2019-2020学年上海市杨浦区高三(上)期中数学试卷
2019-2020学年上海市杨浦区高三（上）期中数学试卷一、填空题1. 函数y=√2+x的定义域为________．【答案】{x|x≥−2}【考点】函数的定义域及其求法【解析】利用二次根式的被开方数大于或等于0，求出函数y的定义域．【解答】解：函数y=√2+x中，令2+x≥0，解得x≥−2，所以y的定义域为{x|x≥−2}．故答案为：{x|x≥−2}．2. 方程lg(2x+3)=2lg x的解为________．【答案】x=3【考点】函数与方程的综合运用【解析】本题要考虑到两个对数式的定义域，然后解对数方程．【解答】解：方程lg(2x+3)=2lg x可转化为同解不等式{2x+3>0，x>0，2x+3=x2，解得x=3．故答案为：x=3．3. 在正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线BC1与平面BB1D1D所成角的大小等于________．【答案】30∘【考点】直线与平面所成的角【解析】取B1D1的中点H连接C1H，BH利用正方体的性质在结合线面垂直的判定定理可证得C1H⊥面B1D1DB，则∠HBC1即为BC1与平面BB1D1D所成的角．再令BC＝1在Rt△BHC1中sin∠HBC1=12，即∠HBC1＝30∘，进而可得答案．【解答】解：取B1D1中点H，连接C1H，BH，则由正方体的性质知C1H⊥D1B1，∵BB1⊥面A1B1C1D1，且C1H⊂面A1B1C1D1，∴C1H⊥BB1，∵BB1∩D1B1=B1，∴C1H⊥面B1D1DB，∴C1H⊥BH，∴∠HBC1即为BC1与平面BB1D1D所成的角，设BC=1，则BC1=√2,C1H=√22，则在Rt△BHC1中，sin∠HBC1=12．∴∠HBC1=30∘.故答案为：30∘.4. 若角α的终边经过点P(−1, 2)，则sin2α=________．【答案】−4 5【考点】二倍角的正弦公式任意角的三角函数【解析】利用三角函数的定义，计算α的正弦与余弦值，再利用二倍角公式，即可求得结论．【解答】解：由题意，|OP|=√5，∴sinα=√5，cosα=√5，∴sin2α=2sinαcosα=2√5×√5=−45.故答案为：−45．5. 在(x−1x)10的展开式中，常数项等于________（结果用数值表示）．【答案】−252【考点】二项展开式的特定项与特定系数【解析】)10的展开式通项，进而令r＝5求出其展开式中的根据题意，由二项式定理求出(x−1x常数项，即可得答案．【解答】)10的展开式通项为：解：根据题意，(x−1xT r+1=C10r x10−r(−1)r=(−1)r C10r x10−2r，x当r=5时，有T6=(−1)5C105=−252，)10的展开式中，常数项为−252.即在(x−1x故答案为：−252.6. 若x>0，y>0，且2x+y=1，则xy的最大值为________．【答案】18【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】利用2x+y的值，利用基本不等式可求得√2xy的最大值，进而求得xy的最大值．【解答】解：∵1=2x+y≥2√2xy，∴xy≤1．8.故答案为：187. 已知幂函数y=f(x)的图象经过点P(4, 2)，则它的反函数f−1(x)为________．【答案】x2(x≥0)【考点】反函数【解析】设幂函数y＝f(x)＝xα，α为常数．根据f(x)的图象经过点P(4, 2)，代入2＝4α，解得α即可得出．【解答】解：设幂函数y=f(x)=xα，α为常数．．由f(x)的图象经过点P(4, 2)，则2=4α，解得α=12∴f(x)=√x．它的反函数f−1(x)=x2(x≥0)．故答案为：x2(x≥0).8. 从1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取5个不同的数，中位数为4的取法有________种（用数值表示）．【答案】30【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】中位数为4，故4必须取出，剩余的4个数大于4和小于4的各取2个，根据计数原理即可得到总的取法．【解答】解：根据题意，取出的5个数中位数为4，所以4必须取出，且剩下的4个数有两个比4大，两个比4小，所以总取法有C32×C52=30种.故答案为：30.9. 已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为6π5、面积为15π，则该圆锥的体积为________．【答案】12π【考点】扇形面积公式柱体、锥体、台体的体积计算【解析】根据圆锥侧面展开图求出母线长l和底面圆半径r，再求出圆锥的高ℎ，即可求出圆锥的体积．【解答】解：圆锥侧面展开图是一个圆心角为6π5，面积为15π的扇形，设圆锥的母线长为l，则12⋅6π5⋅l2=15π，解得：l=5，设底面圆的半径为r，则2πr=6π5⋅l，r=6π5×5÷2π=3，∴圆锥的高ℎ=√l2−r2=√25−9=4，故圆锥的体积为V=13πr2⋅ℎ=13×π×32×4=12π．故答案为：12π.10. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=2，sin Aa =√3cos Bb，则△ABC的面积的最大值等于________．【答案】√3【考点】基本不等式在最值问题中的应用正弦定理【解析】由已知利用正弦定理可求sin B=√3cos B，利用同角三角函数基本关系式可得tan B=√3，结合范围B∈(0, π)，可求B的值，进而根据余弦定理，基本不等式可求ac≤4，根据三角形的面积公式即可求解．【解答】解：∵sin Aa =√3cos Bb，又由正弦定理可得sin Aa=sin Bb，∴sin B=√3cos B，即tan B=√3，∵B∈(0, π)，∴B=π3.又∵b=2，∴b2=a2+c2−ac≥2ac−ac=ac，可得ac≤4，当且仅当a=c时等号成立，∴S△ABC=12ac sin B≤12×4×√32=√3，当且仅当a=c时等号成立，即△ABC的面积的最大值等于√3．故答案为：√3.11. 在高中阶段，我们学习过函数的概念、性质和图象，以下两个结论是正确的：①偶函数f(x)在区间[a, b](a<b)上的取值范围与在区间[−b, −a]上的取值范围是相同的；②周期函数f(x)在一个周期内的取值范围也就是f(x)在定义域上的值域，由此可求函数g(x)=2|sin x|+19|cos x|的值域为________．【答案】[2,√365]【考点】函数的值域及其求法【解析】依题意，函数g(x)为定义在R上的偶函数，且最小正周期为π，进而根据性质①②求解即可．【解答】解：依题意，g(x)=2|sin x|+19|cos x|定义域为R，关于原点对称，又g(−x)=2|sin(−x)|+19|cos(−x)|=2|sin x|+19|cos x|=g(x)，所以g(x)为偶函数，又g(x+π)=2|sin(x+π)|+19|cos(x+π)|=2|sin x|+19|cos x|，故g(x)以π为周期，当x∈[0, π]时，g(x)=2|sin x|+19|cos x|，则g(x)={2sin x+19cos x,(x∈[0,π2])，2sin x−19cos x,(x∈[π2,π])={√365sin(x+θ)(x∈[0,π2])，√365sin(x−θ)(x∈[π2,π]).其中sinθ=√365>√22，所以π4<θ<π2，cosθ=√365．①当θ∈[0, π2]时，x +θ∈[θ, θ+π2]， 所以当x +θ=π2时，g(x)有最大值√365，当x +θ=θ+π2时，g(x)有最小值√365sin (π2+θ)=√365cos θ=2， ②当θ∈[π2,π]时，x −θ∈[π2−θ, π−θ]， 所以当x −θ=π2−θ时，g(x)取得最小值√365sin (π2−θ)=√365cos θ=√365√365=2，当x −θ=π2时，g(x)取得最大值√365，综上，g(x)=2|sin x|+19|cos x|的值域为[2, √365]. 故答案为：[2, √365].12. 定义在实数集R 上的偶函数f(x)满足f(x +1)=1+√2f(x)−f 2(x)，则f(20192)=________．【答案】2+√22【考点】函数奇偶性的性质与判断 函数的求值 【解析】根据f(x)是R 上的偶函数可得出f(−x)＝f(x)，进而得出f(x +1)＝f(1−x)，从而得出f(x +2)＝f(x)，即得出f(x)的周期为2，从而可得出f(20192)=f(32)=1+√2f(12)−f 2(12)=f(12)，根据f(12)>1即可解出f(12)，从而得出f(20192)的值．【解答】解：∵ f(x)是R 上的偶函数， ∴ f(−x)=f(x)，∴ f(1−x)=1+√2f(x)−f 2(x)=f(x +1)， ∴ f(x +2)=f(−x)=f(x)， ∴ f(x)的周期为2， ∴ f(20192)=f(1009+12)=f(32+504×2)=f(32)，∴ f(12+1)=1+√2f(12)−f 2(12)=f(12)， f(12)−1=√2f(12)−f 2(12)，两边平方并整理得， 2f 2(12)−4f(12)+1=0，且f(12)>1，解得f(12)=2+√22，∴f(20192)=2+√22．故答案为：2+√22.二.选择题已知x∈R，则“sin x=1”是“cos x=0”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.非充分非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由sin x＝1，cos x＝0；反之，由cos x＝0，得sin x＝±1，然后结合充分必要条件的判定得答案．【解答】解：由sin x=1，得x=π2+2kπ，k∈Z，则cos x=0，反之，由cos x=0，得x=π2+kπ，k∈Z，则sin x=±1．∴ “sin x=1”是“cos x=0”的充分不必要条件．故选A.某班有20名女生和19名男生，从中选出5人组成一个垃圾分类宜传小组，要求女生和男生均不少于2人的选法共有()A.C202⋅C192⋅C351B.C395−C205−C195C.C395−C201C194−C204C191D.C202C193+C203C192【答案】D【考点】排列、组合及简单计数问题【解析】女生和男生均不少于2人，即2女3男或者2男3女，分别用计数原理计算即可，也可从反面思考．【解答】解：依题意，女生和男生均不少于2人，所以选出的5人中男女人数只能为女3男2女或者2男3女，所以女生和男生均不少于2人的选法共有C202C193+C203C192，若从反面思考，则应从总取法C395中去掉全为女生，全为男生，1女4男和1男4女这四种，共有C395−C205−C195−C201C194−C204C191.故选D.已知二面角α−l−β是直二面角，m为直线，γ为平面，则下列命题中真命题为() A.若m⊂α，则m⊥β B.若m⊥α，则m // βC.若m // α，则m⊥βD.若γ // α，则γ⊥β【答案】D【考点】命题的真假判断与应用平面与平面之间的位置关系空间中直线与平面之间的位置关系【解析】可画出图形，根据条件知α⊥β，结合图形以及直线与平面的关系，平面与平面的垂直关系即可判断每个选项的正误，从而找出正确选项．【解答】解：如图，∵二面角α−l−β是直二面角，∴α⊥β，A．并不是α平面内的所有直线都与β垂直，∴该选项错误；B．若m⊥α，则m⊂β或m // β，∴该选项错误；C．m // α时，m⊥β不一定成立，如m⊂β，∴该选项错误；D．若γ // α，因为α⊥β，所以γ⊥β，该选项正确．故选D.记有限集合M中元素的个数为|M|，且|⌀|=0，对于非空有限集合A，B，下列结论：①若|A|≤|B|，则A⊆B；②若|A∪B|=|A∩B|，则A=B；③若|A∩B|=0，则A，B中至少有个是空集；④若A∩B=⌀，则|A∪B|=|A|+|B|；其中正确结论的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】B【考点】命题的真假判断与应用交、并、补集的混合运算集合的包含关系判断及应用【解析】分清集合之间的关系与各集合元素个数之间的关系，集合的元素个数体现了两个集合的关系，但仅凭借元素个数不能判断集合间的关系，逐一进行判断即可．【解答】解：对于①，若|A|≤|B|，则A⊆B，例如A={0, 1}，B={1, 2, 3}，满足|A|≤|B|，但是A⊈B，①错误；对于②，若|A∪B|=|A∩B|，则A=B，假设A≠B，则|A∪B|>|A∩B|，与条件矛盾，故②正确；对于③，若|A ∩B|=0，则A ，B 中至少有个是空集，例如A ={0, 1}，B ={2, 3}，满足|A ∩B|=0，但A ，B 中没有空集，故③错误； 对于④，若A ∩B =⌀，则|A ∪B|=|A|+|B|， 由集合运算的定义知，④正确，故②④正确． 故选B .三.解答题在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，E ，F 分别为棱A 1B 1，A 1C 1的中点，去掉三棱维A 1−AEF 得到一个多面体ABC −B 1C 1FE ，已知AB =6，BB 1=4．(1)求多面体ABC −EFC 1B 1的体积；(2)求异面直线AE 与BC 所成角的大小． 【答案】解：(1)多面体ABC −EFC 1B 1的体积： V =V ABC−A 1B 1C 1−V A−A 1EF=12×6×6×sin 60∘×4−13×12×3×3×sin 60∘×4=33√3．(2)以C 为原点，过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(3√3, 3, 0)，B(0, 6, 0)，E(3√32, 92, 4)，C(0, 0, 0)， AE →=(−3√32, 32, 4)，BC →=(0, −6, 0)，设异面直线AE 与BC 所成角为θ， 则cos θ=|AE →⋅BC →||AE →|⋅|BC →|=9√25⋅√36=310．∴ 异面直线AE 与BC 所成角的大小为arccos 310．【考点】异面直线及其所成的角柱体、锥体、台体的体积计算 【解析】（1）多面体ABC −EFC 1B 1的体积V =V ABC−A 1B 1C 1−V A−A 1EF ，由此能求出结果． （2）以C 为原点，过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AE 与BC 所成角的大小．【解答】解：(1)多面体ABC −EFC 1B 1的体积： V =V ABC−A 1B 1C 1−V A−A 1EF=12×6×6×sin 60∘×4−13×12×3×3×sin 60∘×4=33√3．(2)以C 为原点，过C 作BC 的垂线为x 轴，CB 为y 轴，CC 1为z 轴，建立空间直角坐标系，A(3√3, 3, 0)，B(0, 6, 0)，E(3√32, 92, 4)，C(0, 0, 0)， AE →=(−3√32, 32, 4)，BC→=(0, −6, 0)，设异面直线AE 与BC 所成角为θ， 则cos θ=|AE →⋅BC →||AE →|⋅|BC →|=9√25⋅√36=310． ∴ 异面直线AE 与BC 所成角的大小为arccos 310．《上海市生活垃圾管理条例》于2019年7月1日正式实施，某小区全面实施垃圾分类处理，已知该小区每月垃圾分类处理量不超过300吨，每月垃圾分类处理成本y （元）与每月分类处理量x （吨）之间的函数关系式可近似表示为y =x 2−200x +40000，而分类处理一吨垃圾小区也可以获得300元的收益．(1)该小区每月分类处理多少吨垃圾，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低；(2)要保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损，每月的垃圾分类处理量应控制在什么范围？ 【答案】解：(1)每吨垃圾分类处理的平均成本为： x 2−200x +40000+300x x =x +40000x +100≥2√x ⋅40000x+100=500，当且仅当x =40000x，即x =200时取等号，∴ 当该小区每月分类处理200吨垃圾时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低．(2)令x 2−200x +40000≤300x ，即x 2−500x +40000≤0，解得：100≤x ≤400， 又x ≤300，故100≤x ≤300．∴ 每月的垃圾分类处理量控制在[100, 300]时，保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损． 【考点】一元二次不等式的解法根据实际问题选择函数类型【解析】（1）根据基本不等式得出平均成本取得最小值时对应的x的值即可；（2）列不等式求出x的范围即可．【解答】解：(1)每吨垃圾分类处理的平均成本为：x2−200x+40000+300xx =x+40000x+100≥2√x⋅40000x+100=500，当且仅当x=40000x，即x=200时取等号，∴当该小区每月分类处理200吨垃圾时，才能使得每吨垃圾分类处理的平均成本最低．(2)令x2−200x+40000≤300x，即x2−500x+40000≤0，解得：100≤x≤400，又x≤300，故100≤x≤300．∴每月的垃圾分类处理量控制在[100, 300]时，保证该小区每月的垃圾分类处理不亏损．已知a是实常数，函数f(x)=a lg(1−x)−lg(1+x)．(1)若a=1，求证：函数y=f(x)是减函数；(2)讨论函数f(x)的奇偶性，井说明理由．【答案】解：(1)a=1时，f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)=lg1−x1+x，∴{1−x>0，1+x>0.，解得：−1<x<1，令g(x)=1−x1+x =−1+2x+1，设−1<x1<x2<1，则g(x1)−g(x2)=2x1+1−2x2+1=2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)，∵−1<x1<x2<1，∴2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)在(−1, 1)上单调递减，∵y=lg t在(0, +∞)上单调递增，∴由复合函数的单调性可知，f(x)在(−1, 1)上单调递减；(2)∵f(x)=a lg(1−x)−lg(1+x)．