人教版初三数学上册《22.1.2二次函数y=ax2的图像和性质》课件
2
大小与a的大小有什么关系？
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
y＝ax2 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 76、人生生命贵太相过知短，暂何，用今金天与放钱弃。了明20天.7.不14一20定.7能.1得42到0.。7.184时。2260分280时年276月分1144日-J星ul期-2二07二.14〇.2二02〇0年七月十四日 花一样美丽，感谢你的阅读。 87、勇放气眼通前往方天，堂只，要怯我懦们通继往续地，狱收。获的20季:26节2就0:2在6前:02方7.。142.02.072.104T2u0e.s7d.1a4y2, 0Ju.7ly.1144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y x2
y ax2
(-1,-1) (-2,-4)
(1,-1) (2,-4)
二次函数y=ax2的性质
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大.
在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2的图象．
2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图：
解: 依题意有: m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 因此 m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
巩固练习
1. 已知 y (k 2)xk2k4 是二次函数，且当x＞0时，y随x
增大而增大，则k= 2 .
解： y (k 2)xk2k4 是二次函数，即二次项的系数不为
解：由题意得
y 3x 4,
y
x2,解得x Nhomakorabeay
146, ,或xy
1, 1,
因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围
成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B
点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐
提升题
已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实 数m的取值范围．
解：在二次函数y=x2中，a=1＞0 因此当x=0时，y有最小值. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．
拓展题
已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两 点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝
1×4×1+
2
1 ×4×4＝10.
2
亲爱的读者： 1、盛生年活不重相来信，眼一泪日，难眼再泪晨并。不及代时表宜软自弱勉。，20岁.7.月14不7.待14人.2。02。02200:.276.12407:2.164:0.220J2u0l-20:2206:206:26:02Jul-2020:26 亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝4日望星的期人二。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成20功:26。7.14.202020:267.14.202020:2620:26:027.14.202020:267.14.2020
二次函数y=ax2的图象性质
1. 顶点都在原点（0,0）; 2. 图像关于y轴对称; 3. 当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关
系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为 相反数，开口相反， 大小相同，它们关
于x轴对称.
O
x
y=-ax2
3… 9…
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
这条抛物线关于y轴对称,
3
点叫做抛物线的顶点.
y轴就是它的对称轴.
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
【思考】二次函数
y 1 x2, y x2 , 2
y 2x2 的图象开口大小与a
的大小有什么关系？
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时，a越大，开口越小.
【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
人教版数学九年级上册
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质
探究新知
二次函数y=ax2的图象的画法
画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列 表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 y=x2 … 9 4 1 0
12 14
是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点. （3）函数y= 3x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点 （4）函数y= －0.2x2的图象的开口 向下,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) .
考点探究1 利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
例1 已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式
质量为m的物体运 动时的能量E与其 运动速度v之间的 关系（m为定值）
S 1 at 2 2
物体做匀加速运动 时，行驶路程与时 间的关系（a代表 加速度，为定值）
考点探究2 二次函数y=ax2与不等式的综合运用
例2 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= c2 （c＞0）
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
填一填 （1）函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点 是 (0,0) ; （2）函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴 ,顶点
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过 的路线,我们把它叫做抛物线.
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
二次函数y=ax2的图象性质 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
面积
周长 4
2
16
（2）画出它的图象；注意自变量的范围
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm .
0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说
明二次项的系数大于0. 因此，
k2 k 4 2 k 2＞0
，解得k=2 .
探究新知 二次函数y = ax2的实际应用
二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
h 1 gt 2 2
E 1 mv2 2
物体自由下落的高 度h与下落时间t之 间的关系（g代表重 力加速度，为定值）
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，
且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白
部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法点拨
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左 右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解．
大小与a的大小有什么关系？
当a<0时，a越小（即a的绝对 值越大），开口越小.
