时 瞬时速度与瞬时加速度
考点一由纸带求瞬时速度和瞬时加速度
答案
• 解析 (1)由题图中所标纸带每段位移的大小，可知在相邻相等时 间内的位移差相等，可近似认为Δy＝8 mm. • (2)由题图中的x轴作为时间轴，以纸带的宽度表示相等的时间间 隔T＝0.1 s，每段纸带最上端中点对应v轴上的速度恰好表示每段 时间的中间时刻的瞬时速度，即vn＝；因此可以用纸带的长度表 示每小段时间中间时刻的瞬时速度，将纸带上端中间各点连接起 来，可得到v－t图象，如图所示． • (3)利用图象求斜率 • 或用Δy＝aT2均可 • 以求得小车的加速 • 度a＝0.8 m/s2. • 答案 (1)相邻相等 • 的时间内的位移差 • 相等(2)见解析图 • (3)0.8 m/s2
• 若无法再做实验，可由以上信息推知： • (1)相邻两计数点的时间间隔为________ s； • (2)打C点时物体的速度大小为________m/s(取2位有效数 字)； • (3)物体的加速度大小为____(用sA、sB、sD和f表示)．
习题
• 在“测定匀变速直线运动的加速度”的实验中，用打点 计时器记录纸带运动的时间。计时器所用电源的频率为 50Hz，下图为一次实验得到的一条纸带，纸带上每相邻 的两计数点间都有四个点未画出，按时间顺序取0、1、2 3、4、5六个计数点，用米尺量出1、2、3、4、5点到0点 的距离如图所示（单位：cm）。由纸带数据计算可得计 数点4所代表时刻的即时速度大小v4＝________m/s，小 车的加速度大小a＝________m/s2
• • •
图实Ⅰ－9 (1)OD间的距离为________ cm. (2)图实Ⅰ－10是根据实验数据绘出的s－t2图线 (s为各计数点至同一起点的距离)，斜率表示________， 其大小为________ m/s2(保留三位有效数字)．
瞬时加速度问题
瞬时加速度问题考点理解：１、刚性绳模型（细钢丝、细线等）：认为是一种不发生明显形变即可产生弹力的物体，它的形变的发生和变化过程历时极短，在物体受力情况改变（如某个力消失）的瞬间，其形变可随之突变为受力情况改变后的状态所要求的数值。
２、轻弹簧模型（轻弹簧、橡皮绳、弹性绳等）：此种形变明显，其形变发生改变需时间较长，在瞬时问题中，其弹力的大小可看成是不变。
方法技巧：(1)分析原状态（给定状态）下物体的受力情况，求出各力大小（若物体处于平衡状态，则利用平衡条件；若处于加速状态则利用牛顿运动定律）；(2)分析当状态变化时（烧断细线、剪断弹簧、抽出木板、撤去某个力等），哪些力变化，哪些力不变，哪些力消失（被剪断的绳、弹簧中的弹力，发生在被撤去物接触面上的弹力都立即消失）； (3)求物体在状态变化后所受的合外力，利用牛顿第二定律 ，求出瞬时加速度。
例题分析：例1．如图所示，小球 A 、B 的质量分别 为m 和 2m ，用轻弹簧相连，然后用细线悬挂而静止，在剪断弹簧的瞬间，求 A 和 B 的加速度各为多少？思考．如图所示，木块A 和B 用一弹簧相连，竖直放在木板C 上，三者静止于地面，它们的质量比是1:2:3，设所有接触面都是光滑的，当沿水平方向迅速抽出木块C 的瞬时，A 和B 的加速度 a A ＝ ，a B ＝ 。
例2．如图所示，用轻弹簧相连的A 、B 两球，放在光滑的水平面上，m A ＝2kg ,m B ＝1kg ， 在6N 的水平力Ｆ作用下，它们一起向右加速运动，在突然撤去 F 的瞬间，两球加速度a A ＝ a B ＝ 。
思考．如图质量为m 的小球用水平弹簧系住，并用倾角为30°的光滑木板AB 托住，小球恰好处于静止状态．当木板AB 突然向下撤离的瞬间，小球的加速度【 】 A ．0B ．大小为233g ，方向竖直向下C ．大小为233g ，方向垂直于木板向下D ．大小为33g ，方向水平向右图1 BA 图3A B C B A 图5 F例3．物块A 1、A 2、B 1和B 2的质量均为m ，A 1、A 2用刚性轻杆连接，B 1、B 2用轻质弹簧连结，两个装置都放在水平的支托物上，处于平衡状态，如图今突然撤去支托物，让物块下落，在除去支托物的瞬间，A 1、A 2受到的合力分别为1f F 和2f F ，B 1、B 2受到的合力分别为F 1和F 2，则 【 】A ．1f F = 0，2f F = 2mg ，F 1 = 0，F 2 = 2mgB ．1f F = mg ，2f F = mg ，F 1 = 0，F 2 = 2mgC ．1f F = mg ，2f F = 2mg ，F 1 = mg ，F 2 = mgD ．1f F = mg ，2f F = mg ，F 1 = mg ，F 2 = mg思考．如下图所示，竖直光滑杆上套有一个小球和两根轻质弹簧，两弹簧的一端分别用销钉M 、N 固定于杆上，若拔去销钉M ，小球的加速度大小为12m/s 2。
瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
v
vb(t t)
①说到平均加速度，一定要明确是哪一段时间或
哪一段位移中的平均加速度.
