山东科技大学 离散数学离散数学15
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学第1章第1节 命题及其表示法
教学目的：
通过该课程的学习，培养和锻炼抽象思维 和缜密概括的能力，为专业基础课和专业课的 学习打下坚实的理论基础。
总学时： 计算机科学与技术 54学时
ห้องสมุดไป่ตู้
二、学习要领
概念（正确）： 必须掌握好离散数学中大量的概念 判断（准确）： 根据概念对事物的属性进行判断 推理（可靠）：
根据多个判断推出一个新的判断
数理逻辑简介
通常认为数理逻辑是由莱布尼兹(Leibniz)创立的。 数理逻辑的内容包括： 证明论、模型论、递归论、公理化集合论。 数理逻辑的应用 在形式语义学、程序设计方法学和软件工程领域。 在逻辑程序设计方面。 在数据库理论方面。 在程序自动生成、自动转换等的理论和技术研究中。 在形式语言理论、自动机理论、可计算理论、计算复杂性理论等方面。 在人工智能方面。
练习：指出下列语句哪些是命题，哪些不是命题，如果是命题， 指出它的真值。（见教材第8页习题（1）） a）离散数学是计算机科学系的一门必修课。 b）计算机有空吗？ c）明天我去看电影。 d）请勿随地吐痰！ e）不存在最大质数。 f）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就 容易的多。 g）9+5≤12 h）x=3 i）我们要努力学习。
（7）1+101=110
可根据上下文确定其真假 。
（8）买两张星期六的电影票。（祈使句） （9）全体立正！（祈使句） （10）明天是否开会？（疑问句） （11）天气多好啊！（感叹句） 祈使句、疑问句、感叹句 等都不能作为命题，悖论 （12）我正在说谎。（悖论）
无真值，也不能作为命题。 语句（8）—（12）都不 是命题。
数字计算机本身就是点量的机器，它仅涉及整 数，而离散数学恰好提供点量的模型，于是它成为 计算机学科的一个极其有用且容易理解的工具。
《离散数学》课程简介
《离散数学》课程简介
离散数学是计算机科学与技术一级学科的核心课程，是整个计算机学科的专业基础课。
离散数学在教给学生离散问题建模、数学理论、计算机求解方法和技术知识的同时，培养学生的数学抽象能力和严密的逻辑推理能力，通过本课程的学习，不仅使学生掌握进一步学习其他课程所必需的离散数学知识，而且可以增强学生使用离散数学知识进行分析问题和解决实际问题的能力。
为后续的计算机专业课程打下坚实的基础。
本课程的主要内容包括集合论、数理逻辑、图与网络、数论基础、抽象代数和格论及布尔代数方面的基础知识。
集合论主要介绍集合论的基础知识，包括关系、映射和基数等知识；数理逻辑部分主要介绍命题逻辑和谓词逻辑的基础知识；图与网络包括图与网络的数据结构，有向图与Euler路，无向图与Hamilton路等内容；数论基础部分主要包括整除性、质因数分解、合同、一次同余式等；抽象代数部分包括代数系统、半群与群、群的同构与同态、环的性质、环的同态与同构、域的特征、素域、多项式的整除性、多项式的根等内容；格论与布尔代数包括半序格与代数格、对偶原理、格的性质、格的同态与同构、有界格、有余格、分配格、模格、布尔代数的性质等内容。
本课程即使一门基础理论课程，又是一门与实际问题紧密相连的课程，学生既要注重对课程内容的理解，又要加强理论联系实际，这样才能掌握本课程的精髓与要旨。
离散数学教程
离散数学教程离散数学是现代数学的一个重要分支，它在计算机科学、信息科学、物理学、化学等众多领域都有着广泛的应用。
这门学科主要研究离散对象的结构及其相互关系，为解决实际问题提供了强大的理论支持和工具。
首先，让我们来了解一下集合论。
集合是离散数学中最基本的概念之一。
简单来说，集合就是一些确定的、不同的对象的总体。
比如一个班级里所有同学就可以构成一个集合。
集合的运算包括并集、交集、差集等。
