南京市鼓楼区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12分）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝1003．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5 5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题（共20分）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为．（结果保留π）10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是．16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是．三、解答题（共88分）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝018．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P 是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．平面内，⊙O的半径为3，OP＝2，则点P在（）A．⊙O内B．⊙O上C．⊙O外D．以上都有可能【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d＞r时，点在圆外；当d＝r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内．【解答】解：∵OP＜3，∴点P在⊙O内部．故选：A．2．某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x，则可列方程（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81C．81（1+x）2＝100 D．81（1﹣x）2＝100【分析】设平均每次降价的百分率为x，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x，根据题意得：100（1﹣x）2＝81．故选：B．3．一元二次方程x2+2x+4＝0的根的情况是（）A．有一个实数根B．有两个相等的实数根C．有两个不相等的实数根D．没有实数根【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△＝b2﹣4ac的值的符号就可以了．【解答】解：∵a＝1，b＝2，c＝4，∴△＝b2﹣4ac＝22﹣4×1×4＝﹣12＜0，∴方程没有实数根．故选：D．4．解一元二次方程x2+4x﹣1＝0，配方正确的是（）A．（x+2）2＝3 B．（x﹣2）2＝3 C．（x+2）2＝5 D．（x﹣2）2＝5【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：∵x2+4x﹣1＝0，∴x2+4x+4＝5，∴（x+2）2＝5，故选：C．5．如图，四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，则∠BOD的度数是（）A．70°B．120 C．140°D．160°【分析】根据圆内接四边形的性质求出∠A，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∠BCD＝110°，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝70°，由圆周角定理得，∠BOD＝2∠A＝140°，故选：C．6．如图①，若BC是Rt△ABC和Rt△DBC的公共斜边，则A、B、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为（）A．2 B．3 C．4 D．6【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、H、E），以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、H、D），以CH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（C、D、H、E），以AB为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、E、D、B），以BC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（B、F、E、C），以AC为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆（A、F、D、C），共6组．故选：D．二．填空题（共10小题）7．写出一个两根分别为0和2的一元二次方程x（x﹣2）＝0 ．【分析】根据以x1x2为根的一元二次方程为（x﹣x1）（x﹣x2）＝0写出即可．【解答】解：两根分别为0和2的一元二次方程是（x﹣0）（x﹣2）＝0，即x（x﹣2）＝0．故答案为：x（x﹣2）＝0．8．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为π．【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【解答】解：∵一个扇形的半径长为3，且圆心角为60°，∴此扇形的弧长为＝π．故答案为：π．9．圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为2π．（结果保留π）【分析】圆锥侧面积＝圆周率×底面圆的半径×母线长，依此列式计算即可．【解答】解：∵圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴它的侧面积为π×1×2＝2π．故答案为：2π．10．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，AE＝1，CD＝4，则OC的长为．【分析】先利用垂径定理得到CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，根据勾股定理得（r﹣1）2+22＝r2，然后解方程即可．【解答】解：∵弦CD⊥AB于点E，∴CE＝DE＝CD＝2，设OC＝r，则OE＝OA﹣AE＝r﹣1，在Rt△COE中，（r﹣1）2+22＝r2，解得r＝，即OC的长为．故答案为．11．若x＝m是方程x2+2x﹣2019＝0的一个根，则m（m+2）的值为2019 ．【分析】把x＝m代入方程求出m2+2m＝2019，把m（m+2）m（m+2）代入求出即可．【解答】解：根据题意，将x＝m代入方程，得：m2+2m﹣2019＝0，则m2+2m＝2019，∴m（m+2）＝m2+2m＝2019．故答案为：2019．12．如图，⊙O与四边形ABCD各边相切，若AB＝5，BC＝6，CD＝4，则AD的长为 3 ．【分析】根据切线长定理可得AD+BC＝AB+CD，即可求AD的长度．【解答】解：∵⊙O与四边形ABCD各边相切，∴AD+BC＝AB+CD，∵AB＝5，BC＝6，CD＝4，∴AD＝3，故答案为：3．13．如图，⊙O半径为2，弦AB∥弦CD，AB＝2，CD＝2，则AB和CD之间的距离﹣或+．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，如图1所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AF＝1，CE＝，∵OA＝OC＝2，∴EO＝＝＝，OF＝＝，∴EF＝OF﹣OE＝﹣；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图2所示，∵AB＝2，CD＝2，∴AE＝1，CF＝，∵OA＝OC＝2，同法可得EO＝，OF＝，∴EF＝OF+OE＝+；综上所述：AB和CD之间的距离为﹣或+．故答案为：﹣或+．14．若关于x的方程x2﹣（k+3）x+3k＝0的两根之差为8，则k的值为11或﹣5 ．【分析】由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k；又知两根之差为8，即|x1﹣x2|＝8，根据（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2，建立等量关系求k．【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2＝k+3，x1•x2＝3k．由已知两根之差为8，得|x1﹣x2|＝8，即（x1﹣x2）2＝64．则（x1+x2）2﹣4x1x2＝64，（k+3）2﹣4×3k＝64，解得k＝11或﹣5．故答案为：11或﹣5．15．如图，AB是⊙O的内接正方形一边，点C在弧AB上，且AC是⊙O的内接正六边形的一边，若将BC看作是⊙O的内接正n边形的一边，则n的值是12 ．【分析】根据中心角的度数＝360°÷边数，列式计算分别求出∠AOB，∠BOC的度数，则∠AOC＝30°，则边数n＝360°÷中心角．【解答】解：连接OC，∵AB是⊙O内接正方形的一边，∴∠AOB＝360°÷4＝90°，∵BC是⊙O内接正六边形的一边，∴∠BOC＝360°÷6＝60°，∴∠AOC＝∠AOB﹣∠BOC＝90°﹣60°＝30°，∴n＝360°÷30°＝12；故答案为：12；16．若方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0有公共根，则常数m的值是1或﹣2 ．【分析】先设公共根为t，则t2+mt+1＝0，t2+t+m＝0，把两方程相减得到（m﹣1）t＝m ﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，解方程求出t 的值，再根据方程解的定义得出1+m+1＝0，解得m的值即可．【解答】解：设方程x2+mx+1＝0和x2+x+m＝0的公共根为t，则t2+mt+1＝0①，t2+t+m＝0②，①﹣②得（m﹣1）t＝m﹣1，如果m＝1，那么两个方程均为x2+x+1＝0，符合题意；如果m≠1，那么t＝1，把t＝1代入①，得1+m+1＝0，解得m＝﹣2．故常数m的值为1或﹣2．故答案为：1或﹣2．三．解答题（共11小题）17．解下列一元二次方程（1）x（x+3）＝5（x+3）（2）2x2+4x+1＝0【分析】（1）利用因式分解法求解可得；（2）利用公式法求解可得．【解答】解：（1）∵x（x+3）﹣5（x+3）＝0，∴（x+3）（x﹣5）＝0，则x+3＝0或x﹣5＝0，解得x＝﹣3或x＝5；（2）∵a＝2，b＝4，c＝1，∴△＝42﹣4×2×1＝8＞0，则x＝＝．18．如图，AB是⊙O的直径，AC＝BC，AC、BC分别交⊙O于点D、E，连接DE，求证：DE∥AB．【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可【解答】证明∵AC＝BC，∴∠A＝∠B，∵四边形ABCD是内接于⊙O，∴∠CDE＝∠B，∴DE∥AB．19．一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．【分析】三个连续自然数，依次大1，设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：设中间一个为x，则其余两个为x﹣1，x+1，由勾股定理得（x+1）2＝（x﹣1）2+x2，即x（x﹣4）＝0，∴x1＝0，x2＝4，当x＝0时，x﹣1＝﹣1＜0，∵x﹣1表示三角形的边长，不能为负数，∴x＝0舍去，当x＝4，x﹣1＝4﹣1＝3，x+1＝4+1＝5，∴它的三边长为3，4，5．20．已知关于x的一元二次方程：kx2+（2k+1）x+k+2＝0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；（2）若该方程的两根x1，x2满足＝﹣3，求k的值．【分析】（1）由x的一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，可得k≠0且△＞0即可求出k的取值范围，（2）根据根与系数的关系及＝﹣3，即可求出k的值．【解答】解：（1）∵方程有两个不相等的实数根，∴k≠0且△＝（2k+1）2﹣4k（k+2）＞0，解得：k＜且k≠0，∴k的取值范围：k＜且k≠0．（2）∵一元二次方程kx2+（2k+1）x+k+2＝0的两个实数根是x1和x2，∴x1+x2＝﹣，x1x2＝，∴＝﹣3，∴＝﹣3，解得：k＝﹣5．故k的值是﹣5．21．如图，AB是⊙O的直径，点C、F在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，CD的延长线交BF于点E，求证：∠BCE＝∠BFC．【分析】连接AC，利用圆周角定理得出∠CAB＝∠CFB，进而利用同角的余角相等解答即可．【解答】证明：连接AC，∵∠CAB与∠CFB所对弧为，∴∠CAB＝∠CFB，∵∠CAB+∠CBA＝90°，∠BCE+∠CBA＝90°∴∠BCE＝∠CAB＝∠CFB．22．如图，∠ABM＝90°，⊙O分别切AB、BM于点D、E．AC切⊙O于点F，交BM于点C（C 与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若⊙O半径为1，AD＝4，求AC的长．【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交⊙O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC 即为所求．（2）设CF＝CE＝x，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．（2）连接OE，OD．∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F是切点，∴∠OEB＝∠ODB＝∠B＝90°，∴四边形OEBD是矩形，∵OE＝OD＝1，∴四边形OEBD是正方形，∴BD＝BE＝1，∵AF＝AD＝4，设CF＝CE＝x，在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，∴（4+x）2＝52+（1+x）2，∴x＝，∴AC＝AF+CF＝4+＝．23．学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25m），面积是300m2．求这个生物园的边AB的长．【分析】可设宽为xm，则长为（50﹣2x）m，根据等量关系：面积是300m2．列出方程求解即可．【解答】解：设宽为xm，则长为（50﹣2x）m．由题意，得x•（50﹣2x）＝300，解得x1＝10，x2＝15．∵50﹣2x≤25，∴x≥12.5，∴x＝15．答：生物园的边AB的长15m．24．如图，AB是⊙O的直径，点C、D在圆上，＝，过点C作CE⊥AD延长线于点E．（1）求证：CE是⊙O的切线；（2）若BC＝3，AC＝4，求CE和AD的长．【分析】（1）连接OC，OA＝OC，则∠OCA＝∠OAC，再由已知条件，可得∠OCE＝90°；（2）由CE是⊙O的切线，得∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，从而求得△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，根据相似三角形对应边成比例即可求得．【解答】解：（1）连接OC，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC，∵＝∴DC＝BC，∴∠BAC＝∠CAD，∴∠OCA＝∠CAD，∴OC∥AE，∵∠E＝90°∴OC⊥CE，∴CE是⊙O的切线；（2）∵CE是⊙O的切线，∴∠DCE＝∠CAE＝∠CAB，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠E，∴△CDE∽△ABC，△ACE∽△ABC，∴＝＝，＝∵BC＝3，AC＝4，∴AB＝5，CD＝3，∴＝，＝，＝∴CE＝，ED＝，AE＝，∴AD＝AE﹣ED＝．25．如图，⊙O的半径为2，O到顶点A的距离为5，点B在⊙O上，点P是线段AB的中点，若B在⊙O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）△ABC始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．【分析】（1）连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，则HP是△ABO的中位线，得出HP＝OB＝1，即P点到H点的距离固定为1，即可得出结论；（2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC的最小值和最大值即可．【解答】（1）解：连接OA、OB，取OA的中点H，连接OB，HP，如图1所示：则HP是△ABO的中位线，∴HP＝OB＝1，∴P点到H点的距离固定为1，∴B在⊙O上运动一周，点P运动的路径是以点H为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO并延长AO交⊙O于点M、N，如图2所示：∵△ABC是等边三角形，点P是线段AB的中点，∴PC⊥AB，PA＝PB＝AB＝BC，∴PC＝PA＝AB，当点B运动到点M位置时，点P运动到点P'位置，PC最短，∵AM＝OA﹣OM＝5﹣2＝3，∴AP'＝AM＝，∴PC＝；当点B运动到点N位置时，点P运动到点P''位置，PC最长，∵AN＝OA+ON＝5+2＝7，∴AP''＝AN＝，∴PC＝；∴PC长的取值范围是≤PC≤．26．已知⊙O半径为1，若点P在⊙O外且⊙O上存在点A、B使得∠APB＝60°，则称点P是⊙O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是⊙O的领域点（在横线上填“是”或“不是”）．（2）若点P是⊙O的领域点，则OP的取值范围是1＜OP≤2 ；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线y＝﹣x+b（b＞0）与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在⊙O的领域点，求b的取值范围．【分析】（1）根据点P是⊙O的领域点的定义即可判断．（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA 与PB之间的夹角为60°，求出OP的长即可．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，求出b的值即可．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，求出b的值即可判断．【解答】解：（1）观察图形可知图①②中，点P是⊙O的领域点，图③中点P不是⊙O 的领域点．故答案为是，是，不是．（2）由题可知：若点P刚好是⊙O的领域点，则点P到⊙O的两条切线PA与PB之间的夹角为60°，如图1，∵PA、PB与⊙O分别相切于点A、B，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∠APO＝∠BPO＝∠APB＝30°．∴OP＝2OA．设⊙O的半径为r，则点P刚好是⊙O的领域点时OP＝2r．所以若点P是⊙O的领域点，则需点满足1＜OP≤2．（3）①如图2中，当点O到直线y＝﹣x+b的距离OP＝2时，线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点，∵M（b，0），N（0，b），∴OM＝ON，∵OP⊥MN，∴PM＝PN，∴OP＝PM＝PN＝2，∴OM＝ON＝2，∴b＝2，∴当线段MN上有且只有一个点是⊙O的领域点时b＝2．②当直线与⊙O相切时，设切点为E，∵OE＝EN′＝EM′＝1，∴ON′＝OM′＝，观察图象可知，当线段MN上存在⊙O的领域点，b的取值范围为＜b．27．解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2（a、m、b均为常数，a≠0），则方程a（x+m+2）2+b＝0的解是x1＝﹣1，x2＝﹣4 ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题个方程中求出（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则“x+2”的值为1或﹣2 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．【分析】（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程求得m＝，于是得到原方程为：a（x）+b＝0，求得﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得于是得到结论；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．【解答】解：（1）把x1＝1，x2＝﹣2分别代入原方程得，，解得：m＝，∴原方程为：a（x）+b＝0，∴﹣，将m＝和﹣＝代入第2个方程得，（x+）2＝，解得：x1＝﹣1，x2＝﹣4；故答案为：x1＝﹣1，x2＝﹣4；（2）把第二个方程中的“x+2”看做第一个方程中的“x”，则x+2”的值为1或﹣2；故答案为：1或﹣2；（3）∵（a2﹣2b2）x2+（2b2﹣2c2）x+2c2﹣a2＝0有两个相等的实数根，∴观察原方程可得x＝1，即原方程可化成m（x﹣1）2＝0的形式，由方程的结构特点可得，展开得：mx2﹣2mx+m＝0，∴二次项系数和常数项相等，即a2﹣2b2＝2c2﹣a2，∴a2＝b2+c2，∴△ABC是直角三角形，且∠A＝90°．。
2019-2020学年江苏省南京鼓楼区九年级(上)期中数学试卷