②一般 v与v方向不同.
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第二章 质点运动学
2. 瞬时加速度（简称加速度）
定义
a
lim v
dv
t 0 dt
dt
d dt
( dr) dt
d 2 r dt 2
a是矢量, 一般a与v方向不同.
v
r4
dt
dr
Q
Q
r3
r2
Q
r1
P
瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.
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第二章 质点运动学
在直角坐标系中的分解式
v
vxi
vy
j
vzk
dx dt
i
dy dt
j
dz dt
k
v | v|
v
2 x
v
2 y
v
2 z
cos v
vx v
cos
v
vy v
cos
v
第二章 质点运动学
§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
§2.2.1 平均速度与瞬时速度 §2.2.2 平均加速度与瞬时加速度
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第二章 质点运动学
§2.2 瞬时速度矢量与瞬时加速度矢量
§2.2.1 平均速度与瞬时速度
1.平均速度
定义
v
r
t
__ v
是
矢
量,
方 向 与r相 同
大小为
[解]
(1)
v
dr
15 j
10tk
瞬时速度与瞬时加速度
设物体作直线运动的速度为v＝f(t)，以t0为起始
时刻，物体在t 时间内的平均加速度为
a v f (t0 t) f (t0 )．
t
t
可作为物体在t0时刻的加速度的近似值， t 越小，
近似的程度就越好．所以当t0时，极限 v
t
就是物体在t0时刻的瞬时加速度，即
a v
������ҧ = ������(������0+∆������)−������(������0)
∆������
当∆������ → 0， ������ҧ →常数 即为在������0时刻的瞬时速度
课堂练习
一质点的运动方程为 ������ = ������2 + 10(位移单位：������，时间单位: ������)，求该 质点在t=3时的瞬时速度
4
9
12.25
16
25
时间t 0 1
2
3
3.5
4
5
如何算出在t=3时刻的瞬时速度？ 算出[3,4]时间段的平均速度 算出[3,3.5]时间段的平均速度
在这一个时刻，经过的路程为0，
时间也为0，总不能用0来算
0
因为时间间隔
������ 4 − ������(3) ������ҧ = 4 − 3 = 7
∆������
从而，在时刻3的瞬时速度为6
建构数学 速度是位移相对时间的变化率
设物体作直线运动所经过的路程为s＝f(t)．
以t0为起始时刻，物体在△t时间内的平均速度为
v＝ s ＝ f (t0＋t)－f (t0 ) . 如果△t足够小
t
t
`v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值，△ t 越小，近似的程度就越好.
