组合数学作业
学前数学简单组合练习题
学前数学简单组合练习题一、分类组合题1. 从一盒中有红、黄、蓝三种颜色的糖果共10个，若每个颜色的糖果至少有一个，问有多少种可能的组合？解：首先，根据题目要求每个颜色的糖果至少有一个，可以得出以下条件：红色糖果的数量：1 ≤ 红色糖果≤ 9黄色糖果的数量：1 ≤ 黄色糖果≤ 9蓝色糖果的数量：1 ≤ 蓝色糖果≤ 9接下来，我们可以通过列举所有可能的组合来计算：红黄蓝1 1 81 2 71 3 61 4 52 1 72 2 62 3 53 1 63 2 54 1 5共计有10种可能的组合。
2. 有4个不同的字母A、B、C、D，请问由这4个字母组成的不同三位数有多少个？解：由题意可知，每个位置都可以选择ABCD四个字母中的一个。
那么，我们可以分别计算每个位置的可能性，然后将结果相乘。
个位上的字母有4种选择（A、B、C、D）十位上的字母有4种选择（A、B、C、D）百位上的字母有4种选择（A、B、C、D）因此，总共有4 × 4 × 4 = 64种不同的三位数。
二、排列组合题1. 从1、2、3、4、5这5个数字中任选3个数字，可以组成多少个不同的三位数？解：首先，根据题目要求任选3个数字，可以得出以下条件：选取的数字个数：3个可选的数字：1、2、3、4、5接下来，我们可以使用排列组合的方法来计算：使用5个数字中的其中一个数字作为百位数：5种选择使用剩下的4个数字中的其中一个数字作为十位数：4种选择使用剩下的3个数字中的其中一个数字作为个位数：3种选择因此，总共有5 × 4 × 3 = 60个不同的三位数。
2. 从1、2、3、4、5、6这6个数字中任选4个数字，可以组成多少个不同的四位数？解：首先，根据题目要求任选4个数字，可以得出以下条件：选取的数字个数：4个可选的数字：1、2、3、4、5、6接下来，我们可以使用排列组合的方法来计算：使用6个数字中的其中一个数字作为千位数：6种选择使用剩下的5个数字中的其中一个数字作为百位数：5种选择使用剩下的4个数字中的其中一个数字作为十位数：4种选择使用剩下的3个数字中的其中一个数字作为个位数：3种选择因此，总共有6 × 5 × 4 × 3 = 360个不同的四位数。
小学生数学组合练习题
小学生数学组合练习题小学生数学是一门基础学科，对学生的思维发展和逻辑思维能力的培养具有重要意义。
组合数学是其中一部分，通过训练组合数学可以帮助学生提高逻辑思维和问题解决能力。
下面是一些小学生数学组合练习题，帮助孩子们巩固和拓展他们的组合数学知识。
1. 某班有5位男生和4位女生，请问从这9位同学中选择一位代表参加班级活动的是几种可能性？解析：根据组合数学的知识，我们可以得知从9个人中选择一位代表可以看作是从9个人中选1个人，即C(9,1)。
代入组合数学公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)得到C(9,1) = 9!/(1!(9-1)!)=9。
2. 某班的学生参加比赛，共有12人参赛。
请问从这12个人中选择3个人获得前3名，一共有几种可能性？解析：这是一个从12个人中选3个人的问题，即C(12,3)。
代入组合数学公式C(n,m)=n!/(m!(n-m)!)得到C(12,3) = 12!/(3!(12-3)!)=220。
3. 一只口袋里有红球5个，蓝球3个，黄球2个。
如果从口袋中随机取出3个球，求以下情况的可能性：a) 取出的3个球全部为红球；b) 取出的3个球中至少有一个蓝球；c) 取出的3个球中恰好有一个黄球。
解析：a) 从5个红球中选3个红球的可能性为C(5,3) = 5!/(3!(5-3)!) = 10；b) 取出的球中至少有一个蓝球的情况为：取1个蓝球+2个非蓝球，或者取2个蓝球+1个非蓝球。
即C(3,1) * C(7,2) + C(3,2) * C(7,1) =3*21 + 3*7 = 84；c) 取出的球中恰好有一个黄球的情况为C(2,1) * C(8,2) = 2*28 = 56。
4. 九宫格填数问题：将数字1-9填入九宫格中，要求每行和每列的数字之和均为15。
请问一共有几种可能性？解析：这是一个排列组合问题。
将数字1-9分别填入九宫格的9个位置，可以看作是从9个数字中选择9个数字放入九宫格。
组合数学题目及答案
