第二章 波函数与薛定谔方程
量子力学教程-周世勋-第二章波函数
在上式中令 a=0，然后再将 x 改为 x − a 得：
δ [( x − a) 2 ] =
δ ( x − a)
x−a
（2.2-20）
（8） ln x 的微商
m iπ ⎧ ⎪ln x e = ln x m iπ x < 0 ln x = ⎨ x>0 ⎪ ⎩ln x
所以得：
d ln x 1 = ± iπδ ( x) dx x
ε → 0+
lim
1 1 = ± iπδ ( x) ，或 x m iε x 1 1 1 lim ( − ) 者说 iπ ε →0+ x m iε x
⎧0 x < 0 ⎪ ⎪1 x x=0 ∫ −∞ δ ( x ')dx ' = h( x) = ⎨ ⎪2 ⎪1 x > 0 ⎩
H(x)称为亥维赛（heaviside）单元函数。显然有：
（2.2-14）
dh( x) = δ ( x) dx
（6）根据（2.2-6）式可得：
（2.2-15）
f ( x) = ∫ ∞ −∞ f ( a )δ ( x − a ) da f (a) = ∫ ∞ −∞ f ( x )δ ( x − a ) dx
+ε = ∫a a −ε f ( a )δ [( x − a )( a − b)]dx + ∫
b +ε
b −ε
f (b)δ [(b − a)( x − b)]dx
=
∞ f ( x) f (a) f (b) + =∫ [δ ( x − a ) + δ ( x − b)]dx −∞ a − b a −b a −b
值得注意的是，不同体系的态的叠加是没有意义的。例如，在双狭缝衍射中，如果封闭其中的 一个狭缝，则可得到两个单狭缝体系，这两个单狭缝体系以及双狭缝体系都是不同的体系，所以双 狭缝衍射中的可能态不能视为两个单狭缝衍射可能态的叠加。
第二章 波函数
2.1 微观态的波函数描述及其统计诠 释 2.2 态叠加原理 2.3 薛定谔方程 2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律 2.5 定态薛定谔方程
1
经典粒子的物理描述
• 1、参照系 (坐标系)
• 2、坐标
r
• 3、速度（动量） v or (p)
• 4、加速度
a
• 5、宏观实践中结果很好
c11 2 c12 2 c1c212 c1c212
14
如果波函数ψ1(r, t)，ψ2(r,t), …都是描述系统的可能的量子态， 那么它的线性叠加
c11 c2 2 ... cn n cn n
n
也是这个体系的一个可能的量子态， c1，c2, …一般也是复数。
二、平面波的叠加
一个以确定动量p运动的状态可以用下列波函数表示
2 2 2 2
x2 y2 z2
18
利用自由粒子 得：
E p2
2
和上面方程（1）、（2）
i 2 2
t 2
二、能量和动量算符
E i t
p i
i j k x y z
r
er
1 r e1r sine
2 2 2 2 x2 y2 z2
E hv
p k
例题： 求下面氢原子的1s电子的波函数的归一化系数
1s (r, ,) 1s (r) er /a
12
解 根据归一化的定义，我们有
1s 2 d 3r 1s 2 dxdydz 4 r 2 (er / a ) er / adr
0
4 r e2 2r /adr a3
0
归一化的波函数为 ~1s
7
（3）电子 的双缝衍射
设入射电子 流很微弱， 几乎是一个 一个地通过 双缝。图中 的照片是在 不同时间下 拍的。
第二章波函数和薛定谔方程(量子力学周世勋)PPT课件
The wave function and Schrödinger Equation
1
学习内容
➢ 2.1 波函数的统计解释 The Wave function and its statistic explanation
➢ 2.2 态叠加原理
The principle of su续4）
（2）粒子由波组成
电子是波包。把电子波看成是电子的某种实际结构， 是三维空间中连续分布的某种物质波包。因此呈现 出干涉和衍射等波动现象。波包的大小即电子的大 小，波包的群速度即电子的运动速度。
什么是波包？波包是各种波数（长）平面波的迭 加。平面波描写自由粒子，其特点是充满整个空间， 这是因为平面波振幅与位置无关。如果粒子由波组 成，那么自由粒子将充满整个空间，这是没有意义 的，与实验事实相矛盾。
经典概念 中粒子意
味着