并集就是把两个集合中的所有元素合并在一起；交集则是两个集合中共同拥有的元素组成的集合；差集是从一个集合中去掉另一个集合中的元素。
接着是关系。
关系描述了集合中元素之间的某种联系。
比如在一个班级中，同学之间的朋友关系就是一种关系。
关系可以用矩阵或者图来表示，这使得关系的性质和特点能够更加直观地展现出来。
关系有着自反性、对称性、传递性等重要性质。
然后是函数。
函数可以看作是一种特殊的关系，对于定义域中的每一个元素，在值域中都有唯一的元素与之对应。
函数在计算机程序设计、密码学等领域都有重要的应用。
图论也是离散数学的重要组成部分。
图由顶点和边组成，可以用来表示各种实际问题，比如交通网络、通信网络等。
图的遍历算法，如深度优先搜索和广度优先搜索，是解决许多问题的关键。
还有最短路径问题，如何在图中找到两个顶点之间的最短路径，这在物流配送、网络路由等方面有着重要的应用。
数理逻辑在离散数学中同样不可或缺。
它包括命题逻辑和谓词逻辑。
命题逻辑研究简单的陈述句及其组合的真假情况；谓词逻辑则进一步考虑了语句中的主语和谓语等成分。
通过逻辑运算和推理规则，可以判断命题的真假，进行逻辑证明。
在代数结构方面，群、环、域等概念为我们提供了对抽象运算和结构的深入理解。
比如，在密码学中，有限域的理论就被广泛应用于加密算法的设计。
学习离散数学，不仅能够培养我们的逻辑思维能力，还能够帮助我们更好地理解和解决实际问题。
比如在计算机编程中，我们可以利用离散数学的知识来优化算法、设计数据结构；在数据库设计中，关系模型就是基于离散数学中的关系理论。
大学数学离散数学
大学数学离散数学离散数学是一门研究离散对象及其结构、性质和关系的数学学科。
离散数学在计算机科学、信息科学、工程学以及许多其他领域中具有重要的应用价值。
本文将介绍离散数学的基本概念、主要内容和应用领域。
一、概述离散数学是数学中的一个分支，研究的对象是离散的、离散化的数学结构。
它关注的是非连续、离散的数学概念和算法，与连续数学不同，离散数学是离散化的、离散性质的研究。
离散数学的主要内容包括集合论、逻辑、关系、图论、代数结构和组合数学等。
二、集合论集合论是离散数学中的基石，它研究的是集合这一基本概念及其性质。
集合是指具有确定特征的对象的整体，集合论主要研究集合的运算、集合的关系、集合的划分等基本问题。
集合论的基本公理包括空集公理、对偶公理、包含公理等。
三、逻辑逻辑是研究正确推理和证明的数学学科，也是离散数学的重要组成部分。
逻辑分为命题逻辑、谓词逻辑和模态逻辑等不同的分支。
离散数学中的逻辑包括命题逻辑和谓词逻辑，它们用于描述命题的真值和命题之间的关系。
四、关系关系是数学中的一种基本概念，描述了事物之间的联系和相互作用。
离散数学中的关系论主要研究二元关系和等价关系。
二元关系是指一个集合上的二元对组成的集合，它描述了两个元素之间的某种联系。
等价关系是一种满足自反性、对称性和传递性的二元关系，它将集合划分为不同的等价类。
五、图论图论是离散数学中的一门重要学科，研究图及其性质和应用。
图是由顶点和边组成的数学对象，它是描述许多实际问题的有效工具。
图论主要研究图的连通性、图的着色、最短路径、最小生成树等基本问题，并在网络、电路设计、运筹学等领域有广泛的应用。
六、代数结构代数结构是离散数学中的一个重要分支，研究的是集合上的运算和结构。
常见的代数结构包括群、环、域等，它们用于描述抽象代数系统的性质。
代数结构在计算机科学中有广泛的应用，例如密码学中的置换群、编码理论中的线性空间等。
七、组合数学组合数学是离散数学中的一门重要学科，研究离散对象的组合与排列问题。
山东科技大学 离散数学3-11 相容关系
3、定理3-11.3：集合A上的相容关系R与完全覆盖 CR(A)存在一一对应。 证明： 留做课后练习。
作业
P139：(1)， (4)， (6)
3-12 序关系
