黎曼积分与勒贝格积分地区别与联系
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分与勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是用来求解函数在某一区间上的定积分，但是它们的定义和性质有着很大的区别。
黎曼积分是一种传统的积分方法，它把定积分的计算问题转化
为一个求和问题，即将区间分成若干小段，然后对每一小段的函数
值乘以对应小段的长度求和来逼近定积分的值。
黎曼积分只适用于
满足黎曼可积条件的函数，也就是说，被积函数必须满足有界且在
有限区间上几乎处处连续。
勒贝格积分则是一种广义积分方法，它是将区间上的函数分解
成上下两个函数，然后利用这两个函数的极限逼近来计算定积分的值。
因为勒贝格积分的定义更加宽松，所以相比较于黎曼积分，它
能够处理诸如反常积分这样的更加复杂的积分问题。
此外，黎曼积分和勒贝格积分的性质也有所不同。
例如，黎曼
积分在加积分区间时是可交换的，而勒贝格积分则不具有这种性质。
此外，勒贝格积分对于不满足黎曼可积条件的函数，也有一定的处
理能力，而黎曼积分则无法计算这些函数的积分。
综上所述，黎曼积分和勒贝格积分都是求解定积分问题的方法，但是它们的定义和性质有很大的不同。
黎曼积分只适用于黎曼可积
的函数，而勒贝格积分则更加广泛适用于各种类型的函数。
黎曼积分与勒贝格积分的区别
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分学中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
在实际应用中，常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。
本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。
1. 定义黎曼积分是由德国数学家黎曼提出的，是微积分中最基本的积分形式。
对于一个函数f(x)，在闭区间[a, b]上的黎曼积分定义为：∫[a, b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ f(xi)Δxi其中，Σ f(xi)Δxi表示对区间[a, b]进行分割，取各子区间上任意一点xi，然后求和得到的黎曼和，当分割数n趋于无穷大时，这个黎曼和的极限就是函数f(x)在区间[a, b]上的黎曼积分。
而勒贝格积分是由法国数学家亨利·勒贝格提出的，是对黎曼积分的一种推广。
勒贝格积分的定义更加一般化，可以处理更广泛的函数类。
勒贝格积分的定义涉及到测度论的概念，需要引入测度空间的概念，因此比黎曼积分更加抽象和复杂。
2. 性质黎曼积分和勒贝格积分在性质上也有一些区别。
黎曼积分对函数的要求相对较高，需要函数在有限闭区间上有界且可积。
而勒贝格积分对函数的要求较低，只需要函数是可测的即可进行勒贝格积分。
此外，黎曼积分是通过分割区间并取极限的方式定义的，因此对分割的精细程度有一定要求，而勒贝格积分则是通过测度的概念来定义的，更加灵活和一般化。
3. 应用在实际应用中，黎曼积分和勒贝格积分各有其优势和适用范围。
黎曼积分在初等数学和物理等领域有着广泛的应用，例如计算曲线下面积、求定积分等。
而勒贝格积分则在测度论和概率论等领域有着重要的应用，能够处理更加复杂的函数和集合。
总的来说，黎曼积分是微积分中最基本的积分形式，适用于一般函数的积分计算；而勒贝格积分是对黎曼积分的推广，更加抽象和一般化，适用范围更广，能够处理更加复杂的函数和集合。
综上所述，黎曼积分和勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在一定的区别，各有其特点和适用范围。
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分的联系与区别
黎曼积分和勒贝格积分都是函数积分的一种。
它们的定义很相似，但在某些意义上有所不同。
首先，黎曼积分是指函数在某一闭区间上的积分，其公式如下：
$$\int _a^ b f(x)dx=\lim_{n\to \infty }\sum_{i=1}^nf
\left(x_i\right)\Delta x_i$$
其中，$a、b$为积分的上下限，$x_i$为每个子区间的位置，$\Delta x_i$为每个子区间的长度。
而勒贝格积分可以看作是黎曼积分的一种特殊情况，其定义如下：
其中，$x_k=a+\frac{k(b-a)}{n}$。
从定义来看，黎曼积分是考虑分割区间的情况，其子区间不一定都相同，而勒贝格积分只考虑等分子区间的情况，所以勒贝格积分只是黎曼积分的特例。
此外，在实际应用中，由于勒贝格积分只考虑子区间的等分情况，进行计算时不需要考虑子区间的长度，即$\Delta x_k$可以直接取1，因此计算量相较于黎曼积分少。
但需要注意的是，如果子区间的宽度稍有不同，勒贝格积分可能会产生较大的误差。
勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别
勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。
首先介绍一下在有界函数范围内，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。
⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。
⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间内对函数进行积分。
⑷缺乏单调收敛。
鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。
1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。