1.有一定质量、电荷等“颗粒性”的属性;
2．有确定的运动轨道，每一时刻有一定 位置和速度。
经典概 念中波 意味着
1.实在的物理量的空间分布作周期性的 变化;
2．干涉、衍射现象，即相干叠加性。 7
§2.1 波函数的统计解释（续6）
▲ 玻恩的解释： 我们再看一下电子的衍射实验
P
P
12
§2.1 波函数的统计解释（续10）
3．波函数的归一化
令
(r,t)C (r,t)
相对t 几时率刻是，：在空C间(r任1,t意) 两2 点r 1 (和r1,rt2)处2找到粒子的 C(r2,t) (r2,t)
波函数
2.通过对实验的分析,理解态叠加原理。
3.掌握微观粒子运动的动力学方程
波函
数随时间演化的规律
第二章波函数和薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程本章重点1. 微粒的状态由波函数完全描写（正确理解ψ的意义和性质）.2. 状态随时间的变化遵从薛定谔方程（掌握，会用）.3. 几个应用例子，说明了量子力学处理问题的方法和结果的特征（逐步理解）.§2.1波函数的统计解释引入：在经典力学中，用坐标和动量描述质点的运动状态。
在量子力学中，我们也要找到描述微观粒子的量，由于量子力学与经典力学根本不同，在量子力学中，微观粒子既要描述粒子性又要描述其波动性。
那么这一章我们首先来找用什么量来描述微观粒子。
重点: 微粒的状态由波函数完全描写 难点: 波函数ψ的意义和性质的理解 一、状态的描述1. 经典力学中质点的状态由)(,v p r描写 经典力学中用)(,v p r两基本量来描写质点的状态。
〈1〉每个时刻t 该二量都有完全确定的数值，且随t 变化；在任一时刻，我们都能测到质点确定的动量和坐标，并且他们是连续变化的。
〈2〉质点的其它力学量，如L E r V E k，总),(,等全是p r ,的函数—p r,决定体系的一切性质。
〈3〉质点状态的变化（运动）遵从牛顿定律：F dtrd m =22，当F 已知时，如果初始时刻)(,000v p r已知，则积分得：00)(v dt m F t v t+=⎰ ， 00)(p dt F t p t +=⎰ ， 00)()(r dt t v t r t+=⎰,即任何时刻的)(),(t p t r完全确定.〈4〉)(t r描写质点运动的轨道。
2.微粒的状态由波函数),(t rψ来完全描写<1> 微粒除了粒子性，还有波动性，这就决定了它不可能同时具有确定的r 和p,自由粒子由平面单色波描写，（)(Et r p i Ae-⋅=ψ，以后我们会看到）这时p 有确定值，而r完全不确定。
微粒无同时确定的p r,，也就不可能有确定的轨道。
<2> 为了描写粒子的状态，量子力学中用一个反映其波粒二象性的波函数),(t rψ来描写。
量子力学 第二章 波函数和薛定谔方程
x px
t E J
二.量子力学中的测量过程 1.海森伯观察实验 2.测量过程 被测对象和仪器，测量过程即相互作用过程，其影响 不可控制和预测。
三.一对共轭量不可能同时具有确定的值是微观粒 子具有波动性的必然结果。
并不是测量方法或测量技术的缺陷。而是在本质上 它们就不可能同时具有确定的值
i p
p2 2
对自由粒子：
2 E p
2
∴
2 i 2 t 2
3.力场中运动粒子的波动方程 能量关系：
E p2 U (r , t ) 2
2 i 2 U (r , t ) t 2
4.三个算符
2 H 2 U 2
1。与宏观粒子运动不同。
2。电子位置不确定。
3。几率正比于强度，即 ( r , t )
2
结论：
波函数的统计解释：波函数在空间某一点的 强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒 子的几率成正比。
2 数学表达： (r , t ) | (r , t ) |
归一化：
2 (r , t )d | (r , t ) | d 1
3 2 i ( pr Et )
e
(r ) p
1 (2)
3 2
e
i pr
(r , t )
( r ) dp dp dp x y z c( p, t ) p
其中：
而：
i Et c( p, t ) c( p) e
而在晶体表面反射后的晶电子状态
状态的迭加。
p
为各种值的
第二章波函数和薛定谔方程
2
2
C(r1 , t ) (r1 , t )
C(r2 , t )
(r2 , t )
