第三章 数系的扩充与复数的引入单元小结
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结(总4页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1-CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除数系的扩充与复数的引入知识点总结一．数系的扩充和复数的概念１．复数的概念(1) 复数:形如(,)a bi a R b R +∈∈的数叫做复数，a 和b 分别叫它的实部和虚部.(2) 分类:复数(,)a bi a R b R +∈∈中,当0b =,就是实数; 0b ≠,叫做虚数;当0,0a b =≠时,叫做纯虚数.(3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等.即：如果：,,,a b c d R ∈，那么：=+=+b=d a c a bi c di ⎧⇔⎨⎩，特别地: .(4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数.即：=+=-(,)z a bi z a bi a b R ∈的共轭复数是２．复数的几何意义 （１）数（）可用点表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，也叫高斯平面，轴叫做实轴，轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.复数集C 和复平面内所有的点所成的集合是一一对应关系，即复数复平面内的点每一个复数有复平面内唯一的一个点和它对应；反过来，复平面内的每一个点，有唯一的一个复数和它对应，这就是复数的一种几何意义，也就是复数的另一种表示方法，即几何表示方法.（２）复数的几何意义坐标表示:在复平面内以点表示复数（）； 向量表示:以原点为起点，点为终点的向量表示复数. 向量的长度叫做复数的模，记作.即. ３．复数的运算（１）复数的加，减，乘，除按以下法则进行设12,(,,,)z a bi z c di a b c d R =+=+∈则12()()z z a c b d i ±=±+±12()()z z ac bd ad bc i •=-++12222()()(0)z ac bd ad bc i z z c d-++=≠+ （２）几个重要的结论2222121212||||2(||||)z z z z z z ++-=+ 22||||z z z z •==若z 为虚数,则22||z z ≠（３）运算律m n m n z z z +•=()m n mn z z =1212()(,)n n n z z z z m n R •=•∈（４）关于虚数单位i 的一些固定结论：21i =-3i i =-41i =2340n n n n i i i i ++++++=注：（１）两个复数不能比较大小，但是两个复数的模可以比较大小 （２）在实数范围内的求根公式在复数范围内照样能运用二．同步检测１．复数ａ＋ｂi 与ｃ＋ｄi 的积是实数的充要条件是Ａ．ａｄ＋ｂｃ＝０ Ｂ．ａｃ＋ｂｄ＝０Ｃ．ａｃ＝ｂｄ Ｄ．ａｄ＝ｂｃ ２．复数5-2i 的共轭复数是 Ａ．i ＋２ Ｂ．i －２ Ｃ．－２－i Ｄ．２－i ３．当2<<13m 时，复数ｍ（３＋i ）－（２＋i ）在复平面内对应的点位于 Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限４．复数31+22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭＝ ５．已知复数ｚ与()2+2-8z i 都是纯虚数，求ｚ６．已知(1+2=4+3i z i ），求ｚ及zz７．已知1z ＝５＋１０i ，2z ＝３－４i ，12111=+z z z ，求ｚ８．已知２i －３是关于x 的方程２2x ＋ｐx ＋ｑ＝０的一个根，求实数ｐ，ｑ的值。
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充与复数的引入知识点总结
数系的扩充和复数的概念
复数的概念：形如a + bi (a∈R。
b∈R)的数叫做复数，其中a和b分别叫做实部和虚部。
根据b的值，复数可以分类为实数（当b=0），虚数（当b≠0），以及纯虚数（当a=0且
b≠0）。
复数的几何意义：复数可以用点在平面内的位置来表示，这个平面叫做复平面（或高斯平面），其中实轴和虚轴分别表示实部和虚部。
复数集C和复平面内所有的点是一一对应的关系，即每一个复数都有复平面内唯一的一个点和它对应，反之亦然。
复数的运算：复数的加、减、乘、除可以按照特定的法则进行。
例如，设z1=a+bi，z2=c+di，则z1±z2=(a±c)+(b±d)i，z1•z2=(ac-bd)+(ad+bc)i，z1/z2=(ac+bd)/(c^2+d^2)+(bc-
ad)/(c^2+d^2)i（其中z2≠0）。
关于虚数单位i的一些固定结论：i^2=-1，i^3=-i，i^4=1，i^n+i^(n+1)+i^(n+2)+i^(n+3)=0（其中n为自然数）。
注意事项：（1）两个复数不能比较大小，但是两个复数
的模可以比较大小；（2）在实数范围内的求根公式在复数范
围内同样适用。
1.复数$a+bi$与$c+di$的积是实数的充要条件是$ad+bc=0$。
