八年级数学下册(人教版)课件：第18章2.2

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八年级数学下册第18章平行四边形本章整合pptx课件新版新人教版

一
二
一、四边形中的折叠问题
【例1】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8.将矩形ABCD沿CE折
叠后,使点D恰好落在对角线AC上的点F处.
(1)求EF的长;
(2)求梯形ABCE的面积.
解:(1)设EF=x,由折叠可得,DE=EF=x,CF=CD=6.
∵在Rt△ADC中,AC= 62 + 82=10,
(
)
A.2
B.3
C.4
D.5
关闭
B
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.如图,在菱形ABCD中,P是对角线AC上一动点,过点P作PE⊥BC于
点E,PF⊥AB于点F.若菱形ABCD的周长为20,面积为24,则PE+PF的
值为(
)
关闭
连接 BP,如图,
24
A.4
B. 5
∵四边形 ABCD 为菱形,
∴∠MEH=∠DAH=∠EAH=45°,
∴EH=AH,∴△MEH≌△DAH(SAS),
∴∠MHE=∠DHA,MH=DH,
∴∠MHD=∠AHE=90°,△DHM是等腰直角三角形,
∴DM= 2HM,故②正确;
当∠DHC=60°时,∠ADH=60°-45°=15°,
∴∠ADM=45°-15°=30°,
1
∵E是线段AD的中点,∴AE=DE,
∵∠AEF=∠DEB,∴△BDE≌△FAE(AAS).
(2)∵△BDE≌△FAE,∴AF=BD.
∵D是线段BC的中点,∴BD=CD,∴AF=CD.
∵AF∥CD,∴四边形ADCF是平行四边形.

人教版八年级下册数学第18章18.2.2矩形的判定(教案)

2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如“你们认为矩形判定在建筑设计中有哪些应用？”
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
-通过典型例题，如判断某一四边形是否为矩形，引导学生运用判定方法，加深对判定方法的理解和运用。
2.教学难点
-矩形判定方法的应用：学生需要学会在实际问题中灵活运用判定方法，这是学生容易感到困难的地方。
-矩形性质的证明：对于矩形的性质，学生不仅要知其然，还要知其所以然，能够理解和掌握证明过程。
-空间观念的培养：对于一些空间想象能力较弱的学生，如何将矩形性质与实际图形相结合，形成直观的空间观念，是一大挑战。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如使用直角尺和测量工具来验证一个图形是否为矩形。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“矩形判定在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
-矩形的判定方法：掌握矩形的三种判定方法，即对边平行且相等的四边形、有三个直角的四边形、对角线互相平分且相等的四边形，这是本节课的核心知识。
举例解释：
-通过动态几何软件或实物模型，展示矩形在变形过程中保持对边平行且相等的特性，加深学生对矩形定义的理解。
-通过实际测量和计算，让学生验证矩形的性质，如对角线相等，强化学生对性质的记忆和应用。
b.有三个角是直角的四边形是矩形。
c.对角线互相平分且相等的四边形是矩形。

第18章平行四边形典型题型总结课件课件2021—2022学年人教版数学八年级下册

△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，求这个平行四边形
各边的长．
D
C
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
O
∴OB＝OD，AB＝CD，AD＝BC. A
B
∵△AOB的周长比△DOA的周长长5cm，∴AB－AD＝5cm.
又∵ ABCD的周长为60cm，∴AB＋AD＝30cm.
则AB＝CD＝17.5cm,AD＝BC＝12.5cm. 提示：平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于邻边边长之差.
∴∠BAE=∠DCF.
B
FC
又∵AE=CF，
∴ △ABE≌ △CDF.
∴BE=DF.
如图,小明用一根36m长的绳子围成了一个平行四边形的场地，其中一条边AB长为8m，其他三条边各长多少?
A 8m B
D C
解：∵ 四边形ABCD是平行四边形, ∴AB=CD, AD=BC. ∵AB=8m, ∴CD=8m. 又AB+BC+CD+AD=36m, ∴ AD=BC=10m.
=S△AOB+S△COB=1 S
∴S四边形ANMB=S四边形CMND,
2
ABCD
.
即平行四边形ABCD被EF所分的两个四边形面积相等.
把一个平行四边形分成3个三角形，已知两个阴影三角形的面积分别是9cm2和12cm2，求平行四边形的面积．
解：（9+12）×2 =21×2 =42（cm2）
答：平行四边形的面积是42cm2．
∴AB∥ CD , AD∥ BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
十一.利用两组对边分别相等识别平行四边形如图，在Rt△MON中，∠MON＝90°.求证：