2019-2020学年江苏省南京鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共12分）1．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）平面内，O 的半径为3，2OP =，则点P 在( )A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．以上都有可能2．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x ，则可列方程( )A ．2100(1)81x +=B ．2100(1)81x -=C ．281(1)100x +=D ．281(1)100x -=3．（2分）（2004•大连）一元二次方程2240x x ++=的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根4．（2分）（2019秋•灵石县期末）解一元二次方程2410x x +-=，配方正确的是( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)5x -=5．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是( )A ．70︒B ．120C ．140︒D ．160︒6．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图①，若BC 是Rt ABC ∆和Rt DBC ∆的公共斜边，则A 、B 、C 、D 在以BC 为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，ABC ∆的三条高AD 、BE 、CF 相交于点H ，则图②中“四点共圆”的组数为( )A ．2B ．3C ．4D ．6二、填空题（共20分）7．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）写出一个两根分别为0和2的一元二次方程 ． 8．（2分）（2019秋•鼓楼区期末）若扇形的半径长为3，圆心角为60︒，则该扇形的弧长为 ．9．（2分）（2008•镇江）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 ．（结果保留)π10．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，1AE =，4CD =，则OC 的长为 ．11．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若x m =是方程2220190x x +-=的一个根，则(2)m m +的值为 ．12．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 与四边形ABCD 各边相切，若5AB =，6BC =，4CD =，则AD 的长为 ．13．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 半径为2，弦//AB 弦CD ，2AB =，22CD =，则AB 和CD 之间的距离 ．14．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若关于x 的方程2(3)30x k x k -++=的两根之差为8，则k 的值为 ．15．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的内接正方形一边，点C 在弧AB 上，且AC 是O 的内接正六边形的一边，若将BC 看作是O 的内接正n 边形的一边，则n 的值是 ．16．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若方程210x mx ++=和20x x m ++=有公共根，则常数m 的值是 ．三、解答题（共88分）17．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解下列一元二次方程（1）(3)5(3)x x x +=+（2）22410x x ++=18．（7分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，AC BC =，AC 、BC 分别交O 于点D 、E ，连接DE ，求证：//DE AB ．19．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．20．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）已知关于x 的一元二次方程：2(21)20kx k x k ++++=．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围；（2）若该方程的两根1x ，2x 满足12113x x +=-，求k 的值． 21．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，点C 、F 在O 上，CD AB ⊥，垂足为D ，CD 的延长线交BF 于点E ，求证：BCE BFC ∠=∠．22．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，90ABM ∠=︒，O 分别切AB 、BM 于点D 、E ．AC 切O 于点F ，交BM 于点(C C 与B 不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC ；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若O 半径为1，4AD =，求AC 的长．23．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）学校打算用50m的篱笆围城一个矩形生物园ABCD，生物园的一面靠墙MN（墙MN可利用的长度为25)300m．求这个生物园的边ABm，面积是2的长．24．（8分）（2014秋•鼓楼区期末）如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，BC CD=，过点C作CE AD⊥延长线于点E．（1）求证：CE是O的切线；（2）若3AC=，求CE和AD的长．BC=，425．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O的半径为2，O到定点A的距离为5，点B在O上，点P是线段AB的中点，若B在O上运动一周．（1）点P的运动路径是一个圆；（2）ABC∆始终是一个等边三角形，直接写出PC长的取值范围．（1）思路引导要证点P运动的路径是一个圆，只要证点P到定点M的距离等于定长r，由图中的定点、定长可以发现M，r．26．（9分）（2019秋•鼓楼区期中）已知O半径为1，若点P在O外且O上存在点A、B使得60APB∠=︒，则称点P是O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是O 的领域点（在横线上填“是”或“不是”)．①当 1.2OP=时，点P O的领域点②当2OP=时，点P O的领域点③当3OP=时，点P O的领域点（2）若点P是O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线(0)y x b b=-+>与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在O的领域点，求b的取值范围．27．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是11x =，22(x a =-、m 、b 均为常数，0)a ≠，则方程2(2)0a x m b +++=的解是 ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题 小明的思路第1步把1，2-代入到第1个方程中求出m 的值；第2步把m 的值代入到第1个方程中求出b a-的值； 第3步解第2个方程．（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，则“2x +”的值为 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答． 已知方程2222222(2)(22)20a b x b c x c a -+-+-=有两个相等的实数根，其中常数a 、b 、c是ABC ∆三边的长，判断ABC ∆的形状．2019-2020学年江苏省南京鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12分）1．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）平面内，O 的半径为3，2OP =，则点P 在( )A ．O 内B ．O 上C ．O 外D ．以上都有可能【考点】8M ：点与圆的位置关系【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；点与圆心的距离d r >时，点在圆外；当d r =时，点在圆上；当d r <时，点在圆内．【解答】解：3OP <，∴点P 在O 内部．故选：A ．【点评】本题考查了对点与圆的位置关系的判断．关键要记住若半径为r ，点到圆心的距离为d ，则有：当d r >时，点在圆外；当d r =时，点在圆上，当d r <时，点在圆内．2．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）某商品单价经过两次降价从100元降至81元，设平均每月降价百分率为x ，则可列方程( )A ．2100(1)81x +=B ．2100(1)81x -=C ．281(1)100x +=D ．281(1)100x -=【考点】AC ：由实际问题抽象出一元二次方程【分析】设平均每次降价的百分率为x ，根据降价前及经过两次降价后的价格，即可得出关于x 的一元二次方程，此题得解．【解答】解：设平均每次降价的百分率为x ，根据题意得：2100(1)81x -=．故选：B ．【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．3．（2分）（2004•大连）一元二次方程2240x x ++=的根的情况是( )A ．有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根【考点】AA ：根的判别式【分析】判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△24b ac =-的值的符号就可以了．【解答】解：1a =，2b =，4c =，∴△2242414120b ac =-=-⨯⨯=-<，∴方程没有实数根．故选：D ．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△0>⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△0=⇔方程有两个相等的实数根；（3）△0<⇔方程没有实数根．4．（2分）（2019秋•灵石县期末）解一元二次方程2410x x +-=，配方正确的是( )A ．2(2)3x +=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)5x -=【考点】6A ：解一元二次方程-配方法；5A ：解一元二次方程-直接开平方法【分析】根据一元二次方程的配方法即可求出答案．【解答】解：2410x x +-=，2445x x ∴++=，2(2)5x ∴+=，故选：C ．【点评】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．5．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，四边形ABCD 为O 的内接四边形，110BCD ∠=︒，则BOD ∠的度数是( )A ．70︒B ．120C ．140︒D ．160︒【考点】4M ：圆心角、弧、弦的关系；5M ：圆周角定理；6M ：圆内接四边形的性质【分析】根据圆内接四边形的性质求出A ∠，再根据圆周角定理解答即可．【解答】解：四边形ABCD为O的内接四边形，110∠=︒，BCD∴∠=︒-∠=︒，18070A BCD由圆周角定理得，2140BOD A∠=∠=︒，故选：C．【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．6．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图①，若BC是Rt ABC∆的公共斜边，则A、∆和Rt DBCB、C、D在以BC为直径的圆上，则叫它们“四点共圆”．如图②，ABC∆的三条高AD、BE、CF相交于点H，则图②中“四点共圆”的组数为()A．2B．3C．4D．6【考点】@4：四点共圆【分析】根据两个直角三角形公共斜边时，四个顶点共圆，结合图形求解可得．【解答】解：如图，以AH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(A、F、H、)E，以BH为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(B、F、H、)D，以CH 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(C 、D 、H 、)E ， 以AB 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(A 、E 、D 、)B ， 以BC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(B 、F 、E 、)C ， 以AC 为斜边的两个直角三角形，四个顶点共圆(A 、F 、D 、)C ， 共6组． 故选：D ．【点评】本题考查了四点共圆的判断方法．关键是明确有公共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆．二、填空题（共20分）7．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）写出一个两根分别为0和2的一元二次方程 (2)0x x -= ． 【考点】AB ：根与系数的关系【分析】根据以1x 2x 为根的一元二次方程为12()()0x x x x --=写出即可．【解答】解：两根分别为0和2的一元二次方程是(0)(2)0x x --=，即(2)0x x -=． 故答案为：(2)0x x -=．【点评】本题考查了一元二次方程和根与系数的关系，注意：以1x 2x 为根的一元二次方程为12()()0x x x x --=．8．（2分）（2019秋•鼓楼区期末）若扇形的半径长为3，圆心角为60︒，则该扇形的弧长为π ．【考点】MN ：弧长的计算【分析】根据弧长的公式列式计算即可．【解答】解：一个扇形的半径长为3，且圆心角为60︒，∴此扇形的弧长为603180ππ⨯=． 故答案为：π．【点评】本题考查了弧长公式，熟记公式是解题的关键．9．（2分）（2008•镇江）圆锥的底面半径为1，母线长为2，则它的侧面积为 2π ．（结果保留)π【考点】MP ：圆锥的计算【分析】圆锥侧面积=圆周率⨯底面圆的半径⨯母线长，依此列式计算即可．【解答】解：圆锥的底面半径为1，母线长为2，∴它的侧面积为122ππ⨯⨯=．故答案为：2π．【点评】本题主要考查了圆锥的侧面积的计算方法．10．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，弦CD AB ⊥于点E ，1AE =，4CD =，则OC 的长为52．【考点】2M ：垂径定理；KQ ：勾股定理【分析】先利用垂径定理得到122CE DE CD ===，设OC r =，根据勾股定理得222(1)2r r -+=，然后解方程即可． 【解答】解：弦CD AB ⊥于点E ， 122CE DE CD ∴===，设OC r =，则1OE OA AE r =-=-， 在Rt COE ∆中，222(1)2r r -+=，解得52r =， 即OC 的长为52． 故答案为52． 【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．11．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若x m =是方程2220190x x +-=的一个根，则(2)m m +的值为 2019 ．【考点】3A ：一元二次方程的解【分析】把x m =代入方程求出222019m m +=，把(2)(2)m m m m ++代入求出即可． 【解答】解：根据题意，将x m =代入方程，得：2220190m m +-=，则222019m m +=，2(2)22019m m m m ∴+=+=． 故答案为：2019．【点评】本题考查了一元二次方程的解的应用，用了整体代入思想，即把22m m -当作一个整体来代入．12．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 与四边形ABCD 各边相切，若5AB =，6BC =，4CD =，则AD 的长为 3 ．【考点】MC ：切线的性质【分析】根据切线长定理可得AD BC AB CD +=+，即可求AD 的长度． 【解答】解：O 与四边形ABCD 各边相切， AD BC AB CD ∴+=+， 5AB =，6BC =，4CD =， 3AD ∴=，故答案为：3．【点评】本题考查了切线的性质，熟练掌握切线长定理是解决问题的关键．13．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 半径为2，弦//AB 弦CD ，2AB =，22CD =，则AB 和CD 之间的距离 32或32 ．【考点】KQ ：勾股定理；KM ：等边三角形的判定与性质；2M ：垂径定理；JC ：平行线之间的距离【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB 和CD 在圆心同侧；②弦AB 和CD 在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可． 【解答】解：①当弦AB 和CD 在圆心同侧时，如图1所示，2AB =，22CD =， 1AF ∴=，2CE =，2OA OC ==，22222(2)2EO OC CE ∴=-=-=，223OF OA AF =-=， 32EF OF OE ∴=-=-；②当弦AB 和CD 在圆心异侧时，如图2所示，2AB =，22CD =， 1AE ∴=，2CF =，2OA OC ==，同法可得EO =，OF ，EF OF OE ∴=+=综上所述：AB 和CD【点评】本题考查的是垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键，注意辅助线的作法要正确．14．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若关于x 的方程2(3)30x k x k -++=的两根之差为8，则k 的值为 11或5- ．【考点】AB ：根与系数的关系【分析】由根与系数的关系可知：123x x k +=+，123x x k =；又知两根之差为8，即12||8x x -=，根据22121212()()4x x x x x x -=+-，建立等量关系求k ．【解答】解：由根与系数的关系可知：123x x k +=+，123x x k =． 由已知两根之差为8，得12||8x x -=，即212()64x x -=． 则21212()464x x x x +-=，2(3)4364k k +-⨯=， 解得11k =或5-． 故答案为：11或5-．【点评】考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．15．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的内接正方形一边，点C 在弧AB 上，且AC 是O 的内接正六边形的一边，若将BC 看作是O 的内接正n 边形的一边，则n 的值是 12 ．【考点】LE：正方形的性质；MM：正多边形和圆【分析】根据中心角的度数360∠的度数，则=︒÷边数，列式计算分别求出AOB∠，BOCn=︒÷中心角．∠=︒，则边数360AOC30【解答】解：连接OC，AB是O内接正方形的一边，∴∠=︒÷=︒，360490AOBBC是O内接正六边形的一边，BOC∴∠=︒÷=︒，360660∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，AOC AOB BOC906030∴=︒÷︒=；3603012n故答案为：12；【点评】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、正八边形、正二十四边形的性质；根据题意求出中心角的度数是解题的关键．16．（2分）（2019秋•鼓楼区期中）若方程210++=有公共根，则常数x x mx mx++=和20m的值是2-．【考点】3A：一元二次方程的解【分析】先设公共根为t ，则210t mt ++=，20t t m ++=，把两方程相减得到(1)1m t m -=-，如果1m =，那么两个方程均为210x x ++=，△0<，不符合题意；如果1m ≠，解方程求出t 的值，再根据方程解的定义得出110m ++=，解得m 的值即可．【解答】解：设方程210x mx ++=和20x x m ++=的公共根为t ， 则210t mt ++=①， 20t t m ++=②，①-②得(1)1m t m -=-，如果1m =，那么两个方程均为210x x ++=，△2141130=-⨯⨯=-<，不符合题意； 如果1m ≠，那么1t =，把1t =代入①，得110m ++=，解得2m =-． 故常数m 的值为2-． 故答案为：2-．【点评】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 三、解答题（共88分）17．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解下列一元二次方程 （1）(3)5(3)x x x +=+ （2）22410x x ++=【考点】8A ：解一元二次方程-因式分解法；6A ：解一元二次方程-配方法 【分析】（1）利用因式分解法求解可得； （2）利用公式法求解可得． 【解答】解：（1）(3)5(3)0x x x +-+=，(3)(5)0x x ∴+-=，则30x +=或50x -=， 解得3x =-或5x =；（2）2a =，4b =，1c =，∴△2442180=-⨯⨯=>，则42222x-±-±==．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．18．（7分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB是O的直径，AC BC=，AC、BC分别交O于点D、E，连接DE，求证：//DE AB．【考点】5M：圆周角定理【分析】根据圆周角定理和内接四边形解答即可【解答】证明AC BC=，A B∴∠=∠，四边形ABCD是内接于O，CDE B∴∠=∠，CDE A∴∠=∠，//DE AB∴．【点评】此题考查圆周角定理，关键是内接四边形的性质解答．19．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）一个直角三角形三边的长为一组连续自然数，求该直角三角形的三边长．【考点】AD：一元二次方程的应用；KQ：勾股定理【分析】三个连续自然数，依次大1，设中间一个为x，则其余两个为1x-，1x+，再根据勾股定理即可求解．【解答】解：设中间一个为x，则其余两个为1x -，1x +， 由勾股定理得222(1)(1)x x x +=-+， 即(4)0x x -=， 10x ∴=，24x =，当0x =时，110x -=-<，1x -表示三角形的边长，不能为负数， 0x ∴=舍去，当4x =，1413x -=-=，1415x +=+=，∴它的三边长为3，4，5．【点评】考查了勾股定理，一元二次方程的应用，此题较简单，关键是熟知勾股定理：在直角三角形中两条直角边的平方和等于斜边的平方．20．