2.当$m<1$时，复数$m(3+i)-(2+i)$在复平面内对应的点位
于第三象限。
3.复数$\frac{13}{2}+\frac{1}{2}i$位于第一象限。
4.已知复数$z$和$z+2-8i$都是纯虚数，求$z$。
5.删除此段。
最新人教版高中数学选修2-2第三章《数系的扩充与复数的引入》本章小结
知识建构1.复数的意义形如___________的数叫做复数,其中i 叫___________,满足___________,a 叫做___________,b 叫做___________,复数集记作___________,数集N 、Z 、Q 、R 、C 的关系是___________.z=a +b i (a 、b ∈R )是实数的充要条件是___________;是虚数的充要条件是___________;是纯虚数的充要条件是___________.答案：a +b i 虚数单位 i 2=-1 实部 虚部 Cb=0 b≠0 a =0且b≠02.复数的相等两个复数相等,则 .答案：实部与虚部分别相等3.共轭复数及复数的模的代数表示 z=a +b i (a 、b ∈R )与z =___________互为共轭复数.答案：a -b i4.复数的代数运算对于i ,有i 4n =___________,i 4n+1=___________,i 4n+2=___________,i 4n+3=___________ (n ∈N).已知两个复数z 1=a +b i ,z 2=c+d i (a 、b 、c 、d ∈R ),则z 1±z 2=___________;z 1·z 2=___________;特别地,若z=a +b i (a 、b ∈R ),则z·z =___________; 21z z = . 答案：1 i -1 -i (a ±c)+(b±d)i (a c-bd)+(a d+bc)ia 2+b 22222d c ad -bc d c bd ac ++++i 实践探究1.对于任意两个复数z 1=x 1+y 1i ,z 2=x 2+y 2i (x 1、y 1、x 2、y 2为实数),定义运算“⊙”为：z 1⊙z 2=x 1x 2+y 1y 2,设非零复数ω1、ω2在复平面内对应的点分别为P 1、P 2,点O 为坐标原点，如果ω1⊙ω2=0,那么在△P 1OP 2中，求∠P 1OP 2的大小.解析:设P 1(x 1,y 1)、P 2(x 2,y 2),由已知ω1=x 1+y 1i ,ω2=x 2+y 2i , 依题意ω1⊙ω2=0,即x 1x 2+y 1y 2=02211x y x y ⋅⇒=-1,即k OP 1·k OP 2=-1,∴OP 1⊥OP 2,则∠P 1OP 2=2π.2.若虚数z 同时满足下列两个条件:①z+z 5是实数;②z+3的实部与虚部互为相反数.这样的虚数是否存在?若存在,求出z;若不存在,请说明理由.解析:设z=a +b i (a 、b ∈R 且b≠0),则z+z 5=(a +b i )+bi a 5+=a (1+22b a 5+)+b(1-22b a 5+)i ∈R . 又z+3=a +3+b i ,依题意,有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+-b.3a 0,)b a 5-b(122 又由于b≠0,因此⎩⎨⎧-==+.3-a b ,5b a 22解之,得⎩⎨⎧-=-=⎩⎨⎧-=-=.1b ,2a 2b ,1a 或∴z=-1-2i 或-2-i . 3.设z 1=3+i ,z 2=1+i ,试问满足z 1n =z 2m 的最小正整数m 、n 是否存在?若存在,求出m 、n 的值.解析:∵z 1=3+i ,z 2=1+i ,若z 1n =z 2m ,∴|z 1n |=|z 2m |,即|z 1|n =|z 2|m .∴2n =(2)m .∴n=2m .①∴z 1n =z 2m 时,即z 1n =z 22n . ∴(221z z )n =1.∴［2i)(1i 3++］n =1.∴(2321 i )n =1.显然n=6k 时,k ∈N *成立. 故存在最小的n=6,m=12满足条件.。
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》82PPT课件
R C
讲解新课
1.复数的代数形式：通常用字母 z 表示，即
z a bi (a R,b R)
i 实部 虚部 其中 称为虚数单位。
练一
练 说出下列复数的实部和虚部
0,
2 2
,－2＋ 13
i
,
2 i,
3i , i
2.复数的分类：
实数b 0
复数z (a, b
a R)
bi
虚数b
纯虚数a 0非纯虚数 a
0，b 0，b
0
0
1.说明下列数中，那些是实数，哪些是虚 数，哪些是纯虚数，并指出复数的实部与
虚部.
2 7, 0.618,
2 i, 7
0
i 2 , i 1 3 , 3 9 2i, 5i 8
2、判断下列命题是否正确： （1）若a、b为实数，则Z=a+bi为虚数 （2）若b为实数，则Z=bi必为纯虚数 （3）若a为实数，则Z=a 一定不是虚数
i i 1 引入一个新数：
满足并且规定：
（1）i21； （2）实数可以与 i 进行四则运算，在进行四则运算 时，原有的加法与乘法的运算律(包括交换律、结合律和
分配律)仍然成立。
形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数. 其中i是虚数单位.