掌握如下概念： 偏序关系、盖住关系、链、反链、全序集、极 大元、极小元、最大元、最小元、上界、下界、最 小上界（上确界）、最大下界（下确界）、良序集、 严格序关系、拟序关系。
2、定理3-10.1：设给定集合A上的等价关系R，对 于a，bA有aRb iff [a]R=[b]R。 证明：假定[a]R=[b]R，因为a[a]R，故a[b]R，即 aRb。 反之，若aRb，设c[a]RaRcbRcc[b]R 即[a]R[b]R 同理，若aRb，设c[b]RbRcaRcc[a]R 即[b]R[a]R 由此证得若aRb，则[a]R=[b]R。
定理3的证明和例题4的求解过程给出了一种 利用划分求取等价关系的方法。
4、定理3-10.4：设R1和R2为非空集合A上的等价关 系，则R1=R2当且仅当A/R1=A/R2。 证明：留作课后练习。
作业
• P134：
– （3） – （4） – （6） – （9）
3-11 相容关系
一、相容关系及其表示
一、偏序关系及其表示
定义3-12.1：设A是一个集合，如果A上的一 个关系R满足自反性、反对称性和传递性，则 称R是A上的一个偏序关系，记作≤ 。 <A，≤ >称作偏序集。
•定理3-11.2说明：由集合的一个覆盖可以确定一个 相容关系。 •不同的覆盖确定的相容关系可能相同。 例如，设A={1，2，3，4}， 集合{{1，2，3}，{3，4}}和 {{1，2}，{2，3}，{1，3}，{3，4}} 都是A的覆盖，但它们可以产生相同的相容关系 R={<1，1>，<1，2>，<2，1>，<2，2>，<2，3>， <3，2>，<1，3>，<3，1>，<3，3>，<4，4>，<3， 4>，<4，3>}
大学离散数学的基本概念
大学离散数学的基本概念离散数学是一门研究离散对象及其关系的数学学科，与连续数学相对应。
它是现代计算机科学的基础和核心学科，对于计算机算法、数据库、网络通信等领域都有着重要影响。
本文将介绍大学离散数学的基本概念。
一、集合论集合论是离散数学的基础，它研究的是对象的集合及其间的关系。
在离散数学中，我们用符号表示集合，用各种运算法则来描述集合的性质和运算。
比如，我们可以用交集、并集、差集、补集等运算来对集合进行操作。
集合论是离散数学中的一项重要工具，它用于描述离散对象的属性和关系。
在计算机科学中，集合论被广泛应用于数据结构和数据库的设计与实现。
二、逻辑学逻辑学是研究推理和论证的规律的学科，它研究的是命题逻辑、谓词逻辑和命题演算等。
离散数学中的逻辑学帮助我们建立正确的思维模型，能够精确地描述数学命题的真假和推理的过程。
在计算机科学中，逻辑学是构建算法和验证程序正确性的基础。
通过使用逻辑学中的命题演算和谓词逻辑，我们可以对计算机程序进行形式化的推理，从而提高程序的可靠性。
三、图论图论是研究图和图的性质的数学分支，它研究的是由一些点和连接这些点的边构成的图形。
在离散数学中，图论用来描述对象之间的关系和相互作用，是离散数学中的一个重要分支。
图论在计算机科学中有广泛的应用。
比如，在网络通信中，我们可以用图模型来描述计算机网络的拓扑结构和通信路由；在社交网络中，我们可以用图模型来表示人与人之间的关系；在电路设计中，我们可以用图模型来描述电路的连接和功能。
四、排列与组合排列与组合是研究事物排列和选择方式的数学分支，它研究的是如何选取和安排对象，以及如何计算对象的数目。
在离散数学中，排列与组合用来计算离散对象的排列方式和组合数目，具有广泛的应用场景。
在计算机科学中，排列与组合被广泛应用于密码学、编码理论和算法设计等领域。
比如，在密码学中，排列与组合用来设计和分析密码算法的安全性；在编码理论中，排列与组合用来设计和分析数据的压缩和纠错算法。
离散数学试题十五套
度结点。
A．1； B．2； C．3； D．4 。
三、证明 26%
１、 R 是集合 X 上的一个自反关系，求证：R 是对称和传递的，当且仅当
< a, b> 和<a , c>在 R 中有<.b , c>在 R 中。（8 分）
