七下数学线段的垂直平分线精品练习
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略(学生版)--初中数学
线段的垂直平分线与角平分线综合压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】【考点二线段垂直平分线的判定】【考点三利用角平分线的性质求解】【考点四角平分线的判定】【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】【过关检测】【典型例题】【考点一利用线段垂直平分线的性质求解】1(2023春·江苏淮安·七年级校考阶段练习)如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB、AC于E，D，连接EC，则∠BEC=．【变式训练】1(2023·江苏·八年级假期作业)三名同学分别站在一个三角形三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子的游戏，要求在他们中间放一个凳子，抢到凳子者获胜，为使游戏公平，凳子应放的最适当的位置在三角形的()A.三条角平分线的交点B.三边中线的交点C.三边上高所在直线的交点D.三边的垂直平分线的交点2(2023春·山东济南·七年级济南市章丘区第二实验中学校考阶段练习)如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于G，则△AGE的周长等于．3(2023春·广东深圳·七年级校考期末)如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．(1)若AB=10cm，求△CMN的周长；(2)若∠MFN=65o，则∠MCN的度数为°．【考点二线段垂直平分线的判定】1(2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习)如图，AD为三角形ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥AC于点F，连接EF交AD于点O．(1)若BE=DE，∠BAC=60°，求∠CDF的度数；(2)写出AD与EF的关系，并说明理由；【变式训练】1(2023秋·广西河池·八年级统考期末)如图，在△ABC中，边AB，BC的垂直平分线交于点P．(1)求证：PA=PB=PC；(2)求证：点P在线段AC的垂直平分线上．2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，点D是等边△ABC外一点，∠BDC=120°，DB=DC，点E，F分别在AB，AC上，连接AD、DE、DF、EF．(1)求证：AD是BC的垂直平分线；(2)若ED平分∠BEF，BC=5，求△AEF的周长．【考点三利用角平分线的性质求解】1(2023春·山东威海·七年级统考期末)如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，AB= 8，DE=4，AC=6，则S△ABC=()A.14B.26C.56D.28【变式训练】1(2023春·甘肃张掖·八年级校考期末)一块三角形的草坪，现要在草坪上建一个凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三边的距离相等，凉亭的位置应选在()A.三角形三条边的垂直平分线的交点B.三角形三条角平分线的交点C.三角形三条高所在直线的交点D.三角形三条中线的交点2(2023春·山西运城·七年级统考期末)如图，BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PQ⊥BC 于点Q，PQ=5，O是BA上任意一点，连接OP，则OP的最小值为．3(2023春·陕西榆林·七年级校考期末)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，∠DAB的平分线与∠CBA的平分线相交于点P，且点P在线段CD上，∠CPB=30°．(1)求∠PAD的度数；(2)试说明PD=PC．【考点四角平分线的判定】1(2023·全国·八年级假期作业)如图，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线相交于点D，连接AD．求证：AD是∠BAC的外角平分线．【变式训练】1(2023·广东惠州·校联考二模)如图，CB=CD，∠D+∠ABC=180°，CE⊥AD于E．(1)求证：AC平分∠DAB；(2)若AE=10，DE=4，求AB的长．2(2023·江苏·八年级假期作业)如图，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，若BD=CD,BE=CF．(1)求证：AD平分∠BAC；(2)请猜想AB+AC与AE之间的数量关系，并给予证明．【考点五线段的垂直平分线与角平分线的综合问题】1(2023秋·河北保定·八年级统考期末)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BD=DF．(1)求证：CF=EB．(2)连接CE，求证AD垂直平分CE．(3)若AB=10，AF=6，求CF的长．【变式训练】1(2023秋·河南洛阳·八年级统考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F，连接EF．(1)求证：点D在EF的垂直平分线上；(2)若AB+AC=16，S△ABC=24，则DE的长为2(2023春·全国·八年级专题练习)如图，D为△ABC外一点，DG为BC的垂直平分线，分别过点D 作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为点E，F，且BE=CF．(1)求证：AD为∠CAB的角平分线；(2)若AB=8，AC=6，求AE的长．3(2023春·全国·八年级开学考试)如图1，射线BD交△ABC的外角平分线CE于点P，已知∠A= 78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求证：BD平分∠ABC；(2)如图2，AC的垂直平分线交BD于点Q，交AC于点G，QM⊥BC于点M，求MC的长度．【过关检测】一、选择题1(2023春·四川成都·八年级统考期末)如图，在△ABC中，DE是AC边的垂直平分线，分别交BC、AC于D、E两点，连接AD，∠BAD=25°，∠C=35°，则∠B的度数为()A.70°B.75°C.80°D.85°2(2023春·四川达州·八年级统考期末)如图，点P为定角∠AOB平分线上的一个定点，且∠MPN与∠AOB互补．若∠MPN在绕点P旋转的过程中，其两边分别与OA、OB相交于M、N两点，则以下结论中，不正确的是()A.OM+ON的值不变B.∠PNM=∠POBC.MN的长不变D.四边形PMON的面积不变二、填空题3(2023春·山东青岛·七年级山东省青岛实验初级中学校考期末)如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，AF是△ABC的中线，AB=16，AC=6，DE=5．则△ADF的面积为．4(2023春·湖南衡阳·七年级校联考期末)如图，在锐角三角形ABC中，AB=6，△ABC的面积为18，BD平分∠ABC，若E、F分别是BD、BC上的动点，则CE+EF的最小值为．三、解答题5(2023春·河南商丘·七年级统考阶段练习)如图，∠AOB=40°，OC平分∠AOB，点D，E在射线OA，OC上，点P是射线OB上的一个动点，连接DP交射线OC于点F，设∠ODP=x°．(1)如图1，若DE∥OB．①∠DEO的度数是°，当DP⊥OE时，x=；②若∠EDF=∠EFD，求x的值；(2)如图2，若DE⊥OA，是否存在这样的x的值，使得∠EFD=4∠EDF？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．6(2023春·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末)在△ABC中，∠BAC=60°，线段BF、CE分别平分∠ABC、∠ACB交于点G．(1)如图1，求∠BGC的度数；(2)如图2，求证：EG=FG；(3)如图3，过点C作CD⊥EC交BF延长线于点D，连接AD，点N在BA延长线上，连接NG交AC于点M，使∠DAC=∠NGD，若EB:FC=1:2，CG=10，求线段MN的长．7(2023春·八年级课时练习)如图，OF是∠MON的平分线，点A在射线OM上，P，Q是直线ON上的两动点，点Q在点P的右侧，且PQ=OA，作线段OQ的垂直平分线，分别交直线OF，ON于点B，点C，连接AB，PB．(1)如图1，请指出AB与PB的数量关系，并说明理由．(2)如图2，当P，Q两点都在射线ON的反向延长线上时，线段AB，PB是否还存在(1)中的数量关系？若存在，请写出证明过程；若不存在，请说明理由．8(2023春·浙江宁波·七年级校考期末)角平分线性质定理描述了角平分线上的点到角两边距离的关系，小储发现将角平分线放在三角形中，有一些新的发现，请完成下列探索过程：【知识回顾】(1)如图1，P是∠BOA的平分线上的一点，PE⊥OB于点E，作PD⊥OA于点D，试证：PE=PD【深入探究】(2)如图2，在△ABC中，BD为∠ABC的角平分线交于AC于D点，其中AB+BC=10,AD=2,CD=3，求AB．【应用迁移】(3)如图3，Rt△ABC中，∠C=90°,∠BAC的角平分线AE与AC的中线BD交于点F,P为CE中点，连接PF，若CP=4,S△BFP=20，则AB的长度为．9(2023·贵州遵义·校考三模)已知D是Rt△ABC斜边AB的中点，∠ACB=90°，∠ABC=30°，过点D作Rt△DEF使∠DEF=90°，∠DFE=30°，连接CE并延长CE到P，使EP=CE，连接BE，FP，BP，设BC与DE交于M，PB与EF交于N．(1)如图1，当D，B，F共线时，求证：①EB=EP；②∠EFP=30°；(2)如图2，当D，B，F不共线时，连接BF，求证：∠BFD+∠EFP=30°．10(2023春·全国·八年级专题练习)【了解概念】如图1，已知A，B为直线MN同侧的两点，点P为直线MN的一点，连接AP，BP，若∠APM=∠BPN，则称点P为点A，B关于直线l的“等角点”．(1)【理解运用】如图2，在△ABC中，D为BC上一点，点D，E关于直线AB对称，连接EB并延长至点F，判断点B是否为点D，F关于直线AB的“等角点”，并说明理由；(2)【拓展提升】如图2，在(1)的条件下，若∠A=70°，AB=AC，点Q是射线EF上一点，且点D，Q关于直线AC的“等角点”为点C，请利用尺规在图2中确定点Q的位置，并求出∠BQC的度数；(3)【拓展提升】如图3，在△ABC中，∠ABC，∠BAC的平分线交于点O，点O到AC的距离为1，直线l垂直平分边BC，点P为点O，B关于直线l“等角点”，连接OP，BP，当∠ACB=60°时，OP+BP的值为．。
北师大版七年级数学下册5.线段垂直平分线的性质及画法课件
新知探究
练一练：1.如图①所示，直线CD是线段AB 的垂直平分线，点P 为直线CD上的一
点，且PA=5，则线段PB 的长为（ B）
A. 6
B. 5
C. 4
C
P
D. 3
A
D E
A 图① D
B
B
C
图②
2.如图②所示，在△ABC 中，BC=8cm，边AB 的垂直平分线交AB 于点D，交
边AC 于点E, △BCE 的周长等于18cm，则AC的长是10cm .