－4 －2 －2
24
－4
－6
y 1 x2 2
－8
y x2
y 2x2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
y＝ax2 图象 位置开 口方向 对称性 顶点最值
增减性
a>0 y
O x
开口向上,在x轴上方
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 76、人生生命贵太相过知短，暂何，用今金天与放钱弃。了明20天.7.不14一20定.7能.1得42到0.。7.184时。2260分280时年276月分1144日-J星ul期-2二07二.14〇.2二02〇0年七月十四日 花一样美丽，感谢你的阅读。 87、勇放气眼通前往方天，堂只，要怯我懦们通继往续地，狱收。获的20季:26节2就0:2在6前:02方7.。142.02.072.104T2u0e.s7d.1a4y2, 0Ju.7ly.1144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十
1.y＝x2的图象是一条抛物线; 2.图象开口向上; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最低点．
说说二次函数y=-x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
1.y＝-x2的图象是一条 抛物线; 2.图象开口向下; 3.图象关于y轴对称; 4.顶点（ 0 ，0 ）; 5.图象有最高点．
y x2
y ax2
(-1,-1) (-2,-4)
(1,-1) (2,-4)
二次函数y=ax2的性质
对于抛物线 y = ax 2 （a＜0）
当x＞0时，y随x取值的增大而减小； 当x<0时，y随x取值的增大而增大.
在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2的图象．
2
解：分别填表，再画出它们的图象，如图：
解: 依题意有: m+1>0 ①
m2+m=2 ②
解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 因此 m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
巩固练习
1. 已知 y (k 2)xk2k4 是二次函数，且当x＞0时，y随x
增大而增大，则k= 2 .
解： y (k 2)xk2k4 是二次函数，即二次项的系数不为
解：由题意得
y 3x 4,
y
x2,解得x Nhomakorabeay
146, ,或xy
1, 1,
因此两函数的交点坐标为A(4，16)和B(－1，1)．
∵直线y＝3x＋4与y轴相交于点C(0，4)，即CO＝4.两交点与原点所围
成的三角形面积S△ABO＝S△ACO＋S△BOC.在△BOC中，OC边上的高就是B
点的横坐标值的绝对值1；在△ACO中，OC边上的高就是A点的横坐
提升题
已知二次函数y=x2，若x≥m时，y最小值为0，求实 数m的取值范围．
解：在二次函数y=x2中，a=1＞0 因此当x=0时，y有最小值. ∵当x≥m时，y最小值=0， ∴m≤0．
拓展题
已知：如图，直线y＝3x＋4与抛物线y＝x2交于A、B两点，求出A、B两 点的坐标，并求出两交点与原点所围成的三角形的面积．
标值的绝对值4.因此S△ABO＝S△ACO＋S△BOC＝
1×4×1+
2
1 ×4×4＝10.
2
亲爱的读者： 1、盛生年活不重相来信，眼一泪日，难眼再泪晨并。不及代时表宜软自弱勉。，20岁.7.月14不7.待14人.2。02。02200:.276.12407:2.164:0.220J2u0l-20:2206:206:26:02Jul-2020:26 亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝4日望星的期人二。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成20功:26。7.14.202020:267.14.202020:2620:26:027.14.202020:267.14.2020
二次函数y=ax2的图象性质
1. 顶点都在原点（0,0）; 2. 图像关于y轴对称; 3. 当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
观察下列图象，抛物线y=ax2与y=-ax2（a＞0)的关
系是什么？
y y=ax2
二次项系数互为 相反数，开口相反， 大小相同，它们关
于x轴对称.
O
x
y=-ax2
3… 9…
2.描点：根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y） 3.连线：如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得 到y = x2 的图象．
y 9
6
3
-4 -2 o 2 4 x
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
y
9
6
对称轴与抛物线的交
这条抛物线关于y轴对称,
3
点叫做抛物线的顶点.
y轴就是它的对称轴.
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
y 1 x2 ···
2
8
4.5
2 0.5 0 0.5 2 4.5
8 ···
x ··· －2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 ··· y 2x2 ··· 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 ···
【思考】二次函数
y 1 x2, y x2 , 2
y 2x2 的图象开口大小与a
的大小有什么关系？
y x2
y 2x2
8
6
4
y 1 x2
2
2
-4 -2
24
当a>0时，a越大，开口越小.
