第5章等参数单元
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《有限元基础及应用》课程大纲
《有限元基础及应用》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程目标（一）总体目标：有限元法是求解复杂工程问题进行数值模拟非常有效的方法，是现代数字化科技的一种重要基础性原理。
将它应用于科学研究中，可以成为探究物质客观规律的先进手段；将它应用于工程技术中，可成为工程设计和分析的可靠工具。
有限元法已经成为机械工程、车辆工程、航空航天工程、土木建筑等专业的必修课或选修课，有限元商用软件也是广大工程技术人员从事产品开发、设计、分析，以及生产服务的重要工具。
通过本课程的学习使同学们掌握有限元分析方法的基础知识和原理；掌握大型有限元分析软件（ANSYS）的使用；有限元方法的实际应用：能够针对具有复杂几何形状的变形体完整获取复杂外力作用下它内部准确力学信息，在准确进行力学分析的基础上，可以对所研究对象进行强度、刚度等方面的判断，以便对研究结构进行静态、动态的强度和刚度分析、参数设计以及结构优化设计。
内容由浅入深，通俗易懂，结合实践应用分析，培养学生理论联系实际和解决实际问题的能力。
（二）课程目标：课程目标1：掌握有限元方法的基本原理，分析过程和步骤，形函数的构造方法，以及针对不同维度、不同结构准确选择合适的单元的技巧；课程目标2：掌握有限元分析方法，具有对不同工程问题建立相应力学模型再选取适合的有限元模型离散，最后得到高精度低成本的数值模拟结果；课程目标3：利用有限元原理和应用软件（ANSYS），能够针对车辆结构中具有复杂几何形状的零部件完整获取复杂外力作用下其内部的准确力学信息（位移、应力和应变），并能根据强度、刚度、稳定性及疲劳等进行分析判断结构的安全性，具有分析和解决工程实际问题的能力；课程目标4：掌握大型商用有限元软件（ANSYS）对车辆结构部件的静力学、动力学和多物理场耦合问题进行数值模拟和分析。
能够了解不同单元的适用范围以及有限元方法数值模拟的局限性。
（三）课程目标与毕业要求、课程内容的对应关系本课程支撑专业培养计划中毕业要求1、2、3、5。
第五讲 等参数单元
变量 的一 次项 。
假设局 部坐标 系与总 体坐 标 系之 间的关 系 为：
ｆ ， 【 ）（ ， ，） ） ，７ ， ＝ ＝
标应 该 一一对 应 ， 即 ｆ ＝ ，） （ ， ７
｛ 【 ， 、 ． ） ＝） ，／） ， ， ７ （ ｉ
（ ５ ）
增加 ， 整体 刚度矩 阵 扩 大 ， 增 加 了舍 人 误 差 。 因 又
此， 提高单元 精度最有效 的办 法是提 高单元的计 算精度 ， 增加 单元的节点数是其 中一种有效 的办
法。但是 对某 些 曲边 和 曲 面结 构 或 者 结 构 周 边 的
曲率变化 比较明显的构件 ， 采用如 同三角形 、 矩形
点的位移 ｕ 和 ｖ（ ＝ ，， Ｉ 。这里，Ｉ ｉ ｉｉ ｌ２ …，Ｉ Ｔ ） Ｉ为单元 Ｔ
节点 总数 。
将（ ） １ 式简记为 ：
ｆ ， ）＝ （ ｒ ／
．
（ 叼 ， ）
｛
【（ ｒ ＝∑ （ ｒ ，） ／ ， ） ／
‘ ： ‘
（ ２ ）
１ 形 状 函数 的 性 质
１ 即 。
（ ，）＝１ ， ７ ２ ２ 要求 ． ２２ １ 收敛性 要求 ．． ．
（） ４
图 ２
元 载荷 ， 必须 进行 两种 坐标 系 的转换 。
①完备性要求
正如上一讲提到的 ， 要得到精度高 的单元变 形分析 ， 单元位移必 须包含刚性位移 和常应变情
况， 这就要求位移模式 中必须包含常 数项 和坐标
有： ‘
Ｉ Ｉ
