工程流体力学第八章--粘性流体绕物体的流动
作用于微元体各面上的x轴方向的应力
把作用于控制体上x方向的力叠加起来，得到作用 在微元体上的表面力在x方向的分量为：
x dxdydz yx dydxdz zx dzdxdy
x
y
z
x yx zx dxdydz
x y z
作用于微元体各面上的Y、Z轴方向的应力
• 同理，表面力在y方向的分量为：
dvz dt
fz
1
p z
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
1 3
z
vx x
vy y
vz z
上式称纳维－斯托克斯（Naver-Stokes）方程，是粘性流 体运动微分方程的又一种形式。
精确解：
N-S方程中的加速度对流项是非线性 项，这使得方程的求解非常困难。对于某 些简单的流动，非线性对流项消失，N-S 方程变为线性方程，用解析的方法求出其 解，这类解称为精确解。
y zy xy dxdydz
y z x
• 表面力在z方向的分量为：
z xz yz dxdydz
z x y
作用于微元体上的力，除表面力，还有什么力？
质量力
把表面力和质量力应用于牛顿第二定律，化简后移
项有
dvx dt
fx
1
x
x
yx
y
zx
z
dvy dt
fy
1
y
y
zy
fz
1
p z
2vz
写成矢量形式为
dv f 1 p 2 v
dt
• 对理想流动，认为流体无粘性， ，0 这时运动方程简化为
欧拉运动微分方程：
fx
1
p x
dvx dt
fy
1
p y
dvy dt
fz
1
p z
dvz dt
• 当流体静止不动时，V ，0 则运动方程简化为欧拉平衡微分
方程：
fx
1
对于中等雷诺数情况，惯性力 和粘性力都必须保留，此时只能通 过其它途径简化问题，或者利用数 值计算方法求N-S方程的数值解。
对于不可压流体，其连续方程为：
vx v y vz 0 x y z 其运动微分方程为
dvx dt
fx
1
p x
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
dvy dt
fy
1
p y
2vy x 2
2vy y 2
2vy z 2
dvz dt
fz
1
p z
2vz x 2
2vz y 2
2vz z 2
考虑到拉普拉斯算子：2 2 2 2
x2 y 2 z 2
不可压缩粘性流体的运动方程还可写为：
dvx dt
fx
1
p x
2vx
dvy dt
fy
1
p y
2v
y
dvz dt
vr v
(r, ) (r, ) p(r, )
v cos (1
v sin (1
p
3 2
3 r0
2r 3 r0
4r r0v r2
1 2
r03 r3
1 4
r03 r3
cos
) )
圆球以很小的速度在静止流体中作等速运动时，在 流场中通过x轴的平面上的流谱如图所示。
前驻点 后驻点
pA
p
3 2
v
r0
pB
p
3 2
v
r0
切应力的最大值，发生在C点
c 3v / 2r0
• 球面上的压强和剪切应力也可根据速度分布公式算出，为：
( prr )rr0
( ) r rr0
p 2
vr r
p
(1 vr v0 v ) r r r
3 v
2 r0
3 v
2 r0
cos s in
p x
fy
1
p y
1 p
f z z
N-S方程的求解条件
初始条件
px,
y,
z,动则无初始条件
流体和固体的交接面 边界条件
流体和流体的交接面
第二节 蠕流
• 蠕流：雷诺数很低的流动。 如：热电厂锅炉炉膛气流中绕煤粉颗粒、油滴 等的流动；滑动轴承间隙中的流动，等等。
据有关文献介绍，能查到的精确解至 今为止只有十几个，而且其中的大部分不 能够直接应用到实际问题中去。
近似解：
小雷诺数情况，此时粘性力较惯性 力大得多。可以全部或部分地忽略惯性 力得到简化的线性方程。
大雷诺数情况，若将粘性力全部略 去，只在贴近物面很薄的一层“边界层” 中考虑粘性的影响，且根据问题的特性， 略去粘性力中的某些项，从而得到简化 的边界层方程（仍的非线性的）。
2vz z 2
)
如果流动是不可压缩流体，则连续性方程为
vx v y vz 0 x y z