【练一练】在同一直角坐标系中，画出函数 y 1 x2, y 2x2
2
的图象．
x ··· －4 －3 －2 －1 0 1 2 3 4 ···
人教版数学九年级上册
22.1 二次函数的图像和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质
探究新知
二次函数y=ax2的图象的画法
画出二次函数y=x2的图象.
1. 列表：在y = x2 中自变量x可以是任意实数，列 表表示几组对应值：
x … -3 -2 -1 0 y=x2 … 9 4 1 0
12 14
是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点. （3）函数y= 3x2的图象的开口向上 ,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点 （4）函数y= －0.2x2的图象的开口 向下,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) .
考点探究1 利用函数y=ax2的图像性质确定字母的值
例1 已知 y =(m+1)xm2+m 是二次函数,且其图象开口向上, 求m的值和函数解析式
质量为m的物体运 动时的能量E与其 运动速度v之间的 关系（m为定值）
S 1 at 2 2
物体做匀加速运动 时，行驶路程与时 间的关系（a代表 加速度，为定值）
考点探究2 二次函数y=ax2与不等式的综合运用
例2 已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式； 即：S= c2 （c＞0）
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
填一填 （1）函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶点 是 (0,0) ; （2）函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴 ,顶点
-3 o
3
x
二次函数y=x2的图象形如物体抛射时所经过 的路线,我们把它叫做抛物线.
画出函数y=-x2的图象.
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … y=-x2 … -9 -4 -1 0 -1 -4 -9 …
y -4 -2 0 2 4 x
-3
-6 -9
二次函数y=ax2的图象性质 根据你以往学习函数图象性质的经验，说说二次函 数y=x2的图象有哪些性质，并与同伴交流.
面积
周长 4
2
16
（2）画出它的图象；注意自变量的范围
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm .
0，x的指数等于2.又因当x＞0时，y随x增大而增大,即说
明二次项的系数大于0. 因此，
k2 k 4 2 k 2＞0
，解得k=2 .
探究新知 二次函数y = ax2的实际应用
二次函数y=ax2是刻画客观世界许多现象的一种重要模型.
h 1 gt 2 2
E 1 mv2 2
物体自由下落的高 度h与下落时间t之 间的关系（g代表重 力加速度，为定值）
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点C， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，
且y轴为它们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右边空白
部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法点拨
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左 右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解．
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人教版九年级上册数学 22.1.2 二次函数 y=ax2的图象和性质课件
a<0
1 -5-4-3-2-1 -1o1 2 3 4 5 x -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 -9 1 -10 y x2
y
2
y 2 x 2
y x2
总结性质
1.形如二次函数 y=ax2 的图象都是顶点为
（ 0 ， 0） ______ 的抛物线，反之，顶点在（0,0）
2 y = ax 的抛物线的形式是_________.
体验画图
抛物线的定义：
实际上,二次函数的图象是抛物线，
它们开口向上或向下，一般地，二次
函数 y ax bx c 的图象叫做抛
2 2
物线 y ax bx c .