∴f(−x)=a lg(1+x)−lg(1−x)．当a=−1，f(−x)=f(x)，即f(x)为偶函数；当a=1，f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数；当a≠±1，非奇非偶函数．函数奇偶性的判断函数单调性的判断与证明【解析】（1）把a＝1代入可得f(x)＝lg(1−x)−lg(1+x)＝lg1−x1+x，然后求出函数定义域，结合复合函数的单调性及函数单调性的定义可证；（2）要判断f(x)的奇偶性，只要检验f(x)与f(−x)的关系即可．【解答】解：(1)a=1时，f(x)=lg(1−x)−lg(1+x)=lg1−x1+x，∴{1−x>0，1+x>0.，解得：−1<x<1，令g(x)=1−x1+x =−1+2x+1，设−1<x1<x2<1，则g(x1)−g(x2)=2x1+1−2x2+1=2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)，∵−1<x1<x2<1，∴2(x2−x1)(1+x1)(1+x2)>0，即g(x1)>g(x2)，∴g(x)在(−1, 1)上单调递减，∵y=lg t在(0, +∞)上单调递增，∴由复合函数的单调性可知，f(x)在(−1, 1)上单调递减；(2)∵f(x)=a lg(1−x)−lg(1+x)．∴f(−x)=a lg(1+x)−lg(1−x)．当a=−1，f(−x)=f(x)，即f(x)为偶函数；当a=1，f(−x)=−f(x)，即f(x)为奇函数；当a≠±1，非奇非偶函数．如图是函数f(x)=A sin(ωx+φ)(A>0, ω>0, 0≤φ≤π)一个周期内的图象，将f(x)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再把所得图象向右平移π2个单位长度，得到函数g(x)的图象．(1)求函数f(x)和g(x)的解析式；(2)若f(x0)=g(x0)，求sin(x0−π3)的所有可能的值；(3)求函数F(x)=f(x)+ag(x)（a为正常数）在区间(0, 19π)内的所有零点之和．【答案】解：(1)由图象可知：A =2，T =π， 所以：ω=2．所以f(x)=2sin (2x +φ)，又因为过点(0, 2)， 故2sin φ=2，即sin φ=1，φ=π2+2kπ(k ∈Z )，又因为0≤φ≤π，所以φ=π2．所以f(x)=2sin (2x +π2)=2cos 2x ，把函数f(x)=2sin (2x +π2)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y =2sin (x +π2)，再把所得图象向右平移π2个单位长度， 得到函数g(x)=2sin x ； (2)由f(x 0)=g(x 0)可得：2cos 2x 0=2sin x 0，即：2sin 2x 0+sin x 0−1=0， 解得：sin x 0=−1或12，所以x 0=3π2+2kπ，或x 0=π6+2kπ或x 0=5π6+2kπ(k ∈Z )，所以sin (x 0−π3)=−12或1．(3)因为f(x)=2cos 2x ，g(x)=2sin x ， 所以F(x)=2cos 2x +2a sin x ，令F(x)=0，即cos 2x +a sin x =0， 即2sin 2x −a sin x −1=0，解得sin x =a+√a 2+84或a−√a 2+84，因为sin x ∈[−1, 1]且a >0，所以a−√a 2+84∈(−1, 0)，①当sin x =a−√a 2+84时，由y =sin x 的对称轴方程可得，sin x =a−√a 2+84在[(2k −1)π, 2kπ]，(1≤k ≤9, k ∈Z )有两个解，且两解之和为(2k −1)π+2kπ=4kπ−π， 则在(0, 19π)的根之和为3π+7π+11π+⋯+35π=(3π+35π)×92=171π；②当a+√a 2+84>1，即a >1时，方程sin x =a+√a 2+84无解； ③当a+√a 2+84=1，即a =1时，方程sin x =a+√a 2+84的解为x =2kπ+π2，(1≤k ≤9, k ∈Z ) 则在(0, 19π)的根之和为π2+5π2+9π2+⋯+37π2=(π+37π)×104=95π； ④当0<a+√a 2+84<1，即0<a <1时，方程sin x =a+√a 2+84在[2kπ, (2k +1)π]，(0≤k ≤9, k ∈Z )有两个解，且两解之和为2kπ+(2k +1)π=4kπ+π，则在(0, 19π)的根之和为π+5π+9π+⋯+37π=(π+37π)×102=190π；综上所求：当a >1时，所有零点之和为171π； 当a =1时，所有零点之和为171π+95π=266π；当0<a <1时，所有零点之和为171π+190π=361π． 【考点】由y=Asin （ωx+φ）的部分图象确定其解析式 函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 函数的零点 【解析】（1）由最值求出A ，由周期求出ω，再代入特殊点坐标出φ的值，可得f(x)的解析式，再利用函数y ＝A sin (ωx +φ)的图象变换规律得出g(x)的解析式．（2）利用二倍角公式求出x 0的所有可能值，求出sin (x 0−π3)的所有可能值． （3）对a 分类讨论，结合三角函数图象，求出每种情况下零点的和． 【解答】解：(1)由图象可知：A =2，T =π， 所以：ω=2．所以f(x)=2sin (2x +φ)，又因为过点(0, 2)， 故2sin φ=2，即sin φ=1，φ=π2+2kπ(k ∈Z )，又因为0≤φ≤π，所以φ=π2．所以f(x)=2sin (2x +π2)=2cos 2x ，把函数f(x)=2sin (2x +π2)图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，可得y =2sin (x +π2)，再把所得图象向右平移π2个单位长度， 得到函数g(x)=2sin x ； (2)由f(x 0)=g(x 0)可得：2cos 2x 0=2sin x 0，即：2sin 2x 0+sin x 0−1=0， 解得：sin x 0=−1或12， 所以x 0=3π2+2kπ，或x 0=π6+2kπ或x 0=5π6+2kπ(k ∈Z )，所以sin (x 0−π3)=−12或1．(3)因为f(x)=2cos 2x ，g(x)=2sin x ， 所以F(x)=2cos 2x +2a sin x ，令F(x)=0，即cos 2x +a sin x =0， 即2sin 2x −a sin x −1=0，解得sin x =a+√a 2+84或a−√a 2+84，因为sin x ∈[−1, 1]且a >0，所以a−√a 2+84∈(−1, 0)，①当sin x =a−√a 2+84时，由y =sin x 的对称轴方程可得，sin x=a−√a2+84在[(2k−1)π, 2kπ]，(1≤k≤9, k∈Z)有两个解，且两解之和为(2k−1)π+2kπ=4kπ−π，则在(0, 19π)的根之和为3π+7π+11π+⋯+35π=(3π+35π)×92=171π；②当a+√a2+84>1，即a>1时，方程sin x=a+√a2+84无解；③当a+√a2+84=1，即a=1时，方程sin x=a+√a2+84的解为x=2kπ+π2，(1≤k≤9, k∈Z)则在(0, 19π)的根之和为π2+5π2+9π2+⋯+37π2=(π+37π)×104=95π；④当0<a+√a2+84<1，即0<a<1时，方程sin x=a+√a2+84在[2kπ, (2k+1)π]，(0≤k≤9, k∈Z)有两个解，且两解之和为2kπ+(2k+1)π=4kπ+π，则在(0, 19π)的根之和为π+5π+9π+⋯+37π=(π+37π)×102=190π；综上所求：当a>1时，所有零点之和为171π；当a=1时，所有零点之和为171π+95π=266π；当0<a<1时，所有零点之和为171π+190π=361π．对于定义在D上的函数=f(x)，如果存在两条平行直线l1:y=kx+b1与l2:y=kx+ b2(b1≠b2)，使得对于任意x∈D，都有kx+b1≤f(x)≤kx+b2恒成立，那么称函数y=f(x)是带状函数，若l1，l2之间的最小距离d存在，则称d为带宽．(1)判断函数f(x)=sin x+cos x是不是带状函数？如果是，指出带宽（不用证明）；如果不是，说明理由；(2)求证：函数g(x)=√x2−1(x≥1)是带状函数；(3)求证：函数ℎ(x)=a|x−x1|+b|x−x2|(x1<x2)为带状函数的充要条件是a+b= 0．【答案】(1)解：因为f(x)=sin x+cos x=√2sin(x+π4)∈[−√2, √2]，所以−√2≤f(x)≤√2，故f(x)=sin x+cos x是带状函数，带宽为2√2．(2)证明：设y=√x2−1，即x2−y2=1，所以函数g(x)的图象是双曲线x2−y2=1的一部分．因为双曲线x2−y2=1的一条渐近线为y=x，所以存在直线l1:y=x−1，l2:y=x，使得x−1≤g(x)≤x．因为x≥1，(√x2−1)2−(x−1)2=2x−2≥0，所以g(x)≥x−1，而显然√x2−1<x，故x−1≤g(x)≤x，函数g(x)是带状函数．(3)证明：当a>0，b>0时，ℎ(x)=a|x−x1|+b|x−x2|={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,先证明充分性，当a +b =0时，ℎ(x)={ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,−ax 1−bx 2,x ≥x 2,不妨设a 1x +bx 2≥0，则−(ax 1+bx 2)≤ℎ(x)≤ax 1−bx 2，即存在直线y 1=−(ax 1+bx 2)，y 2=ax 1−bx 2，满足题意， 即函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数；再证明必要性，当函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数， 即存在kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,当a +b ≠0时，则直线y =kx −b 与y =−(a +b)x +(ax 1+bx 2)，y =(a +b)x −(ax 1+bx 2)中至少一条相交，故不满足kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，故a +b ≠0不满足题意，即a +b =0．故函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数的充要条件是a +b =0． 【考点】函数新定义问题必要条件、充分条件与充要条件的判断 【解析】（1）根据辅助角公式，将函数化简即可判断；（2）将函数化简可知，函数图象是双曲线的一部分，结合双曲线图象可知，存在渐近线以及与渐近线平行的直线满足题意，即能证明得出；（3）由分段函数的图象特征，结合带状函数的定义，分别证明充分性及必要性即可． 【解答】(1)解：因为f(x)=sin x +cos x =√2sin (x +π4)∈[−√2, √2]， 所以−√2≤f(x)≤√2，故f(x)=sin x +cos x 是带状函数，带宽为2√2． (2)证明：设y =√x 2−1，即x 2−y 2=1，所以函数g(x)的图象是双曲线x 2−y 2=1的一部分． 因为双曲线x 2−y 2=1的一条渐近线为y =x ，所以存在直线l 1:y =x −1，l 2:y =x ，使得x −1≤g(x)≤x ． 因为x ≥1，(√x 2−1)2−(x −1)2=2x −2≥0， 所以g(x)≥x −1，而显然√x 2−1<x ， 故x −1≤g(x)≤x ，函数g(x)是带状函数．(3)证明：当a >0，b >0时，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2| ={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,先证明充分性，当a +b =0时，ℎ(x)={ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,−ax 1−bx 2,x ≥x 2,不妨设a 1x +bx 2≥0，则−(ax 1+bx 2)≤ℎ(x)≤ax 1−bx 2，即存在直线y 1=−(ax 1+bx 2)，y 2=ax 1−bx 2，满足题意，即函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数；再证明必要性，当函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数， 即存在kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|={−(a +b)x +ax 1+bx 2,x ≤x 1,(a −b)x −ax 1+bx 2,x 1<x <x 2,(a +b)x −ax 1−bx 2,x ≥x 2,当a +b ≠0时，则直线y =kx −b 与y =−(a +b)x +(ax 1+bx 2)，y =(a +b)x −(ax 1+bx 2)中至少一条相交，故不满足kx −b 1≤ℎ(x)≤kx −b 2，故a +b ≠0不满足题意，即a +b =0．故函数ℎ(x)=a|x −x 1|+b|x −x 2|(x 1<x 2)为带状函数的充要条件是a +b =0．。
2019-2020学年人教版六年级下册期中测试数学试卷--附答案
2019-2020学年人教版六年级下册期中测试数学试卷考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 题号一二三四五六总分得分注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上评卷人得分一、选择题1．( )不是－4与－2之间的数．A．－3B．－2.5C．－1D．－3.52．（）能与14∶13组成比例。
A．3∶4 B．4∶3 C．3∶14D．43∶343．等底等高的圆柱、长方体、正方体相比，（）A．圆柱的体积最大B．长方体的体积最大C．正方体的体积最大D．体积相等4．下面两种量成反比例的是（）。
A．比例尺一定，图上距离和实际距离B．总价一定，单价和数量C．利率一定，存款的利息和本金D．圆锥的体积一定，高和底面半径5．一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，圆柱的高是圆锥高的2倍，则圆锥的体积是圆柱体积的( )。
A．B．C．D．2倍评卷人得分二、填空题6．某市2016年11月20日的最高气温是3 ℃，记作（____），最低气温是零下2 ℃，记作（_______）。
7．如果将比平均成绩高5分记作＋5分，那么－5分表示（______）。
8．买一件打八五折的衣服便宜了30元，这件衣服的原价是（____）元。
9．2017年张老师的月工资是4800元，按国家规定：超过3500元的部分要按3%缴纳个人所得税，张老师实际的月工资是（______）元。
10．一个圆柱的底面直径是8cm ，高是2.5dm ，这个圆柱的表面积是（______）cm 2，体积是（______）cm 3。
11．一个圆锥的体积是75.36cm 3，这个圆锥的底面直径是6cm ，高是（______）cm ，和它等底等高的圆柱的体积是（______）cm 3。
12．一个圆锥，如果将它的底面半径和高都扩大为原来的2倍，那么它的体积扩大到原来的（______）倍。
13．如果58x ＝y ，那么x ∶y ＝（______）∶（______）。
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学(文)试题 含答案