将式（8－6）依次求 2 、p 、2 p ，然2 p后相加，
x 2 y 2 z 2
并结合连续性方程，即得
2 p x 2
2 p y 2
2 p z 2
2
p
0
即蠕动流动的压力场满足拉普拉斯方程。
二、绕球的蠕动流动
力为理想流体的压强 x y z p
二、本构方程
• 牛顿流体的本构方程：
xy
yx
v y x
vx y
xz
zx
vx
z
vz x
zy
yz
v z y
v y z
x
p
2 3
v 2
v x x
y
p
2 v 2
3
v y y
z
p
2 v 2
3
v z z
特点：流动的尺度很小； 流动的速度很小，雷诺数很低。
一、蠕动流动的微分方程
• 对于定常流动，忽略惯性力和质量力，在直角坐标系下， 可把纳维尔―斯托克斯方程组简化成：
p x
(2vx
x 2
2vx y 2
2vx z 2
)
p y
(2vy
x 2
2vy y 2
2vy z 2
)
p z
(2vz
x 2
2vz y 2
z
xy
x
dvz dt
fz
1
z
z
xz
x
yz
y
这就是微分形式的运动方程。
二、本构方程
本构方程是确立应力和应变率之间关系的方程式。
斯托克斯根据牛顿内摩擦定律，提出了建立 牛顿流体本构方程的三条假定：
1 流体是各向同性的 2 应力分量与变形速度成线性关系 3 当变形速度为零时，切向应力为零，法向应
广义牛顿定律 定义
p
1 3
x
y
z
三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）
dvx dt
fx
1
p x
2vx x 2
2vx y 2
2vx z 2
1 3
x
vx x
v y y
vz z
dvy dt
fy
1
p y
2vy x2
2vy y 2
2vy z 2
1 3
y
vx x
vy y
vz z
流动分类
根据工程的实际情况， 流动可分为：内流和外流。 内流 ：如右上图。 外流： 如右下图。
一、实际流体的性质
二、作用在一平面上某点的表面应力
三、通过任一点在三个互相垂直的作用面上的 表面应力
共有九个分量 三个是法向应力 六个是切向应力
第一节 不可压缩粘性流体的运动微分方程
一、微元体的受力分析和运动微分方程的推导
工程流体力学中的密度与粘性对流体流动影响分析
工程流体力学中的密度与粘性对流体流动影响分析在工程流体力学中，流体的密度和粘性是决定流体流动行为的重要因素。
密度和粘性直接影响着流体的惯性和阻力，因此在流体流动分析中需要对它们的影响进行综合考虑。
本文将分析密度和粘性对流体流动的影响，并探讨这些影响对工程应用的意义。
首先，密度是流体中分子或粒子的质量与体积的比值。
密度越大，流体的惯性也越大，其惯性力对流体的运动起到重要作用。
密度对流体的流动速度和压力分布等参数有直接影响。
一般情况下，密度较大的流体在同样的压力下具有较低的流动速度。
例如，在液体的输送过程中，如水泵输送液体时，密度可以影响液体的流速以及所需的泵工作能力。
其次，粘性是指流体流动时的抵抗力和黏滞力。
粘性的大小反映了流体内分子之间相互的摩擦阻力。
粘性越大，流体的黏滞阻力就越大，流动的速度会受到较大的阻碍。
粘性对流体的流动稳定性和层流或湍流的转变有重要影响。
对于粘性流体，如石油、液氧等，其粘度较大，流动时form form form用。
密度和粘性的综合影响对于工程流体力学中的实际应用具有重要意义。
在设计工程中，需要通过对密度和粘性的分析来进行流体流动的预测和优化。
例如，在管道流动的设计中，通过分析流体的密度和粘性，可以确定管道直径、流速和泵的功率等参数。
同时，密度和粘性的分析也可以用于解决工程中的实际问题，如管道堵塞、流体流动不稳定等情况的处理。
此外，密度和粘性的综合分析还能够帮助工程师理解和优化流体力学行为。
例如，在航空航天工程中，密度与粘性的分析有助于飞机的设计和性能评估。
另外，在海洋工程中，密度和粘性的综合分析能够用于海洋建筑物和海洋设备的设计和运行。
因此，深入研究密度和粘性对流体流动的影响具有重要的理论和实际意义。
总而言之，密度和粘性是工程流体力学中非常重要的参数，它们直接影响着流体的惯性和阻力。
通过分析密度和粘性的影响，可以对流体流动进行预测、优化和解决实际问题。
