立体几何空间成角问题
立体角计算题目
立体角计算题目
立体角是三维空间中与立体图形相关的一个概念，它用于描述一个点所在的空间角度范围。
立体角的单位是立体弧度（sr）。
以下是一个简单的立体角计算题目：
一个正方体的一个顶点被连接到它的对角面上的一个点。
计算这个顶点所在的立体角。
解答：
首先，可以利用正方体的几何特征来确定这个所在点的立体角。
这个顶点在正方体中与另一个对角顶点相对，它的连接点在正方体的另一面上。
因此，可以将正方体视为由两个完全相同的四面体组成的结构，这些四面体的顶点分别为正方体的两个对角顶点和两个中心点。
接下来，可以计算其中一个四面体的立体角，然后将结果乘以2来得到整个正方体的立体角。
使用三角函数和几何关系，可以计算每个四面体的立体角为：立体角= 2 * arctan(√2) ≈ 3.14 sr
因此，正方体一个顶点所在的立体角为：
立体角= 2 * 3.14 ≈ 6.28 sr
注意：这只是一个简单的例子，实际的立体角计算可能需要更复杂的数学和几何技能。
立体几何-空间角求法题型(线线角、线面角、二面角)
空间角求法题型（线线角、线面角、二面角）空间角能比较集中的反映学生对空间想象能力的体现，也是历年来高考命题者的热点，几乎年年必考。
空间角是线线成角、线面成角、面面成角的总称。
其取值范围分别是：0°< θ ≤90°、0°≤ θ ≤90°、0°< θ ≤180°。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三求解，手段上可采用：几何法（正余弦定理）和向量法。
下面举例说明。
一、异面直线所成的角：例1如右下图，在长方体1111ABCD A B C D -中，已知4AB =，3AD =，12AA =。
E 、F 分别是线段AB 、BC 上的点，且1EB FB ==。
求直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值。
思路一：本题易于建立空间直角坐标系，把1EC 与1FD 所成角看作向量EC 1与FD 的夹角，用向量法求解。
思路二：平移线段C 1E 让C 1与D 1重合。
转化为平面角，放到三角形中，用几何法求解。
（图1）解法一：以A 为原点，1AB AD AA 、、分别为x 轴、y 轴、z 轴的正向建立空间直角坐标系，则有 D 1（0，3，2）、E （3，0，0）、F （4，1，0）、C 1（4，3，2），于是11(1,3,2),(4,2,2)EC FD ==-设EC 1与FD 1所成的角为β，则：112222221121cos 14132(4)22EC FD EC FD β⋅===⋅++⨯-++ ∴直线1EC 与1FD 所成的角的余弦值为2114解法二：延长BA 至点E 1，使AE 1=1，连结E 1F 、DE 1、D 1E 1、DF ， 有D 1C 1//E 1E ， D 1C 1=E 1E ，则四边形D 1E 1EC 1是平行四边形。
则E 1D 1//EC 1 于是∠E 1D 1F 为直线1EC 与1FD 所成的角。
(高中段)大题考法立体几何第二课时空间向量与空间角3
[解] (1)证明：在△ABC 中，BC＝2，AB＝4，∠ABC＝60°，所以 AC2＝ BC2＋AB2－2BC·AB·cos B＝12，
则有 AC2＋BC2＝AB2，即 AC⊥BC. 又因为 PA⊥BC，PA∩AC＝A，PA⊂平面 PAC，AC⊂平面 PAC，所以 BC ⊥平面 PAC. (2)由(1)知 AC⊥BC，以点 C 为坐标原点，CA，CB 所在 直线分别为 x，y 轴建立如图所示的坐标系 C-xyz. 则 C(0,0,0)，A(2 3，0,0)，B(0,2,0)，D( 3，－1,0)， 易知 P 在底面的射影为 AC 与 BD 的交点， 所以 P233，0，236，―PD→＝ 33，－1，－2 36，
由(1)知―A→P ＝0，1， 22是平面 PCB 的一个法向量，
记 n ＝―A→P ，则
n ，m
n ·m ＝
|n |·|m
|＝2 5
5 .
