第十四章相似原理及模型试验简介(1)
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模型试验
2.2.4.时间相似
对结构的动力问题，在随时间变化的过程 中，要求结构模型和原型在对应的时刻进行比 较，要求相对应的时间成比例。虽然不直接采 用St时间相似常数，但速度，加速度等物理量 都与时间有关，按相似要求它们在模型与原型 中应成比例。
2.2.5.边界条件和初始条件
在材料力学和弹性力学中，常用微分方程 描述结构的变形和内力，边界条件和初始条件 是求微分方程的必要条件。原型与模型采用相 同组微分方程和边界条件及初始条件描述。
3、模型设计
•
1 1 ~ 200 50 1 1 ~ 30 10
1 25
1 1 ~ 100 50
1 1 ~ 20 4 1 1 ~ 20 4 1 1 ~ 10 4
1 25
1 400
1 1 ~ 300 50
1 75
3、模型设计
模型尺寸不准确是引起模型误差的主要原因之 一。模型尺寸的允许误差范围和原结构的允许误 差范围一样，为5%，但由于模型的几何尺寸小， 允许制作偏差的绝对值就较小，在制作模型时对 其尺寸应倍加注意。 模板对模型尺寸有重要的影响，制作模型板 的材料应体积稳定，不随温度、湿度而变化。有 机玻璃是较好的模板材料，为了降低费用，也可 用表面覆有塑料的木材做模型，型铝也是常用的 模板材料，它和有机玻璃配合使用相当方便。
（三）体力加载 在结构模型试验中，体力是一项重要的荷载 ，它是指结构、基础结构及其地基岩土的自重。
5、模型制作与加载方法
通常施加体力的方法有： ①、用分散集中载荷代替自重 ②、用面力代替体力的方法 ③、选高容重、低强度模型材料。 （四）预应力加载 对于预应力钢筋砼或其它预应力结构，预应力 产生的载荷在模型在施加的方法一般有两种。一 是采用锚头和张拉设备；另一种方法是施加外载 ，但应在弹性范围内。
水力学-第十四章相似理论
•
从无量纲表达看，似乎物理过程涉及的因素减少了，其实涉 及的物理量并未减少，只是这些物理量组合成了若干无量纲量相 互关联。比起有量纲表达来，无量纲表达更接近于相关物理量之 间规律性联系的实质，也更具普遍性。
•
应用 定理要点（也是难点）在于：确定物理过程涉及的物 理量时，既不能遗漏，也不要多列。
29
1.牛顿数
惯性力总是企图保持原有的运动状态，而其它的非惯
性物理力总是力图改变液体的运动状态。液体的运动 就是惯性力和其它非惯性物理力共同作用的结果。 惯性力：
I ma L3 v L2 v 2 t
非惯性力：F
根据动力相似条件：F
FP I F F FP FM P P M 2 2 FM I M IP IM P L2 v P M L2 v M P M
例
p 用 定理推求水平等直径有压管内压强差． 的表达式。已知影响压强差的物理量有管长l、管径d、 管壁绝对粗糙度 、流速v、液体密度 、动力粘滞系 数 及重力加速度g。 解：
F (d , v, , l , , , p) 0
[d ] L1T 1 M 1 L1T 0 M 0 [v] L 2 T 2 M 2 L1T 1M 0 [ ] L 3 T 3 M 3 L3T 0 M 1
2 dv
3 d
p 4 2 v
l p f ( 1 , 2 , 3 , 4 ) 2 f ( , , , 2 )0 d dv d v l dv p f1 ( , , , 2 )0 d d v
p l dv f2 ( , , ,) 2 v d d p l v2 f 3 (Re, ) g d d 2g
第十四章相似原理及模型试验简介
2
阻力
紊流阻力平方区
Frr 1
1 Cr 1 r 1, nr Lr / 6
层流区
Rer 1
3
弹性力
E KL2
Fr Er K r Lr
2
Fr t t 1 代入 m r ur
Ca
则
P vP 2
KP
M vM 2
KM
v2
K
Ca P Ca M Car 1
F ma FP Fr FM , mP mr mM , uP ur uM , t P t r t M
原型
FP m P duP du u mu du FP Fr FM mr m M r M r r m M M dt P dt r t M tr dt M
mr ur duM mr ur Fr FM mM ＝ FM tr dt M tr
vr 2 v2P v2M 1 FrP FrM ( gr 1) gP LP gM LM gr Lr vr 2 v2 J 2 J r 2 1 Cr 1 r 1 P M RP RM C R C r Lr
2
阻力
Lr L tr r tr ur
ur
将各比尺代入
Fr t r 1 m r ur
则
Fr FP FM 1 2 2 r L2 v r2 P L2 v P M L2 v M r P M