７ ７ ： ｔ ／ ７ ７ ７ ７ ７ ７ ７。 ７ ７ ７ ｔ ／ ７ ７
’
【 ￡ ，＝ （ ，， ￣ ３ ， 。 ＿ ＾ ；ｉ 一 （ ０ 『 ） ， ）（ ｍ ） ｊ
假设局 部坐标 系与总 体坐 标 系之 间的关 系 为：
ｆ ， 【 ）（ ， ，） ） ，７ ， ＝ ＝
标应 该 一一对 应 ， 即 ｆ ＝ ，） （ ， ７
｛ 【 ， 、 ． ） ＝） ，／） ， ， ７ （ ｉ
（ ５ ）
增加 ， 整体 刚度矩 阵 扩 大 ， 增 加 了舍 人 误 差 。 因 又
此， 提高单元 精度最有效 的办 法是提 高单元的计 算精度 ， 增加 单元的节点数是其 中一种有效 的办
法。但是 对某 些 曲边 和 曲 面结 构 或 者 结 构 周 边 的
曲率变化 比较明显的构件 ， 采用如 同三角形 、 矩形
点的位移 ｕ 和 ｖ（ ＝ ，， Ｉ 。这里，Ｉ ｉ ｉｉ ｌ２ …，Ｉ Ｔ ） Ｉ为单元 Ｔ
节点 总数 。
将（ ） １ 式简记为 ：
ｆ ， ）＝ （ ｒ ／
．
（ 叼 ， ）
｛
【（ ｒ ＝∑ （ ｒ ，） ／ ， ） ／
‘ ： ‘
（ ２ ）
１ 形 状 函数 的 性 质
１ 即 。
（ ，）＝１ ， ７ ２ ２ 要求 ． ２２ １ 收敛性 要求 ．． ．
（） ４
图 ２
元 载荷 ， 必须 进行 两种 坐标 系 的转换 。
①完备性要求
正如上一讲提到的 ， 要得到精度高 的单元变 形分析 ， 单元位移必 须包含刚性位移 和常应变情
况， 这就要求位移模式 中必须包含常 数项 和坐标
有： ‘
Ｉ Ｉ
７ ７ ： ｔ ／ ７ ７ ７ ７ ７ ７ ７。 ７ ７ ７ ｔ ／ ７ ７
’
【 ￡ ，＝ （ ，， ￣ ３ ， 。 ＿ ＾ ；ｉ 一 （ ０ 『 ） ， ）（ ｍ ） ｊ
有限元分析及工程应用-2016第五章
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元 1）位移模式
qe ui wi u j wj uk wk T
与平面三角形单元相似，仍选取线 性位移模式，即：
u w
a1 a4
a2r a5r
aa36zz
u Niui N ju j Nkuk
,
A2
1 2 2(1 )
单元中除了剪应力外其 它应力分量也不是常量
在轴对称情况下，由虚功原理可推导出单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz 2 BT DBrdrdz
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（1）三角形截面环形单元
2）单元刚度矩阵
K e VBT DBddrdz
Loads>Apply>Structural>Displacement>Symmetry B.C.>On Lines，用鼠标在图形窗口上拾取编号为“1”和“3”的线段 ，单击[OK]，就会在这两条线上显示一个“S”的标记，即 为对称约束条件。
(7)施加面力：Main Menu>Solution>Define Loads>Apply>Structural>Pressure>On Lines，用鼠标在图形 窗口上拾取编号为“4”，单击[OK] 在“VALUE Load PRES value”后面的输入框中输入“10”，然后单击[OK]即可
5.1 轴对称问题有限单元法
机械学院
（3）应用实例 (3)建立几何模型：
MainMenu>Preprocessor>Modeling>Create>Areas>Rectangle>By Dimension，在出现的对话框中分别输入：X1=5，X2=10，Y1=0， Y2=20，单击[OK]。