2019-2020年高三上学期期末教学质量检测数学（文）试题 含答案一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 2. 已知集合，，则 .3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 .4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）.5. 不等式的解集是 .6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 .8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 .9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）.11. 若，是一二次方程的两根，则 .12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 13. 已知实数、满足，则的取值范围是 .14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 .二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D.16. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件17. 则表示复数的点是（ ）18. A. 1个 B. 4个三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2在锐角中，、、分别为内角、（1）求的大小；（2）若，的面积，求的值.B120.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式.21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；（2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由.23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中）（1）求；（2）求数列的通项公式；（3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由.静安区xx第一学期期末教学质量检测高三年级数学（文科）试卷答案（试卷满分150分 考试时间120分钟） xx.12一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. 计算： . 解：.2. 已知集合，，则 . 解：.3. 已知等差数列的首项为3，公差为4，则该数列的前项和 . 解：.4. 一个不透明袋中有10个不同颜色的同样大小的球，从中任意摸出2个，共有 种不同结果（用数值作答）. 解：45.5. 不等式的解集是 . 解：.6. 设8780178(1)x a a x a x a x -=++++，则0178||||||||a a a a ++++= .解：256.7. 已知圆锥底面的半径为1，侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积是 . 解：.8. 已知角的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在轴的正半轴上，终边在射线（）上，则 . 解：.9. 已知两个向量，的夹角为，，为单位向量，，若，则 . 解：-2.10. 已知两条直线的方程分别为：和：，则这两条直线的夹角大小为 （结果用反三角函数值表示）. 解：（或或）.11. 若，是一二次方程的两根，则 . 解：-3.12. 直线经过点且点到直线的距离等于1，则直线的方程是 . 解：或.13. 已知实数、满足，则的取值范围是 . 解：.14. 一个无穷等比数列的首项为2，公比为负数，各项和为，则的取值范围是 . 解：.二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案.考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 15. 在下列幂函数中，是偶函数且在上是增函数的是（ ）A. B. C. D. 解：D.B 116. 已知直线：与直线：，记3D k =A. 充分非必要条件C. 充要条件解：B.17. 则表示复数的点是（ ）解：D.18. A. 1个 B. 4个解：C.三、解答题（本大题满分74定区域内写出必要的步骤.19.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.在锐角中，、、分别为内角、、所对的边长，且满足. （1）求的大小；（2）若，的面积，求的值. 解：（1）由正弦定理：，得，∴ ，（4分） 又由为锐角，得.（6分）（2），又∵ ，∴ ，（8分）根据余弦定理：2222cos 7310b a c ac B =+-=+=，（12分） ∴ 222()216a c a c ac +=++=，从而.（14分）20.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分.上海出租车的价格规定：起步费14元，可行3公里，3公里以后按每公里2.4元计算，可再行7公里；超过10公里按每公里3.6元计算，假设不考虑堵车和红绿灯等所引起的费用，也不考虑实际收取费用去掉不足一元的零头等实际情况，即每一次乘车的车费由行车里程唯一确定.（1）小明乘出租车从学校到家，共8公里，请问他应付出租车费多少元？（本小题只需要回答最后结果）（2）求车费（元）与行车里程（公里）之间的函数关系式. 解：（1）他应付出出租车费26元.（4分）（2）14,03() 2.4 6.8,3103.6 5.2,10x f x x x x x <≤⎧⎪=+<≤⎨⎪->⎩ . 21．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分.如图，正方体的棱长为2，点为面的对角线的中点.平面交与，于.（1）求异面直线与所成角的大小；（结果可用反三角函数值表示）（2）求三棱锥的体积.解：（1）∵ 点为面的对角线的中点，且平面，∴ 为的中位线，得，又∵ ，∴ 22MN ND MD ===（2分） ∵ 在底面中，，，∴ ，又∵ ，为异面直线与所成角，（6分） 在中，为直角，，∴ .即异面直线与所成角的大小为.（8分） （2），（9分）1132P BMN V PM MN BN -=⋅⋅⋅⋅，（12分）22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分8分.已知函数（其中）.（1）判断函数的奇偶性，并说明理由； （2）求函数的反函数；（3）若两个函数与在闭区间上恒满足，则称函数与在闭区间上是分离的.试判断函数与在闭区间上是否分离？若分离，求出实数的取值范围；若不分离，请说明理由. 解：（1）∵ ，∴ 函数的定义域为，（1分）又∵ ()()log )log )0a a f x f x x x +-=+=，∴ 函数是奇函数.（4分） （2）由，且当时，， 当时，，得的值域为实数集. 解得，.（8分）（3）在区间上恒成立，即， 即在区间上恒成立，（11分） 令，∵ ，∴ ， 在上单调递增，∴ ， 解得，∴ .（16分）23.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分7分.在数列中，已知，前项和为，且.（其中） （1）求；（2）求数列的通项公式； （3）设，问是否存在正整数、（其中），使得、、成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；否则，说明理由. 解：（1）∵ ，令，得，∴ ，（3分）或者令，得，∴ .（2）当时，1111(1)()(1)22n n n n a a n a S ++++-+==，∴ 111(1)22n nn n n n a na a S S ++++=-=-，∴ ， 推得，又∵ ，∴ ，∴ ，当时也成立，∴ （）.（9分） （3）假设存在正整数、，使得、、成等比数列，则、、成等差数列，故（**）（11分） 由于右边大于，则，即， 考查数列的单调性，∵ ，∴ 数列为单调递减数列.（14分） 当时，，代入（**）式得，解得； 当时，（舍）.综上得：满足条件的正整数组为.（16分）（说明：从不定方程以具体值代入求解也可参照上面步骤给分）温馨提示：最好仔细阅读后才下载使用，万分感谢！。
2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高一(上)10月月考数学试卷及答案
2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高一（上）10月月考数学试卷一.填空题1．（3分）设集合{x|x2﹣2x+a＝0}是单元素集合，则实数a＝．2．（3分）若α、β是一元二次方程x2+4x+1＝0的两个实数根，则＝．3．（3分）满足M∪{a}⊆{a，b}的集合M的个数是个．4．（3分）用列举法表示方程的解集．5．（3分）已知命题P：x＞2，命题Q：x2﹣2x﹣3＝0，则命题“P或Q”为真的运算结果为．6．（3分）若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是．7．（3分）若集合，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝．8．（3分）已知集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，U＝Z，则∁U A＝．9．（3分）设关于x的不等式ax+b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解为．10．（3分）a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄由小到大依次为．11．（3分）Q是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}；与集合M相等的集合序号是．12．（3分）设集合I＝{1，2，3，4，5}，若非空集合A满足：①A⊆I；②|A|≤min（A）（其中|A|表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为二.选择题13．（3分）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）14．（3分）已知实数a，b，c满足c＜b＜a，那么“ac＜0”是“ab＞ac”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件15．（3分）下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x＝4”是“x2﹣3x﹣4＝0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”16．（3分）已知不等式a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0的解集为A，不等式b（x﹣x1）（x﹣x2）≥0的解集为B，其中a、b都是非零常数，则“ab＜0”是“A∪B＝R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件三.解答题17．解不等式：0＜x2+x﹣2＜4．18．设m＞n＞0，试比较与的大小关系．19．设函数f（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1解集为[0，2]，求a的值．20．已知集合A＝（﹣4，6），集合B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）≤0，x∈R}．（1）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．21．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n）a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝1，且＝a n；（3）当n＝5时，证明：＝＝＝．2019-2020学年上海市浦东新区进才中学高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一.填空题1．（3分）设集合{x|x2﹣2x+a＝0}是单元素集合，则实数a＝1．【分析】由题意可得，x2﹣2x+a＝0有一个解，结合二次方程根的存在条件可求．【解答】解：由题意可得，x2﹣2x+a＝0有一个解，∴△＝4﹣4a＝0，解可得a＝1，故答案为：1【点评】本题主要考查了集合基本概念的简单应用，属于基础试题．2．（3分）若α、β是一元二次方程x2+4x+1＝0的两个实数根，则＝﹣4．【分析】由根与系数的关系可得答案【解答】解：由根与系数的关系可得：α+β＝﹣4，αβ＝1，所以＝﹣4故答案为：﹣4．【点评】本题主要考查根与系数的关系，属于基础题．3．（3分）满足M∪{a}⊆{a，b}的集合M的个数是4个．【分析】由题意可知M⊆{a，b}，再利用子集的个数规律2n，即可算出结果．【解答】解：∵M∪{a}⊆{a，b}，M⊆{a，b}，故集合M的个数为22＝4，故答案为：4．【点评】本题主要考查了集合的基本关系，以及集合子集的个数，是基础题．4．（3分）用列举法表示方程的解集．【分析】联立方程可求方程的解，再结合集合的表示方法即可求解．【解答】解：联立程可得，，解可得，x＝，y＝，故答案为：{（，）}【点评】本题主要考查了集合的基本表示方法，属于基础试题．5．（3分）已知命题P：x＞2，命题Q：x2﹣2x﹣3＝0，则命题“P或Q”为真的运算结果为x＞2或x＝﹣1．【分析】根据题意，分析两个命题P、Q都是假命题时x的取值范围，由复合命题的判断方法分析“P或Q”为假时x的取值范围，进而分析可得答案．【解答】解：根据题意，命题P：x＞2，当x≤2时，P为假命题；命题Q：x2﹣2x﹣3＝0，解可得x＝﹣1或x＝3，当x≠﹣1且x≠3时，Q为假命题；若命题“P或Q”为假，即命题P、Q都是假命题，则有，即x≤2且x ≠﹣1，若命题“P或Q”为真，则a的取值范围为x＞2或x＝﹣1；故答案为：x＞2或x＝﹣1．【点评】本题考查复合命题真假的判断，注意复合命题真假的判断方法，属于基础题．6．（3分）若不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R，则a的范围是﹣1＜a≤0．【分析】讨论a＝0和a≠0时，求出不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时a的取值范围．【解答】解：a＝0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0化为﹣1＜0，解集为R；a≠0时，不等式ax2+2ax﹣1＜0解集为R时，应满足，解得﹣1＜a＜0；所以实数a的取值范围是﹣1＜a≤0．故答案为：﹣1＜a≤0．【点评】本题考查了不等式恒成立问题，也考查了分类讨论思想，是基础题．7．（3分）若集合，B＝{x||x|＜2}，则A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}．【分析】利用不等式的性质先求出集合A和B，由此能求出A∩B．【解答】解：∵集合＝{x|﹣2≤x＜1}，B＝{x||x|＜2}＝{x|﹣2＜x＜2}，∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜1}．故答案为：{x|﹣2＜x＜1}．【点评】本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8．（3分）已知集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}，U＝Z，则∁U A＝{x|x＝2k，k∈Z}．【分析】推导出集合A＝{奇数}，U＝Z，由此能求出∁U A．【解答】解：∵集合A＝{x|x＝4k±1，k∈Z}＝{奇数}，U＝Z，∴∁U A＝{偶数}＝{x|x＝2k，k∈Z}．故答案为：{x|x＝2k，k∈Z}．【点评】本题考查补集的求法，考查补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．9．（3分）设关于x的不等式ax+b＞0的解集是（1，+∞），则关于x的不等式的解为{x|x＜﹣1或x＞6}．【分析】由题意，可得a＞0，且﹣＝1，然后将不等式转化为（ax﹣b）（x﹣6）＞0，再求出解集．【解答】解：因为关于x的不等式ax+b＞0的解集为（1，+∞），所以a＞0，且﹣＝1．由＞0，得（ax﹣b）（x﹣6）＞0，用穿根法求得不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞6}，故答案为：{x|x＜﹣1或x＞6}．【点评】本题主要考查一次不等式和分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．10．（3分）a、b、c为三个人，命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”和命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”都是真命题，则a、b、c的年龄由小到大依次为c＜a＜b．【分析】由命题A为真命题时，得出a＜b＜c或c＜a＜b；由命题B为真命题时，得出a ＜c＜b或c＜a＜b，从而得出结论．【解答】解：若命题A：“如果b的年龄不是最大，那么a的年龄最小”为真命题；则a最小，b不是最大，即c最大，或a不是最小，b最大，c最小，即a＜b＜c或c＜a＜b；若命题B：“如果c的年龄不是最小，那么a的年龄最大”为真命题；则c不是最小，a最大，b最小，或a不是最大，c最小，b最大，即a＜c＜b或c＜a＜b；若两个命题均为真命题，则c＜a＜b．故答案为：c＜a＜b．【点评】本题考查了命题的真假判断与应用问题，也考查了逻辑推理能力，解题的关键是正确理解互为逆否的两个命题真假性相同，是基础题目．11．（3分）Q是有理数集，集合，在下列集合中：①；②；③{x1+x2|x1∈M，x2∈M}；④{x1x2|x1∈M，x2∈M}；与集合M相等的集合序号是①②④．【分析】利用集合的定义，元素与集合的关系，集合相等的定义进行逐一判断即可．【解答】解：①是有理数，2b也是有理数，故与集合M相等；②，因为都是有理数，符合集合M的形式，故与集合M相等；③，则x 1+x2＝0∉M；④令，则，，因为ac+2bd，ad+bc都是有理数，符合集合M的形式，与集合M相等；故答案为：①②④．【点评】考查了集合的新定义，学生对概念的理解，属基础题．12．（3分）设集合I＝{1，2，3，4，5}，若非空集合A满足：①A⊆I；②|A|≤min（A）（其中|A|表示集合A中元素的个数，min（A）表示集合A中的最小元素），则称A为I的一个好子集，I的所有好子集的个数为12【分析】根据好子集的定义可以得出，I的好子集A的元素个数小于等于1，从而得出A 的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，共5个．【解答】解：当|A|＝1（即集合A中元素的个数为1）时，A的可能情况为：{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，当|A|＝2（即集合A中元素的个数为2）时，A的可能情况为：{2，3}，{2，4}，{2，5}，{3，4}，{3，5}，{4，5}，当|A|＝3（即集合A中元素的个数为3）时，A的可能情况为：{3，4，5}，∴I的所有好子集的个数为12．故答案为：12．【点评】考查对好子集定义的理解，以及子集的定义．二.选择题13．（3分）已知集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是（）A．（﹣∞，1]B．（﹣∞，1）C．[2，+∞）D．（2，+∞）【分析】化简集合B，根据A∩B＝B，建立条件关系即可求实数a的取值范围．【解答】解：由题意，集合A＝{x|x＜a}，B＝{x|x2﹣3x+2＜0}＝{x|1＜x＜2}，∵A∩B＝B，∴B⊆A，则：a≥2．∴实数a的取值范围为[2，+∞）．故选：C．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．