概率论基本公式
概率论公式汇总
Pn ( k ) C n p k q n k
k
， k 0,1,2, , n 。
第二章
随机变量及其分布
基本事件 随机事件A P ( A) 随机变量X ( ) a X b F (b) F (a )
设离散型随机变量 X 的可能取值为 Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事 件(X=Xk)的概率为 P(X=xk)=pk，k=1,2,…， （1）离散 型随机变 量的分布 律 则称上式为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律。有时也用分布列的形 式给出：
P ( A)
（10）加法 公式 （11）减法 公式
L( A) 。其中 L 为几何度量（长度、面积、体积） 。 L ()
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) 当 P(AB)＝0 时，P(A+B)=P(A)+P(B) P(A-B)=P(A)-P(AB) 当 B A 时，P(A-B)=P(A)-P(B) 当 A=Ω时，P( B )=1- P(B) 定义 设 A、B 是两个事件，且 P(A)>0，则称
德摩根率： i 1
A A
i i 1
i
A B A B， A B A B
设 为样本空间， A 为事件，对每一个事件 A 都有一个实数 P(A)，若满 足下列三个条件： 1° 0≤P(A)≤1， 2° P(Ω) =1 （7）概率 的公理化 定义 3° 对于两两互不相容的事件 A1 ， A2 ，…有
P(A)= ( 1 ) ( 2 ) ( m ) = P( 1 ) P( 2 ) P( m )
设任一事件 A ，它是由 1 , 2 m 组成的，则有
概率论计算公式总结
概率论计算公式总结概率论是研究随机事件发生的可能性的数学分支，它在各个领域都有广泛的应用。
在概率论中，有一些重要的计算公式，它们能够帮助我们计算出某个事件发生的概率。
本文将总结一些常用的概率论计算公式，并解释其应用场景和计算方法。
1. 概率的定义概率是用来描述某个事件发生的可能性的数值。
在概率论中，概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
对于一个随机事件A来说，其概率记为P(A)。
2. 加法法则加法法则是计算两个事件之和的概率的公式。
对于两个互斥事件A 和B来说，它们不能同时发生，因此它们的概率之和等于各自概率的和，即P(A∪B) = P(A) + P(B)。
3. 乘法法则乘法法则是计算两个事件同时发生的概率的公式。
对于两个独立事件A和B来说，它们的概率之积等于各自概率的乘积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
4. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
其中，P(A∩B)表示事件A和B同时发生的概率，P(B)表示事件B发生的概率。
5. 全概率公式全概率公式是一种利用已知条件概率来计算事件A的概率的方法。
假设有一系列互斥且穷尽的事件B1、B2、...、Bn，那么事件A的概率可以表示为P(A) = P(A|B1) × P(B1) + P(A|B2) × P(B2) + ... + P(A|Bn) × P(Bn)。
6. 贝叶斯公式贝叶斯公式是一种利用条件概率来计算事件B的概率的方法。
根据条件概率的定义，可以得到贝叶斯公式为P(B|A) = P(A|B) × P(B) / P(A)。
其中，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A|B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B)和P(A)分别表示事件B和事件A发生的概率。
概率论全概率公式和贝叶斯公式
概率论全概率公式和贝叶斯公式概率论是数学的一门分支，主要研究以概率为基础的随机现象和数学模型，以及这些模型的性质和应用。
全概率公式和贝叶斯公式是概率论中两个重要的基本定理，本文将深入探讨这两个公式的概念、原理和应用。
一、全概率公式（Law of Total Probability）全概率公式是概率论中一个非常基本且有用的公式，它给出了一个事件的概率如何通过其他相关事件的概率来进行计算。
