瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
牛顿第二定律的应用(瞬时性、矢量性)
m a2 g2
设弹力与水平方向的夹角为，则：
tan α mg g ma a
【解题回顾】 （一）硬杆对小球的弹力的方向并不一定 沿杆的方向，这可借助于牛顿运动定律来 进行受力分析：
1、物体处于平衡状态时，合外力应为0； 2、物体处于变速运动状态时，满足：
F合=ma， F合方向与加速度方向一致. （二）应用牛顿定律解题时要注意a与F合方向 一致性的关系.有时可根据已知合力方向确定加
明确“轻绳”和“轻弹簧” 两个理想物理模型的 区别．
如图所示,质量均为m的木块A和B用一轻弹簧相连,竖直 放在光滑的水平面上,木块A上放有质量为2m的木块C,三 者均处于静止状态。现将木块C迅速移开,若重力加速度 为g,则在木块C移开的瞬间（ C ）
A.木块B对水平面的压力迅速变为2mg
B.弹簧的弹力大小为mg
T1
θ T2
m
F合
mg
T2
F合 TG
F合=mg tan a=g tan
T
T
G2
G1
G
F合=mg sin a=g sin
如图质量为 m 的小球用水平弹簧系住，并用倾角为 30°的光
滑木板 AB 托住，小球恰好处于静止状态．当木板 AB 突然
向下撤离的瞬间，小球的加速度为 A．
（ C）
B．大小为2 3 3g，方向竖直向下
【例1】小车上固定着光滑的斜面, 斜面的倾 角为θ.小车以恒定的加速度向前运动,有一物 体放于斜面上, 相对斜面静止, 此时这个物体 相对地面的加速度是多大?
F合=G tan a =g tan
N
F合 a
θ
G
例 2：如图所示，动力小车上有一竖杆，杆顶端
速度与加速度的矢径表示法
二、点的加速度
在一般情况下，动点的速度的大小和方向都可能随时间变化。为了表 明点的速度的变化情况，用加速度来表示每一瞬时点的速度对于时间 的变化率。加速度既包括速度大小的变化，也包括速度方向的变化。
设动点 M 在瞬时t 的速度是 v ，在瞬时 t t 的速度是 v ，
如图4-10所示，则速度的变化是 v v v ，故动点的平均加 速度为
线的切线方向，如图4-11所示。加速度的单位是 m/s2。
图4-11
理论力学
r dr
v lim v* lim r
t 0
t0 t dt
所以，动点的速度等于动点的矢径对于时间的一阶导数。 注意：函数对时间的导数用在函数上方加 “ ”表示。
速度 v 描述点在瞬时 t 运动的快慢与方向。点的速度是矢量，
它的方向就是 r 或MM 在极限情况下的方向，也就是轨迹曲 线上 M 点的切线方向。一般地说，点的运动方向指的是速度 的方向。 速度的单位是m/s。
图4-9
r
t 描述点在时间间隔 t 内运动的平均快慢程度，称为动点在 时间间隔 t 内的平均速度矢量，以 v * 表示，即
v* r MM t t
因为时间是标量，故知 v * 的方向与 r 的方向相同。t 越小，MM 与 的 MM 差别就越小，平均速度就越趋近于动点的真实速度。因此当 t 趋近于零时，即得动点的瞬时速度，即 v 表示，即
a* v t
图4-10
当 t 趋近于零时，即得动点在瞬时 t 的加速度为
a
lim
t 2
动点的加速度等于动点的速度对于时间的一阶导数，或等于动点的矢
径对于时间的二阶导数。
如由任一定点 O 作相当于各瞬时 t1，t2 ，t3， 的速度矢 量 v1 ，v2 ，v3 ， ，连接速度矢量端点的曲线称为速度矢端曲线。 由瞬时加速度的概念，可知瞬时加速度的方向是沿着动点速度矢端曲
瞬时速度与瞬时加速度
3、物体运动曲线 度是 A.6
s = 2t
3，
则在t=3秒时的瞬时速 则在t=3秒时的瞬时速 C.54 D.81
……（ ……（ C ） B.18
4、物体运动曲线 s = 3t − t 2，则物体的初速度 是
3
.