那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。
在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。
首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。
其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。
下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。
关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。
设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。
黎曼积分与勒贝格积分的区别
黎曼积分与勒贝格积分的区别积分是微积分中的一个重要概念，用于描述曲线下面积的大小。
在实际应用中，人们常常会遇到黎曼积分和勒贝格积分这两种不同的积分方式。
本文将从定义、性质和应用等方面对黎曼积分与勒贝格积分进行比较，以便更好地理解它们之间的区别。
1. 定义黎曼积分是通过将区间分割成若干小区间，然后在每个小区间上取样点，计算每个小区间上函数值与区间长度的乘积之和，然后取极限得到的积分。
黎曼积分的定义比较直观，适用于绝大多数函数。
而勒贝格积分则是通过将函数的定义域分解成可测集，然后在每个可测集上定义一个测度，最后将函数值与测度的乘积进行积分。
勒贝格积分的定义更加抽象，适用范围更广，可以处理更多类型的函数。
2. 性质黎曼积分的性质相对简单，满足线性性、可加性、保号性等基本性质。
但是对于某些特殊函数，比如间断函数或者无界函数，黎曼积分可能无法定义。
勒贝格积分的性质更加丰富，不仅满足线性性、可加性等基本性质，还具有单调收敛性、控制收敛性等重要性质。
勒贝格积分可以对几乎所有的可测函数进行积分，包括无界函数和几乎处处不连续的函数。
3. 应用在实际应用中，黎曼积分主要用于初等函数的积分计算，以及一些具有良好性质的函数的积分。
在物理、工程等领域，黎曼积分也有着广泛的应用。
而勒贝格积分则更多地应用于测度论、概率论、泛函分析等数学领域，对于研究函数空间的性质、广义函数的积分等问题有着重要作用。
勒贝格积分的广泛应用使得它成为现代数学中不可或缺的工具之一。
综上所述，黎曼积分与勒贝格积分在定义、性质和应用等方面存在着明显的区别。
黎曼积分更加直观简单，适用于绝大多数函数的积分计算；而勒贝格积分更加抽象丰富，适用范围更广，可以处理更多类型的函数。
在实际应用中，根据具体情况选择合适的积分方式，将有助于更好地解决问题并推动数学理论的发展。
黎曼积分与勒贝格定理
黎曼积分与勒贝格定理积分是高中数学中常见的概念。
但是，高中所学习的积分仅限于定积分和不定积分。
定积分是将函数沿一个区间上的曲线围成的面积作为函数在该区间上的积分值；不定积分是给定函数，求出一个新的函数，它的导数就是原函数。
然而，这两种积分方式都是基于实数集上的，无法处理某些函数在所有实数点处都没有定义的情况。
因此，需要引入黎曼积分和勒贝格定理。
一、黎曼积分黎曼积分的定义是：对于一个有界函数f(x)和定义域[a, b]的区间，将该区间分成n个小区间[a0, b0], [a1, b1], ..., [an-1, bn-1]，其中a=a0<b0<a1<b1<...<bn-1<b=n，将每个小区间分别乘以函数值的平均数，然后将所有小区间的积加起来，以这个和逼近该区间上的积分值。
当小区间数量趋近于无穷时，黎曼积分的定义域就变为实数集，可以处理实数集上的所有有界函数，且黎曼积分是线性的、可加的、对称的。
二、勒贝格定理然而，黎曼积分并不能处理某些非常规函数，如Dirichlet的函数。
为了解决这个问题，勒贝格定理被提出。
勒贝格定理的基本思想是在分割区间上进行划分，使得区间长度越来越小，同时令每个小区间上的函数差异越来越小。
这个过程被称为分割区间的细分。
在勒贝格定理中，将函数的可积性定义为上积分和下积分的差值不超过ε，ε为一个任意小的正数。
上积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最大的点相乘，下积分是将分段小函数的函数值在一个区间上最小的点相乘。
勒贝格定理的唯一缺点是不能计算所有函数的积分值，但它可以保证对于所有可积函数，积分的解是唯一的。
三、黎曼积分和勒贝格定理的联系尽管黎曼积分和勒贝格定理的定义方式不同，但它们有很多相似之处。
首先，它们都可以处理有界函数；其次，都是线性、可加、对称的定理。
黎曼积分和勒贝格定理的区别在于它们如何处理不可数函数。
黎曼积分可以处理初等函数，但无法处理瑕积分。
黎曼积分和勒贝格积分区别和联系毕业论文
§2-1 黎曼积分和勒贝格积分的定义的比较 .......................................................................................4 §2-2 黎曼积分和勒贝格积分的存在条件的比较 ................................................................................7 §2-3 黎曼积分和勒贝格积分的性质的比较 .......................................................................................8 §2-4 黎曼积分函数类与勒贝格积分函数类 ..................................................................................... 11 §2-5 与黎曼积分和勒贝格积分相关的一些定理的比较.................................................................... 11