组合数学例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。
问共有多少种不同的安全状态?解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。
用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。
这种对应显然是一对一的。
因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。
例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。
证明n 偶数。
证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。
根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。
例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。
证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。
每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。
组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。
这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。
而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。
若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。
例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k<l ≤m ，使得和ak+1+ ak +2+ ···+ al 是m 的倍数。
证 设Sh = , Sh ≡rh mod m, 0≤rh ≤m -1，h = 1 , 2 , ···, m . 若存在l , Sl ≡0 mod m 则命题成立．否则，1≤rh ≤m -1．但h = 1 , 2 , ···,m ．由 鸽巢原理，故存在rk= rl , 即Sk ≡Sl mod m ，不妨设l ＞k ．则Sl －Sk= ak+1+ ak+2+…+ al ≡0 mod m例6 设a 1, a 2, a3是任意三个整数，b1 b2 b3为a1, a2, a3的任一排列，则a1－b1, a2－b2 ,a3－b3中至少有一个是偶数．证 由鸽巢原理：a1, a2, a3至少有两个奇偶性相同．则这３个数被２除的余数至少有两个是相同的，不妨设为x; 同样b1, b2, b3中被２除的余数也至少有２个x ．这样a1－b1, a2－b2 , a3－b3被２除的余数至少有一个为０．例7 设a 1, a 2,…, a100是由数字1和２组成的序列, 已知从其任一数开始的顺序10个数的和不超过16．即ai+ ai+1+…+ ai+9≤16，1≤i ≤91。
组合数学作业1-8
1．1） 在边长为1的等边三角形内任意放10个点，证明一定存在两个点，其距离不大于1/3。
证：如图所示：在三角形的边上加两个点等分每条边，把大三角形分别9个边长为1/3的小三角形。
由鸽巣原理：10个点中一定存在两个点落于同一个小三角形，其距离不大于1/3。
2）在边长为1的三角形内放m n 个点，则把三角形分割成n-1个小三角形。
由鸽巣原理可知：m n 个点必有两点落于同一个小三角形内，则其距离不大于1/n.2．证：,1a a 2……a mm 个数，i=1,2…..m.设r m a iiiq += 0≤r i≤m-1当r i =0时，存在一个整数可以被m 整除。
当r i 从1…..m-1这m-1个中取值，那么m 个r i 中只有m-1种可能，则鸽巣原理可知：必存在j 和k ，使得r r k j =,j>k,即有)(q q aa kjkjm -=-3.证：∵有理数可由整数和分数组成。
∴当为整数时，存在以0为循环的循环小数。