FP FM 2 2 P L2 v P M L2 v M P M
把无因次数
2 FrP2 FrM vr 2 v2P v2M 1 g P LP J P g M LM J M JP JM gr Lr J r
《相似理论与模型试验》知识点
1、常用的解决物理问题（包括工程力学问题）的方法有：直接试验法、连续试验法、试验设计法（多因素法）、量纲分析法、解析法、数值分析法、模拟试验法（模型试验法）2、三个关于模型的概念：数学模型：描述所研究现象的固有形状和单值条件的物理变量之间的数学关系式（通常是微分方程）。
计算模型：建立在数学模型及其变换基础上的，可直接用于数值计算的代数方程组。
物理模型：将所研究对象根据相似理论的原则按比例制成的物体或系统。
而被研究的对象则称为模型的“原型”。
物理模拟是指基本现象相同情况下的模拟，这时模型与原型的所有物理量相同、物理本质一致。
数学模拟是指存在于不同类型现象之间的模拟，它们的对应量都遵循同样的方程式。
3、模型试验的定义及其作用：模型试验是按一定的几何、物理关系，用模型代替原型进行测试研究，并将研究成果用于原型的试验方法。
作用：（1）对复杂的、尚未或难以建立准确数学模型的结构的力学行为进行研究，为设计或施工方案提供参考和依据，直接服务于工程目的；（2）为建立新的理论或计算（数学）模型提供依据；（3）检验新的理论或计算（数学）模型的正确性或实用性。
意义：（1）模型试验作为一种研究手段，可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界和自然条件的限制；（2）模型试验有利于在复杂的试验过程中突出主要矛盾，便于把握、发现现象的内在联系；（3）它制造容易，装拆方便，试验人员少；（4）它能预测尚未建造出来的实物对象或根本不能进行直接研究的实物对象的性能。
4、模型试验的优点与局限：优点：（1）可以严格控制试验对象的主要参数而不受外界环境的影响；（2）可以突出主要因素而略去次要因素，便于改变因素和进行重复试验，有利于验证或校核新的理论；（3）与直接试验相比可节省人力、物力和时间；（4）对于某些正在设计的结构，可用模型试验来比较设计方案并校核该方案的合理性；（5）当所研究的对象尚难或难以建立数学模型时，模型试验可能是最重要的研究手段。
相似理论与模型试验
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7
④ 模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不 能直接研究的实物对象的性能。 ⑤当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了 现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工 程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用 前景。
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但最先人们采用直接实验的方法发现它有着较大的局限性， 在于它常常只能得出个别量之间的规律性关系，难以发现或抓 住现象的全部本质，从而无法向实验条件范围以外的同类现象 推广。 但通过人们长期实践、总结，一种用于指导自然规律研究 的全新理论——“相似理论”，便应运而生了。它是把数学解 析法和试验法的优点结合起来，用来研究和解决生产和工程中 的问题。这是科学研究的主要方法之一，也是解决生产和工程 问题的一种有效方法。从而扩展了人们探索自然奥秘的领域。
相似理论与模型实验
授课对象：研究生 授课教师：严仁军 二О一四年十月
引 言
1.人们对自然规律的不倦探索
在古代，人们以初等数学为工具从量的方面来探索自然界 的规律性。但初等数学以研究常量为主，只能研究事物在静 止状态下的规律性，这就大大限制了它在客观世界中被利用 的范围。 高等数学的出现，是人们认识客观世界的一个飞跃，也是 探索自然规律的一种有力工具。但自然界的现象毕竟是错综 复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或 根本无法解决，于是逼使人们不得不走直接实验的道路。
8
一、物理模拟和数学模拟
物理模拟——是指基本现象相同情况下的模拟。 这时模型与原型的所有物理量相同，物理本质一致。 区别只在于各物理量的大小比例不同。因此，物理模拟也可说 成是保持物理本质一致的模拟。 （两个现象物理量及其性质相同，只有大小不同）。
相似原理
相似条件系指保证流动相似的必要和充分条件：. 1) 相似的流动 都属于同一类的流动,它们都应为 相同的微分方程组所描述. 2) 单值条件相似.