可见，Ψ (r , t ) 和 CΨ (r , t ) 描述的是同一几率波， 所以波函数有一常数因子不定性。 由于粒子在全空间出现的几率等于一，所以粒子在空间各点出现的几率 只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取决于强度的绝对大 小，因而，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子状态不变，即
（2）3/ 2
exp[
p•
r]
则 Ψ可按Фp 展开
1
i
(r , t)
c(
p,
t )
p
Байду номын сангаас(r
)dp
(2)3/ 2
c( p, t)exp[ p • r ]dpxdpydpz
展开系数
c( p, t)
p
(r
)(r
,
t
)dr
1
（2）3/ 2
(r , t)exp[
i
p • r ]dxdydz
描写，而必须用较复杂的波描写，一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的 波函数，它通常 是一个复函数。
• 3个问题？
(1) 是怎样描述粒子的状态呢？ (2) 如何体现波粒二象性的？
(3) 描写的是什么样的波呢？
P
P
电子源
O
感
Q光
屏
O Q
（1）两种错误的看法 1. 波由粒子组成
如水波，声波，由分子密度疏密变化而形成的一种分布。
由于粒子在空间总要出现（不讨论粒子产生和湮灭情况）， 所以在全空间找到粒子的几率应为一，即：
C∫∞ |Ψ (r , t)|2 dτ= 1, 从而得常数 C 之值为：
2波函数和薛定谔方程
第二章
波函数和薛定谔方程
三、波函数的归一化
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率之和等于1，因而粒子在空间各点 出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而 不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一 个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
(r , t ) 与 C (r , t ) 表示同一个态。
2
概率密度
dW ( x, y, z, t ) 2 ( x, y , z , t ) C ( x, y , z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
2
波函数和薛定谔方程
C ( x, y, z, t ) d 1
归一化
C
1
( x, y, z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
波函数和薛定谔方程
自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，
而必须用较复杂的波来描写。一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的波函数，它 通常是一个复函数。
c1 1 c2 2 cn n
cn n
n
§2.2 态迭加原理
第二章
波函数和薛定谔方程
二、波函数按平面波展开
以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数
p (r , t ) Ae
i ( pr Et )
描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为
波函数为
i (r , t ) A exp ( p r Et )
自主学习01 教材内容 第二章 波函数与薛定谔方程
自主学习01 教材内容第二章波函数与薛定谔方程知识框架重点难点第一节第二节第三节第四节第五节第六节第七节第八节本章习题本章自测知识框架重点难点1.认识微观粒子的运动用一个波函数来描述（量子力学的第一个基本假定）和粒子的可观测力学量之间的关系；明确波函数的意义。
2.理解量子力学的两个基本原理（测不准原理和态迭加原理）的内容，并明确它们从不同侧面反映了微观粒子波动性的本质。
s3.明确微观粒子运动所满足的基本方程是薛定谔方程，其求解在定态问题中简化为定态薛定谔方程。
4.领会一维定态的求解方法以及一维定态的基本性质。
