2.3.1概率统计
小学概率统计知识点总结
小学概率统计知识点总结一、基本概率概念1.1 随机事件随机事件是指在一定条件下发生或不发生的事件，通常用字母A、B、C等表示。
1.2 样本空间样本空间是指所有可能结果的集合，通常用S表示。
1.3 事件的概率事件A的概率P(A)是指在重复试验中，事件A发生的可能性的大小。
通常用0到1之间的数值表示，0表示不可能发生，1表示一定发生。
二、概率的计算2.1 等可能性事件如果各个事件在一次试验中发生的可能性相同，那么这些事件称为等可能性事件。
在等可能性事件中，事件A的概率P(A)可以用公式P(A) = 发生事件A的次数 / 总次数来计算。
2.2 互斥事件互斥事件是指两个事件不可能同时发生，例如抛一枚硬币得到正面和反面就是互斥事件。
如果事件A和事件B是互斥事件，即P(A和B) = 0，那么事件A和事件B发生的总概率为P(A或B) = P(A) + P(B)。
2.3 独立事件独立事件是指事件A的发生不影响事件B的发生，事件A和事件B同时发生的概率等于它们各自发生的概率的乘积，即P(A和B) = P(A) × P(B)。
三、概率的应用3.1 抽样调查在进行抽样调查时，可以根据概率的原理，通过少数样本推断整体的状况，例如在调查学生喜欢的食物时，可以先从小范围内进行调查，再推广到整个班级或学校的学生。
3.2 游戏中的概率在各种游戏中，概率统计知识都会被应用。
比如掷骰子的概率、抽卡牌的概率等，在游戏中通过对概率的计算和分析，可以制定出更加合理的策略。
3.3 日常生活中的概率日常生活中也处处都有概率的应用，比如在买彩票时考虑中奖的概率、在出行时考虑天气的概率等。
通过对概率的理解，能够使孩子们学会做出更加合理的选择。
四、小学概率统计习题4.1 题目一：有一副52张的扑克牌，其中有13张红桃牌。
随机抽取一张牌，求抽中红桃牌的概率。
解答：红桃牌的概率P(红桃) = 红桃牌的数量 / 总牌数 = 13 / 52 = 1/4。
关于概率统计的一些“游戏”①
关于概率统计的一些“游戏”①1. 引言1.1 引言内容概率统计是一门研究事件发生频率规律的数学分支，它在现代社会中扮演着越来越重要的角色。
概率统计可以帮助我们预测未来事件的发生概率，辅助决策，并在各个领域为我们提供数据支持。
在我们生活中，很多“游戏”都可以通过概率统计来解析其中的规律，从而让我们更好地理解和掌握游戏的规则。
本文将为大家介绍一些关于概率统计的“游戏”，通过这些有趣的例子，我们可以更直观地感受到概率统计的魅力。
从掷骰子到扑克牌游戏，再到猜硬币的正反面和轮盘赌博，这些游戏将带领我们进入概率统计的世界，探索其中隐藏的规律和趣味。
让我们一起来探索概率统计的奥秘，通过这些“游戏”感受其中的趣味和挑战，相信你会对概率统计有更加深刻的理解和认识。
愿本文能够给您带来全新的启发和思考！2. 正文2.1 概率统计的基本概念概率统计是一门研究随机现象规律的学科，它通过数学方法来描述和分析随机现象的规律性。
在概率统计中，我们需要了解一些基本概念，这些基本概念包括样本空间、事件、随机变量、概率分布等。
首先，样本空间是指随机试验所有可能结果的集合，用Ω表示。
事件是指样本空间中的某些子集，表示了试验可能出现的结果。
随机变量是指随机试验结果的数值描述，常用X表示。
概率分布则是随机变量的取值与相应概率之间的对应关系。
在概率统计中，我们还需要了解一些基本的概率规则，如加法规则、乘法规则、全概率公式和贝叶斯定理等，这些规则能够帮助我们计算事件发生的概率。
除了基本概念和概率规则，概率统计还涉及到一些重要的概率分布，如均匀分布、正态分布、泊松分布等，这些分布在实际问题中具有重要的应用价值。
总的来说，概率统计是一门具有广泛应用领域的学科，它不仅在科学研究、工程技术、金融风险管理等领域有重要作用，同时也为我们认识世界、理解世界提供了重要的数学工具。
对于概率统计的基本概念的了解，可以帮助我们更好地理解和应用概率统计的知识。
2.2 游戏1：掷骰子掷骰子是一种常见的概率统计游戏，也是很多人小时候玩的经典游戏之一。
概率的基本概念与计算(知识点总结)
概率的基本概念与计算（知识点总结）概率是概率论的核心概念之一，它在各个领域中都扮演着重要的角色。
本文将从概率的基本概念、计算方法以及实际应用等方面进行总结。
一、概率的基本概念概率是描述事物发生可能性大小的数值，用来衡量事件发生与不发生之间的关系。
