折纸结构力学进展
折纸与数学ppt课件
《用折纸解几何问题》和《用折纸解3次和4 次方程》
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二、折纸数理学的成立（续）
70年代，日本学者将目光重新投向折纸 中的数理 特别是伏见康治夫妇的著作《折纸几何 学》
之后在日本形成了一个研究折纸数理的高 潮，结成了多个研究团体，也出版了许多 的专著 芳贺和夫、阿部恒、堀井洋子、布施知 子、笠原邦彦、前川淳等学者作出了较 大的贡献。
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二、折纸数理学的成立（续）
进入90年代，在世界上许多国家掀起一股热 潮 起因可能与1989年在意大利的费拉拉召开 的第一届折纸科学国际会议有关。
1994年在第二届折纸科学国际会议上，日本 学者芳贺和夫提议，在origami的词未加上后 缀ics，用来表示正在形成的用折纸来探究数 理的一门新学问
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5.芳贺第二定理 芳贺第三定理
D
E
A
A
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F
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R
F
R
S
H
G
S C
折法∶
B
B
G
C
折法∶
对点F、G的位置作出猜想∶ 对点点H的位置作出猜想∶
给出理由∶
给出理由∶
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A
E
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F B
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C
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（二）三角形折纸
1.米仓定理 问题的起源 米仓的发现
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四、折纸与分数
分数的概念 同分母分数的加、减法 分数的性质 异分母分数的加减法 分数的乘除法
结构力学研究的最新进展
结构力学研究的最新进展结构力学是现代工程学科中重要的一环，它研究材料、构件、结构等在荷载作用下的力学性能和变形规律，为工程结构设计和安全评估提供重要的理论和技术支持。
随着计算机、数值模拟和实验检测技术的不断进步，结构力学研究取得了很多新的进展和成果。
一、多功能材料的研究多功能材料是指单种或多种材料按照一定的比例或层次排列组合而成的具有多种功能的新型材料。
在结构力学领域，多功能材料已经被广泛应用于各种工程结构中，如飞机机身、汽车车身、机械设备和建筑物等。
最近几年，多功能材料的研究突飞猛进，涌现出了许多具有重要应用价值和市场前景的新型材料。
其中，纳米材料、纤维增强复合材料和智能材料等是目前研究的热点。
二、结构优化的理论和方法结构优化是指通过计算机仿真和优化算法对工程结构进行性能和形状优化的技术。
在传统的结构设计中，设计者往往基于经验和感性判断，很难得到最优的方案。
而结构优化技术则可以大大缩短设计周期、提高结构性能、降低结构成本。
近年来，结构优化理论和方法不断发展，已经被广泛应用于飞机、船舶、桥梁、建筑和机械等领域。
其中，拓扑优化、形状优化和参数优化是最为常用的优化方法。
三、结构健康监测技术结构健康监测是指通过传感器和数据采集系统对工程结构进行实时监测和诊断的技术。
它可以实现对结构变形、裂缝、疲劳损伤等问题的无损检测和预警，提高结构的安全性和可靠性。
近年来，结构健康监测技术受到越来越多的关注和研究。
其中，无损检测技术、机器学习技术和云计算等新技术被广泛应用于结构健康监测领域。
四、超材料的研究超材料是指具有奇特电磁波特性的新型材料，其特点是可以对电磁波进行选择性的吸收、反射、透射和强聚焦等。
在结构力学研究中，超材料可以被应用于设计电磁波隔离层、超声波防护层、光学器件和传感器等。
超材料的研究是目前结构力学领域的一个热点，它不仅具有理论价值，而且有着广泛的应用前景。
五、智能机器人的研究智能机器人是指具有感知、认知、决策、控制和交互等功能的新型机器人。
结构力学—纸质作业答案[1]
![结构力学—纸质作业答案[1]](https://img.taocdn.com/s3/m/8580dec6a32d7375a5178094.png)
《结构力学》纸质作业谜底之阿布丰王创作第一章重点要求掌握：第一章介绍结构力学基本概念、结构力学研究对象、结构力学的任务、解题方法、结构计算简图及其简化要点、结构与基础间连接的简化、计算简图、杆件结构的分类、载荷的分类.要求掌握明确结构力学求解方法、会画计算简图,明确铰结点、刚结点、滚轴支座、铰支座、定向支座、固定支座的力学特点作业题：无第二章重点要求掌握：第二章介绍几何不变体系和几何可变体系的构造规律和判断方法,以及平面杆系体要求掌握几何不变体系的构造规律,会进行几何分析,判定静定结构和超静定结构作业题：2-1对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：从基础开始分析：将地基看成刚片,刚片AB与地基有三个链杆连接,三链杆不交同一点,组成几何不变体；刚片CD与扩年夜的地基有三个链杆连接三链杆不交同一点,组成几何不变体；刚片EF与扩年夜的地基有三个链杆连接三链杆不交同一点,组成几何不变体.