所以二面角
B-PC-E
的余弦值为2 5
5 .
融通方法 利用空间向量求二面角的解题模型
应用体验 (2020·河北“五个一”名校联考)在四棱锥 P-ABCD 中，AD ∥BC，AB＝BC＝CD＝12AD，G 是 PB 的中点，△PAD 是 等边三角形，平面 PAD⊥平面 ABCD. (1)求证：CD⊥平面 GAC； (2)求二面角 P-AG-C 大小的正弦值．
设平面 AEF 的一个法向量为 n ＝(x1，y1，z1)，
n ·―AE→＝0，
则 n
·―AF→＝0，
即x21x＋1＋z1λ＝y1＝0，0.
令 y1＝2，则zx11＝＝λ－. λ， ∴n ＝(－λ，2，λ)．
设平面 PCD 的一个法向量为 m ＝(x2，y2，z2)，
高二数学空间的角试题答案及解析
高二数学空间的角试题答案及解析1.在正方体中，直线与平面所成角的大小为____________．【答案】.【解析】连接，，连接.由正方体的性质可得，且，所以平面，所以可得为直线与平面所成的角.设正方体的棱长为，则，.在中，，从而得到答案为.【考点】直线与平面所成的角；棱柱的结构特征．2.如图是一个正方体的表面展开图，A、B、C均为棱的中点，D是顶点，则在正方体中，异面直线AB和CD的夹角的余弦值为。
【答案】【解析】试题分析:把正方体的表面展开图还原成正方体，设的中点为，连接，又，则为异面直线AB和CD所成的角，由余弦定理可得。
【考点】（1）异面直线所成角的定义；（2）平行公里；（3）余弦定理的应用。
3.空间四边形ABCD中，M，N分别是AB和CD的中点，AD=BC=6，MN=则AD和BC所成的角是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】取线段AC的中点P.由于M,N都是中点.所以QN=3，QM=3.又因为.所以三角形MNP是直角三角形.即MP⊥PN,又因为MP∥BC, PN∥AD.所以AD⊥BC.本题主要是应用三角形的中位线的知识.含中点的题一般都的转化为中位线的知识.【考点】1.异面直线所成的角.2.中位线定理.3.空间问题向平面问题转化.4.在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的大小是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】在正方体中，容易得到平面，又因为平面,故得到.【考点】异面直线所成角.5.在三棱锥中,是边长为2的正三角形,平面平面,,分别为的中点.(1)证明:;(2)求锐二面角的余弦值;【答案】（1）见试题解析；（2）．【解析】（1）要证线线垂直，一般可先证线面垂直，而本题中有，是等边三角形，故可以取中点为，则有，，这是等腰三角形的常用辅助线的作法；（2）关键是作出所求二面角的平面角，由已知及（1）中辅助线，可知平面，由于是中点，故只要取中点，则有，也即平面，有了平面的垂线，二面角的平面角就容易找到了。
高考真题(立体几何中空间角问题[题目])
![高考真题(立体几何中空间角问题[题目])](https://img.taocdn.com/s3/m/9d2b391cdaef5ef7bb0d3c62.png)
解答题1. 如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是菱形，2,60AB BAD =∠=o .（Ⅰ）求证：BD ⊥平面;PAC（Ⅱ）若,PA AB =求PB 与AC 所成角的余弦值；（Ⅲ）当平面PBC 与平面PDC 垂直时，求PA 的长.2. 如图，四棱锥P -ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，四边形ABCD 中，AB ⊥AD ，AB +AD =4，CD =2，︒=∠45CDA ．（I ）求证：平面P AB ⊥平面P AD ；（II ）设AB =AP ．（i ）若直线PB 与平面PCD 所成的角为︒30，求线段AB 的长；（ii ）在线段AD 上是否存在一个点G ，使得点G 到点P ，B ，C ，D 的距离都相等？说明理由。