工程师在设计和实际应用中需深入理解和分析密度和粘性，以充分发挥它们在工程流体力学中的作用。
工程流体力学 教学课件 ppt 作者 周乃君 流体力学第八章粘性流体运动方程及其基本解
i , j x, y , z
u i 1 u i u j 1 u i u j S ij ij x j 2 x j xi 2 x j xi
Sij即为变形率张量（ εij，应变率张量），γij称为旋转张量。
u z ( x x, y y, z z, t ) u z ( x, y, z , t )
u z u u x z y z z x y z u z ( x, y, z, t ) ( x y y x) xz x yz y zz z
中南大学能源科学与工程学院
10
xx xy xz 定义流体微团的变形率矩阵 yx yy yz zx zy zz
该矩阵是个对称矩阵，每个分量的大小与坐标系的选择 有关，但有三个量是与坐标系选择无关的不变量。它们 I1 xx yy zz 是：
中南大学能源科学与工程学院
7
对于y,z方向的速度分量，也可得到
u y ( x x, y y, z z , t ) u y ( x, y, z , t ) u y x y z u y ( x, y, z, t ) ( z x x z ) xy x yy y zy z x u y y u y z
yx yy yz zy zz zx xy yx xz zx yz zy
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17
（1）在理想流体中，不存在切应力，三个法向应力相 等，等于该点压强的负值。即
xx yy zz p
5
以x方向速度分量为例，由泰勒级数展开，有
工程流体力学(粘性流体动力学基础公式推导)
2h
u
x
vw0
U 0
不可压连方
u v w 0, u 0, u u( y)
x y z
x
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y 2
2u z2 )
26
运动方程
u t
u
u x
v
u y
w
u z
1
p x
2u ( x 2
2u y2
2u z 2
)
简化为
2u y 2
1
p x
13
px
py
pz
3 p
2 ( vx
x
vy y
vz z
)
（８--９）
问题：上式括号内表示什么？
对于不可压缩流体，故有：
p
1 3
(
px
py
pz
)
(8-10)
即对于粘性不可压缩流体，三个互相垂直的法
向应力的算术平均值恰好等于理想流体的压力。
14
将切向应力和法向应力关系式代入（8--5）式得
vx t
vx
Dt
x
y
z
DVz Z 1 ( zx zy pzz )
Dt
x
y
z
（8-5）
单位质量流体的惯性力
单位质量流体的应力
单位质量流体的质量力
这就是应力形式的粘性流体运动微分方程 8
讨论
1.式（８-５）中未知函数:三个速度分量和六个 应力分量；加上连续性方程，只有四个方程，
2.若要求解，需补充方程。
将（ｄ）式代入（ａ）式，经移项后可得
粘性流体力学课件
适用于牛顿流体
流体运动微分方程——Navier－Stokes方程
y
vx v y vx vz z x x z y
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
Dvy
2 y 2 y 2 y 1 p fy 2 2 x Dt y y z 2
2 z 2 z 2 z Dvz 1 p fz 2 2 2 Dt z y z x
( x z ) ( y z ) ( z 2 ) dxdydz x y z
微元体内的动量变化率
x dxdydz x方向： t z dxdydz y方向： dxdydz z方向： t t
y
运动方程
以应力表示的运动方程
p
xx
yy zz 3
这说明：三个正压力在数值上一般不等于压力，但它们的平 均值却总是与压力大小相等。
切应力与角边形率
流体切应力与角变形率相关。
牛顿流体本构方程反映了流体应力与变形速率之间的关系， 是流体力学的虎克定律。
N-S方程
Dvx p 2 x fx 2 Dt x 3 x x x