课堂小结
线段的垂直 平分的性质
和画法
性质 画法
内容
线段的垂直平分线上的点到线 段的两个端点的距离相等 .
作 用 见垂直平分线，得线段相等 .
1、分别以线段的两个端点为圆心，以大于 二分之一线段的长为半径作弧，两弧在线 段两侧交于两点； 2、连接两个交点，即可作出所求线段的垂 直平分线 .
课堂小测
P2
P1
A
B
P3A _＝___ P3B
l
新知探究
猜想：点P1，P2，P3，… 到点A 与点B 的距离分别相等． 由此你能得到什么结论？ 命题：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等. 你能验证这一结论吗？
新知探究
验证结论 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点P 在直线l 上． 求证：PA =PB．
D.三边垂直平分线的交点
课堂小测
3.已知线段AB，在平面上找到三个点D，E，F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，
这样的点的组合共有 无数 种. 4.下列说法： ①若点P，E是线段AB的垂直平分线上两点，则EA＝EB，PA＝PB； ②若PA＝PB，EA＝EB，则直线PE垂直平分线段AB； ③若PA＝PB，则点P必是线段AB的垂直平分线上的点； ④若EA＝EB，则经过点E的直线垂直平分线段AB． 其中正确的有 ① ② ③ （填序号）.
线段的垂直平分线经典习题及答(精.选)
线段的垂直平分线一、选择题（共8小题）1、如图，在△ABC 中，分别以点A 和点B 为圆心，大于的21AB 的长为半径画孤，两弧相交于点M ，N ，作直线MN ， 交BC 于点D ，连接AD ．若△ADC 的周长为10，AB=7，则△ABC 的周长为（ ） A 、7 B 、 14 C 、17 D 、20第1题 第2题 第3题2、如图，在Rt △ACB 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC ，ED 垂直平分AB 于D ．若AC=9，则AE 的值是（ ）A 、6B 、4C 、6D 、43、如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=5，则线段PB 的长度为（ ）A 、6B 、5C 、4D 、34、如图，等腰△ABC 中，AB=AC ，∠A=20°．线段AB 的垂直平分线交AB 于D ，交AC 于E ，连接BE ，则∠CBE 等于（ ）A 、80°B 、70°C 、60°D 、50°第4题 第 5题 第6题 5、如图，直线CP 是AB 的中垂线且交AB 于P ，其中AP=2CP ．甲、乙两人想在AB 上取两点D 、E ，使得AD=DC=CE=EB ，其作法如下：（甲）作∠ACP 、∠BCP 之角平分线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求；（乙）作AC 、BC 之中垂线，分别交AB 于D 、E ，则D 、E 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确（ ）A 、两人都正确B 、两人都错误C 、甲正确，乙错误D 、甲错误，乙正确6、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B=30°．AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D ，交BC 于点E ，则下列结论不正确的是（ ）A 、AE=BEB 、AC=BEC 、CE=DED 、∠CAE=∠B7、如图所示，是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）A 、△ABC 的三条中线的交点B 、△ABC 三边的中垂线的交点 C 、△ABC 三条角平分线的交点D 、△ABC 三条高所在直线的交点第7题 第8题8、如图，AC=AD ，BC=BD ，则有（ ） A 、AB 垂直平分CD B 、CD 垂直平分AB C 、AB 与CD 互相垂直平分 D 、CD 平分∠ACB二、填空题（共12小题）9、如图，在△ABC中，∠B=30°，ED垂直平分BC，ED=3．则CE长为_________．第9题第10题第11题10、如图，△ABC中，DE垂直平分AC交AB于E，∠A=30°，∠ACB=80°，则∠BCE=_________度．11如图，等腰三角形ABC中，已知AB=AC，∠A=30°，AB的垂直平分线交AC于D，则∠CBD的度数为_________°．12、如图，在△ABC中，BC边上的垂直平分线DE交边BC于点D，交边AB于点E．若△EDC的周长为24，△ABC与四边形AEDC 的周长之差为12，则线段DE的长为_________．第12题第13题第14题第15题13、如图，在菱形ABCD中，∠ADC=72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，则∠CPB=_________度．14、如图，AB=AC，∠BAC=120°，AB的垂直平分线交BC于点D，那么∠ADC=_________度．15、如图，∠ABC=50°，AD垂直且平分BC于点D，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠AEC的度数是_________度．16、如图，有一腰长为5cm，底边长为4cm的等腰三角形纸片，沿着底边上的中线将纸片剪开，得到两个全等的直角三角形纸片，用这两个直角三角形纸片拼成的平面图形中有_________个不同的四边形．第16题第17题第18题17已知如图，在△ABC中，BC=8，AB的中垂线交BC于D，AC的中垂线交BC与E，则△ADE的周长等于_________．18、如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，若AC平分∠DAB，且AB=AC，AC=AD，有如下四个结论：①AC⊥BD；②BC=DE；③∠DBC=1/2∠DAC；④△ABC是正三角形．请写出正确结论的序号_________（把你认为正确结论的序号都填上）19、如图，△ABC的周长为19cm，AC的垂直平分线DE交BC于D，E为垂足，AE=3cm，则△ABD的周长为_________cm．20、在△ABC中，∠A=50°，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，则∠DBC的度数是_________°．三、解答题（共6小题）21、如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）求∠ECD的度数；（2）若CE=5，求BC长．22、如图，在直角△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线AD交BC于D，若DE垂直平分AB，求∠B的度数．1、如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，大于的AB的长为半径画孤，两弧相交于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD．若△ADC的周长为10，AB=7，则△ABC的周长为（）A、7B、14C、17D、20考点：线段垂直平分线的性质。
垂直平分线专项练习30题(有答案)ok
垂直平分线专项练习30题（有答案）1．如图，在△ABC中，∠BAC=2∠B，DE⊥AB于点D，交BC于点E，AC=AD=BD，请你猜想∠C的度数并证明．2．如图，在△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN⊥AB于N，PM⊥AC 于点M，求证：BN=CM．3．如图，在△ABC中，D是BC的垂直平分线DH上一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC交AC的延长线于E，且BF=CE．（1）求证：AD平分∠BAC；（2）若∠BAC=80°，求∠DCB的度数．4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=52°，AB的垂直平分线MN交AC于点D．求∠DBC的度数．5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，点D是AB的中点，AF⊥CD于H交BC于F，BE∥AC 交AF的延长线于E．求证：BC垂直且平分DE．6．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF=∠ACF．7．如图，△ABC中，边AB、BC的垂直平分线交于点P．（1）求证：PA=PB=PC；（2）点P是否也在边AC的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E是边AB上两点，且CE所在直线垂直平分线段AD，CD平分∠BCE，AC=5cm，求BD的长．9．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于点F，连接AF，求证：∠CAF=∠B．10．如图，在△ABC中，AD是∠BAC平分线，AD的垂直平分线分别交AB、BC延长线于F、E．