几何条件 边界条件 物性条件
3)由单值条件中的物理量所组成的相似准则数 相等.
初始条件
凡属同一类的流动,当单值条件相似而且由 单值条件中的物理量所组成的相似准则数相 等时,这些流动必定相似. 单值条件中的各物理量称为定性量,即决定 性质的量。 由定性量组成的相似准则数称为定性准则数。 包含被决定量的相似准则数称为非定性准则 数。
几何相似是指模型与原型的全部对应线性长度的比 例相等，即 l
l kl
线性长度也称为特征长度，可以是翼型的翼弦长b（见图 4-1），圆柱的直径d，管道的长度l，管壁绝对粗糙度 等，式中 kl 为长度比例尺。
v
b
v
b
图4-1 几何相似
只要模型与原型的全部对应线性长度的比例相等，则它们的 夹角必相等。 由于几何相似，模型与原型的对应面积、对应体积也分别互 成一定比例，即
F
kF 1 2 2 k kl k v
k k v kl k
1
k v kl 1 k
vl vl
vl vl
vl vl Re
Re称为雷诺（O.Reynolds）数,它是惯性力与粘滞
力的比值。 二流动的粘滞力作用相似，它们的雷诺数必定相等， 即 Re Re ；反之亦然。这便是粘滞力相似准则，又 称雷诺准则。 由此可知，粘滞力作用相似的流场，有关物理量的比 例尺要受雷诺准则的制约，不能全部任意选择。例如， 当模型与原型用同一种流体时， k k 1 ， 故有
重力相似准则
相似理论与模型试验(第一讲)
up vp
vm
um
up
um v p vm
三 动力相似（受力相似）
定义：两流动的对应部位上同名力矢成 Fm 同一比例。引入力比例系数 kF F C p 3 2 2 2 也可写成 kF km ka (k kl )(kl kt ) k kl kv 力学物理量的比例系数可以表示为密度、 尺度、速度比例系数的不同组合形式， 如： pm k F 2 Fl 3 2 k k k 力矩M k M m k kl kv 压强p p p p k A v
1 p p f xp p v xp x p
(2)
所有的同类物理量均具有各自的同一比 例系数，有如下关系式： xm=xpkl ym=ypkl zm=zpkl vxm=vxpkv vym=vypkv vzm=vzpkv tm=tpkt m=pk m=pk pm=ppkp fm=fpkf
相似准数（准则）：
如上述介绍的无量纲综合数群，它反映 出现象相似的数量特征，叫做相似准数（准 则）。
综上所述，动力相似可以用相似准 数表示，若原型和模型流动动力相似， 各同名相似准数均相等，如果满足则称 为完全的动力相似。但是事实上，不是 所有的相似准数之间都是相容的，满足 了甲，不一定就能满足乙。
例2 在例1中，通过风洞模型实验，获得模型 轿车在风洞实验段中的风速为45m/s时，空气 阻力为1000N，问：此轿车以108km/h的速度在 公路上行驶时，所受的空气阻力有多大？
解：在设计模型时，定下 k=1 kl=2/3 kv=3/2 在相同的流体和相同的温度时，流体密度 k k k (k k )( k k ) k k 比例系数k=1，那么力比例系数 因此，kF= k kl2 kv2=1×(2/3)2×(3/2)2=1 因此，该轿车在公路上以108km/h的速度行 驶所遇到的空气阻力 Fp=Fm/kF=1000/1=1000N
相似原理与模化实验
1 6 226.8 10 80.64 pa 800 11.25
（3） 说明：以空气为介质作模型：由Re相等，则
m lp 30 p lm
m 180m / s
此时空气压缩性不能忽视，故不能用空气作介质，
则用水质后，
m 11.25m / s
5.3相似定理
三个定理回答了三个问题：
1.实验研究必须测量哪些量→相似第一定理 2.如何做到模型与原型相似→相似第三定理 3.如何对测量结果进行加工整理→相似第二定理
5.3相似定理
5.3相似定理
5.3相似定理
例：
总结： ⒈相似第一定理是对相似性质的总概括，阐明了 相似现象中各物理量之间存在一定关系。 ⒉对于复杂的现象，常存在几个相似准数。 例：对不可压缩粘性流体的不稳定等温流动共有 四个： t H0 均时性准数： 不稳定流体流动必与 t 有关。 l l Re 雷诺准数： 与粘性有关的流动，惯性力/粘性力 付鲁德准数： Fr