假设有一组互斥和完备的事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}，即这些事件是两两不重叠且一起构成了样本空间Ω，那么对于任意一个事件A，其概率可以表示为：P(A)=P(B₁)P(A，B₁)+P(B₂)P(A，B₂)+P(B₃)P(A，B₃)+...+P(Bₙ)P(A，Bₙ)其中，P(A)表示事件A的概率，P(B₁)、P(B₂)、P(B₃)、..、P(Bₙ)表示事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}的概率，P(A，B₁)、P(A，B₂)、P(A，B₃)、..、P(A，Bₙ)表示在事件{B₁，B₂，B₃，...，Bₙ}发生的条件下，事件A发生的概率。
全概率公式实际上是根据概率的加法规则推导出来的，它将事件A的概率分解为在不同条件下的概率。
通过求解这些条件概率，可以更加准确地计算事件A的概率。
全概率公式的应用非常广泛，例如在实际生活中，我们可能会遇到一些情况，我们对一些事件的概率不清楚，但是我们对一些互斥且完备的事件的概率有一些了解，利用全概率公式，我们可以通过这些已知的概率来推导出我们所关心的事件的概率。
二、贝叶斯公式（Bayes' theorem）贝叶斯公式是概率论中一个非常重要的公式，它描述了在已知事件B发生后，事件A发生的概率。
对于两个事件A和B，其中事件B发生的条件下，事件A发生的概率可以表示为：P(A，B)=P(B，A)P(A)/P(B)其中，P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率；P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率；P(A)表示事件A的概率；P(B)表示事件B的概率。
全概率公式 完备事件组概率
全概率公式完备事件组概率
全概率公式是概率论中的一个基本公式，用于计算某个事件的概率。
它的一般形式为：
P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|非B)P(非B)
其中，P(A)是事件A发生的概率，P(A|B)*P(B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A|非B)*P(非B)表示在事件B不发生的条件下，事件A发生的概率。
完备事件组是指包含了某事件所有可能结果的事件组。
在概率论中，完备事件组的概率被定义为该事件的概率。
因此，如果我们知道了某个事件A的所有可能结果集合，以及每个结果发生的概率，我们就可以使用全概率公式计算出该事件A发生的概率。
同时，如果我们还知道了某个条件事件B的所有可能结果集合以及每个结果发生的概率，我们就可以进一步计算出条件事件B发生的概率，以及事件A在条件事件B发生的条件下发生的概率。
需要注意的是，在使用全概率公式时，需要确保事件A 和事件B是独立的，也就是说，事件A的发生不会影响事件
B的发生，反之亦然。
否则，我们需要使用条件概率来计算事件A在条件事件B发生的条件下发生的概率。
概率论的基本概念与公式
概率论的基本概念与公式概率论是数学中的一个重要分支，研究事件发生的可能性和规律。
本文将介绍概率论的基本概念与公式，包括样本空间、事件、概率、概率分布等内容。
一、样本空间在概率论中，样本空间是指一个随机试验中所有可能结果的集合。
用S表示样本空间。
例如，掷一枚硬币的样本空间为S={正面，反面}。
二、事件事件是样本空间的子集，表示某一特定结果或结果的集合。
常用大写字母A、B、C等表示事件。
发生事件A的条件是实验结果属于事件A。
三、概率概率是对随机事件发生可能性的数值度量，用P(A)表示事件A的概率。
概率的取值范围介于0和1之间，即0≤P(A)≤1。
当P(A)=0时，表示事件A不可能发生；当P(A)=1时，表示事件A必然发生。
四、概率公式1.加法公式加法公式用于计算两个事件A和B的并集事件。
若A和B是互不相容的事件，则有：P(A∪B) = P(A) + P(B)2.乘法公式乘法公式用于计算两个事件A和B同时发生的概率。
若A和B是相互独立的事件，则有：P(A∩B) = P(A) * P(B)3.条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
条件概率用P(A|B)表示，读作“在B发生的条件下A发生的概率”。
计算条件概率的公式为：P(A|B) = P(A∩B) / P(B)4.全概率公式全概率公式用于计算一个事件A的概率，通过已知与A有关的多个条件事件的概率来确定。
全概率公式的公式为：P(A) = P(A|Bi) * P(Bi)，其中i表示条件事件的个数，Bi表示条件事件。