全体复数所成的集合叫做复数集，一般用字母C表示 .
3.1 复数的概念
数的概念是从实践中产生和发展起来的。随着生产 和科学的发展，数的概念也不断的被扩大充实
从小学到现在，大家都依次学过哪些数集呢？ 自然数集 整数集 有理数集 实数集
我们可以用下面一组方程来形象的说明数系的发 展变化过程： （1）在自然数集中求方程 x+1＝0的解？ （2）在整数集中求方程 2x+1＝0的解？ （3）在有理数集中求方程 x2-2＝0的解？ （4）在实数集中求方程 x2+1＝0的解？
高中数学《第三章数系的扩充与复数的引入小结》31PPT课件 一等奖比赛优质课
第1页共3页《第三章数系的扩充与复数的引入》小结与复习一、教学内容分析本章《数系的扩充与复数的引入》是中学课程里数的概念的最后一次扩展。
引入复数后，不仅可以使学生对数的概念有一个初步完整的认识，也为进一步学习数学奠定基础。
由复数在整个高中数学所处的地位看，复数的考查从分值上、难度上在逐渐下降，这也是目前教学内容改革的趋势，在今后的命题中，复数将以填空、选择题的形式出现，由于难度要求降低，将多以考查基本概念、基本运算的题目出现。
考查的内容将是复数的基本概念，加、减、乘、除四则运算，复数的向量表示及简单的几何意义，要注意复数问题实数化处理的化归思想、方程思想和数形结合的思想方法。
二、学生学习情况分析（1）我校是一所二类普通高中，学生的基础不好，记忆力较差，反应速度慢，普遍感到数学难学。
但大部分学生想考大学，主观上有学好数学的愿望，也能在教师的指导下发现、分析和解决问题。
（2）所授课班级的学生听课的注意力不能持久，不能连续从事某项数学活动。
课堂上喜欢轻松诙谐的气氛，大部分学生能机械的模仿，有记笔记的良好习惯。
三、教学目标（1）知识与技能：熟练掌握复数相关概念及复数的代数表示，了解复数的代数表示形式及其几何意义，掌握复数代数形式的加、减、乘、除运算及几何意义。
（2）过程与方法：通过解读考点及基础知识的复习，构建出知识网络，并借助例题、练习题领悟考试的本质，归纳总结出规律和方法。
（3）情感、态度与价值观：通过各式题型的训练，掌握复数题目的解题方法，树立学生学习数学的信心和兴趣。
四、教学重、难点（1）教学重点：复数相关概念及复数的代数表示，复数的几何意义及复数代数形式的四则运算。
（2）教学难点：复数的四则运算及其几何意义。
五、教学程序(一）要点梳理1.复数的有关概念（1）形如的数（其中,abR）叫做复数，全体复数组成的集合叫做_______，其中a叫做复数的，b叫做复数的，复数的单位为，它的平方等于。
I的周期性：i4n+1=,i4n+2=,i4n+3=,i4n=。
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(3)共轭复数：a＋bi 与 c＋di 共轭⇔ a＝c，b＝－d(a，b，c，d ∈R )．
(4)复平面： 建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面。______ 叫做实轴， ______叫做虚轴。实轴上的点都表示 _______;除原点外，虚轴上的 点都表示________;各象限内的点都表示非纯虚数。
回顾与思考4：在学习本章时，应注意复数与实数、
有理数的联系，复数及其代数形式的加、减运算与平面 向量及其加、减运算的联系，还应注意复数及其代数形 式的加法、减法、乘法运算与多项式及其加法、减法、 乘法运算的联系。这些关系可以用以下框图表示：
※ 典型例题 复数的有关概念
例 1 已知 m R ，复数 z (m2 3m) (m2 4m 3)i ，当
(5)复数的模：
向量―O→ Z 的模 r 叫做复数 z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或|a
＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝
a2＋b2 .
2．复数的几何意义
(1)复数 z＝a＋bi
复平面内的点 Z(a，b)(a，b∈R)．
复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)，而不是
(a，bi).