5、作直线运动的物体，位移s(m)与时间t(s)的函 作直线运动的物体，位移s(m)与时间t(s)的函 数关系 s = 5t -2t2 (1) 求物体在第5秒和第6秒时的瞬时速度； 求物体在第5秒和第6 (2) 求物体在t时刻的瞬时速度； 求物体在t (3) 求物体t时刻运动的加速度，并判断物体 求物体t 作什么运动？
v= — △t
△S
例1、在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度 在高台跳水运动中， h(单位 单位： 与起跳后的时间t 单位： h(单位：米)与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关 系：h(t)= - 4.9 t2+ 6.5t +10. （2）求运动员在t∈[2，2+△t]内的平均速度； ）求运动员在t [2， t]内的平均速度； v= ————————
（2+△t） -2 2+△ h（ 2+△t ）- h（2） 2+△
= -13.1-4.9△t 13.1-
（m/s） m/s）
思考：当△t→0时， v表示什么？ t→0时 表示什么？ 思考：
--表示在 --表示在 t=2 时刻处的瞬时速度. 时刻处的瞬时速度.
小结 在t时刻处的瞬时速度怎么求？ 1、先求[t，t+△t]段的平均速度； 、先求[t， t]段的平均速度；
课堂检测
1、曲线 A.2 在点（1 y = 2x 在点（1，2）处的瞬时变化率为
2
第二章 质点运动学
第二章 质点运动学运动学的任务是描述随时间的推移物体位置变化(运动)的规律,不涉及物体间相互作用与运动的关系。
§2.1 质点的运动学方程一、质点的位置矢量和运动学方程 要描述某质点在空间的位置，可以在参考系上先建立一个空间直角坐标系xyz o -，从坐标原点向该质点引一条有向线段，用r表示。
1、 位置矢量定义：自参考点（原点o ）引向质点P 所在位置的矢量。
质点位矢在直角坐标系中的表示：k z j y i x r++=ˆˆk j i,ˆ,ˆ分别为沿x 轴，y 轴，z 轴正方向的单位矢量，z y x ,,称为质点的位置坐标，质点的一组位置坐标就对应于一个位置矢量，也就对应质点一空间位置。
位矢的大小： 222z y x r r ++==位矢的方向（用方向余弦表示）：rzr y r x ===γβαcos ,cos ,cos 1cos cos cos 222=++γβα γβα,,分别为位矢与x 轴，y 轴，z 轴正方向的夹角。
2、质点的运动学方程由于质点的运动的不同时刻，位矢不同，则有：)(t r r= 即为质点的运动学方程，它给出了任意时刻质点的位置。
方程在直角坐标系中的正交分解式：k t z j t y i t x t r)()()()(++=质点运动学方程的标量形式为： )(),(),(t z z t y y t x x === 3、质点的运动轨迹质点运动时位矢端点描出的曲线，称质点运动轨迹。
由运动学方程消去t 得： 0),,(=z y x f[例] 一质点的运动学方程为：j t r i t R rsin cos +=，求其轨迹。
解：由已知，tR y t R x sin cos == ，则轨迹方程：222R y x =+，圆心在原点。
二、质点的位移和路程1、位移：描述质点在一定时间间隔内位置变动的物理量，用r∆表示。
)()(t r t t r r-∆+=∆位移在直角坐标中的正交分解式： k t z j t y i t x t r t t r r)()()()()(∆+∆+∆=-∆+=∆注意：质点的位移是矢量，其大小 12r r r r -=∆≠∆2、路程：描述质点在一定时间间隔内在其轨迹上经过路径的长度，用l ∆表示。
《力学》教学大纲
《力学》课程教学大纲一、课程基本信息英文名称 Mechanics 课程代码 PHYS1001课程性质 大类基础课程 授课对象 物理学学 分 4学分 学 时 72学时主讲教师 修订日期 2021年9月指定教材 张汉壮. 力学（第四版）高等教育出版社, 2019.二、课程目标（一）总体目标：通过力学课程的学习，使学生能够系统的掌握力学的基础知识，掌握力学基础的研究方法；在获取知识的同时，对简化模型的选取、量纲分析、数量级估计与定量计算的能力、提出问题和分析问题的能力、理论联系实际的能力等都应有所提高和发展。