b 1 c 1 0 ab vd 1 1 v k d , k
1 b
Re
vd
5.4量纲分析和π定理
5.4.2.2 布金汉（Buckingham）定理
对于某个物理现象或过程，如果存在有n个变量互为函数 关系， f(a1,a2, …an)=0 而这些变量含有m个基本量纲，可把这n个变量转换成为有 (n-m)=i个无量纲量的函数关系式 F(1,2, … n-m)=0 这样可以表达出物理方程的明确的量间关系，并把方程中 的变量数减少了m个，更为概括集中表示物理过程或物 理现象的内在关系。
or 其中：
1 f（ 2， 3 n）
1 ——非定性准数 2 n ——定性准数
模型试验基本原理
模型试验基本原理模型试验是指利用模型装置对实际问题进行缩尺模拟试验的一种方法，通过模型实验可以研究、预测和评估实际问题的各种特性和性能，以及寻求解决问题的方法。
模型试验的基本原理包括几何相似原理、动力相似原理和相似系数原理。
1.几何相似原理几何相似是指模型和实际问题之间的几何形状和尺寸上具有相似性。
按照几何相似原理，模型的尺寸和实际问题之间需要保持一定的比例关系。
例如，水利工程中的水闸或堤坝的模型试验，模型的尺寸通常要缩小到实际问题的1/10或1/100，控制各个构件的尺寸比例保持一致。
2.动力相似原理动力相似是指模型试验过程中主要的力学特性和动态行为与实际问题的相似性。
按照动力相似原理，模型和实际问题之间需要保持一定的物理量比例关系，如力、速度、加速度等。
这样可以使模型试验的动力特性对应到实际问题中，研究问题时所得到的结果可以推广到实际问题中。
3.相似系数原理相似系数是指模型和实际问题之间的各种物理量相互之间的比例关系。
根据相似系数原理，物理量之间的比例关系可以表示为一组相似系数，对于不同的物理量可以有不同的相似系数。
通常情况下，相似系数包括长度比例系数、速度比例系数、密度比例系数、黏性比例系数等。
通过确定合适的相似系数，可以保证模型试验中的各种物理量之间的比例关系与实际问题保持一致。
模型试验的基本过程包括设计模型、制作模型、试验准备、试验操作和结果分析等阶段。
在设计模型阶段，需要根据实际问题的要求确定模型的尺寸、材料和结构等；制作模型阶段需要按照设计要求制作出符合几何和动力相似原理的模型；在试验准备和试验操作阶段，需要按照实验计划和方法进行试验前的准备工作，包括设置试验装置、调整实验参数等；在试验过程中，需要记录和采集各种数据和结果，以便进行后续的分析和评估。
总之，模型试验是一种对实际问题进行缩尺模拟试验的方法，基于几何相似、动力相似和相似系数原理，通过设计模型、制作模型、试验准备、试验操作和结果分析等阶段，可以研究和评估实际问题的各种特性和性能，以及寻求解决问题的方法。
相似理论与模型试验
vi v1 v2 （2-4） v1 v2 vi
图2-4 速度相似如辅之以加速度相似，则可笼统的称为运动学 相似
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除此而外，就独立的物理变量而言，还有压力相似、温 度相似、浓度相似等多种。 综上所述，可知在作相似分析时，如式（2-1）~（2-4） 所示的一类相似条件是十分重要的，其中ci , cl , c f , cv 等，可统 称为相似常数。
t3 t1 t2 ' ' ct 常数 ' t1 t2 t3
（2-1）
图2-2
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力相似 力相似是指力场的几何相似，它表现为所有对应点 上的作用力都有各相一致的方向，而其大小则相应地成比例。 可举具有几何相似的索多边形的两个变截面梁为例（图2-3）。 图中，力相似可用下二公式表示
相似理论与模型实验
授课对象：研究生 授课教师：严仁军 二О一四年十月
引 言
1.人们对自然规律的不倦探索
