离散数学--第十五章 欧拉图和哈密顿图
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离散数学课件15欧拉图与哈密顿图
证明 若G是平凡图，结论显然成立。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无 向图，
并设G的顶点集V＝{v1,v2,…,vn}。 必要性。因为G为欧拉图，所以G中存在欧 拉回路，
设C为G中任意一条欧拉回路，vi,vj∈V， v2i0,2v0/7j/都23 在C上，
定理15.1的证明
充分性。由于G为非平凡的连通图可知，G中边数 m≥1。
2020/7/23
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 充分性。设G的两个奇度顶点分别为u0和v0， 对G加新边（u0,v0），得G ＝G∪(u0,v0)， 则G 是连通且无奇度顶点的图， 由定理15.1可知，G 为欧拉图， 因而存在欧拉回路C ，而C＝C -(u0,v0)为G中一 条欧拉通路， 所以G为半欧拉图。
并2行从020/7遍/C23 上G 的i中某的顶欧点拉vr回开路始C行遍i，，i＝每1遇,2,到…v,s*j，i，最就后
半欧拉图的判定定理
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G是连通的 ，且G中恰有两个奇度顶点。
证明 必要性。设G是m条边的n阶无向图，因为G为 半欧拉图， 因而G中存在欧拉通路(但不存在欧拉回路)， 设Г＝vi0ej1vi1…vim-1ejmvim为G中一条欧拉通路， vi0≠vim。 v∈V(G)，若v不在Г的端点出现，显然d(v)为偶 数， 若v在端点出现过，则d(v)为奇数，
欧拉对物理力学、天文学、弹道学、航海学、建筑学、音 乐都有研究！有许多公式、定理、解法、函数、方程、常数等 是以欧拉名字命名的。欧拉写的数学教材在当时一直被当作标 准教程。19世纪伟大的数学家高斯曾说过“研究欧拉的著作永 远是了解数学的好方法”。欧拉还是数学符号发明者，他创设 的许多数学符号，例如π，i，e，sin，cos，tg，Σ，f (x)等等， 至今202沿0/7/2用3 。
【离散数学讲义】7.Euler图52
中国邮递员问题（E-图？） (The Chinese postman problem)
一个邮递员送信, 每次要走遍他负责投递范围内 的街道, 然后再回到邮局. 问他应该按怎样的路线 走, 使所走的路程最短? 如果用点表示交叉路口, 用点之间的连线表示对 应的街道, 每条线上对应一个实数, 它是相应街道 的长度. 原问题变成一个图论问题. 中国邮递员问题: 在赋以非负权的连通图G上, 求 一条最小权环游.(称为最优环游或最佳邮路)。 环游：经过一个图G的每条边至少一次的闭回路。
定理7:(必要条件) 若图G=<V,E>有H-圈,则对V的任
何非空子集S, 均有W(G-S)≤|S|, 其中W(G-S)是从G 中删去S中所有结点及与这些结点关联的边所得到的子图
的连通分支数.
证明:设C是图G的一条H-圈,则对于V的任何非空子集S,
在C中删去S中任意一个结点v1后, 则C-v1仍是连通的路, 若再删去S中的另一个结点v2, 则W(C-v1 - v 2)≤2, 若|S|=k，则删去S中的k个结点,
2.哈密顿图的判定:
1
6 2
5 3 4
定理1 (充分条件):G是至少有3个点的完全图,则G是H图.
K2
K3
K4
K5
定理2. G是简单图, 且n≥3,若对G中任一对不相邻点 u, v, 都有d(u)+d(v)≥n . 则G是Hamilton图
引理1. 设u, v是G的一对不相邻点, d(u)+d(v) ≥n. 若G+uv是H-图G是H-图.