xx dx x
每个应力有两个下标，第一个下 标表示应力作用面的法线方向； 第二个下标表示应力的作用方向
fz
fy fx
应力正负的规定
应力与所在平面的外法线方向相 同为正，否则为负：
微元体上的表面力和体积力
运动方程
应力状态及切应力互等定律
粘性流体运动详解演示文稿
xx
p 2
x
x
2 3
vx x
vy y
vz z
xx 附加粘性正应力
xx p xx
附加粘性正应力的产生是速度沿流动方向的变化所导致的。
第5页，共89页。
正应力与压力：
由于粘性正应力的存在，流动流体的压力在数值上一般不等 于正应力值。但有：
p xx yy zz 3
1 r2
2v
2
2
r2
v r
2v z 2
第18页，共89页。
v
1
r
2
v max
R
u
vdA
A
1
R 2
R
0 v 2rdr
1
R 2
R 0
2v max
1
r R
2
rdr
v max 2
v max
4L
R2
第19页，共89页。
引入：阻力系数（又称范宁因子）
f w
u2
2
v
1
r
2
•
0 或 2 0
• 上述方程称作不可压无旋流动的基本方程。
• 在笛卡儿坐标系中：
•
• 在柱坐标系中：
•
2 2 2 2 0
x2 y 2 z 2
• 式中 为拉普拉2斯 算子2r2 。1r 满r 足 r拉12 普22 拉 斯2z2 方 0程的函数为调和函数，
故速度2势是调和函数。
第24页，共89页。
二 流函数
• 在笛卡儿坐标系中，平面、不可压缩流体的连续性方程可写成:
V
vx
v y
0
• 若定义某一个函数（流函数）x y
令:
(x, y)
流体力学课程自学辅导资料
流体力学课程自学辅导资料二○○八年十月教材：工程流体力学教材编者：孔珑出版社：中国电力出版社出版时间：2007年注：期中（第10周左右）将前半部分测验作业寄给班主任，期末面授时将后半部分测验作业直接交给任课教师。
总成绩中，作业占15分。
第一章绪论一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体力学的研究内容和研究方法（二）本章重点流体力学的研究内容和研究方法（三）本章前后联系为本书的其它章节内容做一介绍二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念研究内容：是力学的一个独立分支，是一门研究流体的平衡和运动规律及其实际应用的技术科学。
研究速度分布、压强分布、能量损失及作用力。
研究方法：理论分析、实验研究、数值计算（二）本章难点及学习方法指导流体力学研究内容三、典型例题分析（略）四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题（略）（二）习题解答（只解答难题）（略）第二章流体及其物理性质一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心1、流体的几个性质2、流体的几个物理模型3、作用在流体上的力（二）本章重点1、流体的压缩性、粘性2、连续介质模型、不可压缩流体模型、理想流体模型3、作用在流体上的力：表面力和质量力（三）本章前后联系为本书的其它章节建立物理模型二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体力学定义：受任何微小剪切力都能连续变形的物质特征：流动性2、连续介质模型：（1）宏观上无限小（2）微观上足够大（3）有确定物理量连续介质假设(continuum/continuous medium model)：把流体视为没有间隙地充满所占据的整个空间的一种连续介质，且其所有的物理量都是空间坐标和时间的连续函数的一种假设模型：f =f(t,x,y,z)。