总计,图示体系为几何不变体,没有多于约束2-2对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：从基础开始分析：A点由两个链杆固定在地基上,成为地基一部份；BC杆由三根不交同一点的链杆固定在基础上；D点由两根链杆固定在基础上,组成没有多于约束的几何不变体.2-3对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：把地基看成刚片,杆AB和杆BC是两外两个刚片,三个刚片由铰A、B、C链接,三铰共线,所示体系为几何瞬变体（几何可变体的一种）2-4对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：将ABC看成一个刚片,将CDE看成另一个刚片,地基是第三个刚片,三个刚片由铰A、C、E链接,三铰不共线,组成没有多于约束的几何不变体变体系,指出多于约束的数目解：用一根链杆将BB’连接起来,所示体系依照二元体规则,A、A’、E、E’点拆失落,然后,将体系依照H、D、D’、C、C’、G 顺序逐步拆完,剩下一个三角形BFB’（几何不变体）,原来体系缺少一个需要约束（图中的BB’杆）,所以原来体系是几何可变体.2-6对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：依照二元体规则,ADC可以看成刚片,与地基通过瞬铰F相连,同样,BEC可以看成刚片,与地基通过瞬铰G相连,刚片ADC和刚片BEC通过铰C相连,F、C、G三铰不共线,图示结构为没有多于约束的几何不变体.2-7对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：杆ADE和杆BE通过铰E相连,在通过铰A、B与地基相连,A、B、E三铰不共线,组成几何不变体成为扩年夜的地基,刚片CE通过两根杆与地基连接,所以图示体系缺少一个需要约束,是几何可变体.变体系,指出多于约束的数目解：将曲杆AC和曲杆BD看成刚片,两刚片通过瞬铰G相连,地基为第三个刚片,三个刚片通过A、B、G三铰相连,三铰不共线,所示体系是没有多于约束的几何不变体.2-9对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：从左侧开始分析,AE是固定在地基上,是基础的一部份,刚片BG通过链杆EF和铰B固定在地基上；刚片CH通过链杆GH和铰C固定在地基上；刚片DI通过链杆HI和铰D固定在地基上；所示体系为没有多于约束的几何不变体.2-10对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：杆AE和杆DI固定在地基上,成为地基的一部份,刚片CH通过铰C和链杆HI固定在基础上,成为不变体,刚片BG通过三根杆约束到地基上,整个体系是没有多于约束的几何不变体.2-11对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：节点D通过两根链杆固定在地基上,同样节点C、E分别通过两根链杆固定在地基上,构成几何不变体,扩年夜了基础,在从左向右分析,刚片FG通过不交一点的三根链杆连接到基础上,节点H、I、J分别用两根链杆约束,整个体系是没有多于约束的几何不变体.2-12对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：刚片AB由三根不交一点的小链杆固定在基础上,节点D有三根链杆固定,所以体系为有一个多于约束的几何不变体,即一次超静定结构.2-13对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：杆AC和BD固定在基础上,成为基础的一部份,CD杆为多于约束,整个结构是有一个多于约束的几何不变体,即一次超静定结构2-14对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：先分析内部,杆AC、AF、FD组成的三角形为一个刚片,杆BC、BG、GE组成的三角形为另一个刚片,EF为第三个刚片,三个刚片通过不再同一条直线上的三铰C、F、G相连,构成一个年夜刚片,年夜刚片再由三个小链杆与基础相连,整个体系是没有多于约束的几何不变体.2-15对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：先分析内部,杆AC、AD、DC组成的三角形为一个刚片,中间过剩一个链杆DF,杆BC、BE、EC组成的三角形为另一个刚片,中间过剩一个链杆EG,DE为第三个刚片,三个刚片通过不再同一条直线上的三铰D、E、C相连,构成一个年夜刚片,年夜刚片再由三个小链杆与基础相连,整个体系是有两个多于约束的几何不变体,即两次超静定结构2-16对图示体系作几何组成份析,如果是具有多于约束的几何不变体系,指出多于约束的数目解：约束对象(刚片或结点)的选择至关重要,若选择不妥将给构造分析带来很年夜困难,特别是在分析较复杂的三刚片体系时.这时,应考虑改变约束对象的选择方案.例如上图所示体系,一般容易将地基和ABD、BCF分别看作刚片Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ(约束对象).此时刚片Ⅰ、Ⅲ之间既无实饺也无瞬铰连接,无法进行分析.