《解析几何》第11讲 椭圆及其标准方程椭圆的几何性质1
数学椭圆的标准方程与几何意义知识点
数学椭圆的标准方程与几何意义知识点在咱们的数学世界里，椭圆这家伙可真是个有趣又有点小“狡猾”的存在。
说起椭圆，我就想起之前为了搞懂它的标准方程和几何意义，那可真是费了好大一番功夫。
那时候，我正坐在教室里，阳光透过窗户洒在课桌上，老师在黑板上写下了椭圆的标准方程。
看着那一堆密密麻麻的符号和数字，我感觉自己的脑袋都要大了。
老师开始讲解，说椭圆的标准方程有两种形式，一种是焦点在 x 轴上的，一种是焦点在 y 轴上的。
我就在想，这椭圆咋还这么“矫情”，非得有两种形式。
咱们先来说说焦点在 x 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
这里的\（a\）叫做椭圆的长半轴长，＼（b\）叫做短半轴长。
为了搞清楚这\（a\）和\（b\）到底是怎么回事，我可是下了不少功夫。
我拿着笔在本子上不停地画呀画，就想弄明白为什么会有这样的方程。
我发现，当我确定了\（a\）和\（b\）的值，就能画出一个特定的椭圆。
比如说，我设\（a ＝ 5\），＼（b ＝ 3\），然后开始计算坐标。
我从\（（a, 0)＼）也就是\（（－5, 0)＼）开始，一点一点地找坐标，就像在地图上找宝藏一样。
再来说说焦点在 y 轴上的椭圆标准方程：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。
这和焦点在 x 轴上的方程看起来有点像，但又不完全一样。
我当时就琢磨，这数学也太会捉弄人了，就不能简单点嘛！为了能真正理解这两个方程，我找了好多练习题来做。
有一次，做一道题做了半天也没做出来，急得我抓耳挠腮的。
我就盯着那道题，心里想着：“我就不信搞不定你！”后来发现是自己把\（a\）和\（b\）的值给弄混了，重新整理思路后，终于做出来了，那一刻，心里别提多有成就感了。
搞清楚了标准方程，接下来就是几何意义了。
这椭圆的几何意义也很有意思。
椭圆的标准方程及性质
椭圆的标准方程及性质椭圆作为二维空间中的图形，具有一些独特的性质和特点。
本文将介绍椭圆的标准方程以及其相应的性质。
一、椭圆的标准方程椭圆的标准方程可以通过平面几何的推导得出。
设椭圆的中心为点（h，k），椭圆的长轴为2a，短轴为2b，则可得出椭圆的标准方程：（x-h）^2/a^2 +（y-k）^2/b^2 = 1其中，h和k分别是椭圆的中心在x轴和y轴上的坐标，a和b分别是椭圆长轴和短轴的一半。
二、椭圆的性质1. 中心：椭圆的中心即标准方程中的点（h，k），表示椭圆在平面上的位置。
2. 焦点：椭圆上的每个点到两个焦点的距离之和等于定值2a，即椭圆的长轴长度。
焦点是椭圆的重要特点，用于定义椭圆的几何性质。
3. 长轴和短轴：标准方程中a和b分别表示椭圆的长轴和短轴的一半。
长轴是椭圆的最长直径，短轴是椭圆的最短直径。
4. 离心率：椭圆的离心率定义为焦距与长轴之比，通常用e表示。
离心率决定了椭圆的扁平程度，e＜1时表示椭圆，e=0时表示圆。
5. 直径：椭圆上的两个端点同时到椭圆内一点的距离相等，则这两个端点和该内点连成的线段叫做该椭圆的直径。
6. 弦：椭圆上任意两点连线和椭圆的直径所围内部的线段叫做椭圆的弦。
7. 准线：椭圆上与两个焦点连线垂直的直线，与椭圆的侧弦相切。
8. 焦散性：入射到椭圆的平行光线在反射后会汇聚到另一个焦点上，这是椭圆焦散性的一个重要表现。
三、椭圆的应用椭圆作为一种常见的数学曲线，在现实生活中有广泛的应用。
以下是一些椭圆应用的例子：1. 天体运动：行星围绕太阳的轨迹、人造卫星轨道等可以近似看作椭圆。
2. 光学器件：抛物面镜、椭圆面镜等。
3. 固定时间下的最短路径问题。
4. 卫星通信：卫星的定位和通信领域中使用椭圆轨道。
4. 造船工业：船体的椭圆剖面设计，可以减少水的阻力。
5. 圆锥曲线中的一类，在几何光学中，椭球曲面可以聚焦光线。
总结：本文介绍了椭圆的标准方程及其性质。
椭圆作为一种重要的数学曲线，其在几何和物理学中有着广泛的应用。
椭圆定义及其标准方程
焦点性质
总结词
椭圆的两个焦点位于长轴的端点，且与椭圆中心距离等于长轴长度减去短轴长度。
详细描述
对于标准椭圆方程，其长轴和短轴长度分别为a和b，焦距为c，满足关系c = sqrt(a^2 - b^2)。椭圆的两个焦点 位于长轴的端点，与椭圆中心的距离等于c。