5.领会束缚态、一维散射态、波函数的连续性条件、反射系数、透射系数、完全透射、势垒贯穿、共振6.简明应用：定态薛定谔方程的求解、无限深方势阱、势、线性谐振子[本章教学难点]明确微观粒子运动所满足的基本方程是薛定谔方程，其求解在定态问题中简化为定态薛定谔方程。
掌握定态问题的求解方法，一维定态问题的一般性质。
2.1薛定谔方程的引进[本节要求]掌握一维势箱中粒子的薛定谔方程的求解方法及部分物理量的计算 [重点难点]1． 薛定谔方程的建立 2． 薛定谔方程的求解的过程 3． 物理量的计算 [本节内容]在经典力学中, 力学体系在t 时刻的状态由其坐标r 和相应的动量p 或速度v 决定, 其运动状态随时间的变化规律遵从牛顿运动方程. 如果我们知道力学体系的初始状态, 即可从牛顿方程求出体系在任一时刻的运动状态. 而微观粒子的量子态用波函数),(t r ψ描述,一旦),(t rψ确定,粒子的任何一个力学量的平均值以及它取各种可能测值的几率都完全确定, 那么量子态),(t rψ怎样随时间演化以及在各种具体情况下如何求出波函数呢? 薛定谔（E.Schrodinger,1926）提出的波动方程成功地解决了这个问题.下面从一个最简单的途径来引进这个方程.先讨论自由粒子情况.自由粒子能量与动量之间的关系是m p E 22=(1)由德布罗意关系,粒子的能量E 和动量p与跟粒子运动相联系的波的角频率ω和波矢k 之间有k p E==ω(2)也就是说,与具有一定能量E 和动量p 的粒子相联系的是平面单色波()()()()()Et r p i tr k i p ee t r -⋅-⋅==2/32/32121,ππψω (3)由此式可得ψψE t i =∂∂,ψψp i =∇-,ψψ222p =∇- (4)利用式(1),可以得出0)2()2(222=-=∇+∂∂ψψm p E m t i(5)对自由粒子的一般状态,波函数具有波包的形式,即许多平面单色波的叠加p d e p t r Et r p i 3)(23)()2(1),(-⋅⎰∞-∞+=ϕπψ (6)其中m p E 22=.可证 p d Ee p t i Et r p i 3)(23)()2(1-⋅⎰∞-∞+=∂∂ϕπψp d e p p Et r p i 3)(22322)()2(1-⋅⎰∞-∞+=∇-ϕπψ所以0)2)(()2(1)2(3)(22322=-∞-∞+=∇+∂∂-⋅⎰p d e m p E p m t i Et r p iϕπψ可见ψ仍满足方程(5) .所以式(5) 是自由粒子情况下波函数满足的方程.值得注意的是,如在经典能量动量关系(1)中作替换∇-=→∂∂→i p p ti E ˆ (7) 然后作用于波函数,就可得方程(5).其次考虑在势场)(r V中运动的粒子,按经典粒子的能量关系式 ()r V m p E+=22 (8)对上式作替换(7),并作用于波函数上,即得薛定谔方程),(ˆ),()(2),(22t r H t r r V m t r t i ψψψ≡⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=∂∂ (9)应该强调,薛定谔方程是量子力学最基本的方程,其地位与牛顿方程在经典力学中的地位相当,但这个方程是量子力学的一个基本假定,并不能从什么更根本的假定来证明它,其正确性,归根到底只能靠实践来检验. 另一方面, 薛定谔方程只含对时间的一阶导数, 为何可以描述波动过程呢? 在经典力学中, 波动方程022=∇-u a u tt 有周期性的解, 而热传导方程022=∇-u a u t 则描述不可逆过程, 没有周期性的解. 实际上,()t r k A u ω-⋅=cos 或()t r k A ω-⋅sin 都不满足热传导方程, 这是因为(以余弦函数为例)()()()πωωπωωωω+-⋅=-⋅-=∇⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⋅=-⋅=∂∂=t r k A k t r k A k u t r k A t r k A t u u tcos cos 23cos sin 222 (10)这样t u 使相位增加23π,u 2∇使相位增加π,可见周期函数不可能满足热传导方程. 薛定谔方程虽然只含对时间的一阶导数, 但在t ∂∂ψ前面出现2πi e i =,正好使两者相位一致, 因而有周期性的解, 而且薛定谔方程中i 因子的出现, 使得波函数一般是复函数. 