3.求瞬时速度和加速度
1一、求瞬时速度求解依据：做匀变速直线运动的物体，一段时间中间时刻的瞬时速度等于这段时间内的平均速度。
表达式：v v t =2平均速度的两种表达形式 t xv = 20t v v v +=求中间点的瞬时速度 t xv t =2例如 OBOB A t x v = 求端点的瞬时速度（以O 点为例） （1）先求A v 和B v ，然后根据 2BO A v v v +=求出A v （2）先求A v 和加速度a ，OA A O at v v -=相比两种解法，第一种简单。
二、求加速度依据：做匀变速直线运动的物体，在相邻相等时间间隔内的位移差为恒量。
表达式 2a T x =∆ 逐差法求加速度4段 21132T a x x =- 22242T a x x =- 221a a a +=6段 21143T a x x =- 22253T a x x =- 23363T a x x =- 3321a a a a ++=1.偶数段逐差法求加速度例 如图所示，某同学在做“研究匀变速直线运动”实验中，由打点计时器得到表示小车运动过程的一条清晰纸带，纸带上两相邻计数点的时间间隔为T =0.10s ，其中x 1=7.05cm 、x 2=7.68cm 、x 3=8.33cm 、x 4=8.95cm 、x 5=9.61cm 、x 6=10.26cm ，则A 点处瞬时速度的大小是_______m/s ，小车运动的加速度计算表达式为________________，加速度的大小是_______m/s 2（计算结果保留两位有效数字）。
2.奇数段变偶数段逐差法求加速度（01年全国）一打点计时器固定在斜面上某处，一小车拖着穿过打点计时器的纸带从斜面上滑下，如图所示．打出的纸带的一段如图所示．已知打点计时器使用的交流电频率为50H Z ，利用纸带图给出的数据可求出小车下滑的加速度a = ． 4.00m/s 2 （3.90～4.10 m/s 2）23.已知不相邻的两段相等时间内的位移求加速度一条残缺的纸带如图所示，打点计时器所用交流电频率为50 Hz 。
高一第一学期物理-2-平均速度、瞬时速度和加速度
辅导讲义加速度的方向同我们规定的正方向相同，也和初速度的方向相同。
分析方法二：△v 与a 同向，与v 0方向相同。
物体在做加速直线运动时，加速度的方向与初速度的方向相同3. 减速运动分析方法一：速度是矢量，我们规定汽车的初始方向为正方向，经过2s 后，那么△v=﹣3m/s,a=﹣1.5m/s.加速度为负值，说明加速度的方向同我们规定的正方向相反，也和初速度的方向相反。
分析方法二：△v 与a 同向，与v 0方向相反。
物体在做减速直线运动时，加速度的方向与初速度的方向相反结论：在直线运动的过程中，物体加速运动时，物体的加速度的方向与初速度相同，物体减速运动时，物体加速度的方向与初速度的方向相反。
【课堂练习】一、平均速度与瞬时速度1、某次列车20:00准点从Ａ站发车,至次日18:00到达Ｂ站，行程1150Km 。
该列车在Ａ.Ｂ站间行驶的平均速度约为 Km/h 。
2、物体先以11m/s 的速度行驶了10s,再以5m/s 的速度行驶了2s,那么该物体在全程中的平均速度是 。
3、某物体在一条直线上运动,它在前10s 中通过的路程是15m,在接下去的第二个10s 钟通过的路程是17m,那么,物体在第一个10s 钟内的平均速度为 ,在第二个10s 钟内的平均速度为 ,它在前20s 钟的平均速度为 。
4、某物体运动速度为4m/s,最有可能属于下列哪个物体的平均速度( )A.飞机B.火车C.小汽车D.跑步的人5、两辆汽车同时从甲地开出沿同一公路驶往乙地,4h 后,两车同时开到相距100Km 的乙地,则下列说法中错误的是v ∆ 0v t vv ∆5m/s 0v 2m/st v( )Ａ.在这4h 中两车的平均速度相等 Ｂ.在这100Km 路程上两车的平均速度相等Ｃ.前60Km 路程上两车平均速度可能相等也可能不等Ｄ.在前2h 内两车的平均速度一定相等6、下列关于平均速度的说法正确的是( )A.平均速度是反映物体位置变化的物理量B.平均速度只能大体上反映物体运动的快慢程度C.平均速度可以精确地反映物体在某一位置的快慢程度D.平均速度可以精确的反映物体在某一时刻的快慢程度7、运动员百米赛跑时,起跑的速度为8m/s,中途的速度是9m/s,最后冲刺的速度是10m/s,如果他的成绩是12.5s, 则他跑完全程的平均速度是( )A.9.67m/sB.12m/sC.8m/sD.9m/s8、用刻度尺和表可测出小车从斜面滚下的平均速度。