14．（3分）已知实数a，b，c满足c＜b＜a，那么“ac＜0”是“ab＞ac”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据不等式的基本性质，及充要条件的定义，可得答案．【解答】解：∵实数a，b，c满足c＜b＜a，若“ac＜0”，则a＞0，“ab＞ac”成立，若“ab＞ac”，则a＞0，但“ac＜0”不一定成立，故“ac＜0”是“ab＞ac”成立的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，难度不大，属于基础题．15．（3分）下列命题，其中说法错误的是（）A．命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”B．“x＝4”是“x2﹣3x﹣4＝0”的充分条件C．命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆命题为真命题D．命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”【分析】命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0；“x＝4”是“x2﹣3x﹣4＝0”的充分条件；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆命题是假命题；命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”．【解答】解：命题“若x2﹣3x﹣4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2﹣3x﹣4≠0”，故A正确；∵“x＝4”⇒“x2﹣3x﹣4＝0”，“x2﹣3x﹣4＝0”⇒“x＝4，或x＝﹣1”，∴“x＝4”是“x2﹣3x﹣4＝0”的充分条件，故B正确；命题“若m＞0，则方程x2+x﹣m＝0有实根”的逆命题为：∵若方程x2+x﹣m＝0有实根，则△＝1+4m≥0，解得m，∴“若方程x2+x﹣m＝0有实根，则m＞0”，是假命题，故C不正确；命题“若m2+n2＝0，则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2+n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D正确．故选：C．【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．16．（3分）已知不等式a（x﹣x1）（x﹣x2）＞0的解集为A，不等式b（x﹣x1）（x﹣x2）≥0的解集为B，其中a、b都是非零常数，则“ab＜0”是“A∪B＝R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【分析】根据充分必要条件的定义判断．【解答】解：“ab＜0”能推导出“A∪B＝R”，而“A∪B＝R”可得ab≥0，则“ab＜0”是“A∪B＝R”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查充分必要条件的定义，考查推理能力，属于基础题．三.解答题17．解不等式：0＜x2+x﹣2＜4．【分析】不等式化为，求出解集即可．【解答】解：不等式0＜x2+x﹣2＜4可化为，即，解得；所以不等式的解集为（﹣3，﹣2）∪（1，2）．【点评】本题考查了不等式组的解法与应用问题，是基础题．18．设m＞n＞0，试比较与的大小关系．【分析】通过作差，通分，提取公因式即可得出，然后根据m＞n＞0说明即可得出与的大小关系．【解答】解：＝＝＝，∵m＞n＞0，∴m﹣n＞0，mn＞0，（m2+n2）（m+n）＞0，∴，∴．【点评】本题考查了作差比较法比较两个式子大小的方法，考查了计算能力，属于基础题．19．设函数f（x）＝|x﹣a|．（1）当a＝2时，解不等式f（x）≥7﹣|x﹣1|；（2）若f（x）≤1解集为[0，2]，求a的值．【分析】（1）将a＝2代入，分类讨论去绝对值直接求解后取并集即可；（2）由绝对值不等式的解法直接可以得解．【解答】解：（1）当a＝2时，原不等式等价于|x﹣2|+|x﹣1|≥7，当x≤1时，原不等式等价于﹣x+2﹣x+1≥7，解得x≤﹣2；当1＜x＜2时，原不等式等价于﹣x+2+x﹣1≥7，此时无解；当x≥2时，原不等式等价于x﹣2+x﹣1≥7，解得x≥5；综上，不等式的解集为（﹣∞，﹣2]∪[5，+∞）；（2）依题意，|x﹣a|≤1，即a﹣1≤x≤a+1，又f（x）≤1解集为[0，2]，∴a﹣1＝0，a+1＝2，∴a＝1．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论思想，属于基础题．20．已知集合A＝（﹣4，6），集合B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）≤0，x∈R}．（1）若A∪B＝A，求实数a的取值范围；（2）若A∩B＝∅，求实数a的取值范围．【分析】（1）由B⊆A，分a＞0，a＝0，a＜0三种情况，列出不等式组，求出实数a的取值范围．（2）由集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）＜0}，A∩B＝∅，列出不等式组能求出实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）≤0}．由于若A∪B＝A，所以B⊆A，∴当a＞0时，B＝{x|a≤x≤3a}，要使得B⊆A，，解得a∈∅；当a＝0时，B＝{0}不满足B⊆A；当a＜0时，B＝{x|3a≤x≤a}，要使得B⊆A，，解得a∈∅；∴实数a的取值范围为∅．（2）∵集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|（x﹣a）（x﹣3a）≤0}，A∩B＝∅，或或或，或a＝0，解得a≤，或a≥4，∴实数a的取值范围是（﹣∞，]∪[4，+∞）．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查交集定义、子集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于基础题．21．已知数集A＝{a1，a2，…，a n}（1≤a1＜a2＜…＜a n，n≥2）具有性质P：对任意的i，j（1≤i≤j≤n）a i a j与两数中至少有一个属于A．（1）分别判断数集{1，3，4}与{1，2，3，6}是否具有性质P，并说明理由；（2）证明：a1＝1，且＝a n；（3）当n＝5时，证明：＝＝＝．【分析】（1）由定义直接判断．（2）由已知得a n a n与中至少有一个属于A，从而得到a1＝1；再由1＝a1＜a2＜…＜a n，得到a k a n∉A（k＝2，3，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k＝1，2，3，…，n），由此能证明a1＝1，且＝a n．（3）当n＝5时，，从而a3a4∈A，∈A，由此能证明＝＝＝．【解答】解：（1）由于3×4与均不属于数集{1，3，4}，所以数集{1，3，4}不具有性质P．由于1×2，1×3，1×6，2×3，，，，，，都属于数集{1，2，3，6}，所以数集{1，2，3，6}具有性质P．证明：（2）因为A＝{a1，a2，…，a n}具有性质P，所以a n a n与中至少有一个属于A．由于1≤a1＜a2＜…＜a n，所以a n a n＞a n，故a n a n∉A，从而1＝∈A，故a1＝1；因为1＝a1＜a2＜…＜a n，所以a k a n＞a n，故a k a n∉A（k＝2，3，…，n）．由A具有性质P可知∈A（k＝1，2，3，…，n），又因为＜＜…＜，所以＝a1，，…，，，从而＝a1+a2+…+a n﹣1+a n，故a1＝1，且＝a n．证明：（3）由（2）知，当n＝5时，有＝a2，，即，因为1＝a1＜a2＜…＜a5，所以a3a4＞a2a4＝a5，故a3a4∈A，由A具有性质P，可知∈A，由，得＝∈A，且1＜＜a3，所以＝＝a2，故，所以：＝＝＝．【点评】本题考查数集是否具有性质P的判断，考查等式的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意性质P的合理运用．。
2019-2020学年上海市宝山区沪教版五年级上学期期末测试数学试卷带讲解
＝13b
当b＝0.5时
13×0.5＝6.5
【点睛】本题考查化与求值，先把含有字母的式子进行化简，再根据题要求，计算出结果。
9.一个平行四边形的底是0.8米，高是0.6米，与它等底等高的三角形面积是（ ）。
【答案】
【分析】根据三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算即可。
【详解】0.8×0.6÷2
【分析】梯形的面积×2÷（上底＋下底），据此解答。
【详解】1520×2÷（40＋55）
＝3040÷95
＝32（米）
答：它的高是32米。
【点睛】考查了梯形的面积的灵活应用，学生应掌握。
25.小巧测量了自己走10步的路程，测了4次，分别是：4.6米，4.7米，4.6米，4.5米。小巧的平均步幅是多少米？
故选择：B
【点睛】此题考查了平均数的认识，如果加上的数小于平均数，则此时的平均数小于原来的平均数；如果加上的数大于平均数，则此时的平均数大于原来的平均数。
17.一个梯形面积是16平方米，上底与下底的和是8米，那么高是（ ）米。
A.2B.4C.6D.8
【答案】B
【分析】根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，可用梯形的面积乘2然后再除以上底与下底的和即可得到答案。
【详解】16时－7时46分＝8时14分
这列动车共行驶了8时14分。
【点睛】此题考查了经过时间的计算，掌握方法认真解答即可。注意时分秒相邻单位间的进率是60。
二、判断题。（对的括号内打“√”，错的在括号内打“×”）（3分）
13.两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（ ）
【答案】√
【分析】
【详解】两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。
5.5×13.3＋6.7×5.5，根据乘法分配律，原式化为：5.5×（13.3＋6.7），再进行计算即可；
2023年上海市杨浦区高三上学期高考一模数学试卷含详解
2023届杨浦区高考数学一模一、填空题1.若“a b >”，则“33a b >”是________命题．（填：真、假）2.设集合{}02A x x =≤≤，集合{}10B x x =-≤，则A B = ________．3.方程()()233log 45log 1x x x --=+的解是x =________．4.若1sin 2α=，(0,)απ∈，则α=________.5.设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．6.向量(3,4)a =在向量(1,0)b = 方向上的投影为_______．7.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为____________8.已知双曲线的渐近线方程为y=±34x，则此双曲线的离心率为________.9.若正数x ，y 满足3x y xy +=，则x y +的最小值为________．10.已知23C C n n =（n 是正整数），()()()()201221111nnn x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=________．11.等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若100S =，则()1,2,3,,2022i S i =⋅⋅⋅中不同的数值有________个．12.已知()2221f x x ax a a =---++，若方程()0f x =与()()0f f x =均恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．二、选择题13.某校高一共有10个班，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a ，高一（6）班被抽到的可能性为b ，则（）A .310=a ，29b = B.110a =，19b =C.310=a ，310b = D.110a =，110b =14.对于平面α和两条直线,m n ，下列说法正确的是（）A.若m α⊥，m n ⊥，则//n αB.若,m n 与α所成的角相等，则//m nC.若//m α，//n α，则//m nD.若m α⊂，//m n ，n 在平面α外，则//n α15.在ABC 中，3A π=，则“1sin 2B <”是“ABC 是钝角三角形”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C .充分必要条件D.既不充分也不必要条件16.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意12x x <，都有()()1212f x f x a x x ->-成立且满足()20f a =-（其中a 为常数），关于x 的方程：()f a x ax +=的解的情况．下面判断正确的是（）A.存在常数a ，使得该方程无实数解B.对任意常数a ，方程均有且仅有1解C.存在常数a ，使得该方程有无数解D.对任意常数a ，方程解的个数大于2三、解答题17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 、满足222a c b ac +=-．（1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC 的面积的最大值．18.如图所示圆锥P O -中，CD 为底面的直径．,A B 分别为母线PD 与PC 的中点，点E 是底面圆周上一点，若30DCE ∠=︒，AB =（1）求圆锥的侧面积S ；（2）求证：AE 与PC 是异面直线，并求其所成角的大小19.企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x 万台时，每万台产品的销售收入为I （x ）万元．两者满足关系：()()2200220I x x x =-<<（1）甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；（2）乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）（3）由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．20.已知曲线E ：()22102x y y +=≠的左右焦点为1F ，2F ，P 是曲线E 上一动点（1）求12PF F △的周长；（2）过2F 的直线与曲线E 交于AB 两点，且222AF F B =，求直线AB 的斜率；（3）若存在过点()()0,1H h h >的两条直线1l 和2l 与曲线E 都只有一个公共点，且12l l ⊥，求h 的值.21.已知函数()nn f x x x a =++，其中n 为正整数，a<0且为常数．（1）求函数()4y f x =的单调增区间；（2）若对于任意n ，函数()n y f x =，在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内均存在唯一零点，求a 的取值范围；（3）设n x 是函数()n y f x =大于0的零点，其构成数列{}n x ．问：是否存在实数a 使得{}n x 中的部分项：1n x ，2n x ，3n x ⋅⋅⋅k n x ⋅⋅⋅，（其中i j <时，i j n n <）构成一个无穷等比数列{}n a 若存在；求出a ；若不存在请说明理由．2023届杨浦区高考数学一模一、填空题1.若“a b >”，则“33a b >”是________命题．（填：真、假）【答案】真【分析】根据函数的单调性即可得出结论.【详解】函数()3f x x =在R 是单调增函数，∴当a b >，一定有33a b >，故是真命题.故答案为：真．【点睛】本题考查命题真假的判定，属于基础题.2.设集合{}02A x x =≤≤，集合{}10B x x =-≤，则A B = ________．【答案】[]0,1【分析】求出集合B ，再求交集可得答案.【详解】集合{}{}101B x x x x =-≤=≤，则{}01A B x x ⋂=≤≤.故答案为：[]0,1.3.方程()()233log 45log 1x x x --=+的解是x =________．【答案】6【分析】根据对数真数大于零和对数函数的单调性可直接构造不等式组求得结果.【详解】由()()233log 45log 1x x x --=+得：2245010451x x x x x x ⎧-->⎪+>⎨⎪--=+⎩，即()()()()2150156160x x x x x x x ⎧+->⎪>-⎨⎪--=+-=⎩，解得：6x =.故答案为：6.4.若1sin 2α=，(0,)απ∈，则α=________.【答案】6π或56π.【分析】根据sin α的值以及α的范围，利用特殊角的三角函数值，即可求出α的度数.【详解】1sin 2α= ，且()0,απ∈6πα∴=或56π故答案为：6π或56π【点睛】此题考查已知函数值求角的问题，牢记特殊角的三角函数值是解本题的关键.5.设i 是虚数单位，则复数()2i 1i z =-的虚部是________．【答案】2【分析】根据复数的乘法运算即可得复数z ，即可得z 的虚部.【详解】解：复数()22i 1i 2i 2i 22i z =-=-=+，所以复数z 的虚部为2.故答案为：2.6.向量(3,4)a =在向量(1,0)b = 方向上的投影为_______．【答案】3【详解】试题分析：由数量积的定义，所以考点：向量的数量积．7.一支田径队有男运动员48人，女运动员36人，若用分层抽样的方法从该队的全体运动员中抽取一个容量为21的样本，则抽取男运动员的人数为____________【答案】12【分析】由题意知运动员男女比例为4:3，所以抽取容量为21的样本，样本比例也为4:3，从而求得结果.