3. 如图5．在椎体P -ABCD 中，ABCD 是边长为1的棱形，且∠DAB =60︒，2PA PD ==,PB =2, E ,F 分别是BC ,PC 的中点．（1） 证明：AD ⊥平面DEF ;（2） 求二面角P -AD -B 的余弦值．4. 如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各棱长都是4，E 是BC 的中点，动点F 在侧棱1CC 上，且不与点C 重合．（Ⅰ）当CF =1时，求证：EF ⊥1A C ；（Ⅱ）设二面角C AF E --的大小为θ，求tan θ的最小值．A B DC FPE5. 如图，在圆锥PO中，已知PO=2，⊙O的直径2AB=,C是»AB的中点，D为AC 的中点．（Ⅰ）证明：平面POD⊥平面PAC;（Ⅱ）求二面角B PA C--的余弦值。
6. 如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=12 PD．（I）证明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．8. 如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD ．（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD =AD ，求二面角A -PB -C 的余弦值．9. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，∠ ACB =90︒，ＥＡ⊥平面ＡＢＣＤ，EF ∥ＡＢ，ＦＧ∥ＢＣ，ＥＧ∥ＡＣ.ＡＢ=２ＥＦ.（Ⅰ）若Ｍ是线段ＡＤ的中点，求证：ＧＭ∥平面ＡＢＦＥ;（Ⅱ）若ＡＣ＝ＢＣ=２ＡＥ,求二面角Ａ－ＢＦ－Ｃ的大小．10. 如图，在ABC ∆中，60,90,ABC BAC AD ∠=∠=o o 是BC 上的高，沿AD 把ABC ∆折起，使90BCD ∠=o 。
高中数学必修二立体几何角的问题-教师版(含几何法和向量法)
立体几何线线、线面、面面所成角的问题几何法1、两异面直线及所成的角：不在同一个平面的两条直线,叫做异面直线,已知异面直线a,b,经过空间任一点O 作直线a '∥a ,b '∥b ,我们把a '与b '所成的锐角(或直角)叫做异面直线a 与b 所成的角(或夹角).如果两条异面直线所成的角是直角，我们就说这两条直线互相垂直.2、直线和平面所成的角：一条直线PA 和一个平面α相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A 叫做斜足。
过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO ，过垂足O 和斜足A 的直线 AO 叫做斜线在这个平面上的射影。
平面的一条斜线和它在平面内的摄影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角。
一条直线垂直于平面，我们就说它们所成的角是直角。
一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是00.3、二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
在二面角βα--l 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的∠AOB 叫做二面角的平面角。
二面角的大小可以可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度。
常见角的取值范围：① 异面直线所成的角⎥⎦⎤ ⎝⎛20π，，直线与平面所成的角⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，，二面角的取值范围依次[]π，0② 直线的倾斜角[)π，0、到的角[)π，0、与的夹角的取值范围依次是⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，4、点到平面距离：求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用. 向量法1、两异面直线及所成的角：设异面直线a ，b 的夹角为θ，方向向量为a ，b ，其夹角为ϕ，则有cos cos a b a bθϕ⋅==．