若改变约束对象,将刚片Ⅱ换成杆DE(见上图),而链杆AB 、BD、DA酿成约束.于是,刚片I、Ⅱ由瞬铰E连接,刚片Ⅱ、Ⅲ由∞点瞬铰O相连,刚片Ⅰ、Ⅲ由瞬铰C相连.再判定三瞬铰是否共线即可获得正确结论.可以看出,新方案中每两个刚片间均以两链杆形成的瞬铰相连;原方案中刚片I、Ⅱ间和刚片Ⅱ、Ⅲ间均以实佼紧密相连,造成刚片Ⅰ、Ⅲ间无法实现有效连接.第三章重点要求掌握：本章结合几种经常使用的典范结构型式讨论静定结构的受力分析问题,涉梁、刚架、桁架、组合结构、拱等.内容包括支座反力和内力的计算、内力图、受力特性分析等,讲解内容是在资料力学等课程的基础上进行的,但在讨论问题的深度和广度上有显著的提高,要求掌握静定多跨梁和静定平面刚架的受力分析,静定平面桁架的受力分析,组合结构和三铰拱的受力分析,隔离体方法、构造和受力的对偶关系.作业题：3-1试作图示静定多跨梁的弯矩图和剪力图解：（1）求支座反力,此题为静定组合梁,ABE为基本部份,EC为附加部份,先分析附加部份40支撑,反过来,也就是说,基础部份在E点向上给附加部份kN340附加部份在E点给基础部份向下的压力kN3（2）求剪力,逐步取隔离体剪力图（3）求弯矩,采纳取隔离体方法,求出关键点弯矩,其中匀布载荷作用的DB部份,叠加上匀布载荷作用在简支梁的效果BD杆中点弯矩3-2试作图示静定多跨梁的弯矩图和剪力图解：（1）求支座反力,此题为静定组合梁,ABF为基本部份,GD为附加部份,先分析附加部份对ABF基本部份（2）求剪力,逐步取隔离体剪力图（3）求弯矩,采纳取隔离体方法,求出关键点弯矩,其中匀布载荷作用的FB部份,叠加上匀布载荷作用在简支梁的效果3-3试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图,并校核所得结果解：(1)支座反力(2)杆端剪力对DC杆对BC杆对AB杆剪力图(3)轴力对DC杆对BC 杆对AB 杆轴力图（4）弯矩图对DC 杆对BC 杆对AB 杆 )(60);(30右侧受拉外侧受拉m kN M m kN M AB BA ⋅=⋅= 弯矩图3-4试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图,并校核所得结果解：（1）支座反力（2）求杆端剪力取BD 杆作为隔离体取CB 杆作为隔离体取AB 杆作为隔离体剪力图（3）求杆端轴力取BD 杆作为隔离体取CB 杆作为隔离体取AB 杆作为隔离体轴力图（4）求杆端弯矩,画弯矩图取BD杆作为隔离体取CB杆作为隔离体取AB杆作为隔离体,因为杆AB上剪力为零,则弯矩坚持为常数3-7试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图,并校核所得结果解：（1）先求支座反力（2）求杆端弯矩取BC杆作为隔离体BC杆中点的弯矩再叠加上匀布载荷作用在剪质量上的效果,就获得BC杆的弯矩图取AC杆作为隔离体弯矩图（3）求杆端剪力取BC杆作为隔离体取AC杆作为隔离体剪力图(4）求杆端轴力取BC杆作为隔离体取AC 杆作为隔离体 轴力图3-8试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图,并校核所得结果解：（1）求支座反力（2）求杆端弯矩 取DC 杆为隔离体取BC杆为隔离体()上侧受拉m kN M M CB BC ⋅-=⨯-==60320取AB 杆为隔离体()()左侧受拉左侧受拉m kN M m kN M AB BA ⋅-=⎪⎭⎫⎝⎛⨯⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⨯-⨯=⋅-=⨯-=1806316402132060320 剪力图轴力图户忽略3-9试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图,并校核所得结果 解：（1）求支座反力 （2）求杆端剪力取BE 作为隔离体 ql F ql F QEB QBE 41;41== 取DE 作为隔离体 ql F ql F QED QDE 41;41-=-= 取AD 作为隔离体 ql ql ql F ql F QDA QAD 4143;43-=-== 剪力图（3）求杆端轴力取BE 作为隔离体 ql F ql F NEB NBE 41;41-=-= 取DE 作为隔离体 ql F ql F NED NDE 41;41-=-=取AD作为隔离体 ql F ql F NDA NAD 41;41==轴力图（3）求杆端弯矩取BE 作为隔离体 ()右侧受拉241;0ql M M EB MBE == 取DE 作为隔离体取AD 作为隔离体 ()右侧受拉241;0ql M M DA MAD == 弯矩图3-14试作图示静定多跨梁的弯矩图、剪力图和轴力图,并校核所得结果 解:(1)求支座反力 剪力图 轴力图 弯矩图3-16试求图示三铰拱的支座反力,并求界面K 的内力 解：（1）支座反力 （2）K 点几何参数 （3）K 截面弯矩 （4）K 点剪力（5）K点轴力3-17试求图示抛物线三铰拱的支座反力,并求界面D和E的内力解：（1）根据几何条件,在图示坐标下,求抛物线方程.抛物线经过坐标原点,是抛物线方程为：bxy+=2,抛物线经ax过B(20,0)点.