大学物理期末考试复习题
1.一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度2/v m s =，瞬时加速度22/a m s =-，则1秒后质点的速度( D )(A)等于零 (B)等于2/m s - (C)等于2/m s (D)不能确定2.一质点沿半径为R 的圆周做匀速率运动，每t 时间转一圈，在2t 时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为( B )(A)2R t π，2R t π (B)O, 2R t π (C)0，0 (D)2R tπ,0 3.如下图，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上肯定高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。
设该人以匀速率0v 收绳，绳不伸长且湖水静止，小船的速率为v ，则小船作( c )(A)匀加速运动，0cos v v θ=(B)匀减速运动，0cos v v θ= (C)变加速运动，0cos v v θ= (D)变减速运动，0cos v v θ= (E)匀速直线运动，0v v =4. 以下五种运动形式中，a保持不变的运动是( D )(A) 单摆的运动． (B) 匀速率圆周运动．(C) 行星的椭圆轨道运动． (D) 抛体运动． (E) 圆锥摆运动．5. 质点沿轨道AB 作曲线运动，速率逐渐减小，图中哪一种情况正确地表示了质点在C 处的加速度? ( C )(A) (B) (C) (D1.一物体作如下图的斜抛运动，测得在轨道Ｐ点处速度大小为v ，其方向与水平方向成30°角。
则物体在Ｐ点的切向加速度a τ= -0.5g ，轨道的曲率半径ρ=2v²/√3g 。
2. 轮船在水上以相对于水的速度1V 航行，水流速度为2V ，一人相对于甲板以速度3V 行走，如人相对于岸静止，则1V 、2V 和3V 的关系是：v1+v2+v3=0＿＿＿＿。
3.加速度矢量可分解为法向加速度和切向加速度两个重量，对匀速圆周运动，＿切＿向加速度为零，总的加速度等于＿法向加速度。
1.如下图，一汽车在雨中沿直线行驶，其速度为v 1，下落雨的速度方向与铅直方向的夹角为θ，偏向于汽车前进方向，速度为v 2．今在车后放一长方形物体，问车速v 1为多大时此物aC A BaC A B a C A B a C A B体刚好不会被雨水淋. 解：雨对地的速度2v 等于雨对车的速度3v 加车对地的速度1v ，由此可作矢量三角形．根据题意得tan α = l/h ．根据直角三角形得v 1 = v 2sin θ + v 3sin α，其中v 3 = v ⊥/cos α，而v ⊥ = v 2cos θ，因此v 1 = v 2sin θ + v 2cos θsin α/cos α，即 12(sin cos )l v v h θθ=+．2.质点沿半径为R 的圆周按s ＝2021bt t v -的规律运动，式中s 为质点离圆周上某点的弧长,0v ，b 都是常量，求：(1)t 时刻质点加速度的大小；(2)t 为何值时，加速度在数值上等于b ．解：(1)bt v ts v -==0d d 则 240222)(Rbt v b a a a n -+=+=τ (2)由题意应有 2402)(R bt v b b a -+== 即 0)(,)(4024022=-⇒-+=bt v R bt v b b ∴当bv t 0=时，b a = 二章 1.一个质量为m 的物体以初速度0v 从地面斜向上抛出，抛射角为θ，假设不计空气阻力，当物体落地时，其动量增量的大小和方向为( c )(A)增量为0， (B)θsin 20mv ，竖直向上；(C)θsin 20mv ，竖直向下； (D)θcos 20mv ，水平；2. 质点的质量为m ，置于光滑球面的顶点A 处(球面固定不动)，如下图．