有W(C-v1 - v 2 -...-vk)≤k, 所以
W(C-v1 - v 2 -...-vk)≤|S| . 因为C是H回路,所以它包含了G的所有结点, 即C是G的生
《离散数学》课件-第15章欧拉图与哈密顿图
例如
彼得松图 彼得松图满足定理15.6，但不是哈密顿图。
例15.3 下图中三个图都是二部图，判断它们 哪些是哈密顿图，哪些是半哈密顿图？
G1
G2
G3
二部图与哈密顿图的关系
设二部图G=<V1，V2，E>，
|V2||V1|。若|V2||V1|+2，则
G即不是哈密顿图，又不是半哈
G1
密顿图
（1）G1=<V1，V2，E>， 互补顶点子集为V1={a,f},V2={b,c,d,e}。 则p(G1-V1)=|V2|=4，|V1|=2， p(G1-V1)>|V1|且p(G1-V1)>|V1|+1。 所以G1即不是哈密顿图，又不是半哈密顿图。
亚瑟王和他的骑士们
◼ 亚瑟王一次召见他的p个骑士，已知每一个 骑士在骑士中的仇人不超过p/2-1个。证明：能让 这些骑士围坐在圆桌旁，使每个人都不与他的仇 人相邻。
其它重要的定理
◼ 定理1 如果G是一个n（n3）阶简单图， 且n/2，则G是哈密顿图。
◼ 定理2 如果G是一个n（n3）阶完全图， 且n为奇数，则G是哈密顿图且图中有(n-1)/2个 边不相交的哈密顿回路。
穿过每一道门，通过所有房间？
15.2 哈密顿图
1859年，爱尔兰数学家威廉·哈密尔顿发明 了一个旅游世界的游戏。将一个正十二面体的 20个顶点分别标上世界上大城市的名字，要求 玩游戏的人从某城市出发沿12面体的棱，通过 每个城市恰一次，最后回到出发的那个城市。
哈密尔顿游戏是在左图中如何 找出一个包含全部顶点的圈。
点的回路称为欧拉回路 定义（欧拉图和半欧拉图）
具有欧拉回路的图称为欧拉图 具有欧拉通路无欧拉回路的图称为半欧拉图 规定平凡图是欧拉图
离散数学结构第十五章欧拉图与哈密顿图
第十五章欧拉图与哈密顿图15」欧拉图—、欧拉通路、欧拉回路、欧拉图、半欧拉图的定义務定义15・1通过图（无向图或有向图）中所有边一次jl仅一次行遍图中所有顶点的通路称为欧拉通路，通过图中所有边一次并且仅一次行遍所有顶点的回路称为欧拉回路。
具有欧拉回路的图称为欧拉图，具有欧拉通路而无欧拉回路的图称为半欧拉图。
从定义不难看出，欧拉通路是图中经过所有边的简单的生成通路（经过所有顶点的通路称为生成通路），类似地，欧拉回路是经过所有边的简单的生成回路。
在这里做个规定，即平凡图是欧拉图。
(1) ⑵图15.1在图15」所示各图中QiSSgs为（1冲的欧拉回路所以（1禺为欧拉图oCiGSGb 为（2）中的一条欧拉通路，但图中不存在欧拉回路（为什么？），所以（2 ）为半欧拉图。
（3 ）中既没有欧拉回路，也没有欧拉通路（为什么？），所以（3 ）不是欧拉图，也不是半欧拉图。
CI6C3C4为（4）图中的欧拉回路，所以（4）图为欧拉图。
（5 ） , （ 6 ）图中都既没有欧拉回路，也没有欧拉通路（为什么？）二、判别定理拓定理15・1无向图G是欧拉图当11仅当G是连通图，11 G中没有奇度顶点。
证若G是平凡图，结论显然成立，下面设G为非平凡图，设G是m条边的n阶无向图。
并设G的顶点集V ={v h v2,...,v n}.必要性。
因为G为欧拉图，所以G中存在欧拉回路，设C为G中任意一条欧拉回路，VVi,VjeV , v 都在C上，因而Vi,Vj连通，所以G为连通图。
又V Vi eV，"在C 上每出现一次获得2度，若岀现k次就获得2k度，即d(Vi)二2k ,所以G中无奇度顶点。
充分性，由于G为非平凡的连通图可知，G中边数m21.对m作归纳法。
(1) m=l时，由G的连通性及无奇度顶点可知，G只能是一个环，因而G为欧拉图。
(2) 设mwk(k21)时结论成立，要证明m二K+1时，结论也成立。
由G的连通性及无奇度顶点可知，&(G)、2•类似于例14.8 ,用扩大路径法可以证明G中存在长度大于或等于3的置，设C为G中一个圏，删除C上的全部边，得G的生成子图G,设G有s个连通分支G I,G‘2,...,G；,每个连通分支至多有k条边，且无奇度顶点，并且设G i与C*的公共顶点为, i=l,2，…,S ,由归纳假设可知，G I,G‘2，…,G；都是欧拉图,因而都存在欧拉回路Cl , i=l,2，…,s.最后将C还原(即将删除的边重新加上)，并从C上的某顶*点*开始行遍,每遇到% ,就行遍G'i中的欧拉回路Cl , i二1,2,…,s ,最后回到v r,得回路V「... ... ... "... "... b ... b ...Vr，此回路经过G中每条边一次且仅一次并行遍G中所有顶点，因而它是G中的欧拉回路(演示这条欧拉回路)，故G为欧拉图。