于是有C(10,4)为抛物线极点,2=b=ba⇒a+505+104=100解联立方程,获得抛物线方程：（2）求D点几何参数（3）求E点几何参数（4）支座反力（5）求D点内力D点弯矩D点剪力D点轴力（6）求E点内力E点弯矩E点剪力E点轴力弥补题1求x的值,是中间一跨的跨中弯矩与支座弯矩的绝对值相等解：CD 中点弯矩值()2281x l q - 支座弯矩()221221qx x x l q +-弥补题2图示体系为两跨梁,全长接受均布载荷作用,试求铰D 的位置,即确定图中x 的值,使负弯矩与正弯矩的峰值相等 解：以x 暗示较D 与支座B 之间的距离图b 图b\图b解：以x 暗示较D 与支座B 之间的距离.在图b 中,先计算附属部份AD ,求支座反力为2)(x l q -,做出弯矩图,跨中正弯矩峰值为8)(2x l q -再计算基本部份DC ,将附属部份在D 的所受的支承反力2)(x l q -,反其指向,当作载荷加于基本部份,支座B 处的负弯矩峰值为22)(2qx x x l q +-令正负弯矩峰值相等,获得 解之得：l x 172.0=铰的位置确定后,可作弯矩图c,其中正负弯矩峰值都即是2086.0ql ,如果使用两个跨度为l 的简支梁,弯矩峰值为281ql ,如图d,可见静定多跨梁的峰值比一系列简支梁要小. 弥补题3求作下面组合梁的内力图 解：支反力图 剪力图 弯矩图弥补题4求做图示简支梁的内力图 解:(1)计算支反力 (2)做剪力图注意AB 、BC 、EF 、FG 各段没有载荷作用,剪力为常数, 剪力图为水平线,CE 段有均布载荷, 剪力图是斜直线 (2)做弯矩图选A 、B 、C 、E 、F L 、、F R 、、G 为控制界面,求得如下弯矩值 或者依次定出折线各点,做出折线弯矩图,注意到CE 段有均布载荷,叠加上以CE 为简支梁在均布载荷作用下的弯矩图,获得最后的弯矩图D 点的弯矩值为注意到微分关系Q F dxdM=,弯矩的最年夜值发生在剪力即是零的处所,根据剪力图确定剪力即是零的位置,CH=2.25,如果以C 点为原点,C 1H 段方程为:弥补题5已知抛物线三铰拱轴线方程()x l x l fy -=24,求支座反力;截面D 、E 的内力 解：(1)支座反力(2)D 、E 点几何参数 (3)D 点的内力 (4)E 点的内力弥补题5求图示三铰拱,支座反力；D 、E 点的弯矩 解：(1)支座反力 (2)弯矩弥补题6求指定桁架杆的内力（轴力） 解：先求支座反力kN F kN F RB RA 30;50== 第四章重点要求掌握：1.掌握刚体系虚功原理与变形体虚功原理的内容及其应用条件:掌握广义位移与广义荷载的概念.2.掌握结构位移计算一般公式,并能正确应用于各类静定结构受荷载作用、支座移动等引起的位移计算.3. 熟练掌握梁和刚架位移计算的图乘法.4. 了解曲杆和拱的位移计算及温度变动时的位移计算.5.了解互等定理作业题：4-1a 求图示结构B 点的水平位移解：分别作已知载荷作用下结构的弯矩图和虚拟载荷作用下结构的弯矩图在已知载荷作用下,()150l x x F M P P ≤≤=,在单元虚拟载荷作用下x M =1B 点水用方向位移：4-1b 求图示结构B 点的水平位移解：分别作已知载荷作用下结构的弯矩图和虚拟载荷作用下结构的弯矩图在已知载荷作用下 BD 段弯矩 DC 段弯矩 CA 段弯矩 BD 段弯矩 DC 段弯矩 CA 段弯矩B 点水平位移,这里弯曲刚度 4-1c 求图示结构B 点的水平位移解：分别作已知载荷作用下结构的弯矩图和虚拟载荷作用下结构的弯矩图在已知载荷作用下 在单元虚拟载荷作用下 本题可以使用图乘法求解位移为求转角,先做单元虚拟弯距作用下的弯矩图 使用图乘法求解转角4-3a 试用图乘法求图示结构中B 处的转角和C 处的竖向位移本题适合用图乘法求解,先求在已知载荷作用下的弯矩图该弯矩图可以看成下面两种弯矩图叠加为求B点转角,在B点施加虚拟单元力偶,做出虚拟载荷作用下得弯矩图用图乘法求B点转角为求C点位移,在C点施加虚拟单元力,做出虚拟载荷作用下得弯矩图用图乘法求C点位移4-3b试用图乘法求图示结构中B处的转角和C处的竖向位移解：本题适合用图乘法求解,先求在已知载荷作用下的弯矩图该弯矩图可以看成C点集中载荷和AB匀布载荷两种载荷弯矩图的叠加,在集中载荷作用下的弯矩图如下AB匀布载荷作用下的弯矩图如下为求B点转角,在B点施加虚拟单元力偶,做出虚拟载荷作用下得弯矩图用图乘法求B点转角为求C点位移,在C点施加虚拟单元力,做出虚拟载荷作用下得弯矩图用图乘法求C点位移4-3c试用图乘法求图示结构中B处的转角和C处的竖向位移为求已知载荷作用下的弯矩图,先求支座反力 已知载荷作用下的弯矩图为求B 点的转角,在B 点加虚拟的单元弯矩,并做弯矩图 用图乘法求B 点转角为求C 点位移,在C 点施加虚拟单元力,做出虚拟载荷作用下的弯矩图4-4a 求图示结构C 点竖向位移解：1.建立虚拟状态如图示,即为求C 点的竖向位移,在C 点加一个竖向单元力.2.支反力:对实际载荷A 点支反力kN V A 40=,0=A H ,m kN M A ⋅-=⨯-⨯-=270540710对虚设载荷A 点支反力kN V A 1=,0=A H ,m kN M A ⋅-=⨯-=771 实际结构在已知集中载荷作用下的弯矩图实际结构在已知匀布载荷作用下的弯矩图 实际结构在虚拟载荷作用下的弯矩图 3.