在概率论中，概率的取值范围介于0和1之间，其中0代表不可能事件，1代表一定事件。
1.1 事件与样本空间事件是指随机试验中可能发生的结果，而样本空间是指所有可能结果的集合。
例如，掷一枚硬币的样本空间为{正面，反面}，则正面朝上的事件可以表示为{正面}。
1.2 基本事件与复合事件基本事件指的是样本空间中的单个结果，而复合事件是由一个或多个基本事件组合而成的事件。
例如，连续掷两枚硬币，正面朝上的事件可以表示为{正面，正面}或{正面，反面}。
1.3 事件的概率事件的概率可以通过频率或理论推断的方式进行计算。
频率概率是指通过大量的实验或观察得到的事件发生的相对频率。
理论概率是根据已知信息和前提条件计算得出的事件发生的概率。
二、概率的计算方法概率的计算可以通过经典概型、几何概型和统计概型等不同的方法来实现。
以下是常见的几种计算方法：2.1 经典概型经典概型是指在样本空间中每个基本事件发生的可能性相等的情况。
例如，掷一枚均匀硬币正面朝上的概率为1/2，反面朝上的概率也为1/2。
2.2 几何概型几何概型是指通过计算几何空间中的比例来计算概率。
例如，在单位正方形中随机选择一个点，落在对角线上的概率为1/2，落在任意一条边上的概率为1/4。
2.3 统计概型统计概型是指通过统计数据来计算概率。
例如，根据历史数据计算某一事件的发生概率，如某市明天下雨的概率为70%。
三、概率的实际应用概率在生活和各个领域中都有广泛的应用，以下是几个常见的实际应用场景：3.1 金融与投资概率在金融领域中用于股票价格的预测、风险管理和投资组合的优化等方面。
通过计算概率可以帮助投资者做出更明智的决策。
概率论与数理统计第6讲
d
d −c f ( x) d x = . b−a
2. 指数分布 定义： 定义：若随机变量 X 具有概率密度
λ e , x ≥ 0 , f ( x) = 0, x < 0.
− λx
(λ > 0)
的分布是参数为 的指数分布， 则称 X的分布是参数为λ的指数分布，记成 的分布是 X ~E(λ)。 。 指数分布常用于可靠性统计研究中， 指数分布常用于可靠性统计研究中，如 元件的寿命服从指数分布。 元件的寿命服从指数分布。
∫
于是
1= ∫
+∞
+∞
−∞
f ( x) d x = 1
2
故
−∞
f ( x) d x = c ∫
0
x x d x =c 3
2
3 2 0
8c = 3
3 c= . 8
(2) P ( −1 < X < 1) = ∫ f ( x) d x
−1
1
= ∫ 0 d x + ∫ cx 2 d x
−1dx= . 0 8 8
(2). 确定数据分组数 m （一般取为 ～15）， 一般取为7～ ）， 组距 d = (b − a) / m， ， 子区间端点 ti = a + i d, i = 0, 1, · · · , m； ；
(3). 计算落入各子区间内观测值频数 ni =| { xj ∈ [ti−1, ti)， j = 1, 2, · · · , n}|， ， 频率 fi = ni / n， i = 1, 2, · · · , m； ， ；
取值于(x 表示随机变量 X 取值于 , x +△ x]上的概率 上的概率 近似等于 f (x ) △x 。 f (x ) △x 在连续型随机变量中所起的作用与 pk=P{X=xk} 在离散型随机变量中所起的作用 类似。 类似。
选修2-3：2.3.1离散型随机变量的均值(1)
2. 若X服从两点分布，则EX=p
3.若X～B（n , p），则 E( X ) np
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且只有一个选项是正确答案，每题 选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分 100分，学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在 测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生 甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
解:因为商场内的促销活动可获效益2万元 设商场外的促销活动可获效益万元,则的分布
10 －4 P 0.6 0.4 所以E=10×0.6＋(-4) ×0.4=4.4
因为4.4>2, 所以商场应选择在商场外进行促销.