楚，而且他们遇到 的函数无非 是些简单的初 等函数，到 柯西发表他 的著名的几本 教科书后也 就有了现
时我们所了解的积分理论，现在称这种积分为黎曼积分．其实应该称为柯西积分．
§1-2 黎曼积分和勒贝格积分的引入
柯西积分的对象是连续函数的积分，当然许可 f (x) 在某些点上不连续或无界，即包括了现在所
Riemann积分 Lebesgue积分
从Riemann 积分到Lebesgue 积摘 要 积分是整个分析数学中最基本的概念，黎曼积分与勒贝格积分是两种非常重要的积分，它们之间既有区别又有联系。
本文主要通过对黎曼积分和勒贝格积分定义的分析与比较，归纳总结出二者的区别与联系. 关键词 黎曼积分;勒贝格积分;区别;联系一、Lebesgue 积分的引入1、R 积分的定义 设()f x 是定义在[],a b 上的有界函数，任取区间的一个划分T012n a x x x x b =<<<<=将区间[],a b 分成n 部分，在每个小区间1,i i x x -⎡⎤⎣⎦上任取一点ζi ,i =1,2,3,….作和11(ζ)()ni i i i S f x x -==-∑令11max()i i i nr x x -≤≤=-，如果对任意的分发与ζi 的任意取法，当0r →时，S 趋于有限的极限，则称它为()f x 在[],a b 上的黎曼积分，记为()baI R f x dx=⎰如果设=sup{f(x):};=inf{f(x):}则有f （x ）在[a,b]上Riemann 可积1()lim n bi i ar i f x dx M x →=⇔=∆∑⎰=01lim ()nbi i ar i m x f x dx →=∆=∑⎰⇔对任意的ε,η>0,总存在一个划分T ，使得对任意的划分，只要比T 更精细，则有所有振幅≥ε的小区间的长度之和小于ε。
注：振幅为区间内任意两点距离的上确界。
2、Riemann 积分的局限性a 、从Riemann 可积的充分必要条件可看出, 可积性涉及到分割小区间（1,i i x x -⎡⎤⎣⎦）的长度以及函数在其上的振幅（）。
若要函数可积, 则在r 趋于0的过程中（）不能缩小的那些对应项子区间的长度必须是无穷小。
也就是说, Riemann 函数的不连续点可用长度为任意小的区间簇覆盖, 粗略地说, Riemann 可积函数必须是“ 基本上是连续的”b 、积分运算不完全是微分运算的逆运算（微积分基本定理的条件太严） 微积分基本定理在微积分理论中起的重要作用是不言而喻的。
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别
勒贝格积分和黎曼积分的联系与区别摘要本文讨论勒贝格积分是与黎曼积分的联系与区别，勒贝格积分和黎曼积分积分之间有一种相依赖、相互补充、相互帮助及在特定条件下相互转化的关系，勒贝格积分在积分与极限换序的条件要求上有比黎曼积分优越的好处。
在实变函数里引入勒贝格积分是为了弥补黎曼积分的不足，可以扩大可积函数类，降低逐项积分与交换积分顺序的条件。
勒贝格积分拓广了黎曼积分的定义,使得可积性的条件要求减弱了。
它断言可测集上的有界可测函数和单调函数必勒贝格可积,这比黎曼积分中要求连续函数、单调函数的条件放松多了。
它放松了黎曼积分要求函数序列的一致收敛的过强的要求。
关键词：勒贝格可黎曼可积勒贝格积分黎曼积分1、定义1.1黎曼积分定义 设)(x f 在[]b a,上有定义1）分割分划，将()b a ,添加n-1个分点T ：n n x b x x x a x =<<<<=-1210Λ将[]b a,分成n 个小区间[][][]n n x x x x x x ,,,12110-Λ1x ∆ 2x ∆ Λ n x ∆2）取近似[]()i i i i i x f t s x x ∆∀-ξξ..,,1 3）()i i ni x f ∆∑=ξ14）取极限令{}i x T ∆=max —T 的细度，若()i ni i T x f ∆∑=→10lim ξ存在()()∑⎰=→∆=ni iiT baxf dx x 10lim ξ1.2勒贝格积分定义设()x f 在有限可测集E 上有界1）n E E E Λ21为E 的n 个互相不相交的可测子集且Y ni i E 1E ==称{}n E E E D Λ21=为E 的一个L-分划2）设{}n E E E D Λ21=，{}''2'1'D n E E E Λ=均为E 的一个L-分划，若对''D E ∈∀存在j i j E E t s DE ⊂∈'..称D 比'D 细（D D 是'的加细）3）设{}n E E E D Λ21=为E 的一个L-分划，()()x f B x f b iiE x i E x i sup inf ,∈∈==称 ()i ni i mE b f D s ∑==1',在划分D 下()x f 的小和()∑==n i i i mE B f 1D,S 在划分D 下()x f 的大和2黎曼积分和勒贝格积分的联系对于定义在[]b a ,上的函数f ，如果它是黎曼可积的，则它勒贝格可积的，而且有相同的积分值，故我们平时解题算勒贝格积分时，一般先考虑该函数是否黎曼可积，如果可以，那么就先化为黎曼积分求解，因为我们在学数分时，已经熟悉了黎曼积分。
浅谈黎曼积分与勒贝格积分