人教版八年级数学下册-第18章-平行四边形-章节知识点和常考易错点归纳

平行四边形章节知识梳理一.知识点：1、定义两组对边分别平行的四边形是平行四边形．定义中的“两组对边平行”是它的特征，抓住了这一特征，记忆理解也就不困难了．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．同学们要在理解的基础上熟记定义．2、性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角对称性四个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心；（5）面积：①=底×高=ah；②平行四边形的对角线将四边形分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形4、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：1.平行四边形；2.一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：一组邻边相等的矩形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：1.一组对边平行；2.一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．5．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：1.边：对边平行且相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相平分且相等；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（2）菱形：1.边：四条边都相等；2.角：对角相等、邻角互补；3.对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．（3）正方形：1.边：四条边都相等；2.角：四角相等；3.对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；4.对称性：既是轴对称图形又是中心对称图形．6、几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一个角是直角的菱形；②有一组邻边相等的矩形；③对角线相等的菱形；④对角线互相垂直的矩形．7、几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③说明四边形ABCD的三个角是直角．（2）识别菱形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③说明四边形ABCD 的四条边相等．（3）识别正方形的常用方法①先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．②先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等．④先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角．二、几种特殊四边形的面积问题（1）设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则 S 矩形=ab ．（2）设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则 S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则 S 菱形=2ab。

人教版八年级下册数学专题：第18章勾股定理知识点与常见题型总结

八年级下册第18章.勾股定理知识点与常见题型总结１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方２.勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理常见方法如下：方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA３.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形４.勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =-②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题５.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形６.勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等 ③用含字母的代数式表示n 组勾股数： 221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n 为正整数）７．勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．８.．勾股定理逆定理的应用勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论．９.勾股定理及其逆定理的应用勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体．通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：ABC30°D CB A ADB CCB DA题型一：直接考查勾股定理例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长分析：直接应用勾股定理222a b c += 解：⑴2210AB AC BC =+=⑵228BC AB AC =-=题型二：应用勾股定理建立方程例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解解：⑴224AC AB BC =-=， 2.4AC BCCD AB⋅==DBAC⑵设两直角边的长分别为3k ，4k ∴222(3)(4)15k k +=，3k ∴=，54S =⑶设两直角边分别为a ，b ，则17a b +=，22289a b +=，可得60ab =1302S ab ∴==2cm例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA分析：此题将勾股定理与全等三角形的知识结合起来解：作DE AB ⊥于E ，12∠=∠，90C ∠=︒ ∴ 1.5DE CD == 在BDE ∆中2290,2BED BE BD DE ∠=︒=-=Rt ACD Rt AED ∆≅∆ AC AE ∴=在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒222AB AC BC ∴=+，222()4AE EB AC +=+3AC ∴=例4. （ 2014•安徽省,第8题4分）如图，Rt △ABC 中，AB =9，BC =6，∠B =90°，将△ABC 折叠，使A 点与BC 的中点D 重合，折痕为MN ，则线段BN 的长为（）A ．B ．C ．4 D ． 5考点：翻折变换（折叠问题）．分析：设BN =x ，则由折叠的性质可得DN =AN =9﹣x ，根据中点的定义可得BD =3，在Rt △ABC 中，根据勾股定理可得关于x 的方程，解方程即可求解．解答：解：设BN=x，由折叠的性质可得DN=AN=9﹣x，∵D是BC的中点，∴BD=3，在Rt△ABC中，x2+32=（9﹣x）2，解得x=4．故线段BN的长为4．故选：C．点评：考查了翻折变换（折叠问题），涉及折叠的性质，勾股定理，中点的定义以及方程思想，综合性较强，但是难度不大．例5.已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解析：解题之前先弄清楚折叠中的不变量。

第18章平行四边形(小结与复习)教案-八年级数学下册课件(人教版)

回顾与思考：本章我们主要学习了平行四边形的性质定理、判定定理;探索并证明了三角形的中位线定理，介绍了平行线问距离的概念;通过平行四边形边、角的特殊化，获得了特殊的平行四边形——矩形、菱形和正方形，了解了它们之间的关系;根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的性质定理和判定定理.在学习这些知识的过程中，我们采用了从一般到特殊的研究方法:利用图形的性质定理与判定定理之间的关系，通过证明性质定理的逆命题，得到了图形的判定定理,这些方法在今后的学习中都是很有用的.请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。