２、 f 和 g 都是群<G1 ,★>到< G2, *>的同态映射，证明<C , ★>是<G1, ★>的一个
；是否有幂等 。
群或
。
9、n 个结点的无向完全图 Kn 的边数为
，欧拉图的充要条件是 。
10、公式 (P (P Q)) ((P Q) R 的根树表示为
。
二、选择 20% （每小题 2 分）
1、在下述公式中是重言式为（
）
A． (P Q) (P Q) ；B． (P Q) ((P Q) (Q P)) ；
）。
A．群； B．独异点； C．半群 。
三、证明 46%
1、 设 R 是 A 上一个二元关系，
10、
S { a,b | (a,b A) (对于某一个c A, 有 a, c R且 c,b R)} 试 证
子群。其中 C={x | x G1且f (x) g(x)} (8 分)
３、 G=<V, E> (|V| = v，|E|=e ) 是每一个面至少由 k（k 3）条边围成的连通
e k(v 2)
平面图，则
k 2 ， 由此证明彼得森图（Peterson）图是非平面图。（11
分）
四、逻辑推演 16%
2、论域 D={1，2}，指定谓词 P
P (1,1) P (1,2)
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Discrete Mathematics
曾庆田
Email:qtzeng@
山东科技大学 信息科学与工程学院 二零一零年三月
1
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主合取范式
2
第一章 第5讲 §1—8 推理理论
在数学和其它自然科学中，经常要考虑从某些前提A1， A2，…，An能够推导出什么结论。 例如： 从分子学说，原子学说，能够得到什么结论； 从光的波动学说，能得到什么结论。 我们一般地要对“假设”的内容作深入分析，并推究 其间的关系，从而得到结论。 但也有一些推理，只需分析假设中的真值和联结词， 便可获得结论。
设有一组前提H1，H2，…，Hn ，要推出结论C， 即证H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn C，记作S C，即 ┐C→ ┐S为永真，或C∨┐S为永真，故┐C ∧S为永 假 。因此要证明H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn C，只要证 明H1，H2，…，Hn与是┐C是不相容的。即假定┐C 为真，推出矛盾。
E10 P ∨ P P
E11 P∧P P
E21
E22
P Q (P∧Q) ∨(┐P∧ ┐Q)
┐(P Q) P ┐Q
例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R 证法1 (1) P∨Q (2) ┐P→Q
P
T(1) E
(3) Q→S (4) ┐P→S
(5) ┐S→P (6) P→R (7) ┐S→R (8) S∨R
解 若设M：天晴。 Q：下雨。 S：我看电影。R：我看书。 故本题即证：M ∨Q，M→S，S→ ┐R，推出R→Q (8) ┐( M Q) (1) R (2) S → ┐R (3) R→ ┐ S P(附加前提) P T(2) E (9) M ┐ Q (11) ┐Q →M (12) ┐M →Q (13) Q (14) R→Q T(7) E T(8) E T(9) E T(10) I T(11) E T(6),(12) I CP
P T(2) ,(3) I
T(4) E P T(5),(6) I T(7) E
例题1 证明 (P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R 证法2 (1) P→R P (2) P∨Q →R∨Q T(1) I (3) Q→S P (4) Q∨R →S∨R T(3) I (5) P∨Q →S∨R T(2),(4) I (6) P∨Q P (7) S∨R T(5),(6) I