【详解】由题意知运动员男女比例为4:3，所以抽取容量为21的样本，样本比例也为4:3，所以抽取男运动员的人数为421127⨯=.【点睛】本题考查简单随机抽样分层抽样，属于基础题.8.已知双曲线的渐近线方程为y=±34x ，则此双曲线的离心率为________.【答案】或．【详解】此题考查双曲线的离心率解：因为双曲线的渐近线方程为，所以或，故.所以离心率.答案：9.若正数x ，y 满足3x y xy +=，则x y +的最小值为________．【答案】4+4+【分析】先将3x y xy +=变形为131y x+=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】因为0,0x y >>，3x y xy +=，所以131y x+=，则()133444x y x y y x x y xy ⎛⎫+=++≥+=⎝=⎪⎭++，当且仅当3x yy x=且3x y xy +=，即3,1x y =+=+所以4x y +≥，即x y +的最小值为4+.故答案为：4+.10.已知23C C n n =（n 是正整数），()()()()201221111nnn x a a x a x a x -=+-+-+⋅⋅⋅+-，则012n a a a a +++⋅⋅⋅+=________．【答案】243【分析】根据23C C n n =列式即可求出n ，观察原式特点，取2x =，右侧关于102,,...n a a a a 的系数全为1，从而两边取2x =进而得解.【详解】因为23C C n n =，所以(1)(1)(2)2321n n n n n ---=⨯⨯，解得，5n =.令2x =得，()5012221n a a a a ⨯-=+++⋅⋅⋅+，故5012=3=243n a a a a +++⋅⋅⋅+，故答案为：243.11.等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若100S =，则()1,2,3,,2022i S i =⋅⋅⋅中不同的数值有________个．【答案】2018【分析】等差数列前n 项和n S 为二次函数，根据其图像性质，求出对称轴，即可求出相同数值的个数，进而求得不同数值的个数.【详解】解：已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，n S 是关于n 的二次函数，若100S =，则对称轴为5n =，19S S ∴=，28S S =，37S S =，46S S =，有四组数相同，则()1,2,3,,2022i S i =⋅⋅⋅中不同的数值有202242018-=个，故答案为：2018.12.已知()2221f x x ax a a =---++，若方程()0f x =与()()0ff x =均恰有两个不同的实根，则实数a 的取值范围是________．【答案】3,04⎛⎫-⎪⎝⎭【分析】由题知()0f x =恰有两个不同的实数根，记为12,x x （不妨设12x x <），进而得1a >-，12x a x a =-=-，再根据()()0f f x =均恰有两个不同的实根得210210a a ⎧+-⎪⎨++>⎪⎩，进而解不等式即可得答案.【详解】解：因为()0f x =恰有两个不同的实数根，记为12,x x （不妨设12x x <），所以，令()()2222110f x x ax a a x a a =---++=-+++=，即()210x a a +=+>所以，1a >-，12x a x a =-=-，因为()()0ff x =均恰有两个不同的实根，所以()1f x x =和()2f x x =中共有两个不相等的实数根，当()1f x x =时，即()21a a x a -+-+-+=，整理得()221x a a +=+①，当()2f x x =时，即()21a a x a -+-+++=整理得()221x a a +=+②由2112a a ≠+++所以，①②没有公共实数根，因为2112a a <+++所以方程①无实数根，②有两个实数根，所以210210a a ⎧+-⎪⎨++>⎪⎩，不等式02121a a ++<⇔<，故当112a -≤≤-，不等式21a +<当12a >-时，202143a a a +<⇔+<，解得102a -<<所以，021a +<的解集为[)1,0-；不等式12120a a >⇔--+，故当12a ≥-时，120a --≤12a >--恒成立，当112a -≤<-243021a a a >--⇔+<，解得3142a -<<-，所以，021a ++>的解集为3,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，所以，210210a a ⎧+-⎪⎨++>⎪⎩的解集为3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭故答案为：3,04⎛⎫-⎪⎝⎭二、选择题13.某校高一共有10个班，编号为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一（5）班被抽到的可能性为a ，高一（6）班被抽到的可能性为b ，则（）A.310=a ，29b = B.110a =，19b =C.310=a ，310b = D.110a =，110b =【答案】C【分析】根据简单随机抽样的定义，分析即可得答案.【详解】由简单随机抽样的定义，知每个个体被抽到的可能性相等，故高一（5）班和高一（6）班被抽到的可能性均为310.故选：C14.对于平面α和两条直线,m n ，下列说法正确的是（）A.若m α⊥，m n ⊥，则//n αB.若,m n 与α所成的角相等，则//m nC.若//m α，//n α，则//m nD.若m α⊂，//m n ，n 在平面α外，则//n α【答案】D【分析】根据空间线、面的位置关系即可判断A,B,C,利用线面平行的判定定理可判断D.【详解】对于A ，若m α⊥，m n ⊥，则//n α或n ⊂α，故A 错误；对于B ，若,m n 与α所成的角相等，则,m n 相交、平行或异面，故B 错误；对于C ，若//m α，//n α，则,m n 相交、平行或异面，故C 错误；对于D ，若m α⊂，//m n ，n 在平面α外，则由线面平行的判定定理得//n α，故D 正确.故选:D.15.在ABC 中，3A π=，则“1sin 2B <”是“ABC 是钝角三角形”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先解三角不等式，再结合充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】在ABC 中，由1sin 2B <得：π06B <<或5ππ6B <<，而3A π=，则2π03B <<，因此得π06B <<，于是得π2πC A B =-->，ABC 是钝角三角形，当ABC 是钝角三角形时，取钝角7π12B =，7π5ππ1sin sin sin sin 1212322B ==>=>，即ABC 是钝角三角形不能推出1sin 2B <，所以“1sin 2B <”是“ABC 是钝角三角形”的充分而不必要条件.故选：A16.已知定义在R 上的函数()y f x =对任意12x x <，都有()()1212f x f x a x x ->-成立且满足()20f a =-（其中a 为常数），关于x 的方程：()f a x ax +=的解的情况．下面判断正确的是（）A.存在常数a ，使得该方程无实数解B.对任意常数a ，方程均有且仅有1解C.存在常数a ，使得该方程有无数解D.对任意常数a ，方程解的个数大于2【答案】B【分析】将方程()f a x ax +=的解的情况转化为()h x 零点的情况，然后根据()20f a =-得到()0h a -=，根据12x x <，得到()()()1212f x f x a x x -<-，然后利用定义法得到()h x 在R 上单调递增，即可得到对任意常数a ，方程()f a x ax +=只有一个解.【详解】令()()h x f a x ax =+-，则方程()f a x ax +=的解的情况可以转化为()h x 零点的情况，因为()20f a =-，所以()()200h a f a -=+=，因为12x x <，所以120x x -<，则()()()1212f x f x a x x -<-，令31x x a =-，42x x a =-，因为12x x <，所以34x x <，()()()()()()341122h x h x f x a x a f x a x a -=---+-()()()12120f x f x a x x =---<，即()()34h x h x <，所以()h x 在R 上单调递增，又()0h a -=，所以对任意常数a ，()h x 只有一个零点，即方程()f a x ax +=只有一个解.故选：B.三、解答题17.在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 、满足222a c b ac +=-．（1）求角B 的大小；（2）若b =，求ABC 的面积的最大值．【答案】（1）120︒（2【分析】（1）利用余弦定理求B 即可；（2）利用基本不等式得到4ac ≤，然后利用三角形面积公式求面积的最大值即可.【小问1详解】因为222a c b ac +-=-，由余弦定理得2221cos 22a cb B ac +-∠==-，又()0,B π∈，所以120B ∠=︒.【小问2详解】因为b =，由（1）得22122a c ac ac +=-≥，当且仅当2a c ==时取等号，所以4ac ≤，面积13sin 24S ac B ==≤18.如图所示圆锥P O -中，CD 为底面的直径．,A B 分别为母线PD 与PC 的中点，点E 是底面圆周上一点，若30DCE ∠=︒，AB =（1）求圆锥的侧面积S ；（2）求证：AE 与PC 是异面直线，并求其所成角的大小【答案】（1）（2）证明见解析；arccos 20【小问1详解】设圆锥底面半径为r ，母线长为l ,因为CD 为直径，AB 是PCD 的中位线，所以r AB ==4l ===，所以侧面积πS rl ==.【小问2详解】因为,,A P C 在平面PCD 且不共线，E 在平面PCD 外所以AE 与PC 是异面直线，连接,AO EO ，由,A O 分别为,PD CD 的中点，得//AO PC ，所以：EAO ∠为异面直线AE 与PC 所成的角或其补角，在AOE △中，122OA PC ==，OE =取OD 中点为F ，连接,AF EF ,142AF =，62EF =，AE =，在AOE △中，75cos20EAO ∠===，所以异面直线AE 与PC 所成角的大小为arccos 20.19.企业经营一款节能环保产品，其成本由研发成本与生产成本两部分构成．生产成本固定为每台130元．根据市场调研，若该产品产量为x 万台时，每万台产品的销售收入为I （x ）万元．两者满足关系：()()2200220I x x x =-<<（1）甲企业独家经营，其研发成本为60万元．求甲企业能获得利润的最大值；（2）乙企业见有利可图，也经营该产品，其研发成本为40万元．问：乙企业产量多少万台时获得的利润最大；（假定甲企业按照原先最大利润生产，并未因乙的加入而改变）（3）由于乙企业参与，甲企业将不能得到预期的最大收益、因此会作相应调整，之后乙企业也会随之作出调整，最终双方达到动态平衡（在对方当前产量不变的情况下，已方达到利润最大）求动态平衡时，两企业各自的产量和利润分别是多少．【答案】（1）1965万元（2）22.5万台（3）甲企业产量30万台，乙企业产量30万台；利润分别为甲企业840万元，乙企业860万元【分析】根据利润等于销售收入减去成本即可得到函数关系式，用二次函数求最值的方法即可得到.【小问1详解】设利润为()P x ()()()2601309060P x x I x x x x =⋅-+=-+-()2451965x =--+当45x =时()max 1965P x =所以，产量为45万台时，甲企业获利最大为1965万元．【小问2详解】设乙企业产量为x 万台，此时甲依旧按照45万台产量生产对于乙企业，每万台产品的销售收入为()()4522045175I x x x+=-+=-()()()245401304540P x x I x x x x =⋅+-+=-+-2451865324x ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭所以乙企业产量为22.5万台，获得利润最大．【小问3详解】假设达到动态平衡时，甲企业产量a 万台，乙企业产量b 万台．甲企业：()()()60130P a a I a b a =⋅+-+()29060a b a =-+--当902b a -=时利润最大乙企业()()()40130P b b I a b b =⋅+-+()29040b a b =-+--当902a b -=时利润最大．联立，解得30a b ==时达到动态平衡．此时利润分别为：甲企业840万元，乙企业860万元．20.已知曲线E ：()22102x y y +=≠的左右焦点为1F ，2F ，P 是曲线E 上一动点（1）求12PF F △的周长；（2）过2F 的直线与曲线E 交于AB 两点，且222AF F B = ，求直线AB 的斜率；（3）若存在过点()()0,1H h h >的两条直线1l 和2l 与曲线E 都只有一个公共点，且12l l ⊥，求h 的值.【答案】（1）2（2）142±（3【分析】（1）先由曲线E 的标准方程求得,a c ，再利用椭圆的定义即可得解；（2）由题意设直线AB ：1x my =+，联立方程，结合韦达定理得到,A B A B y y y y +，再由222AF F B = 得到2A B y y =-，从而求得m 的值，由此可得直线AB 的斜率；（3）根据题意设直线：y kx h =+，联立方程，结合判别式得到k =，分类讨论两条直线1l 和2l 与椭圆的位置情况，由12l l ⊥即可求得h 的值.【小问1详解】因为曲线E ：()22102x y y +=≠，所以222,1a b ==，则2221,1,1a b c a b c ===-==，所以122PF PF a +==，1222F F c ==，故12PF F △的周长为2+.【小问2详解】依题意，知直线AB 斜率存在且不为0，设直线AB ：1x my =+，联立22112x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x ，得()222210m y my ++-=，由韦达定理得：222A B m y y m +=-+，212A B y y m ⋅=-+，因为222AF F B = ，()21,0F ，所以()()1,21,A A B B x y x y --=-，则2A B y y =-，从而有222B m y m -=-+，22122B y m -=-+消去B y ，得227m =，即m =，所以直线AB 的斜率为12k m ==±=±.【小问3详解】依题意，知过点()0,H h 的直线斜率存在，设该直线：y kx h =+，()1h >，联立2212y kx h x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y ，得()222124220k x khx h +++-=，若直线1l 或2l 为切线，则()()222216412220k h k h ∆=-+-=，解得k =，注意到该曲线0y ≠，即该曲线没有左右顶点，所以有三种情况：情况1：两条直线均是切线，因为12l l ⊥，所以121k k =-，即1=-，解得h =h =情况2：两条直线分别过椭圆2212x y +=左右顶点，由对称性可知12k k =-，又121k k =-，所以121k k =-=，此时11k ==，解得h =，所以h =；情况3：其中一条直线是切线，另一条过椭圆2212x y +=的左（或右）顶点，不妨设直线为切线时斜率为正，即1k =2k ==，因为121k k =-，所以1⎛=- ⎝，解得h =h =综上：符合条件的h 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线位置关系的题目，往往需要联立两者方程，利用韦达定理解决相应关系，其中的计算量往往较大，需要反复练习，做到胸有成竹.21.已知函数()nn f x x x a =++，其中n 为正整数，a<0且为常数．（1）求函数()4y f x =的单调增区间；（2）若对于任意n ，函数()n y f x =，在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内均存在唯一零点，求a 的取值范围；（3）设n x 是函数()n y f x =大于0的零点，其构成数列{}n x ．问：是否存在实数a 使得{}n x 中的部分项：1n x ，2n x ，3n x ⋅⋅⋅k n x ⋅⋅⋅，（其中i j <时，i j n n <）构成一个无穷等比数列{}n a 若存在；求出a ；若不存在请说明理由．【答案】（1）⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭（2）()2,1a ∈--（3）存在；2a =-【分析】（1）由题知()44x x a y f x =+=+，再根据导数求解()34410f x x '=+≥即可得答案；（2）由题知，函数()n n f x x x a =++在()0,∞+上单调递增，进而转化为()1102n n f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，再解不等式得112,22n a ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭对一切1n ≥成立，进而得()2,1a ∈--；（3）根据()1110n f a =++=得2a =-，再证明2a =-时{}n x 是恒为1的常数列，符合题意，20a -<<和2a <-时不满足题意即可.