浅谈黎曼积分与勒贝格积分1 序言积分是整个分析数学中最基本的概念，我们已学过的积分有黎曼积分(简称R 积分)和勒贝格积分(简称L 积分)．黎曼积分产生于1854年，它对于处理诸如逐段连续函数以及一致收敛的级数来说是足够的．但对量子力学中的物理量与概率论中一般随机变量的数学期望是不够用的．而勒贝格积分是实变函数论的中心课题，由法国数学家勒贝格在20世纪初（1902年）提出来的．它是黎曼积分的推广与发展，是一种新型积分理论．它对于处理数学分析中的一些重要结果，如积分与极限交换次序，重积分交换次序，牛顿—莱布尼茨公式问题是相当灵活深刻与自然的．2 黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系2.1 积分定义首先我们从两种不同的分划来考察这两种积分．定义1)146145](1[-P 设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数，区间[]b a ,作分划b x x x a T n =<<<= 10:，将[]b a ,分成几部分，在每个小区间[]1,+i i x x 上任取一点i ξ，1,,1,0-=n i 记1--=∆i i i x x x ，作和)()(11i i n i i x x f -=--=∑ξσ．令)m ax (1i i x x -=+λ．如果对区间任意的分划与i ξ的任意取法，当0→λ时，σ趋于有限的极限I ，则称它为()x f 在[]b a ,上的黎曼积分，记为：dx x f R I ba⎰=)()(．而勒贝格积分有如下定理： 定理1)135](2[P 设()x f 是[]b a ,上的有界可测函数，()≤≤x f c d ．对于[]d c ,的分法，d y y y c n =<<<= 10，令[](){},,,;,max 111i i i i i ni y x f y b a x x e y y y <≤∈=-=∆--≤≤任取[]i i i y y ,1-∈η，则ini iy b a me dm x f ∑⎰=→∆=1],[lim)(η (ime 表示ie 的测度)此定理说明，勒贝格积分也如同建立黎曼积分那样，通过分划、近似求和、取极限三步来得到，但与黎曼积分不同之点是“分法”的不同．勒贝格积分是对函数值域[]d c ,进行分划．在集合[](){}i i i y x f y b a x x e <≤∈=-1,,;上，函数值()x f 变化不大，近似于()x f ，从而保证了极限i iy me ∑→∆ηlim的存在．而黎曼积分则是对定义区间[]b a ,的分划b x x x a n =<<<= 10，{}i ni x x ∆=∆≤≤1max ，取[]i i i x x ,1-∈ξ，此时，无论x∆怎样小，即分法无论怎样“细”，()x f 在[]i i x x ,1-上的变化可能是很大的．于是极限()ini ix xf ∆∑=→∆1limξ就有可能不存在，即黎曼不可积．因此有界可测函数虽然在[]b a ,上的勒贝格积分存在，但黎曼积分就不一定存在了．实质上，黎曼积分是将定义区间[]b a ,分成小区间[]i i x x ,1-，而勒贝格积分是将定义区间[]b a ,分成小的可测集i e ，()x f 虽在某个小的区间[]i i x x ,1-上可能变化很大，而在每个小集合i e 上可能变化很小．2.1 函数的可积范围勒贝格可积函数类比黎曼可积函数类广泛．勒贝格积分比较完整地扩充了黎曼积分，比较系统地克服了黎曼积分的某些缺陷．定理2)147](1[P 定义在有限区间上的函数若为R 可积，则必为L 可积，且积分值相等．（这说明勒贝格可积函数集是黎曼可积函数集的推广）．另外一方面，勒贝格可积却不一定黎曼可积．例1 函数()⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x x D ,1,0在[]10，上有界但不是R 可积的，却是L 可积的． 证 显然[]1,0,1)(∈≤x x D ．对于[]10，的任一分割T ，由有理数和无理数在实数中的稠密性，在属于T 的任一小区间i ∆上，当取i ξ全为有理数时，1)(11=∆=∆∑∑==ni iin i ixx D ξ；当取i ξ全为无理数时，0)(1=∆∑=ini ixD ξ．所以不论T 多少小，只要点集{}i ξ取法不同(全取有理数或全取无理数)，积分和有不同极限，即)(x D 在[]10，上R 不可积．可见黎曼可积函数类受到一定条件的限制． 而在L 积分定义下，此函数在[]10，上是勒贝格可积的，且 ()[]0)(1,0=⎰dm x D L ．可见勒贝格积分比黎曼积分的积分适应范围广．2.2 积分的可加性)101100](3[-P这里所说的可加性，指的是积分区域的可加性．黎曼积分具有有限可加性，即若()n i E E E E i ni i ,,2,1,,1===，均为有限区间．(),j i E E j i ≠Φ= 则有()∑⎰⎰==ni E Eidx x f dx x f 1)(．但是黎曼积分不具有可数可加性．例如取 ()(],,2,1,1,11,1,11,1,0,1~=⎥⎦⎤⎝⎛+=⎥⎦⎤ ⎝⎛+===i i i E n E E x f i 则∞==1i iEE ， ni iEE 1~==， ()j i EE ji≠Φ= ，从而有1)(~+=⎰n ndx x f E， 1)()()()(211+=+++=⎰⎰⎰∑⎰=n ndx x f dx x f dx x f dx x f niE E E ni E ， 1)(=⎰dx x f E，=∑⎰∞=dx x f i E i1)( ++++⎰⎰⎰dx x f dx x f dx x f nE E E )()()(21++-+--++-+-=1111113121211n n n n 1≠， 所以,)()(~1dx x f dx x f Eni E i⎰∑⎰==dx x f dx x f Ei E i⎰∑⎰≠∞=)()(1．对于勒贝格积分，它不仅具有有限可加性，而且还具有可数可加性，克服了黎曼积分的缺陷．我们有下面的定理做保证．定理3)101](3[P 设()x f 是有界可测集E 上的可积函数，∞=iiEE ，i E 等均可测且两两不相交，则有dm x f dm x f i E Ei∑⎰⎰∞==1)()(．对于这两种积分的可加性，究其原因，我们将不难理解．我们知道，R 积分建立在具有有限可加性的测度之上，L 积分建立在具有可数可加性的L 测度之上，因此也就反映到了相应的积分上来了．2.3 可积函数的连续性连续函数必是黎曼可积函数，当然也必是勒贝格可积函数，但黎曼可积函数不一定是连续函数．比如只有有限个第一类间断点的函数是黎曼可积的．