顶点性质
总结词
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点，分别有四个顶点，分布在椭圆的四个象限内。
性质
椭圆具有对称性，关于x 轴、y轴和原点都是对称 的。
应用
在平面几何中，椭圆常用 于解决与圆、直线、三角 形等图形相关的问题。
在解析几何中的应用
定义
在解析几何中，椭圆用直角坐标方程表示为 (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长半轴和短半轴。
性质
解析几何中的椭圆具有明确的参数关系，可以通过参数方程进行描 述。
详细描述
椭圆的顶点是长轴和短轴与椭圆的交点。由于椭圆关于原点对称，因此有四个顶点，分 布在椭圆的四个象限内。这些顶点分别是长轴和短轴与椭圆的交点，对于标准椭圆方程，
长轴和短轴的长度分别为a和b。
04
椭圆的几何意义
在平面几何中的应用
01
02
03
定义
椭圆是平面内与两个定点 F1、F2的距离之和等于常 数（大于|F1F2|）的点的 轨迹。
椭圆的切线性质
切线与焦点
通过椭圆上任意一点的切 线与两个焦点形成的角是 直角。
切线长度
切线长度等于椭圆上该点 到最近焦点的距离。
切线性质定理
切线与通过切点的长轴或 短轴垂直。
椭圆的参数方程
参数方程定义
椭圆的参数方程是一种 表示椭圆上点的坐标的 方式，通常使用三角函 数来表示。
椭圆方程及几何性质
参数θ表示椭圆上的点与椭圆中心的角度，通过改变θ的值，可以描述椭圆上点的运动 轨迹。
参数方程的应用和几何意义
应用
参数方程在数学、物理、工程等多个领 域都有广泛应用，特别是在处理复杂的 几何形状和运动轨迹时，参数方程能够 提供更直观和简洁的表示方法。
VS
几何意义
参数方程的几何意义在于将曲线上点的坐 标表示为参数的变化，从而将曲线的几何 性质转化为参数的变化性质，有助于深入 理解曲线的几何特性。
椭圆的顶点和焦点
定义
椭圆的顶点是椭圆与坐标 轴的交点，焦点是用于确 定椭圆位置的两个点。
解释
顶点位于边界线上，而焦 点位于椭圆内部。
应用
利用椭圆的顶点和焦点可 以确定椭圆的位置和大小。
03
椭圆的几何性质
椭圆的直径和弦
直径
连接椭圆上任意两点的线段被称为直 径，其长度等于椭圆的长轴或短轴。
弦
通过椭圆中心的线段与椭圆的交点形 成的线段被称为弦。
04
椭圆的极坐标表示
极坐标与直角坐标的转换
极坐标与直角坐标的转换公式：$x = rhocostheta, y = rhosintheta$，其 中$rho$为极径，$theta$为极角。
通过转换公式，可以将椭圆的直角坐 标方程转化为极坐标方程，便于理解 和分析。
椭圆的极坐标方程
椭圆的极坐标方程为 $frac{rho^2cos^2theta}{a^2} + frac{rho^2sin^2theta}{b^2} = 1$， 其中$a$和$b$分别为椭圆的长半轴和 短半轴。
椭圆的焦点到椭圆上任意一点的距离之和等于常数，这个常 数等于两个半轴长度之和，即 $a + b$。
椭圆的性质课件
椭圆的性质课件椭圆的性质椭圆是数学中一种重要的几何图形，它具有许多独特的性质和特点。
在本文中，我们将探讨椭圆的性质，包括其定义、方程、焦点、直径和切线等方面。
一、椭圆的定义和方程椭圆可以通过一对焦点和到焦点距离之和等于常数的点的集合来定义。
具体而言，给定两个焦点F1和F2，以及一个正常数2a（a>0），椭圆是满足以下条件的点P的集合：PF1 + PF2 = 2a。
椭圆的方程可以通过焦点和到焦点距离之和的定义来推导。
假设椭圆的焦点分别为F1（c,0）和F2（-c,0），其中c为正常数。
椭圆上的任意一点P（x,y）到焦点F1和F2的距离分别为PF1和PF2，根据定义，我们有PF1 + PF2 = 2a。
根据距离公式，我们可以得到椭圆的方程：√[(x-c)²+y²] + √[(x+c)²+y²] = 2a二、椭圆的焦点和直径椭圆的焦点是椭圆上特殊的点，它们对于椭圆的性质起着重要的作用。
根据椭圆的定义，焦点F1和F2分别位于椭圆的长轴上，并且到焦点距离之和等于常数2a。
椭圆的中点O为焦点F1和F2连线的中点，也是椭圆的对称中心。
椭圆的直径是椭圆上通过中心点O的线段，且两端点都在椭圆上。
椭圆的长轴是通过焦点F1和F2的直径，而短轴是与长轴垂直的直径。