【小问1详解】解：由题知()44x x a y f x =+=+，所以()4341f x x '=+，令()34410f x x '=+≥得x ≥，所以函数()4y f x =的单调增区间为⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【小问2详解】解：当0x >时，()110n n f x nx-'=+>恒成立，所以，函数()n n f x x x a =++在()0,∞+上单调递增，所以函数()n y f x =在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内均存在唯一零点只需()1102n n f f ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭即可，即()()1111110222n n n f f a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⋅=++++<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为n 为正整数，11222n ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭，所以112,22n a ⎛⎫∈--- ⎪⎝⎭对一切1n ≥成立因为当1n ≥时，11122n --≥-，当且仅当1n =时等号成立，所以()2,1a ∈--．【小问3详解】解：由于()1110n f a =++=得2a =-，下面证明2a =-时满足题意.①2a =-，则()2nn y f x x x ==+-．则()()11120n n n f f x =+-==．由（2），()n y f x =是()0,∞+上的严格增函数，所以1n x =．所以，{}n x 是恒为1的常数列，符合题意．②20a -<<．()()()1200n n n n f a f x f a =+>=>=，由于()n y f x =是()0,∞+上的严格增函数，所以10n x >>．()()()1110n n n n n n n n n n n n n f x f x x x a x x x a f x +++===++>⋅++=，由于()1n y f x +=是()0,∞+上的严格增函数，所以1n n x x +>．所以，{}n x 是严格增数列，那么无穷等比数列{}n a 也为严格增数列．所以1q >，11n n a a q -=．当11log 1q n a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭时，1n a >．但这与10n x >>矛盾故20a -<<不符合题意．③2a <-时，()()120n n n f a f x =+<=，由于()n y f x =是()0,∞+上的严格增函数，所以1n x <．()()()1110n n n n n n n n n n n n n f x f x x x a x x x a f x +++===++<⋅++=，由于()1n y f x +=是()0,∞+上的严格增函数，所以1n n x x +<．所以，{}n x 是严格减数列，那么无穷等比数列{}n a 也为严格减数列．所以01q <<，11n n a a q -=．当11log 1q n a ⎛⎫>+ ⎪⎝⎭时，1n a <．但这与1n x <矛盾故2a <-不符合题意．综上，使数列{}n x 部分项可以构成等比数列的充要条件是：2a =-．【点睛】关键点点睛：本题第3问解题的关键在于根据()1110n f a =++=得2a =-，进而分2a =-，20a -<<，2a <-分别说明2a =-时成立，其他范围不成立即可.。
上海市杨浦区2020学年度第一学期初三年级期中质量调研数学试卷
杨浦区2020学年度第一学期初三年级期中质量调研 数学试卷考生注意：1. 本试卷含三个答题，共25题；2. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸上、本试卷上答题一律无效；3. 除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.一、选择题（本大题共6题，每题3分，满分18分）1．下列各组线段中，成比例线段的组是（）（A ）3cm ，4cm ，5cm ，8cm （B ）1cm ，3cm ，4cm ，8cm（C ）0.2cm ，0.3cm ，4cm ，6cm （D ）1.5cm ，2cm ，4cm ，6cm2. 下列命题中，正确的是（）（A ）两个等腰三角形一定相似（B ）两个等边三角形一定相似（C ）两个直角三角形一定相似（D ）两个含有30°角的三角形一定相似3. 在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠B =α，AB =m ，那么边AC 的长为（）（A ）sin m α（B ）cos m α（C ）tan m α（D ）cot m α4. 下列命题中，错误的是（）（A ）如果0k =或0a =，那么0ka =；（B ）如果m 、n 为实数，那么()()m na mn a =；（C ）如果a kb =（k 为实数），那么a b ∥（D ）如果3a b =，那么3a b =或3a b =-.5. 在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，DE ∥BC ，如果ADE BCED S S ∆=四边形，那么下列结论中，正确的是（）（A ）DE ：BC =1:2（B ）DE :BC =1：2（C ）DE ：BC =1:3（D ）DE ：BC =1:46. 如图，在正方形ABCD 中，点E 为边AD 上的一个动点（与点A 、D 不重合），∠EBM =45°，BE 交对角线AC 于点F ，BM 交对角线AC 于点G ，交边CD 于点M ，那么下列结论中，错误的是（）（A ）△AEF ∽△CBF （B ）△CMG ∽△BFG（C ）△ABG ∽△CFB （D ）△ABF ∽△CBG二、填空题（本大题共12题，每题3分，满分36分）7. 已知x :y =1:3，那么（x +y ）:y =.8. 已知地图上A 、B 两处的图距是4cm ，表示这两地的距离是200km ，那么实际距离是500km 的两地在地图上的图距是.9. 已知点P 是线段AB 上的一点，且PB PA AP ⋅=2，如果AB =2，那么AP =.10. 在△ABC 中，如果中线AD 和中线CE 相交于点G ，那么AG ：AD =.11. 如果→e 为单位向量，→a 与→e 方向相反，且长度是5，那么→a = （用→e 表示）.12. 计算：=︒+︒︒60cot 30tan 60cos .13. 如图，已知小明同学的身高（CD ）是1.8米，他与树（AB ）在同一时刻的影子长分别为DE =2米，BE =5米，那么树的高度AB 为米.14. 如图，已知直线321l l l ∥∥，cm AB 10=，cm BG 6=，cm CD 8=，那么=CH _____厘米.15. 如图，已知在梯形ABCD 中，BC MN AD ∥∥，MN 分别交边DC AB 、于点N M 、，如果AM :MB =2:3，7,2==BC AD ，那么MN 的长______.16. 在每个小正方形的边长都为1的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点，顶点都是格点的三角形称为格点三角形。
2019-2020学年上海市浦东新区第四教育署六年级(上)期末数学试卷(五四学制) (解析版)
2019-2020学年上海市浦东新区第四教育署六年级（上）期末数学试卷（五四学制）一、选择题（共6小题）.1．下列各组数中互素的是（）A．4和6B．9和10C．14和21D．27和512．下列各数中，不能和2，3，4组成比例的是（）A．1B．C．2D．63．如果甲数比乙数大10%，而乙数比丙数小，则甲丙的大小关系是（）A．甲数＝丙数B．甲数＞丙数C．甲数＜丙数D．无法确定4．在17的后面添上百分号，则新的数（）A．扩大到原来的100倍B．缩小到原来的C．与原来的大小相等D．无法判断5．一零件长2.5毫米．如果画在图纸上为7.5厘米，那么图纸上的尺寸与实际尺寸的比是（）A．1：3B．3：1C．1：30D．30：16．若圆的半径由3厘米增加到15厘米，则圆的周长增加了（）A．4厘米B．2π厘米C．24π厘米D．16π厘米二、填空题（共有12小题，每题3分，共36分）7．1的倒数是．8．分解素因数42＝．9．在1，，中不能化成有限小数的是10．已知A＝2×3×3，B＝2×3×5，那么A和B的最小公倍数是．11．化简最简整数比：1.5千克：600克＝12．已知3x＝4y，则＝．13．计算：＝．14．六年级（5）班共有50名学生，在数学学科的期中考试中，有48人在60～100分之间，有2人在60分以下，那么六年级（5）班在这次期中考试中，数学成绩的及格率为．15．在英语句子“Wishyousuccess!”（祝你成功！）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率为．16．圆心角为30°，半径为12厘米的扇形面积是平方厘米．17．用一张正方形的纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，如果已知正方形的边长是4厘米，那么这个圆形的面积是平方厘米．18．已知：如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为．三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每题5分，第21至23题每题6分，第24、25题7分，第26题10分，共52分）19．计算：2﹣2×（）20．计算：×+÷+21．求x的值：x：1＝2：322．已知：a：b＝3：4，b：c＝：，求a：b：c．23．如图是一张不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置点A：；点B：0.25；点C：1点D：300%24．如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A，B，C，D为圆心，以AD，BE，CF，DG为半径画扇形，求阴影部分的面积．25．甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了24万元，乙投资了20万元，丙投资了28万元，年终时，共赚得利润27万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？26．我们可以用“肥胖百分数”来表示一个人的胖瘦情况，“肥胖百分数”是用体重（千克）除以身高（分米）的平方．再乘以100%，即肥胖百分数＝×100%，一般认为：肥胖百分数在18%～20%的人偏瘦，在20%～24%的人为基本正常，在24%～26%的人偏胖．（1）小明的父亲身高180厘米，体重80千克，试判断小明父亲的胖瘦情况（2）某校为六年级学生进行了体检，下面是体检后得到的体重正常、体重偏轻和体重偏重的结果统计图．已知体重偏轻的有48人①该校六年级学生有多少人？②体重偏重的学生占体检总人数的百分之几？有多少人？参考答案一、选择题（共6小题）.1．下列各组数中互素的是（）A．4和6B．9和10C．14和21D．27和51解：A、4和6有公约数1和2，故不符合题意；B、9和10只有公约数1，故符合题意；C、14和21有公约数1和7，故不符合题意；D、27和51有公约数1和3，故不符合题意；故选：B．2．下列各数中，不能和2，3，4组成比例的是（）A．1B．C．2D．6解：根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，A选项：1×4≠2×3，不可以组成比例；B选项：2×3＝×4，两个数的积等于另外两个数的积，所以能组成比例；C选项：2×4＝3×2，可以组成比例．D选项：2×6＝3×4，可以组成比例．故选：A．3．如果甲数比乙数大10%，而乙数比丙数小，则甲丙的大小关系是（）A．甲数＝丙数B．甲数＞丙数C．甲数＜丙数D．无法确定解：设丙数为1，则乙数为1﹣＝，甲数为（1+10%）×＝＜1，则甲数＜丙数．故选：C．4．在17的后面添上百分号，则新的数（）A．扩大到原来的100倍B．缩小到原来的C．与原来的大小相等D．无法判断解：在17后面添上一个百分号，这个数由17变成了17%，又因为17%＝0.17，所以这个数缩小到原来的．故选：B．5．一零件长2.5毫米．如果画在图纸上为7.5厘米，那么图纸上的尺寸与实际尺寸的比是（）A．1：3B．3：1C．1：30D．30：1解：∵一零件长2.5毫米，画在图纸上为7.5厘米＝75毫米，∴图纸上的尺寸与实际尺寸的比是：75：2.5＝30：1．故选：D．6．若圆的半径由3厘米增加到15厘米，则圆的周长增加了（）A．4厘米B．2π厘米C．24π厘米D．16π厘米解：圆的周长增加了：2π×（15﹣3）＝24π（厘米）．故选：C．二、填空题（本大题共有12小题，每题3分，共36分）7．1的倒数是．解：∵1＝，∴的倒数是，故答案为．8．分解素因数42＝2×3×7．解：42＝2×3×7．9．在1，，中不能化成有限小数的是1解：＝0.5，＝0.325，1＝＝1.，∴1不能化成有限小数，故答案为1．10．已知A＝2×3×3，B＝2×3×5，那么A和B的最小公倍数是90．解：∵A＝2×3×3，B＝2×3×5，∴A与B的最小公倍数为2×3×3×5＝90，故答案为：9011．化简最简整数比：1.5千克：600克＝5：2解：1.5千克：600克＝1500：600＝5：2．故答案为：5：2．12．已知3x＝4y，则＝．解：根据等式性质2，等式3x＝4y两边同时除以3y，得：＝．故答案为：．13．计算：＝．解：原式＝+×＝+＝，故答案为：．14．六年级（5）班共有50名学生，在数学学科的期中考试中，有48人在60～100分之间，有2人在60分以下，那么六年级（5）班在这次期中考试中，数学成绩的及格率为96%．解：∵六年级（5）班共有50名学生，在数学学科的期中考试中，有48人在60～100分之间，有2人在60分以下，∴六年级（5）班在这次期中考试中，数学成绩的及格率为：×100%＝96%．故答案为：96%．15．在英语句子“Wishyousuccess!”（祝你成功！）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率为．解：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个；故其概率为＝．16．圆心角为30°，半径为12厘米的扇形面积是37.68平方厘米．解：根据扇形的面积公式可得：＝37.68（平方厘米），答：这个扇形的面积是37.68平方厘米．故答案为：37.68．17．用一张正方形的纸片剪出一个面积最大的圆形纸片，如果已知正方形的边长是4厘米，那么这个圆形的面积是12.56平方厘米．解：∵正方形的边长是4厘米，∴剪出的最大的圆直径为4厘米，半径＝2厘米，所以，圆的面积＝πr2＝3.14×22＝12.56（平方厘米）．故答案为：12.56．18．已知：如图，在2×2的网格中，每个小正方形的边长都是1，图中的阴影部分图案是由一个点为圆心，半径分别为1和2的圆弧围成，则阴影部分的面积为π﹣2．解：如图；∵S弓形OB＝S弓形OD，∴S阴影＝S扇形ABD﹣S△ABD＝π×22﹣×2×2＝π﹣2．三、解答题（本大题共8小题，第19、20题每题5分，第21至23题每题6分，第24、25题7分，第26题10分，共52分）19．计算：2﹣2×（）解：原式＝2﹣2×＝2﹣＝2．20．计算：×+÷+解：原式＝×+×+＝×（++1）＝×2＝．21．求x的值：x：1＝2：3解：3x＝×，3x＝3，x＝1．22．已知：a：b＝3：4，b：c＝：，求a：b：c．解：因为，a：b＝3：4＝9：12，b：c＝3：4＝12：16，所以，a：b：c＝9：12：16．23．如图是一张不完整的数轴，请将它补画完整，并在数轴上标出下列各数所代表的点，并将对应字母标在数轴上方的相应位置点A：；点B：0.25；点C：1点D：300%解：如图所示：24．如图所示，正方形ABCD的边长为1，依次以A，B，C，D为圆心，以AD，BE，CF，DG为半径画扇形，求阴影部分的面积．解：∵正方形ABCD的边长为1，∴扇形的半径分别为1，2，3，4，圆心角为90°，∴S阴影＝π×12+π×22+π×32+π×42＝π+π+π+4π＝π．25．甲、乙、丙三人共同出资做生意，甲投资了24万元，乙投资了20万元，丙投资了28万元，年终时，共赚得利润27万元，甲、乙、丙三人按比例进行分配，各可以分得多少利润？解：24：20：28＝6：5：7，设甲可以获得6x万元，乙可以获得5x万元，丙可以获得7x万元，6x+5x+7x＝27，解得，x＝1.5，∴6x＝9，5x＝7.5，7x＝10.5，答：甲可以分得9万元，乙可以分得7.5万元，丙可以分得10.5万元．26．我们可以用“肥胖百分数”来表示一个人的胖瘦情况，“肥胖百分数”是用体重（千克）除以身高（分米）的平方．再乘以100%，即肥胖百分数＝×100%，一般认为：肥胖百分数在18%～20%的人偏瘦，在20%～24%的人为基本正常，在24%～26%的人偏胖．（1）小明的父亲身高180厘米，体重80千克，试判断小明父亲的胖瘦情况（2）某校为六年级学生进行了体检，下面是体检后得到的体重正常、体重偏轻和体重偏重的结果统计图．已知体重偏轻的有48人①该校六年级学生有多少人？②体重偏重的学生占体检总人数的百分之几？有多少人？解：（1）×100%≈25%，25%在24%～26%之间，属于偏胖的范围，答：小明的父亲偏胖；（2）①该校六年级学生有48÷8%＝600（人）；②1﹣8%﹣54%＝38%，600×38%＝228（人），答：体重偏重的学生占体检总人数的38%，有228人．。
杨浦区2019学年度第二学期期中质量抽查初一数学2020.4.21
1 杨浦区2019学年度第二学期期中质量抽查 初一数学试卷 （测试时间90分钟，满分100分） 2019.6 一、填空题（本大题共14题，每题2分，满分28分） 1.49的平方根是_____________
2.若481x,则x_____________
3.把746化成幂的形式是_____________
4.计算：324=9______________
5.比较大小: 22_________3（填“>”或“=”或“<”）
6.月球沿着一定的轨道围绕地球运动，它在远地点时与地球相距的距离约405500km,
将该数据保留三个有效数字 得到的近似数为__________________（用科学计数法表示） 7.已知数轴上的A、B两点的距离等于3,点A所对应的实数是2，那么点B所对应的实
数是_________________
8.如图，直线ABCD、相交，若1=100，则直线ABCD、的夹角为__________
9.如图，B的内错角是____________.