求证：（1）∠EAD=∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠EAC=∠B．11．如图所示，AD是△ABC中∠BAC的平分线，AD的垂直平分线EF交BC的延长线于F，试说明∠BAF=∠ACF 的理由．12．如图所示，在△ABC中，AB=AC=16cm，D为AB的中点，DE⊥AB交AC于E，△BCE的周长为26cm，求BC的长．13．如图，在△ABC中，EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，BC=8cm．求△AED的周长．14．如图，在△ABC中，0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∠ABO=20°，∠ABC=45°，求∠BAC和∠ACB的度数．15．如图所示，△ABC中，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点E，EF⊥AB，EG⊥AC，垂足分别为F、G，则BF=CG吗？说明理由．16．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？17．如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=130°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．（1）求∠PAQ的度数；（2）如图2，△ABC中，AB＞AC，且90°＜∠BAC＜180°，边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q．①若∠BAC=130°，则∠PAQ=_________°，若∠BAC=α，则∠PAQ用含有α的代数式表示为_________；②当∠BAC=_________°时，能使得PA⊥AQ；③若BC=10cm，则△PAQ的周长为_________cm．18．如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，求BC 的长度．19．已知：如图，在△ABC中，AB=AC=32，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、D．（1）若△DBC的周长为56，求BC的长；（2）若BC=21，求△DBC的周长．20．在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O．△ADE 的周长为6cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为16cm，求OA的长．21．如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，求证：AD垂直平分EF．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，边AB、AC的垂直平分线分别交BC于P、Q．（1）若BC=10，求△APQ周长是多少？（2）若∠BAC=110°，求∠PAQ的度数是多少？24．已知，如图，AD是BC的垂直平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，求证：（1）∠ABD=∠ACD；（2）DE=DF．25．如图，AD平分∠BAC，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF．求证：AD垂直平分EF．26．如图，△ABC中，E是BC边上的中点，DE⊥BC于E，DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，BM=CN 试证明：点D在∠BAC的平分线上．27．如图，△ABC中，BC=7，AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，AC的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G．求△AEG的周长．28．如图，在△ABC中，M为BC的中点，DM⊥BC，DM与∠BAC的角平分线交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，求证：BE=CF．29．已知，如图，DE为△ABC的边AB的垂直平分线，CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，求证：AN=BM．30．如图所示，在△ABC中，AB=8，AC=4，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D，过点D作DE⊥AB 于点E，DF⊥AC（或AC的延长线）于点D．（1）求证：BE=CF；（2）求AE的长．参考答案：1．解：∠C=90°．证明：如图，连接AE，在Rt△AED和Rt△BED中，，∴△AED≌△BED（HL），∴∠DAE=∠B，又∵∠BAC=2∠B，∴∠DAE=∠CAE，在△AED和△BED中，，∴△ACE≌△ADE，∴∠C=∠ADE=90°．2．证明：连接PB，PC，∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，∴PM=PN，∠PMC=∠PNB=90°，∵P在BC的垂直平分线上，∴PC=PB，在Rt△PMC和Rt△PNB中，∴Rt△PMC≌Rt△PNB（HL），∴BN=CM．3．（1）证明：如图，连接BD，∵DH垂直平分BC，∴BD=CD，在Rt△BDF和Rt△CDE中，，∵DF⊥AB于F，DE⊥AC，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵Rt△BDF≌Rt△CDE，∴∠CDE=∠BDF，∴∠BDC=∠EDF，∵∠BAC=80°，∴∠EDF=360°﹣90°×2﹣80°=100°，∴∠BDC=100°，∵BD=CD，∴∠DCB=（180°﹣100°）=50°4．解：∵AB=AC，∠A=52°，∴∠ABC=∠ACB==64°，∵AB的垂直平分线MN，∴AD=BD，∠A=∠ABD=52°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=64°﹣52°=12°5．证明：在△ADC中，∠DAH+∠ADH=90°，∠ACH+∠ADH=90°，∴∠DAH=∠DCA，∵∠BAC=90°，BE∥AC，∴∠CAD=∠ABE=90°．又∵AB=CA，∴在△ABE与△CAD中，∴△ABE≌△CAD（ASA），∴AD=BE，又∵AD=BD，∴BD=BE，在Rt△ABC中，∠ACB=45°，∠BAC=90°，AB=AC，故∠ABC=45°．∵BE∥AC，∴∠EBD=90°，∠EBF=90°﹣45°=45°，∴△DBP≌△EBP（SAS），∴DP=EP，即可得出BC垂直且平分DE6．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1=∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴FA=FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠FAD=∠FDA（等边对等角），∵∠BAF=∠FAD+∠1，∠ACF=∠FDA+∠2，∴∠BAF=∠ACF7．证明：（1）∵边AB、BC的垂直平分线交于点P，∴PA=PB，PB=PC．∴PA=PB=PC．还可得出结论：①三角形三边的垂直平分线相交于一点．②这个点与三顶点距离相等8．解：因为CE垂直平分AD，所以AC=CD=5cm．所以∠ACE=∠ECD．因为CD平分∠ECB，所以∠ECD=∠DCB．因为∠ACB=90°，所以∠ACE=∠ECD=∠DCB=30°．所以∠A=90°﹣∠ACE=60°．所以∠B=90°﹣∠A=30°．所以∠DCB=∠B．所以BD=CD=5cm9．证明：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∠ADF=∠DAF，∵∠ADF=∠B+∠BAD，∠DAF=∠CAF+∠CAD，又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠CAF=∠B10．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴AE=DE，∴∠EAD=∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵AD是∠BAC平分线，∴∠FAD=∠CAD，∴∠FDA=∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵∠EAC=∠EAD﹣∠CAD，∠B=∠EDA﹣∠BAD，且∠BAD=∠CAD，∠EAD=∠EDA，∴∠EAC=∠B11．解：∵EF垂直平分AD，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA．又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∵∠BAF=∠BAD+∠FAD，∠ACF=∠DAC+∠FDA，∴∠BAF=∠ACF12．