例题5
根据气象预报,某地区近期有小洪水的概 率为0.25,有大洪水的概率为0.01.该地区某 工地上有一台大型设备,遇到大洪水时损失 60000元,遇到小洪水损失10000元.为保护设 备,有以下3种方案:
4.例题讲解
例2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分, 罚不中得0分.已知某运动员罚球命中的概率为 0.7，他连续罚球3次； （1）求他得到的分数X的概率分布； （2）求X的数学期望。 解：(1) X～B（3，0.7）
X0
1
2
3
P
0.33
C
1 3
0.7
0.32
C
2 3
0.7
2
0.3
0.73
(2) E（X） 0 0.33 1 C310.7 0.32 2 C320.72 0.3 3 0.73
例：一次英语单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项， 其中有且只有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作 出选择或选错不得分，满分100分，学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个。求学生甲 和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
初中数学中的概率统计知识
初中数学中的概率统计知识作为数学的一个分支，概率统计在我们的日常生活中无处不在。
从生活中的抽奖活动，到利益分配的问题，都有涉及到概率统计的内容。
在初中数学的学习中，我们也会涉及一些与概率统计有关的知识，下面就让我们来一起了解一下。
一、概率概率是指某一事件发生的可能性大小。
我们通常用一个介于0到1之间的小数来表示事件的概率，其中0表示不可能发生，1表示一定会发生。
在初中数学中，我们会学习到如何计算事件的概率，以及如何进行概率的加法和乘法。
1.1 计算事件的概率在计算事件的概率时，我们需要知道事件的样本空间和事件发生的次数。
例如，抛一枚硬币正面朝上的概率为1/2，表示硬币正反面的可能性相等，反面朝上的概率也为1/2。
1.2 概率的加法和乘法概率的加法和乘法是指当多个事件同时发生时，它们的概率如何计算。
在概率的加法中，我们需要用到“或”的概念，即事件A或B发生的概率等于事件A发生的概率加上事件B发生的概率减去事件A和B同时发生的概率。
在概率的乘法中，我们需要用到“与”的概念，即事件A和B同时发生的概率等于事件A发生的概率乘以事件B在A发生的条件下发生的概率。
二、统计统计是指对一定数量或一定时间范围的数据进行收集、整理和分析，以便于我们更好地了解和理解数据的规律。
在初中数学中，我们主要学习了一些基本的统计方法，比如平均数、中位数、众数等。
2.1 平均数平均数是指所有数据的总和除以数据的数量。
在初中数学中，我们通常只需要计算整数数据的平均数，例如几个同学的年龄之和除以同学数量就是年龄的平均值。
计算平均数有助于我们更好地了解数据的总体情况。
2.2 中位数中位数是将所有数据按从小到大的顺序排列后，如果数据的数量为奇数，则中间那个数就是中位数；否则，中位数为中间两个数的平均数。
中位数的计算方法有利于我们描述数据分布的中心位置。
2.3 众数众数是指一组数据中出现次数最多的数据。
在初中数学中，我们通常只需要计算一组数据的众数。
概率计算基础
概率计算基础在概率计算中，概率是指某个事件发生的可能性。
它是数学中一个重要的概念，广泛应用于各个领域，包括统计学、金融、工程等。
概率计算基础是理解和应用概率的基础知识。
本文将介绍概率计算的基本概念、常用概率计算方法以及实际应用场景。
1. 概率的基本概念概率是用来描述随机事件发生的可能性的数值，通常用介于0和1之间的数表示。
其中，0表示不可能事件，1表示必然事件。
对于任意事件A，0 ≤ P(A) ≤ 1。
概率的取值可以通过数学方法、实验或者统计得出。