非黎曼可积的函数的例子也是容易举出的．例如狄利克雷函数)(x D 就不是黎曼可积的．那么具备怎样性质的函数是黎曼可积的呢？勒贝格给出了黎曼可积的一个比较好的充要条件．他将函数的可积性归结到了函数的内在性质——连续性上，使得我们对黎曼可积函数的本质看得更清楚．这个可积条件是：有界函数)(x f 在[]b a ,上黎曼可积的充要条件是)(x f 的不连续点集为零测度集．例如黎曼函数)(x R ⎪⎩⎪⎨⎧>==为无理数当为互质的整数）当x q p q q p x q ,0,,0(,1这个函数在所有无理点处是连续的，在有理点处是不连续的．虽然在[]10，中有无穷多个有理点，而黎曼函数在[]10，上的不连续点有无穷多个，但这个函数在[]10，上仍然是黎曼可积的，且有⎰=100)(dx x R ，事实上，[]10，中的全体有理数组成一个零测度集．所以黎曼函数是黎曼可积的． 现在再来看勒贝格可积函数具有什么样的性质．设)(x f 是可测集)(∞<⊂mE R E 上的连续函数，则)(x f 在E 上勒贝格可积⇔)(x f 在E 上勒贝格可测．那么勒贝格可积函数的连续性是怎样的呢？它与黎曼可积函数的连续性的区别在哪里？我们有下面的鲁津定理．设)(x f 是可测集E 上几乎处处有限的可测函数，则对于任意0>δ，存在闭子集E E ⊂δ，使)(x f 在δE 上是连续函数，且δδ<-)(E E m ．从这个定理可以看出，在可测集E 上几乎处处有限的可测函数是基本连续的，或称为是近于连续的．因此勒贝格可积函数是近于连续的．对应于黎曼可积函数的情形，有0)(=-δE E m ．例如，在[]10，上定义的狄利克雷函数)(x D ： )(x D ⎩⎨⎧=为有理数，若为无理数，若x x ,1,0显然)(x D 是有界函数，但)(x D 在[]10，上无处连续，所以在[]10，上)(x D 的所有不连续点组成的集合为[]1,0=E ，且01≠=mE ，所以)(x D 不是黎曼可积的，但)(x D 是简单函数，所以)(x D 是可测的，从而)(x D 是勒贝格可积的．通过上面的讨论，黎曼积分与勒贝格积分的区别也就不难看出． 2.4 积分与极限的交换勒贝格积分较黎曼积分优越些．对于黎曼积分来说，积分求极限的问题，经常要求函数序列一致收敛（当然，这是充分条件），极限才可以与积分符号交换顺序．这从运算的角度看不仅不方便，限制也过强．而对于勒贝格积分，我们有勒贝格控制收敛定理，勒维定理．从这两个定理出发，我们可以得到对于非负可测函数项级数是可以逐项积分的．对于勒贝格积分来说，要使积分号与极限号能换序，无须一致收敛那样强的条件，只需可测函数列{}n f 几乎处处收敛(或更弱一些依测度收敛) ，且有可积的控制函数)(x g 就行．用狄利克雷函数)(x D 来说明，把[]10，中的有理点依次排列为 n r r r ,,,21， 做函数)(x D n ：)(x D n {}⎩⎨⎧∈=.,0,,,,121其余情形若n r r r x则{}N n n x D ∈)(几乎处处收敛于)(x D ，)(x D n ≤)(x D 且)(x D n .,0N n ∈≥因此在L 积分意义下，有[][]⎰⎰==∞→1,01,0.0)()()(limdm x D L dm x D n n但)(x D 不是R 可积的，就谈不上上述极限等式成立的可能性．尽管在R 积分意义下， ⎰=10,0)()(dx x D R n .N n ∈定理4)141](1[p （勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下述条件：)(x f n 的极限存在，)(x f )(lim x f n n ∞→=，且有可积函数)(x g 使);)(()(N n E x x g x f n ∈∈≤，那么，f 可积且有dm x f dm x f En n E)(lim )(⎰⎰∞→=．例2)208](1[P 求极限⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n ．解 因为nx xn nx522sin 121+在[]1,0上连续，所以在[]1,0上R 可积．又因为 212121222252211sin 1-+=+≤+x xn nx x n nx nx x n nx ， []1,02121L x ∈≤-，0sin 1lim52221=+∞→nx xn nxn ，[]1,0∈x ． 由勒贝格控制收敛定理，得 ⎰+∞→10522sin 1)(lim 21nxdx x n nx R n=nxdm x n nx L n 5]1,0[22sin 1)(lim 21⎰+∞→=[]001,0=⎰dm ．定理5)138](3[P 设可测集E 上可测函数列{})(x f n 满足下面的条件：;)()(021 ≤≤≤x f x f ),()(lim x f x f n n =∞→则)(x f n 的积分序列收敛于)(x f 的积分：.)(lim )(dm x f dm x f n n E∞→=⎰定理6)137](1[P 设)(x f ，)(x u n ，)(N n ∈均为可测集E 上的非负可测函数，且)()(1x u x f n n ∑∞==，则.)()(1dm x u dm x f n En E∑⎰⎰∞==勒维定理用起来特别方便，在R 积分论中没有任何类似结果可与之比拟，试看一个简单例子．例4)207](1[P 设)(x f 0≥为可测函数,令 {}⎩⎨⎧=,0),()(x f x f n ,)(,)(n x f n x f >≤则当)(x f 几乎处处有限时,有{}⎰⎰=∞→EnEn dm x f dm x f )()(lim．证 令{}n n x f x f )()(=，则)(x f n )(,0x f n ≥单调上升,且几乎处处收敛于)(x f , 据勒维定理即知⎰⎰=∞→EEn n dm x f dm x f )()(lim ．2.5 牛顿—莱布尼茨公式数学分析中的牛顿-莱布尼茨公式 dt t f a f b f ba)()()('⎰=-．