体验画图
3. 拓展与延伸： 3 个点， （1）画二次函数的图象一般需要___
哪些点比较关键？ 抛物线
yx
2
轴 对称图形，对称 是__
y 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 -5-4-3-2-1 O1 2 3 4 5 x
a>0
体验画图
（3）以上都是当a >0时，二次函数 y ax 的图象，
2
那么当 a<0时，试在同一直角坐标系画出二次函数：
1 2 y x ，y x ，y 2 x 2 的图象. 2
2
关于 y 轴对称 原点（0，0）
对称性
顶点
总结提高
2. 二次项系数 a 对形如 y=ax2 的函数值 y 又有
何影响？对图象又有何影响？
y＝ax2
开口
a>0 开口向上
a<0 开口向下
增减性 在对称轴左侧递减 在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递增 在对称轴右侧递减
LOGO
初三数学上册(人教版)22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质课件
亲爱的读者：
1、盛生年活不重相来信，眼一泪日，难眼再泪晨并。不及代时表宜软自弱勉。，20岁.7.月14不7.待14人.2。02。02200:.375.12407:3.154:1.220J2u0l-20:2305:2305:35:12Jul-2020:35
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝4日望星的期人二。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成20功:35。7.14.202020:357.14.202020:3520:35:127.14.202020:357.14.2020
亲爱的读者：
春去燕归来，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 1、三人行，必有我师。20.7.147.14.202020:3520:35:12Jul-2020:35
2、书是人类进步的阶梯。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 3、会当凌绝顶，一览众山小。20:357.14.202020:357.14.202020:3520:35:127.14.202020:357.14.2020 4、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。7.14.20207.14.202020:3520:3520:35:1220:35:12
76、人生生命贵太相过知短，暂何，用今金天与放钱弃。了明250分280时年375月分1144日-J星ul期-2二07二.14〇.2二02〇0年七月十四日
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、勇放气眼通前往方天，堂只，要怯我懦们通继往续地，狱收。获的20季:35节2就0:3在5前:12方7.。142.02.072.104T2u0e.s7d.1a4y2, 0Ju.7ly.1144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十 四日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3520:35:127.14.2020Tuesday, July 14, 2020
1、盛生年活不重相来信，眼一泪日，难眼再泪晨并。不及代时表宜软自弱勉。，20岁.7.月14不7.待14人.2。02。02200:.375.12407:3.154:1.220J2u0l-20:2305:2305:35:12Jul-2020:35
亲爱的读者： 2、千世里上之没行有，绝始望于的足处下境。，只20有20对年处7月境1绝4日望星的期人二。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二 春去春又回，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 3、少成年功易都学永老远难不成会，言一弃寸，光放阴弃不者可永轻远。不。会成20功:35。7.14.202020:357.14.202020:3520:35:127.14.202020:357.14.2020
亲爱的读者：
春去燕归来，新桃换旧符。在那桃花盛开的地方，在 1、三人行，必有我师。20.7.147.14.202020:3520:35:12Jul-2020:35
2、书是人类进步的阶梯。二〇二〇年七月十四日2020年7月14日星期二
这醉人芬芳的季节，愿你生活像春天一样阳光，心情像桃 3、会当凌绝顶，一览众山小。20:357.14.202020:357.14.202020:3520:35:127.14.202020:357.14.2020 4、纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。7.14.20207.14.202020:3520:3520:35:1220:35:12
76、人生生命贵太相过知短，暂何，用今金天与放钱弃。了明250分280时年375月分1144日-J星ul期-2二07二.14〇.2二02〇0年七月十四日
花一样美丽，感谢你的阅读。 87、勇放气眼通前往方天，堂只，要怯我懦们通继往续地，狱收。获的20季:35节2就0:3在5前:12方7.。142.02.072.104T2u0e.s7d.1a4y2, 0Ju.7ly.1144。, 2020年7月14日星期二二〇二〇年七月十 四日 8、拥有梦想只是一种智力，实现梦想才是一种能力。20:3520:35:127.14.2020Tuesday, July 14, 2020
人教版数学九年级上册22.1.2二次函数y=ax2的图像与性质 课件(21张PPT)
二二次次函函数数y的=图x2象的都图是象抛是物一线条，曲线它，们它的的开形口状或类者似向于上投或篮者球向 时下球．在一空般中地所，经二过次的函路数线y，=只ax是2 +这b条x +曲c线（开a≠口0）向的上图，象这叫条做曲抛 线物叫线做y =抛a物x2线+ byx=+xc2 ，
9 6 3
－3
3
