离散数学第十五章格与布尔代数(简)
第七章格与布尔代数
第七章 格与布尔代数 1. 说明什么叫格？ 2. 给定偏序集
a ∧ b 表示（ ）。 7. 说明什么叫子格？ 8. 给定偏序集
14. 请说出什么叫分配格？ 15. 指出判定一个格是分配格的充分且必要条件是在该格中没有任何子格与两个五元素非分配格之一同构。请画出这两个五元素非分配格。 16. 下面具有五个元素的格中，哪些是分配格？ 17.具有五个元素的格中，有几个不是分配格？请画出这些非分配格的图。 18. 验证下面格不是分配格。 19. 验证下面格不是分配格。 a b c d e
离散数学-刘任任版 第15章习题答案
第十五章习题解答 1. ()()x xS x xR ?∧?)1( ())()()()()()()(c S b S a S c R b R a R ∨∨∧∧∧解： ())()()2(x Q x P x →? ))((()()()()())()(c Q c P b Q b P a Q a P →∧→∧→解： )()()3(x xP x P x ?∨?? )(()()()())()()(c P b P a P c P b P a P ∧∧∨?∧?∧?解： 2. 指出下列命题的真值： ??-=>=>∨→?}6,3,2{,5:,"5:")(,"3:")(,"23:",)())(((1)D e x x R x x Q P e R x Q P x 论域其中 ).2.(:时不成立为当假解-x 。论域其中，}2{,"4:")(,"3:")() ()(()2(==>→?D x x Q x x P x Q x P x 解：真。 3. 在一阶逻辑中，将下列命题符号化： （1）凡有理数均可表示为分数。 解：P(x)： x 是有理数； Q （x ）:x 可表示为分数。 ))()((x Q x P x →?
())())()((. :,:)(,:)(:. ,)4()) ()((. :)(:)()3()(:)(:)()2(x S x P x W W x x S x x P x Q x P x x x Q x x P x Q x P y x x Q x x P ∧?→→??∧??明天天气好是学生是公园解有一些学生将去公园如果明天天气好是有理数是实数，解：数。 并非所有实数都是有理。 是有理数。 是实数，解：有些实数是有理数。 );()), ()((,,:) ()())()(()1(. ,.4|))) )()(|,(),(()()0,(() ,(:)(,:),(:. |)()(|: ,),,(,0)6())). ,()(()((:),(,:)(:)()5(00000x R x Q x P x x z z Q x xR x Q x P x x f x f G N n G n N x S G x b a x x S y x y x G x f x f N n N b a x x y G y Q y x P x y x y x G x x Q x x P n n 第二个是的作用域是第一个约束变元自由变元解并指出各量词的作用域变元和约束变元指出下列公式中的自由解时有使当都存在对任意给是实数是正实数，解：在大于该实数的实数。 对任意的正实数，都存∧?∧?→∧?-∧??→ ∧??∈><->∈>∧?→?>εεεεε (2)))()(())(()((z Q x xP y Q y x P x →?∨?∧? 解：自由变元z ，约束为元：x ，y 。第一个的作用域为 第二个的作用域为第二个P(x)；第二个的作用域的作用域为 Q(y) （3）)()())()((z s y yR x Q x P x ∧?∧?? 解：自由变元z ，约束为元：x ，y 。 ))()((x Q x P x ??的作用域为 解：自由变元z ，约束为元：x ，y 。 ))()((x Q x P x ??的作用域为 y ?的作用域为R(y)
离散数学
第一部分： 1.命题/谓词逻辑的推理 2.求析取合取范式 3.求给定解释下公式的值 第二部分： 1.关系的性质/判断，证明 2.偏序关系（哈斯图），极大值，极小值，上界下界 3.证明等价关系 第三部分： 1.证明半群，独异点，群 2.子群 3.同态映射 4.找特异元素 第四部分： 1.点和边的关系 2.邻接矩阵，可选矩阵 3.最优二叉树（哈夫曼的算法） 略过不考的部分： 第二部分：第八章8.3节 第九章全部 第三部分：第十一章11.7节 第十三章全部 第四部分：第十五单全部 第十七单全部 第十八单全部 自己通过网络及课本整理的，希望能帮到大家。内容在下面。。。。