1,你能概述一下研究平行四边形的思路和方法吗?2.平行四边形有哪些性质?如何判定一个四边形是平行四边形?3.矩形、菱形、正方形除了具有平行四边形的性质外，分别还具有哪些性质?如何判定一个四边形是矩形、菱形、正方形?你能总结一下研究这些性质和判定的方法吗?4.本章我们利用平行四边形的性质，得出了三角形的中位线定理,你能仿照这一过程，再得出一些其他几何结论吗?本章学习了哪些特殊的四边形？是按照什么顺序学习这些四边形的？请说说这些四边形之间的关系．各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？各种平行四边形的研究中，它们各自的研究内容、研究步骤、研究方法有什么共同点？能列表说明吗？（1）本章研究内容：各种平行四边形的边、角、对角线的特征；（2）研究步骤：下定义→探性质→研判定；（3）研究方法：观察、猜想、证明；建立当前图形（平行四边形）与三角形的联系；从性质定理的逆命题的讨论中研究判定定理；类比、一般到特殊．【课堂探究案】考点讲练考点一平行四边形的性质与判定例1 如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B ＝90°，AG ∥CD 交BC 于点G ，点E 、F 分别为AG 、CD 的中点，连接DE 、FG.(1)求证：四边形DEGF 是平行四边形；(2)如果点G 是BC 的中点，且BC ＝12，CD ＝10，求四边形AGCD 的面积.(1)证明：∵ AG ∥CD ，AD ∥BC∴ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD∵ E 、F 分别为AG 、CD 的中点∴ EG=21AG ，DF=21CD ∴ EG=DF 且EG ∥DF∴ 四边形DEGF 是平行四边形(2)解：∵ 点G 是BC 的中点，BC=12∴ BG=CG=21BC=6 ∵ 四边形AGCD 是平行四边形∴ AG=CD=10在R t △ABG 中，根据勾股定理2222610-=-=BG AG AB =8∴ S 四边形AGCD =6×8=48例2如图，在□ABCD中，点E在边BC上，点F在边DA的延长线上，且AF＝CE，EF与AB交于点G.(1)求证：AC∥EF；(2)若点G是AB的中点，BE＝6，求边AD的长.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD∥BC∴ AF∥CE又∵ AF=CE∴四边形AFEC是平行四边形∴ AC∥EF(2)解：∵ AD∥BC，∴∠F=∠BEG，∠FAG=∠B∵点G是AB的中点，∴ AG=BG∴△AGF≌△BGE (AAS)∴ AF=BE=6∴ CE=AF=6∴ BC=BE+CE=12∵四边形ABCD是平行四边形∴ AD=BC=12考点二三角形的中位线与R t△斜边上的中线例3如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，AH是边BC上的高.(1)求证：四边形ADEF是平行四边形；(2)求证：∠DHF＝∠DEF.证明：(1)∵点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点∴ DE、EF都是△ABC的中位线∴ DE∥AC，EF∥AB∴四边形ADEF是平行四边形(2)∵四边形ADEF是平行四边形∴∠DEF=∠BAC∵ D，F分别是AB，CA的中点，AH是边BC上的高∴ DH、FH分别是R t△ABH和R t△ACH斜边上的中线∴ DH=AD，FH=AF∴∠DAH=∠DHA，∠FAH=∠FHA∵∠DAH+∠FAH=∠BAC∠DHA+∠FHA=∠DHF∴∠DHF=∠BAC∴∠DHF=∠DEF考点三特殊平行四边形的性质与判定例4如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE∥BD，过点D作DE∥AC，两线相交于点E.(1)求证：四边形AODE是菱形；(2)连接BE，交AC于点F.若BE⊥DE于点E，求∠AOD的度数.(1)证明：∵ AE ∥BD ，DE ∥AC∴ 四边形AODE 是平行四边形∵ 四边形ABCD 是矩形∴ AC=BD ，OA=21AC ，OD=21BD ∴ OA=OD∴ 四边形AODE 是菱形(2)解：连接OE.由(1)得，四边形AODE 是菱形，∴ AE=AO=BO∵ AE ∥BO ，∴ 四边形AEOB 是平行四边形∵ BE ⊥DE ，DE ∥AC ，∴ BE ⊥AO∴ 四边形AEOB 是菱形∴ AE=AB=BO∴ AB=BO=AO∴ △AOB 是等边三角形∴ ∠AOB=60°∴ ∠AOD=180°-60°=120°例5 如图，已知在四边形ABFC 中，∠ACB ＝90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且CF ＝AE.(1)试判断四边形BECF 是什么四边形？并说明理由；(2)当∠A 的大小满足什么条件时，四边形BECF 是正方形？请回答并证明你的结论.解：(1)四边形BECF 是菱形.理由如下：∵ EF 垂直平分BC ，∴ BF=CF ，BE=CE∴ ∠3=∠1∵ ∠ACB=90°，∴ ∠3+∠A=90°，∠1+∠2=90°∴ ∠2=∠A ，∴ CE=AE∴ BE=AE∵ CF=AE∴ BE=CE=CF=BF∴ 四边形BECF 是菱形(2)当∠A=45°时，四边形BECF 是正方形.证明：∵ ∠A=45°，∠ACB=90°∴ ∠CBA=45°∵ 四边形BECF 是菱形∴ ∠EBF=2∠CBA=90°∴ 菱形BECF 是正方形【课堂检测案】一、分类讨论思想例6 在一个平行四边形中，若一个角的平分线把一条边分成长是2cm 和3cm 的两条线段，求该平行四边形的周长是多少.解：如图，∵在平行四边形ABCD 中，AB=CD ，AD=BC ，AD ∥BC ，。