欧拉图于哈密顿图
§15.1 欧拉图
一、历史背景－－哥尼斯堡七桥问题
}
1
二、定义 欧拉通路 (欧拉迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (欧拉闭迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的回路。 欧拉图 ——存在欧拉回路的图。
}
2
三、无向图是否具有欧拉通路或回路的判定
(3) 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路，
解：
(4) 既没有欧拉回路，也没有哈密尔顿回路。
解：
}
14
作业
习题十五 2、11、14、15、20
}
15
余顶点的入度均等于出度， 这两个特殊的顶点中，一个 顶点的入度比出度大1，另一 个顶点的入度比出度小1。
D 有欧拉回路( D为欧拉图) D 连通， D 中所有
顶点的入度等于出度。
}
6
例3、判断以下有向图是否欧拉图。
}
7
§15.2 哈密尔顿图
一、问题的提出
1859年，英国数学家哈密尔顿，周游世界游戏。
(2)
解：是哈密尔顿图，
存在哈密尔顿回路和通路。
}
11
例1、判断下图是否具有哈密尔顿回路，通路。
(3)
解：不存在哈密尔顿回路，
也不存在哈密尔顿通路。
}
12
例2、画一个无向图，使它
(1) 具有欧拉回路和哈密尔顿回路，
解：
(2) 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路， 解：
}
13
例2、画一个无向图，使它
G 中只有两个奇度 G 有欧拉通路 G 连通，
顶点(它们分别是欧拉通路的
两个端点)。
G有欧拉回路( G为欧拉图) G 连通， G 中均
一、历史背景－－哥尼斯堡七桥问题
}
1
二、定义 欧拉通路 (欧拉迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的通路。 欧拉回路 (欧拉闭迹) ——通过图中每条边一次 且仅一次，并且过每一顶点的回路。 欧拉图 ——存在欧拉回路的图。
}
2
三、无向图是否具有欧拉通路或回路的判定
(3) 具有哈密尔顿回路而没有欧拉回路，
解：
(4) 既没有欧拉回路，也没有哈密尔顿回路。
解：
}
14
作业
习题十五 2、11、14、15、20
}
15
余顶点的入度均等于出度， 这两个特殊的顶点中，一个 顶点的入度比出度大1，另一 个顶点的入度比出度小1。
D 有欧拉回路( D为欧拉图) D 连通， D 中所有
顶点的入度等于出度。
}
6
例3、判断以下有向图是否欧拉图。
}
7
§15.2 哈密尔顿图
一、问题的提出
1859年，英国数学家哈密尔顿，周游世界游戏。
(2)
解：是哈密尔顿图，
存在哈密尔顿回路和通路。
}
11
例1、判断下图是否具有哈密尔顿回路，通路。
(3)
解：不存在哈密尔顿回路，
也不存在哈密尔顿通路。
}
12
例2、画一个无向图，使它
(1) 具有欧拉回路和哈密尔顿回路，
解：
(2) 具有欧拉回路而没有哈密尔顿回路， 解：
}
13
例2、画一个无向图，使它
G 中只有两个奇度 G 有欧拉通路 G 连通，
顶点(它们分别是欧拉通路的
两个端点)。
G有欧拉回路( G为欧拉图) G 连通， G 中均
离散数学PPT课件 7欧拉图与汉密尔顿图(ppt文档)
00
0 1
1 0
11
此轮的设计:以两位二进制数
V={00,01,10,11}为结点,画带
权图(即边上标有数字--称为
边的权), 从任何a1∈V结点 画2条有向边,标权0(或1),
该边指向结点a2,于是构成 边a10, (或a11),这八条边分别 表示八个二进制数:
e0 =000
e1 =001 00 01 e5 =101 10
v2
v3
v4
v5
G2 v6
如何判定一个图中是否有 a
b
1
4
欧拉路,或有欧拉回路?