解：∵点D中AB的中点，DE⊥AB，∴DE是AB的中垂线，∴AE=BE，∴△BCE的周长=BE+EC+BC=AE+EC+BC=AC+BC=26，∴BC=26﹣AC=26﹣16=10cm13．解：∵EN，DM分别是AB，AC边的垂直平分线，∴BE=AE，CD=AD，14．解：连接AO并延长，交BC于点D，∵0E，OF分别是AB，AC的中垂线，∴OB=OA，OC=OA，∴OC=OB，∠ABO=∠BAO=20°，∠CBO=∠BCO，∠CAO=∠ACO，∵∠ABC=45°，∴∠CBO=∠BCO=25°，∴∠BOC=180°﹣∠CBO﹣∠BCO=130°，∵∠BOD=∠ABO+∠BAO，∴∠BOD=40°，∠COD=90°．∵∠COD=∠CAO+∠ACO，∴∠CAO=45°，∴∠BAC=∠BAO+∠CAO=65°，∠ACB=∠BCO+∠ACO=70°15．解：BF=CG；理由如下：因为点E在BC的垂直平分线上，所以BE=CE．因为点E在∠BAC的角平分线上，且EF⊥AB，EG⊥AC，所以EF=EG，在Rt△EFB和Rt△EGC中，因为BE=CE，EF=EG，所以Rt△EFB≌Rt△EGC（HL）．所以BF=CG16．解：∵BC边的垂直平分线DE，∴BE=CE=5，∵BE+CE+BC=18，∴BC=18﹣5﹣5=8，答：BC的长是817．解：（1）∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；（2）①∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=130°，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=50°，∴∠BAP+∠CAQ=50°，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=130°﹣50°=80°；∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∵∠BAC=α，∴∠B+∠C=180°﹣∠BAC=180°﹣α，∴∠BAP+∠CAQ=180°﹣α，∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP+∠CAQ）=α﹣（180°﹣α）=2α﹣180°；②当∠PAQ=90°，即2α﹣180°=90°时，PA⊥AQ，解得：α=135°，∴当∠BAC=135°时，能使得PA⊥AQ；③∵边AB、AC的垂直平分线交BC于点P、Q，∴AP=BP，AQ=CQ，∵BC=10cm，即BP+PQ+CQ=AP+PQ+AQ=10cm，∴△PAQ的周长为10cm．故答案为：①80，2α﹣180°；②135；③1018．解：在△ABE中，∵D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，∴AE=BE；在△ABC中，∵AB=AC=14cm，AC=AE+EC，又∵CE+BE+BC=24cm，∴BC=10cm19．解：（1）∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴AD+CD=BD+CD=AC，∵△DBC的周长为56，AC=32，∴BC=56﹣32=24；（2）∵AD=BD，AC=32，∴AD+CD=BD+CD=AC=32，∵BC=21，∴△DBC的周长=BD+CD+BC=32+21=53．故答案为：24；5320．解：（1）∵DF、EG分别是线段AB、AC的垂直平分线，∴AD=BD，AE=CE，∴AD+DE+AE=BD+DE+CE=BC，∵△ADE的周长为6cm，即AD+DE+AE=6cm，∴BC=6cm；（2）∵AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，∴OA=OC=OB，∵△OBC的周长为16cm，即OC+OB+BC=16，∴OC+OB=16﹣6=10，∴OC=5，∴OA=OC=OB=5．21．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，∠EAD=∠FAD，∠AED=∠AFD=90°，∴∠EDA=180°﹣∠AED﹣∠EAD，∠FDA=180°﹣∠AFD﹣∠FAD，∴∠EDA=∠FDA，∵DE=DF（已证），∴DG垂直平分EF（三线合一），即AD垂直平分EF．22．证明：∵EF是AD的垂直平分线，∴AF=DF，∴∠FAD=∠FDA，∵∠FAD=∠FAC+∠CAD，∠FDA=∠B+∠BAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠FAC=∠B23．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP=BP，AQ=CQ，∴△APQ周长=AP+PQ+AQ=BP+PQ+QC=BC，∵BC=10，∴△APQ周长=10；（2）∵∠BAC=110°，∴∠B+∠C=180°﹣110°=70°，∵AP=BP，AQ=CQ（已证），∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，∴∠PAQ=∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ=∠BAC﹣∠B﹣∠C=110°﹣70°=40°24．证明：（1）∵AD是BC的垂直平分线，∴AB=AC，BD=CD，∴∠ABC=∠ACB，∠DBC=∠DCB，∴∠ABD=∠ACD；（2）∵AB=AC，AD是BC的垂直平分线，∴∠BAD=∠CAD，∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF25．证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF，在△ADE和△ADF中，，∴△ADE≌△ADF（HL），∴AE=AF，又∵AD平分∠BAC，∴AD垂直平分EF26．证明：如图，连接BD、CD，∵DE⊥BC，E是BC边上的中点，∴BD=CD，在△BDM和△CDN中，，∴△BDM≌△CDN（HL），∴DM=DN，又∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴点D在∠BAC的平分线上．27．解：∵DE为AB的中垂线，∴AE=BE，∵FG是AC的中垂线，∴AG=GC，△AEG的周长等于AE+EG+GA，分别将AE和AG用BE和GC代替得：△AEG的周长等于BE+EG+GC=BC，所以△AEG的周长为BC的长度即7．故答案为：728．解：连接DB．∵点D在BC的垂直平分线上，∴DB=DC；∵D在∠BAC的平分线上，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE=DF；∵∠DFC=∠DEB=90°，在Rt△DCF和Rt△DBE中，，∴Rt△DCF≌Rt△DBE（HL），∴CF=BE（全等三角形的对应边相等）．29．证明：∵DE为△ABC的边AB的垂直平分线，∴AD=BD，∵CD为△ABC的外角平分线，与DE交于D，DM⊥BC于M，DN⊥AC于N，∴DN=DM，在Rt△ADN和Rt△BDM中，，∴Rt△ADN≌Rt△BDM（HL），∴AN=BM．30．（1）证明：连结BD，CD．∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠AED=∠BED=∠AFD=90°，DE=DF．∵DE垂直平分BC，∴DB=DC．在Rt△DEB和Rt△DFC中，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），∴BE=CF；（2）解：在Rt△ADE和Rt△ADF中，，∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL）．∴AE=AF．∵AB=AE+BE，∴AB=AF+EB，∴AB=AC+CF+EB．∵AB=8，AC=4，∴8=4+CF+EB，∴CF+EB=4，∴2EB=4，∴EB=2．∴AE=8﹣2=6．答：AE的长为6．。
《垂直平分线》练习题(含答案)
1题A B E C 2题D A B C 3题D AB EC 4题A B C O 5题D A BE C 11题D A B E C O 12题D A B E C 13题D A B E C 14题D A B E C 15题D A B E C6题D A BE C 8题D A B E C 7题D A B E C 10题'9题《垂直平分线》练习题1.如图，△ABC 的边AB 的垂直平分线交AC 于点E,若AE=23，则BE= 。
2.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点D, △ABC 和△DBC 的周长分别为60㎝和38㎝，则△ABC 的腰长为 ，底边长为 。
3.如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CB 的垂直平分线DE 交AB 于点D,垂足为E ，①若∠B=20°，则∠ADC 的度数为 ；②若△ADC 的周长为14，AC=4，则AB= ；③若AB=8㎝，则CD= 。
4.如图，△ABC 中，∠A=52°，AB 、AC 的垂直平分线交于点O ，则∠BOC 的度数为 。
5.如图，∠ABC=50°，AD 垂直平分线段BC ，交BC 于点D ，∠ABC 的角平分线BE 交AD 于点E ，连接EC ，则∠AEC 的度数为 。