精品文档-计算机应用基础教程(第二版)-第5章
运算的功能。这样就对数据的类型提出了要求。要认识到不
同的数据类型，有不同的表示和运算处理方法。在Excel中的
数据类型有数值、货币、会计专用、日期、时间、百分比、
分数、科学计数、文本和特殊等类型。输入文本型数字时应
在数字前先输入一个英文半角下的单引号(’)。
14 图5-4 存放结果的F1单元格
15 图5-5 公式的输入
16
Excel中的每个函数由函数名及参数组成，其中函数名表 示了函数的功能。函数名的后面紧跟一对圆括号，其中是函 数要进行计算需要的参数。最常用的基本函数有：SUM()、 AVERAGE( )、MAX( )、MIN( )、COUNT( )和IF( )6个函数。 输入函数最好使用系统工具栏或菜单，避免输入错误的函数 名。在使用函数过程中要掌握参数输入、修改的方法。如上 例，选中存放结果的单元格F1，单击 “ ”工具下拉按钮选择求平均值的函数AVERAGE()，观察 图5-6和图5-7可以看出，
11 图5-3 “单元格格式”对话框
12
2. 公式、函数、单元格的使用 Excel作为电子表格软件，除了用于进行一般的表格处理 外，最主要的还是它的数据计算和数据处理能力。使用公式 有助于分析工作表中的数据，所以公式的基本概念和使用是 必须掌握的。在Excel中，使用公式的规则是：输入公式时必 须以等号(=)开头，可以在选中的存放运算结果的单元格中输 入公式，也可以在编辑栏中输入公式；“=”后面可以是数字、 函数单元格名称和运算符号，可以使用括号以确定运算优先 级；
29 图5-12 汇总原始表
30 图5-13 排序图示
31 图5-14 “分类汇总”对话框
32
4. 图表制作 在Excel中图表是指将工作表中的数据用图形表示出来。 用图表可以表示出数据间的某种关系。制作图表时要把握两 点：一是使用图表向导确定图表数据源时，要明确制作图表 需要哪些数据源，在选取这些数据源时要把它们各自的标志 区也同时选中，还要注意系列产生在行还是列(简单地说就是 图表的数据内容和图例交换位置)；二是图表制作完成后的编 辑修改过程，要先确定操作对象再进行编辑设置操作。
第五章.等参数单元
母单元 首先，根据形函数的定义，在局部坐标中，建立起几何形 状简单且规整的单元，我们称之为母单元。
1. 一维母单元 采用局部坐标ξ，单元为直线段，即。具体形式如下： 1） 线性单元（2结点）
1 2 1 2
1 -1 0 (a) 线 性 单 元
2 1
N1
N2
2） 二次单元（3结点）
(8-14)
其中， N是用局部坐标表示的形函数，(x,y)是结点i 的整体坐标，上式即为平面坐标变换公式。
返回
图5-4表示了一维单元的坐标变换。原来的直线状的母单 元分别变换成了直线、二次曲线和三次曲线状的子单元，这是 因为变换式中的形函数Ni分别是ξ的一次、二次和三次函数。
y
3 1 2
1 -1
(8-19)
返回
其中，[J]-1是[J]的逆阵
y 1 J x
3. 三维母单元 三维母单元是坐标系中的2×2×2正六面体
1 1 1 1 1 1
如图5-3所示，坐标原点在单元形心上，单元边界是六个平面。 单元结点在角点及各边的等分点上。 1) 线性单元（8结点） 5 8
13
5
16
15 14
8
6
1
这正方形单元的位移模式是：
而其中形函数为：
由图（b）可知
• 假如图 (a)中的任意四边形单元能用上式的位移 模式及形函数进行计算，则前面所提的位移连续 性条件就可以得到满足，所以问题归结为：如何 将任意四边形单元的整体坐标(x，y)，变换成正 方形单元的局部坐标( , )。
根据形函数的两条性质：
2