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）已知关于x 的一元二次方程：2(21)20kx k x k ++++=． （1）若该方程有两个不相等的实数根，求k 的取值范围； （2）若该方程的两根1x ，2x 满足12113x x +=-，求k 的值． 【考点】1A ：一元二次方程的定义；AB ：根与系数的关系；AA ：根的判别式【分析】（1）由x 的一元二次方程2(21)20kx k x k ++++=的两个实数根是1x 和2x ，可得0k ≠且△0>即可求出k 的取值范围， （2）根据根与系数的关系及12113x x +=-，即可求出k 的值． 【解答】解：（1）方程有两个不相等的实数根， 0k ∴≠且△2(21)4(2)0k k k =+-+>，解得：14k <且0k ≠， k ∴的取值范围：14k <且0k ≠． （2）一元二次方程2(21)20kx k x k ++++=的两个实数根是1x 和2x ， 1221k x x k +∴+=-，122k x x k+=， 12113x x +=-，∴12123x x x x +=-， ∴2132k k k k +-=-+， 解得：5k =-． 故k 的值是5-．【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键是掌握1x ，2x 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根时，12b x x a +=-，12cx x a=．21．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，AB 是O 的直径，点C 、F 在O 上，CD AB ⊥，垂足为D ，CD 的延长线交BF 于点E ，求证：BCE BFC ∠=∠．【考点】5M ：圆周角定理【分析】连接AC ，利用圆周角定理得出CAB CFB ∠=∠，进而利用同角的余角相等解答即可．【解答】证明：连接AC ，CAB ∠与CFB ∠所对弧为BC ，CAB CFB ∴∠=∠， 90CAB CBA ∠+∠=︒， 90BCE CBA ∠+∠=︒∴∠=∠=∠．BCE CAB CFB【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．22．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，90∠=︒，O分别切AB、BM于点D、E．ACABM切O于点F，交BM于点(C C与B不重合）．（1）用直尺和圆规作出AC；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若O半径为1，4AD=，求AC的长．【考点】3N：作图-复杂作图；MC：切线的性质【分析】（1）以A为圆心，AD为半径画弧交O于F，作直线AF交BM于点C，直线AC 即为所求．（2）设CF CE x==，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，直线AC即为所求．（2）连接OE，OD．O是ABC∆的内切圆，D，E，F是切点，∴∠=∠=∠=︒，90OEB ODB B∴四边形OEBD是矩形，1OE OD ==，∴四边形OEBD 是正方形，1BD BE ∴==，4AF AD ==，设CF CE x ==，在Rt ABC ∆中，222AC AB BC =+，222(4)5(1)x x ∴+=++， 53x ∴=， 517433AC AF CF ∴=+=+=． 【点评】本题考查作图-复杂作图，切线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）学校打算用50m 的篱笆围城一个矩形生物园ABCD ，生物园的一面靠墙MN （墙MN 可利用的长度为25)m ，面积是2300m ．求这个生物园的边AB 的长．【考点】AD ：一元二次方程的应用【分析】可设宽为x m ，则长为(502)x m -，根据等量关系：面积是2300m ．列出方程求解即可．【解答】解：设宽为x m ，则长为(502)x m -．由题意，得(502)300x x -=，解得110x =，215x =．50225x -，12.5x ∴，15x ∴=．答：生物园的边AB的长15m．【点评】考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．24．（8分）（2014秋•鼓楼区期末）如图，AB是O的直径，点C、D在圆上，BC CD=，过点C作CE AD⊥延长线于点E．（1）求证：CE是O的切线；（2）若3AC=，求CE和AD的长．BC=，4【考点】MD：切线的判定【分析】（1）连接OC，OA OCOCE∠=︒；∠=∠，再由已知条件，可得90=，则OCA OAC（2）由CE是O的切线，得DCE CAE CAB∽，∠=∠=∠，从而求得CDE ABC∆∆∆∆∽，根据相似三角形对应边成比例即可求得．ACE ABC【解答】解：（1）连接OC，=，OA OC∴∠=∠，OCA OAC=BC CDDC BC∴=，∴∠=∠，BAC CAD∴∠=∠，OCA CAD//∴，OC AEE∠=︒90∴⊥，OC CE∴是O的切线；CE（2）CE是O的切线，DCE CAE CAB ∴∠=∠=∠， AB 是O 的直径，90ACB ∴∠=︒，ACB E ∴∠=∠，CDE ABC ∴∆∆∽，ACE ABC ∆∆∽， ∴CE CD ED AC AB BC ==，AE AC AC AB= 3BC =，4AC =，5AB ∴=，3CD =，∴345CE =，335ED =，445AE = 125CE ∴=，95ED =，165AE =， 75AD AE ED ∴=-=．【点评】考查了切线的判定定理和勾股定理，三角形相似的判定和性质，都是基础知识要熟练掌握．25．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）如图，O 的半径为2，O 到定点A 的距离为5，点B 在O 上，点P 是线段AB 的中点，若B 在O 上运动一周．（1）点P 的运动路径是一个圆；（2）ABC ∆始终是一个等边三角形，直接写出PC 长的取值范围．（1）思路引导【考点】4O ：轨迹；KK ：等边三角形的性质【分析】（1）连接OA 、OB ，取OA 的中点H ，连接OB ，HP ，则HP 是ABO ∆的中位线，得出112HP OB ==，即P 点到H 点的距离固定为1，即可得出结论； （2）由等边三角形的性质和直角三角形的性质分别求出PC 的最小值和最大值即可．【解答】（1）解：连接OA 、OB ，取OA 的中点H ，连接OB ，HP ，如图1所示： 则HP 是ABO ∆的中位线，112HP OB ∴==， P ∴点到H 点的距离固定为1，B ∴在O 上运动一周，点P 运动的路径是以点H 为圆心，半径为1的一个圆；（2）解：连接AO 并延长AO 交O 于点M 、N ，如图2所示：ABC ∆是等边三角形，点P 是线段AB 的中点，PC AB ∴⊥，1122PA PB AB BC ===，PC AB ∴==， 当点B 运动到点M 位置时，点P 运动到点P '位置，PC 最短，523AM OA OM =-=-=，1322AP AM '∴==，PC ∴=； 当点B 运动到点N 位置时，点P 运动到点P ''位置，PC 最长，527AN OA ON =+=+=，1722AP AN ''∴==，PC ∴；PC ∴73PC ．【点评】本题考查了轨迹、三角形中位线定理、等边三角形的性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握三角形中位线定理和等边三角形的性质是解题的关键．26．（9分）（2019秋•鼓楼区期中）已知O半径为1，若点P在O外且O上存在点A、B使得60APB∠=︒，则称点P是O的领域点．（1）对以下情况，用三角板或量角器尝试画图，并判断点P是否是O的领域点（在横线上填“是”或“不是”)．①当 1.2OP=时，点P是O的领域点②当2OP=时，点P O的领域点③当3OP=时，点P O的领域点（2）若点P是O的领域点，则OP的取值范围是；（3）如图，以圆心O为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，设直线(0)y x b b=-+>与x轴、y轴分别相交于点M、N．①若线段MN上有且只有一个点是O的领域点，求b的值；②若线段MN上存在O的领域点，求b的取值范围．【考点】MR：圆的综合题【分析】（1）根据点P是O的领域点的定义即可判断．（2）如图1中，由题可知：若点P刚好是O的领域点，则点P到O的两条切线PA与PB 之间的夹角为60︒，求出OP的长即可．（3）①如图2中，当点O到直线y x b=-+的距离2OP=时，线段MN上有且只有一个点是O的领域点，求出b的值即可．②利用①中结论，结合图象即可解决问题．【解答】解：（1）观察图形可知图①②中，点P是O的领域点，图③中点P不是O的领域点．故答案为是，是，不是．（2）由题可知：若点P刚好是O的领域点，则点P到O的两条切线PA与PB之间的夹角为60︒，如图1，PA、PB与O分别相切于点A、B，90OAP OBP∴∠=∠=︒，1302APO BPO APB∠=∠=∠=︒．2OP OA ∴=．设O 的半径为r ，则点P 刚好是O 的领域点时2OP r =．所以若点P 是O 的领域点，则需点满足12OP <．（3）①如图2中，当点O 到直线y x b =-+的距离2OP =时，线段MN 上有且只有一个点是O 的领域点，(,0)M b ，(0,)N b ，OM ON ∴=，OP MN ⊥，PM PN ∴=，2OP PM PN ∴===，22OM ON ∴==22b ∴=∴当线段MN 上有且只有一个点是O 的领域点时22b =②观察图象可知，当线段MN 上存在O 的领域点，b 的取值范围为122b <．【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，切线的判定和性质，点P 是O 的领域点的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．27．（8分）（2019秋•鼓楼区期中）解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．例题呈现关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是11x =，22(x a =-、m 、b 均为常数，0)a ≠，则方程2(2)0a x m b +++=的解是 11x =-，24x =- ．解法探讨（1）小明的思路如图所示，请你按照他的思路解决这个问题（2）小红仔细观察两个方程，她把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，则“2x +”的值为 ，从而更简单地解决了问题．策略应用（3）小明和小红认真思考后认为，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解決以下问题，请用他们说的方法完成解答．【考点】7A ：解一元二次方程-公式法；68：最简分式；AA ：根的判别式；1A ：一元二次方程的定义；AB ：根与系数的关系；KS ：勾股定理的逆定理 【分析】（1）把11x =，22x =-分别代入原方程求得12m =，于是得到原方程为：1()02a x b ++=，求得94b a -=，将12m =和94b a -=代入第2个方程得于是得到结论； （2）把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，即可得到结论；（3）根据原方程的结构特点得到1x =，即原方程可化成2(1)0m x -=的形式，根据二次项系数和常数项相等于是得到结论．【解答】解：（1）把11x =，22x =-分别代入原方程得，22(1)0(2)0a m b a m b ⎧++=⎨-++=⎩， 解得：12m =，∴原方程为：1()02a xb ++=， 94b a ∴-=， 将12m =和94b a -=代入第2个方程得，259()24x +=， 解得：11x =-，24x =-；故答案为：11x =-，24x =-；（2）把第二个方程中的“2x +”看做第一个方程中的“x ”，则2x +”的值为1或2-；故答案为：1或2-；（3）2222222(2)(22)20a b x b c x c a -+-+-=有两个相等的实数根，∴观察原方程可得1x =，即原方程可化成2(1)0m x -=的形式，由方程的结构特点可得，展开得：220mx mx m -+=，∴二次项系数和常数项相等，即222222a b c a -=-，222a b c ∴=+，ABC ∴∆是直角三角形，且90A ∠=︒．【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的定义，勾股定理的逆定理，正确的理解题意是解题的关键．。
南京市鼓楼区2019届九年级上期中数学试卷及答案(word版)
南京市鼓楼区2019-2019学年九年级上期中考试数学试卷一选择题：本大题共6小题，每小题2分，共12分。
1.方程x2=x的根是（）A.x=1B.x=-1C.x1=0,x2=1D.x1=0,x2=-12.一元二次方程x2-4x+4=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.无实数根D.无法确定3.如图，若圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A.30πcm2B.480πcm2C.600πcm2D.800πcm24.某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如下表表示。
若把听、说、读、写的成绩按3:3:2:2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A.82B.83C.84D.855.如图，⊙O经过△ABC的三个顶点。
若∠B=750，∠C=600，且弧BC的长度为4π，则弦BC的长度为（）A.8B.82C.16D.1626.小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A.①B.②C.③D.均不可能二填空题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。
7.用配方法解方程x2-4x=5时，方程的两边同时加上，可使方程左边配成一个完全平方式。
8.若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O .9.若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1,x2,则x1+x2的值是 .10.已知不透明的袋子中装有2个红球，3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是 .11.如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、CD于点E、F，则图中阴影部分的面积为 .12.如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB,垂足为H,若HB=2，HD=4，则AH= .13.如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E,连接AD.若∠C=800，∠CEA=300.则∠CDA= .14.如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程： .15.将一个三角形纸板按如图所示的方式放置在一个破损的量角器上，使点C落在半圆上。
南京市秦淮区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 ( 含解析)
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正三角形D．圆2．一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是（）A．9πB．16πC．20πD．25π3．在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是（）A．87，87 B．87，85 C．83，87 D．83，854．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（）A．（x﹣4）2＝8 B．（x﹣4）2＝40 C．（x﹣8）2＝8 D．（x﹣8）2＝40 5．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③6．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8 B．16 C．32 D．32二、填空题（共20分）7．方程x2＝x的解是．8．若x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，则p﹣q的值是．9．数据9，11，8，12，7，13的极差是．10．如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，若∠ABC＝25°，则∠D的度数是°．11．小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：那么他射中环数的平均数是环．12．如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，则∠AFE的度数是°．13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是cm（结果保留π）．14．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD 的度数是°．16．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M 为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是．三、解答题（共88分）17．解方程：x2﹣3x﹣2＝0．18．解方程（x+1）2＝（2x+1）2．19．已知：当x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？20．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．21．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．（1）求证AC＝BD；（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是．22．某校有A、B两个礼仪队，经调查统计，A礼仪队成员身高的方差是1.14cm2，B礼仪队成员身高如图所示：B礼仪队成员身高条形统计图．（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因工作需要，B礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为①163cm、②166cm、③169cm、④172cm，若选择其中一人加入B礼仪队后，B礼仪队成员的身高比A礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是（填写成员序号）．23．如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行．（1）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：DE是⊙O的切线．24．【阅读】x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值如表：可知：当x＝﹣3时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝﹣2时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，所以方程x2+2x ﹣1＝0的一个解在﹣3和﹣2之间．【理解】（1）方程x2+2x﹣1＝0的另一个解在两个连续整数和之间．【应用】（2）若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，求m的取值范围．25．某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整．26．某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）．（1）用含有x的代数式填表（不需化简）：（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．27．在△ABC中，∠C＝α．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n．（1）当α＝90°时，AC＝6，BC＝8时，m＝，n＝．（2）当α取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．①如图①，α＝90°；②如图②，α＝60°．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正三角形D．圆【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．2．一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是（）A．9πB．16πC．20πD．25π【分析】根据圆锥的底面半径为4，求出底面圆周长，由母线长为5，利用扇形面积公式求出它的侧面积．【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为4，∴圆锥的底面圆周长＝2×4×π＝8π，则圆锥的侧面积为×8π×5＝20π，故选：C．3．在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是（）A．87，87 B．87，85 C．83，87 D．83，85【分析】首先对这组数据进行排序，根据中位数和众数的定义回答即可．【解答】解：∵这组数据排序后为83，83，87，87，87，90，∴这组数据的众数是87，这组数据的中位数是＝87．故选：A．4．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（）A．（x﹣4）2＝8 B．（x﹣4）2＝40 C．（x﹣8）2＝8 D．（x﹣8）2＝40 【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【解答】解：x2﹣16x+24＝0x2﹣16x+64＝﹣24+64（x﹣8）2＝40故选：D．5．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．