五、概率分布概率分布是指随机变量的所有可能取值及其对应的概率。
常见的概率分布包括离散概率分布和连续概率分布。
离散概率分布适用于随机变量的取值为一系列离散值的情况，如二项分布、泊松分布等；连续概率分布适用于随机变量的取值为连续范围内的情况，如正态分布、指数分布等。
六、期望与方差期望是随机变量的预期值，表示随机变量取值的平均水平。
全概率公式,贝叶斯公式的推广及其应用
全概率公式,贝叶斯公式的推广及其应用一、全概率公式全概率公式是概率论中的基本公式之一，也称作“条件概率公式”。
简单地说，它是用于计算一个事件发生的概率，而该事件可以发生在多个不同的情况下。
这个公式通常是这样表述的：P(A) = ΣP(A|B_i)*P(B_i)其中，A是要计算的事件，B_i 是 A 可以在其上发生的情况。
P(A|B_i) 是在给定的情况 B_i 下 A 发生的概率，P(B_i) 是情况B_i 发生的概率。
Σ 是对所有情况 B_i 求和。
换句话说，这个公式的含义是：要计算事件 A 发生的概率，我们需要把所有可能性下的条件发生的概率乘起来，再加起来，最终就得到了事件 A 发生的概率。
二、贝叶斯公式另一个常用的概率公式是贝叶斯公式，它与全概率公式有关。
贝叶斯公式是用于计算事件的后验概率（posterior probability），即已知某些证据的情况下再计算事件 A 发生的概率。
它经常用在统计学、机器学习等领域中。
贝叶斯公式通常表述为：P(B|A) = P(A|B)*P(B) / Σ(P(A|B_i)*P(B_i))在这个公式中，A 是已知的证据，B 是要计算的事件。
P(A|B) 是在事件 B 发生的情况下事件 A 发生的概率，P(B) 是事件 B 发生的先验概率（prior probability），即在没有任何证据的情况下事件B 发生的概率。
Σ(P(A|B_i)*P(B_i)) 是全概率公式中的求和项。
三、推广及应用全概率公式和贝叶斯公式可以相互推导，它们都是计算概率的重要工具，广泛应用于各种领域中。
例如：1、在医学诊断中，医生可以利用贝叶斯公式来计算某个病人患病的概率，而这个概率可以作为判断病人是否需要进一步检查或治疗的依据。
2、在自然语言处理中，贝叶斯公式可以用于计算文档中词汇的概率，从而实现文本分类、情感分析等任务。
3、在无人驾驶汽车中，全概率公式可以用于估计车辆在道路上的位置，贝叶斯公式可以用于预测其他车辆的行驶路线和速度，从而实现智能决策和避免碰撞。
独立事件概率公式大全
独立事件概率公式大全概率论是数学中重要的一个分支，它研究的是随机事件的发生规律。
而独立事件指的是两个或多个事件之间的发生不会相互影响的事件。
在概率论中，我们常常需要计算和应用独立事件的概率。
本文将给出一些常见的独立事件概率公式，帮助读者更好地理解和应用概率论的知识。
1.独立事件的概率乘法公式：如果事件A和事件B是相互独立的事件，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积。
即P(A∩B)=P(A)×P(B)。
2.独立事件的概率和公式：如果事件A和事件B是相互独立的事件，那么它们至少有一个发生的概率等于各自发生概率之和减去它们同时发生的概率。
即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
3.互斥事件的概率公式：如果事件A和事件B是互斥的事件，即两个事件不能同时发生，那么它们取任意一个事件发生的概率等于各自发生的概率之和。
即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
4.独立事件的n次发生的概率公式：如果事件A是一个独立事件，那么它发生n次的概率等于各次发生概率的乘积。
即P(A)的n次方。
5.反向事件的概率公式：如果事件A发生的概率等于p，那么事件A不发生的概率等于1-p。
6.否定事件的概率公式：如果事件A发生的概率等于p，那么事件A的否定事件（即事件A不发生）的概率等于1-p。
7.组合事件的概率公式：如果事件A、B、C是三个相互独立的事件，且它们的发生均相互独立，那么它们同时发生的概率等于各自发生的概率的乘积。
即P(A∩B∩C)=P(A)×P(B)×P(C)。
8.独立事件的概率的加法公式：如果事件A和事件B是相互独立的事件，那么它们分别发生的概率之和等于它们交集为空集的联合发生的概率。
即P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)。