2. 概率的计算方法概率的计算可以有多种方法，以下是常用的几种方法：2.1. 经典概率经典概率是指在一个确定的背景下，根据对象的性质和数量来计算概率。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，红桃的概率就是4/52，即1/13。
2.2. 频率概率频率概率是通过多次重复实验来计算概率。
例如，将一枚硬币抛掷多次，统计正面朝上的次数与总次数之比，即可得到正面朝上的概率。
2.3. 主观概率主观概率是指基于个人主观判断而得出的概率。
它是基于经验和直觉，没有明确的数学计算方法。
例如，根据天气的变化和云量来预测下雨的概率。
3. 概率的运算规则概率的运算可以通过运算规则来计算，以下是常用的几个运算规则：3.1. 加法规则加法规则指出对于两个不相容事件A和B，它们的概率之和等于各自概率的和。
即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。
3.2. 乘法规则乘法规则指出对于两个独立事件A和B，它们的概率之积等于各自概率的乘积。
即P(A∩B) = P(A) × P(B)。
3.3. 条件概率条件概率是指在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
用符号表示为 P(A|B)，读作“A在B条件下发生的概率”。
条件概率的计算公式为P(A|B) = P(A∩B) / P(B)。
4. 概率的应用场景概率在现实生活和各个学科中都有广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：4.1. 统计调查在社会科学和市场调查中，概率可以用来估计人口的特征、市场份额和调查结果的可靠性。
概率与统计问题解答
概率与统计问题解答引言：概率与统计是数学中的重要分支，也是现代科学研究的基础之一。
在日常生活和各个领域中，我们经常会遇到与概率与统计相关的问题。
本文将围绕概率与统计问题展开讨论，帮助学生更好地理解和解答这些问题。
1. 概率问题的解答概率是描述某个事件发生可能性的数值，解答概率问题需要掌握一些基本概念和计算方法。
1.1 概率的基本概念概率的基本概念包括样本空间、事件、事件的概率等。
样本空间是指所有可能结果的集合，事件是样本空间的子集，事件的概率是指某个事件发生的可能性。
1.2 概率的计算方法概率的计算方法包括古典概率、几何概率和统计概率等。
古典概率适用于等可能性事件，几何概率适用于几何模型，统计概率适用于通过统计数据计算概率。
2. 统计问题的解答统计是收集、整理、分析和解释数据的过程，解答统计问题需要掌握一些基本统计方法和概念。
2.1 数据的收集和整理数据的收集和整理是统计的第一步，可以通过问卷调查、实验观测等方式获取数据，并使用表格、图表等形式进行整理和展示。
2.2 描述统计描述统计是对数据进行整体和局部的描述和分析，包括数据的中心趋势和离散程度的度量，常用的统计指标有平均数、中位数、众数、方差等。
2.3 探索性数据分析探索性数据分析是通过图表和统计方法来探索数据的分布和关系，可以使用直方图、散点图、箱线图等进行可视化分析。
2.4 统计推断统计推断是通过样本数据对总体进行推断，包括参数估计和假设检验。
参数估计是通过样本数据估计总体参数的值，假设检验是对总体参数的假设进行检验。
3. 概率与统计问题的应用概率与统计在各个领域中都有广泛的应用，比如金融、医学、环境科学等。
以下是一些常见的应用场景：3.1 金融风险评估概率与统计可以帮助评估金融市场的风险，比如计算股票价格的波动范围、评估投资组合的风险等。
3.2 医学疾病诊断概率与统计可以用于医学疾病的诊断和治疗，比如通过疾病的发病率和检测结果的概率计算疾病的可能性。
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故解决条件概率问题的关键是求得事件同时发生的概
率及作为条件的事件发生的概率.