c
d
3
2
3.有欧拉路与有欧拉回路的判定: 定理8-5.1:无向图G具有欧拉路,当且仅当G是连通的,且有 零个或两个奇数度的结点. *证明:必要性, 设G有欧拉路.(自行尝试证明) 充分性,(证明的过程就是一个构造欧拉路的过程)
7. 欧拉图与汉密尔顿图
这里主要讨论图的遍历问题,一个是遍历过程中要求经过
的所有边都不同;一个是遍历过程中要求经过的所有结点
都不同.
欧拉在1736年发表了第一篇关于图论的论文, 就是就七
桥问题.
A
BDΒιβλιοθήκη CAe1 e2 e5
B e6 D
e3 e4
C
e7
一.欧拉图:
1.欧拉路:在无孤立结点的图G中,如果存在一条路,它经 过图中每条边一次且仅一次, 称此路为欧拉路.
e3 =011 e2 =010
11 1
e7 =111
000,001,010,011,100,101,110,111 从此图上取一个欧拉回路: e0e1e2e5 e3e7e6e4 将上述各边的末位数字写成序列:01011100, 于是就按照此序列将鼓轮进行加工,标0部分
欧拉图与哈密顿图
求欧拉图中欧拉回路的算法
Fleury算法;能不走桥就不走桥
1 任取v0∈VG;令P0＝v0; 2 设Pi＝v0e1v1e2…eivi已经行遍;按下面方法来从
EGe1;e2;…;ei中选取ei+1： a ei+1与vi相关联； b 除非无别的边可供行遍;否则ei+1不应该为
Gi＝Ge1;e2;…;ei中的桥; 3当2不能再进行时;算法停止;
例15 1
例15 1 设G是非平凡的且非环的欧拉图;证明： 1λG≥2; 2对于G中任意两个不同顶点u;v;都存在简单回路C含u和v;
证明 1由定理15 5可知;e∈EG;存在圈C;e在C中; 因而pGe＝pG;故e不是桥; 由e的任意性λG≥2;即G是2边连通图;
例15 1
例15 1 设G是非平凡的且非环的欧拉图;证明： 1λG≥2; 2对于G中任意两个不同顶点u;v;都存在简单回路C含u和v;
可以验证彼得松图满足定理中的条件;但不是哈密顿图;
若一个图不满足定理中的条件;它一定不是哈密顿图;
推论
推论 设无向图G＝<V;E>是半哈密顿图;对于任意的V1V且 V1≠;均有 pGV1≤|V1|+1
证明 设P是G中起于u终于v的哈密顿通路; 令G ＝G∪u;v在G的顶点u;v之间加新边; 易知G 为哈密顿图; 由定理15 6可知;pG V1≤|V1|; 因此;pGV1 ＝ pG V1u;v ≤ pG V1+1 ≤ |V1|+1
若vi与vj有哈共密同语顿言图;就是在v能i;vj将之间图连中无向所边有vi;v顶j; 由此组成点边都集合能E;安则G排为8在阶无某向个简单初图级; 回路 vi∈V;上dvi为的与图vi有;共同语言的人数;
欧拉图和哈密尔顿图ppt课件
有欧拉通路
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
全部结点为偶结点， 有欧拉回路
有欧拉通路
。a
a、b、c、e
。a
全部结点为
b。 。c 都为奇结点， 。 。 。 无欧拉通路
b。
。c
d
e
f 与欧拉回路 。 。 。
偶结点， 有欧拉回路
d e f 有欧拉通路
ppt课件
8
例7-8 如图街道，是否存在一条投递线路使 邮递员从邮局a出发通过所有街到一次在回 到邮局a?