【解答】解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝120，或16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120故选：C．6．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8 B．16 C．32 D．32【分析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，根据平行线的性质得到EF⊥CD，根据折叠的性质得到OH＝OA，推出△AOD是等边三角形，得到D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，求得∠DAB＝90°，同理，∠ABC ＝∠ADC＝90°，得到四边形ABCD是矩形，于是得到结论．【解答】解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH＝OA，∴∠HAO＝30°，∴∠AOH＝60°，同理∠DOG＝60°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOD+∠AOB＝180°，∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，∴四边形ABCD的面积是16，故选：B．二．填空题（共10小题）7．方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1 ．【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝18．若x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，则p﹣q的值是 1 ．【分析】把x＝﹣1代入方程得到1﹣p+q＝0后移项即可求得答案．【解答】解：∵x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，∴1﹣p+q＝0，∴p﹣q＝1，故答案为：1．9．数据9，11，8，12，7，13的极差是 6 ．【分析】根据极差的定义即可求得．【解答】解：数据9，11，8，12，7，13的极差是13﹣7＝6；故答案为：6．10．如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，若∠ABC＝25°，则∠D的度数是65 °．【分析】根据圆周角定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝25°，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝∠C＝65°，故答案为：65．11．小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：那么他射中环数的平均数是8.7 环．【分析】求出所有数据的和，再除以数据的总个数即可得出答案．【解答】解：根据题意得：＝8.7（环），答：他射中环数的平均数是8.7环；故答案为：8.7．12．如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，则∠AFE的度数是108 °．【分析】根据五边形的内角和公式求出∠DAB，根据对顶角相等即可求解．【解答】解：∵五角星里面是正五边形，∴∠BFD＝＝108°，∴∠AFE＝∠BFD＝108°．故答案为：108．13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是cm（结果保留π）．【分析】先作图确定圆心，然后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可．【解答】解：连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，则OA2＝22+42＝20，OA＝2可知∠AOC＝90°，∴过A、B、C三点的弧：＝．故答案为14．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为（10+x）（500﹣10x）＝8000 ．【分析】根据已知直接得出每千克水果获利，进而利用销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，得出月减少的数量；利用每千克水果品获利×月销售量＝总利润，进而求出答案．【解答】解：设水果单价涨了x元，由题意可得：每千克水产品获利（10+x）元，月销售量减少10x千克；由题意可列方程（10+x）（500﹣10x）＝8000，故答案为：（10+x）（500﹣10x）＝8000．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD 的度数是70 °．【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3＝∠DOC＝70°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．故答案为：70°．16．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M 为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是8﹣3 ．【分析】延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，N三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，N三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，∵BC＝CD＝8，∴CC′＝16，∴C′D＝＝＝8，∴CP+PM的最小值是8﹣3，故答案为：8﹣3．三．解答题（共11小题）17．解方程：x2﹣3x﹣2＝0．【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x＝．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．18．解方程（x+1）2＝（2x+1）2．【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：两边开方得：x+1＝±（2x+1），解得：x1＝0，x2＝﹣．19．已知：当x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝2x2﹣2mx+4＝﹣4，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后将m的值代入关于x的方程x2﹣6x+4＝﹣1，再通过解该方程求得x的值即可．【解答】解：由题意得4﹣4m+4＝﹣4，即3﹣m＝0，解得m＝3；（2分）∴x2﹣6x+4＝﹣1，∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，得x1＝1，x2＝5．（4分）20．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可，（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，结合x1+x2﹣2x1x2＝0，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：（1）根据题意得：△＝36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9，（2）根据题意得：x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，∵x1+x2﹣2x1x2＝0，∴﹣6﹣2×（﹣m）＝0，解得：m＝3（符合题意），即m的值为3．21．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．（1）求证AC＝BD；（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是．【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．【解答】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x＝，∴CD＝2CH＝．22．某校有A、B两个礼仪队，经调查统计，A礼仪队成员身高的方差是1.14cm2，B礼仪队成员身高如图所示：B礼仪队成员身高条形统计图．（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因工作需要，B礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为①163cm、②166cm、③169cm、④172cm，若选择其中一人加入B礼仪队后，B礼仪队成员的身高比A礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是③（填写成员序号）．【分析】（1）根据平均数，方差的定义即可得到结论；（2）根据方差的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵B礼仪队成员身高的平均数为＝169（cm），∴B礼仪队成员身高的方差为×[（168﹣169）2×2+（169﹣169）2×2+（171﹣169）2]＝1.2（cm2），∵A礼仪队成员身高的方差是1.14cm2，∴B礼仪队成员身高的方差大于A礼仪队成员身高的方差；（2）∵B礼仪队成员身高的平均数为169cm，∴B礼仪队成员的身高比A礼仪队成员的身高稳定，这个候选人的身高必须最接近平均数，故这个候选人是③，故答案为：③．23．如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行．（1）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：DE是⊙O的切线．【分析】（1）作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，OA为半径画圆；（2）延长AO交BC于G，如图，先判断AG垂直平分BC，再利用平行线的性质得到AG⊥DE，然后根据切线的判定定理可得到结论．【解答】（1）如图，⊙O为所作；（2）证明：延长AO交BC于G，如图，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AG垂直平分BC，∵DE∥BC，∴AG⊥DE，∴DE是⊙O的切线．24．【阅读】x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值如表：可知：当x＝﹣3时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝﹣2时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，所以方程x2+2x ﹣1＝0的一个解在﹣3和﹣2之间．【理解】（1）方程x2+2x﹣1＝0的另一个解在两个连续整数0 和 1 之间．【应用】（2）若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，求m的取值范围．【分析】（1）根据x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值的表即可得出答案；（2）根据方程﹣x2+2x+m＝0有一个根在1和2之间知，解之可得．【解答】解：（1）∵当x＝1时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝0时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，∴方程的另一个根在0和1之间；故答案为0，1；（2）∵y＝﹣x2+2x+m＝0中k＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴为直线x＝1，由题意可知一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，∴，解得：﹣1＜m＜0．25．某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整．【分析】如图1，如图2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图1，∵AO＝OB＝OC＝OD，∴∠1＝∠8，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠7，∴∠7+∠8+∠3+∠4+＝∠1+∠2+∠5+∠6，即∠DAB+∠DCB＝∠ADC+∠ABC＝180°；如图2，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴∠1＝∠6，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠1+∠2+∠5＝∠3+∠4+∠6，即∠DAB+∠DCB＝∠ADC+∠ABC＝180°，综上所述，圆内接四边形对角互补．26．某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）．（1）用含有x的代数式填表（不需化简）：（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．【分析】（1）根据“10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍”填空；（2）根据（1）中相关量间的关系和9月份两种产品出厂单价的和为90元列出方程并解答．【解答】解：（1）由题意，得：故答案是：2x；200（1+2x）；100（1+x）；（2）90×＝60（元）90×＝30（元）60×200（1+2x）2+30×100（1+x）（1+4x）＝（60×200+30×100）（1+4.4x）解得x1＝0（舍去），x2＝．即x的值是．27．在△ABC中，∠C＝α．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n．（1）当α＝90°时，AC＝6，BC＝8时，m＝ 2 ，n＝12 ．（2）当α取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．①如图①，α＝90°；②如图②，α＝60°．【分析】（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC，由面积法可得m的值，再由正方形的性质及切线长定理可得n的值；（2）①由于α＝90°，与（1）中度数相同，故解题思路与（1）相同，仅需要将相关线段用m和n表示；②连接CP，由切线长定理得∠PCE＝30°，由含30°角的直角三角形的性质及面积法，可得答案．【解答】解：（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC∵S△BCA＝S△ABO+S△ACO+S△BCO∴×6×8＝×10m+×6m+×8m∴m＝2由已知，四边形DPEC为正方形∴n＝PD＝由切线长定理可知，AF＝AD，BF＝BE∴n＝＝＝＝12（2）如图①，由切线的性质，可知PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB，PD＝PE＝PF，设△ABC的面积为S△ABC，周长为C△ABC同（1），根据面积法可知m＝①如图①∵n＝＝＝＝又∵m＝∴S△ABC＝＝mn②如图②，连接CP，由切线长定理得：CD＝CE＝＝＝＝∵PD⊥CD，PE⊥BC∴CP平分∠ACB∴∠PCE＝30°∴n＝PE＝＝＝又∵m＝∴S△ABC＝＝mn。
南京市鼓楼区2019-2020学年度第一学期九年级数学期末调研测试卷及答案
南京市鼓楼区2019-2020学年度第一学期期末调研测试卷初三数学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）1．若关于x 的方程(m －1)x 2＋mx －1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≠0D ．m ≥1 2．已知△ABC ，以AB 为直径作⊙O ，∠C ＝88°，则点C 在A ．⊙O 上B ．⊙O 外C ．⊙O 内D ．无法确定3．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度4．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点．若∠OAC ＝16°，∠OBC ＝54°，则∠AOB 的大小是A ．70°B ．72°C ．74°D ．76°5．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差s 2甲和s 2乙的大小关系是A ．s 2甲＞s 2乙B ．s 2甲＝s 2乙C ．s 2甲＜s 2乙D ．无法确定6．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥－1D ．m ≤－1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．） 07．数据2，3，5，5，4的众数是 ▲ ．08．二次函数y ＝x 2－4x+5图像的顶点坐标为 ▲ ．09．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 ▲ ．甲（第5题）200180 160 2602402201月 2月 3月 4月 元2803005月 6月◆◆◆◆◆◆200180 160 2602402201月2月3月4月 元 0280300 5月 6月 ◆◆◆◆◆◆乙ABOC（第4题）10．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程 ▲ ．11．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝ ▲ ．12．一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为 23，则袋中应再添加红球 ▲ 个（以上球除颜色外其他都相同）．13．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为 ▲ ．14．如图， ⌒AB 、 ⌒CD 、 ⌒EF 所在的圆的半径分别为r 1、r 2、r 3，则r 1、r 2、r 3的大小关系是 ▲ ．（用“＜”连接）15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点．若∠C ＝80°，∠ADB ＝54°，则∠CBF ＝ ▲ °．16．已知三点A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ABC 内心的坐标为 ▲ ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17．（6分）解下列一元二次方程．（1）x 2＋x －6＝0； （2）2(x －1)2－8＝0．18．（6分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中的x ， y 满足下表x … －1 0 1 3 … y…31…不求关系式，仅观察上表，直接写出该函数三条不同类型的性质： （1） ▲ ； （2） ▲ ； （3） ▲ ．（第14题） ACEBD FABCDOE（第15题）FyxOy ＝ax 2＋bx ＋cx ＝1（第13题）A19．（8分）学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的500名同学进行问卷测试，并随机抽取了10名同学的问卷，统计成绩如下：（1）计算这10名同学这次测试的平均得分； （2）如果得分不少于9分的定义为“优秀”，估计这 500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；（3）小明所在班级共有40人，他们全部参加了这次测试，平均分为7.8分．小明的测试成绩是8分，小明说，我的测试成绩在班级中等偏上，你同意他的观点吗？为什么？20．（8分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率： （1）两辆车中恰有一辆车向左转； （2）两辆车行驶方向相同．21．（8分）如图，BD 是⊙O 的直径．弦AC 垂直平分OD ，垂足为E ． （1）求∠DAC 的度数； （2）若AC ＝6，求BE 的长．得分10 9 8 7 6 人数 3 3 2 1 1 OE D CB A （第21题）22．（8分）已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m （m 为常数）的图像与x 轴相交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；（2）若点A 、B 位于原点的两侧，求m 的取值范围．23．（8分）用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示． （1）我们知道：把平面内线段OP 绕着端点O 旋转1周，端点P 运动所形成的图形叫做圆． 类比圆的定义，给圆锥下定义 ▲ ；（2）已知OB ＝2 cm ，SB ＝3 cm ， ①计算容器盖铁皮的面积；②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ▲ ．A ．6 cm ×4 cmB ．6 cm ×4.5 cmC ．7 cm ×4 cmD ．7 cm ×4.5 cm24．（8分）某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y 个．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？SABO（第23题）25．（8分）（1）如图，已知AB 、CD 是大圆⊙O 的弦，AB ＝CD ，M 是AB 的中点．连接OM ，以O 为圆心，OM 为半径作小圆⊙O ．判断CD 与小圆⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O ，线段MN ，P 是⊙O 外一点．求作射线PQ ，使PQ 被⊙O 截得的弦长等于MN ． （不写作法，但保留作图痕迹）26．（10分）已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图像经过点A （－1，0）、B（0，2）．（1）b ＝ ▲ （用含有a 的代数式表示），c ＝ ▲ ；（2）点O 是坐标原点，点C 是该函数图像的顶点，若△AOC 的面积为1，则a ＝ ▲ ； （3）若x ＞1时，y ＜5．结合图像，直接写出a 的取值范围．OBDCMAOPNM（1）（2）27．