图5-2 以上形函数也可以合并表示为 1 1
有限元分析第五章(第一部分)
第五章 等(Isoparametric Elements)在前面的章节中我们已经认识了三角形单元和矩形单元。
这两种单元的边均为直边，用直边单元离散曲边的求解域势必要用更多的单元数才能较准确地描述实际边界。
本章将要介绍的等参数单元是目前应用最广的一类单元，可用这类单元更精确的描述不规则的边界。
这类单元的出现不仅系统的解决了构造协调位移单元的问题，而且自然坐标系的描述方法也广泛为其他类型的单元所采用。
等参数单元在构造形函数时首先定义一个规则的母体单元（参考单元），在母体单元上构造形函数，再通过等参数变换将实际单元与母体单元联系起来。
变换涉及两个方面：几何图形的变换（坐标变换）和位移场函数的变换，由于两种变换采用了相同的函数关系（形函数）和同一组结点参数，故称其为等参数变换。
§5-1四结点四边形等参数单元１、母体单元 自然坐标和形函数母体单元ê ：边长为２的正方形，自然坐标系ξ，η 示于图5-1。
取四个角点为结点，在单元内的排序为１、２、３、４。
仿照矩形单元，可定义出四个形函数显然有如下特点：（i ）是ξ，η的双线性函数 （ii ）(iii)２、实际单元与母体单元之间的坐标变换（１） 坐标变换设xy 平面上的实际单元e 由母体单元经过变换F 得到，即 且规定结点（ξi ，ηi ）与结点（x i , y i ）对应（i =1~4）。
这样的变换不只一个，利用（5-1-1）定义的形函数即可写出这种变换中的一个１图5-1 ())4~1()1(141),(=++=i N i i i ηηξξηξ),(ηξi N ⎩⎨⎧=≠=i j i i N ij i 当 当 ＝10),(δηξ),(ηξi N 1)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41)1)(1(41),(41≡+-++++-++--=∑=ηξηξηξηξηξi i N e e F →： (5-1-2) (5-1-1) ii i i i i y N y x N x ⋅=⋅=∑∑==4141),(),(ηξηξ(5-1-3)（5-1-3）所定义的变换有如下特点：x , y 是ξ，η的双线性函数。
有限元分析与应用 第6讲、等参单元
i
我们可以看到,位移插值函数公式(3)和 坐标变换公式(4)具有完全相同的形式,它们 用同样数目的对应节点值作为参数,并有完 全相同的形状函数 N (ζ ,η ), 作为这些节点 值前面的系数,我们称具有这种特点的单元 为等参数单元
i
等参变换步骤: 等参变换步骤
1找变换 x = x(ξ ,η ), y = (ξ ,η ) ,使x0y面上的任意四边形变成在 上的边长为2的正方形.
1 4 1 4 1 4 1 4
(1 − ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 + η ) (1 − ξ )(1 + η )
利用节点处得（ξ,η）坐标，上式可以写成统一得形式:
1 Ni (ξ ,η ) = (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) 4
其中（ξi,ηi）为
ξoη 面
2在 ξoη 面上构造多项式插值函数 N k (ξ ,η ) 满足µ = ∑ N k (ξ ,η )µ k
3再变回xoy即: µ = ∑ N k (ξ ( x, y ) η ( x, y ))µ k = ∑ N k ( x, y )µ k 由于在 ξoη 面交界两测 u是连续的,xoy 面上也同样连续,但现在 N k (x, y )已经不 再是x,y的多项式了.