关于薛定谔方程的两点讨论: 1.定域的几率守恒对薛定谔方程(9)取复共轭,并注意到V V =*,得*)2(22ψψV m t i +∇-=∂∂-* (11))11()9(⨯-⨯*ψψ,得*)*(2*)*(2)*(2222ψψψψψψψψψψ∇-∇⋅∇-=∇-∇-=∂∂m mt i (12)令),(),(*t r t rψψρ= (13)*)ˆˆ*(21*)*(2ψψψψψψψψp pm m i j -=∇-∇-= (14)则式(12) 化为0=⋅∇+∂∂j t ρ(15)在空间闭区域V 中对上式积分,并根据高斯（Gauss ）定理,得⎰⎰⋅-=S V s d j x d dt d 3ρ (16)上式左边代表在闭区域V 中找到粒子的总几率（或粒子数）在单位时间内的增加,而右边代表单位时间内通过封闭曲面S 而流入V 的几率（或粒子数）.所以j具有几率流密度的意义.在式(16)中,让∞→V（全空间）.对任何实际的波函数,是满足平方可积条件的,即∞→r 时,()εψ+-∝23r （0>ε）.可证明,式(16)右边面积分趋于零.所以),(32=∞-∞+⎰x d t r dt d ψ从此式可见=∞-∞+⎰x d t r 32),( ψ常数 (与时间无关) (17)这与预期的一样,在全空间找到粒子的几率的总和应不随时间改变.波函数的归一化不随时间而改变.若在初始时刻波函数是归一化的,则在以后任何时刻都是归一化的.2.定态与能量本征值方程讨论一种常见而且极重要的情形,即势场V(r)不显含t.此时,薛定谔方程存在下列形式的解)()(),(t f r t rψψ= (18)代入薛定谔方程,分离变数后,得E r r V m r dt df t f i =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-=)()(2)(1)(122 ψψE 是既不依赖于t,也不依赖于r的常数,这样E i t f dt d -=)(ln所以iEt e t f -~)(.因此,得到形如下式的特解Etie r t r -=)(),(ψψ (19)其中)(rψ满足下列方程 ())()()(2ˆ22r E r r V m r H ψψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∇-≡ (20)此式称为不含时间的薛定谔方程.形如(19)的波函数描述一个简谐振动,它的角频率是E =ω,按德布罗意关系,E 就是体系处于这个波函数所描述的状态时的能量.如果粒子初始时刻(t=0) 处于某一能量本征态()()r r Eψψ=0,,其中()r E ψ满足方程(20),若()r V 或Hˆ不显含时间t,容易验证()()()iEt r t r E -=exp ,ψψ满足含时薛定谔方程(9) ,并与初始时刻一样,()t r ,ψ也满足不含时薛定谔方程(20).也就是说,体系处于形如式(19)所描述的状态时,能量具有确定值.我们把这种具有确定能量值的状态称为定态,方程(20) 称为定态薛定谔方程.容易证明,粒子处于定态时,粒子在空间的几率密度()rρ、几率流密度()r j及任何不显含时间t 的力学量的平均值都不随时间而改变.数学上,把一个算符F ˆ作用于一个函数上而得到一个常数f 乘以该函数的方程,称为f 或算符F ˆ的本征方程,常数f 称为算符F ˆ的本征值.因此,定态薛定谔方程也称为能量或哈密顿算符H ˆ的本征值方程.设ψn 是体系哈密顿算符H ˆ的属于本征值E n 的本征函数,则体系的定态波函数为()()t iE n n ne r t r -=ψψ, (21)它也是含时薛定谔方程(9) 的特解,而含时薛定谔方程(9) 的一般解可表示为()()()t iE n n nn n n ne r c t r c t r -∑∑==ψψψ,, (22)它是若干定态波函数的叠加,按态叠加原理,当体系处于()t r , ψ态时,发现粒子处于()t r n ,ψ的几率为2nc .既然体系处于()t r ,ψ态时,其能量可以取各种不同的值,所以波函数(22) 不是定态波函数.在这种态下,粒子的几率密度()rρ和几率流密度()r j 都要随时间改变.除守恒量外,任何不显含时间t 的力学量的平均值也要随时间改变. 思考题1. 设()()()r c r c r E E 21210,ψ+ψ=ψ,问()0,r ψ是否为定态, 为什么? 