最新人教版数学八年级下册第十八章《平行四边形-数学活：平行四边形中的翻折变换》优质教学课件

解：当AS=AB=10时，AT最长,最长值为10，如图（1）当AS=26时，AT最短,如图（2）设AT=x,则BT=10-x由折叠知：AT=A'T=x在Rt△A'CD中∵A'D=AD=26，CD=10∴A'C=24∴BA'=2在Rt△A'TB中∵x²=(10-x)²+2²∴x=5.2∴5.2≤AT≤10
∴∠ABC=90°.
∴∠3=90°-60°=30°，
∴∠1=∠2=∠3=30°
在图中，你能找出所有30°的角吗？60°的角呢？还有其他度数的角吗？
G
还有120 ° 和150 °的角
利用折纸得到60°、30°、15°的角
【综合与实践】在线上教学中，教师和学生都学习到了新知识，掌握了许多新技能．例如教材八年级下册的数学活动--折纸，就引起了许多同学的兴趣．在经历图形变换的过程中，进一步发展了同学们的空间观念，积累了数学活动经验．实践发现：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；再一次折叠纸片，使点A落在EF上的点N处，并使折痕经过点B，得到折痕BM，把纸片展平，连接AN，如图①．
八年级下册
第18章平行四边形
——数学活动：平行四边形中的翻折变换
学习目标： 1．能折出60°，30°，15°的角，学会应用。 2．通过折叠活动，加深对轴对称、全等三角形、特殊的三角形、四边形等知识的认识； 3．经历折叠、观察、推理、交流、反思等数学活动过程，积累数学活动经验．学习重点：折纸做60°，30°，15°的角，学会应用．
D
6.矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AD=10，CD=6，则BE=____。

18-2-1 矩形(含2个课时)(课件)八年级数学下册同步精品课堂(人教版)

为F.求证：DF=DC.
A
D
证明：连接DE.
∵AD =AE,∴∠AED =∠ADE.
∵四边形ABCD是矩形,
B
∴AD∥BC,∠C=90°.
ห้องสมุดไป่ตู้
F
C
E
∴∠ADE=∠DEC,
∴∠DEC=∠AED.
又∵DF⊥AE,
∴DF=DC.
典型例题
例题3 如图，将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C′ 处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，求△BED的面积．
AB=CD；AD=BC ∠A=∠C；∠B=∠D
对角线互相平分. OA=OC；OB=OD
探究新知
观察平行四边形的变化过程，当它的一个角变为直角时，
会产生什么特殊的图形？
A
D
A
D
B
C
特殊的平行四边形
探究新知
观察平行四边形的变化过程，当它的一个角变为直角时，
会产生什么特殊的图形？
A
D
A
D
B
C
特殊的平行四边形
(1)若AB＝10，AC＝8，求四边形AEDF的周长；
解：∵AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE＝AE＝ 1 AB＝ 1 ×10＝5，
DF＝AF＝
2 1
AC＝
21
×8＝4，
∴四边形AED2F的周长2＝AE＋DE＋DF＋AF＝5＋5＋4＋4＝18 .
典型例题 (2)求证：EF垂直平分AD.
证明：∵DE＝AE，DF＝AF， ∴E、F在线段AD的垂直平分线上， ∴EF垂直平分AD. 归纳：当已知条件含有线段的中点、直角三角形的条件时，可联想直角三角形斜边上的中线的性质进行求解．