10.如图，直线,ab且直线c与直线ab、相交，若1=70，则2=__________
11.如图，已知,DEBFAC平分,70BAEDAB,那么ACF__________
12.如图，已知,ABCDBE平分,150ABDDCE,则D_________
13.如图，已知,,ABDEBCCDABC和CDE的平分线交于点,F则
BFD__________
第11题图第10题图第9题图第8题图
DE
FCB
A21cbaEDACB1D
CB
A 2
14.如图，若,ABCDEF则xyz、、三者之间的数量关系是_________________
二、选择题（本大题共4题，每题3分，满分12分） 15.实数a、b、c在数轴上对应点的位置如图所示，
以下结论正确的是____________
.A 0ac .B abab
2018-2019学年上海市杨浦区兰生复旦中学五年级(下)入学数学试卷
2018-2019学年上海市杨浦区兰生复旦中学五年级（下）入学数学试卷试题数：30，总分：1001.（问答题，4分）（999+997+...+501）-（1+3+ (499)2.（问答题，4分）99 34 +199 34+2999 34+39999 34-13.（问答题，4分）335×35.4+47.9×6254.（问答题，4分）2000÷16÷8÷2.55.（问答题，4分）1×2×3+2×4×6+7×14×211×3×5+2×6×10+7×21×356.（问答题，4分）756−6712+5920−41130+31342−21556+117727.（问答题，4分）(12+13+⋯+12019)×(1+12+⋯+12018) - (1+12+⋯+12019)×(12+13…+12018)8.（问答题，4分）765×213÷27+765×327÷279.（填空题，3分）一个两位数，在它后面写上一个零后，所得的数比原来的两位数多666，原来的两位数是___ ．10.（填空题，3分）完成一项工程，甲队单独要做60天，乙队单独要做30天，丙队单独要做20天，三队合作完成需要___ 天．11.（填空题，3分）甲乙两车从AB两地相向而行，其中甲车速为68km/h，乙车速为52km/h．两车同时出发，相遇在距离中心16km的C处，则AB之间的距离是___ 千米．12.（填空题，3分）从1，2，3，4，…，30这30个自然数中，至少任选___ 个，就可以保证其中一定存在两个数，它们的差是14．13.（填空题，3分）钟面上7点32分的时候，时针和分针所夹的角度是___ 度．（小于180度）14.（填空题，3分）学校举行24点比赛，通过淘汰赛后，进入循环赛，每个选手都要和其他所有选手比赛一场．循环赛共进行了105场，则有___ 人进入了循环赛．15.（填空题，3分）圆周上均匀分布着5个点，若以他们为端点连两条线段则可将圆分成三部分（在圆内不相交，也没有公共端点，下同）．则将圆分成三个部分的连法有___ 种．（旋转或翻折后相同的计为不同）16.（填空题，3分）有两瓶重量相同的盐水，甲瓶中盐的重量是盐水重量的14，乙瓶中盐的重量是水重量的15，现把两瓶盐水混合在一起，盐的重量是水重量的___ ．17.（填空题，3分）4张不同的卡片送给三位老师，每位老师至少得到一张卡片，共有___ 种不同的送卡片方法．18.（填空题，3分）如图，已知AE=EC，BD：DC=2：3，△AFE的面积比△BFD的面积多2，则△ABC的面积是___19.（填空题，3分）如图在边长为10的正方形ABCD中，△DGH的面积等于两个阴影三角形的面积之和，若AE=3，则FC=___ ．20.（问答题，5分）一铁路隧道长2000米，一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了一分钟，整列火车完全在隧道内的时间是40秒．求火车的车长及其行驶的速度．21.（问答题，5分）有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共减成了多少段？22.（填空题，5分）王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒．而闹钟却比标准时间每小时慢30秒．那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差___ 秒．23.（问答题，5分）如图：自然数按照顺序排列成下列的三角数阵，那么2019上方的数是多少？24.（问答题，5分）已知六位数abcdef满足abcdef ×4= efabcd，试求符合条件的六位数abcdef．25.（问答题，5分）求小于105且与105互质的所有自然数的和．26.（问答题，5分）甲、乙两人在一个360米的环形跑道上跑步，他们以相同的速度在某处相背出发．乙始终匀速跑步，甲每跑72米，速度翻倍，直至甲乙相遇；第一次相遇后，甲此时的速度开始减半，同时每跑72米速度再减半，直至甲乙第二次相遇；此时乙共跑了多少米？27.（问答题，0分）A、B两地相距125千米，甲乙两人分别从两地骑自行车出发，相向而行；丙骑摩托车以每小时63千米的速度，和甲同时从A出发；当丙遇到乙之后，立刻返回，已知甲的速度为每小时9千米，现在，已知甲丙相遇的时候，甲乙两人还相距75千米．试求：乙的速度为多少？28.（问答题，0分）在圆上A、B、C、D四个位置填上4个数2，0，1，2（如图甲），如果进行这样的操作：每次选一个位置上的数加1，那么最少需要3次操作能达到四个位置上的数相同，操作方法有3种（C位+1，B位两次+1；B位两次+1，C位+1；和B位+1，C位+1，B位再+1）．现在如图乙，从2，0，1，3开始，将操作方法变为每次将三个位置同时加1，则至少需要多少次，使之达到四个位置上的数相等．29.（问答题，0分）有一列数1，4，7，10，…，9997，10000，将这些数相乘，试求乘积的末尾零的个数．30.（问答题，0分）已知：最简分数pq =12+23+⋯+1516，其中p，q为正整数，（p，q）=1．（1）试求：[ pq ]（即pq的整数部分）；（2）求证：p不是17的倍数．2018-2019学年上海市杨浦区兰生复旦中学五年级（下）入学数学试卷参考答案与试题解析试题数：30，总分：1001.（问答题，4分）（999+997+...+501）-（1+3+ (499)【正确答案】：【解析】：999+997+…+501，是501到999的共有250个连续的奇数相加，根据高斯求和公式可得（501+999）×250÷2；1+3+…+499是1到499的共有250个连续的奇数相加，根据高斯求和公式可得（1+499）×250÷2，然后再相减即可．【解答】：解：（999+997+...+501）-（1+3+ (499)=（501+999）×250÷2-（1+499）×250÷2=1500×250÷2-500×250÷2=（1500-500）×250÷2=1000×250÷2=125000【点评】：本题关键是根据高斯求和公式（首项+末项）×项数÷2进行解答．2.（问答题，4分）99 34 +199 34+2999 34+39999 34-1【正确答案】：【解析】：原题加上4个14，再减去4个14，即1，然后再根据加法交换律和结合律进行简算．【解答】：解：99 34 +199 34+2999 34+39999 34-1=99 34 +199 34+2999 34+39999 34-1+（14+ 14+ 14+ 14）-1=（99 34 + 14）+（199 34+ 14）+（2999 34+ 14）+（39999 34+ 14）-1-1=100+200+3000+40000-2=43300-2=43298【点评】：考查了运算定律与简便运算，注意灵活运用所学的运算定律进行简便计算．3.（问答题，4分）335×35.4+47.9×625【正确答案】：【解析】：先算乘法，再算加法即可．【解答】：解：3 35 ×35.4+47.9×6 25=3.6×35.4+47.9×6.4=127.44+306.56=434【点评】：本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可．4.（问答题，4分）2000÷16÷8÷2.5【正确答案】：【解析】：按照从左到右的顺序计算即可．【解答】：解：2000÷16÷8÷2.5=125÷8÷2.5=15.625÷2.5=6.25【点评】：本题考查了简单的四则混合运算，计算时先理清楚运算顺序，根据运算顺序逐步求解即可．5.（问答题，4分）1×2×3+2×4×6+7×14×211×3×5+2×6×10+7×21×35【正确答案】：【解析】：根据乘法分配律，把分子提取（1×2×3），分母提取（1×3×5），然后通过约分化简，达到简算目的．【解答】：解：1×2×3+2×4×6+7×14×211×3×5+2×6×10+7×21×35= (1×2×3)(1+2+7)(1×3×5)(1+2+7)= 1×2×31×3×5= 25【点评】：本题主要考查繁分数的化简，关键利用乘法分配律达到简算目的．6.（问答题，4分）756−6712+5920−41130+31342−21556+11772【正确答案】：【解析】：根据加法交换律和结合律、减法的性质以及分数的拆项公式进行简算．【解答】：解：756−6712+5920−41130+31342−21556+11772=（7-6+5-4+3-2+1）+（56 - 712+ 920- 1130+ 1342- 1565+ 1772）=4+（12 + 13）-（13+ 14）+（14+ 15）-（15+ 16）+（16+ 17）-（17+ 18）+（18+ 19）=4+ 12 + 13- 13- 14+ 14+ 15- 15- 16+ 16+ 17- 17- 18+ 18+ 19=4+ 12 + 19=4 12 + 19=4 1118【点评】：考查了运算定律与简便运算，注意灵活运用所学的运算定律进行简便计算．7.（问答题，4分）(12+13+⋯+12019)×(1+12+⋯+12018) - (1+12+⋯+12019)×(12+13…+12018)【正确答案】：【解析】：根据题意，另（12 + 13+…+ 12019）=A，（12+ 13+…+ 12018）=B，原式化为A×（1+B）-（1+A）×B，然后再根据乘法分配律和加法交换律和结合律进行简算．【解答】：解：另（12 + 13+…+ 12019）=A，（12+ 13+…+ 12018）=B；(1 2+13+⋯+12019)×(1+12+⋯+12018) - (1+12+⋯+12019)×(12+13…+12018)=A×（1+B）-（1+A）×B =（A+AB）-（B+AB）=A+AB-B-AB=（A-B）+（AB-AB）=A-B=（12 + 13+…+ 12019）-（12+ 13+…+ 12018）=（12 + 13+…+ 12018）+ 12019-（12+ 13+…+ 12018）=（12 + 13+…+ 12018）-（12+ 13+…+ 12018）+ 12019= 12019【点评】：考查了运算定律与简便运算，注意灵活运用所学的运算定律进行简便计算．8.（问答题，4分）765×213÷27+765×327÷27【正确答案】：【解析】：根据乘法分配律及交换律进行计算．【解答】：解：765×213÷27+765×327÷27=（213+327）×765÷27=540×765÷27=540÷27×765=20×765=15300【点评】：完成此类题目要注意分析式中数据的特点及内在联系，然后运用合适的方法进行计算．9.（填空题，3分）一个两位数，在它后面写上一个零后，所得的数比原来的两位数多666，原来的两位数是___ ．【正确答案】：[1]74【解析】：一个两位数，在它后面写上一个零后，就相当于把这个数扩大了10倍，那么所得的数比原来的两位数多的666，就相当于原来的两位数的10-1=9倍，然后根据差倍公式解答即可．【解答】：解：666÷（10-1）=666÷9=74答：原来的两位数是 74．故答案为：74．【点评】：此题属于差倍问题，关键是求出数量差和倍数差；运用关系式：数量差÷（倍数-1）=1倍数（较小数），1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数）．10.（填空题，3分）完成一项工程，甲队单独要做60天，乙队单独要做30天，丙队单独要做20天，三队合作完成需要___ 天．【正确答案】：[1]10【解析】：把这项工程看作单位“1”，甲队单独要做60天，平均每天工作效率是160，乙队单独要做30天，平均每天的工作效率是130，丙队单独要做20天，平均每天的工作效率是120，根据工作量÷工作效率和=合作的时间，据此列式解答．【解答】：解：1÷（160+130+120）=1÷ 110=1×10=10（天）答：三队合作完成需要10天．故答案为：10．【点评】：此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答时往往把工作总量看作单位“1”，再利用它们的数量关系解答．11.（填空题，3分）甲乙两车从AB两地相向而行，其中甲车速为68km/h，乙车速为52km/h．两车同时出发，相遇在距离中心16km的C处，则AB之间的距离是___ 千米．【正确答案】：[1]240【解析】：根据题意可知：甲乙两车从AB两地相向而行，两车同时出发，相遇在距离中心16千米的C处，由此可知相遇时甲车比乙车多行驶了（16×2）千米，用行驶路程的差除以速度差即可求出相遇时间，然后根据速度和×相遇时间=AB 之间的路程，据此列式解答．【解答】：解：（68+52）×[16×2÷（68-52）]=120×[32÷16]=120×2=240（千米）答：AB之间的距离是240千米．故答案为：240．【点评】：此题属于相遇问题，关键是求出相遇时间，然后根据据速度和×相遇时间=两地之间的路程进行解答．12.（填空题，3分）从1，2，3，4，…，30这30个自然数中，至少任选___ 个，就可以保证其中一定存在两个数，它们的差是14．【正确答案】：[1]17【解析】：从1，2，3，4，…，30这30个自然数中，差是14的数可以分成16组：（1，15）、（2，16）、（3，17）、…、（16，30），此时如果选16个数，最不利情况就是每组中选出1个，没有差是14的两个数，若再任意选出一个，必定会出现两个数的差是14，据此即可解答问题．【解答】：解：从1，2，3，4，…，30这30个自然数中，差是14的数可以分成16组：（1，15）、（2，16）、（3，17）、…、（16，30）， 16+1=17答：至少任选 17个，就可以保证其中一定存在两个数，它们的差是14．故答案为：17【点评】：解答此题关键是正确的分组得出两个数的差是14的16组情况，则至少选出16+1=17个数，就可以保证其中一定存在两个数，它们的差是14．13.（填空题，3分）钟面上7点32分的时候，时针和分针所夹的角度是___ 度．（小于180度）【正确答案】：[1]34【解析】：1分钟分针绕中心旋转 360°60 =6°，时针1分钟绕中心旋转 360°60×12 =0.5°． 在7点整时，分针与时针的夹角是7×30=210度，分针每分钟比时针多转（6-0.5）=5.5度的夹角，32分后，分针每分钟比时针多转5.5×32=176（度），所以7点32分，时钟的分针与时针的夹角是：210-176=34（度）；据此解答【解答】：解：根据分析，按顺时针计算：7×30=210（度）（6-0.5）×32=5.5×32=176（度）210-176=34（度）答：7点32分，时钟的分针与时针的夹角是34度．【点评】：本题是钟面追及问题，难点是确定分针比时针每分钟追及的角度．14.（填空题，3分）学校举行24点比赛，通过淘汰赛后，进入循环赛，每个选手都要和其他所有选手比赛一场．循环赛共进行了105场，则有___ 人进入了循环赛．【正确答案】：[1]15【解析】：可设共有x人进入了循环赛，由于每个选手都要和其他所有选手比赛一场，所以每人都要赛x-1场，则所有参赛选手赛的场数为x（x-1）场，每场比赛是在两个人之间进行的，所以赛的场数为x（x-1）÷2，一共进行了105场比赛，由此可得等量关系式：x（x-1）÷2=105，解此方程即得共有多少人进入了循环赛．【解答】：解：设共有经x人进入了循环赛，可得方程：x（x-1）÷2=105x2-x=210经验证：x=15答：有15人进入了循环赛．故答案为：15．【点评】：题目中比赛方式为循环赛，计算公式为：人数×（人数-1）÷2=比赛总场数．15.（填空题，3分）圆周上均匀分布着5个点，若以他们为端点连两条线段则可将圆分成三部分（在圆内不相交，也没有公共端点，下同）．则将圆分成三个部分的连法有___ 种．（旋转或翻折后相同的计为不同）【正确答案】：[1]10【解析】：根据题意，两条线段共用到4个端点，而对于任意4个端点来说，有2种不同的连法（不妨设顺时针A、B、C、D这4个点，则有AB、CD以及AD、BC这2种连法），而5个点中取4个点有5种取法，故共有10种连法．【解答】：解：两条线段共用到4个端点，而对于任意4个端点来说，有2种不同的连法（不妨设顺时针A、B、C、D这4个点，则有AB、CD以及AD、BC这2种连法），而5个点中取4个点有5种取法，一共有：5×2=10（种）答：将圆分成三个部分的连法有10种．【点评】：本题的解题关键是找出5个点中取4个点有5种取法．16.（填空题，3分）有两瓶重量相同的盐水，甲瓶中盐的重量是盐水重量的 14 ，乙瓶中盐的重量是水重量的 15 ，现把两瓶盐水混合在一起，盐的重量是水重量的___ ．【正确答案】：[1] 519【解析】：有两瓶重量相同的盐水，把它们分别看成单位“1”，两个单位“1”相同；甲瓶中盐的质量就是 14 ，水的质量就是（1- 14 ）；同理求出乙瓶中盐的质量和水的质量，再用两瓶盐的质量和除以水的质量和即可．【解答】：解：1- 14 = 3415+1 = 16 1- 16 = 56（ 14 + 16 ）÷（ 34 + 56 ）= 512 ÷ 1912= 519答：现把两瓶盐水混合在一起，盐的重量是水重量的 519 ．故答案为： 519 ．【点评】：解决本题关键是明确两个单位“1”相等，分别用盐水的总质量表示出两瓶盐的质量和水的质量，再根据求一个数是另一个数几分之几的方法求解．17.（填空题，3分）4张不同的卡片送给三位老师，每位老师至少得到一张卡片，共有___ 种不同的送卡片方法．【正确答案】：[1]36【解析】：先把四张卡片分成三份，有 4×32×1 =6（种），再把三份平均分给三个人，有3×2×1=6（种）．