适当的为物理学的前沿打开窗口，开阔学生的眼界、启迪并激发学生的探索和创新精神，更深层次地提升其科学素质。
（二）课程目标：课程目标1：使学生理解物理学的思想和研究问题的方法，培养其独立思考问题的能力和创新能力；使学生理解力与运动之间的关系，掌握力学的基本概念，基本定律和基本原理，能较为灵活地加以运用；为学生后继专业基础课程，例如光学、电磁学、理论力学等课程的学习及进一步获取有关知识奠定必要的物理基础。
课程目标2：系统的掌握力学的基础知识和研究方法，获取知识的同时，对简化模型的选取、量纲分析、数量级估计与定量计算的能力、提出问题和分析问题的能力、理论联系实际的能力等都应有所提高和发展，并进一步根据实际的物理运动过程构建模型，解决实际问题，综合提高学生的科学素养。
课程目标3：回顾力学发展史，了解一门学科发展过程中科学家所做贡献和其展现的科学精神；介绍物理学的前沿知识，适当引入新中国在工程建设、航天航空等方面取得的一系列成就，开阔学生的眼界、启迪并激发学生的探索和创新精神，更深层次地提升其科学素质的同时培养学生的爱国情怀。
使学生了解人类文明发展的现状是人才素质培养的一个重要方面。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系表1：课程目标与课程内容、毕业要求的对应关系表课程目标对应课程内容对应毕业要求（及对应关系说明）课程目标1 第O章 绪论第一章 质点运动学第二章 惯性系下质点动力学第三章 非惯性系下质点动力学第四章 动量定理与动量守恒定律第五章 功能原理与机械能守恒定律第六章 角动量定理与角动量守恒定律第七章 刚体第八章 流体第九章 振动第十章 波动2-2 掌握物理知识和物理方法，能应用物理知识和方法描述自然现象和规律2-3 掌握物理学理论知识，能解释或理解自然现象和自然规律，具有初步解决科学问题的能力7-1 能够运用各类搜索工具搜索网络信息和文献资料能规范撰写物理相关领域或课题进展调研报告系统掌握力学的基础知识，掌握力学基础的研究方法。
3.求瞬时速度和加速度
1一、求瞬时速度求解依据：做匀变速直线运动的物体，一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。
表达式：v v t =2平均速度的两种表达形式 t xv = 20t v v v +=求中间点的瞬时速度 t xv t =2例如 OBOB A t x v = 求端点的瞬时速度（以O 点为例） （1）先求A v 和B v ，然后根据 2BO A v v v +=求出A v （2）先求A v 和加速度a ，OA A O at v v -=相比两种解法，第一种简单。
二、求加速度依据：做匀变速直线运动的物体，在相邻相等时间间隔内的位移差为恒量。
表达式 2a T x =∆ 逐差法求加速度4段 21132T a x x =- 22242T a x x =- 221a a a +=6段 21143T a x x =- 22253T a x x =- 23363T a x x =- 3321a a a a ++=1.偶数段逐差法求加速度例 如图所示，某同学在做“研究匀变速直线运动”实验中，由打点计时器得到表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时间间隔为T =0.10s ，其中x 1=7.05cm 、x 2=7.68cm 、x 3=8.33cm 、x 4=8.95cm 、x 5=9.61cm 、x 6=10.26cm ，则A 点处瞬时速度的大小是_______m/s ，小车运动的加速度计算表达式为________________，加速度的大小是_______m/s 2（计算结果保留两位有效数字）。
2.奇数段变偶数段逐差法求加速度（01年全国）一打点计时器固定在斜面上某处，一小车拖着穿过打点计时器的纸带从斜面上滑下，如图所示．打出的纸带的一段如图所示．已知打点计时器使用的交流电频率为50H Z ，利用纸带图给出的数据可求出小车下滑的加速度a = ． 4.00m/s 2 （3.90～4.10 m/s 2）23.已知不相邻的两段相等时间内的位移求加速度一条残缺的纸带如图所示，打点计时器所用交流电频率为50 Hz 。