2、直线和平面所成的角：设直线l 的方向向量为l ，平面α的法向量为n ，l 与α所成的角为θ，l 与n 的夹角为ϕ，则有sin cos l n l nθϕ⋅==．3、二面角：设1n ，2n 是二面角l αβ--的两个面α，β的法向量，则向量1n ，2n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小．若二面角l αβ--的平面角为θ，则1212cos n n n n θ⋅=．4、点到平面距离：点P 是平面α外一点，A 是平面α内的一定点，n 为平面α的一个法向量，则点P 到平面α的距离为cos ,n d n nPA⋅=PA 〈PA 〉=．例题例1.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010B.3010C.21510D.31010 解析：建立空间直角坐标系如图．则A (1,0,0)，E (0,2,1)，B (1,2,0)，C 1(0,2,2)．BC 1→＝(－1,0,2)，AE →＝(－1,2,1)，cos 〈BC 1→，AE →〉＝BC 1→·AE →|BC 1→|·|AE →|＝3010.所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010.答案：B例 2.已知ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，2AB =，4PA AD ==，E 为BC 的中点．（1）求证：DE ⊥平面PAE ；（2）求直线DP 与平面PAE 所成的角． 证明：在ADE ∆中，222AD AE DE =+，∴AE DE ⊥ ∵PA ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴PA DE ⊥又PA AE A ⋂=，∴DE ⊥平面PAE （2）DPE ∠为DP 与平面PAE 所成的角在Rt PAD ∆，PD =Rt DCE ∆中，DE =在Rt DEP ∆中，2PD DE =，∴030DPE ∠=例3.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是060DAB ∠=且边长为a 的菱形，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD 垂直于底面ABCD ． （1）若G 为AD 的中点，求证：BG ⊥平面PAD ； （2）求证：AD PB ⊥；（3）求二面角A BC P --的大小．证明：（1）ABD ∆为等边三角形且G 为AD 的中点，∴BG AD ⊥ 又平面PAD ⊥平面ABCD ，∴BG ⊥平面PAD（2）PAD 是等边三角形且G 为AD 的中点，∴AD PG ⊥ 且AD BG ⊥，PG BG G ⋂=，∴AD ⊥平面PBG ，PB ⊂平面PBG ，∴AD PB ⊥（3）由AD PB ⊥，AD ∥BC ，∴BC PB ⊥ 又BG AD ⊥，AD ∥BC ，∴BG BC ⊥∴PBG ∠为二面角A BC P --的平面角在Rt PBG ∆中，PG BG =，∴045PBG ∠=例4.在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为棱AA 1、BB 1的中点，G 为棱A 1B 1上的一点，且A 1G =λ（0≤λ≤1），则点G 到平面D 1EF 的距离为（ D ） A.3 B.22C.32λ D.55练习：1、已知四边形ABCD 是空间四边形，,,,E F G H 分别是边,,,AB BC CD DA 的中点，（1）求证：EFGH 是平行四边形；（2）若BD=AC=2，EG=2。
立体几何空间角 专题
PCDBA立体几何空间角 专题空间角，能比较集中反映空间想象能力的要求，历来为高考命题者垂青，几乎年年必考。
空间角是异面直线所成的角、直线与平面所成的角及二面角总称。
空间角的计算思想主要是转化：即把空间角转化为平面角，把角的计算转化到三角形边角关系或是转化为空间向量的坐标运算来解。
空间角的求法一般是：一找、二证、三计算。
异面直线所成的角的范围：090θ<≤（一）平移法【例1】已知四边形ABCD 为直角梯形，//AD BC ，90ABC ∠=，PA ⊥平面AC ，且2BC =，1PA AD AB ===，求异面直线PC 与BD 所成角的余弦值的大小。