在数学分析中通常在)(x f 有连续导数的假定下证明上述公式．或者将条件减弱些，但总要求)('x f 为R 可积才行．可是对L 积分情形，可以在)('x f 为L 可积的条件下进行讨论，并且由可积函数可引进一种绝对连续函数概念，后者几乎处处存在有限导数．看以下定理:在通常数学分析中，对微积分学基本定理，即牛顿—莱布尼茨公式 ⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(成立所给的条件是很严的；)(x f 在[]b a ,上连续，)()('x f x F =，[]b a x ,∈，即)(x F 是)(x f 的任一原函数．换言之有定理7)143](2[P 若)('x F 在[]b a ,上连续，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理的条件可减弱如下：定理8 若)(x F 在[]b a ,上连续，在()b a ,内可导，且()()()b a x x f x F ,,'∈=则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(定理9 若)(x f 在[]b a ,上可积(不一定连续)，且)()('x f x F =，[]b a x ,∈，则⎰-=baa Fb F dx x f R ).()()()(而勒贝格积分中的牛顿-莱布尼茨公式成立的条件为:定理10)144](2[P 若)(x F 在[]b a ,上可微，且)('x F 有界，则)()('x f x F =勒贝格可积，且⎰-=baa Fb F dm x f L ).()()()(定理10告诉我们，对于具有有界导数的函数，牛顿—莱布尼茨公式成立．以上四个定理均给出牛顿—莱布尼茨公式成立的充分条件．那么什么是该公式成立的充要条件呢？我们叙述结果之前先给出定义２)145](2[P 设)(x f 定义在[]b a ,上，如果0,0>∃>∀δε，使得对于[]b a ,上任意有限个互不相交的开区间族{}),(i i a b ，当δ<-∑)(i iia b时，就有ε<-∑ii i a f b f )()(成立，则称)(x f 是[]b a ,上的一个绝对连续函数．定理11)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()('b a x a F x F dm t F L xa∈-=⎰成立的充要条件是)(x F 在[]b a ,上绝对连续．进而可得定理12)145](2[P 牛顿—莱布尼茨公式[].,),()()()(b a x a F x F dt t f R xa∈-=⎰成立的充要条件是：（1）)(x f 在[]b a ,上黎曼可积，（2）)(x F ∃，在[]b a ,上绝对连续，使得)()('x f x F =在[]b a ,上几乎处处成立．【附注】定理12的充要条件（2）可改为 (2'))(x F ∃在[]b a ,上满足莱布尼茨条件，使得)('x F )(x f =在[]b a ,上几乎处处成立．其中)(x F 满足莱布尼茨条件是指:,,,021x x c ∀>∃[]212121)()(,,x x c x F x F b a x x -<-⇒∈．由定理11, 定理12可知，)(x f 勒贝格可积是不定积分存在的充要条件；而黎曼可积与原函数存在之间并无必然的联系，即存在黎曼可积但无原函数的函数，也有原函数存在但黎曼不可积的函数．例5)7574](4[-P符号函数⎪⎩⎪⎨⎧>=<-=.0,1;0,0;0,1)sgn(x x x x 在[]1,1-上是黎曼可积的，但函数)sgn(x 不存在原函数．例6函数)(x f ⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=.0,0,0,1cos 21sin 2222x x x x x 存在原函数)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧=≠=.0,0,0,1sin 2x x xx 但)(x f 在[]1,1-上不是R 可积的，因为221cos 2xx 在[]1,1-上无界． 所以说勒贝格积分在积分与微分的关系问题上比黎曼积分优越．3 总结综上所述，勒贝格积分不仅扩大了可积函数类，而且因为它所具有的独特的性质，解决了古典分析中许多解答不了的问题，使分析数学进入到现代分析时代．然而，随着函数论、概率论等各门学科的发展，也暴露出来勒贝格积分的局限性．数学的发展将是不可限量的．可以预测：随着依赖数学为基础的其他学科的发展，积分的发展也会越来越完善．参考文献[1] 郑维行，王声望．实变函数与泛函分析概要[M]．高等教育出版社，2004 [2] 朱玉堦．实变函数简编[M]．高等教育出版社，1987[3] 潘学锋．浅谈黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系[J]．甘肃联合大学学报，2007，09 [4] 汪秀荣．从黎曼积分、勒贝格积分看积分理论的发展[J]．广西师院学报，1996，09 [5] 张良勇，董晓芳．浅谈从黎曼积分到勒贝格积分的演变[J]．高等函授学报，2006，08 [6] 周成林．勒贝格积分与黎曼积分的区别与联系[J]．新乡教育学报，2005，09 [7] 刘晓辉，刘文菡．勒贝格积分相对于黎曼积分的优越性[J]．新余高专学报，2006，02 [8] Serge Lang ．Realand Function Analysis 3rd ed [M]．Spring-Verlag ，1997。