求()t r , ψ. 答: ()0,r ψ不是定态.()()()t E iE t E iE e r c e r c t r 221121, ψ+ψ=ψ-.2. 计算r e ikr =ψ1和e ikr-=ψ2相应的几率流密度, 并由所得结果说明这两个波函数描述的是怎样传播的波.答:re r v mr k j 221==, 描述向外传播的球面波; r e r v j22-=, 描述向内传播的球面波.3. 粒子在一维势场中运动, 若所处的外场均匀但与时间有关, 即()()t V t x V =,,试用分离变量法求解一维薛定谔方程.答:()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+λ-μλ±⎰=ψt ds s V t i x ieAe t x 02,, 其中A 和λ为常数, 由归一化条件和初始条件确定.2.2 波函数的统计诠释[本节要求]认识微观粒子的运动用一个波函数来描述（量子力学的第一个基本假定）和粒子的可观测力学量之间的关系；波函数的平方给出了位置的测量结果；明确波函数的意义。
第二章 波函数和 薛定谔方程 (2)
*
非相对论考虑 自由粒子： 势函数 U 0
2 px 2mE
2 1 2 px E Ek mv x 2 2m
代入
d ( x) p x 2 ( x) 2 dx
2 2
*
得 即
d 2 ( x) 2mE 2 ( x) 0 2 dx
一维自由粒子的振幅方程
IN
电子到达该处概率大 电子到达该处概率小 电子到达该处概率为零 各电子起点、终点、路径 均不确定
用 | |2 对屏上电子数分布
各光子起点、终点、路 径均不确定 用I对屏上光子数分布作 概率性描述
作概率性描述
一般 t 时刻,到达空间 r（x,y,z）处某体积dV内的粒子数 ： dN N | |2 dV
2
二、量子力学的态的迭加原理
1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理： 二列经典波φ1与φ2线性相加，φ=aφ1+bφ2, 相加 后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波 的迭加原理加以说明的。 量子力学的二个态的迭加原理：如果Ψ1 与Ψ2 是体系的可能状态，那么它们的 线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1 、c2是复数） 也是这个体系的一个可能状态。
一维定态薛定谔方程
3. 三维定态薛定谔方程 振幅函数
( x, y, z )
2 2 2 2m 2 2 (E U) 0 2 x y z
拉普拉斯算符
2 2 2 2 2 2 2 x y z
2m ( x, y, z ) 2 ( E U )( x, y, z ) 0
注意 ：
物质波的波函数不描述介质中运动 状态（相位）传播的过程
有意义的不是本身，而是 | |2 ， | |2 : 概率密度，粒子在空间分布的统计规律 : 概率幅 重要的不是 | |2 的大小，而是 | |2 在空间各点的比值， c 和 描述同一概率波函数和 薛定谔方程
第二章 波函数和薛定谔方程
2.波恩（Born）对波函数的统计解释，概率波 2.波恩 Born）对波函数的统计解释， 波恩（ 水波的双狭缝干涉： 水波的双狭缝干涉：
I12 = h1 + h2 = h1 + h2 + (h h + h h )
2 2 2 * 1 2 * 1 2
= I1 + I2 +干涉项
11
子弹点射
•
1 2
ψ ψ
P1
1
2Байду номын сангаас
P
P 2
P= P +P 1 2
12
电子双缝衍射
电子的干涉现象与水波干射完全相似，但与子弹点射 完全不同。与水波干射的含意也有着本质的不同，前 者是强度，后者是接收到的电子多少！
13
电子干涉实验的结论： 电子干涉实验的结论： 大量电子在同一个实验中的统计结果，或者是一个 大量电子在同一个实验中的统计结果， 电子在多次相同实验中的统计结果。 电子在多次相同实验中的统计结果。
8
何为波包？ 何为波包？
波包是各种波数（长）平面波的迭加。波包的频率是 波矢的函数（ ω = ω(k)），我们将频率作泰勒展开
dω 1 d 2ω 2 ω(k) = ω(0) + k+ k +L 2 dk 2! dk dω d 2ω 是波包的群速度； 2 表示 ω(0)是基波，为常数；