等参数单元平面问题变换的有限元格式
前面讲的建立有限元计算格式的推导过程中,前几步的主要 目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数,或求出单元形 状函数,后几步的主要目的是求出单元刚度矩阵,然后是用已知节 点位移计算应力。对于等参数单元,上面得到了四节点四边形等 参数单元的形状函数,下面主要讨论单元刚度矩阵的形成。 单元应变—单元位移—节点位移之间的关系. 由平面问题几何方程和位移插值公式(3)有:
我们可以看到,位移插值函数公式(3)和 坐标变换公式(4)具有完全相同的形式,它们 用同样数目的对应节点值作为参数,并有完 全相同的形状函数 N (ζ ,η ), 作为这些节点 值前面的系数,我们称具有这种特点的单元 为等参数单元
i
等参变换步骤: 等参变换步骤
1找变换 x = x(ξ ,η ), y = (ξ ,η ) ,使x0y面上的任意四边形变成在 上的边长为2的正方形.
1 4 1 4 1 4 1 4
(1 − ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 − η ) (1 + ξ )(1 + η ) (1 − ξ )(1 + η )
利用节点处得（ξ,η）坐标，上式可以写成统一得形式:
1 Ni (ξ ,η ) = (1 + ξiξ )(1 + ηiη ) 4
其中（ξi,ηi）为
ξoη 面
2在 ξoη 面上构造多项式插值函数 N k (ξ ,η ) 满足µ = ∑ N k (ξ ,η )µ k
3再变回xoy即: µ = ∑ N k (ξ ( x, y ) η ( x, y ))µ k = ∑ N k ( x, y )µ k 由于在 ξoη 面交界两测 u是连续的,xoy 面上也同样连续,但现在 N k (x, y )已经不 再是x,y的多项式了.
等参数单元平面问题变换的有限元格式
前面讲的建立有限元计算格式的推导过程中,前几步的主要 目的是求出以节点位移表示的单元位移插值函数,或求出单元形 状函数,后几步的主要目的是求出单元刚度矩阵,然后是用已知节 点位移计算应力。对于等参数单元,上面得到了四节点四边形等 参数单元的形状函数,下面主要讨论单元刚度矩阵的形成。 单元应变—单元位移—节点位移之间的关系. 由平面问题几何方程和位移插值公式(3)有:
有限元第5章-等参数单元
5 等参数单元 5-1 等参数单元的引入 三角形单元内的应力为常量，不同单元的应力互
不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
2021/8/14
1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
2021/8/14
27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
2021/8/14
4
4
x
i1
Ni , xi
2021/8/14
30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
i 1
4
N
i
,
y i
i 1
4
i 1 4
i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
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不相同，提高精度的方法： （1）减小单元尺寸； （2）提高单元插值函数的阶次。 为了适应不规则边界，要求用曲边单元。 基于以上原因，引入等参数单元。
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1
5-2 四节点四边形等参数单元
四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
2021/8/14
27
利用
x
, y
的表达式，可以将形状函数 Ni,
对整体坐标x,y的偏导数，转换成对局部坐标 ,
的偏导数。
例如 其中
Ni
Ni y
Nxi J1N i J1x
xyN N ii
y
4
4
y
i1
Ni ,yi
,
y
i1
Ni ,yi
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4
4
x
i1
Ni , xi
2021/8/14
30
为此，展开雅可比矩阵
x
J
x
y
y
4 i 1 4 i 1
N N