9.完全事件的概率公式：如果一个样本空间S的所有可能事件组成一个完全事件组，那么完全事件组中的所有事件发生的概率之和等于110.全概率公式：如果事件A可以被划分为多个互不相交的子事件B1、B2、B3...，那么事件A的概率等于每个子事件发生时A发生的条件概率之和，即P(A)=P(A，B1)×P(B1)+P(A，B2)×P(B2)+P(A，B3)×P(B3)+...。
概率论与数理统计完整公式
概率论与数理统计完整公式概率论与数理统计是数学的一个分支，研究随机现象和随机变量之间的关系、随机变量的分布规律、经验规律及参数估计等内容。
在概率论与数理统计的学习中，有许多重要的公式需要掌握。
以下是概率论与数理统计的完整公式。
一、概率论公式：1.全概率公式：设A1，A2，…，An为样本空间S的一个划分，则对任意事件B，有：P(B)=P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P(B│An)·P(An)2.贝叶斯公式：对于样本空间S的一划分A1，A2，…，An，其中P(Ai)>0，i=1,2，…，n，并且B是S的任一事件，有：P(Ai│B)=[P(B│Ai)·P(Ai)]/[P(B│A1)·P(A1)+P(B│A2)·P(A2)+…+P (B│An)·P(An)]3.事件的独立性：若对事件A，B有P(AB)=P(A)·P(B)，则称事件A，B相互独立。
4.概率的乘法公式：对于独立事件A1，A2，…，An，有：P(A1A2…An)=P(A1)·P(A2)·…·P(An)5.概率的加法公式：对事件A，B有：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)6.条件概率的计算：对事件A，B有：P(A，B)=P(AB)/P(B)7.古典概型的概率计算：设事件A在n次试验中发生k次的次数服从二项分布B(n,p)，则其概率可表示为：P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1-p)^(n-k)，其中C(n,k)=n!/[k!(n-k)!]二、数理统计公式：1.样本均值的期望和方差：样本的均值X̄的期望和方差分别为： E(X̄) = μ，Var(X̄) = σ^2 / n，其中μ 为总体的均值，σ^2 为总体方差，n 为样本容量。
2.样本方差的期望：样本方差S^2的期望为：E(S^2)=σ^2，其中σ^2为总体方差。
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概率论与数理统计基本公式第一部分 概率论基本公式1、)(;A B A B A AB A B A B A -⋃=⋃-==--2、对偶率：.----⋃=⋂⋂=⋃B A B A B A B A ； 3、概率性率：)()();()()(),()()(B P A P B P A P B A P A B AB P A P B A P ≥-=-⊂-=-时有：特别，)()()(212121A P A P A A P A A +=⋃为不相容事件，则、有限可加：)()()()(AB P B P A P B A P -+=⋃对任意两个事件有：4、古典概型222n 2!)(n ,22)-n 2)!n 2(22nC n A P C A n n n ==！，则自成一双为：！！（解：分堆法：每堆自成一双鞋的概率只，事件堆，每堆为只，分为双鞋总共例： 5、条件概率称为无条件概率。
的条件概率，条件下，事件称为在事件)(,)()()|(B P B A A P AB P A B P =B)|P(B)P(A P(AB) A)|P(A)P(B P(AB)==乘法公式：)|()()(i i A B P A P B P i∑=全概率公式：)|()()|()()()()|(j j ji i i A B P A P A B P A P B P B A P B A P i ∑==贝叶斯公式：例：有三个罐子,1号装有2红1黑共3个球,2号装有3红1黑4个球,3号装有2红2黑4个球,某人随机从其中一罐,再从该罐中任取一个球,1求取得红球的概率；2如果取得是红球,那么是从第一个罐中取出的概率为多少.348.0)()()|()|()2(.639.0)(31)()()(.21)|(;43)|(;32)|()|()()(}{3,2,1i }{)1(111321321i i 321≈=≈∴==========∑A P B P B A P A B P A P B P B P B P B A P B A P B A P A B P A P B P B B B A i B ii 由贝叶斯公式：，，依题意，有：由全概率公式是一个完备事件、、，由题知取得是红球。