一、命题：其一，语句是陈述句；其二，语句有唯一确定的真假意义. 1.命题公式分类，在各种赋值下均为真的命题公式A，称为重言式(永真式)；在各种赋值下均为假的命题公式A，称为矛盾式(永假式)；命题A不是矛盾式，称为可满足式； 2.主析取(合取)范式法判断命题公式类型，该公式的主析取范式有2n个极小项(即无极大项)，则该公式是永真式；该公式的主合取范式有2n个极大项(即无极小项)，则该公式是永假式；该公式的主析取(或合取)范式的极小项(或极大项)个数大于0小于2n,，则该公式是可满足式. 3.定理1设Φ(A)是含命题公式A的命题，Φ(B)是用命题公式B置换Φ(A)中的A之后得到的命题公式. 如果A?B，则Φ(A)?Φ(B). 4.求析取(合取)范式的步骤：①将公式中的联结词都化成?，∧，∨(即消去个数中的联结词→，?，?∨)；②将否定联结词?消去或移到各命题变项之前；③利用分配律、结合律等，将公式化为析取(合取)范式 5.求命题公式A的主析取(合取)范式的步骤：①求公式A的析取(合取)范式；②“消去”析取(合取)范式中所有永假式(永真式)的析取项(合取项)，如P∧?P(P∨?P)用0(1)替代. 用幂等律将析取(合取)范式中重复出现的合取项(析取项)或相同的变项合并，如P∧P(P∨P)用P替代，m i∨m i(M i∧M i)用m i(M i)替代. ③若析取(合取)范式的某个合取项(析取项)B不含有命题变项P i或?P i，则添加P i∨?P i(P i∧?P i)，再利用分配律展开，使得每个合取项(析取项)的命题变项齐全；④将极小(极大)项按由小到大的顺序排列，用∑(∏)表示. 6.求公式(p∧q)∨r的主析取范式及主合取范式。
离散数学代数结构作业部分答案
第四章代数结构（作业） 作业：P86：4、7、9 4、 （1）若a和b是整数，则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数，所以运算*是封闭的。（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z。则有： (x*y)*z = (x+y+xy)*z = (x+y+xy)+z+(x+y+xy)×z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz x*(y*z) = x*(y+z+yz) = x+(y+z+yz)+x×(y+z+yz) = x+y+z+yz+xy+xz+xyz = (x*y)*z 因此，*运算满足结合律。 （3）假设e为（Z,*）的幺元，则有： 任选整数集中的一个元素x，都有 0*x = 0+x+0×x=x且 x*0 = x+0+x×0=x 故0是(Z,*)的幺元。 7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元； （N+ ,*）无幺元； （N+ ,*）的零元为1。 9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d； （A,*）中的幺元：b； （A,*）中的零元：c； a-1 = d，b-1 = b，c-1 不存在，d-1 = a， 作业：P87：12、13、18 12、（A，*）到（N4,⊕4）的同构映射f为： f(a)=0, f(b)=1, f(c)=2, f(d)=3; 或者： f(a)=0, f(b)=3, f(c)=2, f(d)=1; 13、同构映射f为： f(0)=?, f(1)={a}, f(2)={b}, f(3)={a,b};