（10分）现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64 m 的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3 m 处达到最高，高度为1 m ．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）图1图 2水管喷头 示意图鼓楼区2019-2020学年度第一学期期末调研测试卷九年级数学参考答案及评分标准一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）题号 1 2 3 4 5 6 答案ABCDAC二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．5 8．（2，1） 9．π 10．720(1＋x )2＝845 11．－1212．3 13．x 1＝－1，x 2＝3 14．r 2＜r 1＜r 3 15．46 16．（6，4） 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17．（本题6分） （1）解： x 2＋x －6＝0 (x －2)(x ＋3)＝0 1分x －2＝0或x ＋3＝0 x 1＝2，x 2＝－3． 3分（2）2(x －1)2－8＝0(x －1)2＝4 x －1＝±2 1分 x 1＝－1，x 2＝3． 3分18．（本题6分）本题答案不惟一，每条性质2分，例如： （1）该函数图像是抛物线，开口向下； （2）该函数图像关于直线x ＝1对称；（3）当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，y 随x 的增大而减小； （4）函数图像的顶点坐标为（1，1）； （5）当x ＝1时，y 有最大值1．19．（本题8分）（1）10×3＋9×3＋8×2＋7×1＋6×13＋3＋2＋1＋1＝8.6（分）答：这10名同学在这次测试中的平均得分是8.6分． 3分 （2）3＋33＋3＋2＋1＋1＝0.6，500×0.6＝300（人）答：估计这500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数约为300人． 5分（3）不同意小明的观点，成绩中等偏上，指小明成绩超过了班级一半以上的同学，也就是说他的成绩应超过了中位数．小明的成绩超过了平均数，未必能超过中位数． 8分 20．（本题8分）解：两辆车分别记为车1和车2，可以用下表列举出所有等可能的结果．可以看出，两辆车经过这个十字路口时，可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等． 4分（1）两辆车中恰有一辆车向左转（记为事件A ）的结果有4种，即（直，左）、（右，左）、（左，直）、（左，右），所以P (A )＝49． 6分（2）两辆车行驶方向相同（记为事件B ）的结果有3种，即（直，直）、（左，左）、（右，右），所以P (B )＝39＝13． 8分21．（8分）（1）连接OA ． ∵ AC 垂直平分OD ， ∴ AO ＝AD ． 又 OA ＝OD ，∴ △OAD 是等边三角形． 2分 ∴ ∠DAO ＝60°． ∵ AC ⊥OD ，AO ＝AD ，∴ ∠DAC ＝∠OAC ＝12×60°＝30°． 4分（2） ∵ OD ⊥AC ，AC ＝6，∴ AE ＝12AC ＝3．∵ AC 垂直平分OD ，垂足为E ， ∴ ∠AEO ＝90°，OE ＝12OD ．∴ OE ＝12OA ．设OE ＝x ，则OA ＝OB ＝2x ． 在Rt △AEO 中，AE 2＋EO 2＝AO 2， 即：32＋x 2＝（2x ）2． 6分左转 直行 右转 左转 （左，左） （直，左） （右，左） 直行 （左，直） （直，直） （右，直） 右转（左，右）（直，右）（右，右）OE D CB A（第21题）车1车2解得，x ＝3．∴ BE ＝OE ＋OB ＝x ＋2x ＝3x ＝33． 8分 22．（8分）答案不惟一，例如： （1）解：令y ＝0，得x 2－2x ＋m ＝0． 1分 ∵ 图像与x 轴相交于点A 、B ，∴ 方程x 2－2x ＋m ＝0有两个不相等的实数根． ∴ b 2－4ac ＝4－4m ＞0． 2分 解得m ＜1． 4分（2）本小题如学生结合函数图像、平移等解释正确也可得分． 设A （x 1 ，0）、B （x 2 ，0），则x 1、x 2 是方程x 2－2x ＋m ＝0的两个实数根． ∵ 点A 、B 位于原点的两侧， ∴ x 1•x 2＜0． 6分 ∴ m ＜0． 由（1）m ＜1， ∴ m ＜0． 8分23．（本题8分）答案不惟一，例如：解：（1）空间中，把直角三角形SOB 绕着直角边SO 旋转1周，另外两边SB 、OB 旋转而成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3分 （2）①S ＝πrl ＝π×2×3＝6π． 5分②B ． 8分24．（8分）（1）y ＝(100＋x )(600－5x )＝－5x 2＋100x ＋60 000 3分 注：不化简不扣分．（2）令y ＝60 400，解得x 1＝10－25，x 2＝10＋25． 5分 y ＝－5x 2＋100x ＋60 000＝－5(x －10)2＋60 500．该函数图像关于直线x ＝10对称，当x ＜10时，y 随x 的增大而增大；当x ＞10时，y 随x 的增大而减小；所以当10－25＜x ＜10＋25时，y ＞60 500． 7分增种的棵树为6、7、8、9、10、11、12、13、14时，可以使橙子的总产量在60 400个以上． 8分注：说理部分如果有草图，并结合图像说理正确，算对．25．（本题8分）（1）解：CD 与小圆⊙O 相切，理由如下：BMA如图，连接OA 、OB ．在△OAB 中，OA ＝OB ，M 是AB 的中点， ∴ OM ⊥AB ．∴ ∠OMB ＝90°． 2分 过O 作OG ⊥CD ，垂足为G ．∴ ∠OGD ＝90°，DG ＝12CD ．∵ AB ＝CD ，BM ＝12AB ，∴ BM ＝DG ． 3分 连接OD ， 又 OB ＝OD ，∴ Rt △OMB ≌Rt △OGD ．∴ OG ＝OM ，即OG 是小圆⊙O 的半径．这样，CD 经过小圆⊙O 的半径OG 外端点G ，并且垂直于半径OG ， ∴ CD 与小圆⊙O 相切． 5分（2）如图所示，射线PQ 即为所求作． 8分26．（本题10分）（1）b ＝a ＋2；c ＝2． 2分（2）a ＝－2或6－42或6＋42． 6分（注：其中，a ＝－2占4分中的2分，其余一个1分） （3）a ＜－8＋215． 10分 27．（本题10分）（1）根据题意，以水管在地面安装处为坐标原点，以该处和喷的最远的水柱落地处所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则喷的最远的水柱所在的抛物线顶点为（3，1），过（0，0.64）． 1分可设该抛物线对应的函数表达式是y ＝a (x －3) 2＋1，代入（0，0.64），OPEHFGQ数学试卷 第 11 页 （共 11 页） 解得，a ＝－125． 所以y ＝－125(x －3) 2＋1． 3分 令y ＝0，解得x 1＝－2（舍），x 2＝8． 4 分 4分 所以，喷灌出的圆形区域的半径为8 m ．（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上按如图的位置固定安装三个该设备，6分 如图1，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是8310，8＜8310，这样安装不能完全覆盖； 如图2，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是65，8＜65，这样安装也不能完全覆盖； 65＜8310，如果喷灌区域可以完全覆盖该绿化带．则一个设备喷灌出的圆形区域的半径的最小值应为65 m ． 8分设水管向上调整a m ，则调整后喷的最远的水柱所在的抛物线函数表达式是y ＝－125(x －3) 2＋1＋a ． 代入（65，0），解得，a ＝49－66525． 0.64＋49－66525＝65－6652510分 答：水管高度为65－66525时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带． （说明：正确画出两个图形2分，每个图形各1分；求出8310、65并进行正确判断2分，如未作出正确判断只得1分；求出49－66525得1分，求出65－66525得2分．） （图1） （图2）。
江苏南京鼓楼区九年级上期中数学考试卷(解析版)(初三)期中考试.doc
江苏南京鼓楼区九年级上期中数学考试卷（解析版）（初三）期中考试姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题（每空xx 分，共xx分）【题文】方程x2=x的根是（）A．x=1 B．x=﹣1 C．x1=0，x2=1 D．x1=0，x2=﹣1【答案】C【解析】试题分析：移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可，所以由x2=x，得x2﹣x=0，即x（x﹣1）=0，所以可得x=0，x﹣1=0，解得x1=0，x2=1，故选C．考点：解一元二次方程-因式分解法【题文】一元二次方程的根的情况是（）A. 有两个不相等的实数根B. 有两个相等的实数根C. 无实数根D. 无法确定【答案】B【解析】试题分析：在方程x2﹣4x+4=0中，△=（﹣4）2﹣4×1×4=0，因此该方程有两个相等的实数根．故选B．考点：根的判别式【题文】如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2 B．48πcm2 C．60πcm2 D．80πcm2【答案】C【解析】试题分析：由h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，评卷人得分圆锥侧面展开图的面积为：S侧=×2×6π×10=60π，所以圆锥的侧面积为60πcm2．故选：C．考点：圆锥的计算【题文】某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明90808382若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82 B．83 C．84 D．85【答案】C【解析】试题分析：根据加权平均数的计算公式进行计算：张明的平均成绩为：（90×3+80×3+83×2+82×2）÷10=84；故选C．考点：加权平均数【题文】如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B=75°，∠C=60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8 B．8 C．16 D．16【答案】B【解析】试题分析：由三角形的内角和公式求出∠A=45°，即可求得圆心角∠BOC=90°，由弧长公式，求得半径OB=8，再由勾股定理求得BC=，故选B．考点：弧长的计算【题文】小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．① B．② C．③ D．均不可能【答案】A【解析】试题分析：第①块出现两条完整的弦，作出这两条弦的垂直平分线，两条垂直平分线的交点就是圆心，进而可得到半径的长．故选A．考点：垂径定理的应用【题文】用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．【答案】4【解析】试题分析：要使方程左边配成一个完全平方式，需要等式两边同时加上一次项系数一半的平方．可由x2﹣4x=5，得x2﹣4x+4=5+4，用配方法解方程x2﹣4x=5时，方程的两边同时加上4，使得方程左边配成一个完全平方式．考点：解一元二次方程-配方法【题文】若⊙O的直径为2，OP=2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O ．【答案】外【解析】试题分析：由条件可求得圆的半径为1，由条件可知点P到圆心的距离OP=2＞1，可判定点P在圆外．考点：点与圆的位置关系【题文】若一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．【答案】-2【解析】试题分析：根据根与系数的关系即可由一元二次方程2x2+4x+1=0的两根是x1、x2，得到x1+x2=﹣=﹣2．考点：根与系数的关系【题文】一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．【答案】【解析】试题分析：先求出总球的个数2+3=5个球，再根据概率公式进行计算即可得出摸到红球的概率是．考点：概率公式【题文】如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．【答案】【解析】试题分析：先根据OD=OF得出∠DOF=60°，同理可得出∠AOE=60°，进而得出∠EOF=60°，根据扇形的面积公式即可得出：图中阴影部分的面积=．考点：扇形面积的计算【题文】如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB=2，HD=4，则AH=．【答案】8【解析】试题分析：取AB的中点O，连接OD，设OD=r，则OH=r﹣2，再根据勾股定理得OH2+DH2=OD2，即（r﹣2）2+42=r2，解得r=5，进而可得出AH=AB﹣BH=10﹣2=8．考点：1、垂径定理；2、勾股定理【题文】如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C=80°，∠CEA=30°，则∠CDA=°．【答案】20【解析】试题分析：根据三角形的内角和得到∠CAB=180°﹣80°﹣30°=70°，连接BC，由AB为⊙O的直径，得到∠ACB=90°，根据圆周角定理即可得到∠CDA=∠B=20°．考点：1、圆周角定理，2、三角形的内角和【题文】如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为x m，根据条件，可列出方程：．【答案】x2﹣35x+34=0【解析】试题分析：设小道进出口的宽度为xm，根据矩形的面积以及平行四边形的面积结合种植花草的面积为532m2，即可列出关于x的一元二次方程：30×20﹣20×2x﹣30x+2xx=532，整理，得：x2﹣35x+34=0．考点：由实际问题抽象出一元二次方程【题文】将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为°．【答案】22.5【解析】试题分析：设半圆圆心为O，连OA，OB，则∠AOB=86°﹣30°=56°，根据圆周角定理得∠ACB=∠AOB，即可得到∠ACB =∠AOB=22.5°．考点：圆周角定理【题文】如图，△ABC中，∠B=90°，AB=11，BC=10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．【答案】①②③【解析】试题分析：首先连接OD，OE，∵⊙O的半径为5且与AB、BC相切，∴OD⊥AB，OE⊥BC，OD=OE=5，∵∠B=90°，∴四边形ODBE是正方形，∴BE=BD=OE=OD=5，∴点O在∠B的平分线上，CE=BC﹣BE=5，AD=AB﹣BD=11﹣5=6，∴OE是BC的垂直平分线，OD不是AB的垂直平分线，∵OA=，OC=，∴OA≠OC，即O不在AC的垂直平分线上；∵AC=，∴点O不在AC上．∴①②③错误，④正确．故答案为：①②③．考点：1、切线的性质；2、线段垂直平分线的性质【题文】解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5=0；（2）x2+x﹣1=0．【答案】（1）x=﹣1或x=﹣5（2）x1=，x2=【解析】试题分析：（1）因式分解法求解可得；（2）公式法求解可得．试题解析：（1）（x+1）（x+5）=0，∴x+1=0或x+5=0，解得：x=﹣1或x=﹣5；（2）∵a=1，b=1，c=﹣1，∴b2﹣4ac=1+4=5，∴x=，∴x1=，x2=．考点：解一元二次方程-因式分解法【题文】甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？【答案】（1）7，7.5，4.2（2）乙【解析】试题分析：（1）利用平均数的计算公式直接计算平均分即可；将乙的成绩从小到大重新排列，用中位数的定义直接写出中位数即可；根据乙的平均数利用方差的公式计算即可；（2）结合平均数和中位数、众数、方差三方面的特点进行分析．试题解析：（1）甲的平均成绩a==7（环），∵乙射击的成绩从小到大从新排列为：3、4、6、7、7、8、8、8、9、10，∴乙射击成绩的中位数b==7.5（环），其方差c=×[（3﹣7）2+（4﹣7）2+（6﹣7）2+2×（7﹣7）2+3×（8﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2]=×（16+9+1+3+4+9）=4.2（环）；（2）从平均成绩看甲、乙二人的成绩相等均为7环，从中位数看甲射中7环以上的次数小于乙，从众数看甲射中7环的次数最多而乙射中8环的次数最多，从方差看甲的成绩比乙的成绩稳定；综合以上各因素，若选派一名学生参加比赛的话，可选择乙参赛，因为乙获得高分的可能更大．考点：1、方差；2、条形统计图；3、折线统计图；4、中位数；5、众数【题文】已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2=0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析（2）1，1【解析】试题分析：（1）分类讨论：当m=0时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当m≠0时，计算判别式得到△=（m﹣2）2≥0，则方程有两个实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=，2t=，然后解关于t与m的方程组即可．试题解析：（1）证明：当m=0时，方程变形为﹣2x+2=0，解得x=1；当m≠0时，△=（m+2）2﹣4m2=（m﹣2）2≥0，方程有两个实数解，所以不论m为何值，方程总有实数根；（2）设方程的另一个根为t，根据题意得2+t=，2t=，则2+t=1+2t，解得t=1，所以m=1，即m的值位1，方程的另一个根为1．考点：1、根与系数的关系；2、根的判别式【题文】甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是 ___ ；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．【答案】（1）（2）【解析】试题分析：（1）直接利用概率公式求解；（2）画树状图展示所有12种等可能的结果数，再找出选取2名同学中有乙同学的结果数，然后根据概率公式求解．试题解析：（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率=；（2）画树状图为：共有12种等可能的结果数，其中选取2名同学中有乙同学的结果数为6，所以有乙同学的概率=．考点：1、列表法与树状图法；2、概率公式【题文】在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB=10°，求∠P的大小．【答案】（Ⅰ）36°（Ⅱ）30°【解析】试题分析：（Ⅰ）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；（Ⅱ）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可．试题解析：（Ⅰ）如图，连接OC，∵⊙O与PC相切于点C，∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，∵∠CAB=27°，∴∠COB=2∠CAB=54°，在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，∴∠P=90°﹣∠COP=36°；（Ⅱ）∵E为AC的中点，∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，得∠AOE=90°﹣∠EAO=80°，∴∠ACD=∠AOD=40°，∵∠ACD是△ACP的一个外角，∴∠P=∠ACD﹣∠A=40°﹣10°=30°．考点：切线的性质【题文】我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像=x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3=x2，解得x1=3，x2=﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2=﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x=3．运用以上经验，解下列方程：（1）=x；（2）x+2=6．【答案】（1）x=2（2）x1=4，x2=12【解析】试题分析：（1）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案；（2）根据平方，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．试题解析：（1）两边平方，得16﹣6x=x2，整理得：x2+6x﹣16=0，解得x1=﹣8，x1=2；经检验x=﹣8是增根，所以原方程的根为x=2；（2）移项得：2=6﹣x两边平方，得4x﹣12=x2﹣12x+36，解得x1=4，x2=12（不符合题意，舍）．考点：1、无理方程；2、分式方程的增根【题文】圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP=BP；（2）若AB=2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB=8，CD=6，则圆环的面积为 ____ ．【答案】（1）证明见解析（2）πa2（3）7π【解析】试题分析：（1）根据切线的性质以及垂径定理即可证明．（2）根据圆环的面积等于两圆的面积差，再根据切线的性质定理、勾股定理、垂径定理求解．（3）首先连接OA，OC，由勾股定理可得：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，继而可得OA2﹣OC2=7，则可求得圆环的面积试题解析：（1）证明：如图1中，连接OP．∵AB是小圆的切线，P是切点，∴OP⊥AB，∴PA=PB．（2）解：如图1中，连接OB．∵大圆的弦AB是小圆的切线，∴OP⊥AB，AP=PB，∴OB2﹣OP2=（2a÷2）2=a2，∵S圆环=S大﹣S小=πOB2﹣πOP2=π（OB2﹣OP2），∴S圆环=πa2．（3）解：如图2中，连接OA，OC，作OE⊥AB于点E．在Rt△AOE与Rt△OCE中：OE2=OA2﹣AE2，OE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣AE2=OC2﹣CE2，∴OA2﹣OC2=AE2﹣CE2，∵AB=8，CD=6，∴AE=EB=4，CE=DE=3，∴OA2﹣OC2=7，∴圆环的面积为：πOA2﹣πOC2=π（OA2﹣OC2）=7π．