椭圆的长轴长度为2a，短轴长度为2b。
三、椭圆的切线和法线椭圆上的切线是与椭圆相切的直线，它与椭圆的曲线只有一个交点。
椭圆上的任意一点P处的切线可以通过求解椭圆的方程和切线的斜率来确定。
根据导数的定义，我们可以得到椭圆上任意一点P（x,y）处的切线的斜率为：dy/dx = -x/√[(a²-x²)/b²]椭圆上的法线是与切线垂直的直线，它与切线的交点为切点。
椭圆上任意一点P处的法线可以通过求解椭圆的方程和法线的斜率来确定。
根据切线的斜率和法线的斜率的关系，我们可以得到椭圆上任意一点P（x,y）处的法线的斜率为：dy/dx = √[(a²-x²)/b²]/x四、椭圆的性质和应用椭圆具有许多重要的性质和应用。
椭圆的标准方程和性质ppt课件
课堂练习
已知，曲线方程
x2 y2 k4 6k
1
（1）当k为何值时，表示圆；
（2）当k为何值时，表示椭圆；
（3）当k为何值时，表示焦点在x轴上的椭圆。
新授
二、椭圆的性质：
新授
二、椭圆的性质：
新授
(4)离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e c
叫做椭圆的离心率。
a
e越趋近于1，则c越趋近于a，从而 b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
a2 b2
1(a b 0) 上的一点，F1, F2
为椭
圆的两焦点，若 PF1 PF2 ，试求：
（1）椭圆的方程；
（2）PF1F2 的面积。
课堂练习
设椭圆C：ax22
y2 b2
1(a
b
0)
过点（0,3），其离心率为
4 5
。求：
（1）椭圆C的标准方程；
（2）过点（4,0），且斜率为 3 的直线被椭圆C所截得的线段的
的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点。
焦点
标准方程的推导
新授 一、椭圆的标准方程
推导：
新授 一、椭圆的标准方程
2、椭圆的标准方程：
x2 y2 a2 b2 1
(a b 0)
焦点的坐标
焦距
问题解决
例题讲解
例1.平面内两个定点的距离是8，求到这两个定点的距离的和是10的
点的轨迹方程。
例2.分别求椭圆A：x2 y2 1 与椭圆B： x2 y2 1 的焦点。
43
34
x2 y2 想一想：过椭圆 9 5 1 的右焦点 F2作x轴的垂线，交椭圆于A，B两
点，F1 是椭圆的左焦点，你能求出AF1F2 的周长吗？ ABF1 的周长呢？
椭圆标准方程及几何性质
椭圆的离心率
离心率是描述椭圆扁平程度的量，用 $e$表示。
VS
离心率定义为$e = frac{c}{a}$，其中 $c$是焦距，$a$是长轴半径。
03
椭圆的参数方程
参数方程的定义
参数方程
通过引入参数，将椭圆上的点与一组有序数对（参数）关联起来，表示椭圆上 的点的一种方法。
参数方程的一般形式
x=a*cos(t)x = a cos(t)x=a∗cos(t) 和 y=b*sin(t)y = b sin(t)y=b∗sin(t)，其中 (a,b) 是椭圆的长短轴长度，t是参数。
通过极坐标方程，可以方便地解决与椭圆相关的几何问题，例如求 交点、判断点是否在椭圆上等。
05
椭圆的焦点三角形
焦点三角形的性质
焦点三角形是等腰三角形
01
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为常数，因此焦点三
角形是等腰三角形。
顶角为直角
02
由于椭圆上任意一点到两焦点的距离之差与到另一焦点的距离
之比为常数，因此顶角为直角。
当长短轴长度一定时，顶角越大，焦 点三角形面积越大。
焦点三角形的周长
01
02
03
周长公式
焦点三角形的周长公式为 (P = 2a + 2c)，其中 (a) 为长轴长度，(c) 为焦距。
周长与长短轴关系
当长短轴长度一定时，离 心率越大，焦点三角形周 长越大。
周长与离心率关系
当长短轴长度一定时，长 短轴长度越接近，焦点三 角形周长越小。
THANKS
感谢观看
参数方程的应用
简化计算
在解决与椭圆相关的数学问题时，使用参数方程可以简化计算过程，特别是涉及到三角函数的问题。
椭圆的性质及知识点总结
椭圆的性质及知识点总结一、椭圆的定义和基本性质1.1 椭圆的定义椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