6.如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线交BC 于点D ，垂足为E ，△ABD 的周长为12㎝，AC=5㎝，则△ABC 的周长为 。
7.如图，△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于点E ，垂足为D, ∠EBC ∶∠EBA=1∶2，则∠A 的度数为 。
8.如图，平行四边形ABCD 中，AB=3，BC=5，AC 的垂直平分线交AD 与点E,则△CDE 的周长为 。
9.如图，某广告公司为一厂家设计的商标图案，AD 垂直平分线段BC ，E 、F 都在线段AD 上，若AB=5，BC=6，则图中阴影部分面积为 。
10.如图，△ABC 中，AB=BC=2，∠ABC=90°，D 为BC 的中点，且它关于AC 的对称点D ’,则 BD ’= 。
初中数学线段的垂直平分线的性质练习题
初中数学线段的垂直平分线的性质练习题AC的长为半径作弧，两弧相交1. 如图，在△ABC中，分别以点A和点C为圆心，大于12于M，N两点，作直线MN，交AC于点E，AE=3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长是( )A.16B.17C.18D.192. 已知锐角三角形△ABC中，∠A=65∘，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是( )A.25∘B.30∘C.35∘D.40∘3. 如图，在△ABC中，分别以点A和点B为圆心，以相同的长（大于AB)为半径作弧，两弧相交于点M和点N，作直线MN交AB于点D，交AC于点E，连接CD．已知△CDE的面积比△CDB的面积小5，则△ADE的面积为（）A.5B.4C.3D.24. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90∘，BC=3，AC=4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A.3 2B.76C.256D.25. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90∘，分别以点A，B为圆心，大于12AB为半径作弧，相交于点M，N，作直线MN交AB于点D，交BC于点E，连结CD，下列结论错误的是（）A.MN是线段AB的中垂线B.CD=12ABC.∠A＝∠BEDD.∠ECD＝∠EDC6. 如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定7. 如图，在Rt△ABC中，∠B=90∘，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB、AC于点D，E，再分别以点D、E为圆心，大于12DE为半径画弧，两弧交于点F，作射线AF交边BC于点C，若BG=1,AC=4，则△ACG的面积是（）A.1B.32C.2 D.528. 如图①、图②，在给定的一张矩形纸片上作一个正方形，甲、乙两人的作法如下：甲：以点A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于点E，以点D为圆心，AD长为半径画弧，交CD于点F，连接EF，则四边形AEFD即为所求；乙：作∠DAB的平分线，交CD于点M，同理作∠ADC的平分线，交AB于点N，连接MN，则四边形ADMN即为所求．对于以上两种作法，可以做出的判定是（）A.甲正确，乙错误B.甲、乙均正确C.乙正确，甲错误D.甲、乙均错误9. 如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，垂足为E，AE=2cm，△ABD的周长为9cm，则△ABC的周长为( )A.11cmB.13cmC.14cmD.15cm10. 下列命题是假命题的是( )A.n边形(n≥3)的外角和是360∘B.矩形的对角线互相平分且相等C.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等D.相等的角是对顶角11. 已知等腰三角形一腰的垂直平分线与另一腰所在直线的夹角为50∘，则此等腰三角形的顶角为________.12. 如图：已知DE垂直平分AB，如果△BCD的周长是30，BC=12，则AC=________.13. 如图，在△ABC中，∠A＝35∘，∠B＝90∘，线段AC的垂直平分线MN与AB交于点D，与AC交于点E，则∠BCD＝________度．14. 如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为________．15. 已知：如图，∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为E，F．若AB=8，AC=4，则AE=________．16. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得到下列四个结论：①AD和EF互相垂直平分；②AE＝AF；③当∠BAC＝90∘时，AD＝EF；④DE是AB的垂直平分线．其中正确的是________（填序号）．17. 如图，在△ABC中，AB=8，AC=5，BC=12，DE垂直平分BC，点P是DE上的动点，则△APC周长的最小值是________．18. 如图，∠C=80∘，DE垂直平分AB于点E，交BC于点D，且∠CAD:∠CAB=1:3，则∠B=________．19. 如图，在△ABC中，AB+AC=7cm，BC的垂直平分线l与AC相交于点D，则△ABD的周长为________cm．20. 如图，△ABC中，∠C＝90∘，AC<BC，D为BC上一点，且到A，B两点的距离相等．（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；（2）连结AD，若∠B＝37∘，求∠CAD的度数．21. 如图，已知锐角∠MPN，点A在射线PN上．（1）尺规作图：在射线PM上求作点B，使得BP＝BA；（保留作图痕迹，不写作法）（2）在射线AN上截取AC＝PB，试判断∠BCP和∠MPN的数量关系，并说明理由．22. 作图与计算(1)已知：∠α，∠AOB求作：在图2中，以OA为一边，在∠AOB的内部作∠AOC=∠α（要求：直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹）(2)在同一平面内，过点O分别引射线OA，OB，OC且∠AOB=65∘，∠BOC=30∘，求∠AOC的度数．参考答案与试题解析初中数学线段的垂直平分线的性质练习题一、选择题（本题共计 10 小题，每题 5 分，共计50分）1.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质【解析】利用线段的垂直平分线的性质即可解决问题．【解答】解：∵DE垂直平分线段AC，∴DA=DC，AE+EC=6，∵AB+AD+BD=13，∴AB+BD+DC=13，∴△ABC的周长是AB+BD+DC+AC=13+6=19.故选D.2.【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：根据题意画图可知：设AB，AC与垂直平分线的交点分别为D，E，∴AD=BD，∠ADC=∠BDC=90∘∵DC为公共边，∴△ADC≅△BDC(SAS)，∴∠A=∠DBC=65∘∴∠DCB=90∘−65∘=25∘，故选A.3.【答案】A【考点】线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答4.【答案】B【考点】勾股定理线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】解：设CE=x，连接AE，如图所示，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE=BE=BC+CE=3+x，∴在Rt△ACE中，AE2=AC2+CE2，即(3+x)2=42+x2，，解得x=76∴CE=7．6故选B.5.【答案】D【考点】线段垂直平分线的性质作图—基本作图【解析】利用基本作法对A进行判断；根据斜边上的中线性质对B进行判断；根据等角的余角相等可对C进行判断；利用等腰三角形的性质和∠ECD＝∠EDC可推出∠A＝60∘，由此可对D进行判断．【解答】由作法得MN垂直平分AB，所以A选项的结论正确；∵CD为斜边AB上的中线，∴CD=1AB，所以B选项的结论正确；2∵DE⊥AB，∴∠BDE＝90∘，∵∠B+∠BED＝90∘，而∠B+∠A＝90∘，∴∠A＝∠BED，所以C选项的结论正确；∵CD＝BD，∴∠B＝∠BCD，∴∠ADC＝∠B+∠BCD＝2∠ECD，而∠EDC+∠ADC＝90∘，若∠ECD＝∠EDC，则∠ADC＝60∘，∠A＝60∘，而已知条件没有给定∠A＝60∘，所以D选项的说法错误．6.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质解答．【解答】解：如图，CA，CB的中点分别为D，E，CA，CB的垂直平分线OD，OE相交于点O，且点O落在AB边上，连接CO，∵OD是AC的垂直平分线，∴OC=OA.同理OC=OB，∴OA=OB=OC，∴A，B，C都落在以O为圆心，以AB为直径的圆周上，∴C是直角，即这个三角形是直角三角形.故选B．7.