，号罐球取自设解：6、独立事件1PAB=PAPB,则称A 、B 独立; 2伯努利概型如果随机试验只有两种可能结果：事件A 发生或事件A 不发生,则称为伯努利试验,即： PA=p,q p A P =-=-1)( 0<p<1,p+q=1相同条件独立重复n 次,称之为n 重伯努利试验,简称伯努利概型;伯努利定理：kn k k np p C p n k b --=)1(),;( k=0,1,2…… 事件A 首次发生概率为：1)1(--k p p例：设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3,当A 发生不少于3次时,指示灯发出信号,1进行5次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率；2进行了7次重复独立试验,求指示灯发出信号的概率;353.0)()1(1)1()(7)2(163.0)()1()(512777375535=--=-===-==-=-=-=∑∑∑C P p p C p p C C P C B P p p C B P B k n k i k kki kk k i k ，代入数据，得：号”，则由题意有：次独立试验发出指示信“设，代入数据得：号”，则由题意有：次独立试验发出指示信“）设解：（第二章7、常用离散型分布1两点分布：若一个随机变量X 只有两个可能的取值,且其分布为：p x X P p x X P -====1}{;}{21 0<p<1则称X 服从21x x 、处参数为p 的两点分布;其中期望EX=p,DX=p1-p2二项分布：若一个随机变量X 的概率分布由kn k k n p p C k X P -==)-1(}{ k=0,1,2……给出,则称X 服从参数为n,p 的二项分布,记为：X~bn,p 或Bn,p 其中∑===nk k X P 01}{,当n=1时为0—1分布; 其期望EX=np,方差DX=np1-p3泊松分布：若一个随机变量X 概率分布为：⋯=>==-2,1,00,!}{k k ek X P k，λλλ则称X 服从参数为λ的泊松分布,记为：)(~)((~λπλX P X 或,其中∑∞===01}{k k X P .泊松定理：在n 重伯努利试验中,事件A 在每次试验中发生的概率为n P ,如果∞→n 时,的常数）0(>→λλn nP ,则对任意给定的k, 有λλ--∞→∞←=-=e k p p C p n k b kkn n k nknn n !)1(),;(lim lim ,这表明,当n 很大时,p 接近0或1时,有λλ--≈-e k p p C kkn n k nk n !)1(np =λ; N ≥20,p ≤0.05时用泊松分布;其期望方差相等,即：EX=DX=λ;8、常用连续型分布1均匀分布：若连续随机变量X 的概率密度为{bx a a b x f <<-=),/(1,0)(其他则称X 在区间a,b 上服从均匀分布,记为X~Ua,b;其中⎰+∞∞=-1)(dx x f ,分布函数为：⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤--<=.,1.),/()(,0)(b x b x a a b a x a x x F其期望EX=2ba +,方差DX=12)(2ab -;2指数分布：若随机变量的概率为0,00,)(>⎩⎨⎧>=-λλλ，其他x e x f x ,则称X 服从参数为λ的指数分布,简记为X~e λ.其分布函数：0,00,1)(>⎩⎨⎧>-=-λλ，其他，x e x F x 其期望EX=λ1,方差DX=21λ. 3正态分布：若随机变量X 的概率密度为+∞<<-∞=--x ex f x ,21)(222)(σμσπ,则称X 服从参数为μ和2σ的正态分布,记为X~N μ, 2σ,其中μ和σσ>0都是常数;分布函数为：.,21)(222)(⎰∞---+∞<<-∞=xt x dt ex F σμσπ;当时，1,0==σμ称为标准正态分布,概率密度函数为：,21)22x ex -=πϕ（分布函数为：.21)(22dt e x x t ⎰∞--=Φπ定理：设)1,0(~),,(~2N X Y N X σμσμ-=则其期望EX= μ,DX= 2σ;9、随机变量函数的分布1离散型随机变量函数分布一般方法：先根据自变量X 的所有可能取值确定因变量Y 的所有可能值,然后通过Y 的每一个可能的取值i y i=1,2,……来确定Y 的概率分布;2连续型随机变量函数分布方法：设已知X 的分布函数)(x F X 或者概率密度)(x f X ,则随机变量Y=gX 的分布函数}{})({}{)(Y Y C X P y X g P y Y P y F ∈=≤=≤=,其中})(|{y x g x C y ≤=,dx x f C X P y F yC X Y Y )(}{)(⎰=∈=,进而可通过Y 的分布函数)(y F Y ,求出Y 的密度函数;例：设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧<<--=其他,011|,|1)(x x x f X ,求随机变量。