考点：1、垂径定理，2、勾股定理，3、圆的面积，4、切线的性质【题文】某农场去年种植南瓜10亩，亩产量为2000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使总产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．【答案】50%【解析】试题分析：根据增长后的产量=增长前的产量（1+增长率），设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x，列出方程求解．试题解析：设南瓜亩产量的增长率为x，则种植面积的增长率为2x．根据题意，得10（1+2x）2000（1+x）=60000．解得：x1=0.5，x2=﹣2（不合题意，舍去）．答：南瓜亩产量的增长率为50%．考点：一元二次方程的应用【题文】如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB=∠CDB，BC=BD，求作点D．【答案】（1）作图见解析（2）作图见解析【解析】试题分析：（1）作出BD、BC的垂直平分线，两线的交点就是⊙O的圆心O的位置，然后以O为圆心AO长为半径画圆即可；（2）以B为圆心，BC长为半径化弧，交⊙O于点D，再连接BD，CD即可．试题解析：（1）如图l 20060×20提价后____________（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入=总收入﹣维护费用）【答案】（1）60﹣；200+x；（60﹣）×20（2）300元【解析】试题分析：（1）住满为60间，x表示每个房间每天的定价增加量；定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，房间空闲个数为，入住量=60﹣房间空闲个数，列出代数式；（2）用：每天的房间收费=每间房实际定价×入住量，每间房实际定价=200+x，列出方程．试题解析：（1）∵增加10元，就有一个房间空闲，增加20元就有两个房间空闲，以此类推，空闲的房间为，∴入住的房间数量=60﹣，房间价格是（200+x）元，总维护费用是（60﹣）×20．故答案是：60﹣；200+x；（60﹣）×20；（2）依题意得：（200+x）（60﹣）﹣（60﹣）×20=14000，整理，得x2﹣420x+32000=0，解得x1=320，x2=100．当x=320时，有游客居住的客房数量是：60﹣=28（间）．当x=100时，有游客居住的客房数量是：60﹣=50（间）．所以当x=100时，能吸引更多的游客，则每个房间的定价为200+100=300（元）．答：每间客房的定价应为300元．考点：一元二次方程的应用【题文】问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，BE⊥DC交DC的延长线于点E．求证：BE是⊙O 的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB ____ BE，由题意知∠E=90°，故只需证明OB ___ DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB=∠BAD，因为OB=OC，所以 __ ，因为BD=BA，所以 ______ ，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到 ____ ，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．【答案】问题分析：⊥，∥（1）∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO（2）BF⊥AD（3）证明见解析【解析】试题分析：问题分析：直接得出结论即可；解法探究：（1）根据证明方法直接写出结论；（2）先判断出OD=OA，再用垂径定理即可得出结论；（3）方法1，先判断出AC是⊙O的直径，进而判断出四边形BEDH是矩形即可；方法2，先判断出AH=DH，再判断出AC是⊙O的直径，进而判断出OH是△ACD的中位线，即可得出DE∥OB ，即可得出结论；试题解析：问题分析：故答案为：⊥，∥；解法探究：（1）故答案为：∠CBO=∠BCO，∠BAD=∠BDA，∠ECB=∠CBO；（2）如图3，连接OD，∴OD=OA，∵BD=BA，∴BF垂直平分AD，即：BF⊥AD（垂径定理），（3）方法1，∵BF⊥AD，∴∠BHD=90°，∵∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵∠E=90°，∴四边形BEDH是矩形，∴∠EBO=90°，∴BE是⊙O的切线；方法2，∵BF⊥AD，∴AH=DH（垂径定理），∵∠ABC=90°，∴AC是⊙O的直径，∴AO=CO，∴OH是△ACD的中位线，∴OH∥DC，即：DE∥OB，∵∠E=90°，∴∠EBO=90°，∴BE是⊙O的切线．考点：1、圆的性质，2、垂径定理，3、切线的判定，4、矩形的判定和性质，5、三角形的中位线。
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试题及答案解析
2022-2023学年江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共6小题，共12.0分。
在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 已知⊙O的半径为2cm，点P到圆心O的距离为2cm，则点P在⊙O( )A. 外B. 内C. 上D. 无法确定2. 下列方程中，没有实数根的是( )A. x2=xB. x2+1=0C. x2+2x+1=0D. x2+2x−1=03. 20名同学参加某比赛的成绩统计如表，则成绩的众数和中位数(单位：分)分别为( )成绩/分80859095人数/人2864A. 85，85B. 85，87.5C. 85，90D. 90，904. 已知关于x的一元二次方程(m−1)x2−2x+m2−m=0有一根为0，则m的值是( )A. 0B. 1C. 0或1D. 0或−15. 如图，正方形ABCD、等边三角形AEF内接于同一个圆，则BE⏜的度数为( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°6. 如图，在一张Rt△ABC纸片中，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，⊙O是它的内切圆．小明用剪刀沿着⊙O的切线DE剪下一块三角形ADE，则△ADE的周长为( )A. 4B. 5C. 6D. 8二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）7. 方程x2=1的解是______．8. 已知⊙O的半径为10cm，圆心O到直线l的距离为12cm，则直线l与⊙O的位置关系是______．9. 书香相伴，香满校园，某校9月份借阅图书500本，11月借阅图书845本，设该校这两个月借阅图书的月均增长率为x，根据题意可列方程为______，x=______．10. 设x1，x2是一元二次方程x2−3x−2=0的两个根，则x1x2−x1−x2=______．11. 正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则由半径OA，OC和AC⏜围成的扇形的面积为______．12. 若一组数据x1，x2，x3，x4，x5的平均数是a，另一组数据x1+2，x2+3，x3−5，x4−2，x5+1的平均数是b，则a______b(填写“>”、“<”或“=”)．13. 将半径为3cm面积为3πcm2的扇形纸片围成一个无底盖的圆锥(接缝处忽略不计)，该圆锥的底面半径为______cm．14. 如图，圆的内接五边形ABCDE满足CD=ED，CD//AE，∠ABC=140°，则∠D=______．15. 已知m是方程x2−3x−1=0的一个根，则m3−10m=______．16. 如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径是1.过⊙O上一点P作等边三角形PDE，使点D，E分别落在x轴、y轴上，则PD的取值范围是______．三、解答题（本大题共11小题，共88.0分。
苏省南京市鼓楼区2019~2020学年第一学期九年级上学期期末考试数学试题
鼓楼区 九年级数 学一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡．．．相应位置．．．．上） 1．若关于x 的方程(m －1)x 2＋mx －1＝0是一元二次方程，则m 的取值范围是A ．m ≠1B ．m ＝1C ．m ≠0D ．m ≥1 2．已知△ABC ，以AB 为直径作⊙O ，∠C ＝88°，则点C 在A ．⊙O 上B ．⊙O 外C ．⊙O 内D ．无法确定3．要得到函数y ＝2(x －1)2＋3的图像，可以将函数y ＝2x 2的图像A ．向左平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度B ．向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度C ．向右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度D ．向右平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度4．如图，OA 、OB 是⊙O 的半径，C 是⊙O 上一点．若∠OAC ＝16°，∠OBC ＝54°，则∠AOB 的大小是A ．70°B ．72°C ．74°D ．76°5．下图是甲、乙两人2019年上半年每月电费支出的统计，则他们2019年上半年月电费支出的方差s 2甲和s 2乙的大小关系是A ．s 2甲＞s 2乙B ．s 2甲＝s 2乙C ．s 2甲＜s 2乙D ．无法确定6．已知关于x 的函数y ＝x 2＋2mx ＋1，若x ＞1时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是A ．m ≥1B ．m ≤1C ．m ≥－1D ．m ≤－1二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置．．．．．．．上） 7．数据2，3，5，5，4的众数是 ▲ ．（第5题）1月1月（第4题）8．二次函数y ＝x 2－4x+5图像的顶点坐标为 ▲ ．9．若扇形的半径长为3，圆心角为60°，则该扇形的弧长为 ▲ ．10．某企业2017年全年收入720万元，2019年全年收入845万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x ，则可列方程 ▲ ．11．若x 1，x 2是一元二次方程2x 2＋x －3＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＝ ▲ ．12．一个不透明的袋中原装有2个白球和1个红球，搅匀后从中任意摸出一个球，要使摸出红球的概率为 23，则袋中应再添加红球 ▲ 个（以上球除颜色外其他都相同）．13．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像过点A （3，0），对称轴为直线x ＝1，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为 ▲ ．14．如图， ⌒AB 、 ⌒CD 、 ⌒EF 所在的圆的半径分别为r 1、r 2、r 3，则r 1、r 2、r 3的大小关系是 ▲ ．（用“＜”连接）15．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，直线EF 是⊙O 的切线，B 是切点．若∠C ＝80°，∠ADB ＝54°，则∠CBF ＝ ▲ °．16．已知三点A （0，0），B （5，12），C （14，0），则△ABC 内心的坐标为 ▲ ． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）解下列一元二次方程．（1）x 2＋x －6＝0； （2）2(x －1)2－8＝0．18．（6分）二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 中的x ， y 满足下表（1） ▲ ； （2） ▲ ； （3） ▲ ．19．（8分）学校为了解九年级学生对“八礼四仪”的掌握情况，对该年级的500名同学进行（第14题） ACEBD F（第15题）c（第13题）问卷测试，并随机抽取了10名同学的问卷，统计成绩如下：（1）计算这10名同学这次测试的平均得分； （2）如果得分不少于9分的定义为“优秀”，估计这 500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数；（3）小明所在班级共有40人，他们全部参加了这次测试，平均分为7.8分．小明的测试成绩是8分，小明说，我的测试成绩在班级中等偏上，你同意他的观点吗？为什么？20．（8分）经过某十字路口的汽车，可能直行，也可能向左转或向右转．如果这三种可能性大小相同，求两辆车经过这个十字路口时，下列事件的概率： （1）两辆车中恰有一辆车向左转； （2）两辆车行驶方向相同．21．（8分）如图，BD 是⊙O 的直径．弦AC 垂直平分OD ，垂足为E ． （1）求∠DAC 的度数； （2）若AC ＝6，求BE 的长．（第21题）22．（8分）已知二次函数y ＝x 2－2x ＋m （m 为常数）的图像与x 轴相交于A 、B 两点． （1）求m 的取值范围；（2）若点A 、B 位于原点的两侧，求m 的取值范围．23．（8分）用铁片制作的圆锥形容器盖如图所示． （1）我们知道：把平面内线段OP 绕着端点O 旋转1周，端点P 运动所形成的图形叫做圆． 类比圆的定义，给圆锥下定义 ▲ ；（2）已知OB ＝2 cm ，SB ＝3 cm ， ①计算容器盖铁皮的面积；②在一张矩形铁片上剪下一个扇形，用它围成该圆锥形容器盖．以下是可供选用的矩形铁片的长和宽，其中可以选择且面积最小的矩形铁片是 ▲ ．A ．6 cm ×4 cmB ．6 cm ×4.5 cmC ．7 cm ×4 cmD ．7 cm ×4.5 cm24．（8分）某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y 个．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？SABO（第23题）25．（8分）（1）如图，已知AB 、CD 是大圆⊙O 的弦，AB ＝CD ，M 是AB 的中点．连接OM ，以O 为圆心，OM 为半径作小圆⊙O ．判断CD 与小圆⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）已知⊙O ，线段MN ，P 是⊙O 外一点．求作射线PQ ，使PQ 被⊙O 截得的弦长等于MN ． （不写作法，但保留作图痕迹）26．（10分）已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0，a 、b 、c 为常数）的图像经过点A （－1，0）、B（0，2）．（1）b ＝ ▲ （用含有a 的代数式表示），c ＝ ▲ ；（2）点O 是坐标原点，点C 是该函数图像的顶点，若△AOC 的面积为1，则a ＝ ▲ ； （3）若x ＞1时，y ＜5．结合图像，直接写出a 的取值范围．NM（1）（2）27．（10分）现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．示意图喷头水管图1 图2如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64m的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3m处达到最高，高度为1m．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16m的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）鼓楼区2019-2020学年度第一学期期末调研测试卷九年级数学参考答案及评分标准说明：本评分标准每题给出了一种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，参照本评分标准的精神给分．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．）二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．）7．5 8．（2，1） 9．π 10．720(1＋x )2＝845 11．－1212．3 13．x 1＝－1，x 2＝3 14．r 2＜r 1＜r 3 15．46 16．（6，4） 三、解答题（本大题共11小题，共88分．） 17．（本题6分） （1）解： x 2＋x －6＝0(x －2)(x ＋3)＝0 ........................................................................................................ 1分x －2＝0或x ＋3＝0x 1＝2，x 2＝－3． ..................................................................................................... 3分（2）2(x －1)2－8＝0(x －1)2＝4x －1＝±2 ..................................................................................................................... 1分 x 1＝－1，x 2＝3． ......................................................................................................... 3分 18．（本题6分）本题答案不惟一，每条性质2分，例如： （1）该函数图像是抛物线，开口向下； （2）该函数图像关于直线x ＝1对称；（3）当x ＜1时，y 随x 的增大而增大；当x ＞1时，y 随x 的增大而减小； （4）函数图像的顶点坐标为（1，1）； （5）当x ＝1时，y 有最大值1．19．（本题8分）（1）10×3＋9×3＋8×2＋7×1＋6×13＋3＋2＋1＋1＝8.6（分）答：这10名同学在这次测试中的平均得分是8.6分． ...................................................... 3分 （2）3＋33＋3＋2＋1＋1＝0.6，500×0.6＝300（人）答：估计这500名学生对“八礼四仪”掌握情况优秀的人数约为300人．.................... 5分 （3）不同意小明的观点，成绩中等偏上，指小明成绩超过了班级一半以上的同学，也就是说他的成绩应超过了中位数．小明的成绩超过了平均数，未必能超过中位数．................................................................................................................................................... 8分 20．（本题8分）解：两辆车分别记为车1和车2，可以用下表列举出所有等可能的结果．可以看出，两辆车经过这个十字路口时，可能出现的结果有9种，并且它们出现的可能性相等． ................................................................................................................................................... 4分 （1）两辆车中恰有一辆车向左转（记为事件A ）的结果有4种，即（直，左）、（右，左）、（左，直）、（左，右），所以P (A )＝49．................................................................................................................................................... 6分 （2）两辆车行驶方向相同（记为事件B ）的结果有3种，即（直，直）、（左，左）、（右，右），所以P (B )＝39＝13． ................................................................................................................. 8分21．（8分）（1）连接OA ． ∵ AC 垂直平分OD ， ∴ AO ＝AD ． 又 OA ＝OD ，∴ △OAD 是等边三角形． .................................................................................................. 2分 ∴ ∠DAO ＝60°． ∵ AC ⊥OD ，AO ＝AD ，∴ ∠DAC ＝∠OAC ＝12×60°＝30°． .................................................................................. 4分（2） ∵ OD ⊥AC ，AC ＝6，∴ AE ＝12AC ＝3．∵ AC 垂直平分OD ，垂足为E ， ∴ ∠AEO ＝90°，OE ＝12OD ．∴ OE ＝12OA ．（第21题）设OE＝x，则OA＝OB＝2x．在Rt△AEO中，AE2＋EO2＝AO2，即：32＋x2＝（2x）2．............................................................................................................ 6分解得，x＝3．∴BE＝OE＋OB＝x＋2x＝3x＝33． ............................................................................... 8分22．（8分）答案不惟一，例如：（1）解：令y＝0，得x2－2x＋m＝0．................................................................................ 1分∵图像与x轴相交于点A、B，∴方程x2－2x＋m＝0有两个不相等的实数根．∴b2－4ac＝4－4m＞0． ..................................................................................................... 