P∧ (Q ∨ R) (P∧Q) ∨(P∧R) E17
E7
E8 E9
P ∨(Q∧R) (P ∨ Q) ∧(P∨ R) E18
┐(P∧Q) ┐P ∨ ┐Q ┐(P ∨ Q) ┐P ∧┐Q E19 E20
P→Q ┐Q →┐P
P→ (Q→R) (P∧Q) →R P Q (P→Q) ∧(Q→P)
例题5 证明 A→(B→C)，┐D∨A ，B 重言蕴含D→C 证明 (1) D P(附加前提) (2) ┐D∨A P
(3) A
(4) A→(B→C) (5) B→C (6) B (7) C (8) D→C
T(1),(2) I
P T(3),(4) I P T(5),(6) I CP
例题6 设有下列情况，结论是否有效？ (a)或者是天晴，或者是下雨。 (b)如果是天晴，我去看电影。. (c)如果我去看电影，我就不看书。 结论：如果我在看书则天在下雨。
H1，H2，…，Hn真值均为T的行，对于每一 个这样的行，若C也有真值T，则(A)式成立； 或者看C的真值为F的行，在每一个这样的行 中，H1，H2，…，Hn的真值至少有一个为F， 则(A)式也成立。
例题1 一份统计表格的错误或者是由于材料不可靠， 或者是由于计算有错误；这份统计表格的错误不是
从表上看到只有在第三行P∨Q和┐P的真值都为T， 这时Q的真值亦为T。故 (P∨Q)∧(┐P) Q 成立。 或者考察Q的真值为F的情况，在第二行和第四行， 其相应的P∨Q或┐P中至少有一真值为F，故亦说明 (P∨Q)∧(┐P) Q成立。
例题2 如果张老师来了，这个问题可以得到解答， 如果李老师来了，这个问题也可以得到解答，总之 张老师或李老师来了，这个问题就可得到解答。
T(4),(5) I
T(6) E P P T(8),(9) I T(7),(10) I
(12) ┐W ∧ ┐R (13) ┐W
T(11) E T(12) I
二、证明方法
1. 真值表法 2. 直接证法 3. 间接证法
21
3. 间接证法
(1)定义
定义1-8.2 假设公式H1，H2，…，Hn 中的命题变 元为P1，P2，…，Pn ，
一、有效结论
1. 定义 定义1-8.1 设A和C是两个命题公式，当且仅当A→C为一 重言式，即A C，称C是A的有效结论。或C可由A逻辑 地推出。 2. 推广 有效结论定义可以推广到有n个前提的情况。 设H1，H2，……，Hn，C是命题公式，当且仅当 H1∧H2∧…∧Hn C (A) 称C是一组前提H1，H2，……，Hn的有效结论。 3 . 论证过程 判别有效结论的过程就是论证过程。
(10) (M →┐Q) ∧(┐Q →M)
(4) ┐S
(5) M →S (6)┐M (7) M∨Q
T(1),(3) I
P T(4),(5) I P
命题推理方法
真值表法：
前真：看后真；
后假：前至少有一个假。
直接证法：由一组前提，利用一些公认的推理规则，
根据已知的等价或蕴含公式，推演得到有效的结论。 间接证法
真值表法是把所给前提一起使用，而直接证法则是不 断使用前提和前面推出的结论，构成推导序列，是把 前提一步一步拿来使用。
常用的蕴含式（43页表1-8.3） I1 P∧Q P I2 P∧Q Q I3 P P∨Q I4 Q P∨Q I9 P,Q P∧Q
I10 ┐P,P∨Q Q I11 P,P→Q Q I12 ┐Q,P→Q ┐P
例题2 证明 (W∨R) →V ,V→C∨S,S→U, ┐C∧ ┐U ┐W 证明
(1) ┐C∧ ┐U
(2) ┐U (3) S→U (4) ┐S (5) ┐ C
P
T(1) I P T(2) ,(3) I T(1) I
(6) ┐C ∧ ┐S
(7) ┐(C∨S) (8) (W∨R) →V (9) V→C∨S (10) (W∨R) →C∨S (11) ┐(W∨R)
由于材料不可靠，所以这份统计表格是由于计算有