的分布函数和密度函数12+=X Y⎪⎩⎪⎨⎧<≤--==⎪⎩⎪⎨⎧≥<<---≤==+-+=≤+=≤=≥---=-++=-=-≤≤--=≤+=≤=<<==≤+=≤=<<<<<-⎰⎰⎰⎰⎰⎰-∞+∞------其他所以，时，当时，得：当时那么当得：函数，则由的分布函数和概率密度分别是随机变量和解：设,021,111)'()(2,1,21),1(121,0)(,10|)|1(0}1{}{)(2y ),1(12)1()1(|)|1(11{}1{}{)(21,0)(}1{}{)(1,2111)()(1111-2111122y y y F x f y y y y y y F dx dx x dx y X P y Y P y F y y dx x dx x dx x y x y P y X P y Y P y y P y X P y Y P y F y y x Y y f y F Y X Y Y y y y y Y Y Y Y φ10、设随机变量X~N ),2σμ,Y=b aX +也服从正态分布.即))(,(~2σμa b a N b aX Y ++=;11、联合概率分布1离散型联合分布：1i=∑∑jijP2连续型随机变量函数的分布：例：设随机变量X,Y 的密度函数1(),02,02(,)80,x y x y f x y ⎧+≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩其他求(),(),(),(),cov(,)f x f y E X E Y X Y ,XY ρ,DX+Y.解：①当0≤x ≤2时由dy x f X ）y x (8/1[)(x+=⎰,得：x f X 4/11/8x x (2+=）,当x <0或x >2时,由000)(02=+=⎰⎰∞-∞dy dy x f X ,所以,{20,4/11/8x ,02)(≤≤+=x x X x f 其他同理可求得:{2y 0,4/11/8y 02)(≤≤+=y Y y f ，其他； ② EX=7/6dx x (2=⎰）X xf ,由对称性同理可求得,EY=7/6;③因为EXY=4/3.y)dx dy 1/8x y(x ),(x y 22220=+=⎰⎰⎰⎰dxdy y x f所以,covX,Y= EXY- EX EY=4/3-7/62=-1/36; ④3611)67()y ()]([)()(2202222=-=-=⎰⎰dxdy x f x X E X E X D ，同理得DY=3611,所以,XY ρ=111)()(),cov(-=Y D X D Y X⑤DX+Y=DX+DY+2covX,Y=95 12、条件分布：若的条件分布函数发生条件下，为在称X A A x F A P A x X P A x X P A x F )|(,}{},{}|{)|(≤=≤= 13、随机变量的独立性：由条件分布设A={Y ≤y},且P{Y ≤y}>0,则：)(),(}{},{}|(y F y x F y Y P y Y x X P y Y x F Y =≤≤≤=≤,设随机变量X,Y 的联合分布概率为Fx,y,边缘分布概率为)()(y F x F Y X 、,若对于任意x 、y 有：}{}{},{y Y P x X P y Y x X P ≤≤=≤≤,即：)()(),(y F x F y x F Y X =,则称X 和Y 独立;14、连续型随机变量的条件密度函数：设二维连续型随机变量X,Y 的概率密度为),(y x f ,边缘概率密度函数为)()(y f x f Y X 、,则对于一切使)(x f X >0的x,定义在X=x 的条件下Y 的条件密度函数为：)(),()|(|x f y x f x y f X X Y =,同理得到定义在Y=y 条件下X 的条件概率密度函数为：)(),()|(|y f y x f y x f Y Y X =,若),(y x f =)()(y f x f Y X 几乎处处成立,则称X,Y 相互独立;例：设二维随机变量X,Y 的概率密度函数为：⎩⎨⎧>>=+-其它,00,0,),()2(y x ce y x f y x ,求1确定常数c ；2X,Y 