∴当为分数时，若分数是有限的循环小数，则存在以0为循环的循环小数。
∴若分数是无限循环的循环小数，则肯定存在某一位后以某一位为循环的循环小数。
4．证：设全部由7组成的N+1个数，7，77，777，……,7777。
77（N+1个7）存在整数N ，由7组成的数除以N ，以a i 代表N+1中的数。
即a i =Nq+r i 0≤r i ≤ N-1则存在0….N-1这n 个数，则鸽巣原理可知：必定存在两个数aa ki,使得)(q q a a k j k j N -=- 是N 的倍数组合数学第2次作业2．5⑴ 证明在任意选取的n+1个正整数中存在着两个正整数，其差能被n 整除。
解：设任意n+1正整数aa a n 221,......,+，任意取两个整数的差为s k=aa ji-,i>j.差除以n 的余数为r i。
∴0≤r i≤n-1如果存在i ，使得r i=0.则aa ji-可以被n 整除，对所有i ，i=1,2 。
小学数学排列组合练习题简单
小学数学排列组合练习题简单在小学数学中，排列组合是一个重要的概念。
排列是指选取一定数量的元素进行排序的方式，而组合则是从一组元素中选择一部分元素的不同方式。
本文将为你提供一些简单的排列组合练习题，以帮助你更好地理解和掌握这个概念。
1. 排列练习题：1) 有5个小朋友排成一排，请问有多少种不同的排列方式？2) 有6本不同的数学书和4本不同的英语书，现在要将它们按照顺序放在一排书架上，请问共有多少种不同的放法？3) 有7只色彩不同的球，现在要排成一列，请问有多少种不同的排列方式？2. 组合练习题：1) 有8个小朋友，现在要从中选出3个小朋友组成一个小组，请问共有多少种不同的选法？2) 有10本书，其中4本是数学书，6本是英语书，现在要从中选出2本书，请问共有多少种不同的选法？3) 有5只红球和4只蓝球，现在要从中选出3只球，请问共有多少种不同的选法？3. 排列组合综合练习题：1) 有6个不同的字母A、B、C、D、E、F，请问可以组成多少个长度为4的不同排列？（注：每个字母只能使用一次）2) 有4个不同的数字1、2、3、4，请问可以组成多少个长度为3的不同排列？（注：每个数字只能使用一次）3) 有5个不同的颜色的球，请问可以从中选出多少种不同的组合？4) 有7个孩子抽奖，其中3个孩子抽中了一等奖，2个孩子抽中了二等奖，剩下2个孩子没有抽中奖，请问一等奖和二等奖的孩子分别有多少种不同的排列方式？排列组合是数学中的重要概念，通过练习题的方式可以帮助孩子们更好地理解这个概念。
希望以上的练习题能够对小学生们的数学学习和思维发展有所帮助。
通过这些简单而有趣的排列组合练习题，希望能够激发孩子们对数学的兴趣，提高他们的逻辑思维能力，让他们在解决问题的过程中得到成长和进步。
通过不断的练习和实践，孩子们可以逐渐掌握排列组合的概念和方法，并能够灵活运用到实际问题中。
这不仅有助于他们的数学学习，还可以培养他们的创造力和解决问题的能力。
组合数学作业
组合数学大作业1. 用母函数法解决下面的问题。
从n 双互相不同的鞋中取出r 只（），要求其中没有任何两只是成对的，问共有多少种不同的取法？解：S={2×e1，2×e2，……，2×en}，同类两个ei 不同，故其r 重组合的母函数为G (x )＝(1+X+X)n ＝∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛nr r r x r n 02故不同的取法共有r r r n a 2⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=种）2.（Hanoi 塔问题）n 个圆盘按从小到大的顺序一次套在柱A 上。
规定每次只能从一根柱子上搬动一个圆盘到另一根柱子上，且要求在搬动过程中不允许大盘放在小盘上，而且只有A 、B 、C 三根柱子可供使用。
用表示将n 个盘从柱A 移到柱C 上所需搬动圆盘的最少次数，试建立数列的递推关系。
解: 易知，a1=1，a2=3，对于任何n>=3，设计算法：第一步：将A 柱处最大盘之外的n-1盘移到B 柱，需要a n-1次第二步：将A 柱上最大盘移到C 柱，需要1次第三步：将B 柱上的n-1个盘移到C 柱上，需要a n-1次所以其递推关系为：=21-n a +13. 设G ＝{全部整数}，a, b G ，定义a*b ＝a ＋b －2，则G 关于运算*构成一个群。