或者： f(0)=?, f(1)={b}, f(2)={a}, f(3)={a,b}; 18、任选a ∈N +,b ∈N +, 只需证明f(a+b)=f(a)+f(b) 由f 的定义可知：f(a+b)=2a+2b=f(a)+f(b)，故f 是（N +,+）到(E +,+)的同态映射。 作业：P96：3，P97：7 3、(1)显然，*运算对Z 是封闭的。 (2) (a*b)*c = (3(a+b+2)+ab)*c = 3((3(a+b+2)+ab)+c+2)+(3(a+b+2)+ab)×c = 3(3a+3b+c+ab+8+ac+bc+2c)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc a*(b*c) = a*(3(b+c+2)+bc) = 3(a+(3(b+c+2)+bc)+2)+a(3(b+c+2)+bc) = 3(a+3b+3c+bc+8+ab+ac+2a)+abc = 3(3a+3b+3c+ab+ac+bc+8)+abc = (a*b)*c 故*运算满足结合律。 （3）任选a ∈Z ，(-2)*a=a 且a*(-2)=a ，所以-2是(Z,*)的幺元。 所以（Z,*）是独异点。 7、因为1为(A,*)运算的幺元，而且对任意A 的子集A ’,*在A ’上都是封闭和可结合的运算，因此，（A,*）的所有子独异点为(A ’,*)，其中A ’必须包含1。即：(A,*)的所有子独异点为： ({1},*),({1,2},*),({1,3},*),({1,4},*),({1,2,3},*),({1,2,4},*),({1,3,4},*),({1,2,3,4},*) P105：3、4、13 3、??????1100b a ×??????220 0b a ＝??? ?? ?212100b b a a ,a 1,a 2∈{1,-1}, 所以a 1×a 2∈{1,-1}，b 1×b 2∈{1,-1}。 故（G,×）是封闭的。 而 (??????1100b a ×??????2200b a )×??????3300b a =??????212 100b b a a ×????? ?3300b a =??????3213 2100b b b a a a ??????1100b a ×(????? ?22 00b a ×??????3300b a )=??????1100b a ×??????323 200b b a a =??????3213210 0b b b a a a 故（G,×）是可结合的。（也可以说因为矩阵乘法是可结合的。）
离散数学结构 第17章 平面图及图的着色习题
典型习题1 习题1. 设G是简单平面图，面数r<12，δ(G)≥3。 （1）证明G中存在次数小于等于4的面。 （2）举例说明，当r=12，其它条件不变时，(1)中结论不真。 提示解本题的思路是，用欧拉公式、握手定理、面与次数的概念等，方法是反证法。(1) 证明： 为了使用欧拉公式，不妨设G是连通的(否则可对它的某连通分支讨论)。 由欧拉公式：n-m+r=2 其中，n，m，r分别为G的顶点数、边数和面数。从而有 r=2+m-n < 12 (已知条件) 解得n > 2+m-12 ① 又由于δ(G) ≥3，由握手定理可得2m ≥ 3n ② 将①代入②得2m ≥ 3n >3(2+m-12)=3m-30 从而得m < 30 ③ 若不存在次数小于等于4的面，则2m > 5r (定理17.4) 再用欧拉公式得2m > 5r = 5(2+m-n) = 10+5m-5n ④ 由②与④又得2m ≥ 10+5m-10m/3 ⑤ 由⑤解得m ≥ 30 ⑥ ③与⑥矛盾，因此必存在次数小于等于4的面。 (2)下图为正十二面体图，它是平面图，面数r=12，δ(G)=3，可是它每个面的次数均为5。由此说明当r=12时，(1)中结论不真。 习题2. 设G是n(n≥11)阶无向简单图，证明G或必为非平面图。 提示参看补图以及定理17.12。 答案证明：用反证法，假设G与都是平面图。 由鸽巢原理(参看第十四章第1节习题课第3题提示)可知， G与的边数中至少有一个≥K n边数的一半。不妨设G的边数
m ≥ 由定理17.12有≤ m ≤ 3n-6 即n2-13n+24 ≤ 0 解此不等式，得到 2 ≤ n ≤ 10 这与n≥11 相矛盾。故G中必为非平面图。 分析其实，当n=9，10时，G和中已经必有非平面图了。 习题3. 证明下图中(1)与(2)均为非平面图。 提示参看库拉图斯基定理和图的同胚。 证明：(1)为了使用库拉图斯基定理，先将顶点标定顺序。见图①所示。 在(1)中取子图如②所示，该图与K3,3同胚，其中2度顶点分别为f和h。由库拉图斯基定理可知，原图不是平面图。
格与布尔代数