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黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系数学系1302班第五组07 樊萌12 韩鸿林19 兰星21 李鸿燕45 王堃51 武相伶黎曼积分与勒贝格积分的区别与联系黎曼积分和勒贝格积分定义的比较1、黎曼积分定义：设()x f 在[]b a ,上有界,对[]b a ,做分割,{}b x x x a T n =<<<== 10,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s()11-=-=∑i i ni i x x M S ,若有dx s dx S bab a⎰⎰=则称()x f 在[]b a ,上黎曼可积.2、勒贝格积分定义：,0>∀δ,作M y y y m n =<<= 10,,其中δ<--1i i y y ,M ,m 分别为()x f 在E 上的上界和下界,令(){}i i i y x f y x E ≤≤=-1,,()n i ,2,1=若i ni i m E y ∑=-→110lim δ存在,则()x f 勒贝格可积.3、一般的可测函数的积分定义为:设在可测集E 上可测,若记()(){}0,max x f x f =+，()(){}0,min x f x f -=-,则有()()()x f x f x f -+-=,若()dx x f E+⎰,()dx x fE_⎰不同时为∞,则()x f 在E 上的积分确定且()()()dx x f dx x f dx x f EEE-+⎰⎰⎰-=.4、 简单函数的勒贝格积分定义:设()x f 是可测集E 上的非负简单函数,于是有对E 的划分i E ,n i 2,1=,()x f 在i E 上的取值为i c ,则()i E ni i c x f χ∑==1,定义()x f 的勒贝格积分为()i ni i EmE c dm x f ∑⎰==1,若()∞<⎰dm x f E,则称()x f 在E 上勒贝格可积.5、非负可测函数的勒贝格积分定义:取E 上的非负简单函数列()x f n ,对任意的E x ∈,()x f n 都收敛于()x f ,则()x f 在E 上勒贝格可积其积分为()()dm x f dm x f EEn n ⎰⎰=∞→lim .对一般的函数由于()()()x f x f x f -+-=,则()()()dm x f dm x fdm x f EEE⎰⎰⎰=--+.若左端的两个积分值都有限时,称()x f 在E 上勒贝格可积.勒贝格积分是对黎曼积分的推广,所以黎曼可积的函数一定勒贝格可积,但勒贝格可积的函数不一定黎曼可积.黎曼积分与勒贝格积分存在条件的比较黎曼可积的条件㈠黎曼可积的条件必要条件定义在[]b a ,上的()x f 黎曼可积的必要条件是()x f 在[]b a ,上有界.注 任何黎曼可积的函数必有界,但有界函数不一定黎曼可积. ㈡黎曼可积的充分必要条件1、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼上积分等于黎曼下积分.即设()x f 在[]b a ,上有界,{}b x x x a T n =<<<== 10为对[]b a ,的任一分割,其中令(){}i i x x x f M ∆∈=,sup ,(){}i i x x x f m ∆∈=,inf ,i i i x x x -=∆+1,()11-=-=∑i i ni i x x m s ,()11-=-=∑i i ni i x x M S ,n i ,2,1=有dx s dx S bab a⎰⎰=.2、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()i i i i ni i m M w x w -=<∆∑=ξ1.3、设()x f 是定义在[]b a ,上的有界函数,则()x f 黎曼可积的充分必要条件为0>∀ξ,总存在某一分割T ,使得()()ξ<-T s T S 成立.4、定义在[]b a ,上的函数()x f 黎曼可积的充分必要条件为()x f 在[]b a ,上的一切间断点构成一个零测度集.注 这说明黎曼可积的函数时几乎处处连续的. 勒贝格可积条件1、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为0>∀ξ,总存在E 的某一分割D ,使得ξ<∑i ii mE w .2、设()x f 是定义在可测集E 上的有界函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.3、设()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,则()x f 在[]b a ,上勒贝格可积的充要条件为()x f 在[]b a ,上的黎曼反常积分存在,且有()[]()⎰⎰=ba ba dx x f dm x f ,. 4、设()x f n 为E 上的可测函数列,()x f n 在E 上的极限函数几乎处处存在,且()M dx x f En <⎰,则()x f 在E 上勒贝格可积.5、设()x f 是是定义在可测集E 上的连续函数,则()x f 在E 上勒贝格可积的充要条件为()x f 在E 上勒贝格可测.黎曼积分与勒贝格积分的性质比较1、（线性性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积函数,则()()x g x f +,()()x g x f -,()()x g x f 也在[]b a ,上黎曼可积.注 ()()()()dx x g dx x f dx x g x f bababa⎰⎰⎰+=+,但()()()()dx x g dx x f dx x f x g bab aba⎰⎰⎰≠.2、（区域可加性）设有界函数()x f 在[]c a ,,[]b c ,上都黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()()dx x f dx x f dx x f bcc ab a⎰⎰⎰+=.3、（单调性）若()x f ,()x g 是定义在[]b a ,上黎曼可积,且()()x g x f ≤,则()()dx x g dx x f bab a⎰⎰≤.4、（可积必绝对可积）若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则()x f 在[]b a ,上也黎曼可积,且有()()dx x f dx x f bab a⎰⎰≤.