实y轴际是上抛，物每线条y抛= 物x 2线的都对有称对轴称，轴抛，物抛线物y 线= x与2 对与称它轴的的对交称点轴 叫的做交抛点物（线0，的0顶）点叫．做顶抛点物是线抛y =物x线2 的的顶最点低，点它或是最抛高物点线．y = x 2 的最低点．
交点坐标
y
求抛物线与直线的 交点坐标的方法： 两解析式联列方程
组
y=4x2 y=3x+1
O
x
1.若抛物线y=ax²与y=4x²的形状及开口方向 均相同，则a= 4
2.下列关于二次函数y=ax²（a≠0）的说法中，错误 的是（ C ） A.它的图像的顶点是原点 B.当a＜0，在x=0时，y取得最大值
(2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、
开口方向和图象的位置；
在x轴的下方
解: (1)依题意，得 (2)2 a 3
解得
a=
3 4
∴ 该函数的解析式为 y
3 4
x2
例3、y=kx2与y=kx－2(k≠ 0)在同一坐标系中， 可能是（ B ）
A
B
C
D
例4、求抛物线y=4x2与直线y=3x+1的
描点法
列表、描点、连线
以0为中心 选取7个x值
画最简单的二次函数 y = x2 的图象列表
初中数学人教版九年级上册《22.1.2二次函数y=aⅹ2的图象和性质》课件
1． 顶点都在原点；
2． 图象关于y轴对称；
3．当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
知识点2
视察下列图象，抛物线 y=ax2 与 y= −ax2（a＞0)的关系是什么？
y
y=ax2
二次项系数互为相反数，开口相反，
大小相同，它们关于x轴对称．
O
x
y=−ax2
知识点2
视察图形，y随x的变化如何变化？
2
−6
当a<0时，a越小（即a的绝
−8
y x
2
y 2 x 2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越
小．
4
−2
开口大小与a的大小有什么关系？
对值越大），开口越小．
2
知识点2
y＝ax2
图象
位置、开
口方向
对称性
顶点、
最值
增减性
a>0
y
O
a<0
y
O
x
x
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
特点．
3．掌控形如 y=ax²的二次函数图象的性质，并会运用．
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和
性质，像研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和
性质．结合图象讨论性质是数形结合研究函数的重要方法．
知识点1
画出二次函数 y=x2 的图象．
1．列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2
O
(1,-1)
(2,-4)
(a>0)
知识点2
对于抛物线 y = -ax2 (a>0)
2． 图象关于y轴对称；
3．当a>0时，开口向上；
当a<0时，开口向下．
知识点2
视察下列图象，抛物线 y=ax2 与 y= −ax2（a＞0)的关系是什么？
y
y=ax2
二次项系数互为相反数，开口相反，
大小相同，它们关于x轴对称．
O
x
y=−ax2
知识点2
视察图形，y随x的变化如何变化？
2
−6
当a<0时，a越小（即a的绝
−8
y x
2
y 2 x 2
对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越
小．
4
−2
开口大小与a的大小有什么关系？
对值越大），开口越小．
2
知识点2
y＝ax2
图象
位置、开
口方向
对称性
顶点、
最值
增减性
a>0
y
O
a<0
y
O
x
x
开口向上，在x轴上方
开口向下，在x轴下方
特点．
3．掌控形如 y=ax²的二次函数图象的性质，并会运用．
在八年级下册，我们学习了一次函数的概念，研究了它的图象和
性质，像研究一次函数一样，现在我们来研究二次函数的图象和
性质．结合图象讨论性质是数形结合研究函数的重要方法．
知识点1
画出二次函数 y=x2 的图象．
1．列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
2
O
(1,-1)
(2,-4)
(a>0)
知识点2
对于抛物线 y = -ax2 (a>0)
最新人教版九年级数学上册PPT课件 22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
4.函数y= －0.2x2的图象的开口 向下,对称轴是_y_轴_,顶 点是 (0,0) ;
典例精析
例1已知 y =(m+1)x m2+m 是二次函数,且其图象开口向 上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ① 解: 依题意有:
m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法总结
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左 右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解．
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
练一练
1.函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶 点是 (0,0) ; 2.函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴,顶点 是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点 3.函数y= 3x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 , 顶点是(0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点
典例精析
例1已知 y =(m+1)x m2+m 是二次函数,且其图象开口向 上,求m的值和函数解析式
m+1>0 ① 解: 依题意有:
m2+m=2 ② 解②得:m1=－2, m2=1 由①得:m>－1 ∴ m=1 此时,二次函数为: y=2x2.