所以一共有：6×6=36（种）．【解答】：解： 4×32×1 ×（3×2×1）=6×6=36（种）答：共有 36种不同的送卡片方法．故答案为：36．【点评】：本题主要考查排列组合问题，关键分清排列还是组合问题，然后运用排列组合公式进行计算．18.（填空题，3分）如图，已知AE=EC，BD：DC=2：3，△AFE的面积比△BFD的面积多2，则△ABC的面积是___【正确答案】：[1]20【解析】：△AFE的面积比△BFD的面积多2，这两个三角形都加上四边形FDCE，则△ACD-△BCE=2，又因为点E是AC的中点，所以△ABE=△BCE，所以△ACD-△ABE=2，这两个三角形都减去△AFE，则四边形DCEF-△ABF=2，则四边形DCEF加上△AFE就比△ABF加上△BFD的面积多2+2=4，这样△ADC比△ABD的面积多4，把△ABD和△ADC的底分别看作3份、2份，高设为h，则3h× 12 -2h× 12=4，求出h，再根据三角形的面积=底×高× 12计算即可．【解答】：解：因为S△AFE-S△BFD=2，所以S△ACD-S△BCE=2，又因为点E是AC的中点，所以S△ABE=S△BCE，所以S△ACD-S△ABE=2，又因为SDCEF-S△ABF=2，则S△ADC-S△ABD=2+2=4，把△ABD和△ADC的底分别看作3份、2份，高设为h，则3h× 12 -2h× 12=4 12h=4h=8S△ABC=（3+2）×8× 12 =5×4=20答：△ABC的面积是20．故答案为：20．【点评】：本题太难，关键是根据等量关系式，找出△ADC比△ABD的面积多4，把△ABD和△ADC的底分别看作3份、2份，高设为h，求出高即可解答．19.（填空题，3分）如图在边长为10的正方形ABCD中，△DGH的面积等于两个阴影三角形的面积之和，若AE=3，则FC=___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：根据图示可知：△AGD面积+△DGH面积+三角形DHC的面积=正方形ABCD面积的一半，又因为△DGH的面积等于两个阴影三角形的面积之和，所以，△DAE的面积+△DFC 的面积=正方形ABCD面积的一半．所以△FCD的面积为：10×10÷2-3×10÷2=35，所以FC 的长为：35×2÷10=7．，【解答】：解：△AGD面积+△DGH面积+三角形DHC的面积=正方形ABCD面积× 12又因为△DGH的面积等于两个阴影三角形的面积之和，．所以，△DAE的面积+△DFC的面积=正方形ABCD面积× 12所以△FCD的面积为：10×10÷2-3×10÷2=50-15=35所以FC的长为：35×2÷10=70÷10=7答：FC的长为7．故答案为：7．【点评】：本题主要考查组合图形的面积，关键运用等量代换的方法，利用三角形面积公式和正方形面积公式解题．20.（问答题，5分）一铁路隧道长2000米，一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了一分钟，整列火车完全在隧道内的时间是40秒．求火车的车长及其行驶的速度．【正确答案】：【解析】：设火车的长度为x米，一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了一分钟（即60秒），所行的路程为（2000+x）米，则速度为2000+x60米/秒；整列火车完全在隧道内的时间是40秒，所行的路程为（2000-x）米，则速度为2000−x40米/秒，由于火车的速度是不变的，所以可得2000+x60 = 2000−x40，解方程即可求得火车的长度，进而求得火车的速度．【解答】：解：设火车的长度为x米，根据题意得：2000+x60 = 2000−x40（2000+x）×40=（2000-x）×6080000+40x=120000-60x100x=40000x=400（2000-400）÷40=1600÷40=40（米/秒）答：车长400米，行驶速度40米/秒．【点评】：此题考查的知识点是一元一次方程的应用，关键是用两个时间表示出火车的速度列方程．21.（问答题，5分）有一根长100厘米的绳子，从一端开始每隔4厘米做一个记号，每隔5厘米也做一个记号，然后把标有记号的地方剪断，绳子共减成了多少段？【正确答案】：【解析】：首先求出每4厘米作一个记号，可以作几个记号；再求出每5厘米作一个记号，可以作几个记号；因为4和5的最小公倍数是20，所以每20厘米处的记号重合，由此即可求出绳子被剪出的段数．【解答】：解：100÷4-1=25-1=24（个）100÷5-1=20-1=19（个）4和5互质，所以4和5的最小公倍数时4×5=20，100÷20-1=5-1=4（个）24+19-4=43-4=39（个）39+1=40（段）答：绳子一共被剪成了40段．【点评】：解答此题的关键是分析出每12厘米处的记号重合，并求出重合的记号的个数．22.（填空题，5分）王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒．而闹钟却比标准时间每小时慢30秒．那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差___ 秒．【正确答案】：[1]6【解析】：根据闹钟比标准时间每小时慢30秒，可知标准时间过1小时，即3600秒，那么闹钟过3570秒，再根据手表比家里的闹钟每小时快30秒，知闹钟过3600秒时，手表过3630秒，再求出当闹钟过3570秒时，手表过的秒数，进一步求出手表比标准时间每小时慢的秒数，一昼夜是24小时，由此得出手表一昼夜比标准时间相差的秒数．【解答】：解：标准时间过1小时，即3600秒，那么闹钟过3600-30=3570（秒），当闹钟过3600秒时，手表过3600+30=3630（秒），那么当闹钟过3570秒时，手表过3630×3570÷3600≈3599.75（秒），即手表比标准时间每小时慢3600-3599.75=0.25（秒），一昼夜是24小时，所以手表一昼夜比标准时间差：0.25×24=6（秒）．答：王叔叔的手表一昼夜比标准时间差 6秒．故答案为：6．【点评】：解决此题关键是先算出手表比标准时间每小时慢的秒数，再算出手表一昼夜比标准时间相差的秒数．23.（问答题，5分）如图：自然数按照顺序排列成下列的三角数阵，那么2019上方的数是多少？【正确答案】：【解析】：第1个奇数为1，第2个奇数为3，第3个奇数为5…，第k个奇数为2k-1，前k个奇数之和为1+3+5+…+（2k-1）=k2，于是，在如图所示的三角形数阵中，前k行共有k2个奇数，前k-1行共有（k-1）2个奇数，于是第k行第1个奇数为2[（k-1）2+1]-1=2（K-1）2+1．现在2×312=1922，2×322=2048故2019位于第32行上．第32行第1个数为1923，1923～2019共有（2019-1923）÷2+1=49个奇数，因此，2019为第32行，第49个数．第31行，第48个奇数位：2×302+1+（48-1）×2=1895，即2019上面的奇数位1895．【解答】：第1个奇数为1，第2个奇数为3，第3个奇数为5…，第k个奇数为2k-1，前k个奇数之和为1+3+5+…+（2k-1）=k2，于是，在如图所示的三角形数阵中，前k行共有k2个奇数，前k-1行共有（k-1）2个奇数，于是第k行第1个奇数为2[（k-1）2+1]-1=2（K-1）2+1．现在2×312=1922，2×322=2048故2019位于第32行上．第32行第1个数为1923，1923～2019共有（2019-1923）÷2+1=49个奇数，因此，2019为第32行，第49个数．第31行，第48个奇数位：2×302+1+（48-1）×2=1801+94=1895答：2019上方的数是1895．【点评】：本题主要考查数列中的规律，关键根据所给图示，发现规律，并运用规律做题．24.（问答题，5分）已知六位数abcdef满足abcdef ×4= efabcd，试求符合条件的六位数abcdef．【正确答案】：【解析】：可设abcd=x，ef=y，则有方程：（100x+y）×4=10000y+x，解得19x=4×7×17y，所以y必须是19的倍数，又是一个2位数，得到使对应的x为四位数的值即可求解．【解答】：解：设abcd=x，ef=y，则列方程：（100x+y）×4=10000y+x，解得19x=4×7×17y，所以y必须是19的倍数，又是一个2位数，解得y=57，76，95，对应的x=1428，1904，2380，所以，符合条件的六位数是142857，190476和238095．【点评】：考查了整数的十进制表示法，设出abcd=x，ef=y，得到方程（100x+y）×4=10000y+x，由方程得到y必须是19的倍数，又是一个2位数是解题的关键，有一定的难度．25.（问答题，5分）求小于105且与105互质的所有自然数的和．【正确答案】：【解析】：根据题意，与105互质的所有自然数即与105只有公因数1的所有自然数之和．【解答】：解：小于105且与105互质的所有自然数，排除3，7，5的倍数有：104，103，101，97，94，92，89，88，86，83，82，79，76，74，73，71，68，67，64，62，61，59，58，47，46，43，41，38，37，34，31，29，26，23，22，19，17，16，13，11，8，4，2，1．小于105且与105互质的所有自然数的和：104+103+101+97+94+92+89+88+86+83+82+79+76+74+73+71+68+67+64+62+61+ 59+58+47+46+43+41+38+37+34+31+29+26+23+22+19+17+16+13+11+8+4+2+1=2 217答：小于105且与105互质的所有自然数的和是2217．【点评】：此题重点考查互质数的概念以及应用．26.（问答题，5分）甲、乙两人在一个360米的环形跑道上跑步，他们以相同的速度在某处相背出发．乙始终匀速跑步，甲每跑72米，速度翻倍，直至甲乙相遇；第一次相遇后，甲此时的速度开始减半，同时每跑72米速度再减半，直至甲乙第二次相遇；此时乙共跑了多少米？【正确答案】：【解析】：一开始，两人速度相等，甲跑72米，乙也跑72米；然后，甲速度翻倍，变为乙的2倍，甲跑72米，乙跑36米；然后甲速度再翻倍，变为乙的4倍，甲跑72米，乙跑18米．此时二人共跑342米，离相遇还剩18米；此时，甲速度再翻倍，变为乙8倍，所以，甲跑16米，乙跑2米，二人相遇，其中乙跑了128米；此时，甲速度减半，变为乙的4倍，甲跑72米，乙跑18米；然后甲速度再减半，变为乙的2倍，甲跑72米，乙跑36米；然后甲速度再减半，和乙相同，甲跑72米，乙也跑72米，此时二人共跑342米；离相遇还剩18米，此时甲速度减半，变为乙的一半，所以甲跑6米，乙跑12米；二人相遇，其中，乙跑了138米．所以，当二人第二次相遇时，乙共跑266米．【解答】：解：一开始，两人速度相等，甲跑72米，乙也跑72米；然后，甲速度翻倍，变为乙的2倍，甲跑72米，乙跑36米；然后甲速度再翻倍，变为乙的4倍，甲跑72米，乙跑18米，此时二人共跑342米，离相遇还剩18米；此时，甲速度再翻倍，变为乙8倍，所以，甲跑16米，乙跑2米，二人相遇，其中乙跑了128米；此时，甲速度减半，变为乙的4倍，甲跑72米，乙跑18米；然后甲速度再减半，变为乙的2倍，甲跑72米，乙跑36米；然后甲速度再减半，和乙相同，甲跑72米，乙也跑72米，此时二人共跑342米；离相遇还剩18米，此时甲速度减半，变为乙的一半，所以甲跑6米，乙跑12米；二人相遇，其中，乙跑了138米．所以，当二人第二次相遇时，乙共跑266米．答：乙第二次相遇；此时乙共跑了266米．【点评】：本题主要考查相遇问题，关键根据甲速度的变化，及甲乙的速度的关系，求甲乙所走每一段路程．27.（问答题，0分）A、B两地相距125千米，甲乙两人分别从两地骑自行车出发，相向而行；丙骑摩托车以每小时63千米的速度，和甲同时从A出发；当丙遇到乙之后，立刻返回，已知甲的速度为每小时9千米，现在，已知甲丙相遇的时候，甲乙两人还相距75千米．试求：乙的速度为多少？【正确答案】：【解析】：可设丙驾驶摩托车与乙相遇时，甲行驶的路程是x千米，根据等量关系：甲、乙相距75千米，列出方程求解即可．【解答】：解：设丙驾驶摩托车与乙相遇时，甲行驶的路程是x千米，因为丙的速度是甲的63÷9=7倍，所以丙与乙相遇时，丙行驶了7x千米，且乙行驶了（125-7x）千米，此时甲乙相距7x-x=6x千米；甲丙合行了x+7x=8x千米时，甲行了x千米，乙行了（125-7x）千米当甲丙相遇时，甲丙总共合行了8x+6x=14x千米，则此时甲行了14x÷8= 74x千米，乙行了14×（125-7x）÷8= 74（125-7x）千米依题意有：74 x+ 74（125-7x）=125-75解得x= 225147 4 x= 74× 22514=28.125（千米）74（125-7x）= 74 ×（125-7× 22514）= 74×（125-112.5）= 74×12.5=21.875（千米）28.125÷9=3.125（小时）21.875÷3.125=7（千米/时）答：乙的速度为7千米/时．【点评】：考查了一元一次方程的应用，根据速度比得到路程比是解题的关键，本题设出丙驾驶摩托车与乙相遇时，甲行驶的路程是x千米可以简化计算量．28.（问答题，0分）在圆上A、B、C、D四个位置填上4个数2，0，1，2（如图甲），如果进行这样的操作：每次选一个位置上的数加1，那么最少需要3次操作能达到四个位置上的数相同，操作方法有3种（C位+1，B位两次+1；B位两次+1，C位+1；和B位+1，C位+1，B位再+1）．现在如图乙，从2，0，1，3开始，将操作方法变为每次将三个位置同时加1，则至少需要多少次，使之达到四个位置上的数相等．【正确答案】：【解析】：将三个位置上的数同时加一，相当于将剩下的一给位置上的数减一．【解答】：解：将三个位置上的数同时加一，相当于将剩下的一给位置上的数减一．要将2.0.1.3这四个数变为相等的四个数，至少需要操作6次．其中A位两次不变，C位有1次不变，D位有3次不变．【点评】：也可以用实验法，在图上计算，每次都选中较小的3个数加1，不选最大的．29.（问答题，0分）有一列数1，4，7，10，…，9997，10000，将这些数相乘，试求乘积的末尾零的个数．【正确答案】：【解析】：因为，乘积的尾部的每一个0，都是由一个2和一个5相乘得来的，所以，乘积的尾部有多少个0，关键看有多少个质因数2和5；显然，被2整除的数比被5整除的数多，即：质因数2的个数比质因数5的个数多，所以：有多少个质因数5，乘积的尾部就有多少个0；被5整除的数至少含有1个质因数5，由于这串数字从被5整除开始以后各数均是前一个数加3，所以在这串数中被5整除的相邻的两个数相差5×3=15，据此求出这串数字中含有的质因数是多少个即能求出积的尾部有多少个零．【解答】：解：由于这串数字从被5整除开始以后各数均是前一个数加3，所以在这串数中被5整除的相邻的两个数相差 5×3=15；则这样的数共有10，25，40，…10000．共有：（10000-10）÷15+1=9990÷15+1=666+1=667（个）；其中25，100，175，325，400含有两个因数5，250含有3个因数5（因为在27中已经各自计算过1个5，所以剩余5的个数为5+2=7个）．所以乘积末尾零的个数为27+5+2=34，故答案为：34．【点评】：本题是较复杂的数字问题，知道末尾的0的个数是由2和5相乘得到的是解题关键．30.（问答题，0分）已知：最简分数pq =12+23+⋯+1516，其中p，q为正整数，（p，q）=1．（1）试求：[ pq ]（即pq的整数部分）；（2）求证：p不是17的倍数．【正确答案】：【解析】：（1）将等式右侧进行化简组合，转化为分子都为一的分数，然后对分解出的分数进行化简，求取值范围即可；（2）将等式右侧通分，确定分母没有因数17，再将其他项进行变换，凑出因数17，剩下一项没有因数17，即可证明，分子没有因数17，即分子不是17的倍数．【解答】：解：（1）pq =15-（12+ 13+ (1)16）；令a= 12 + 13+ (1)16，则a=（12 + 14+ 18+ 116）+（13+ 16）+（15+ 110）+（17+ 114）+ 19+ 111+ 112+ 113+ 115。
2018-2019学年上海市杨浦区兰生复旦学校八年级第上学期期中数学试卷
2018-2019学年上海市杨浦区兰生复旦学校八年级第上学期期中数学试卷 一填空（每空2分，共32分）
1、当x_______时，2233xx有意义 【答案】233xx且 2、化简：11aa得_________ 【答案】1a 3、已知310a，则a的倒数为________ 【答案】310 4、在实数范围内因式分解：43310aa _________ 【答案】2225aaa 5、2433xx_________2x____3_____ 【答案】481，29 6、当x______时，多项式234xx的值比多项式2261xx的值小15 【答案】8或2 7、不解方程，判断关于x的方程2231230xmxm的根的情况________ 【答案】有两个不相等的实数根 8、已知方程2210xkx有两个不相等的卖数根，则k的取值范围是_________ 【答案】0k 9、方程23530xxm的两根之比为3:1,则m_________
【答案】2548m 10、一种药品原价60元，经过两次降价后,每盒的利润减少11.4元，那么平均次降价的百分比是_______ 【答案】10% 11、如图：AECV项绕顶点A逆时针旋转54后，得到ADEV，这时点D恰好落在边BC上，则EDC______
【答案】54
12、如图：在ABCV中，ABAC．AD是BAC的角平分线，DEAB、DFAC， 垂足分别是E，F．则下列四个结论： ① A上任意一点到点C，点B的距离相等②AD上任意一点到AB,AC的距离相等③BDCD，ADBC④∠BDE＝∠CA4DBDECAD 其中，正确的是________(填序号） 【答案】①②③④ 13、如图：RtABCV中，90ABC，D是AC的中点，BE是CD的垂直平分线，那么图中度数为30的角有______个。 【答案】4 14，如图：ABCV中，90C，DE是AB的垂直平分线，:1:3BADBAC，B的度数_________. 【答案】22.5 15、如图：已知O是AB，AC的中垂线交点，E是ABC，ACB平分的交点，180OE”，A______.