第二讲：命题及其关系、充要条件与必要条件

第二讲命题及其关系、充分条件与必要条件
【知识要点精解】
一、命题的概念
1、命题的概念
在数学中，可以判断真假的用文字或符号表达的语句叫作命题．其中判断为真的语句叫作真命题，判断为假的语句叫作假命题。

注意：一个命题要么是真命题，要么是假命题，不能模棱两可。

2、判断一个语句是否是命题的标准
判断一个语句是否是命题要看它是否同时满足以下两个条件：
①：语句是陈述句；②：语句能够判断真假。

注意：①、一般来说，疑问句、祈使句、感叹句等都不是命题；
②、对于含有变量的句子，要注意到能否判断出真假，若能，则是命题；若不能，则不是命题；
③、还有一些语句，尽管目前不能判断出真假，但是从事物的本质而论，是可以判断出真假，尤其是科学上的一些猜想，这类语句是真命题。

3、命题的形式
数学中通常把命题写成“若P,则q”的形式，其中P是条件，q是结论。

有些命题不是这种形式，不过通过改写条件可以把它变成这种形式。

二、四种命题及其关系
1、四种命题的形式
原命题的表示形式为：若P,则q；
逆命题的表示形式为：若q,则P；
否命题的表示形式为：若⌝P,则⌝q；
逆否命题的表示形式为：若⌝q,则⌝P。

注意：一些常见词语的否定总结如下：
由上表可知：
①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．
因此，在一个命题的四种命题中，真命题的个数要么0个，要么2个，要么4个。

注意：写一命题的其他三种命题时，需注意
①、对于不是“若P,则q”形式的命题，需先改写；
②、当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提；
③、对于多个并列条件的命题，应把其中一个作为大前提。

三、充分条件与必要条件
1、充分条件与必要条件
(1) 如果pÞq，那么称p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2) 如果pÞq，且qÞp，那么称p是q的充要条件，记作pÛq.
(3) 如果p Þq ，q Þ/p ，那么称p 是q 的充分不必要条件． (4) 如果q Þp ，p Þq ，那么称p 是q 的必要不充分条件．
(5) 如果p Þ/ q ，且q Þ/ p ，那么称p 是q 的既不充分也不必要条件． 注意：
①、充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p ，则q”及其逆命题的真假进行区分，在
具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A 是B 的什么条件”中，A 是条件，B 是结论，而“A 的什么条件是B”中，A 是结论，B 是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分
2、从集合的观点看充分条件与必要条件 若p 以集合A 的形式出现，q 是以集合B 的形式出现，即A={P(x)},B={q(x)},则关于充分条件、必要条件的定义又可以作一下叙述：
①、若A ⊆B ，则p 是q 的充分不必要条件; ②、若B ⊆A ，则p 是q 的必要不充分条件；
③、若A=B ，则p 是q 的充分必要条件；
④、若,A B B A ⊄⊄，则p 是q 的既充分不必要条件。

【热点题型归纳】
【热点题型】
题型一 四种命题及其真假判断 【例1】 有下列几个命题：
①“若a >b ，则a 2>b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题； ③“若x 2<4，则－2<x <2”的逆否命题．其中真命题的序号是________． 【提分秘籍】
1．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”、“否命题”、“逆否命题”．
2．判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除．
题型二充分条件和必要条件的判定
【例2】“1<x<2”是“x<2”成立的()
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【提分秘籍】
判断命题的充分条件、必要条件的方法：
①．定义法
定义法就是将充要条件的判断转化为两个命题——“若p，则q”与“若q，则p”的判断，根据两个命题是否正确，来确定p与q之间的充要关系．
判断p、q之间的关系，只需判断两个命题A：“若p，则q”和B：“若q，则p”的真假．
(1)若p⇒q，则p是q的充分条件；
(2)若q⇒p，则p是q的必要条件；
(3)若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
(4)若p⇒q且q⇒/ p，则p是q的充分不必要条件；
(5)若p⇒/ q且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
(6)若p⇒/ q且q⇒/ p，则p是q的既不充分也不必要条件
②利用集合间的关系判断充要条件的方法
条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假.。