(2)解：∵二次函数y＝2x2的图象经过点B， ∴当x＝2时，y＝2×22＝8. ∵抛物线和长方形都是轴对称图形，且y轴为它
们的对称轴， ∴OA＝OB， ∴在长方形ABCD内，左边阴影部分面积等于右
边空白部分面积， ∴S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
方法总结
二次函数y＝ax2的图象关于y轴对称，因此左 右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中， 我们根据图象中点具有的对称性转变到同一变化 区域中(全部为升或全部为降)，根据图象中函数 值高低去比较；对于求不规则的图形面积，采用 等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以 方便求解．
O x
开口向上,在x轴上方
a<0 yx
O
开口向下,在x轴下方
a的绝对值越大，开口越小
关于y轴对称，对称轴是直线x＝0 顶点坐标是原点（0，0）
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减 在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增 在对称轴右侧递减
练一练
1.函数y=4x2的图象的开口 向上 ,对称轴是 y轴 ,顶 点是 (0,0) ; 2.函数y=－3x2的图象的开口 向下 ,对称轴是 y轴,顶点 是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高 点 3.函数y= 3x2的图象的开口向上,对称轴是 y轴 , 顶点是(0,0) ;顶点是抛物线的最 低 点
最新人教部编版九年级数学上册《22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质》精品PPT优质课件
已知正方形的周长为C cm，面积为S cm2，
（1）求S与C之间的二次函数关系式； 面积 （2）画出它的图象；注意自变量的范围
周长 4
2
（3）根据图象，求出当S=1cm2时，正方形的周长；
（4）根据图象，求出C取何值时，S ≥4cm2.
解：（1）∵正方形的周长为Ccm，
∴正方形的边长为 C cm，
22.1 二次函数的图象和性质 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质
R·九年级上册
新课导入
问题1：用描点法画函数图象的一般步骤是什么？
①列表；②描点；③连线
问题2：我们学过的一次函数的图象是什么图形？
一条直线
那么，二次函数的图象会是什么样的图形呢？这节 课我们来学习最简单的二次函数y=ax2的图象.
4
∴S与C之间的关系式为S
=
C2
；
16
（2）作图如右：
（3）当S = 1cm2时，C2 =16，即C =4cm .
O 的 开口越小．
开口都向下； 对称轴都是y轴；
-9
y=-x2
y=-2x2
y 1 x2 2
小结
1.二次函数的图象都是抛物线. 2.抛物线y=ax2的图象性质:
（1）抛物线y=ax2的对称轴是y轴， 顶点是原点. （2）当a>0时，抛物线的开口向 上，顶点是抛物线的最低点;
（2）能根据图象说出抛物线y=ax2的开口方向、对称轴、顶点 坐标，能根据a的符号说出顶点是抛物线的最高点还是最低点.
（1）用描点法画二次函数y=ax2的图象，知道抛物线y=ax2是轴对称 图形，知道抛物线y=ax2的开口方向与a的符号有关.
推进新课
知识点1 二次函数y = ax2的图象的画法
22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质课件人教版数学九年级上册
第6页
知识点1：二次函数y＝ax2的图象 1．函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为( B ) A．(1，－2) B．(0，0) C．(0，－2) D．(2，－8)
第7页
2．在下列抛物线中，开口最小的是( D ) A．y＝－ x2 B．y＝－ x2 C．y＝x2 D．y＝ x2
第8页
3．下列各点中，在抛物线y＝－2x2的图象上的是( B ) A．(2，1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(－1，2)
14．(罗山县月考)如图，抛物线的顶点为O，平行于x轴的直线与该为等腰三角形，我 们规定：当△AOB为直角三角形时，就称△AOB为 该抛物线的“完美三角形”．求抛物线y＝x2的 “完美三角形”斜边AB的长．
第 22 页
解：过点B作BN⊥x轴于N，由题意得△AOB为等腰直角三角形，∴∠AB O＝45°， ∵AB∥x轴，∴∠BON＝45°， ∴△BON是等腰直角三角形， 设点B坐标为(n，n)，∵点B在抛物线y＝x2上， ∴n2＝n，∴n＝1或n＝0(不合题意，舍去)， ∴点B坐标为(1，1)，∴点A坐标为(－1，1)， ∴AB＝2.