的边缘概率密度函数；3联合分布函数Fx,y;4P{Y ≤X}; 5条件概率密度函数)|(|y x f Y X ；6P{X<2|Y<1}.1)1()1,2(1}P{Y 1}Y 2,P{X 1}Y |2P{X 1)()6(.00,02)|(2)(),()|(0,0)5(;3122(2X}P{Y )4(.,00,0),1)(1(),(,00),(0,0)1)(1(22(2),(0,0)3(.,00,)(,2)(0,00,2)(22)(0,00,0,2),(2)2(2,121),()1(402|2|3020x 0)2(2002)2(02)2(0)2(22)2(0)2(020)2(0------∞+-∞++--------+---∞++---+-∞++-+∞-+∞+∞+-+∞+∞-==<<<=<<∴-==>⎩⎨⎧>=∴==>>=-==≤⎩⎨⎧>>--=∴==≤≤--=-==>>⎩⎨⎧>=∴==>⎩⎨⎧>=∴==>⎩⎨⎧>>===∴====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰e F F e dy e y F y x e y xf e y f y x f y x f y x dx e e dxdy e y x e e y x F dxdy y x F y x e e dx e e dxdy ey x F y x y e y f e dx e y f y x e x f e dy e x f x y x e y x f c c c dx e c dxdy ce dxdy y x f Y yyy Y x Y X xY Y X x x y x y x xyy x y x xyxx y x y Y yy x Y x X xy x X y x x y x ，其它，，时，当其它时，当时，当其它时，，当其它时，，则：当其它得到：由由解：15、数学期望：1离散型：ii ip x X E ∑∞==1)(2连续型：⎰+∞∞-=dx x xf X E )()(,因为并不是每一个函数都能积分,所以并非所有随机变量都有数学期望;数学期望的性质：① ECX=CEX ①)()()(2121X E X E X X E +=+ ③设X,Y 独立,则EXY=EXEY.例：10个人随机进入15个房间,每个房间容纳的人数不限,设X 表示有人的房间数,求EX 设每个人进入房间是等可能的,且各人是否进入房间相互独立附：二项分布bn,p 和两点分布b1,p 的另一个关系,仍设一个实验只有两个结果：-A A 和,且PA=p,现在将试验独立进行n 次,记为n 次试验中结果A 出现的次数,则),(~p n b X ,若记⎩⎨⎧=不出现次试验，第出现次试验，第出现的次数，即：次试验中结果为第A A i X A i X i i i 01其中：i X X X X +⋯⋯++=2148.7]1514-1[15)()()()()(.15,3,2,1,1514-1)(153,2,1,1514-1}1{,1514}0{1514-11514101514.15,3,2,1i 0,110151152110101010101521≈=+⋯⋯++=+⋯⋯++=∴⋯⋯==∴⋯⋯=====+⋯⋯++=⋯⋯=⎩⎨⎧=）（，）（，，）（）（，即：）（号房间有人的概率为那么在第，）号房间的概率为：（个人都不在第，则人的概率为由题意，任意房间没有易知号房间没人；，第号房间有人；第解：引入随机变量X E X E X E X X X E X E i x E i x P x P i i X X X X i i x i i i i 16、方差：1222)]([)()]([)(X E X E X E X E X D -=-=2方差性质：①DCX=C 2DX;②若X.Y 相互独立,则：)()()(Y D X D Y X D +=±17、协方差：1covX,Y=EXY-EXEY,特别,X,Y 独立时,有：covX,Y=0.2协方差性质：①covX,X=DX;②covaX,bY=ab covX,Y;③covC,Y=0;④cov 21X X +,Y=)cov ),cov(21Y X Y X ，（+⑤随机变量和的方差与协方差的关系),cov(2)()()(Y X Y D X D Y X D ±+=±.3相关系数)()(),cov(Y D X D Y X XY =ρ,性质：①1||≤XY ρ;②若X 和Y 相互独立,则XY ρ=0,即X和Y 不相关;③若DX>0,DY>0,则当且仅当存在常数a,b 0≠a ,使：.10;101||1}{-=<=>==+=XY XY XY a a b aX Y P ρρρ时，当时，，而且时，附注：独立。