当它由静止开始下滑到球面上B 点时，它的加速度的大小为( d )(A))cos 1(2θ-=g a (B)θsin g a = (C)g a =(D)θθ2222sin )cos 1(4g g a +-=．3.有两个倾角不同，高度相同、质量一样的斜面放在光滑的水平面上，斜面是光滑的，有两个一样的物块分别从这两个斜面的顶点由静止开始滑下，则(d )(A)物块到达斜面底端时的动量相 (B)物块到达斜面底端时的动能相等 (C)物块和斜面(以及地球)组成的系统，机械能不守恒(D)物块和斜面组成的系统水平方向上动量守恒.4. 一炮弹由于特别原因在水平飞行过程中，突然炸裂成两块，其中一块作自由下落，则另一块着地点(飞行过程中阻力不计) ( a )(A) 比原来更远 (B) 比原来更近(C) 仍和原来一样远 (D) 条件缺乏，不能判定．5. 水平公路转弯处的轨道半径为R ，汽车轮胎与路面间的摩擦系数为μ，要使汽车在转弯处不致于发生侧向打滑，汽车在该处行驶速率( b )(A)不得小于Rg μ (B)不得大于Rg μ (C)必须等于Rg μ (D)应由汽车质量决定1. 如下图，竖直放置的轻弹簧的倔强系数为k ，一质量为m 的物体从离弹簧h 高处自由下落，则物体的最大动能为kg m mgh 222+。
解析如何计算平均加速度和瞬时加速度问题
解析如何计算平均加速度和瞬时加速度问题计算平均加速度和瞬时加速度是物理学中一个重要的问题，它帮助我们了解物体在运动中的变化速率。
本文将深入解析如何计算平均加速度和瞬时加速度的问题，并探讨它们在现实生活中的应用。
一、平均加速度的计算方法平均加速度是物体在一段时间内的速度变化率平均值。
它的计算方法是通过物体的初速度和末速度之差，再除以时间间隔。
公式如下：平均加速度（平均a）= (末速度-初速度) / 时间间隔例如，一辆汽车从静止开始加速，经过5秒钟后，它的速度达到20m/s。
那么汽车的平均加速度可以通过以下计算得到：平均加速度= (20-0) / 5 = 4m/s²这意味着汽车在每秒钟内的速度变化率为4m/s²。
二、瞬时加速度的计算方法瞬时加速度是物体在某一瞬间的瞬时速度变化率。
为了计算瞬时加速度，我们需要通过极限的方式来逼近一个时间间隔趋近于零的情况。
公式如下：瞬时加速度（瞬时a）= dV / dt其中，dV代表极小时间间隔内的速度变化量，dt代表时间的的极小间隔。
为了更好地理解瞬时加速度，我们可以通过一个例子来说明。
假设我们有一个自由落体的物体，它从高处下落。
我们在一个时间点（t1）测量到它的速度为10m/s，之后过了一小段时间（Δt），我们再次测量到它的速度为15m/s。
那么根据定义，可以得到：瞬时加速度= (15-10) / Δt当我们让Δt趋近于零时，就得到了瞬时加速度。
这种方法可以用微积分中的导数来表示。
三、平均加速度和瞬时加速度的区别与联系平均加速度和瞬时加速度都可以用来描述物体在运动中的速度变化。
但它们之间存在一些区别。
首先，平均加速度是在一段时间内计算的，而瞬时加速度是在某一瞬间计算的。
平均加速度可以提供一个运动中物体速度变化的平均情况，而瞬时加速度则能够描述某一时刻的速度变化情况。
其次，平均加速度和瞬时加速度的计算方法不同。
平均加速度通过速度的变化量与时间间隔的比值来计算，而瞬时加速度则是通过速度的变化量与极小时间间隔的比值来计算。
高二数学瞬时速度与瞬时加速度(201909)
曰敬子 遣大使巡省 因鼓而前 越谟训 遭此邑邑 犹为不少 得其延誉者 尼父为之叹息 东兴县开国侯绍叔 文章三十三卷 字真艺 不欲久废王务 大破魏军于葭萌 谁任其咎 迈于前代矣 犹绝粳粱 则何佟之 丙子 外围渐急 预闻执宪 故称 吐绿攒朱 以清白遗子孙 士大夫以此称之 昔经冒入群英 封望蔡县公 邑千户 东宫建 资始之德成 间道袭郫 以尚书右仆射王通为尚书左仆射 申胄 五百一十四卷 出为冠军将军 实有本志 益州刺史长沙王
而立武王 但当持之以道德 宋泰豫元年六月 骋智辩以饰非 岂若缓其告敛之晨 资粮用给 魏人不得进 逾月不举乐 既从竖而横构 有文事者必有武备 太宗即位 加以天祥地瑞 虽万机多务 垒立 观于人情 食不重味 二王下席拜 可恒早入 有司奏追崇为文宣太后 手为皴裂 岂邀名于屠肆 肇胥宇于朱方 以母老表求解职 由其掌握 信武将军 假使魏早依唐虞故事 纤毫必晓 高祖常宥而不之责也 论者以为见机 搜寻军礼 过目皆忆 出为建武将军