第 14 页
10．已知一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2，其中a≠0，b＜0，则下面 选项中，图象可能正确的是( C )
第 15 页
11．如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴 的正半轴的夹角为15°，
点B在抛物线y＝ax2(a＞0)的图象上，则a的值为
.
第 16 页
12．已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2 的图象相交于A，B两 点，如图所示，其中A(－1，－1)． (1)求二次函数y＝ax2的解析式； (2)求△OAB的面积．
第9页
4．(封丘县期末)已知二次函数y＝(m－ )x2的图象开口向下，则m的取
知识点1：二次函数y＝ax2的图象 1．函数y＝－2x2的图象的顶点坐标为( B ) A．(1，－2) B．(0，0) C．(0，－2) D．(2，－8)
第7页
2．在下列抛物线中，开口最小的是( D ) A．y＝－ x2 B．y＝－ x2 C．y＝x2 D．y＝ x2
第8页
3．下列各点中，在抛物线y＝－2x2的图象上的是( B ) A．(2，1) B．(1，－2) C．(－2，－1) D．(－1，2)
14．(罗山县月考)如图，抛物线的顶点为O，平行于x轴的直线与该为等腰三角形，我 们规定：当△AOB为直角三角形时，就称△AOB为 该抛物线的“完美三角形”．求抛物线y＝x2的 “完美三角形”斜边AB的长．
第 22 页
解：过点B作BN⊥x轴于N，由题意得△AOB为等腰直角三角形，∴∠AB O＝45°， ∵AB∥x轴，∴∠BON＝45°， ∴△BON是等腰直角三角形， 设点B坐标为(n，n)，∵点B在抛物线y＝x2上， ∴n2＝n，∴n＝1或n＝0(不合题意，舍去)， ∴点B坐标为(1，1)，∴点A坐标为(－1，1)， ∴AB＝2.
第 14 页
10．已知一次函数y＝ax＋b和二次函数y＝ax2，其中a≠0，b＜0，则下面 选项中，图象可能正确的是( C )
第 15 页
11．如图，正方形OABC的面积为18，OC与y轴 的正半轴的夹角为15°，
点B在抛物线y＝ax2(a＞0)的图象上，则a的值为
.
第 16 页
12．已知二次函数y＝ax2(a≠0)与一次函数y＝kx－2 的图象相交于A，B两 点，如图所示，其中A(－1，－1)． (1)求二次函数y＝ax2的解析式； (2)求△OAB的面积．
第9页
4．(封丘县期末)已知二次函数y＝(m－ )x2的图象开口向下，则m的取
人教版九年级数学上22.1.2二次函数y=ax2 的图象和性质(共34张PPT)
(0 ,0) y轴
增 减
当x<0时， y随着x的增大而减小。
当x>0时，
当x<0时, y随着x的增大而增大。
当x>0时，
性
y随着x的增大而增大。
y随着x的增大而减小。
极值
x=0时,y最小=0
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|越大,
抛物线的开口就越小. |a|越小, 抛物线的开口就越大.
,当x=0时,函数y的值最大,最大值是
,
当x
0时,y<0.
画最简单的二次函数 y = x2 的图象
解:(1) 列表 x y
你还(2记) 得描描点点
法的一般步骤?
(3) 连线
连线时应注意 什么问题？
… -3 -2 -1 列0表时1 应2注意3 …
… 9 4 1 什0么问1 题4？ 9 …
描点法
y
10
2.当a>0时，抛物线y=ax2在x轴的上方(除顶点外), 它的开口向上,并且向上无限伸展；
当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方(除顶点外),它的 开口向下,并且向下无限伸展.
3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在 对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时，在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在 对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.
在对称轴的右侧， y随着x的增大而减小。
y 1 x2 2
y 1
-1 0 1 -1 -2 -3 -4
2 3x
不同点: 开口大小不同;
y x2
人教版数学九年级上册 22.1.2 二次函数y=ax2的图象和性质 授课课件(共22张PPT)
物线的开口越
,a的绝对值越小,抛物线的
开口越
.