分段建立弯矩方程: 对CB 段,40≤≤x 对BA 段,74≤≤x对斜杆作变换dx ds 35=计算结果为正,暗示C 点竖向位移朝下,与虚拟载荷相同 4-4b 求图示结构C 点和A 点竖向位移 解：做已知载荷作用下的弯矩图为求C 点位移,在C 点加单元虚拟载荷,做虚拟载荷作用下得弯矩图,求C 点的位移,BC 段用积分法,BD 用图乘法为求A 点位移,在A 点加单元虚拟载荷,做虚拟载荷作用下得弯矩图,用图乘法求A 点的竖向位移 4-6求图示结构A点的竖向位移,已知46241036,1012,210m I m A GPa E --⨯=⨯==解：求支座在已知载荷作用下的反力 求CD 杆在已知载荷作用下的轴力 求已知载荷作用下得弯矩和CD 的轴力求支座在单元虚拟载荷作用下的反力 求CD 杆在单元虚拟载载荷作用下的轴力 求单元虚拟载载荷作用下得弯矩和CD 的轴力 求A 点的竖向位移4-7图示结构支座B 发生水平位移a 、竖向位移b,求由此发生的铰C 左右两截面的相对转角以及C 甸的竖向位移解：为求C 点左右两截面的相对转角,在C 点虚拟加单元弯矩,如下图所示,获得B 点的反力RBy RAy F F =,000=⇒=+⇒=∑RBy RBy RAy y F F F F所以,C 点左右两截面的相对转角为负号暗示转角方向与假设的方向相反为求C 点竖向位移,在C 点虚拟加单元竖向载荷,如下图所示,获得B 点的反力RBy RAy F F =,2110==⇒=+⇒=∑RBy RAy RBy RAy y F F F F F 所以,C 点竖向位移为弥补题弥补题1求悬臂梁A 点和C 点竖向位移和转角,忽略剪切变形的影响解:A 点竖向位移A 点的转角C 点竖向位移如果使用图乘法,CB 段P M 的形心很难确定,进而竖距无法确定,这里不应该使用图乘法C 点转角使用图乘法不论P M 图在CB 段的形心位值,它对应的竖距总是1,所以这里可以使用图乘法弥补题2求悬臂梁A 点和C 点竖向位移和转角,忽略剪切变形的影响解：A 点竖向位移A 点转角C 点竖向位移(将原点设在C 点)C 点转角(将原点设在C 点)弥补题3图示结构的杆AB由于资料收缩发生应变-ε,而杆BC由1于资料伸长发生应变ε.试求B点的水平位移△B和C点的水平位2移△C.解：(1)由于刚架各杆仅发生轴向应变,求刚架B点水平位移需在B点施加一个水平单元力,如图所示,得结构各杆虚轴力为F NAB=-2,F NBC=0.(2)由结构位移计算公式,得(3)求刚架B点水平位移需在C点施加一个水平单元力,如图所示,得结构各杆虚轴力为F NAB=-2,F NBC=-1可见,B、C两点的水平位移相差εa2弥补题4 刚架各杆的EI为常数,用图乘法求D点竖向位移和转角解：先做在实际载荷作用下的弯矩图,注意A点的弯矩为其中第一部份是C点载荷在A点发生的弯矩,第二部份是B 点竖向反力在A点发生的弯矩.再作在虚设载荷作用的弯矩图,注意AB段弯矩的计算弥补题5：求图示组合结构C点竖向位移,AC杆EI为常数,BD杆EA为常数解：分别给出组合结构在实际载荷作用下的弯矩图和在虚设载荷作用下的弯矩图,在实际载荷作用下,注意A点弯矩为零,所以B 点竖直方向反力12kN,BD杆受压,轴力在图上标出,同理求出虚设载荷作用下,BD杆的轴力弥补题6图示等截面梁,已知支座A下沉2cm,并发生转动,EI＝500KNm2,D点竖向位移为零,问A点转角是几多？解：(1)作实际载荷作用下的弯矩图,先分析BD段,由B点弯矩为零,获得C点支座反力为19kN,再分析AB段,B点集中载荷为10kN,于是可以做出图示的弯矩图(2)作虚设载荷作用下的弯矩图,先分析BD段,由B点弯矩为零,获得C点支座反力为5／3,再分析AB段,B点集中载荷为2／3方向向上,,于是可以获得弯矩图和支座A的反力由弯矩引起的D点位移：由支座移动引起的D点位移：弥补题7:求图示结构A点截面转角,B点的竖向位移和水平位移解:注意A点有两个截面,可是截面转角相等,作出实际载荷作用下的弯矩图和虚设载荷作用下的弯矩图弥补题8求图示结构A、B两点的竖向位移解(1)先做弯矩图(2)计算位移弥补题10问取何值时候,E点的竖向位移为零解(1)先做弯矩图(2)计算位移第五章重点要求掌握1.掌握力法的基来源根基理及解题思路,重点在正确地选择力法基本体系,明确力法方程的物理意义.2.熟练掌握在荷载作用下超静定梁、刚架、排架内力的求解方法.3.掌握用力法求解在支座发生位移时梁和刚架内力的方法.4.能利用对称性进行力法的简化计算.5.能计算超静定结构的位移及进行变形条件的校核作业题5-1a确定超静定结构的次数解：去失落三个链杆,酿成静定的悬臂梁,所以本结构是3次超静定结构5-1b确定超静定结构的次数解：去失落A点链杆,结构酿成静定组合梁,所以本结构是1次超静定结构5-1c确定超静定结构的次数解：去失落A点两个链杆约束,结构酿成静定刚架,所以本结构是2次超静定结构5-1d确定超静定结构的次数解：去失落CF、CG、FG共3个链杆, A、B为固定支座改为铰支座,结构成为静定结构,所以本结构是5次超静定结构5-1e确定超静定结构的次数解：将圆环截断,结构成为静定结构,所以本结构是3次超静定结构5-1f确定超静定结构的次数解：将两个方框截断,去失落其中3个固定支座,结构成为静定结构,所以本结构是15次超静定结构5-1g确定超静定结构的次数解：将两个方框截断,结构成为静定结构,所以本结构是6次超静定结构5-1h确定超静定结构的次数解：将两个方框截断,去失落一个固定支座,结构成为静定结构,所以本结构是9次超静定结构5-1i确定超静定结构的次数解：AB是连接4个点的复链杆,相当于2n-3=5个单链杆,同理,BC相当于2n-3=5个单链杆,总计22各单链杆,地基外9个点,18个自由度,所以本结构是4次超静定结构5-1j确定超静定结构的次数解：将A、B、C改为铰支座,结构成为静定结构,所以本结构是3次超静定结构5-2a用力法计算下面结构,并绘出弯矩图解：这是一次超静定问题,由于B 点实际位移即是0,获得力法基本方程去失落B 