可达的：在图G中，结点u和结点v之间存在一
条路，则称结点u到结点v是可达的。
ppt课件
2
无向图的连通性
连通：在无向图G中，结点u和结点v之间存在一 条路，则称结点u与结点v是连通的。约定：任一 结点与自身总是连通的。 连通图：若图G中，任意两个结点均连通，则称G 是连通图，否则称非连通图。对非连通图可分成几
个无公共结点的连通分支。无向图中结点间的连通
关系是等价关系。 图是连通的判定法则：从图中任意一结点出发，
通过某些边一定能到达其它任意一结点，则称
图是连通的。
ppt课件
3
练习1：连通图的判定
指出下列各图是否连通
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
ppt课件 (7)
(8)
4
欧拉图
设G=<V，E>是连通无向图 欧拉通路：在图G中存在一条通路，经过图G 中每条边一次且仅一次。
第二节 图的连通性
通路和回路 无向图的连通性 有向图的连通性 欧拉图 哈密顿图
ppt课件
1
通路和回路 给定图G V , E
通路： G中前后相互关联的点边交替序列 w=v0e1v1e2…envn称为连接v0到vn的通路。 W中边的数目K称为通路W的长。
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13
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
p(GV1) |V1|+1
证: 令P为G中起于u终于v的哈密顿通路，令G =G(u,v)，则G为哈
密顿图，于是
p(G’V1) |V1|
于是
p(GV1) = p(GV1(u,v)) p(G’V1) +1 |V1|+1
16
几点说明
1、定理15.6中的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件 （彼得松图） 2、常利用定理15.6判断某些图不是哈密顿图.
则G 中存在哈密顿通路.
证明：
(1) 由()证G连通 (2) = v1v2…vl 为G中极大路径. 若l = n, 证毕. (3) 否则，证G 中存在过上所有顶点的圈C，由(1) 知C外顶 点存在与C上某顶点相邻顶点，从而得比更长的路径，重 复(2) –(3) ，最后得G中哈密顿1通8 路.
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
2
欧拉图定义
定义15.1
(1) 欧拉通路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶 点的通路.
(2) 欧拉回路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶 点的回路.
(3) 欧拉图——具有欧拉回路的图. (4) 半欧拉图——具有欧拉通路而无欧拉回路的图.
11
(1)
(2)
12
哈密顿图与半哈密顿图
定义15.2 (1) 哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路. (2) 哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路. (3) 哈密顿图——具有哈密顿回路的图. (4) 半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图. 几点说明： 1、平凡图是哈密顿图. 2、哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路. 3、环与平行边不影响哈密顿性. 4、哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上.
地走出一条欧拉回路来？
9
Fleury算法
算法：
(1) 任取v0V(G)，令P0=v0. (2) 设Pi = v0e1v1e2…eivi 已经行遍，按下面方法从
E(G){e1,e2,…,ei }中选取ei+1： (a) ei+1与vi 相关联； (b) 除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为
Gi = G{e1,e2,…,ei }中的桥.
=C(u,v) 则 为 G 中欧拉通路. 7
有向欧拉图的判别法
定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的
且每个顶点的入度都等于出度.
本定理的证明类似于定理15.1.
定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且 D中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个
的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度.
几点说明： 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路是生成的简单回路. 环不影响图的欧拉性.
3
欧拉图实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图，(2),(5)为半欧拉图，(3),(6) 既不是欧拉图，也不是半欧拉图. 在(3),(6)中各至少加几条 边才能成为欧拉图？
4
无向欧拉图的判别法
例2 设G为n阶无向连通简单图，若G中有割点或桥，则G不
是哈密顿图.
证 设v为割点，则 p(Gv) 2>|{v}|=1. K2有桥，它显然不是哈密顿图. 除K2外，其他有桥的图（连通的
）均有割点. 其实，本例对非简单连通图也对.
17
无向哈密顿图的一个充分条件
定理15.7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
vi,vj，
均有 ()
设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶 d(vi)+d(vj) n1
本定理的证明类似于定理15.1.
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干
个边不重的圈之并.
可用归纳法证定理15.5.
8
例题
例1 设G是欧拉图，但G不是平凡图，也不是一个环，则 (G)2.
证 只需证明G中不可能有桥（如何证明？）
(1)
(2)
上图中，(1),(2)两图都是欧拉图，均从A点出发，如何一次成功
5
从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
PLAY
6
欧拉图的判别法
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰
有两个奇度顶点.