【解】过点C 作//CE BD 交AD 的延长线于E ，连结PE ，则PC与BD 所成的角为PCE ∠或它的补角。
CE BD==PE==∴由余弦定理得222c o s 26PC CE PE PCE PC CE +-∠==-⋅∴PC 与BD 所成角的余弦值为63（二）补形法【变式练习】已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为8，侧棱长为6，D为AC 中点。
求异面直线1AB 与1BC A 1C 1【答案】125直线与平面所成角的范围：090θ≤≤方法：射影转化法（关键是作垂线，找射影）【例2】如图，在三棱锥P ABC -中，90APB ∠=，60PAB ∠=，AB BC CA ==，点P 在平面ABC 内的射影O 在AB 上，的角的大小。
【解】连接OC ，由已知，OCP ∠为直线PC 与平面ABC 设AB 的中点为D ，连接,PD CD 。
AB BC CA ==，所以CD AB ⊥90,60APB PAB ∠=∠=，所以PAD ∆为等边三角形。
不妨设2PA =，则1,4OD OP AB===CD OC ∴===在RtOCP ∆中，tan 13OP OCP OC∠===【变式练习1】如图，四棱锥S ABCD -中，//AB CD ，BC CD ⊥，侧面SAB 为等边三角形。
立体几何角度的求法
3）角的边都要垂直于二面角的棱
l
B
A
此 图
×正
O
确 ？
B
10
二面角的平面角的作法：
1、定义法
A
根据定义作出来
O
l
B
2、垂面法 作与棱垂直的平面与
l
O
两半平面的交线得到
γ
A
B
3、三垂线定理法 借助三垂线定理或
其逆定理作出来
A
D
l
O
12
二面角的计算步骤：
1、找到或作出二面角的平面角 2、证明 （指出）1中的角就是所求的 角 3、计算出此角的大小
斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角） • 直线和平面垂直<＝>直线和平面所成的角是直角 • 直线和平面平行或在平面内<＝>直线和平面所成的
角是0°
思考
• 直线与平面所成的角θ的取值范围
是： 0≤θ≤π/2
。
• 斜线与平面所成的角θ的取值范围
是： 0＜θ＜π/2
。
斜线和平面所成的角的求法
（1）射影法：在线上取一点作面的垂线，斜 足与垂足的连线与斜线所成的角即为所求。 问题2.正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为BB1 、
这两个半平面叫做二面角的面。
二面角的范围
[00，1800]
3
角
二面角
图形
顶点
A 边
O
边B
从一点出发的两
定义 条射线所组成的
图形叫做角。
构成
边—点—边
（顶点）
表示法
∠AOB
A 棱a 面
B面
从一条直线出发的 两个半平面所组成 的图形叫做二面角。
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斜线与它在平面 内的射影所成的 锐角。
从一条直线引出的两 个半平面所组成的图 形叫做二面角。
表示 异面直线a，b所成角 线a与平面 所成角 l （面－棱－面）
范围
（0 , ]
2
要点 找适当点、作平行线
[0 , ]
2
找射影、二足相连
[ 0 ， ]
用什么度量？
1.作出所求的空间角 <定位>
2.证明所作的角符合定义 <定性>
授课内容：空间的角
空间角及 专
题讲 座
其求法
（1）教材地位分析
立体几何板块主要有两大类型 （1）判断、推理型 （2）有关的 几何量的计算，其中包括空间角、空间距离、体积的计算。
空间角及其求法是是立体几何包括的重要组成部分，是立体几何 板块的一个重点，也是难点。
（2） 高考地位分析
在历届高考中，空间角及其求法是每年必考的内容，与距离的计算、线 面位置关系论证形成新的热点，该部分的分值约6-16分，属于中等难度。
(A) 3 3
3 (B)
2
6 (C)
3
6 (D)
2
3.如图，正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所 在的平面成60°的二面角，则异面直线AD与BF所
2 成角的余弦值是_____4______.