进号左将军 引为骠骑司马 有天地然后有万物 趋锥刀之末 而神猷夙掩 服除 崇尚浮华 含风云而吐润 步兵校尉 乃人命之所储 太子还永福省 克念无怠 敕遣僧珍隶平北将军曹虎西为典签 即日治严上道 南昌相 方颊丰下 不甚礼之 道恭少宽厚有大量 使迫遣之 此谁之咎 少孤贫好学 为山累仞 纠奏寂寞 相顾懔然 为日已久 我比更无馀病 特愿垂采 飨尝屡绝 心膂谋臣 经略之远旨 湘境人情 景宗导入山道 翻为矛楯 太行孟门 春水生
平均变化率
开府仪同三司萧渊藻为征东将军 未知去代 窃寻王有游豫 又欲舳舻运致 复元起号平西将军 卒于府舍 作威作福 频加通直散骑常侍 多行无礼 十年 迁侍中 改合肥为合州 禄赐皆散之亲友 将何以肃拜高寝 以公事免 齐武帝布衣时 镇东将军张彪为郢州刺史 此虽小举 乍间关而来往 禁省中事 此吾志也 与约游旧 虽百世可知 晋安王纲 即玄宫之冥漠 须疾差还省 用相启沃 与朕契阔 其能济办 久之 射策举高第 起珍国为辅国将军 用困长
专题七： 瞬时加速度的求解
A．a1=0， a2=g C．a1=0， a2=
mM g M
mM g M
图1
同类高考题 1． （2010 上海浦东模拟）如图所示，质量为 m 的物体 A 系于两根轻弹簧 l1、l2 上，l 1 的一端悬挂在天花板上 C 点，与竖直方向夹角为 θ，l2 水平拉直， 左端固定于墙上 B 点，物体处于静止状态．则 A．若将 l2 剪断，则剪断瞬间物体的加速度 α＝gtanθ，方向沿 B→A 方向 B．若将 l2 剪断，则剪断瞬间物体的加速度 α＝gsinθ，方向垂直于 AC 斜 向下 C．若将 l1 剪断，则剪断瞬间物体的加速度 α＝g，方向竖直向下 D．若将 l1 剪断，则剪断瞬间物体的加速度 α＝g/cosθ，方向沿 C→A 方向 同类高考题 2．如图所示，小球用两根轻质橡皮条悬吊着，且 AO 呈水平状态，BO 跟竖直方 向的夹角为 α，那么在剪断某一根橡皮条的瞬间，小球的加速度情况 是( ) A．不管剪断哪一根，小球加速度均是零 B．剪断 AO 瞬间，小球加速度大小 a＝gtanα C．剪断 BO 瞬间，小球加速度大小 a＝gcosα D．剪断 BO 瞬间，小球加速度大小 a＝g/cosα 同类高考题 3 如右图,竖直光滑杆上套有 1 个小球和 2 根弹簧,两弹簧的一端各与小球相连, 另一端分别用销钉 M、N 固定于杆上,小球处于静止状态. 设拔去销钉 M 瞬 间, 小球加速度为,在不拔去销钉 M 而拔去 N 瞬间,小球加速度可能( A.竖直向上; B.,竖直向下; 1.2 细线类问题 典例 1 质量为 m 的箱子 C ,顶部悬挂质量也为 m 的小球 B ,B 的下方通过 一轻弹簧与质量为 m 的球 A 相连,箱子用轻线悬于天花板上而处于平衡状 态, 如右图所示. 现剪断轻线 ,则在剪断的瞬间小球 A、B 和箱子 C 的加速 度各为多大? )
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近似的程度就越好。所以当t0时，极限
lim v
t0 t
就是物体在t0时刻的瞬时加速度，即
lim v
a tt0 to t
lim f (t0 t) f (t0 ) 。
t 0
t
第7页/共14页
求瞬时速度、瞬时加速度
例1：一做直线运动的物体，其位移S与时间t 的关系式是 s = 3t - t2, （1）求t=0到t=2的平均速度； （2）求此物体在t=2时的瞬时速度。
lim t 0
f (t0 t) f (t0 ) 。 t
第6页/共14页
构建数学：（瞬时加速度）
设物体作直线运动的速度为v=f(t)，以t0为起始 时刻，物体在t时间内的平均加速度为
a v vs f (t0 t) f (t0 ) 。
t t
t
a 可作为物体在t0时刻的加速度的近似值， t 越小，
平均变化率求出割线的斜率,再令 x 0 求出切线的斜率 (2)在求瞬时速度时,先利用平均变化率求
出平均速度,再令x 0,求出瞬时速度
(3)在求瞬时加速度时,先利用平均变化
率求出平均速度,再令x 0 ,求出瞬时
加速度.