证: 必要性简单. 充分性（利用定理15.1）
设u,v为G 中的两个奇度顶点，令 G =G(u,v)
则G 连通且无奇度顶点，由定理15.1知G 为欧拉图，因而 存在欧拉回路C，令
而当V1中顶点在C上有彼此相邻的情况时，均有p(CV1) < |V1|，总
之有
p(CV1) |V1|.
而C是G的生成子图，所以有
p(GV1) p(CV1) |V1|
说明： 本定理的条件只是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件。
可以验证彼得森图满足定理的条件，但它不是哈密顿图。
15
推论 设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1V且 V1均有
(3) 当 (2)不能再进行时，算法停止.
可以证明算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2…emvm (vm=v0)为G 中一条欧拉回路. 用Fleury算法走出上一页图(1), (2)从A出发(其实从任何一点出发都可
以）的欧拉回路各一条.
10
15.2 哈密顿图
英国数学家哈密顿于1856年提出周游世界的问题： 若要周游世界上的二十个名城，且城与城之间只 有一条路，则能否把每一个城走且只走一次，最 后返回到原地. 该问题可以抽象为图论问题：用20个顶点分别表 示20个城市，两个顶点间的连线表示城市间的路 ，要求找一条从某点出发，经过各个顶点一次且 仅一次，最后能否返回到出发点的路线?
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.
证 :若G 为平凡图无问题. 下设G为 n 阶 m 条边的无向图. 必要性 设C 为G 中一条欧拉回路. (1) G 连通显然. (2) viV(G)，vi在C上每出现一次获2度，所以vi为偶度顶
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：
实例
在上图中， (1),(2) 是哈密顿图; (3)是半哈密顿图; (4)既不是哈密顿图，也不是半哈密顿图，为什么？
14
无向哈密顿图的一个必要条件
定理15.6 设无向图G=<V,E>是哈密顿图，对于任意V1V且 V1，均有 p(GV1) |V1|
证 设C为G中一条哈密顿回路。
当V1顶点在C上均不相邻时， p(CV1)达到最大值|V1|，
p(GV1) |V1|+1
证: 令P为G中起于u终于v的哈密顿通路，令G =G(u,v)，则G为哈
密顿图，于是
p(G’V1) |V1|
于是
p(GV1) = p(GV1(u,v)) p(G’V1) +1 |V1|+1
16
几点说明
1、定理15.6中的条件是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件 （彼得松图） 2、常利用定理15.6判断某些图不是哈密顿图.
则G 中存在哈密顿通路.
证明：
(1) 由()证G连通 (2) = v1v2…vl 为G中极大路径. 若l = n, 证毕. (3) 否则，证G 中存在过上所有顶点的圈C，由(1) 知C外顶 点存在与C上某顶点相邻顶点，从而得比更长的路径，重 复(2) –(3) ，最后得G中哈密顿1通8 路.
第十五章 欧拉图与哈密顿图
主要内容
➢ 欧拉图 ➢ 哈密顿图 ➢ 带权图与货郎担问题
1
15.1 欧拉图
历史背景：哥尼斯堡七桥问题与欧拉图
2
欧拉图定义
定义15.1
(1) 欧拉通路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶 点的通路.
(2) 欧拉回路——经过图中每条边一次且仅一次行遍所有顶 点的回路.
(3) 欧拉图——具有欧拉回路的图. (4) 半欧拉图——具有欧拉通路而无欧拉回路的图.
11
(1)
(2)
12
哈密顿图与半哈密顿图
定义15.2 (1) 哈密顿通路——经过图中所有顶点一次仅一次的通路. (2) 哈密顿回路——经过图中所有顶点一次仅一次的回路. (3) 哈密顿图——具有哈密顿回路的图. (4) 半哈密顿图——具有哈密顿通路且无哈密顿回路的图. 几点说明： 1、平凡图是哈密顿图. 2、哈密顿通路是初级通路，哈密顿回路是初级回路. 3、环与平行边不影响哈密顿性. 4、哈密顿图的实质是能将图中的所有顶点排在同一个圈上.
地走出一条欧拉回路来？
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Fleury算法
算法：
(1) 任取v0V(G)，令P0=v0. (2) 设Pi = v0e1v1e2…eivi 已经行遍，按下面方法从
E(G){e1,e2,…,ei }中选取ei+1： (a) ei+1与vi 相关联； (b) 除非无别的边可供行遍，否则ei+1不应该为
Gi = G{e1,e2,…,ei }中的桥.