错误。 解 设各命题变元为 P：统计表格的错误是由于材料不可靠。 Q：统计表格的错误是由于计算有错误。 本例可译为：Q是前提P∨Q，┐P的有效结论， 即 ┐P∧(P∨Q) Q
我们列出真值表1-8.1如下 P T T F F Q T F T F P∨Q T T T F ┐P F F T T
二、证明方法
1. 真值表法 2. 直接证法 3. 间接证法
二、证明方法
1. 真值表法 2. 直接证法 3. 间接证法
7
1. 真值表法
设P1，P2，…，Pn是出现于前提H1，H2，…，Hn和 结论C中的全部命题变元，假定对P1，P2，…，Pn作 了全部的真值指派，这样就能对应地确定H1，H2，…， Hn和C的所有真值，列出这个真值表，即可看出(A)式 是否成立。
对于P1，P2，…，Pn的一些真值指派，如果能使 H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn的真值为T，则称公式H1， H2，…，Hn 是相容的。 如果对于P1，P2，…，Pn的每一组真值指派使得 H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn的真值均为F，则称公式H1， H2，…，Hn是不相容的。
(2)证法 可以把不相容的概念应用于命题公式的证明。
Q→R T F T T T F T T
P∨Q T T T T T T F F
从真值表看到，P→R，Q→R，P∨Q的真值都为T的 情况为第一行、第三行和第五行，而在这三行中R的真值 均为T。故 (P→R)∧(Q→R)∧(P∨Q) R
真值表法证明
前真：看后真； 后假：前至少有一个假。
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二、证明方法
(12) ┐(P ∧ ┐R) T(11) E (13) (P ∧ ┐R) ∧ ┐(P ∧ ┐R)(矛盾) T(9),(12) I
(3) CP规则（ 结论为R → C时使用）
间接证法的另一种情况是：若要证H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn (R → C)。 设H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn 为S ，即证 S (R → C) 或S ( ┐ R∨C)，故S →( ┐ R∨C)为 永真式。因为S →( ┐R∨C) ┐S∨( ┐R∨C) (┐S∨ ┐R)∨C ┐(S ∧R)∨C (S ∧R) →C，所 以若将R作附加前提，如有(S ∧R) C，即证得S (R→C)。 由(S ∧R) C，证得S (R→C)称为CP规则。
I5 ┐P P→Q
I6 Q P→Q
I13 P→Q, Q→R P→R
I14 P∨Q,P→R,Q→R R
I7 ┐(P→Q) P
I8 ┐(P→Q) ┐Q
I15 A→B (A∨C)→(B∨C)
I16 A→B (A∧C)→(B∧C)
常用的等价式(43页表1-8.4)
E1
E2 E3
例题3 证明 A→B， ┐(B∨C)可逻辑推出┐A
证明
(1) A→B
(2) A (3) B (4) ┐(B∨C) (5) ┐B ∧ ┐C (6) ┐B (7) B ∧ ┐B(矛盾)
P
P(附加前提) T(1),(2) I P T(4) E T(5) I T(3),(6) I
例题4 证明 证明
(P∨Q) ∧(P→R)∧(Q→S) S∨R (1) ┐(S∨R) (2) ┐S ∧ ┐R (3) P∨Q (4) ┐P →Q (5) Q →S (6) ┐P → S (7) ┐S → P (8) (┐S ∧ ┐R ) →(P ∧ ┐R ) (9) P ∧ ┐R (10) P →R (11) ┐P∨R P(附加前提) T(1) E P T(3) E P T(4),(5) I T(6) E T(7) I T(2),(8) I P T(10) E