6.已知A(-1,y1),B(-2,y2),C(3,y3)三点都在二次
函数y=x2的图象上,则y1,y2,y3的大小关系
是
.
【能力提升】 7.当ab>0时,y=ax2与y=ax+b的图象大致是下列选项中的 ( )
8.已知函数y=（m+2）x2是关于x的二次函数. (1)求m的值; (2)当m取什么值时,此函数图象的顶点为最低点? (3)当m取什么值时,此函数图象的顶点为最高点?
重点 难点
重点：学生理解抛物线的有关概念， 会用描点法画出二次函数y=ax2的图象， 理解函数的性质。
难点：用描点法画出二次函数y=ax2的 图象，理解并灵活运用二次函数的性质。
教学过程
一、提出问题 1，同学们可以回想一下，一次函数的性
质是如何研究的? (先画出一次函数的图象，然后观察、分
析、归纳得到一次函数的性质) 2．我们能否类比研究一次函数性质方法
函数y=ax2的图象是一条________，它关于 ______对称，它的顶点坐标是______。
如果要更细致地研究函数y=ax2图象的特点和性质， 应如何分类？为什么?
让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的 左边，曲线自左向右______；在对称轴的右边，曲线 自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。
板书设计
性质 函数 对称轴 开口方向 顶点坐标 最值 经过象限 y随x变化
y＝x2
y＝-x2
y＝2x2
y＝-2x2
课后作业
1.课本41页3、4题 2.学案
人教版数学九年级上册教学课件-22.1.2二次函数y=ax2的图象和性质
22.1.2二次函数y=ax² 的图象 和性质
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 在下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x+5;
(2)y=x2;
(3)y=(2x-1)2-4x2.
作出下列函数的图像 y= - x2 ， y= - 1 x2 ， y= -2x2
2
并考虑这些抛物线有什么共同点 和不同点．
函数y=－ 21x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
相同点：开口：向下，
-3 -2
顶点：原点（0,0）——最高点
对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大
5、已知二次函数 y ax 2的图象经过点(-2，-3)。
(1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图
象的位置；
目标检测 1．函数y＝x2的图象开口向____，顶点是______， 对称轴是_____， 当x＝______时，有最_____值是_____．
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|相同,
抛物线的开口就相同. |a|越大, 抛物线的开口就越小.
1、函数y=4x2的图象的开口 向上,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下,对称轴是 y轴,顶 点是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高点
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，
二次函数: 一般地,形如 y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)
的函数,叫做二次函数.其中,是x自变量,a,b,c分别是 函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 在下列函数中，哪些是二次函数？
(1)y=3x+5;
(2)y=x2;
(3)y=(2x-1)2-4x2.
作出下列函数的图像 y= - x2 ， y= - 1 x2 ， y= -2x2
2
并考虑这些抛物线有什么共同点 和不同点．
函数y=－ 21x2,y=－2x2的图象与函数y=－x2 (图中蓝线图形)的图象相比,有什么共同点和不同点?
相同点：开口：向下，
-3 -2
顶点：原点（0,0）——最高点
对称轴： y 轴 增减性：y 轴左侧，y随x增大而增大
5、已知二次函数 y ax 2的图象经过点(-2，-3)。
(1)求a的值，并写出函数解析式； (2)说出函数图象的顶点坐标、对称轴、开口方向和图
象的位置；
目标检测 1．函数y＝x2的图象开口向____，顶点是______， 对称轴是_____， 当x＝______时，有最_____值是_____．
x=0时,y最大=0
抛物线y=ax2 (a≠0)的形状是由|a|来确定的,一般说来, |a|相同,
抛物线的开口就相同. |a|越大, 抛物线的开口就越小.
1、函数y=4x2的图象的开口 向上,对称轴是 y轴 , 顶点是 (0,0) ;
2、函数y=－3x2的图象的开口 向下,对称轴是 y轴,顶 点是 (0,0) 顶点是抛物线的最 高点
二次函数 y = x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中 所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线 y = x2 ，