一、本章知识结构
数系扩充 复数引入
复数的概念
复数代数形式 的四则运算
二、回顾与思考
思考1、数系的扩充，复数的引入：
复数系是在实数系的基础上扩充而得到的。数系扩充的过程 体现了实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程求 根）对数学发展的推动作用，同时也体现了人类理性思维的 作用。
复数集C、实数集R、有理数集Q、整数集Z和自然数集N之间 的关系为 _________________________________
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为何值时， 解 (1)z∈R⇔a2－3a＋2＝0，解得 a＝1 或 a＝2.
z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)为实数；(2)为纯虚数；
(2)z 为纯虚数，aa22－ －32aa＋ ＝20≠ ，0，
3．复数的几何意义 (1)任何一个复数 z＝a＋bi 一一对应着复平面内一个点 Z(a，b)，也一一 对应着一个从原点出发的向量O→Z. (2)复数加法的几何意义 若复数 z1、z2 对应的向量O→Z1、O→Z2 不共线，则复数 z1＋z2 是以O→Z1、O→Z2 为两邻边的平行四边形的对角线O→Z所对应的复数． (3)复数减法的几何意义 复数 z1－z2 是连接向量O→Z1、O→Z2 的终点，并指向 Z1 的向量所对应的复数．
(a＋bi)(a－bi)i＋2＝2(a＋bi)，∴2＋(a2＋b2)i＝2a＋2bi，
由复数相等的条件得，2aa2＋＝b22，＝2b， ∴ab＝＝11，. ∴z＝1＋i，故选 A.
(2)
Z1 Z2
(2 3i)(2 i)2 3 2i
(2 3i)(3 2i)(2 i)2 =
(3 2i)(3 2i)
(3)对应的点在第一象限内；
即aa＝ ≠01或 且aa＝ ≠22， . 故 a＝0.
(x规4－)律复y＝方数0法z上对. 应处的理点复在数直概线念问题的两(3)个z 对注应意的点点在第一象限，则aa22－ －23aa>＋02，>0，
(1)当复数不是 a＋bi 要通过变形化为 a＋bi
a的，形b∈式R，以∴的便形aa确<<式10定， ，时其或 或，实aa>>部22， ，和虚部∴. a＜0，或
a＞2.
第三章数系的扩充与复数的引入 章末归纳总结
类项组成，这样多项式的运算法则几乎可以全部搬过来照用
不误，于是复数就与多项式、方程联系起来，从而能帮助解 决一些多项式中的因式分解、解方程等数学问题．另一条主 线是用复平面上的点或向量来描述复数．
第三章
章末归纳总结
成才之路 ·高中新课程 ·学习指导 ·人教B版 ·数学 ·选修2-2
由此引出了复数运算的几何意义，使复数在平面几何、解析 几何中得到广泛应用．这两条主线在教材中是交替安排的， 这样能加强学生的“形与数”结合的观念，使学生在看到代
第三章
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知识梳理
第三章
章末归纳总结
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本章在小学、初中和高中所学知识的基础上，介绍复数 的概念、复数的代数形式的运算和数系的扩充等内容． 本章共分两大节．第一大节是“数系的扩充与复数的概 念”．第二大节是“复数的运算”．在第一大节中，首先简
[ 解析]
设x＝a＋bi(a，b∈R)，则y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i， ∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
2 4 a ＝4 ∴ 2 2 a ＋ b ＝2
，
a＝－1 或 b＝1 a＝－1 或 b＝－1
a＝1 ∴ b＝1
复数问题实数化的思想
复数的代数形式z＝x＋yi(x，y∈R)，从实部虚部来理解一 个复数，把复数z满足的条件转化为实数x，y应该满足的条 件，从而可以从实数的角度利用待定系数法和方程思想来处理 复数问题． 已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－ 6i，求x，y.
第三章
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联系，复数及其代数形式的加 、减运算与平面 向量及其加、减运算的 联系 还应注意复数及其 , 代数形式的加法、减法 、乘法运算与多项式及 其加法、减法、乘法运 算的联系 .
这些关系可以用以下框 图表示:
多项式及 类比 复数及 类比 其运算 其运算
特 殊 化
平面向量 及其运算
实数及 类比 数轴上的向 量及其运算 其运算 特 殊 化
2
学习复数应联系实数,注意到复数事实上是一
对有序实数 请比较实数、虚数、纯 , 虚数、复数之 间的区别和联系 ,比较实数和复数几何意 义的区别 .
3 你对复数四则运算法则 规定的合理性,以及复 数代数形式的加、减运 算与向量的加减运算的 一 致性有什么体会?
4
在学习本章时 应注复数与实数、有理 , 数的
有理数及其运算
单元小结
一
本章知识结构
数系扩充 复数引入
复数的概念
复数代数形式 的四则运算
二而得到的 .
数系扩充的过 程体 现了实际需求与数学内 部 的矛盾( 数的运算规则、方程求 )对数学发展 根 的推动作用,同时也体 现了人类理性思维的作 学史料, 并对" 整数 分数有理数 实数 复数" 的数系扩充过程进行整 . 理 用 .请你收集一些从实数系 扩充 到复 数系的数