波包的扩散；若 扩散。 由于
r Ψ(r , t) 的变化遵从薛定谔方程。 4） 的变化遵从薛定谔方程。
5
二、波函数的统计解释
r 如果粒子处于随时间和位置变化的力场 U(r , t) 中，它 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量）， ），粒子 的动量和能量不再是常量（或不同时为常量），粒子 的状态就不能用平面波描写， 的状态就不能用平面波描写，而必须用较复杂的波描 一般记为： 写，一般记为：
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这种形式与流体力学中的连续性方程相同。 应该强调：这里的几率守恒具有定域的性质。当粒子在 空间某地的几率减小了，必然在另外一些地方的几率增 加了（使总几率不变），并且伴随着有什么东西在流动 来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。 3、波函数必须是薛定谔方程的解，但并非所有解都有 物理意义
E p
2
2m
(1)
m 是粒子质量，按照德布罗意关系，与粒子运动相联系 2 的波的角频率 和波矢 k（ k ），由下式给出
E
，
p k
(2)
或者说，与具有一定能量E和动量 的粒子相联 系的是平面单色波。 (3) i ( k r t ) i ( pr Et ) / (r , t )～ e e 由(3)式可得
• 1、经典波表示 y ( x, t ), E (r , t ), P(r , t ) • 2、量子力学的波函数 (r , t ) 不表示任何具体物
理量 2 3、 (r , t ) 表示在时刻t位置 r 附近单位体积 内发现粒子的几率（probalitily),及t时刻在 r 附近发现粒子的几率密度 4、波函数表示微观体系的量子态（状态、 (r , t ) 态）， (不仅可以告诉我们在 r , t) 位置测量出粒子的几率，还可以描写体系 的各种性质，测量其他物理量的可能值， 及取这些值的几率
3/ 2
3/ 2
i ( pr Et ) / 3 d p ( p)Ee
2 i ( pr Et ) / 3 d p ( p) p e
∴
(i t
2
)
2
1 (2)
3/ 2
2m
2 i ( pr Et ) / 3 d p ( p)( E p / 2m)e
＝0
可见，如果 (r , t )
是波包，仍满足方程(4)，所以
方程(4)是自由粒子波函数满足的方程。 值得注意的是：如果在经典的能量动量关系(1)中，作如 下替换：
E i
t
，
ˆ p p i
(6)
然后作用于波函数上，就可得到方程(4). 中运动的粒子，按照 其次，我们进一步考虑在势场 U (r ) 经典粒子的能量关系式 2 p E U (r ) (7)
W
3.5
3
2
( x, y, z , t ) dxdydz
5、状态迭加——干涉项
一般，为复函数，如1 10e
i1
2
c11 c2 2
1 1 1
2
c c
2 2 1
1
1
2
2
c
1
, 2 20e
d dt
2
3 (r , t ) d r 0
(9)
下面我们就利用薛定谔方程来证明这个结论。 对(8)式取复共轭，（注意到 U U ）得
*
i
*
t
(
*
2
U )
2
*
2m
(10)
由 (8)式 - (10)式，得
i t ( )
(12)
令：
* (r , t ) (r , t ) (r , t )
i * * j (r , t ) ( ) 2m
(13)
1 2m
* ˆ ˆ * ( p p )
(14)
表示几率密度，j 的物理意义见下，于是， )式 (12 可写为
•
ψ( r , t)
它描写当粒子不受外力F (r , t )作用，因而E , P不变的 自由粒子运动。
Ae
i ( pr Et )
2、一般F≠0,在外力场中，势能 V (r , t ),
(r , t )满足薛定谔方程和边界条件称为 波函数
二、波函数的物理意义—统计解释
1 2 2 2
i 2
c2 2
c c 1 c c 2 c c 1 c c 2 c1 1
2
1
1 2
c2 2
2
c1 c2 1 2 c1 c2 1 2
6、态迭加原理的一般形式 当 1 , 2 , n 为体系的可能状态时，他们的 线性迭加 c11 c2 2 cn n cn n n 也是体系的一个可能状态。当体系处于 态时， 体系部分的处于 1 , 2 , n 态之中