一、格的引入 在上一章中讨论过偏序集与偏序关系时,已经把格定义为一种特殊的偏序集。下面, 先 回顾一下几个有关概念。 设
离散数学习题解答(第五章)格与布尔代数
离散数学习题解答 习题五（第五章 格与布尔代数） 1．设〈L ，?〉是半序集，?是L 上的整除关系。问当L 取下列集合时，〈L ，?〉是否是格。 a) L={1，2，3，4，6，12} b) L={1，2，3，4，6，8，12} c) L={1，2，3，4，5，6，8，9，10} [解] a) 〈L ，?〉是格，因为L 中任两个元素都有上、下确界。 b) 〈L ，?〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。 例如：8 12=LUB{8，12}不存在。 c) 〈L ，?〉不是格。因为L 中存在着两个元素没有上确界。 1 6 3 1 2 4 8 63 1 2 4 1 1
倒例如：46=LUB{4，6}不存在。 2．设A ，B 是两个集合，f 是从A 到B 的映射。证明：〈S ，?〉是〈2B ，?〉的子格。其中 S={y|y=f (x)，x ∈2A } [证] 对于任何B 1∈S ，存在着A 1∈2A ，使B 1=f （A 1），由于f(A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}?B 所以B 1∈2B ，故此S ?2B ；又B 0=f (A)∈S (因为A ∈2A )，所以S 非空； 对于任何B 1，B 2∈S ，存在着A 1，A 2∈2A ，使得B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，从而 L ∪B{B 1，B 2}=B 1∪B 2=f (A 1)f (A 2) =f (A 1∪A 2) （习题三的8的1）） 由于A 1∪A 2?A ，即A 1∪A 2∈2A ，因此f (A 1∪A 2)∈S ，即上确界L ∪B{B 1，B 2}存在。 对于任何B 1，B 2∈S ，定义A 1=f –1 (B 1)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 1}，A 2=f -1 (B 2)={x|x ∈A ∧f (x)∈B 2}，则A 1，A 2∈2A ，且显然B 1=f (A 1)，B 2=f (A 2)，于是 GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ?f (A 1∩A 2) （习题三的8的2）） 又若y ∈B 1∩B 2，则y ∈B ，且y ∈B 2。由于y ∈B 1=f (A 1)={y|y ∈B ∧(x)(x ∈A 1∧f (x)=y)}，于是存在着x ∈A 1，使f (x)=y ，但是f (x)=y ∈B 2。故此x ∈A 2=f -1 (B 2)={x|x ∈A ∧f(x)∈B 2}，因此x ∈A 1∩A 2，从而y=f (x)∈f (A 1∩A 2)，所以 GLB{B 1，B 2}=B 1∩B 2=f (A 1)∩f (A 2) ?f (A 1∩A 2) 9 7 31
格与布尔代数试题
、选择题(每小题2分，共30分) 1、N 是自然数集， 是小于等于关系, 则 N, 是(C )。 (A)有界格 (B) 有补格 (C)分配格 (D) 2、在有界格中，若只有一个元素有补元, 有补分配格 则补元( C ) (A)必唯 (B) 不唯 (C)不一定唯 (D) 可能唯 3、 F 面是一些偏序集的哈斯图，判断哪一个为格( C ) d c e e e c D A C B D ) (A)分配格 (B)有补格 (C)布尔格 (D) 有界格 6设L,是一条链，其中L -3，贝U L, ( C ) (A)不是格 (B) 是有补格 5、只含有有限个元素的格称为有限格, 有限格必是(
(C)是分配格 (D) 是布尔格 7、 设A 为一个集合， P(A), 为有补格，P(A)中每个元素的补元(A ) (A) 存在且唯一 (B) 不存在 (C)存在但不唯一 (D)可能存在 8、 设 代 是一个有界格，若它也是有补格，只要满足( B ) (A)每个元素都有一个补元 (B)每个元素都至少有一个补元 9、如下哈斯图(C )表示的关系构成有补格。 (C)每个元素都无补元 (D)每个元素都有多个补元 10、如图给出的哈斯图表示的格中( (A)a (C)e (D) f 11、设格 B, 2如图所示，它们的运算分别为 和，。令 f(a) X !, f(b) X 2, f (c) X 4, f (d) X 8，则 f ( B ) B )元素无补元。 d g c