注 其逆命题不成立.5、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,则在[]b a ,的任意内闭子区间[][]b a ,,⊂βα上也黎曼可积.且其积分值不会超过在[]b a ,上的积分值.6、若()x f 是[]b a ,上非负且连续的函数,若有()010=⎰dx x f ,则()x f 在[]b a ,上恒等于零.7、若()x f ,()x g 是[]b a ,上的黎曼可积函数,则()(){}x g x f M ,max = ,()(){}x g x f m ,min =在[]b a ,上也黎曼可积.8、若()x f 在[]b a ,上黎曼可积,()x f 1在[]b a ,上有定义且有界,则()x f 1也在[]b a ,上黎曼可积.1、（有限可加性）设()x f 是有界可测集E 上的可积函数,K nk E E 1==,K E 等均可测且两两互不相交,则有()()()()d x x f dx x f dx x f d x f nEEEE⎰⎰⎰⎰+++=21x . 2、对于给定的可测函数()x f ,()x f 与()x f 的可积性相同且()()dx x f d x f EE⎰⎰≤x . 3、(单调性)若()x f ,()x g 在E 上勒贝格可积,且()()x g x f ≤几乎处处成立,则()()d x x g d x f EE ⎰⎰≤x . 4、()x f 是E 上的非负可积函数,则()x f 在E 上是几乎处处有限的.5、()x f 是E 上的非负可测函数,若()x f 在E 上几乎处处等于0,则()0x =⎰d x f E.6、(零测集上的积分)若0=mE ,则()0=⎰dx x f E.7、()x f 是E 上的勒贝格可积函数,()0≥x f 在E 上几乎处处成立,则()0x ≥⎰d x f E.8、设()x f 在E 上可测,若存在非负函数()x g 在可测集E 上勒贝格可积,()()x g x f ≤几乎处处成立,则()x f 在可测集E 上勒贝格可积.9、()x f 在可测集E 上勒贝格可积,A 是E 的可测子集,则()x f 在A 上也勒贝格可积. 且其积分值不会超过在E 上的积分值.10、设()x f 在E 上可测,则()0x =⎰d x f E的充要条件是()0=x f 在E 上几乎处处成立.11、设()x f ,()x g 均在E 上勒贝格可积,则()(){}x g x f M ,max =,()(){}x g x f m ,min =也 在E 上勒贝格可积.12、若()x f 与()x g 在E 上几乎处处相等,则()x g 也可积,且()()d x x g dx x f EE⎰⎰=. 13、设()x f 在可测集E 上勒贝格可积函数,则其不定积分是绝对连续函数14、设()x f 为可测集E 上勒贝格可积函数,则存在绝对连续的函数()x g ,使得()x g 导函数在E 上几乎处处等于()x f .黎曼积分与勒贝格积分相关定理的比较与黎曼积分相关的定理⒈若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,则其极限函数()x f 也在I 上连续.⒉（可积性）若函数列()x f n 在区间I 上一致收敛,且每一项都连续,()()dx x f dx x f ban n nb a n ⎰⎰∞→∞→=lim lim .⒊（可微性）设()x f n 为定义在[]b a ,上的函数列,若[]b a x ,0∈为()x f n 的收敛点,且()x f n 的每一项在[]b a ,上都有连续的导数,()x f n '在[]b a ,上一致收敛,则()()()x f dx d x f dx d n n n n ∞→∞→=lim lim .⒋有界收敛定理设()x f n 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数. ⑴()[]()b a x n M x f n ,,2,1∈=≤ .⑵()x f 是定义在[]b a ,上的黎曼可积函数.且()()x f x f n n =∞→lim .则有()()dx x f dx x f bab an n ⎰⎰=∞→lim .与勒贝格积分相关的定理⒈（勒维定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件:()() ≤≤≤x f x f 210,()()x f x f n n =∞→lim ,则()x f n 的积分序列收敛于()x f 的积分()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒉（勒贝格控制收敛定理）设可测集E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()x f n 的极限存在,()()x f x f n n =∞→lim .⑵存在可积函数()x g 使得()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒊设∞<mE ,E 上的可测函数列()x f n 满足如下条件: ⑴()()()N n E x x g x f n ∈∈≤,,,()x g 可积. ⑵()x f n 依测度收敛于()x f ,那么()x f 可积,有()()d x x f d x f En n E⎰⎰∞→=limx . ⒋设()x f n 是[]b a ,上的增函数列,且有()x f n n ∑∞=1在[]b a ,上收敛,则()()x f dxdx f dx d n n n n ∑∑∞=∞==⎪⎭⎫ ⎝⎛11.。