§2.3 薛定谔方程
经典力学：已知力 F 及 x0、v0，质点的状态变化由 牛顿运动方程求出
量子力学：微观粒子的运动状态由波函数来描写，状 态随时间的变化遵循着一定的规律 1926年，薛定谔在德布罗意关系和态叠加原理的基 础上，提出了薛定谔方程做为量子力学的又一个基 本假设来描述微观粒子的运动规律。 当微观粒子在某一时刻的状态为已知时，以后时刻 粒子所处的状态也要薛定谔方程来决定。 所要建立的是描写波函数随时间变化的方程，它必 须是波函数应满足的含有对时间微商的微分方程。
2
§2.2 态迭加原理
波粒二象性 波函数的统计解释 态迭加原理 态迭加原理
一、量子力学的基本原理之一
1、实验规律：由于测量时会扰动，微观态各种 可能值以一定几率出现，如
x w 2-2.5 10% 3-3.5 20% 4-4.5 40% 5-5.5 20%
2、测量物理量x及其几率可以由波函数求出 如 t时刻，x (3,3.5)找到粒子的几率W
dx
c
2
0 8 a
2
解得： c
2
c2
2 a
3、任意相因子
一般( x, y, z, t )为复函数，e 与描写
i
同一状态，不影响归一化，e 称为相因子
i
4，自由粒子波函数不可归一化 例：
i ( pr Et ) p (r , t ) Ae
而 p d
E t i p 2 2 2 p
i
利用(1)式，可以得出
(i t
2
) ( E
2
2
p
2
)
2m
2m
即：
2 i (r , t ) (r , t ) t 2m
(4)
注意：方程(4)中 (r , t ) 是一个单色平面波。
(2)、必须满足迭加原理，即方程对于其解而言是线 性的，当1，2各为其解，则 a1 b2也是其解
2、定域的几率守恒 薛定谔方程是非相对论量子力学的基本方程。在非相对 论（低能）情况下，实物粒子（m 0 ）没有产生和湮 湮灭的现象，所以在随时间演化的过程中，粒子数目保 持不变（即粒子数守恒）。 对于一个粒子来说，在全空间中找到它的几率之总和应 不随时间改变，即
*
2
( )
* 2 2 *
2m
2
( )
* *
(11)
2m
在空间闭区域中将上式积分，按高斯定理，等式右边 积分可化为面积分
i
t
d
*
2
其中s 是的表面，如下图
2m
( )ds
* * s
1 2 [ U (r )] (r ) E f (t ) dt (r ) 2m
i df
2
(18)
上式右边E是即不依赖与t，也不依赖与 r 的常数，于是
d dt ln f (t ) iE
(19) (20)
∴
f (t ) ~ e
d dt
d j ds
s
(15)
上式左边代表：在闭区域 中找到粒子的总几率（或粒 子数）在单位时间内的增量。 而右边（注意负号）表示：单位时间内通过 的封闭表
面S而流入内的几率(粒子数)。 所以： j 具有几率流(粒子数)密度的意义，是一个矢量
公式(12)或(15)是几率（粒子数）守恒的积分表示式。而 由(11)式可得其微分表达式： (16) j 0
• 3、为什么会有许多可能值，并以确定几率出现? 源于波的迭加性。回顾经典波的惠更斯原理： 在空间某点p处，t时刻的波的振幅有前一时刻 波上各点传出的光波的相干迭加决定。经典波 的干涉，若 y1为一列波，y 2 为一列波，则 y y1 y2 也是一个可能的波动状态 4、态迭加原理 如果 1 和 2是体系的可能状态，则它们的线性 迭加 1 2 也是这个体系的一个可能状态， 而且当粒子处于 1 和 2 的线性迭加态时，粒 子是既处于 1 态，也处于 2 态
由于几率密度 ( r , t )必须是单值得，有限的，连续的。
2
§2.4
定态薛定谔方程
一、不含时间的薛定谔方程
一般情况下，从初态 (r ,0)去求解末态 (r ,0)是不容 易的。
以下讨论一个极为重要的特殊情况： 假设势能U不显含时间t（经典力学中，在这种势场中的 粒子的机械能是守恒量） 此时，薛定谔方程(8)可以用分离变量法求其解， 令特解为 (17) (r , t ) (r ) f (t ) 代入薛定谔方程中，可得：
第二章 波函数与薛定谔方程
•2.1波函数的统计解释 •2.2 态迭加原理 •2.3 薛定谔方程 •2.4 定态薛定谔方程 •2.5 一维无限深势阱 •2.6 线性谐振子 •2.7 势垒贯穿（隧道效应）
§2.1波函数的统计解释