在古代，人们以初等数学为工具从量的方面来探索自然界 的规律性。但初等数学以研究常量为主，只能研究事物在静 止状态下的规律性，这就大大限制了它在客观世界中被利用 的范围。 高等数学的出现，是人们认识客观世界的一个飞跃，也是 探索自然规律的一种有力工具。但自然界的现象毕竟是错综 复杂的。有许多实际问题至今靠高等数学尚不能全部解决或 根本无法解决，于是逼使人们不得不走直接实验的道路。
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④ 模型试验能预测尚未建造出来的实物对象或根本不 能直接研究的实物对象的性能。 ⑤当其它各种分析方法不可能采用时，模型试验就成了 现象相似性问题唯一的和更为重要的研究手段。 目前，相似理论和模型试验方法已用于物理、化学、工 程结构、热力学、气象、航天等各个领域，并有着广泛的应用 前景。
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例如，原型：自由表面 模型：自由表面 固体边壁 固体边壁
给定瞬时tP 的流速vP 对应瞬时tP的流速vM
14.2.5 流动相似
1 流动相似： 原型与模型几何相似、运动相似，动力相似 GP TP PP SP EP I P GM TM PM S M E M I M
Gr Tr Pr Sr Er Ir
原型
FP
mP
duP dtP
FP
Fr FM
mrmM
dur uM dtr tM
mr ur tr
mM
duM dtM
Fr FM
mr ur tr
mM
duM dtM
＝ mr ur tr
FM
mr ur tr
Fr
因此，对于相似的原型与模型流动，则
Fr tr 1 mr ur
从中可见，相似系统中物量的相似比尺相 互约束，四个相似比尺中三个可自由选取，剩 余一个由上述比尺关系确定。
动力相似：原型与模型中对应点上作用的各同名力 矢量互相平行，且均具有同一比值。
动力相似：原型与模型中任意对应点的力多边形相似， 对应边（即同名力）成比例
原型
模型
14.2.4 边界条件和初始条件相似
边界条件和初始条件相似 水流运动受到边界条件和初始条件的影响和制
约，要做到其流动相似，必须使两个系统的边界条 件和初始条件相似。
两个流动相似的系统中牛顿数相等－牛顿相似准则
NeP = NeM
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
牛顿数是作用力的合力与惯性力之比值
牛顿数相等表示原型与模型流动中
作用力合力与惯性力比值相等
牛顿准则是判断两个系统流动相似的一般准则
推论：牛顿数相等表示原型与模型流动中 作用力的分力与位移惯性力比值相等
几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征
它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件 动力相似是是决定流动相似的主导因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现
它们是一个统一的整体，缺一不可。
14.1 概述 14.2 相似的基本概念 14.4 相似准则
14.4.1 牛顿数相似准则
v
2 M
PP
P
L2P
v
2 P
PM
M
L2M
v
2 M
FI P
P
L2P
v
2 P
FI M
M
L2M
v
2 M
1 重力 2 阻力 3 弹性力 4 表面张力 5 压力 6 惯性力
推论：牛顿数相等表示原型与模型流动中 作用力的分力与位移惯性力比值相等
设作用于水流的力 重力 G 阻力 T
表面张力 S 压力 P
弹性力 E
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
(G T E S F ...)P (G T E S F ...)
P
L2P
v
2 P
M
L2M
v
2 M
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
(G
T
ES
P
L2P
v
2 P
F
...)P
(G
T
ES
M
L2M
v
2 M
F
...)