2分解得m＜1． ............................................................................................................................. 4分（2）本小题如学生结合函数图像、平移等解释正确也可得分．设A（x1 ，0）、B（x2 ，0），则x1、x2是方程x2－2x＋m＝0的两个实数根．∵点A、B位于原点的两侧，∴x1•x2＜0． ......................................................................................................................... 6分∴m＜0．由（1）m＜1，∴m＜0． .............................................................................................................................. 8分23．（本题8分）答案不惟一，例如：解：（1）空间中，把直角三角形SOB绕着直角边SO旋转1周，另外两边SB、OB旋转而成的面所围成的几何体叫做圆锥． ....................................................................................... 3分（2）①S＝πrl＝π×2×3＝6π． ...................................................................................... 5分②B． ........................................................................................................................ 8分24．（8分）（1）y＝(100＋x)(600－5x)＝－5x2＋100x＋60000 ............................................................. 3分注：不化简不扣分．（2）令y＝60400，解得x1＝10－25，x2＝10＋25．................................................... 5分y＝－5x2＋100x＋60000＝－5(x－10)2＋60500．该函数图像关于直线x＝10对称，当x＜10时，y随x的增大而增大；当x＞10时，y随x的增大而减小；所以当10－25＜x＜10＋25时，y＞60500．................................................................................................................................................... 7分增种的棵树为6、7、8、9、10、11、12、13、14时，可以使橙子的总产量在60400个以上．................................................................................................................................................... 8分注：说理部分如果有草图，并结合图像说理正确，算对．25．（本题8分）（1）解：CD 与小圆⊙O 相切，理由如下： 如图，连接OA 、OB ．在△OAB 中，OA ＝OB ，M 是AB 的中点， ∴ OM ⊥AB ．∴ ∠OMB ＝90°． ................................................................................................................. 2分过O 作OG ⊥CD ，垂足为G ． ∴ ∠OGD ＝90°，DG ＝12CD ．∵ AB ＝CD ，BM ＝12AB ，∴ BM ＝DG ． ....................................................................................................................... 3分 连接OD ， 又 OB ＝OD ，∴ Rt △OMB ≌Rt △OGD ．∴ OG ＝OM ，即OG 是小圆⊙O 的半径．这样，CD 经过小圆⊙O 的半径OG 外端点G ，并且垂直于半径OG ，∴ CD 与小圆⊙O 相切． ..................................................................................................... 5分 （2）如图所示，射线PQ 即为所求作． .............................................................................. 8分26．（本题10分）（1）b ＝a ＋2；c ＝2． ........................................................................................................... 2分 （2）a ＝－2或6－42或6＋42． .................................................................................... 6分 （注：其中，a ＝－2占4分中的2分，其余一个1分）（3）a ＜－8＋215． .......................................................................................................... 10分 27．（本题10分）（1）根据题意，以水管在地面安装处为坐标原点，以该处和喷的最远的水柱落地处所在直线为x 轴，建立平面直角坐标系，则喷的最远的水柱所在的抛物线顶点为（3，1），过（0，0.64）．................................................................................................................................................... 1分 可设该抛物线对应的函数表达式是y ＝a (x －3) 2＋1，代入（0，0.64）， 解得，a ＝－125．所以y ＝－125(x －3) 2＋1． .................................................................................................... 3分令y ＝0，解得x 1＝－2（舍），x 2＝8． .................................................................................. 4 . 分 4分所以，喷灌出的圆形区域的半径为8 m ．（2）在边长为16 m 的正方形绿化带上按如图的位置固定安装三个该设备，................................................................................................................................................... 6分 如图1，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是8310，8＜8310，这样安装不能完全覆盖；如图2，喷灌出的圆形区域的半径的最小值是65，8＜65，这样安装也不能完全覆盖； 65＜8310，如果喷灌区域可以完全覆盖该绿化带．则一个设备喷灌出的圆形区域的半径的最小值应为65 m ． .................................................................................................................... 8分 设水管向上调整a m ，则调整后喷的最远的水柱所在的抛物线函数表达式是y ＝－125 (x －3) 2＋1＋a ．代入（65，0），解得，a ＝49－66525．0.64＋49－66525＝65－66525 ................................................................................................ 10分答：水管高度为65－66525时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（图1）（图2）（说明：正确画出两个图形2分，每个图形各1分；求出8310、65并进行正确判断2分，如未作出正确判断只得1分；求出49－66525得1分，求出65－66525得2分．）。
2022年南京市鼓楼区初三九上数学期中试题和答案(苏科版)
九年级（上）期中试卷 数 学（A 卷）注意事项：本试卷共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟．考生答题全部答在答题卡上，答在本试卷上无效．一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题卡相应位置上） 1．一元二次方程x 2－x ＝0的解是A ．0B ．1C ．0和1D ．0和－12．平面内，若⊙O 的半径为2，OP ＝3，则点P 在⊙OA ．内B ．上C ．外D ．内或外3．某商品单价经过两次降价从144元降至81元，设平均每次降价的百分率为x ，则可列方程A ．144(1＋x )2＝81B ．144(1－x )2＝81C ．81(1＋x )2＝144D ．81(1－x )2＝1444．在某次比赛中，有10位同学参加了“10进5”的淘汰赛，他们的比赛成绩各不相同．其中一位同学要知道自己能否晋级，不仅要了解自己的成绩，还需要了解10位参赛同学成绩的 A ．平均数B ．加权平均数C ．众数D ．中位数5．如图，△ABC 内接于⊙O ，DE ，FG 是⊙O 的弦，AB ＝DE ，FG ＝AC ．下列结论：①DE ＋FG ＝BC ；②⌒DE ＋⌒FG ＝⌒BC ；③∠DOE ＋∠FOG ＝∠BOC ；④∠DEO ＋∠FGO ＝∠BAC ． 其中所有正确结论的序号是6．如图，∠1是正九边形两条对角线的夹角，则∠1的度数是A ．45°B ．54°C ．60°D ．72°A ．①②③④B ．②③C ．②④D ．②③④2021.11（第6题）1(第5题)二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）7．写出一个一元二次方程，使它有两个相等的实数根： ▲ ． 8．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为 ▲ ．9．已知⊙O 的半径为2，若点P 是⊙O 的切线l 上任一点，则OP 长的取值范围是 ▲ ． 10．一个圆锥的底面半径为2，母线长为5，则其侧面积为 ▲ ．11．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点E ，AE ＝1，CD ＝4，则OC 长为 ▲ ． 12．若一元二次方程x 2＋mx －3＝0（m 为常数）的一个根是x ＝1，则另一个根是 ▲ ． 13．某单位要招聘1名英语翻译，小亮参加招聘考试的各门成绩如下表所示．若把听、说、读、写的成绩按3 : 3 : 2 : 2计算平均成绩，则小亮的平均成绩为 ▲ 分．14．如图，四边形ABCD 的各边都与圆相切，它的周长为18．若AB ＝5，则CD 的长为 ▲ ．15．如图，矩形ABCD 的四个顶点分别在扇形OEF 的半径和弧上．若∠O ＝60°，OB ＝12BC ，OE ＝4，则AB 的长为 ▲ ．16．在平面直角坐标系中，A （－2，0），B （4，0）．若直线y ＝x ＋b 上存在点P 满足45°≤∠APB ≤90°且PA ＝PB ，则常数b 的取值范围是 ▲ ．三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（8分）解下列一元二次方程．（1）x (x ＋2)＝5(x ＋2)；（2）x 2＋5x ＋3＝0．18．（8分）一块矩形菜地的面积是130 m 2．若将它的长、宽分别增加5 m ，8 m ，它恰成为一块正方形菜地．求原矩形菜地的长和宽．（第11题）DCBA（第14题）EO(第15题)ABC D19．（8分）如图，在以AB 为直径的圆中，弦CD ⊥AB ，M 是AB 上一点，射线DM ，CM 分别交圆于点E ，F ，连接EF ．求证EF ⊥AB ．20．（8分）已知关于x 的一元二次方程 x 2＋(k ＋4)x ＋k ＋3＝0的两根是x 1，x 2． （1）当k 为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？ （2）说明：无论k 为何值，方程总有一个不变的根．21．（8分）数学小组对当地甲、乙两家网约车公司司机的月收入情况进行了抽样调查。
江苏省南京市鼓楼区九年级(上)期中数学试卷
江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．（2分）方程x2＝x的根是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x1＝0，x2＝1D．x1＝0，x2＝﹣1 2．（2分）一元二次方程x2﹣4x+4＝0的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．无实数根D．无法确定3．（2分）如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A．30πcm2B．48πcm2C．60πcm2D．80πcm24．（2分）某单位要招聘1名英语翻译，张明参加招聘考试的成绩如表所示：听说读写张明9080 8382若把听、说、读、写的成绩按3：3：2：2计算平均成绩，则张明的平均成绩为（）A．82B．83C．84D．855．（2分）如图，有一圆O通过△ABC的三个顶点．若∠B＝75°，∠C＝60°，且的长度为4π，则BC的长度为何？（）A．8B．8C．16D．166．（2分）小明不慎把家里的圆形镜子打碎了，其中三块碎片如图所示，三块碎片中最有可能配到与原来一样大小的圆形镜子的碎片是（）A．①B．②C．③D．均不可能二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．（2分）用配方法解方程x2﹣4x＝5时，方程的两边同时加上，使得方程左边配成一个完全平方式．8．（2分）若⊙O的直径为2，OP＝2，则点P与⊙O的位置关系是：点P在⊙O．9．（2分）若一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根是x1、x2，则x1+x2的值是．10．（2分）一只不透明的袋子中装有2个红球、3个白球，这些球除颜色外都相同，摇匀后从中任意摸出一个球，摸到红球的概率是．11．（2分）如图，四个小正方形的边长都是1，若以O为圆心，OG为半径作弧分别交AB、DC于点E、F，则图中阴影部分的面积为．12．（2分）如图所示圆中，AB为直径，弦CD⊥AB，垂足为H．若HB＝2，HD ＝4，则AH＝．13．（2分）如图，AB为⊙O的直径，弦CD与AB交于点E，连接AD．若∠C ＝80°，∠CEA＝30°，则∠CDA＝°．14．（2分）如图，某单位准备将院内一块长30m，宽20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图，要使种植花草的面积为532m2，设小道进出口的宽度为xm，根据条件，可列出方程：．15．（2分）将一个三角形纸板按如图所示的方式放置一个破损的量角器上，使点C落在半圆上，若点A、B处的读数分别为65°、20°，则∠ACB的大小为°．16．（2分）如图，△ABC中，∠B＝90°，AB＝11，BC＝10，若⊙O的半径为5且与AB、BC相切，以下说法不正确的是．①圆心O是∠B的角平分线与AC的交点；②圆心O是∠B的角平分线与AB的垂直平分线的交点；③圆心O是AB的垂直平分线与BC的垂直平分线的交点；④圆心O是∠B的角平分线与BC的垂直平分线的交点．三、解答题（共11小题，满分88分）17．（8分）解下列一元二次方程．（1）x2+6x+5＝0；（2）x2+x﹣1＝0．18．（8分）甲、乙两名队员参加射击训练，成绩分别被制成下列两个统计图：根据以上信息，整理分析数据如下：中位数/环众数/环方差平均成绩/环甲a77 1.2乙7b8c（1）写出表格中a，b，c的值；（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击训练成绩．若选派其中一名参赛，你认为应选哪名队员？19．（6分）已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0（1）求证：不论m为何值，方程总有实数根；（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．20．（5分）甲、乙、丙、丁4位同学进行一次乒乓球单打比赛，要从中选2名同学打第一场比赛．（1）已确定甲同学打第一场比赛，再从其余3名同学中随机选取1名，恰好选中乙同学的概率是；（2）随机选取2名同学，求其中有乙同学的概率．21．（8分）在⊙O中，AB为直径，C为⊙O上一点．（Ⅰ）如图1．过点C作⊙O的切线，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝27°，求∠P的大小；（Ⅱ）如图2，D为上一点，且OD经过AC的中点E，连接DC并延长，与AB的延长线相交于点P，若∠CAB＝10°，求∠P的大小．22．（7分）我们知道，各类方程的解法虽然不尽相同，但是它们的基本思想都是“转化”，即把未知转化为已知．用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新方程．认识新方程：像＝x这样，根号下含有未知数的方程叫做无理方程，可以通过方程两边平方把它转化为2x+3＝x2，解得x1＝3，x2＝﹣1．但由于两边平方，可能产生增根，所以需要检验，经检验，x2＝﹣1是原方程的增根，舍去，所以原方程的解是x＝3．运用以上经验，解下列方程：（1）＝x；（2）x+2＝6．23．（8分）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．（1）如图1，大圆的弦AB切小圆于点P，求证：AP＝BP；（2）若AB＝2a，请用含有a的代数式表示图1中的圆环面积；（3）如图2，若大圆的弦AB交小圆于C、D两点，且AB＝8，CD＝6，则圆环的面积为．24．（7分）某农场去年种植南瓜10亩，总产量为20000kg，今年该农场扩大了种植面积，并引进新品种，使产量增长到60000kg．已知今年种植面积的增长率是今年平均亩产量增长率的2倍，求今年平均亩产量的增长率．25．（7分）如图，已知△ABC，利用尺规完成下列作图（不写画法，保留作图痕迹）．（1）作△ABC的外接圆；（2）若△ABC所在平面内有一点D，满足∠CAB＝∠CDB，BC＝BD，求作点D．26．（8分）某青年旅社有60间客房供游客居住，在旅游旺季，当客房的定价为每天200元时，所有客房都可以住满．客房定价每提高10元，就会有1个客房空闲，对有游客入住的客房，旅社还需要对每个房间支出20元/每天的维护费用，设每间客房的定价提高了x元．（1）填表（不需化简）入住的房间数量房间价格总维护费用提价前6020060×20提价后（2）若该青年旅社希望每天纯收入为14000元且能吸引更多的游客，则每间客房的定价应为多少元？（纯收入＝总收入﹣维护费用）27．（16分）问题呈现：如图1，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC＝90°，弦BD＝BA，BE⊥DC交DC 的延长线于点E．求证：BE是⊙O的切线．问题分析：连接OB，要证明BE是⊙O的切线，只要证明OB BE，由题意知∠E＝90°，故只需证明OB DE．解法探究：（1）小明对这个问题进行了如下探索，请补全他的证明思路：如图2，连接AD，由∠ECB是圆内接四边形ABCD的一个外角，可证∠ECB＝∠BAD，因为OB＝OC，所以，因为BD＝BA，所以，利用同弧所对的圆周角相等和等量代换，得到，所以DE∥OB，从而证明出BE是⊙O的切线．（2）如图3，连接AD，作直径BF交AD于点H，小丽发现BF⊥AD，请说明理由．（3）利用小丽的发现，请证明BE是⊙O的切线．（要求给出两种不同的证明方法）．江苏省南京市鼓楼区九年级（上）期中数学试卷参考答案一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）1．C；2．B；3．C；4．C；5．B；6．A；二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）7．4；8．外；9．﹣2；10．；11．；12．8；13．20；14．x2﹣35x+34＝0；15．22.5；16．①②③；三、解答题（共11小题，满分88分）17．；18．；19．；20．；21．；22．；23．7π；24．；25．；26．60﹣；200+x；（60﹣）×20；27．⊥；∥；∠CBO＝∠BCO；∠BAD＝∠BDA；∠ECB＝∠CBO；。
南京市秦淮区2019-2020学年九年级(上)期中数学试卷 ( 含解析)