点链杆支座,获得基本体系,去失落载荷获得基本结构做基本结构在已知载荷作用下的弯矩图做基本结构在单元载荷作用下的弯矩图用图乘法求得柔度系数用图乘法求得自由项解力法基本方程获得未知力根据公式P M X M M +=11得弯矩图5-2b 用力法计算下面结构,并绘出弯矩图解：这是一次超静定问题,由于B 点实际位移即是0,获得力法基本方程去失落B 点链杆支座,获得基本体系,去失落载荷获得基本结构做基本结构在已知载荷作用下的弯矩图做基本结构在单元载荷作用下的弯矩图用积分法求得柔度系数用积分法求得自由项解力法基本方程获得未知力根据公式P M X M M +=11得弯矩图5-2c 用力法计算下面结构,并绘出弯矩图解：这是一次超静定问题,由于A 点实际位移即是0,获得力法基本方程去失落A 点链杆支座,获得基本体系,去失落载荷获得基本结构做基本结构在已知载荷作用下的弯矩图做基本结构在单元载荷作用下的弯矩图图乘法求得柔度系数用图乘法求得自由项解力法基本方程获得未知力根据公式P M X M M +=11得弯矩图5-2d 用力法计算下面结构,并绘出弯矩图,EI 为常数解：本题为2次超静定问题,基本体系和基本结构见图力法基本方程系数和常数项意义见下图基本结构在已知载荷作用下得弯矩图基本结构在单元载荷11=X 作用下得弯矩图基本结构在单元载荷12=X 作用下得弯矩图柔度系数。
结构力学的叠加原理
结构力学的叠加原理结构力学的叠加原理是指结构在受到多个载荷作用时，可以将每个载荷的作用分开计算，然后再将结果叠加得到最终的结构响应。
这个原理在结构分析和设计中起到了至关重要的作用。
结构力学的叠加原理是基于线性弹性的假设而建立的，即假设材料在受力下的变形是可逆的，而且结构的响应与载荷成正比。
在这种情况下，可以将结构的受力问题分解为多个独立的部分，然后根据每个部分受到的载荷作用进行分析。
首先，我们来看结构的静力叠加原理。
根据这个原理，如果结构受到多个静力载荷的作用，那么结构的总响应等于每个载荷分别作用时的响应的矢量和。
这意味着如果我们知道了结构在单个载荷作用下的响应，只需要将这些响应进行矢量相加，就能够得到结构在多个载荷作用下的响应。
例如，考虑一个悬臂梁在两个不同点受到两个不同力的作用。
我们可以分别计算出梁在第一个点受到第一个力作用时的响应，以及在第二个点受到第二个力作用时的响应。
然后，将这两个响应的矢量相加，就能够得到结构在两个力作用下的响应。
这个原理可以推广到更复杂的情况，例如结构受到多个力和弯矩的作用时，只需要将每个作用下的力和弯矩的响应进行叠加，就能够得到结构的总响应。
另外一个重要的叠加原理是结构的动力叠加原理。
在动力载荷作用下，结构的响应不仅取决于载荷的大小，还取决于载荷的频率。
动力载荷可以是周期性的，如地震，也可以是非周期性的，如冲击载荷。
根据动力叠加原理，当结构受到多个动力载荷时，可以将每个载荷的响应进行矢量叠加，得到结构在多个载荷作用下的总响应。
在动力叠加原理中，需要注意不同载荷之间的时间相对性。
对于周期性载荷，如果它们的周期相同或者是周期的整数倍关系，那么它们之间存在相位差，需要考虑这些相位差对结构响应的影响。
对于非周期性载荷，可以使用相关函数将不同载荷的时间作用进行叠加，得到结构的总响应。
结构力学的叠加原理是结构分析和设计的基础，具有广泛的应用。
通过使用叠加原理，我们可以将结构的受力问题分解为多个简单的部分，从而更容易进行计算和分析。
大学结构力学课件
目 录
• 结构力学概述 • 静力学基础 • 动力学基础 • 弹性力学基础 • 塑性力学基础 • 结构分析方法与技能
CHAPTER 01
结构力学概述
结构力学定义与重要性
结构力学定义
结构力学是研究结构在各种荷载作用 下的响应和行为的学科。它主要研究 结构的内力、变形、稳定性以及振动 等方面。
静力分析方法
通过平衡条件求解结构内力，适用于静荷载作用下的结构分析。
动力分析方法
考虑结构动力学特性，适用于动力荷载作用下的结构分析。
弹性分析方法
考虑材料弹塑性性质，适用于复杂结构分析。
结构分析技能与策略
简化模型技能
根据实际情况对结构进行公道简化，降低计 算难度。
有限元法策略
利用有限元法进行结构离散化，提高计算精 度和效率。
圆筒受内压分析
02
通过圆筒受内压分析实例，介绍弹性力学在压力容器设计中的
应用。
弹性地基上梁的分析
03
通过弹性地基上梁的分析实例，介绍弹性力学在土木工程中的
应用。
CHAPTER 05
塑性力学基础
塑性力学基本概念
塑性力学定义
塑性力学是研究材料在到达屈服极限后，产生 不可逆的塑性变形时力学行为的学科。
现代结构力学
20世纪以来，随着计算机技术和数值分析方法的发展，现代结构力学得到了迅速发展 。它不仅广泛应用于传统工程领域，还扩大到了生物、医学、材料等其他领域。
结构力学基本原理
荷载与反力
平衡方程
变形与内力
稳定性
弹性与塑性
荷载是施加在结构上的 外力，反力是结构内部 产生的抵抗荷载的力。
根据牛顿第三定律，结 构在荷载作用下的平衡 方程为∑F=0，其中∑F为 所有荷载向量之和。
结构力学的发展简史
元计算秉承中国科学院数学ห้องสมุดไป่ตู้系统科学研究院有限元自动生成核心技术（曾获中科院科技进 步二等奖、国家科技进步二等奖），通过自身不懈的努力与完善，形成一系列具有高度前瞻性和 创造性的产品。
元计算产品适用范围广泛，目前有国内外专业客户300余家，涉及美、加、日、韩、澳、德、 新等国，遍布石油化工、土木建筑、电磁电子、国防军工、装备制造、航空航天……等多个领域。