【答案】C【考点】作图—基本作图线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】【解答】解：由作法得AG平分∠BAC，∴G点到AC的距离等于BG的长，即G点到AC的距离为1，所以△ACG的面积=12×4×1=2．故选C.8.【答案】B【考点】正方形的判定与性质作图—复杂作图矩形的性质【解析】直接利用基本作图方法得出对应边以及对应角的关系，进而结合正方形的判定方法分析得出答案．【解答】由甲的作法可得：DF＝AD＝AE，∵四边形ABCD是矩形，∴AB // DC，∠A＝90∘，∵DF=∥AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵∠A＝90∘，∴平行四边形AEFD是矩形，∵AD＝AE，∴矩形AEFD是正方形；故甲的作法正确；∵四边形ABCD是矩形，∠CDA＝∠DAB＝90∘，由乙的作法可得：∠ADN＝∠MDN＝∠DAM＝∠NAM＝45∘，则AD＝AN＝DM，在△MDA和△NAD中{∠MDA=∠DANAD=AD∠DAM=∠ADN，∴△MDA≅△NAD(AAS)，∴DM＝AN，∴DM=∥AN，∴四边形ANMD是平行四边形，∵∠DAB＝90∘，∴平行四边形ANMD是矩形，∵AD＝AN，∴矩形ANMD是正方形；故乙的作法正确．9.【答案】B【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，求出AC和AB+BC的长，即可求出答案. 【解答】解：∵ DE是AC的垂直平分线，AE=2cm，∴ AC=2AE=4cm，AD=DC，∵ △ABD的周长为9cm，∴ AB+BD+AD=9cm，∴ AB+BD+DC=AB+BC=9cm，∴ △ABC的周长为AB+BC+AC=9cm+4cm=13cm.故选B.10.【答案】D【考点】命题与定理多边形的外角和线段垂直平分线的性质矩形的性质【解析】根据多边形的外角和、线段垂直平分线的性质、对顶角和矩形的性质判断即可．【解答】解：A，n边形(n≥3)的外角和是360∘，该选项为真命题；B，矩形的对角线互相平分且相等，该选项为真命题；C，线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，该选项为真命题；D，相等的角不一定是对顶角，该选项为假命题.故选D.二、填空题（本题共计 9 小题，每题 5 分，共计45分）11.【答案】40∘或140∘【考点】等腰三角形的性质线段垂直平分线的性质【解析】由题意可知其为锐角等腰三角形或钝角等腰三角形，不可能是等腰直角三角形，所以应分开来讨论．【解答】解：如图，当等腰三角形为锐角三角形时，∵∠ADE=50∘，∠AED=90∘，∴∠A=40∘；如图，当等腰三角形为钝角三角形时，∵∠ADE=50∘，∠DAE=40∘，∴∠BAC=180∘−40∘=140∘.综上所述，此等腰三角形的顶角为40∘或140∘.故答案为：40∘或140∘.12.【答案】18【考点】线段垂直平分线的性质【解析】根据等腰三角形的判定，可由∠ABC=∠C，得到AB=AC=6，再由线段垂直平分线的性质，可得AD=BD，即可得到△BCD的周长．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴BD=AD，∵△BCD的周长是30，∴BC+BD+CD=BC+AD+CD=BC+AC=30，又∵BC=12，∴AC=18.故答案为：18.13.【答案】20【考点】直角三角形的性质线段垂直平分线的性质【解析】根据直角三角形的性质可得∠ACB＝55∘，再利用线段垂直平分线的性质可得AD＝CD，根据等边对等角可得∠A＝∠ACD＝35∘，进而可得∠BCD的度数．【解答】∵∠A＝35∘，∠B＝90∘，∴∠ACB＝55∘，∵MN是线段AC的垂直平分线，∴AD＝CD，∴∠A＝∠ACD＝35∘，∴∠BCD＝20∘，14.【答案】19cm【考点】线段垂直平分线的性质【解析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到AD=CD，AC=2AE，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，AC=2AE=6cm，又∵△ABD的周长=AB+BD+AD=13cm，∴AB+BD+CD=13cm，即AB+BC=13cm，∴△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19cm．故答案为：19cm．15.【答案】6【考点】全等三角形的性质与判定线段垂直平分线的性质角平分线的性质【解析】首先连接PB，PC，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点P，PE⊥AB，PF⊥AC，易得PE=PF，PB=PC，继而证得△PBE≅△PCF，AE=AF，又由AB=8，AC=4，即可求得答案．【解答】解：连接PB，PC，如图，∵ 点P 在BC 的垂直平分线上，∴ PB =PC .∵ AP 平分∠BAC ，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，∴ PE =PF ，∠PEB =∠PFC =90∘，∴ ∠APE =∠APF ，∴ AE =AF .在Rt △PBE 和Rt △PCF 中，{PB =PC,PE =PF,∴ Rt △PBE ≅Rt △PCF(HL)，∴ BE =CF .∵ AB =AE +BE ，AF =AC +CF ，∴ AB =AC +CF +BE .∵ AB =8，AC =4，∴ BE =CF =2，∴ AE =AC +CF =6．故答案为：6．16.【答案】②③【考点】角平分线的性质线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答17.【答案】13【考点】线段垂直平分线的性质【解析】本题主要考查线段垂直平分线的性质.【解答】解：连结CD .∵ DE是线段BC的垂直平分线，∴ BD=CD，即BD+AD=CD+AD=AB，∵ AB=8，AC=5，∴当点P与点D重合时，△APC的周长最小，最小值为AB+AC=13，故答案为：13.18.【答案】40∘【考点】线段垂直平分线的性质三角形内角和定理【解析】设∠CAD=x，则∠DAB=2x．根据垂直平分线性质，∠B=∠DAB=2x．根据三角形内角和定理求解．【解答】解：∵DE垂直平分AB，∴DA=DB，∴∠B=∠DAB．设∠CAD=x，则∠DAB=2x．∵∠C=80∘，∴3x+2x+80∘=180∘，x=20∘，∴2x=40∘．即∠B=40∘．故答案为40∘．19.【答案】7【考点】线段垂直平分线的性质【解析】本题考查线段垂直平分线的性质.【解答】解:∵ BC的垂直平分线交AC于D∴ BD=CD∵ AB+AC=7cm∴ AB+AD+BD=AB+AD+CD=AB+AC=7cm故答案为：7.三、解答题（本题共计 3 小题，每题 5 分，共计15分）20.【答案】如图所示，点D即为所求；在△ABC中，∵∠C＝90∘、∠B＝37∘，∴∠CAB＝53∘，由（1）知DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝37∘，则∠CAD＝∠CAB−∠DAB＝16∘．【考点】线段垂直平分线的性质作图—基本作图【解析】（1）根据“到A，B两点的距离相等”可知点D在线段AB的中垂线上，据此作AB中垂线与BC交点可得；（2）先根据直角三角形的性质得∠CAB＝53∘，再由DA＝DB知∠B＝∠DAB＝37∘，从而根据∠CAD＝∠CAB−∠DAB可得答案．【解答】如图所示，点D即为所求；在△ABC中，∵∠C＝90∘、∠B＝37∘，∴∠CAB＝53∘，由（1）知DA＝DB，∴∠B＝∠DAB＝37∘，则∠CAD＝∠CAB−∠DAB＝16∘．21.【答案】如图，点P即为所求．如图，点C即为所求．结论：∠MPN＝2∠BCP．理由：∵BP＝BA＝AC，∴∠MPN＝∠BAP，∠ABC＝∠ACB，∵∠BAP＝∠ABC+∠ACB，∴∠MPN＝2∠CBP．【考点】等腰三角形的性质作图—复杂作图线段垂直平分线的性质【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答22.【答案】解：(1)如图所示，∠AOC即为所求；(2)当OC在∠AOB的内部时，∠AOC=∠AOB−∠BOC=65∘−30∘=35∘；当OC在∠AOB的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65∘+30∘=95∘；综上，∠AOC的度数为35∘或95∘．【考点】作图—复杂作图【解析】此题暂无解析【解答】解：(1)如图所示，∠AOC即为所求；(2)当OC在∠AOB的内部时，∠AOC=∠AOB−∠BOC=65∘−30∘=35∘；当OC在∠AOB的外部时，∠AOC=∠AOB+∠BOC=65∘+30∘=95∘；综上，∠AOC的度数为35∘或95∘．。
中考数学每日一练：线段垂直平分线的性质练习题及答案_2020年综合题版
（2） 在（1）的条件下，连接AE，若∠B=50°，求∠AEC的度数．
考点： 线段垂直平分线的性质;作图—基本作图;
答案
~~第2题~~ (2020绍兴.中考模拟) 如图，在矩形
中，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①分别以点 和 为圆心，以大于
的长为半径作弧，两弧相交于点 和 ；
②作直线 ，交 于点 .