(A)是格同态映射 (B)不是格同态映射 系。贝U 30的补元为 (B) 30 (D) 70 f (a) 2 f(b)是格同构的( (B)充分条件 ,其中定义为：对于n 1 , n 2 L, n 1 n 2 当且仅当n 1是n 2的因子。问其中哪几个偏序集是格(说明理由)。(共6 分) a)、L {1,2,3,4,6,12} b)、L {1,2,3,4,6,8,12,14} C)、L {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12} 、图中为格L 所对应的哈斯图。(共10分) (C) 是格同构映射 (D) 是自同态映射 (A) 2n (B) (C) 2n (D) 4n 13、在布尔格 A, 中有3个原子a 1,a 2,a 3则6 ( B ) (A) a 2 a 3 (B) a 2 a 3 (C) a 2 a 3 (D) a 2 a 3 14、在布尔格 代 中, A {X | X 是5的整数倍且是210的正因子} , |为整除关 (A)15 (C)35 15、设A, 1和 B, 2 是两个格, f 是A 到B 的双射，则对任意的a,b A ，有 (A)必要条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要 、由下列集合L 构成的偏序集 L,
离散数学12格和布尔代数
第十二章 格和布尔代数 12.1 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证：如果b a ，则)()(c a b c b a ∨∧∧∨ 证明 因为b a ，且)(c a a ∨ ，所以)(c a b a ∨∧ 。 又因为b c b ∧，且c a c c b ∨∧ ，所以)(c a b c b ∨∧∧ 。 即)(c a b ∨∧是a 和c b ∧的上界，从而有： )()(c a b c b a ∨∧∧∨ 。 12.2 设c b a ,,是格),( A 中的元素，求证： （1）)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ （2）)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ (1)证明 因为c a a b a a ∨∨ ,，所以)()(c a b a a ∨∧∨ 。 又因为b a b c b ∨∧ ，且c a c c b ∨∧ ，所以)()(c a b a c b ∨∧∨∧ 。 即)()(c a b a ∨∧∨是a 和c b ∧的上界。 所以，)()()(c a b a c b a ∨∧∨∧∨ 。 （2）证明 因为a b a ∧，a c a ∧，则有a c a b a )()(∧∨∧。 又因为b b a ∧，有c b b b a ∨∧ ，同理c b c a ∨∧ 。从而有c b c a b a ∨∧∨∧ )()(。 即)()(c a b a ∧∨∧是a 和c b ∨的下界。 因此，)( )()(c b a c a b a ∨∧∧∨∧ 。 10.3 设),,(∧∨A 是一个代数系统，其中∨和∧是满足吸收律的二元运算，证明：∨和∧也满足等幂律。 证明
因为∨和∧是满足吸收律，所以a b a a =∨∧)(，a b a a =∧∨)(。于是有： )((b a a a a a ∧∨∧=∧ )(c a a ∨∧= （其中b a c ∧=） a = 同理可证，a a a =∨。 故∨和∧也满足等幂律。 10.4 证明：一个格是可分配的，当且仅当对于这个格中的任意元素a ，b 和c ，有 )()(c b a c b a ∧∨∧∨ 证明 （1）必要性 因为a c a ∧和c b c b ∧∧ ，所以)()()(c b a c b c a ∧∨∧∨∧ 。 又因为格为分配格，所以)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨。 