特例：分子的自由行程和所涉及的最小有效尺寸可以相比拟时，如火箭在高空非常稀薄的空气中以及高真空技术3、压缩性：一定温度下、压强增加体积缩小的性质4、膨胀性：一定压强下、温度升高体积增大的性质5、不可压缩流体模型：通常情况下液体流速不高、压强变化小气体6、粘性：在运动的状态下，流体所产生的抵抗剪切变形的性质影响粘性的主要因素：流体种类、温度和压强7、牛顿流体：牛顿内摩擦定律和牛顿流体8、理想流体模型：粘度为09、作用在流体上的力：表面力和质量力（二）本章难点及学习方法指导1、流体的力学定义2、不可压缩流体模型3、理想流体模型三、典型例题分析1、P8. 例2-12、P14例2-4四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题2-1、2-3、2-14（二）习题解答（只解答难题）（略）第三章流体静力学一、本章的核心、重点及前后联系（一）本章的核心流体静压强分布及作用在平面和曲面上的力（二）本章重点1、流体静压强特性2、流体静力学基本方程及其物理和几何意义3、液体相对平衡时压强分布及工程应用4、静止液体作用在平板上总压力大小和位置5、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（三）本章前后联系流体静力学是力学的基础知识，最基本内容二、本章的基本概念、难点及学习方法指导（一）本章的基本概念1、流体静压强特性：方向沿作用面内法线方向，大小和作用面方位无关2、等压面：压强相等的点组成的面3、流体静力学基本方程及其物理和几何意义：水头、测压管水头、压强势能、重力势能4、帕斯卡原理、液柱式测压计5、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理6、静止液体作用在平板上总压力大小和位置7、静止液体作用在曲面上总压力，压力体（二）本章难点及学习方法指导1、液体相对平衡时压强分布及工程应用：离心式泵与风机、离心铸造机工作原理2、静止液体作用在平板上总压力大小和位置3、静止液体作用在曲面上总压力，压力体三、典型例题分析1、P30. 例3-22、P37. 例3-63、P40. 例3-7四、思考题、习题及习题解答（一）思考题、习题1.相对平衡的流体的等压面是否为水平面？为什么？什么条件下的等压面是水平面？2.压力表和测压计上测得的压强是绝对压强还是相对压强 ？3、圆筒,H0=0.7m,R=0.4m, V=0.25m3, ω=10rad/s,中心开孔,顶盖m=5kg 。
第8章 粘性流体绕物体的流动-复习
上式也称为广义牛顿定律。由上式可知切
应力与流体质点的角变形率大小成正比，而流
体的法向应力和流体的相当体积膨胀率 ，以及相应方向上的线变形率有关，因此在运
动的粘性流体中，和静止的状态不同，法向应
力在不同方向上大小可能不相等。
三、纳维－斯托克斯方程（简称N－S方程）
• 将式（8－10）代入式（8－9）可得： （ 8－11）
（8－9）
方程左端为单位质量流体的惯性力；右端第一项 为作用于单位质量流体上的质量力；第二项为作 用于单位质量流体上的表面力。
该方程是牛顿第二定律的一个严格的描述，在推 导过程中适用于各种流体。但是，方程中质量力 为已知，而表面应力各分量未知。？
二、本构方程
本构方程指确立应力和应变率之间关系的方程式。 例如弹性力学中的胡克定律。对于大多数流体应 力与应变变化率成正比，也就是说，应力与应变 变化率之间存在着线性关系，服从这种关系的流 体称为牛顿流体。 斯托克斯通过引入假设条件将牛顿内摩擦定律推
流体经过机翼翼型（或叶片叶型）的流动如图8-18所示， v p 以 和 表示无穷远处流体流动所具有的速度和压强。 流体绕过翼型前驻点后，沿上表面的流速先增加，直增 加到曲面上某一点M，然后降低。由伯努利方程可知， 相应的压强先降低（dp/dx<0），而后再升高(dp/dx>0)。 M点处边界层外边界上的速度最大，而压强最低。沿曲 面各点法向的速度剖面和压强变化曲线的示意如图8-19 所示。图中实线表示流线，虚线表示边界层的外边界。
●边界层的构成：
1.层流边界层，当 流边界层。
较小时，边界层内全为层流，称为层 Re
2.混合边界层：除前部起始部分有一小片层流区，其余大 部分为紊流区，称为混合边界层。
流体力学第八章答案
流体力学第八章答案【篇一：流体力学第8、10、11章课后习题】>一、主要内容（一）边界层的基本概念与特征1、基本概念：绕物体流动时物体壁面附近存在一个薄层，其内部存在着很大的速度梯度和漩涡，粘性影响不能忽略，我们把这一薄层称为边界层。