有限元语言及编译器（Finite Element Language And it’s Compiler，以下简称FELAC） 是中国科学院数学与系统科学研究院梁国平研究院于1983年开始研发的通用有限元软件平 台，是具有国际独创性的有限元计算软件，是PFEPG系列软件三十年成果（1983年—2013 年）的总结与提升，有限元语言语法比PFEPG更加简练，更加灵活，功能更加强大。目前 已发展到2.0版本。其核心采用元件化思想来实现有限元计算的基本工序，采用有限元语 言来书写程序的代码，为各领域，各类型的有限元问题求解提供了一个极其有力的工具。 FELAC可以在数天甚至数小时内完成通常需要一个月甚至数月才能完成的编程劳动。
结构力学的发展简史
人类在远古时代就开始制造各种器物，如弓箭、房屋、舟楫以及乐器等，这些都是简单的结构。 随着社会的进步，人们对于结构设计的规律以及结构的强度和刚度逐渐有了认识，并且积累了经验， 这表现在古代建筑的辉煌成就中，如埃及的金字塔，中国的万里长城、赵州安济桥、北京故宫等等。 尽管在这些结构中隐含有力学的知识，但并没有形成一门学科。 就基本原理和方法而言，结构力学是与理论力学、材料力学同时发展起来的。所以结构力学在发 展的初期是与理论力学和材料力学融合在一起的。到19世纪初，由于工业的发展，人们开始设计各种 大规模的工程结构，对于这些结构的设计，要作较精确的分析和计算。因此，工程结构的分析理论和 分析方法开始独立出来，到19世纪中叶，结构力学开始成为一门独立的学科。 19世纪中期出现了许多结构力学的计算理论和方法。法国的纳维于1826年提出了求解静不定结构 问题的一般方法。从19世纪30年代起，由于要在桥梁上通过火车，不仅需要考虑桥梁承受静载荷的问 题，还必须考虑承受动载荷的问题，又由于桥梁跨度的增长，出现了金属桁架结构。
折纸对建筑的启发
折纸对建筑的启发作者：贾福龙来源：《装饰装修天地》2018年第13期摘要：折纸作为一种古老的艺术形式，在工业设计上早已成为一种常见且实用的手段，建筑师也从这门传统手工艺中汲取创作的灵感。
折叠的奥秘在于可以把平面的纸张变成空间的结构，给建筑设计、结构设计带来与众不同的解决思路。
本文从折纸的起源出发，结合经典案例回顾折纸在建筑设计实践中的应用，总结折纸对建筑领域的启发，并展望数字化时代下折纸在建筑领域的可能性。
关键词：折纸艺术；建筑形式；结构；图案1 引言在建筑设计和工业设计的发展历史中，对使用单张平面材料（例如胶合板、金属板、塑料板、纸板）直接生成三维形式的尝试从未停止。
将二维材料成型为三维造型这种空间转换的手法在折纸中经常用到。
因此，对折纸问题的研究为设计和建造过程中遇到的问题提供了一种新的解决方式。
随着对折纸数学原理研究的深入以及计算机技术的发展，使用计算机建模模拟折纸过程、分析结构力学特性已经成为现实，作为建筑设计领域一个重要灵感来源，折纸已经超越单纯的美学追求在结构设计和动态建筑中扮演重要角色。
2 折纸艺术的起源与发展折纸是纸艺的一部分，即在一张完整的纸张上运用翻、转、拉、挑等手法在不发生剪切、粘合的前提下创造各种三维立体形态的手工艺。
由于文献和出土文物没有确切关于折纸的记载，所以起源迄今无从考证，主要有中国起源说、日本起源说和西班牙起源说三种说法。
不过可以确定的是现代折纸起源于日本，在公元1200年左右，日本武士中流行交换一种特殊折法折出的纸花来证明之间的友谊，之后到了室町幕府时期（公元1336年）纸成为廉价品，折纸开始流传到社会各个阶层并广泛应用于日常生活、婚庆、祭祀活动中，并且一直流行到今天。
19世纪晚期，随着第一次国际折纸学术会议在巴黎举行现代折纸进入快速发展时期。
日本折纸艺术家吉泽章创作出了大量充满艺术魅力与创新精神的折纸作品，建立了描述折纸技术的标准语言，至今仍旧为全世界所通用，被称为现代折纸艺术的鼻祖；20世纪80年代，人们开始注意到折纸可以作为一个数学问题被加以研究，1991年，藤田文章提出折纸过程中的六种基本操作，也称为折纸几何公理，之后数学家羽鸟公士郎补充了第七条公理，合称藤田-羽鸟公理；90年代，罗伯特·朗成功将相关数学定理转化成了算法，并基于这些算法开发了商业软件，允许人们输入任何自己心目中想要的形状，然后电脑会计算出为了折出该形状所需的折痕图样；2004年，东京大学三浦公亮发明三浦折叠法应用于卫星太阳板的折叠；2013年，东京大学馆知宏教授提出了折叠自由曲面的实用算法。
折纸及其折痕设计研究综述
第 50 卷 第 3 期 2018 年 5 月
研究综述
力学学报
Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics
折纸及其折痕设计研究综述1)
Vol. 50，No. 3 May，2018
李 笑 李 明 2)
(大连理工大学工程力学系, 工业装备结构分析国家重点实验室，大连 116024)
摘要 折纸是指不经剪裁和粘接，将二维平面纸张折叠成三维立体的方法，具有设计简单、成形迅速、适用范 围广等优点，在可展开式结构、结构组装与自成型等领域有着广阔的应用前景. 本文首先简述了多种典型的新 式折纸应用，如屈曲诱导的微尺度三维结构、可折叠太阳能电池板、DNA 螺旋组装结构等；根据折纸的曲线折 痕数量、相对运动、刚性折叠面、使用纸张数量界定折纸的分类；然后折痕设计是实现折纸结构的核心问题， 着重阐述了折纸的折痕设计方面，包括梳理折痕设计的基本条件，给出若干典型折痕设计如三浦折痕设计、水 弹折痕设计、吉村式折痕设计和对角线型折痕设计，介绍典型折痕设计的显著特点及几何条件，将目前折纸折 痕设计的创新方法归纳为对经典折痕设计适当改进、形成折痕设计数据库、利用拓扑优化方法、借助成型的汇 编算法等；最后，基于当前折纸的研究进展对未来的研究方向进行了展望，其中涉及到可重构折纸结构、四维 折纸、多材料折纸和多尺度折纸等. 关键词 折纸，折痕，几何条件，折叠公理，折痕设计方法，拓扑优化