试证明之。
证明：1.封闭性：a ∈G ，b ∈G, a*b=a+b-2 ∈G2.结合律：（a*b ）*c=（a ＋b －2）*c=a+b-2+c-2a*（b*c ）=a*（b+c-2）=a+b+c-2-2，所以（a*b ）*c=a*（b*c ）3.单位元：因为存在1∈G,有任意a ∈G ，a*1=a+1-2=1*a 成立4.逆元素：对任意a ∈G ，存在3-a ∈G ，使a*b=b*a=a+3-a-2=1所以G 关于运算*构成一个群。
4. 已知与是个正数，且，，求证：中存在一个值一定不大于。
n r ≤n a {}n a n a ∈n a a a ,,,21 n b b b ,,,21 n 2122221=+++n a a a 122221=+++n b b b n n b a b a b a ,,,22111证明：假设如果不存在一个不大于1的，即全>1,所以a（n）>b(n)，所以a1^2+a2^2+……+ a（n）^2>b1^2+b2^2+……+b(n)^2=1,与所给条件不符，所以假设不成立，即存在一个值一定不大于1.5.翻译下面一段文章。
高二数学组合作业
组合（课后作业）
1.下面几个说法中，正确的是个数是（ ）
①组合数就是一个组合中元素的个数；
②两个组合中的元素完全相同也可能是不同的组合；
③从n 个元素中抽取m(m ≦n)个元素的排列，可以看作先从n 个元素中抽取m 个进行组合，再对m 个元素进行全排列.
A.0
B.1
C.2
D.3
2.下面各式中，不正确的是（ ）
A.0！=1
B.1n A =n
C.1=n n C
D.1C 1n =
3.计算24582A C +的值是（ ）
A.64
B.80
C.13464
D.40
4. 要从5件不同的礼物中选出3件分送3位同学，不同的方法种数是 .
5．5名工人分别要在3天中选择1天休息，不同方法的种数是 .
6. 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，
（1）从口袋内取出3个球，共有多少种取法？
（2）从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？
（3）从口袋内取出3个球，使其中不含黑球，有多少种取法？
7.用排列数或组合数表示下列问题，并计算出结果.
（1）从3、4、5、7四个数字中每次取出两个.
①构成多少个不同的分数？
②可以构成多少个不同的真分数？
（2）从10名同学在任选出3名同学.
①担任三种不同的职务，有多少种不同的选法？ ②组成一个代表队参加数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）从10本不同的书中任选3本.
①3个同学每人一本，有多少种不同的借法？
②借给一个同学，有多少种不同的借法？。
组合数学练习题及解析
组合数学练习题及解析组合数学是数学中的一个分支，主要研究离散对象之间的组合关系。
它在计算机科学、统计学、运筹学等领域中具有广泛的应用。
本文将提供一些组合数学的练习题，并附上详细的解析，以帮助读者更好地理解和掌握这一领域的知识。
一、排列组合1. 从10个人中选出3个人组成一个小组，问有多少种不同的选择方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种选择方式。
2. 有10个小球，5个红色，5个蓝色，从中选取3个小球组成一个集合，问有多少种不同的集合？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素并忽略其顺序的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!)= 120种不同的集合。
3. 从字母A、B、C、D、E中任选3个字母组成一个字符串，问有多少种不同的字符串？解析：这是一个从5个元素中选取3个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 3) = 5! / (5-3)! = 5*4*3 = 60种不同的字符串。