人教版八下数学课件第18章18.2.2第1课时菱形的性质

灿若寒星
解：当四边形 EDD′F 为菱形时， △A′DE 是等腰三角形， △A′DE≌△EFC′.理由：∵△BCA 是直角三角形，∠ACB＝90°，AD＝
DB，∴CD＝DA＝DB，∴∠DAC＝∠DCA，∵A′C∥AC，∴∠DA′E＝
∠A ， ∠DEA′ ＝ ∠DCA ， ∴∠DA′E ＝ ∠DEA′ ， ∴DA′ ＝ DE ，
7．如图，AC、BD 是菱形 ABCD 的对角线，那么下列结论一定正确的是( B ) A．△ABD 与△ABC 的周长相等 B．△ABD 与△ABC 的面积相等 C．菱形的周长等于两条对角线之和的两倍 D．菱形的面积等于两条对角线之积的两倍
灿若寒星
8．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAD＝120°，AB＝4.
初中数学课件
灿若寒星*****整理制作
八年级数学(下册)·人教版
第十八章平行四边形
18.2.2 菱形第1课时菱形的性质
灿若寒星
1．定义：四条边相等的四边形叫做菱形．菱形是轴对称图形，它的对称轴是两条对角线所在的直线 . 2．性质：①菱形的四条边相等；②菱形的对角线互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角． 3．菱形的面积等于两对角线长的乘积的一半 .
解：∵四边形 ABCD 为菱形，∴AC⊥BD，OA＝12AC＝8cm，OD＝21BD＝ 6cm.∴AD＝ 62＋82＝10，∴C 菱形＝4AD＝40cm.由 S 菱形＝AB×DE＝12 ×AC×BD，即 10×DE＝12×16×12，∴DE＝9.6cm.
灿若寒星
5．如图，将一张直角三角形 ABC 纸片沿斜边 AB 上的中线 CD 剪开，得到 △ACD，再将△ACD 沿 DB 方向平移到△A′C′D′的位置，若平移开始后点 D′，未到达点 B 时，A′C′交 CD 于 E，D′C′交 CB 于点 F，连接 EF，当四边形 EDD′F 为菱形时，试探究△A′DE 的形状，并判断△A′DE 与△EFC′是否全等？请说明理由．