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弹性力学大作业
2013011649 王子路
一、概论
Origami是折纸的日文说法，这是一门有数百年历史的艺术，将平面的纸折叠组装成为三维的形状比如动物，植物，鸟类，昆虫，人物形象，无生命或者抽象形象等。
在过去的五十年内折纸形象增多，并且应用于科学以及工程应用，研究折纸并将其作为一项科学的研究者越来越多。
因为能够从二维平面建设三维结构，所以折纸的力学性能受到广泛关注。
本人正在航院张一慧老师的带领下进行基于折纸技术的微尺度三位架构的相关研究，所以有些文章偏向于研究折纸技术的三维架构。
二、应用
A.P. Thrall 和C.P. Quaglia在文章中介绍了美国军方根据折纸技术以及建筑学设计建造了临时可折叠屋，包括软墙壁折叠屋，蛤壳状折叠屋，长度可扩展硬墙壁折叠屋。
Ichiro Ario等人利用折纸数值模拟方法（适用于轻型结构或目标达到高强度的方法）创造一种最优化的“剪刀形状”折叠结构桥，用以应对突发灾难的救援工作。
Francesca Cavallo和Max G. Lagally介绍了纳米级别折纸结构从组装结构到作为新功能集成平台的应用，同时由于纳米膜结构除了拥有典型纸张的弯折特性还有其单晶特性，导致了其三维器材拥有独特电，光电，电磁功能。
石党委等人介绍了DNA折纸术作为DNA自组装方法，通过一条长的环状单链DNA与一系列与设计的短链DNA碱基互补配对来构造高度复杂的二维和三维纳米结构图案。
Jungwook Kim等人引进一种利用半调胶光刻方法进行制作，使用光感聚合物以及温度
响应凝胶膜，制作出通过改变辐射量时在平面形态以及预定的三维形态之间变换的结构。
Toen Castle和Yigil Cho等人探索并发展了一系列应用于裁剪，粘贴，折叠以蜂窝状模型为例的剪纸折纸条件，以数学角度表达出来。
S. Felton与M. Tolley等人设计并制作了一个能够在四分钟内由平面结构自行组装并且无人干预情况下移动的爬行机器人。
其中使用了形状记忆复合材料与嵌入式合页搭配。
这开创了自折叠机械的发展。
Jesse L. Silverberg 等人通过对Miura-ori棋盘型折纸的研究发现每个单元都是机械双稳定的，因此在状态之间切换的时候整体的压缩模量可以合理可逆调优。
同时由于折纸的无尺度几何特征，这个框架的超材料设计可以直接应用于毫、微、纳米级系统。
张一慧等人基于力学屈曲的微尺度三维结构组装方法基础上，引入多层剪纸、折纸设计思想，通过压缩使初始为二维或准二维构型的薄膜状结构发生屈曲变形，并结合基于大变形后屈曲分析的结构优化设计，实现了从硅到塑料，从聚合物到金属的三维组装。
Kaori Kuribayashi等人设计并生产了一种新的基于折纸的埃塞氏移植物，这种新的移植物是由带有凸凹折痕的可折叠金属箔制作。
材料是Ni-Ti记忆合金，采用光化学蚀刻折痕，并由体温引发或利用超弹性性质达到目标。
Hani Buri等人将折纸技术与特定图案引入建筑学，用十字叠层木材版为材料进行建筑，结构，数学优化。
提到了钻石模型，斜纹模型，人字模型并加以实例论证。
三、理论
Robert J. Lang首次通过完全的算法设计任意折纸的展开图。
算法建立在展开图和表示已有基底的树状图的约束下，将问题转化为非线性约束最优化问题。
设计算法的基础是找到一个与目标展开图有相同数目片的基础展开图，然后将其转化为目标展开图。
Tomohiro Tachi等人研究了从给定的多边形表面生产棋盘式折纸系列展开图的方法。
通过先建立一个棋盘式折纸最初的外形然后分离每个多边形面，再向其中插入折叠部分的方法来实现。
Marcelo A. Dias等人通过对带有环形折痕的二维圆环进行折叠产生的三维屈曲结构进行分析，并且调整相关的半径，折叠角度，力学性质等参数，对硬折叠以及相对软的折叠进行比较并与数值模拟相印证。
Ichiro Ario等人应用折纸模型对折叠多层梁结构进行静力以及动力学的弹性以及弹塑性稳定性分析，理论基于分岔理论以及几何非线性约束。
并且与数值分析相印证，有助于轻结构动加载的静态分岔分析以及动力学分析实际应用。
Giles W. Hunt和Ichiro Ario对可折叠的扭转后屈曲圆柱薄壳进行研究，探究了变形模式与对称性破坏以及峰线与谷线在屈曲状态下的旋转之间的适应关系。
Marcelo A. Dias等人发展了递归方程式来描述纸张在一系列同轴的弯折下产生的三维形变。
利用连续方程以及空间限制条件，描述在光滑表面相交的所有凸起折痕。
Daniel M. Sussmana, Yigil Cho等人通过将基础的蜂窝状晶格折纸单元改变弯折方向发展出不同的构型，从而拓展到一个平面薄片改变单元折叠方向从而编程达到多样化的目标表面。
案例中模拟了一座山的等高图。
Sheng Xu,ZhengYan,Kyung-In Jang等人通过压缩屈曲的手段进行三维微结构组装，通过计算二维图案屈曲到三维的构型，建立了40多个代表性几何形状，而且成功应用于硅这种脆性材料。
Mark Schenk 与Simon D. Guest研究了Miura-ori折纸模式，表明这种超材料的结构力学性能由折叠运动学确定，即只依赖于几何构型。
并且折叠层之间的动力学性能是可并立的，因此在设计超材料时有可以改变每层的折叠模式的自由。