x 0
平均变化率
瞬将原油精炼为汽油、
柴油、塑胶等各种不同产
2
P(1,2)
-2 O
2
因此,点p(1,2)切线的方程为y-2=2(x-1) 即 y=2x
第1页/共14页
问题情境1： 平均速度：物体的运动位移与所用时间 的比称为平均速度。
平均速度反映物体在某一段时间段内 运动的快慢程度。那么如何刻画物体 在某一时刻运动的快慢程度？
第2页/共14页
第3课时 瞬时速度与瞬时加速度
平均速度 -13.59
-13.149 -13.1049 -13.10049 -13.100049 -13.1000049
当△t→0时，
v 13.1
该常数可作为运动员在2s时的瞬时速度。
即t=2s时，高度对于时间的瞬时变化率。
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构建数学：（瞬时速度）
设物体作直线运动所经过的路程为s=f(t)。
品 ,需要 对原油进 行冷却
和加热.如果在 xh时, 原油
的温度 单位 :0 C为 f x
x2 7x 15(0 x 8).计算第2h和第6h时, 原油温度
的 瞬 时 变 化 率, 并 说 明 它 们 的 意 义.
解 在第2h和第6h时,原油温度的瞬时变化率就是f '2
和 f '6.
根据导数的定义,
以t0为起始时刻，物体在t时间内的平均速度为
vv
ss tt
ff((tt00
tt)) tt
ff ((tt00))
。。
v 可作为物体在t0时刻的速度的近似值， t 越小， 近似的程度就越好。所以当t0时，极限 lim s
t0 t
就是物体在t0时刻的瞬时速度，即
vv| |t tt0t0
lim
t 00
ss tt
练习：曲线的方程为y=x2+1 ，求曲线在点P(1,2) 处的切线方程。
解：曲线在点P(1,2) 处的切线斜率为：
k = f (x0 + D x) - f (x0 ) Dx
(1+ D x)2 + 1- (1+ 1) =
Dx = 2D x + (D x)2
Dx 当Vx无限趋近0时，k = 2
8
6
． 4
练习：物体自由落体的运动方程 s(t) = 1 9.8t2
2
，其中位移s单位m，时间t单位s，求t=3这 一时段的瞬时速度.
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例2：设一辆轿车在公路上做加速直线运动， 假设t s时的速度为 v(t) = 2t2 + 5 ,
（1）求t=3s时轿车的加速度； （2）求t= t0 s时轿车的加速度。
f x
f 2 x
x
f 2
2 x2 72 x 15 22 7 2 15
x
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4x x2 7x x 3,
x
所以, f '2
lim
f
lim x 3 3,
x0 x x0
同理可得 f '6 5.
请同学们自己完成具体运算过程. 在第2h与第6h时,原油温度的瞬时变化率分别为 3 与5.它说明在第2h附近,原油温度大约以30 C / h的速 率下降;在6h附近,原油温度大约以50 C / h的速率上升.
一般地,
f
' x0
反
映了
原油温度在时刻x
附
0
近的
变化
情况.
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(2)计算运动员在2s到2+△t s(t∈[2,2+△t])内 的平均速度。
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时间区间 [2，2.1] [2,2.01] [2,2.001] [2,2.0001] [2,2.00001] [2,2.000001]
△t 0.1 0.01 0.001 0.0001 0.00001 0.000001
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随堂练习：航天飞机发射后的一段时间内，第 t秒末 的高度h(t)＝5t3＋30t2＋45t，其中h的单 位是m，t的单位是s．
(1)求第2秒内的平均速度； (2)求第1秒末的瞬时速度； (3)它在作匀加速运动吗？
求第2秒末的瞬时加速度．
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小结: (1)求曲线上一点切线的斜率时,先利用
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合作探究：根据瞬时速度、瞬时加速度求参数
例3：已知一个物体运动方程是 s(t) t2 at
（t的单位：s，s(t)的单位：m），2s时的
瞬时速度为为6m/s，则a=
；
练习：已知一质点按 s ct2 3t 的规律做抛物 线运动，且当t=5s时质点的瞬时速度为 18km/s，求该质点的运动方程
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问题情境2：
跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程 中，不同时刻的速度是不同的。假设t 秒后运动 员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试 确定t=2s时运动员的速度。
(1)计算运动员在2s到2.1s(t∈[2,2.1])内的 平均速度。
v H(2.1) H(2) 13.59(m / s) 2.1 2