i
i
, ,
xi xi
4
N
i
,
y i
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4
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,
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i 1
i
4
i
4
1 i 1 i
xi xi
4
i 1
4
i 1
i
4
i
4
1 1
i i
234 678
或者
, f,
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B1
B2
B3
1 e e e B4 2 e B 3 e 4
第5步：单元应力—应变—节点位移的关系 由平面问题的物理方程，有 第6步：节点力—节点位移间的关系 由虚功原理，可得节点力于节点位移间的关系式 e T (e) F B D B dV V ( e ) 对于平面问题有 e T e (e) (e) F B D B tdxdy K S ( e )
u1 v 1 1 e u 2 e 2 v 2 e 3 u 3 e v3 4 u 4 v 4
A
e
其中
1
N 3 N 1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 x x x x N 3 N 1 N 2 N 4 v1 v2 v3 v4 y y y y N 1 u N 2 u N 3 u N 4 u N 1 v N 2 v N 3 v N 4 v 3 4 1 2 3 4 y 1 y 2 y y x x x x u1 v N 1 1 N 3 N 2 N 4 0 0 0 0 u 2 x x x x v N N N N 3 1 2 4 2 0 0 0 0 y y y y u 3 N N 1 N 2 N 2 N 3 N 3 N 4 N 4 v 1 3 x y x y x y x y u 4 v 4
N 1 x 0 N 1 y
0 N 1 y N 1 x
N 2 x 0 N 2 y
0 N 2 y N 2 x
N 3 x 0 N 3 y
0 N 3 y N 3 x
N 4 x 0 N 4 y
u1 v 1 0 u 2 N 4 v 2 y u 3 N 4 v 3 x u 4 v 4
e u1
v1 u2
v2
u3 v3 u4
v4
或
其中
4 u N i , u i i 1 4 v N i , vi i 1
1 N 1 , 4 1 1 1 N 2 , 1 1 4 1 N 3 , 1 1 4 1 1 1 N , 4 4
1,1
4
1,1
3
1
2
1, 1
1, 1
为此，首先讨论局部坐标系下的位移插值函数、 形状函数和收敛性条件，然后再讨论具体的坐 标变换。 根据前述，矩形单元四个节点的位移值，就是原 四节点四边形单元的节点处的位移值。因此， 局部坐标系下的矩形单元内任意一点的位移可 以表示为
边界为线性函数，该线性函数可以由边界上的两 个节点坐标完全确定。因此，保证了相邻单元 的公共边界既不开裂，也不重叠。 对于矩形单元中的点也可同样证明（提示：用通 过矩形单元中任意点的水平或垂直的直线在总 体坐标系和局部坐标系中的对应关系来证明）。 我们看到：矩形单元的插值函数对于场变量和坐 标变换完全一样，故称之为的等参数单元。如 果两者不一样，就称为超参元或亚参元。在此 不予介绍。
写成统一的形式
1 N i , 1 i 1 i , i 1,2,3,4 4 1 ,1 1,1, 2 , 2 1,1 其中 i , i 为：
3 ,3 1,1, 4 , 4 1,1
4 x N i , xi i 1 4 y N i , yi i 1
现证明如下： 从四边形到矩形的坐标变换是点点对应，并能保 证相邻单元的几何相容（前面的位移插值可以 看成是位移相容）。所谓几何相容，即是指总 体坐标系下的两四边形单元在转换到局部坐标 系下的矩形单元后：（1）相邻单元的公共节点 位置重合；（2）相邻单元的公共边界不开裂， 不重叠，反之亦然。 关于（1）因为 Ni i ,i 1, Ni j , j 0, i j ， 所以相邻单元的公共节点位置重合； 关于（2）：局部坐标系下的矩形单元边界上的 或 保持常数，转换到总体坐标系下后，
x, y D x, y DB
e
其中
K B DB tdxdy
(e) T S (e)
积分区域为四节点四边形单元四条边所围成的区 域。 需要积分。遇到的问题： K (e) （1） B 不是常量，不能提到积分号外面来； （2） N 是基于局部坐标而建立的，而B 涉 及 N i N i , x y 。