=C(u,v) 则 为 G 中欧拉通路. 7
有向欧拉图的判别法
定理15.3 有向图D是欧拉图当且仅当D是强连通的
且每个顶点的入度都等于出度.
本定理的证明类似于定理15.1.
定理15.4 有向图D是半欧拉图当且仅当D是单向连通的，且 D中恰有两个奇度顶点，其中一个的入度比出度大1，另一个
的出度比入度大1，而其余顶点的入度都等于出度.
几点说明： 规定平凡图为欧拉图. 欧拉通路是生成的简单通路，欧拉回路是生成的简单回路. 环不影响图的欧拉性.
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欧拉图实例
上图中，(1) ,(4) 为欧拉图，(2),(5)为半欧拉图，(3),(6) 既不是欧拉图，也不是半欧拉图. 在(3),(6)中各至少加几条 边才能成为欧拉图？
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无向欧拉图的判别法
例2 设G为n阶无向连通简单图，若G中有割点或桥，则G不
是哈密顿图.
证 设v为割点，则 p(Gv) 2>|{v}|=1. K2有桥，它显然不是哈密顿图. 除K2外，其他有桥的图（连通的
）均有割点. 其实，本例对非简单连通图也对.
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无向哈密顿图的一个充分条件
定理15.7ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
vi,vj，
均有 ()
设G是n阶无向简单图，若对于任意不相邻的顶 d(vi)+d(vj) n1
本定理的证明类似于定理15.1.
定理15.5 G是非平凡的欧拉图当且仅当G是连通的且为若干
个边不重的圈之并.
可用归纳法证定理15.5.
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例题
例1 设G是欧拉图，但G不是平凡图，也不是一个环，则 (G)2.
证 只需证明G中不可能有桥（如何证明？）
(1)
(2)
上图中，(1),(2)两图都是欧拉图，均从A点出发，如何一次成功
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从以上证明不难看出：欧拉图是若干个边不重的圈之 并，见示意图3.
PLAY
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欧拉图的判别法
定理15.2 无向图G是半欧拉图当且仅当G 连通且恰
有两个奇度顶点.
证: 必要性简单. 充分性（利用定理15.1）
设u,v为G 中的两个奇度顶点，令 G =G(u,v)
则G 连通且无奇度顶点，由定理15.1知G 为欧拉图，因而 存在欧拉回路C，令
而当V1中顶点在C上有彼此相邻的情况时，均有p(CV1) < |V1|，总
之有
p(CV1) |V1|.
而C是G的生成子图，所以有
p(GV1) p(CV1) |V1|
说明： 本定理的条件只是哈密顿图的必要条件，但不是充分条件。
可以验证彼得森图满足定理的条件，但它不是哈密顿图。
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推论 设无向图G=<V,E>是半哈密顿图，对于任意的V1V且 V1均有
(3) 当 (2)不能再进行时，算法停止.
可以证明算法停止时所得简单通路 Pm = v0e1v1e2…emvm (vm=v0)为G 中一条欧拉回路. 用Fleury算法走出上一页图(1), (2)从A出发(其实从任何一点出发都可
以）的欧拉回路各一条.
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15.2 哈密顿图
英国数学家哈密顿于1856年提出周游世界的问题： 若要周游世界上的二十个名城，且城与城之间只 有一条路，则能否把每一个城走且只走一次，最 后返回到原地. 该问题可以抽象为图论问题：用20个顶点分别表 示20个城市，两个顶点间的连线表示城市间的路 ，要求找一条从某点出发，经过各个顶点一次且 仅一次，最后能否返回到出发点的路线?
定理15.1 无向图G是欧拉图当且仅当G连通且无奇度数顶点.
证 :若G 为平凡图无问题. 下设G为 n 阶 m 条边的无向图. 必要性 设C 为G 中一条欧拉回路. (1) G 连通显然. (2) viV(G)，vi在C上每出现一次获2度，所以vi为偶度顶
点.
由vi 的任意性，结论为真. 充分性 对边数m做归纳法（第二数学归纳法）. (1) m=1时，G为一个环，则G为欧拉图. (2) 设mk（k1）时结论为真，m=k+1时如下证明：