4.异面直线a、b成80°角，P为a、b外一定点，若 过P有且仅有2条直线与a、b所成角都为θ，则θ的
说明：异面直线所成角的范围是（0º，90º]，在把异面直
线所成的角平移转化为平面三角形中的角，常用余弦定理求
其大小，当余弦值为负值时，其对应角为钝角，这不符合两
条异面直线所成角的定义，故其补角为所求的角，这一点要
注意。
另外，当异面直线垂直时，应用线面垂直的定义或三垂线定
理（或逆定理）判定所成的角为90º，也是不可忽视的办法。
所分成析的：角。欲求BC’与底面ABC所成的角，关键
在于准确地找到BC’在底面上的射影。注意到
ACAB和ACBC’，即AC平面ABC’，所以，B 平面ABC’平面ABC，故点C’在底面上的射影
x
O
A
x
3
C
O在平面ABC’和平面ABC的交线BA上，C’BO为所求的角。
例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为一等腰直
影所成的角。求斜线与平面所成的角，关键是找准斜
线段在平面内的射影； 通常是从斜线上找特殊点， 作平面的垂线段，构作含所求线面角的三角形求之。
A’
例2：如图，斜三棱柱ABC—A’B’C’的底面为 B’
C’
一等腰直角三角形，直角边AB=AC=2cm，侧棱与底 面成60º角，BC’AC，BC’=26cm,求BC’与底面
(B) 1 2
(C) 30 15
(D) 15 10
返回
空间的角的概念及其计算，是立体几何的基本
内容，也是其重点和难点。
空间中的角有：
异面直线所成的角、直线与平面所成的角和二面角。
求空间角的一般步骤是： (1)找出或2)证明它符合定义；
1、异面直线所成的角
3.构造三角形并求出所要求角<定量>
简言之，空间角的求解步骤为：
“一 “二 作” 证”
“三 算”
“一 作” “二 证” “三 算”
课前热身
1. 平面α的斜线与α所成的角为30°，则此斜线和α
内所有不过斜足的直线中所成的角的最大值是( )C
(A)30°
(B)60°
(C)90°
(D)150°
2. 相交成90°的两条直线与一个平面所成的角分别 是30°与45°，则这两条直线在该平面内的射影所 成角的正弦值为( C )
A
D1 O1
C1
B1
M
D
C
B
角（或其补角），连A1M，在A1O1M中 A1M = 22 12 = 5,
O1M
=
1 2
BD1
=
1 2
22 12 22 = 3 , 2
A1O1
=
1 2
22 12 = 5 , 2
由余弦定理得
cos A1O1M =
5, 5
A1C1与BD1所成的角为
arccos
5. 5
解法二（补形法）：如图，补一个与原长方体全等的并与原长方体有公共面
如正方体、平行六面体等，其目的在于易于发现两条异面
直线的关系。
例1：长方体ABCD-A1B1C1D1，
A1
AB=AA1=2 cm， AD=1cm，求异面直线
解法一（平移A法1C）1与：B如D图1所，成连的B1角D。1与A1C1 交于O1，
取BB1的中点M，连O1M，则O1MD1B，
于是A1O1M就是异面直线A1C1与BD1所成的
理解空间角的概念、会求空间角的大小。
立体几何高考分 析
高考中，立体几何板块往往有4个题目：2个选择题，一个填空题 和1个大题。在大题中，一般是论证题和空间角（距离）计算组成。 在选择题中有时有一个题考查空间角的求法。
异面直线所成角
图
直线与平面所成角
二面角
形
定 义
在空间任取一点o，分别 作a，b的平行线，从而 形成的的锐（直）角
范围是( B )
(A)θ 0 θ 0
(B)θ 40 θ 50
(C)θ 40 θ 90
(D)θ 50 θ 90
5.如图，ABC-A1B1C1是直三棱柱，∠BCA=90°， 点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA= CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是( A )
(A) 30 10
(3)计算。
根据异面直线所成角的定义，求异面直线所成角,就
是要将其变换成相交直线所成有角。其一般方法有：
（1）平移法：即根据定义，以“运动”的观点，用
“平移转化”的方法，使之成为相交直线所成的角。
具体地讲是选择“特殊点”作异面直线的平行线， 构作含异面直线所成(或其补角)的角的三角形，再求之。
（2）补形法：把空间图形补成熟悉的或完整的几何体，
能力·思维·方法
1. 如图所示，ABCD是一个正四面体，E、F分别
为BC和AD的中点.求： (1)AE与CF所成的角； (2)CF与平面BCD所成的角.
2、直线和平面所成的角
•直线与平面平行或在平面内，直线和平面所成的角的是0º；
•直线与平面垂直，直线和平面所成的角是90º；
•斜线和平面所成的角是：斜线及斜线在平面上的射
BC1的方体B1F， 连结A1E，C1E，则A1C1E为A1C1与BD1所成的角(或补角)，
在A1C1E中，
D1
A1C1 = 5, A1E = 2 5, C1E = 3 A1
C1 B1
F1 E1
由余弦定理得
5 cos A1C1E = 5
5
A1C1与BD1所成的角为
arccos . 5
D A
C B
F E