二、组合数学问题1. 假设有8本不同的书放在一排，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个考虑顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(8, 8) = 8! = 40320种不同的放置方式。
2. 有5个不同的水果，需要选择2个水果放入一个篮子中，问有多少种不同的放置方式？解析：这是一个从5个元素中选取2个元素并考虑其顺序的排列问题。
根据排列的公式，可以得到答案为P(5, 2) = 5! / (5-2)! = 5*4 = 20种不同的放置方式。
3. 一家公司有10个员工，其中3个员工必须参加一个会议，问有多少种不同的选取方式？解析：这是一个从10个元素中选取3个元素的组合问题。
根据组合的公式，可以得到答案为C(10, 3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 120种不同的选取方式。
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作业1
1.设想一个监狱有64个囚室组成，这些囚室排列得象一张8X8的棋盘。
所有相邻的囚室
之间都有门相通。
一个被囚在某个角上囚室中的犯人被告知，如果他能够恰好通过每个囚室一次而到达对角位置上的囚室，他就将被释放。
问：该犯人能否得到自由？
2.构造一个6阶幻方。
3.证明3阶幻方必然在中心位置有一个5。
试推导：恰好存在8个3阶幻方。
4.各堆大小分别为22，19，14和11的4-堆Nim取子游戏是平衡的还是非平衡的？游戏
人I的第一次取子方式是从大小为19的堆中取走6枚硬币，游戏人II的第一次取子方式是什么？
5.一局游戏在两个游戏人之间如下交替进行：游戏从一空堆开始。
当轮到一个游戏人时，
他可以往该堆中加进1，2，3或4枚硬币。
往堆中加进第100枚硬币的游戏人为得胜者。
确定在这局游戏中是游戏人I还是游戏人II能够确保获胜。
获胜的策略是什么？
作业2
1．证明：有理数m/n展开的十进制小数最终是要循环的。
2．一个学生有37天用来准备考试。
根据过去经验，她知道她需要不超过60小时的学习时间。
她还希望每天至少学习1小时。
证明，无论她如何安排学习时间（假设每天的学习时间都是整数个小时），都存在连续的若干天，在此期间她恰好学习了13个小时。
3．证明，从边长为2的正方形中任选5个点，它们当中存在2个点，这2点的距离至多为根号2。
4．有一个100人的聚会。
每个人都有偶数个（可能是0个）熟人。
证明，在这次聚会上存在3个人有相同个数的熟人。
5．确定一副牌中（52张）下列类型的一手牌（5张）的数目。
(1)full house（3张一样大小的牌及2张相同点数的另外的牌）
(2)顺牌（5张点数相连的牌）
(3)同花（5张一样花色的牌）
(4)同花顺（5张点数相连的同样花色的牌）
(5)恰好两个对
(6)恰好一个对
6．15人围坐一个圆桌。
如果B拒绝挨着A坐，有多少种围坐方式？如果B只拒绝坐在A 的右侧，又有多少种围坐方式？
7．给定8个车，其中5个红车，3个蓝车。
(1)将8个车放在8X8棋盘上，使没有两个车可以互相攻击的摆放方法有多少？
(2)将8个车放在12X12棋盘上，使没有两个车可以互相攻击的摆放方法有多少？
作业3
1.有20根完全相同的棍列成一行，占据20个位置。
要从中选出6根。
(1)有多少种选择？
(2)如果所选出的棍中没有两根是相连的，那么又有多少种选择？
(3)如果在每一对所选的棍之间必须至少有两根棍，有多少种选择？
2.将10罐橘子汁、1罐柠檬汁和1罐酸橙汁分发给4位学生，并要求每位学生至少得到一
罐饮料，并且柠檬汁和酸橙汁要分给不同的学生，确定分发的方法数。
3. 证明{1,2,…,n}的排列的逆序的最大个数等于n(n-1)/2。
确定具有n(n-1)/2个逆序的唯一
的排列。
再确定所有那些具有n(n-1)/2-1个逆序的排列。
4. {1,2,...,n}的r 组合A 的补是{1,2,...,n}的(n-r)组合A ’，它由所有不属于A 的元素组成。
令
M=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛r n 为{1,2,...,n}的r 组合的个数和(n-r)组合的个数。