或者
u 1 2 3 4 v 5 6 7 8
, f ,
将
e
和节点坐标 1,1, 1,1, 1,1, 1,1 带入位移插值 函数表达式，可得
形函数的性质： （1） Ni i ,i 1, Ni j , j 0, i j 保证位 移在节点连续。又因为是双线性单元，故也保 证在边界连续。 4 （2） N i , 1 保证单元包含刚体位移。 i 1 这两条性质，保证了解的收敛性。
下面讨论坐标变换。 可以证明：视整体坐标系下的四节点四边形单元 的节点坐标值为“位移值”，采用与矩形单元 内任意一点的插值函数完全相同的插值方式， 就可以满足坐标变换的相容性（几何相容性）， 即
2 3 4 5 6 7 8 T
解上面的方程 从而 其中
N1 N , 0 0 N1 N2 0 0 N2 N3 0 0 N3 N4 0 0 N4
T
A1 e
1 e e
, f , A N ,
5-2 四节点四边形等参数单元 四节点四边形单元的位移插值函数可以写成（以 x方向的位移插值函数为例）
u 1 2 x 3 y 4 xy
对于边界来讲，将
Y AX B
带入上式，经简化可得
u DX EX F
2
上式中有三个待定系数，由所在单元的节点场变 量值确定，但是不能由这个单元的这条边界的 两个节点的场变量值唯一确定，因此相邻两单 元在同一边界上的位移表达式并不一致，使相 容性条件不能得到满足。 这种情况该怎样处理？
u 4 N i , u i x i 1 x x 4 v x, y y N , v i i y y i 1 4 4 xy u v N , u N , v i i i y x y i x i 1 i 1
即：使四节点四边形单元满足解的收敛性的途径 是 （1）将四边形通过坐标变换，转化为矩形单元； （几何相容） （2）以四边形节点位移值作为矩形单元的节点 位移值。（收敛性要求） 以上两条结合，即可保证四节点四边形单元的几 何相容性和有限元解的连续性。
在建立四边形和矩形单元的坐标变换关系时应注 意：四边形单元定义在总体坐标系中，而矩形 单元定义在局部坐标系中。坐标系的变换是一 个四边形单元到一个矩形单元的变换。矩形单 元的局部坐标系，仅仅适用于每个要变换的单 元。
4 N i , ui x i 1 4 N i , vi y i 1 4 4 N , u N , v i i i y i x i 1 i 1 N 3 N1 N 2 N 4 u1 u2 u3 u4 x x x x N N1 N N v1 2 v2 3 v3 4 v4 y y y y N1 u N 2 u N 3 u N 4 u N1 v N 2 v N 3 v N 4 v y 1 y 2 y 3 y 4 x 1 x 2 x 3 x 4
u EY F
上式只含有两个未知参数，由边界上的两个节点 的位移值唯一确定。
可见矩形单元的特点： （1） 矩形单元满足相容性条件。 （2）含有一次项和常数项，故也满足收敛性条 件。 （3）单元插值函数含有交叉项xy，比三节点三 角形单元的阶次要高。 如果通过坐标变换，将任意四边形单元变换成矩 形单元，只要在坐标变换中，任意四边形单元 与矩形单元之间的点是一一对应的（称为坐标 变换的几何相容性），而变换后的位移插值函 数又满足解的收敛性条件，这两条合在一起， 就能保证任意四边形在原坐标系中满足解的收 敛性条件。
5-3 等参数单元平面问题的有限元格式 前述有限元求解的七个步骤中 第1~3步：形成插值函数； 第4~6步：求出单元刚度矩阵，并集成求解； 第7步：用已知节点位移计算应力。 对于等参元，已经得到四边形四节点的等参数单 元的形状函数。下面主要讨论单元刚度矩阵的 形成，即上述中的4~6步。
一 等参数单元刚度矩阵 第4步：单元应变—单元位移—节点位移的关系 由平面问题几何方程和位移插值函数，有
我们知道，矩形单元满足相容性条件。 以图示为例。它有四个节点，各条边与总体坐标 轴平行。单元内任意一点的位移插值函数可以 包含四个待定系数
u 1 2 x 3 y 4 xy
y
x
在矩形单元的任意一条边上，把该边的方程
Y A
或
X B
u CX D
带入上式，总可以得到 或
（3）上述积分区域是总体坐标系下的，不是局 部坐标系下的。
为了能够计算上式，可以 （1）从局部坐标系向总体坐标系转换； 也可以 （2）从总体坐标系向局部坐标系转换。 统一之后，再积分。 (e) K 比较方便的做法：把 的积分从总体坐标系 向局部坐标系转换。 下面讨论坐标变换。