大学物理1.2 质点的位移、速度和加速度
vxi v y j vzk
vx
dx dt
vy
dy dt
速度的大小为 v
v2 x
v
2 y
v
2 z
速度的方向用方向余弦表示为
vz
dz dt
( dx )2 ( dy )2 ( dz )2 dt dt dt
cos α vx , cos β vy , cos γ vz
v
v
v
讨论 v v 吗？
周期内质点位移的大小 r 2R ，位矢大小的增量为
r R R 0
二、 速度Байду номын сангаас
1. 平均速度
v
r (t
t)
r (t)
r
t
t
2. 瞬时速度
r
(1) 匀速直线运动
瞬时速度
v
=
_
v
Δr
t
(2)变速曲线运动
瞬时速度
v lim
r
dr
t0 t dt
瞬时速度 = 平均速度
v2
Δ r2 t2
v v(t t) v(t) v v(t t) v(t)
a v b
c
v(t) v(t t)
在Ob上截取 oc oa
有
v cb
O
vvvtn
ac ac cb
cb
vn vt
速度方向变化 速度大小变化
1.3.a3加dd速2tr2度
d2 dt 2
(xi
yj
zk )
d2x d2y d2z
r1 xAi yA j r2 xBi yB j 位移 r r2 r1
y
yB A r
r y A 1
r2
高一第一学期物理-2-平均速度、瞬时速度和加速度
辅导讲义加速度的方向同我们规定的正方向相同，也和初速度的方向相同。
分析方法二：△v 与a 同向，与v 0方向相同。
物体在做加速直线运动时，加速度的方向与初速度的方向相同3. 减速运动分析方法一：速度是矢量，我们规定汽车的初始方向为正方向，经过2s 后，那么△v=﹣3m/s,a=﹣1.5m/s.加速度为负值，说明加速度的方向同我们规定的正方向相反，也和初速度的方向相反。
分析方法二：△v 与a 同向，与v 0方向相反。
物体在做减速直线运动时，加速度的方向与初速度的方向相反结论：在直线运动的过程中，物体加速运动时，物体的加速度的方向与初速度相同，物体减速运动时，物体加速度的方向与初速度的方向相反。
【课堂练习】一、平均速度与瞬时速度1、某次列车20:00准点从Ａ站发车,至次日18:00到达Ｂ站，行程1150Km 。
该列车在Ａ.Ｂ站间行驶的平均速度约为 Km/h 。
2、物体先以11m/s 的速度行驶了10s,再以5m/s 的速度行驶了2s,那么该物体在全程中的平均速度是 。
3、某物体在一条直线上运动,它在前10s 中通过的路程是15m,在接下去的第二个10s 钟通过的路程是17m,那么,物体在第一个10s 钟内的平均速度为 ,在第二个10s 钟内的平均速度为 ,它在前20s 钟的平均速度为 。
4、某物体运动速度为4m/s,最有可能属于下列哪个物体的平均速度( )A.飞机B.火车C.小汽车D.跑步的人5、两辆汽车同时从甲地开出沿同一公路驶往乙地,4h 后,两车同时开到相距100Km 的乙地,则下列说法中错误的是v ∆ 0v t vv ∆5m/s 0v 2m/st v( )Ａ.在这4h 中两车的平均速度相等 Ｂ.在这100Km 路程上两车的平均速度相等Ｃ.前60Km 路程上两车平均速度可能相等也可能不等Ｄ.在前2h 内两车的平均速度一定相等6、下列关于平均速度的说法正确的是( )A.平均速度是反映物体位置变化的物理量B.平均速度只能大体上反映物体运动的快慢程度C.平均速度可以精确地反映物体在某一位置的快慢程度D.平均速度可以精确的反映物体在某一时刻的快慢程度7、运动员百米赛跑时,起跑的速度为8m/s,中途的速度是9m/s,最后冲刺的速度是10m/s,如果他的成绩是12.5s, 则他跑完全程的平均速度是( )A.9.67m/sB.12m/sC.8m/sD.9m/s8、用刻度尺和表可测出小车从斜面滚下的平均速度。
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v
vb(t t)
①说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或
哪一段位移中的平均加速度.