GP
P
L2P
v
2 P
GM
M
L2M
v
2 M
TP P L2P
v
2 P
TM
M
L2M
v
2 M
EP P L2P
SP
v
2 P P
EM
M
L2M
v
2 M
SM
M
L2M
原型与模型尺度不同，但两者水流运动遵循 同一规律－牛顿第二定律
原型：
FP
mP
duP dt P
模型：
FM
mM
duM dt M
式中：F、m、u、t 为的合力、质量、流速和时间
相似系统中存在下列比尺关系
F ma FP Fr FM , mP mr mM , uP ur uM , tP tr tM
互相平行，且其大小具有同一比值。
例如：原型流动中作用有：重力、阻力、表面 张力，则模型流动中对应点上也应存在这三种力， ，并且各同名力矢量方向平行、比值保持相等。
一般作用在水流中的力有： 重力G 粘滞力T 压力P 表面张力S 弹性力
如果作用于质点的合外力F ≠0，将此力 视为惯性力I，则所有的力（包括惯性力）构 成一个平衡力系，并组成一个封闭的力多 边形。
因此，产生了下列问题
如何设计模型，使原型与模型流动相似 ？ 如何把模型中测量的物理量换算到原型 ？
相似原理和模型试验基础
答案
14.1 概述 14.2 相似的基本概念 14.4 相似准则
14.2 相似的基本概念
几何相似
两个系统：原型和模型几何尺寸中，对应长度 均保持一个固定的比例，把模型中任一长度尺寸乘 比例尺，便得到原型的相应长度。
第十四章 相似原理及模型试验简 介
14.1 概 述 14.2 相似的基本概念 14.4 相似准则
14.1 概 述
工程流体力学、水力学的问题大都较为复杂， 不能单纯依靠解析法、数值计算求解，必 须通过理论分析、数值计算与模型实验相结合的 方法加以解决。
模型试验
在几何尺寸缩小的模型上，观测流态、量测运 动要素，再后把模型实验中的实测数据引伸到原型。
流动相似
模型和原型水流如何达到流动相似？ 水流是在一定时间和空间中进行的，它遵 循水流运动学和动力学规律。 因此，两个系统的流动相似要求几何相 似、运动相似和动力相似。
为便于讨论，规定： 物理量的下标 r 表示其物理量的比尺 物理量下标 P、M 表示原型量和模型量
r: ratio P:prototype M:model
由比尺定义，则
mr
mP mM
PVP MVM
rVr
r Lr 3
ur
Lr tr
tr
Lr ur
将各比尺代入
则 Fr tr 1
mr ur
Fr
r L2r vr2
1
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
把无因次数
F
L2 v 2
称牛顿数，用Ne表示，则 NeP = NeM
14.2.1 几何相似
几何相似： 指原型和模型几何形状和几何尺寸相似，即原
型和模型的对应线性长度之比均保持一个定值。
Lr
LP LM
=
BP = H P = BM H M
式中，Lr 为长度比尺
长度比尺： 面积比尺： 体积比尺：
Lr
LP LM
Ar
AP AM
L2P L2M
Lr 2
Vr
VP VM
L3P L3M
L3r
14.2.3 运动相似
运动相似： 原型和模型对应点的流速、加速度向量相似
时间比尺： 流速比尺：
tr
tP tM
vr
vP vM
LP LM
tP tM
Lr tr
加速度比尺：
ar
aP aM
LP LM
t
2 M
t
2 M
Lr tr 2
14.2.4 动力相似
动力相似： 原型与模型中对应点上作用的各同名力矢量
给定瞬时tP 的流速vP 对应瞬时tP的流速vM
14.2.5 流动相似
1 流动相似： 原型与模型几何相似、运动相似，动力相似 GP TP PP SP EP I P GM TM PM S M E M I M
Gr Tr Pr Sr Er Ir
原型
FP
mP
duP dtP
FP
Fr FM
mrmM
dur uM dtr tM
mr ur tr
mM
duM dtM
Fr FM
mr ur tr
mM
duM dtM
＝ mr ur tr
FM
mr ur tr
Fr
因此，对于相似的原型与模型流动，则
Fr tr 1 mr ur
从中可见，相似系统中物量的相似比尺相 互约束，四个相似比尺中三个可自由选取，剩 余一个由上述比尺关系确定。
动力相似：原型与模型中对应点上作用的各同名力 矢量互相平行，且均具有同一比值。
动力相似：原型与模型中任意对应点的力多边形相似， 对应边（即同名力）成比例
原型
模型
14.2.4 边界条件和初始条件相似
边界条件和初始条件相似 水流运动受到边界条件和初始条件的影响和制
约，要做到其流动相似，必须使两个系统的边界条 件和初始条件相似。
两个流动相似的系统中牛顿数相等－牛顿相似准则
NeP = NeM
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
牛顿数是作用力的合力与惯性力之比值
牛顿数相等表示原型与模型流动中
作用力合力与惯性力比值相等
牛顿准则是判断两个系统流动相似的一般准则
推论：牛顿数相等表示原型与模型流动中 作用力的分力与位移惯性力比值相等
几何相似、运动相似，动力相似是流动相似的重要特征
它们互相联系、互为条件 几何相似是运动相似、动力相似的前提条件 动力相似是是决定流动相似的主导因素 运动相似是几何相似和动力相似的表现
它们是一个统一的整体，缺一不可。
14.1 概述 14.2 相似的基本概念 14.4 相似准则
14.4.1 牛顿数相似准则
v
2 M
PP
P
L2P
v
2 P
PM
M
L2M
v
2 M
FI P
P
L2P
v
2 P
FI M
M
L2M
v
2 M
1 重力 2 阻力 3 弹性力 4 表面张力 5 压力 6 惯性力
推论：牛顿数相等表示原型与模型流动中 作用力的分力与位移惯性力比值相等
设作用于水流的力 重力 G 阻力 T
表面张力 S 压力 P
弹性力 E
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
(G T E S F ...)P (G T E S F ...)