中考数学每日一练：线段垂直平分线的性质练习题及答案_ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ020年综合题版
2020年 中 考 数 学 ： 图 形 的 性 质 _三 角 形 _线 段 垂 直 平 分 线 的 性 质 练 习 题
~~第1题~~ (2017广东.中考真卷) 如图，在△ABC中，∠A＞∠B．
（1） 作边AB的垂直平分线DE，与AB，BC分别相交于点D，E（用尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法）；
5.答案：
，∠MND=∠MED，DF=12，sin∠ACB，MN= ，求AH的长。
考点： 平行线的性质;线段垂直平分线的性质;圆周角定理;
答案
~~第4题~~ (2020通州.中考模拟) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AE是△ABC的角平分线．AE的垂直平分线交AB于点O，以 点O为圆心，OA为半径作⊙O，交AB于点F．
（1） 求证：BC是⊙O的切线； （2） 若AC＝2，tanB＝ ，求⊙O的半径r的值．
考点： 角平分线的性质;线段垂直平分线的性质;切线的判定;
答案
~~第5题~~ (2020遵化.中考模拟) 如图，已知△ABC，直线PQ垂直平分AC，与边AB交于E，连接CE，过点C作CF平行于BA交P Q于点F，连接AF.
（1） 求证：△AED≌△CFD；
（2） 求证：四边形AECF是菱形；
七年级数学下册 线段垂直平分线的性质习题
5.3简单的轴对称图形（2）(线段)一．选择题：（四个选项中只有一个是正确的，选出正确选项填在题目的括号内）1．关于线段的垂直平分线有以下说法：① 一条线段的垂直平分线的垂足，也是这条线段的中点；② 线段的垂直平分线是一条直线； ③ 一条线段的垂直平分线是这条线段的唯一对称轴； 其中正确的说法有 ( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．0个2．已知△ABC 的周长是m ，BC=m -2AB ，则下列直线一定为△ABC 的对称轴的是( ) A ．△ABC 的边AB 的垂直平分线 B ．∠ACB 的平分线所在的直线C ．△ABC 的边BC 上的中线所在的直线D ．△ABC 的边AC 上的高所在的直线 3．如图，在△ABC 中，DE 是边AB 的垂直平分线，BC=8cm ，AC=5cm ，则△ADC 的周长为（ ）A ．14cmB ．13cmC ．11cmD ．9cm4．如图，在四边形ABCD 中，AC 垂直平分BD ，垂足为E ，下列结论不一定成立的是( ) A ．AB=AD B ．CA 平分∠BCD C ．AB=BD D ．△BEC ≌△DEC5．已知△ABC 中，AB=AC ，AB 的垂直平分线交AC 于D ，△ABC 和△DBC 的周长分别是70cm 和48cm ，则△ABC 的腰和底边长分别为（ ）A ．24cm 和22cmB ．26cm 和18cmC ．22cm 和26cmD ．23cm 和24cm6．如图，MP 、NQ 分别垂直平分AB 、AC ，且BC=6 cm ，则△APQ 的周长为( ) A ．12 cm B ．6 cm C ．8 cm D ．无法确定7．如图，△ABC 中，∠BAC=100°，DF ，EG 分别是AB ，AC 的垂直平分线，则∠DAE 等于（ ）A ．50°B ．45°C ．30°D ．20°8．如图，在△ABC 中，∠B=55°，∠C=30°，MN 是AC 的垂直平分线，交BC 于点D ，连接AD ，则∠BAD 的度数为( ) A ．65° B ．60° C ．55° D ．45°AE BD第4题图A E CBD第3题图二．填空题：（将正确答案填在题目的横线上）9．如图，直线CD 是线段AB 的垂直平分线，P 为直线CD 上的一点，已知线段PA=6cm ，则线段PB 的长度为__________；10．如图，在△ABC 中，AB=5，AC=6，BC=4， AB 边的垂直平分线交AC 于点D ，则△BDC 的周长是_________； 11．如图，已知线段AB 、BC 的垂直平分线l 1、l 2交于点D ，则线段AD ，CD 的大小关系是：_________；12．如图，已知AB -AC=2cm ，BC 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，如果△ACD 的周长为14 cm ，则AB=________，AC=_________； 13．如图，△ABC 中，D 、E 在AB 上，且D 、E 分别是AC 、BC 的垂直平分线上一点；若△CDE 的周长为4，则AB 的长为___________；若∠ACB=100°，则∠DCE=_________度；三．解答题：（写出必要的说明过程，解答步骤）14．在△ABC 中，AB=AC ，BC=12，∠B=30°，AB 的垂直平分线DE 交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线MN 交BC 于点N 。
垂直平分线练习题
垂直平分线练习题一、选择题1. 在平面几何中，垂直平分线是指：A. 连接两点的线段B. 垂直于线段的直线C. 将线段平分为两等分的直线D. 通过线段中点的直线2. 垂直平分线的性质是：A. 垂直于线段B. 平分线段C. 垂直于线段且平分线段D. 垂直于线段的两端点3. 如果线段AB的垂直平分线与线段CD相交，那么点C和点D到点A 的距离：A. 相等B. 不相等C. 可能相等D. 无法确定4. 在三角形中，垂直平分线的性质是：A. 连接顶点和对边中点B. 将对边平分为两等分C. 垂直于对边D. 以上都是二、填空题5. 垂直平分线将线段_____，并且_____该线段。
6. 如果点P在三角形ABC的边AB的垂直平分线上，那么PA_____PB。
7. 在直角三角形中，斜边的垂直平分线同时也是其_____。
三、判断题8. 垂直平分线总是通过线段的中点。
（对/错）9. 垂直平分线的长度总是等于线段长度的一半。
（对/错）10. 垂直平分线与线段的交点是线段的中点。
（对/错）四、简答题11. 描述垂直平分线在三角形中的应用。
12. 解释为什么垂直平分线可以用于确定线段的中点。
五、计算题13. 在三角形ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，BC=6cm，求AB边的垂直平分线的长度。
六、作图题14. 给定线段AB，请画出AB的垂直平分线，并标出中点M。
七、证明题15. 证明：如果点P在三角形ABC的边AB的垂直平分线上，那么PA=PB。
八、应用题16. 在一个矩形中，如果已知对角线AC的垂直平分线，如何确定矩形的中心点？九、探索题17. 探索并证明：在一个圆中，任意弦的垂直平分线都会经过圆心。
十、综合题18. 在一个给定的三角形ABC中，已知AB=8cm，AC=6cm，BC=10cm，求出AB边的垂直平分线与AC边的垂直平分线的交点，并证明该点是三角形ABC的重心。
以上练习题涵盖了垂直平分线的定义、性质、应用以及相关的证明和计算，旨在帮助学生全面理解和掌握垂直平分线的概念和应用。
七年级数学下册 线段垂直平分线的性质习题
1．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝40°，线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于( )A．60° B．50° C．40° D．30°2．如图，△ABC中，D、E两点分别在AC、BC上，DE为BC的垂直平分线，BD 为∠ADE的角平分线，若∠A＝58°，则∠ABD的度数为何？( )A．58 B．59 C．61 D．623．如图，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分线交AC于E，交AB于D，则图中60°的角共有( )A．6个 B．5个 C．4个 D．3个4．如图，在△ABC中，AC的垂直平分线交AC于E，交BC于D，△ABD的周长是12cm，AC＝5cm，则AB＋BD＋DC＝cm；△ABC的周长是cm.5. 如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝4.分别以点B和点C为圆心，以大于BC一半的长为半径画弧，两弧相交于点M和N，作直线MN，直线MN交AB于点D，连接CD，则△ADC的周长为( )A．8 B．9 C．10 D．116. 线段是轴对称图形，它的一条对称轴是，线段本身所在的直线也是它的一条对称轴．7．线段垂直平分线的定义：一条线段，并且这条线段的直线，叫做该线段的垂直平分线(简称中垂线)．8．线段的垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的相等．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是( )A．AB＝AD B．AC平分∠BCDC．AB＝BD D．△BEC≌△DEC10．如图，在锐角三角形ABC中，直线l为BC的中垂线，直线m为∠ABC的角平分线，l与m相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为() A．24° B．