因此，)()(c b a c b a ∧∨∧∨ 。 （2）充分性 因为对于c b a ,,?，有)()(c b a c b a ∧∨∧∨ ，则 )()()(c c b a c b a ∧∧∨=∧∨ （等幂律） c c b a ∧∧∨=))(( （结合律） c c b a ∧∧∨))(( （假设） c a c b ∧∨∧=))(( （交换律） )()(c a c b ∧∨∧ （假设） 又因为b a a ∨ ，c c ，所以c b a c a ∧∨∧)( ；同理，c b a c b ∧∨∧)( 因此，c b a c b c a ∧∨∧∨∧)()()( 综上所述，)()()(c b c a c b a ∧∨∧=∧∨ 故该格是可分配的。 10.5 证明一个格),( A 是分配的，当且仅当对A 中的任意元素a ，b 和c ，有 )()()()()()(a c c b b a a c c b b a ∨∧∨∧∨=∧∨∧∨∧
离散数学复习
离散数学复习 第一章命题逻辑基本概念 1．掌握命题及相关概念 2．理解各联结词的逻辑关系 3．会将复合命题符号化 4．会求公式的真值表，并用它求公式的成真赋值、成假赋值及判断公式的类型 第二章命题逻辑等值演算 1．记住基本等值式，会应用它们进行公式的等值演算 2．了解简单析取式、简单合取式、析取范式、合取范式的概念 3．理解极大项、极小项的概念 4．掌握求主析取范式和主合取范式的方法(等值演算和真值表法) 5．会用主范式判断公式的类型及进行简单应用 6．了解联结词完备集的概念 第三章命题逻辑的推理理论 1．理解并记住推理形式结构的两种形式： (1) A1∧A2∧…∧A k→B (2) 前提：A1, A2, … , A k 结论：B 2．掌握判断推理是否正确的不同方法（如真值表法、等值演算法、主析取范式法等）3．记住自然推理系统P系统中的推理规则 4．掌握自然推理系统P系统中的推理方法 第四章一阶逻辑基本概念 1．会进行命题的符号化 2．理解公式的解释 3．理解永真式、矛盾式、可满足式的概念及相互之间的关系 4．对于给定的解释会判断公式的真值，或判定真值不确定（即仍不是命题） 第五章一阶逻辑等值演算与推理 1．理解并记住重要等值式，并能熟练地应用它们 2．会使用置换规则、换名规则(约束条变项)、代替规则(自由变项) 3．会求给定公式的前束范式 4．正确地使用UI, UG, EG, EI规则，特别要注意它们之间的关系 5．在F系统，对给定的推理，正确地构造出它的证明 第六章集合代数 1. 掌握集合的表示法 2．能够判别元素是否属于给定的集合 3．能够判别两个集合之间是否存在包含、相等、真包含等关系 第七章二元关系 1. 掌握二元关系、空关系、全域关系、恒等关系、关系的定义域、值域、域、逆关系、 左复合、右复合、限制、像的概念； 2．掌握关系的集合表达式、关系矩阵和关系图三种表示法； 3．掌握关系的基本运算和关系的幂的运算性质，掌握关系的五个性质：自反性、反自反性、对称性、反对称性和传递性等五个性质； 4．掌握关系的闭包的概念，会应用关系的性质求出关系的闭包（自反闭包、对称闭包和传递闭包）；
离散数学代数系统部分练习题参考答案2018春
《离散数学》代数结构部分练习题参考答案 2018年6月 一、填空题 1.在代数系统（N ，+）中，其单位元是0，仅有单位元0有逆元. 2.设A 是非空集合，集合代数),),(( A P 中，)(A P 对运算 的单位元是?，零元是 A.)(A P 对运算 的单位元是A . 3.设Z 为整数集，若1,,-+=∈?b a b a Z b a ，则Z a ∈?，a 的逆元=-1a 2－a . 4.设}3,2,1,0{4=Z ，?为模4乘法，即4mod )(xy y x =?，4,Z y x ∈?.则4Z 上运算?的运算表为.（略） 二、选择题 1.设集合{}10,...,3,2,1=A ,在集合A 上定义运算,不是封闭的为(A ) (A){}b a lcm b a A b a ,,,=?∈?(最小公倍数)(B){}b a ged b a A b a ,,,=?∈?(最大公约数) (C){}b a b a A b a ,max ,,=?∈?(D){} b a b a A b a ,min ,,=?∈?2.在自然数集N 上定义的二元运算?,满足结合律的是 (C )(A)b a b a -=?