上界，则称 < L; > 是格。 由于每对元素的最大下界和最小上界唯一，故引入记号： l1 l2 = glb(l1, l2)，l1 l2 = lub(l1, l2)， 其中 和 均可看作是集合 L 上的二元运算，分别称为交和并。 注：若 < L; > 是一个格，则意味着 < L; > 也是一个形为 < L; , > 的代数系统，其中 和 是 L 上的两个二元运算， 对于任意 l1, l2 L，l1 l2 表示在偏序 “ ” 意义下，l1 和 l2 的最小上界，l1 l2 表示 l1 和 l2 的最大下界。
离散数学布尔代数
一个非零元素b，至少存在一个原子a，使得a ≤ b。 1
证明：若b本身就是一个原子，则b ≤ b，得证。c
df
若b不是原子，肯定存在b1，使得0 ≤ b1 ≤ b， a
be
若b1是原子，则定理得证；
0
否则，若b1不是原子，则必存在b2，使得0 ≤ b2 ≤ b1 ≤ b
∵<A, ≤>是一个有全下界的有限格，
定理1：对于布尔代数中任意两个元素 a, b，必定有
(1) ( a ) = a， (2) a∨b = a∧b ， (3) a∧b = a∨b
3
❖ 布尔代数
定义3：设<A,∨1,∧1, - > 和<B,∨2,∧2, ~ >是两个布尔代数， 如果存在A到B的双射 f，对于a,bA，有
f (a∨1b) = f (a) ∨2 f (b)
2、对a,bA，有 f (a∧b) = f (a)∩f (b)
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❖ 格与布尔代数
定理3 ( Stone表示定理 ) ：
设<A,∨,∧, - >是由有限布尔格<A, ≤>所诱导的一个有 限布尔代数，S是布尔格<A, ≤>中的所有原子的集合，则 < A,∨,∧, - >< P(S),∪,∩, ~ >同构。 分析：要证两个代数系统同构，分为以下几步：
1、找一个双射函数 f: A P(S)
∴a ≤ c ，又∵a ≤ c， ∴a ≤ c ∧ c，即 a ≤ 0，
这与a是原子相矛盾， ∴假设错
∴b ∧ c = 0，由引理1得： b≤c ∴b=c，即：b= a1∨a2∨... ∨ak
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❖ 格与布尔代数
证明(2)：设b的另一种表示形式为 b = aj1∨aj2∨... ∨ajt 其中aj1,aj2,……,ajt是A中原子。∵b是 aj1,aj2,……,ajt 的最小上界， ∴有aj1≤b, aj2≤b,…,ajt≤b，而a1,a2,……,ak是A中满足 a j ≤b的所有原子， {aj1,aj2,…,ajt}是{a1,a2,…,ak}的子集，即 |{aj1,aj2,…,ajt}|<=|{a1,a2,…,ak}|， 即：t ≤ k。(下面证 t < k 是不可能的)