证明：如果A 1,A 2,...,A M 是字典序中的r 组合，那么A ’M ,..., A ’2,A ’1是字典序中(n-r)组合。
5. 用组合学推理证明恒等式⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1312113k n k n k n k n k n （提示：令S 是三个互异元素a,b,c 的集合，并计算S 的某些k 组合）
6. 通过对n 用归纳法证明，对n 是正整数，1||1)1(10<⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-∑∞=z z k k n Z k k n ，假设
1||110<=-∑∞=z z Z k k
成立
7. 用牛顿二项式定理近似计算30。
8. 现有6个巧克力的面包圈，6个肉桂的面包圈和3个素的面包圈，要配成含12个面包圈
的盒装，问有几种装法？
9. 在一次聚会上，7位男士将他们的帽子上交检查。
有多少种方法使得这些帽子被返还时
分别满足下列条件？
(1) 没有男士收到他自己的帽子；
(2) 至少有一位男士收到他自己的帽子；
(3) 至少有两位男士收到他们自己的帽子。
10. 证明Dn 是偶数当且仅当n 是奇数。
作业4
1． 确定方程x1+x2+x3+x4=20满足1≤x1≤6, 0≤x2≤7, 4≤x3≤8, 2≤x4≤6的整数解个
数。
2． 把6个非攻击型车放到具有下图所示禁止位置的6X6棋盘上的方法数是多少？
3． 用红、白和蓝色对1Xn 棋盘方格涂色。
设hn 是没有两个涂成红色的方格相邻的着色方
法数。
求出hn 所满足的递推关系，然后找出hn 的公式。
4． 求解非齐次递推关系h n =6h n-1-9h n-2+2n h 0=1,h 1=0
5． 在同一平面上画一个圆及n 条直线，每条直线均与其他直线在圆内相交。
若没有三条以
上直线共点的情形，则这些直线将圆的内部分成几块区域？
6． 利用生成函数求解下列递推关系：
(1) h n =4h n-2, h 0=0,h 1=1
(2) h n =h n-1+9h n-2-9h n-3, h 0=0,h 1=1,h 2=2
7． 由0，1，2，3组成的长度为n 的序列中，含偶数个0的序列个数记为hn ，求hn 的递推
关系。
作业5
1． 令hn 表示用红、白、蓝和绿色以下述方式给1Xn 棋盘上方格涂色的方法数，其中涂成
红色的方格数为偶数，涂成白色的方格数为奇数。
确定序列h0,h1,...,hn,...的指数生成函数，并求出hn 。
2． 由字母a,b.c,d,e 组成的总字母数为n 的单词中，要求a 与b 的个数之和为偶数，问这样
的单词有多少个？
3． 在圆上选择2n 个等间隔的点。
证明将这些点成对连接起来使得所得到的n 条线段不相
交的方法数等于第n 个Catalan 数。
4． 序列的一般项hn 是n 的一个3次多项式。
如果其差分表的第0行的前4个数是1，-1，
3，10，确定hn ，并计算∑=n
k k h 0的公式。
5． 试证明序列,...,...,,10n h h h 的下列k 阶差分的公式为∑=+-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-=∆k j j n j k n k
h j k h 0)1( 6． 证明第二类stirling 数满足下列关系
（1）212)2,(1≥-=-n n S n
（2）12)1,(≥⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=-n n n n S
作业6
1． 确定下列每个分拆的共轭分拆
(1) 12=5+4+2+1
(2) 15=6+4+3+1+1
2． 4X5的棋盘，其禁止位置如图所示。
(1) 找出非攻击型车的最多个数，请给出一实例；
(2)
3．证明在Zn的模n运算中没有两个整数有相同的加法逆元4．证明n-1在Zn中总有乘法逆元（n≥2）
5．判断下列参数的区组设计是否存在BIBD
(1)b=v=14,k=r=6,λ=2
(2)v=15,k=5,b=21,r=7。