(B)b a b a 2+=?(C){}b a b a ,max =?(D)b a b a -=?三、解答题 1.通常数的乘法运算是否可以看成是下列集合上的二元运算，说明理由. （1）{}2,1=A （2）{}是质数x x B =（3）{}是偶数x x C =（4）{}N n D n ∈=2解：（1）数的乘法运算不是集合A 上的二元运算.因为A ?=?422（2）数的乘法运算不是集合B 上的二元运算.因为质数与质数的乘积不是质数. （3）数的乘法运算是集合C 上的二元运算.因为偶数乘偶数是偶数. （4）数的乘法运算是集合D 上的二元运算.因为D n m m n ∈=?+222. 2.实数集R 上的下列二元运算是否满足结合律与交换律？
格与布尔代数格与布尔代数万字
第5章：格与布尔代数 格与布尔代数是代数系统中的又一类重要代数系统。这两个代数系统与第4章讨论的代数系统之间存在着一个重要的区别：在格与布尔代数中，偏序关系具有重要的意义。为了强调偏序关系的作用，我们将分别从偏序关系和代数系统两个方面引入格的概念。 给格附加一定的限制后，格就转化为布尔代数，即布尔代数是一种特殊的格。 布尔代数最初是作为对逻辑思维法则的研究而出现的，创立者是英国哲学家和数学家布尔（G .Boole ）。自布尔之后，许多数学家对布尔代数的一般化作了许多努力，特别是斯通（M.H.Stone ），他的工作可以说是对现代布尔代数的发展开创了一个新阶段。 1938年，香农（C.E.Shannon ）发表了《继电器和开关电路的符号分析》一文，为布尔代数在工艺技术中的应用开创了道路，从而出现了开关代数。为了给开关代数奠定基础，于是自然形成了二值布尔代数，即逻辑代数。自香农之后，人们应用布尔代数对电路作了大量研究，并形成了网络理论。 格与布尔代数不仅是代数学的一个分支，而且在近代解析几何、半序空间等方面也都有重要的作用，同时，格与布尔代数在计算机科学中也有十分重要的作用，可直接用于开关理论和逻辑设计、密码学、计算机理论科学等。 §5.1 偏序关系与偏序集 1. 基本概念 我们常用关系对集合的某些元素或全体元素进行排序。例如，使用包含着字对>
湘潭大学 刘任任版 离散数学课后习题答案 习题13
习 题 十 三 1． 证明：对网络N 中的任意一个流f 和)(N V s ?，均有 ∑∈-=-s v s s f s s f v V f V v f ),(),()],(),([ 分析：根据定义∑∈= ∈∈=) ,()()(}|)(){()(V v f V v f V u N A u v V v α α，，，， 显然若)(),(,,2121N A v v S v v ∈∈且，则在）V v f ,(1中含）21,(v v f ，而）1,(v V f 中也含）21,(v v f ，故f 对端点同属于S 的这种弧在 ∑∈-s v v V f V v f )],(),([中不产生影响，故有： ∑∈-=-s v s s f s s f v V f V v f ),(),()],(),([ 证明： 左式)),(),(()),(),(((v u f u v f v u f u v f s v s u s u ∑∑∑∈∈∈-+-= ∑∑∑∑∑∈∈∈∈∈--+=s v s u s u s u s u v u f v u f u v f u v f )),(),(),(),(( ))),(),(()),(),(((∑∑∑∑∑∈∈∈∈∈-+-=s v s u s u s u s u v u f u v f v u f u v f )),(),((∑∑∑∈∈∈-=s u s v s u v u f u v f ∑∑∑∑∈∈∈∈-=s v s u s v s u v u f u v f ),(),( ),(),(S S f S S f -= 2．设),(S S 和),(T T 都是网络N 中的最小割，求证),(T S T S ??和),(T S T S ??也都是N 中 的最小割. 分析：由集合的运算和容量的定义，可直接验证下式成立： ),(),(),(),(T S T S C T T C S S C T S SUT C -+≤? 又由于),(S S 和),(T T 都是网络N 中的最小割，根据最小割的定义有： ),(),(T S SUT C S S C ?≤ ),(),(T S T S C T T C ??≤最后可得