P
L2P
v
2 P
M
L2M
v
2 M
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
(G
T
ES
P
L2P
v
2 P
F
...)P
(G
T
ES
M
L2M
v
2 M
F
...)
GP
P
L2P
v
2 P
GM
M
L2M
v
2 M
TP P L2P
v
2 P
TM
M
L2M
v
2 M
EP P L2P
SP
v
2 P P
EM
M
L2M
v
2 M
SM
M
L2M
原型与模型尺度不同，但两者水流运动遵循 同一规律－牛顿第二定律
原型：
FP
mP
duP dt P
模型：
FM
mM
duM dt M
式中：F、m、u、t 为的合力、质量、流速和时间
相似系统中存在下列比尺关系
F ma FP Fr FM , mP mr mM , uP ur uM , tP tr tM
互相平行，且其大小具有同一比值。
例如：原型流动中作用有：重力、阻力、表面 张力，则模型流动中对应点上也应存在这三种力， ，并且各同名力矢量方向平行、比值保持相等。
一般作用在水流中的力有： 重力G 粘滞力T 压力P 表面张力S 弹性力
如果作用于质点的合外力F ≠0，将此力 视为惯性力I，则所有的力（包括惯性力）构 成一个平衡力系，并组成一个封闭的力多 边形。
因此，产生了下列问题
如何设计模型，使原型与模型流动相似 ？ 如何把模型中测量的物理量换算到原型 ？
相似原理和模型试验基础
答案
14.1 概述 14.2 相似的基本概念 14.4 相似准则
14.2 相似的基本概念
几何相似
两个系统：原型和模型几何尺寸中，对应长度 均保持一个固定的比例，把模型中任一长度尺寸乘 比例尺，便得到原型的相应长度。
第十四章 相似原理及模型试验简 介
14.1 概 述 14.2 相似的基本概念 14.4 相似准则
14.1 概 述
工程流体力学、水力学的问题大都较为复杂， 不能单纯依靠解析法、数值计算求解，必 须通过理论分析、数值计算与模型实验相结合的 方法加以解决。
模型试验
在几何尺寸缩小的模型上，观测流态、量测运 动要素，再后把模型实验中的实测数据引伸到原型。
流动相似
模型和原型水流如何达到流动相似？ 水流是在一定时间和空间中进行的，它遵 循水流运动学和动力学规律。 因此，两个系统的流动相似要求几何相 似、运动相似和动力相似。
为便于讨论，规定： 物理量的下标 r 表示其物理量的比尺 物理量下标 P、M 表示原型量和模型量
r: ratio P:prototype M:model
由比尺定义，则
mr
mP mM
PVP MVM
rVr
r Lr 3
ur
Lr tr
tr
Lr ur
将各比尺代入
则 Fr tr 1
mr ur
Fr
r L2r vr2
1
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
FP
P
L2P
v
2 P
FM
M
L2M
v
2 M
把无因次数
F
L2 v 2
称牛顿数，用Ne表示，则 NeP = NeM
14.2.1 几何相似
几何相似： 指原型和模型几何形状和几何尺寸相似，即原
型和模型的对应线性长度之比均保持一个定值。
Lr
LP LM
=
BP = H P = BM H M
式中，Lr 为长度比尺
长度比尺： 面积比尺： 体积比尺：
Lr
LP LM
Ar
AP AM
L2P L2M
Lr 2
Vr
VP VM
L3P L3M
L3r
14.2.3 运动相似
运动相似： 原型和模型对应点的流速、加速度向量相似
时间比尺： 流速比尺：
tr
tP tM
vr
vP vM
LP LM
tP tM
Lr tr
加速度比尺：
ar
aP aM
LP LM
t
2 M
t
2 M
Lr tr 2
14.2.4 动力相似
动力相似： 原型与模型中对应点上作用的各同名力矢量