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任取一个球．如果第二次取出的是红球，则称试验为成 功．求试验成功的概率．
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审题指导 解答此类问题的关键是搞清题设的先定条件，即在什
么条件下求事件的概率．在此基础上，运用条件概率的求法求
解． 【解题流程】
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[规范解答] 设 A＝从第一个盒子中取得标有字母A的球. B＝从第一个盒子中取得标有字母B的球， R＝第二次取出的球是红球， W＝第二次取出的球是白球， 7 3 则容易求得 P(A)＝ ，P(B)＝ ， 10 10 1 1 P(R|A)＝ ，P(W|A)＝ 2 2
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题型二
缩小空间求条件概率
盒子里装有16个球，其中6个是玻璃球，10个是木 【例2】 质球，玻璃球中有2个是红球，4个是蓝球，木质球中有3个
是红球，7个是蓝球．现从中任取1个(假设每个球被取到是
等可能的)是蓝球，问该球是玻璃球的概率是多少？ [思路探索] 求条件概率的方法有两种：利用定义或缩小样本空间．
(2 分) (4 分) (6 分)
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4 1 P(R|B)＝ ，P(W|B)＝ . 5 5
(8 分)
事件“试验成功”表示为 RA∪RB，又事件 RA 与事件 RB 互斥，故由概率的加法公式，得 P(RA∪RB) ＝P(RA)＋P(RB) ＝P(R|A)· P(A)＋P(R|B)· P(B) 1 7 4 3 ＝ × ＋ × ＝0.59. 2 10 5 10 (12 分)
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在碰到(2)班学生时，正好碰到一名女生的概率即为 A 发生 的条件下，B 发生的概率，由上表可知： n(A)＝50，n(AB)＝20. nAB 20 2 由条件概率公式求得 P(B|A)＝ ＝ ＝ . nA
题型三 条件概率的性质及应用
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规律方法 条件概率揭示了 P(A)， P(AB)及 P(B|A)三者之间的关 PAB 系，即若 P(A)＞0，有 P(AB)＝P(A)· P(B|A)或 P(B|A)＝ ， PA 反映了“知二求一”的互化关系．
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【训练3】一种耐高温材料，能承受200 ℃高温不熔化的概率为
0.9，能承受300 ℃高温不熔化的概率为0.5，试求该材料在
能承受200 ℃高温不熔化的情况下，还能承受300 ℃高温不 熔化的概率是多少？
解 设事件 A：“该材料能承受 200 ℃高温不熔化”，事 件 B：“该材料能承受 300 ℃高温不熔化”，则有 P(A)＝ PAB 0.9，P(B)＝0.5.所求事件的概率即为 P(B|A)＝ ，又 PA PB 0.5 5 B A，所以 AB＝B，故有 P(B|A)＝ ＝ ＝ . PA 0.9 9
此题为一道典型的求条件概率问题，既可以根据A|B
的含义解决，也可由公式求解，无论哪种方法，必须准确地找
对A，B，A|B，AB，并熟练地求出其概率．
4 2 2 1 [正解] P(A)＝ ＝ ，P(AB)＝ ＝ ， 6 3 6 3 1 PAB 3 1 所以 P(B|A)＝ ＝ ＝ . PA 2 2 3
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2．条件概率公式的理解 (1)前提条件：P(A)＞0当P(A)＝0时，不能用现在的方法
定义事件A发生的条件下事件B发生的条件概率．
(2)条件概率公式揭示了条件概率P(B|A)与事件P(A)，P(AB)
三者之间的关系，由条件概率公式可以解决下列两类问 题． ①已知P(A)，P(AB)，求P(B|A)； ②已知P(A)，P(B|A)，求P(AB)．
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3．求条件概率的常用方法
(1)利用定义计算，先分别计算概率 P(AB)和 P(A)，然后代 PAB 入公式 P(B|A)＝ . PA (2)利用缩小样本空间计算(局限在古典概型内)，即将原来 的样本空间 Ω 缩小为已知的事件 A，原来的事件 B 缩小为 nAB AB，利用古典概型计算概率：P(B|A)＝ . nA
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【题后反思】 若 事 件 B 、 C 互 斥 ， 则 P(B∪C|A) ＝ P(B|A) ＋
P(C|A)，即为了求得比较复杂事件的概率．往往可以先把它分解
成两个(若干个)互不相容的较简单事件之和，求出这些简单事件 的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率．
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题型一 利用定义求条件概率