②一般 v与v方向不同.
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第二章 质点运动学
2. 瞬时加速度（简称加速度）
定义
a
lim v
dv
t 0 dt
dt
d dt
( dr) dt
d 2 r dt 2
a是矢量, 一般a与v方向不同.
v
r4
dt
dr
Q
Q
r3
r2
Q
r1
P
瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.
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第二章 质点运动学
在直角坐标系中的分解式
v
vxi
vy
j
vzk
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
v | v|
v
2 x
v
2 y
v
2 z
cos v
vx v
cos
v
vy v
cos
v
第二章 质点运动学
§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
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第二章 质点运动学
§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度
定义
v
r
t
__ v
是
矢
量,
方 向 与r相 同
大小为
[解]
(1)
v
dr
15 j
10tk
(单位m/s , s)
z
v( )
dt
大小 v v 152 (10t )2
225 100t 2
v(0)
y
O
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第二章 质点运动学
方向 cos vx 0 0
vv
cos v y 15
vv
cos vz 10t
vv
t =0时, v 15 m/s cos 0,cos 1,cos 0
dt t0 t
d ( 102 (15t)2 (5t)2 dt
t =0 时, v =0
t =1 s时, v 550 m/s 16 m/s
250
5
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第二章 质点运动学
§2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
1.平均加速度
定义
a
v
t
方 向 同v
注意:
vb(t t)
va (t)
r
10i
15tj
5t
2
k
(单位m,s)
求质点的加速度矢量.
[解]
a
dv dt
d
2
r
dt 2 10k
a =10 m/s2
方向沿 z 轴.
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t =1s时, v 5 13 m/s
cos 0,cos 3 0.832,cos 2 0.555
13
13
(2)
v
r1 r0
(10i 15 j 5k ) (10i )
t1 t0
10
15 j 5k (m/s)
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第二章 质点运动学
(3) v dr lim r
直角坐标中
a
dv x dt
i
dv
y
dt
j
dvt
dt
k
d2x d2 y dt 2 i dt 2
d2z j dt 2 k
axi ay j azk
a | a|
a
2 x
a
2 y
az2
cos a
ax a
cos
a
ay a
cos
a
az a
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第二章 质点运动学
[例题2]某质点的运动学方程为
__
r
v
t
P
r(t)
r
Q
r(t
t )
O
平均速率 v s 0 s为路程 t
v不能反映位移变化相对于时间的不均匀性.
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第二章 质点运动学
2. 瞬时速度(简称速度)
定义
v
lim
v
lim
r
dr
t 0
t0 t dt
v是 矢 量 ，
方向：质点运动路径的切向. Q
大小：v
v
dr
vz v
瞬时速率(简称速率)
v lim t 0
r t
lim s ds t0 t dt
s是 路 程
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第二章 质点运动学
[例题1]某r 质点10的i运 1动5t学j 方5t程2k为 (单位m,s)
求:（1）t = 0,1s时质点的速度矢量; （2）t =0到t =1s质点的平均速度; （3）t =0,t =1s时的瞬时速率.