30° C．32° D．36°11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，且∠BAD∶∠CAD ＝4∶1，则∠B＝.12．如图所示，在边长为2的正三角形ABC中，E、F、G分别为AB、AC、BC的中点，点P为线段EF上一个动点，连接BP、GP，则△BPG的周长的最小值是.13. 如图，△ABC和△A′B′C′是两个成轴对称的图形，请作出它的对称轴．14. 如图，某地由于居民增多，要在公路边增加一个公共汽车站，A、B是路边两个新建小区，这个公共汽车站建在什么位置，能使两个小区到车站的路程一样长？15. 如图，M村、N村坐落在笔直的公路上，一条小河l在M村，N村同侧沿直线流过，现要在小河边修一座灌溉水坝P，要求水坝到M村、N村的距离相等，你认为水坝P应该修在什么位置，请在图中将P点画出来．16. 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，BE⊥AE，延长AE交BC的延长线于点F.试说明：AB＝BC＋AD.17. 如图，△ABC中，∠BAC＝110°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，BC＝10cm.求：(1)△ADE的周长；(2)∠DAE的度数．参考答案：1—3 DDB4. 12 175. C6. 线段的垂直平分7. 垂直平分8. 两端点的距离9. C10. C11. 40°12. 313. 解：连结BB′，作BB′的垂直平分线即可．14. 解：建在AB的垂直平分线与公路的交点P处．15. 解：作线段MN的垂直平分线与l的交点即为P点．16. 解：∵E是CD中点，∴易证△AED≌△FEC，∴AE＝EF，AD＝CF，∵BE⊥AE，∴BE垂直平分AF，∴AB＝BC＋CF＝BC＋AD.17. 解：(1)∵DF垂直平分AB，EG垂直平分AC，∴AD＝BD，AE＝EC，所以△ADE 的周长等于10cm；(2)∵AD＝BD，AE＝EC，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠EAC，∴∠ADE＝2∠B，∠AED＝2∠C，而∠B＋∠C＝70°，∴∠ADE＋∠AED＝140°，∴∠DAE＝40°.。
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《简单的轴对称图形》练习（1）
一、选择——基础知识运用
1．到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的（）
A．三条高的交点B．三条角平分线的交点C．三条中线的交点D．三条边的垂直平分线的交点
2．如图，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分别是AB，AC的垂直平分线，
则∠DAE等于（）
A．50° B．45°C．30°D．20°
3．如图，在△ABC中，DE是边AB的垂直平分线，BC=8cm，AC=5cm，则△
ADC的周长为（）
A．14cm B．13cm C．11cm D．9cm
4．已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于D，△ABC和△DBC的周
长分别是70cm和48cm，则△ABC的腰和底边长分别为（）
A．24cm和22cm B．26cm和18cm C．22cm和26cm D．23cm和24cm
5．如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（）
A．甲、乙都正确B．甲、乙都错误C．甲正确，乙错误D．甲错误，乙正确
二、解答——知识提高运用
6．利用尺规作三角形的三条边的垂直平分线，观察这三条垂直平分线的位置关系，你发现了什么？
7．如图，在△ABC中，∠C=40°，∠B=68°，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E．求∠EAD的度数。
8．在△ABC中，AB=AC，BC=12，∠B=30°，AB的垂直平分线DE交BC边于点E，AC的垂直平分线MN
交BC于点N。
（1）求△AEN的周长；
（2）求证：BE=EN=NC。
9．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AB的垂直平分线MN交BC于点D。
（1）如果∠CAD=20°，求∠B的度数。
（2）如果∠CAB=50°，求∠CAD的度数。
（3）如果∠CAD：∠DAB=1：2，求∠CAB的度数。
10．如图，△ABC中，D、E在AB上，且D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点．（1）若△CDE的周长为4，求AB的长；
（2）若∠ACB=100°，求∠DCE的度数；
（3）若∠ACB=a（90°＜a＜180°），则∠DCE= 。
参考答案
一、选择——基础知识运用
1．【答案】D
【解析】到三角形三个顶点的距离都相等的点是这个三角形的三条边的垂直平分线的交点，故选：D。
2．【答案】D
【解析】根据线段的垂直平分线性质，可得AD=BD，AE=GE。
故∠EAC=∠ECA，∠ABD=∠BAD。
因为∠BAC=100°，∠ABD+∠ACE=180°-100°=80°，
∴∠DAE=100°-∠BAD-∠EAC=20°。
故选D。
3．【答案】B
【解析】∵DE是边AB的垂直平分线
∴BD=AD
∴△ADC的周长为AC+DC+AD=AC+BC=5+8=13cm。
故选B。
4．【答案】C
【解析】∵AB的垂直平分线交AC于D，
∴AD=BD，
∴△DBC的周长=BD+CD+BC=AD+CD+BC=AC+BC，
∵△ABC和△DBC的周长分别是70cm和48cm，
∴AB=70-48=22cm，
∴BC=48-22=26cm，
即△ABC的腰和底边长分别为22cm和26cm。
故选：C。
5．【答案】D
【解析】甲：虽然CP= AP，
但∠A≠∠ACP，
即∠A≠∠ACD．甲不正确；
乙∵CP是线段AB的中垂线，
∴△ABC是等腰三角形，即AC=BC，∠A=∠B，
作AC、BC之中垂线分别交AB于D、E，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵∠A=∠B，
∴∠A=∠ACD，∠B=∠BCE，
∵AC=BC，
∴△ACD≌△BCE，
∴AD=EB，
∵AD=DC，EB=CE，
∴AD=DC=EB=CE，乙正确，
故选：D。
二、解答——知识提高运用
6．【答案】三角形的三条边的垂直平分线相交于一点。
7．【答案】∵∠C=40°，∠B=68°，
∴∠BAC=72°，
∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=68°，
∴∠DAC=4°，
∵EG是线段AC的垂直平分线，
∴EA=EC，
∴∠EAC=∠C=40°，
∴∠BAE=32°，
∴∠EAD=∠BAC-∠DAC-∠BAE=36°。
8．【答案】（1）∵DE是AB的垂直平分线，
∴EB=EA，
∵MN是AC的垂直平分线，
∴NA=NC，
则△AEN的周长=AE+AN+EN=BE+EN+NC=BC=12；
（2）∵AB=AC，∠B=30°，
∴∠C=∠B=30°，
∵EB=EA，NA=NC，
∴∠EAB=∠B=30°，∠NAC=∠C=30°，
∴∠AEN=∠EAB+∠B=60°，∠ANE=∠NAC+∠C=60°，
∴△AEN是等边三角形，
∴BE=EN=NC。
9．【答案】第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标，
∵一队战士在一条公路中点垂直射击，
∴敌军基地到这条公路与另两条公路交点的距离相等，
同理，敌军基地到第二条公路与另两条公路交点的距离相等，
∴敌军基地在第三条公路与另两条公路交点之间公路的垂直平分线上，∴第三队战士在第三条公路中点处垂直射击可击中目标。
10．【答案】（1）∵∠C=90°，∠CAD=20°，
∴∠ADC=70°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=35°，
答：∠B的度数是35°
（2）∵∠C=90°，∠CAB=50°，
∴∠B=40°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴DA=DB，
∴∠DAB=∠B=40°，
∴∠CAD=10°
（3）设∠CAD=x，则∠DAB=∠B=2x，
则x+2x+2x=90°，
解得x=18，
则∠CAB=54°。
11．【答案】（1）∵D、E分别是AC、BC的垂直平分线上一点，
∴DC=DA，EC=EB，
∵△CDE的周长=DC+DE+EC=4，∴DA+DE+EB=4，即AB的长为4；（2）∵∠ACB=100°，
∴∠A+∠B=80°，
∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=80°，
∴∠DCE=100°-80°=20°；
（3）∵∠ACB=α，
∴∠A+∠B=180°-α，
∵DC=DA，∴∠DCA=∠A，
∵EC=EB，∴∠ECB=∠B，
∴∠DCA+∠ECB=180°-α，
∴∠DCE=α-180°+α=2α-180°，
故答案为：2α-180°。