2、基本特征：（1）与物体的长度相比，边界层的厚度很小；（2）边界层内沿边界层厚度方向的速度变化非常急剧，即速度梯度很大；（3）边界层沿着流体流动的方向逐渐增厚；（4）由于边界层很薄，因而可以近似地认为边界层中各截面上压强等于同一截面上边界层外边界上的压强；（5）在边界层内粘性力和惯性力是同一数量级；（6）边界层内流体的流动与管内流动一样，也可以有层流和紊流2种状态。
（二）层流边界层的微分方程（普朗特边界层方程）??v?vy?2v1?p?vy?????vx?x?y??x?y2????p??0?y???v?vy???0?x?y??其边界条件为：在y?0处，vx?vy?0 在y??处，vx?v(x)（三）边界层的厚度从平板表面沿外法线到流速为主流99%的距离，称为边界层的厚度，以?表示。
边界层的厚度?顺流逐渐加厚，因为边界的影响是随着边界的长度逐渐向流区内延伸的。
图8-1 平板边界层的厚度1、位移厚度或排挤厚度?1?1?2、动量损失厚度?2?vx1?(v?v)dy?(1?)dy x??00vv?2?1?v2???vx(v?vx)dy???vxv(1?x)dy vv（四）边界层的动量积分关系式??2???p?vdy?v?vdy?????wdx xx??00?x?x?x对于平板上的层流边界层，在整个边界层内每一点的压强都是相同的，即p?常数。
这样，边界层的动量积分关系式变为?wd?2d?vdy?vvdy?? x?x??00dxdx?二、本章难点（一）平板层流边界层的近似计算根据三个关系式：（1）平板层流边界层的动量积分关系式；（2）层流边界层内的速度分布关系式；（3）切向应力关系式。
工程流体力学(闻建龙)课后答案(部分)
x
D
B
G
h3
yD
L
L T L cos F ( yD y0 ) G cos 2
（2）下游有水时的启门力
y
T L cos F ( yD y0 ) G
L cos F2 ( yD 2 y0 ) 2
L T L cos F ( yD y0 ) G cos 2 2 4 4 3 L h2 / sin 2 / sin 60 = = =2.3094 3 3/2 3 hc (h1 h2 / 2)=(1 2 / 2) 2
解：根据题意，雷诺数为
Re f (v , L, , )
选择 L、v、 作为基本单位，于是
π
Re ，π1 a1 1 1 La v L v
3 0 0, 0, 0 a 1 3 （ L（LT ） ML ） 1 0 1 1, 1 1, 1 1 0 1 1 3 1 1 1 La（LT1 1 ML3 1 ML1T 1 1 ）（ ） 1 Re f 1 Lv 1
解 该问题是一等直径长管输送问题，因此伯努利方程为
2 2 pA A v A pB B vB zA zB hf g 2g g 2g
由题意
z A zB，v A vB = v，取 A B
pA pB L v2 hf g d 2g
假设流动属于水力光滑区
2 v2 vm p 或 g m lm g p l p
2 2 1 vm v p 则 ，即kv kl2 lm l p
高等工程流体力学-高流8
2011-11-17
西安交通大学流体力学课程组
2
8.1 斯托克斯近似
斯斯托托克克斯斯方方程程与与斯斯托托克克斯斯流流动动
NN--SS方方程程
u
u
u
1
p 2u
f
t
引入特征时间 t0，特征长度L，特征速度 U
对流惯性力
粘性力
u
u
2u
E2
2 r 2
sin
r2
1
sin
球坐标系下速度 和流函数关系
ur
1
r2 sin
,
u
1
r sin
r
压强分布
P
r r2 sin
E 2
,
P E2 sin r
2011-11-17
f sin2
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雷诺数 Re 方程求解
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1是斯托克斯问题，采用斯托克斯
2011-11-17
西安交通大学流体力学课程组
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控制方程与边界条件
采用球坐标系 流流函函数数方方程程