甲、乙两城市都位于长江下游，根据一百余年气象记 【例1】 录，知道甲、乙两市一年中雨天占的比例分别为20%和 18%，两地同时下雨的比例为12%，求：
(1)乙市为雨天时，甲市也为雨天的概率；
(2)甲市为雨天时，乙市也为雨天的概率．
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时发生吗？P(B|A)＝P(AB)吗？
提示 事件A发生的条件下，事件B发生等价于事件A与事件 B同时发生，即AB发生，但P(B|A)≠P(AB)．这是因为事件 (B|A)中的基本事件空间为A，相对于原来的总空间Ω而 言，已经缩小了，而事件AB所包含的基本事件空间不变， 故P(B|A)≠P(AB)．
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名师点睛
1．条件概率的存在性 一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，而这 里所说的条件概率则是当试验结果的一部分信息已知(即
在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条
件)，求另一事件在此条件下发生的概率． 提醒 由于样本空间变化，事件B在“事件A已发生”这 个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同 的．
4 【训练 1】 某地区气象台统计，该地区下雨的概率是15，刮三 2 1 级以上风的概率为15，既刮三级以上的风又下雨的概率10 设 A 为下雨，B 为刮三级以上的风，求： (1)P(A|B)；(2)P(B|A)．
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解 由题意知 4 2 1 P(A)＝ ，P(B)＝ ，P(AB)＝ . 15 15 10 1 PAB 10 3 (1)P(A|B)＝ ＝ ＝ . 2 4 PB 15 1 PAB 10 3 (2)P(B|A)＝ ＝ ＝ . 4 8 PA 15
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规律方法 P(B|A)表示事件 B 在“事件 A 已发生”这个附加条件 下的概率，与没有这个附加条件的概率是不同的．也就是说， 条件概率是在原随机试验的条件上再加上一定的条件，求另一 事件在此“新条件”下发生的概率．因此利用缩小样本空间的观 点计算条件概率时，首先明确是求“在谁发生的前提下谁的概 率”，其次转换样本空间，即把即定事件 A 所含的基本事件定义 为新的样本空间，显然待求事件 B 便缩小为事件 AB，如图所 nAB 示．从而 P(B|A)＝ . nA
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2．条件概率的性质
(1)条件概率具有概率的性质，任何事件的概率都在0和1 之间，即 0≤P(B|A)≤1 .
(2)如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋ P(C|A)．
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事件A发生的条件下，事件B发生等价于事件AB同 想一想：
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高三(1)班和高三(2)班两班共有学生120名，其中女 【训练2】
同学50名，若1班有70名同学，而女生30名，问在碰到2班
同学时，正好碰到一名女同学的概率．
解 设 A＝{碰到(2)班的学生}，B＝{碰到一名女生}，由题 目条件得信息表为： (1)班 (2)班 总计 男生人数 女生人数 总计 40 30 70 30 20 50 70 50 120
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[思路探索]本题涉及的两问都是条件概率问题，直接用条件 概率公式求解．
解 设 A＝甲市是雨天，B＝乙市是雨天，P(A)＝0.2， P(B)＝0.18，P(AB)＝0.12， PAB 0.12 2 则(1)P(A|B)＝ ＝ ＝ ， 0.18 3 PB PAB 0.12 3 (2)P(B|A)＝ ＝ ＝ . 0.2 5 PA
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误区警示
对事件B|A理解有误而致错
抛掷一枚骰子，观察出现的点数，若已知出现的点数不 【示例】 超过4，求出现的点数是奇数的概率．
[错解] 令点数不超过 4 为事件 A，点数为奇数为事件 B， 2 1 则 P(B|A)＝ ＝ . 6 3
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解
设事件 A：“任取 1 个球，是玻璃球”，事件 B：“任
取 1 个球，是蓝球”．由题中数据可列表如下： 红球 蓝球 合计 玻璃球 木质球 合计 2 3 5 4 7 11 6 10 16
11 4 由上表可知，P(B)＝ ，P(AB)＝ ， 16 16 4 PAB 16 4 故所求事件的概率为 P(A|B)＝ ＝ ＝ . PB 11 11 16