设d1和d2分别表示P到F1和F2的距离，则椭圆的定义可以用数学表达式表示为|d1 + d2| = 2a 。
1.2 椭圆的基本性质（1）椭圆对称轴：椭圆有两个对称轴，分别称为长轴和短轴。
长轴的端点是两个焦点F1和F2，短轴与长轴垂直并通过椭圆的中心点。
（2）椭圆的焦点和离心率：椭圆的焦点是定义椭圆的两个定点F1和F2，离心率e是一个表示椭圆形状的参数，e的取值范围是0<e<1。
（3）椭圆的三大定律：椭圆有三个基本定律，分别是:（a）椭圆内到两个焦点的距离之和等于长轴的长度；（b）椭圆内到两个焦点的距离之差等于长轴的长度；（c）椭圆的面积等于πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
1.3 椭圆的方程椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是长轴和短轴的长度，椭圆的中心点位于原点(0,0)。
二、椭圆的相关知识点2.1 椭圆的离心率椭圆的离心率e的定义是e=c/a，其中c为焦距，a为长半轴的一半。
离心率越接近于0，椭圆形状越圆；离心率越接近于1，椭圆形状越扁。
2.2 椭圆的参数方程椭圆也可以用参数方程表示，参数方程为：x = a * cosθy = b * sinθ其中θ为参数，a和b分别是长轴和短轴的长度。
2.3 椭圆的焦半径椭圆的焦半径是指从椭圆的焦点到该椭圆上的任意一点P的距离，椭圆上各点的焦半径之和等于椭圆的周长。
2.4 椭圆的切线椭圆上的切线有一个特点：与椭圆相切的切线在切点处与切线的法线垂直。
根据这个特点可以求出椭圆上任意一点处的切线方程。
2.5 椭圆的焦点坐标椭圆的焦点坐标可以通过椭圆的离心率和焦距来求解。
焦点坐标为（±ae, 0），a为长轴的一半，e为椭圆的离心率。
2.6 椭圆的面积椭圆的面积可以通过参数法求解，面积为πab，其中a和b分别是长轴和短轴的长度。
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顶点 性 质
轴
焦距 离心率 a，b，c 的关系
椭圆中的基本元素 1.基本量:
几何意义： 相互关系：
半长轴 半短轴 半焦距 离心率
2 2 2
a
b
c
e
c a b
c e a
2.基本点：顶点、焦点、中心
3.基本线: 对称轴
2 2 例题1.已知椭圆为16x +25y =400, 则 它的长轴长是 10 .
当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时，要理清
它们之间的内在联系．
短轴长是
焦距是
8 6 3/5
(3, 0)
.
.
离心率等于
焦点坐标是
.
. 80
(0, 4) .
顶点坐标是 (5, 0) 外切矩形的面积等于
.
例题2. 已知F1(－1,0) ,F2(1,0)是椭圆C的
两个焦点，过F2且垂直于x轴的直线交C
于A，B两点，且|AB|＝3，则C的方程为 2 2 x y 是 . 1 4 3 2 b A 2 3 a
第11讲 椭圆几何性质(1)
椭圆的几何性质
标准 方程
x 2 y2 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
y x 2＋ 2＝ 1(a>b>0) a b
2
2
图形
性 质
范 围
－a≤x≤a －b≤y≤b
－b≤x≤b －a≤y≤a
对称性
原点 坐标轴 ，对称中心：______ 对称轴：________
A1(－a,0)，A2(a,0) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(0，－b)，B2(0，b) B1(－b,0)，B2(b,0) 2a 长轴A1A2的长为_____ 短轴B1B2的长为_____ 2b 2c |F1F2|＝______ (0,1) e＝∈_______ a2－b2 c2＝________
F1
F2
B
c a b 1
2 2 2
x 2 3 例题 3. 已知 A( ,0)及椭圆 4 ＋y ＝1
2 ． 3 上任意一点 P，则|PA|的最大值为___
2
x 2 提高题： 已知点 A(0,2)及椭圆 4 ＋y ＝1 上任意一点
2 21 3 ． P，则|PA|的最大值为___
2
利用椭圆几何性质： 求解与椭圆几何性质有关的问题时，要结合图形进行分析；