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A. 3.5 B. 4 C. 7 D. 14
3.如图18－2－21，在菱形ABCD中，P，Q分别是 AD，AC的中点，如果PQ＝3，那么菱形ABCD的周长是( B )
A. 30 B. 24 C. 18 D. 6
新知 2 菱形的判定菱形的判定方法如下： (1)一组邻边相等的平行四边形是菱形； (2)对角线互相垂直的平行四边形是菱形； (3)四条边相等的四边形是菱形； (4)对角线互相垂直平分的四边形是菱形.
第十八章平行四边形
18.2 特殊的平行四边形
18.2.2 ห้องสมุดไป่ตู้ 形
新知 1 菱形的定义和性质 (1)定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. (2)性质：菱形的四条边相等，两条对角线互相
垂直平分，每一条对角线平分一组对角.
例题精讲
【例1】边长为3 cm的菱形的周长是( )
A.6 cm
B.9 cm
(2)设AF＝CF＝x，则BF＝4－x，在Rt△ABF中，根据勾股定理得出方程，解方程即可.
答案 (1)证明 ∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，AD＝BC. ∴∠EAO＝∠FCO.
∵EF是AC的垂直平分线，
∴AO＝CO，∠EOA＝∠FOC＝90°.
△AEO和△CFO中，
∴△AEO≌△CFO(ASA).∴ AE＝CF. ∴四边形AFCE是平行四边形. 又∵AC⊥EF，∴四边形AFCE是菱形. (2)解：∵四边形AFCE是菱形，
新知 3 菱形的面积菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半.
例题精讲【例3】如图18－2－25所示，O为矩形ABCD的对角线交点，过点O作EF⊥AC分别交AD，BC于点F， E，若AB＝2 cm，BC＝4 cm. 求四边形AECF的面积.
解析求四边形AECF的面积，应先确定四边形 AECF的形状，观察图形，可猜测它为菱形，再根据已知条件进行证明.
(1)求证：四边形ADCF是平行四边形； (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是菱形？为什么？
(1)证明：∵点D，E分别是边BC，AC的中点， ∴DE∥AB，BD＝DC. ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形.∴AF＝BD，即AF＝DC，∵AF∥BC， ∴四边形ADCF是平行四边形. (2)当△ABC是直角三角形时，四边形ADCF是菱形. 理由：∵点D是边BC的中点， △ABC是直角三角形，∴AD＝DC. ∴平行四边形ADCF是菱形.
例题精讲【例2】如图18－2－22所示，矩形ABCD中，对角线 AC的垂直平分线交AD，BC于点E，F，AC与EF交于点 O，连接AF、CE. (1)求证：四边形AFCE是菱形； (2)若AB＝3，AD＝4，求菱形AFCE的边长.
解析 (1)由矩形的性质得出AD∥BC，∠EAO＝
∠FCO，证明△AEO≌△CFO，得出AE＝CF，证得四边形AFCE是平行四边形，再由对角线AC⊥EF，即可得出结论；
C.12 cm
D.15 cm
解析利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可. 答案 C
举一反三
1. 如图18－2－19，已知某广场菱形花坛ABCD的周长是24 m，∠BAD＝60°，则花坛对角线AC的长等于 ( A)
2.如图18－2－20，菱形中，对角线AC，BD交于点 O，E为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OE的长等于( A )
∴AB＝CD.∵AB∥CD， ∴四边形ABCD是平行四边形. ∵AC平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAF. ∵∠BAE＝∠DCF，∴∠DAF＝∠DCF. ∴AD＝CD.∴四边形ABCD为菱形.
2.如图18－2－24，在△ABC中，点D，E分别是边 BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于F 点，连接AD，CF.
解：连接EF交AC于点O，如答图18－2－1所示.
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，BC＝10，
∴AC＝ BC＝5，AB＝
∵四边形AECF是菱形，∴AC⊥EF，OA＝OC.
∴OE是△ABC的中位线.∴OE＝ AB＝ .
∴EF＝ .
∴菱形AECF的面积为 AC·EF＝
.
2. 已知：如图18－2－27，在矩形ABCD中，对角线BD 的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BC相交于点N，连接BM，DN.
举一反三 1. 已知，如图18－2－23，在四边形ABCD中， AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE＝CF， DF∥BE，AC平分∠BAD. 求证：四边形ABCD为菱形.
证明：∵AB∥CD，∴∠DCA＝∠BAC. ∵DF∥BE，∴∠DFA＝∠BEC.∴∠AEB＝∠CFD.
在△AEB和△CFD中，A∠ED＝CCFF＝，∠BAE， ∴△AEB≌△CFD(ASA )∠. FCD＝∠EAB，
举一反三 1. 如图18－2－26，已知点E，F分别是边BC，AD上的中点，且∠BAC＝90°. (1)求证：四边形AECF是菱形；
ABCD的
证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC. 在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点E是BC边的中点， ∴AE＝ BC＝CE. 同理，CF＝ AD＝AF， ∴AE＝CE＝AF＝CF. ∴四边形AECF是菱形. (2)若∠B＝30°，BC＝10，求菱形AECF的面积.
∴AF＝CF.
设AF＝CF＝x，则BF＝4－x，在Rt△ABF中，AF2＝AB2＋BF2，
即x2＝32＋(4－x)2，解得 x＝， ∴菱形AFCE的边长为 . 点评本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理、线段垂直平分线的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.
解 ∵ 四边形ABCD为矩形， ∴ OA＝OC，AD∥BC. ∴ ∠FAO＝∠ECO. 又∵ ∠AOF ＝∠COE， ∴ △AOF ≌△COE(ASA). ∴ OE＝OF. ∴ 四边形AECF为平行四边形.
又∵ EF⊥AC， ∴ AECF为菱形. ∴ AE＝EC.
设AE＝x，则CE＝x，BE＝4－x. 在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2，即22＋(4－x)2＝x2，解得x＝2.5，即CE＝2.5 cm， ∴ S菱形AECF＝CE·AB＝2×2.5＝5(cm2).