2019-2020学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每小题2分，共12分）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正三角形D．圆2．一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是（）A．9πB．16πC．20πD．25π3．在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是（）A．87，87 B．87，85 C．83，87 D．83，854．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（）A．（x﹣4）2＝8 B．（x﹣4）2＝40 C．（x﹣8）2＝8 D．（x﹣8）2＝40 5．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③6．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8 B．16 C．32 D．32二、填空题（共20分）7．方程x2＝x的解是．8．若x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，则p﹣q的值是．9．数据9，11，8，12，7，13的极差是．10．如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，若∠ABC＝25°，则∠D的度数是°．11．小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：那么他射中环数的平均数是环．12．如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，则∠AFE的度数是°．13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是cm（结果保留π）．14．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD 的度数是°．16．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M 为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是．三、解答题（共88分）17．解方程：x2﹣3x﹣2＝0．18．解方程（x+1）2＝（2x+1）2．19．已知：当x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？20．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．21．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．（1）求证AC＝BD；（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是．22．某校有A、B两个礼仪队，经调查统计，A礼仪队成员身高的方差是1.14cm2，B礼仪队成员身高如图所示：B礼仪队成员身高条形统计图．（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因工作需要，B礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为①163cm、②166cm、③169cm、④172cm，若选择其中一人加入B礼仪队后，B礼仪队成员的身高比A礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是（填写成员序号）．23．如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行．（1）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：DE是⊙O的切线．24．【阅读】x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值如表：可知：当x＝﹣3时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝﹣2时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，所以方程x2+2x ﹣1＝0的一个解在﹣3和﹣2之间．【理解】（1）方程x2+2x﹣1＝0的另一个解在两个连续整数和之间．【应用】（2）若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，求m的取值范围．25．某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整．26．某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）．（1）用含有x的代数式填表（不需化简）：（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．27．在△ABC中，∠C＝α．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n．（1）当α＝90°时，AC＝6，BC＝8时，m＝，n＝．（2）当α取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．①如图①，α＝90°；②如图②，α＝60°．参考答案与试题解析一．选择题（共6小题）1．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．等腰梯形B．平行四边形C．正三角形D．圆【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项正确．故选：D．2．一个圆锥的底面圆半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积是（）A．9πB．16πC．20πD．25π【分析】根据圆锥的底面半径为4，求出底面圆周长，由母线长为5，利用扇形面积公式求出它的侧面积．【解答】解：∵圆锥的底面圆半径为4，∴圆锥的底面圆周长＝2×4×π＝8π，则圆锥的侧面积为×8π×5＝20π，故选：C．3．在学校举行的“我为祖国献首歌”的合唱比赛中，六位评委给初三某班的评分分别是：87、90、83、87、87、83，这组数据的众数和中位数分别是（）A．87，87 B．87，85 C．83，87 D．83，85【分析】首先对这组数据进行排序，根据中位数和众数的定义回答即可．【解答】解：∵这组数据排序后为83，83，87，87，87，90，∴这组数据的众数是87，这组数据的中位数是＝87．故选：A．4．用“配方法”解一元二次方程x2﹣16x+24＝0，下列变形结果，正确的是（）A．（x﹣4）2＝8 B．（x﹣4）2＝40 C．（x﹣8）2＝8 D．（x﹣8）2＝40 【分析】根据配方法解一元二次方程即可求解．【解答】解：x2﹣16x+24＝0x2﹣16x+64＝﹣24+64（x﹣8）2＝40故选：D．5．如图，某小区在一块长为16m，宽为9m的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行，另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得花草区域占地面积为120m2．设小路的宽度为xm，则下列方程：①（16﹣2x）（9﹣x）＝120②16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120③16×9﹣9×2x﹣16x+x2＝120，其中正确的是（）A．①B．②C．①②D．①②③【分析】如果设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；那么根据题意即可得出方程．【解答】解：设小路的宽度为xm，那么草坪的总长度和总宽度应该为16﹣2x，9﹣x；根据题意即可得出方程为：（16﹣2x）（9﹣x）＝120，或16×9﹣9×2x﹣（16﹣2x）x＝120故选：C．6．如图，在⊙O中，分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，若⊙O的半径为4，则四边形ABCD的面积是（）A．8 B．16 C．32 D．32【分析】过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，根据平行线的性质得到EF⊥CD，根据折叠的性质得到OH＝OA，推出△AOD是等边三角形，得到D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，求得∠DAB＝90°，同理，∠ABC ＝∠ADC＝90°，得到四边形ABCD是矩形，于是得到结论．【解答】解：过O作OH⊥AB交⊙O于E，反向延长EO交CD于G，交⊙O于F，连接OA，OB，OD，∵AB∥CD，∴EF⊥CD，∵分别将、沿两条互相平行的弦AB、CD折叠，折叠后的弧均过圆心，∴OH＝OA，∴∠HAO＝30°，∴∠AOH＝60°，同理∠DOG＝60°，∴∠AOD＝60°，∴△AOD是等边三角形，∵OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝30°，∴∠AOB＝120°，∴∠AOD+∠AOB＝180°，∴D，O，B三点共线，且BD为⊙O的直径，∴∠DAB＝90°，同理，∠ABC＝∠ADC＝90°，∴四边形ABCD是矩形，∴AD＝AO＝4，AB＝AD＝4，∴四边形ABCD的面积是16，故选：B．二．填空题（共10小题）7．方程x2＝x的解是x1＝0，x2＝1 ．【分析】将方程化为一般形式，提取公因式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：x2＝x，移项得：x2﹣x＝0，分解因式得：x（x﹣1）＝0，可得x＝0或x﹣1＝0，解得：x1＝0，x2＝1．故答案为：x1＝0，x2＝18．若x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，则p﹣q的值是 1 ．【分析】把x＝﹣1代入方程得到1﹣p+q＝0后移项即可求得答案．【解答】解：∵x＝﹣1是方程x2+px+q＝0的解，∴1﹣p+q＝0，∴p﹣q＝1，故答案为：1．9．数据9，11，8，12，7，13的极差是 6 ．【分析】根据极差的定义即可求得．【解答】解：数据9，11，8，12，7，13的极差是13﹣7＝6；故答案为：6．10．如图，BC是⊙O的直径，A、D是⊙O上的两点，若∠ABC＝25°，则∠D的度数是65 °．【分析】根据圆周角定理和直角三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵∠ABC＝25°，∴∠C＝90°﹣25°＝65°，∴∠D＝∠C＝65°，故答案为：65．11．小明参加了学校的传统文化课程“射箭”，在一次练习中，他射中的环数和次数如表所示：那么他射中环数的平均数是8.7 环．【分析】求出所有数据的和，再除以数据的总个数即可得出答案．【解答】解：根据题意得：＝8.7（环），答：他射中环数的平均数是8.7环；故答案为：8.7．12．如图是中华人民共和国国旗中的重要元素“五角星”，其中A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，则∠AFE的度数是108 °．【分析】根据五边形的内角和公式求出∠DAB，根据对顶角相等即可求解．【解答】解：∵五角星里面是正五边形，∴∠BFD＝＝108°，∴∠AFE＝∠BFD＝108°．故答案为：108．13．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1cm，则经过A、B、C三点的弧长是cm（结果保留π）．【分析】先作图确定圆心，然后计算圆心角，最后，再依据弧长公式求解即可．【解答】解：连接BC、AB，作BC与AB的垂直平分线交于点O，点O即为A、B、C所在圆的圆心，则OA2＝22+42＝20，OA＝2可知∠AOC＝90°，∴过A、B、C三点的弧：＝．故答案为14．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元．经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克．如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为（10+x）（500﹣10x）＝8000 ．【分析】根据已知直接得出每千克水果获利，进而利用销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克，得出月减少的数量；利用每千克水果品获利×月销售量＝总利润，进而求出答案．【解答】解：设水果单价涨了x元，由题意可得：每千克水产品获利（10+x）元，月销售量减少10x千克；由题意可列方程（10+x）（500﹣10x）＝8000，故答案为：（10+x）（500﹣10x）＝8000．15．如图，⊙O是四边形ABCD的内切圆，连接OA、OB、OC、OD．若∠AOB＝110°，则∠COD 的度数是70 °．【分析】直接利用切线的性质定理结合全等三角形的判定和性质得出∠2+∠3＝∠DOC＝70°．【解答】解：如图所示：连接圆心与各切点，在Rt△DEO和Rt△DFO中，∴Rt△DEO≌Rt△DFO（HL），∴∠1＝∠2，同理可得：Rt△AFO≌Rt△AMO，Rt△BMO≌Rt△BNO，Rt△CEO≌Rt△CNO，∴∠3＝∠4，∠5＝∠7，∠6＝∠8，∴∠5+∠6＝∠7+∠8＝110°，∴2∠2+2∠3＝360°﹣2×110°，∴∠2+∠3＝∠DOC＝70°．故答案为：70°．16．如图，在边长为8的正方形ABCD中，E、F分别是边AB、BC上的动点，且EF＝6，M 为EF中点，P是边AD上的一个动点，则CP+PM的最小值是8﹣3 ．【分析】延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，N三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：延长CD到C′，使C′D＝CD，CP+PM＝C′P+PM，当C′，P，N三点共线时，C′P+PM的值最小，根据题意，点M的轨迹是以B为圆心，3为半径的圆弧上，圆外一点C′到圆上一点M距离的最小值C′M＝C′B﹣3，∵BC＝CD＝8，∴CC′＝16，∴C′D＝＝＝8，∴CP+PM的最小值是8﹣3，故答案为：8﹣3．三．解答题（共11小题）17．解方程：x2﹣3x﹣2＝0．【分析】公式法的步骤：①化方程为一般形式；②找出a，b，c；③求b2﹣4ac；④代入公式x＝．【解答】解：∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣2；∴b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣2）＝9+8＝17；∴x＝＝，∴x1＝，x2＝．18．解方程（x+1）2＝（2x+1）2．【分析】两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：两边开方得：x+1＝±（2x+1），解得：x1＝0，x2＝﹣．19．已知：当x＝2时，二次三项式x2﹣2mx+4的值等于﹣4．当x为何值时，这个二次三项式的值是﹣1？【分析】根据一元二次方程的解的定义将x＝2x2﹣2mx+4＝﹣4，列出关于m的方程，通过解方程求得m的值；然后将m的值代入关于x的方程x2﹣6x+4＝﹣1，再通过解该方程求得x的值即可．【解答】解：由题意得4﹣4m+4＝﹣4，即3﹣m＝0，解得m＝3；（2分）∴x2﹣6x+4＝﹣1，∴（x﹣1）（x﹣5）＝0，得x1＝1，x2＝5．（4分）20．已知关于x的一元二次方程x2+6x﹣m＝0．（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围；（2）在（1）中，设x1、x2是该方程的两个根，且x1+x2﹣2x1x2＝0，求m的值．【分析】（1）根据该方程有两个实数根，结合判别式公式，得到关于m的一元一次不等式，解之即可，（2）根据一元二次方程根与系数的关系，得到x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，结合x1+x2﹣2x1x2＝0，得到关于m的一元一次方程，解之即可．【解答】解：（1）根据题意得：△＝36+4m≥0，解得：m≥﹣9，即m的取值范围为：m≥﹣9，（2）根据题意得：x1+x2＝﹣6，x1x2＝﹣m，∵x1+x2﹣2x1x2＝0，∴﹣6﹣2×（﹣m）＝0，解得：m＝3（符合题意），即m的值为3．21．如图，在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．（1）求证AC＝BD；（2）若AC＝3，大圆和小圆的半径分别为6和4，则CD的长度是．【分析】（1）作CH⊥CD于H，如图，根据垂径定理得到CH＝DH，AH＝BH，利用等量减等量差相等可得到结论；（2）连接OC，如图，设CH＝x，利用勾股定理得到OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，则42﹣x2＝62﹣（3+x）2，然后解方程求出x即可得到CD的长．【解答】（1）证明：作CH⊥CD于H，如图，∵OH⊥CD，∴CH＝DH，AH＝BH，∴AH﹣CH＝BH﹣DH，∴AC＝BD；（2）解：连接OC，如图，设CH＝x，在Rt△OCH中，OH2＝OC2﹣CH2＝42﹣x2，在Rt△OAH中，OH2＝OA2﹣AH2＝62﹣（3+x）2，∴42﹣x2＝62﹣（3+x）2，解得x＝，∴CD＝2CH＝．22．某校有A、B两个礼仪队，经调查统计，A礼仪队成员身高的方差是1.14cm2，B礼仪队成员身高如图所示：B礼仪队成员身高条形统计图．（1）通过计算，比较两个礼仪队成员身高的方差大小；（2）因工作需要，B礼仪队需增加一名成员，现共有4名候选人，她们的身高分别为①163cm、②166cm、③169cm、④172cm，若选择其中一人加入B礼仪队后，B礼仪队成员的身高比A礼仪队成员的身高稳定，这个候选人是③（填写成员序号）．【分析】（1）根据平均数，方差的定义即可得到结论；（2）根据方差的定义即可得到结论．【解答】解：（1）∵B礼仪队成员身高的平均数为＝169（cm），∴B礼仪队成员身高的方差为×[（168﹣169）2×2+（169﹣169）2×2+（171﹣169）2]＝1.2（cm2），∵A礼仪队成员身高的方差是1.14cm2，∴B礼仪队成员身高的方差大于A礼仪队成员身高的方差；（2）∵B礼仪队成员身高的平均数为169cm，∴B礼仪队成员的身高比A礼仪队成员的身高稳定，这个候选人的身高必须最接近平均数，故这个候选人是③，故答案为：③．23．如图，过点A的直线DE和正三角形ABC的边BC平行．（1）利用直尺和圆规作△ABC的外接圆O（不写作法，保留作图痕迹）；（2）求证：DE是⊙O的切线．【分析】（1）作BC和AB的垂直平分线，它们的交点为O，然后以O点为圆心，OA为半径画圆；（2）延长AO交BC于G，如图，先判断AG垂直平分BC，再利用平行线的性质得到AG⊥DE，然后根据切线的判定定理可得到结论．【解答】（1）如图，⊙O为所作；（2）证明：延长AO交BC于G，如图，∵AB＝AC，OB＝OC，∴AG垂直平分BC，∵DE∥BC，∴AG⊥DE，∴DE是⊙O的切线．24．【阅读】x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值如表：可知：当x＝﹣3时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝﹣2时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，所以方程x2+2x ﹣1＝0的一个解在﹣3和﹣2之间．【理解】（1）方程x2+2x﹣1＝0的另一个解在两个连续整数0 和 1 之间．【应用】（2）若关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，求m的取值范围．【分析】（1）根据x与代数式x2+2x﹣1的部分对应值的表即可得出答案；（2）根据方程﹣x2+2x+m＝0有一个根在1和2之间知，解之可得．【解答】解：（1）∵当x＝1时，x2+2x﹣1＝2＞0，当x＝0时，x2+2x﹣1＝﹣1＜0，∴方程的另一个根在0和1之间；故答案为0，1；（2）∵y＝﹣x2+2x+m＝0中k＝﹣1＜0，∴开口向下，对称轴为直线x＝1，由题意可知一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解在1和2之间，∴，解得：﹣1＜m＜0．25．某同学在探究证明“圆内接四边形对角互补”时，画出了下图，并写出了如下证明过程：数学老师说该同学的思考不够全面，请将其缺失的证明过程补充完整．【分析】如图1，如图2，根据等腰三角形的性质即可得到结论．【解答】解：如图1，∵AO＝OB＝OC＝OD，∴∠1＝∠8，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∠6＝∠7，∴∠7+∠8+∠3+∠4+＝∠1+∠2+∠5+∠6，即∠DAB+∠DCB＝∠ADC+∠ABC＝180°；如图2，∵OA＝OB＝OC＝OD，∴∠1＝∠6，∠2＝∠3，∠4＝∠5，∴∠1+∠2+∠5＝∠3+∠4+∠6，即∠DAB+∠DCB＝∠ADC+∠ABC＝180°，综上所述，圆内接四边形对角互补．26．某小型工厂9月份生产的A、B两种产品数量分别为200件和100件，A、B两种产品出厂单价之比为2：1，由于订单的增加，工厂提高了A、B两种产品的生产数量和出厂单价，10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍．设B产品生产数量的增长率为x（x＞0）．（1）用含有x的代数式填表（不需化简）：（2）若9月份两种产品出厂单价的和为90元，10月份该工厂的总收入增加了4.4x，求x的值．【分析】（1）根据“10月份A产品生产数量的增长率和A产品出厂单价的增长率相等，B产品生产数量的增长率是A产品生产数量的增长率的一半，B产品出厂单价的增长率是A产品出厂单价的增长率的2倍”填空；（2）根据（1）中相关量间的关系和9月份两种产品出厂单价的和为90元列出方程并解答．【解答】解：（1）由题意，得：故答案是：2x；200（1+2x）；100（1+x）；（2）90×＝60（元）90×＝30（元）60×200（1+2x）2+30×100（1+x）（1+4x）＝（60×200+30×100）（1+4.4x）解得x1＝0（舍去），x2＝．即x的值是．27．在△ABC中，∠C＝α．⊙O是△ABC的内切圆，⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均只有一个公共点，⊙O的半径为m，⊙P的半径为n．（1）当α＝90°时，AC＝6，BC＝8时，m＝ 2 ，n＝12 ．（2）当α取下列度数时，求△ABC的面积（用含有m、n的代数式表示）．①如图①，α＝90°；②如图②，α＝60°．【分析】（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC，由面积法可得m的值，再由正方形的性质及切线长定理可得n的值；（2）①由于α＝90°，与（1）中度数相同，故解题思路与（1）相同，仅需要将相关线段用m和n表示；②连接CP，由切线长定理得∠PCE＝30°，由含30°角的直角三角形的性质及面积法，可得答案．【解答】解：（1）如图①，设点D，E，F分别是3个切点，连接PD，PE，PF，连接OA，OB，OC∵S△BCA＝S△ABO+S△ACO+S△BCO∴×6×8＝×10m+×6m+×8m∴m＝2由已知，四边形DPEC为正方形∴n＝PD＝由切线长定理可知，AF＝AD，BF＝BE∴n＝＝＝＝12（2）如图①，由切线的性质，可知PD⊥CD，PE⊥BC，PF⊥AB，PD＝PE＝PF，设△ABC的面积为S△ABC，周长为C△ABC同（1），根据面积法可知m＝①如图①∵n＝＝＝＝又∵m＝∴S△ABC＝＝mn②如图②，连接CP，由切线长定理得：CD＝CE＝＝＝＝∵PD⊥CD，PE⊥BC∴CP平分∠ACB∴∠PCE＝30°∴n＝PE＝＝＝又∵m＝∴S△ABC＝＝mn。