离散数学-第三部分代数结构练习题答案(课件模板)
《离散数学》第三部分----代数结构 一、选择或填空 1、设A={2,4,6}，A上的二元运算*定义为：a*b=max{a,b}，则在独异点
答：单位元，1 8、素数阶群一定是( )群, 它的生成元是( )。 答：循环群，任一非单位元 9、设〈G,*〉是一个群，a,b,c∈G，则 (1) 若c*a=b，则c=( )；(2) 若c*a=b*a，则c=( )。 答：（1）b1- *a(2) b 10、
第七章 格与布尔代数
第七章 格与布尔代数 1. 说明什么叫格？ 2. 给定偏序集
a ∧ b 表示（ ）。 7. 说明什么叫子格？ 8. 给定偏序集
14. 请说出什么叫分配格？ 15. 指出判定一个格是分配格的充分且必要条件是在该格中没有任何子格与两个五元素非分配格之一同构。请画出这两个五元素非分配格。 16. 下面具有五个元素的格中，哪些是分配格？ 17.具有五个元素的格中，有几个不是分配格？请画出这些非分配格的图。 18. 验证下面格不是分配格。 19. 验证下面格不是分配格。 a b c d e
离散数学结构 第15章 欧拉图与哈密顿图
第十五章欧拉图与哈密顿图 15.1 欧拉图 (2) 一、欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义 (3) 二、判别定理 (4) 三、求欧拉图中欧拉回路的算法 (6) 1．Fleury算法，能不走桥就不走桥： (6) 2．逐步插入回路法 (7) 四、中国邮路问题 (8) 练习题： (9) 15.2哈密顿图 (11) 一、哈密顿通路、哈密顿回路、哈密顿图、半哈密顿图的定义 (12) 二、哈密顿图与半哈密顿图的一些必要与充分条件 (12) 练习题 (18) 15.3 带权图与货郎担问题 (24) 一、带权图 (24) 二、货郎担问题 (24)
15.1 欧拉图 主要内容： 1. 欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义。 2. 判别定理。 3. 求欧拉图中欧拉回路的算法。 学习要求： 1. 深刻理解欧拉通路与欧拉回路的定义以及它们的区别与联系。 2. 以无向欧拉图为例，进一步理解欧拉图的结构，即，欧拉图是若干个边不重的圈之并。 让我们先从两个例子出发，获得有关图的一些直观认识。 图论的研究起源于哥尼斯堡七桥问题。哥尼斯堡城位于Pnsel河畔，河中有两个岛，有7座桥与4块陆地彼此相连，如上图所示。 居住于该城的居民想做这样的游戏：从4块陆地的任一块出发，经过每座桥一次且仅一次，最后返回原出发地。当地的人们进行了许多次尝试，都没有成功。后来，欧拉给出了问题的解。首先欧拉将4块陆地表示成4个结点，凡陆地间有桥相连的，便在两点间连一条边，从而可将左图改画为右图如下：这样，哥尼斯堡七桥问题可描述为：能否有从A、B、C、D任一点出发，经过每条边一次且仅一次而返回出发点的回路? 欧拉证明了这样的回路是不存在的。他的理由是，从图任一点出发，要回到原出发点，要求与每个点关联的边的数目为偶数，才能保证从一条边进入某点再从另一条边出去，一进一出才能回到原出发点。而图中的顶点A、B、C和D均有奇数条边与其相关联，显然这样的回路是不存在的。 另一个例子是20世纪40年代的一个数学游戏。
7格与布尔代数
布尔代数是计算机逻辑设计的基础，它是由格引出的，格又是从偏序集引出的。所以我们先回顾一下偏序集。
2.B的最小元与最大元 y是B的最小元??y∈B∧?x(x∈B→y≤x) y是B的最大元??y∈B∧?x(x∈B→x≤y) {2,3,6}的最小元:无最大元: 6 B如果有最小元(最大元), 则是唯一的。3.B的下界与上界 y是B的下界??y∈A∧?x(x∈B→y≤x) y是B的上界??y∈A∧?x(x∈B→x≤y) {2,3,6}的下界:1 上界: 6,12,24,36 4.B的最大下界(下确界)与最小上界(上确界)24 。36 。12。 ６。２。３。 １。 y是B的最大下界(下确界)：B的所有下界x,有x≤y。 y是B的最小上界(上确界)：B的所有上界x,有y≤x。 {2,3,6}下确界:1 上确界:6 (B若有下(上)确界，则唯一) 2
一 . 基本概念 1.格的定义