高考备考 均值不等式和柯西不等式 含历年高考真题
柯西不等式高考题精选
柯西不等式高考题精选1.（2013 年湖北）设 x.zeR,且满足：/ + / + 22=1, x + 2y+ 3z = V14,则x+y + z=.【答案】半2.（2013年陕西）已知a, b,叫,n均为正数，且a+b=1,mn=2,则（am+bn）（bm+an）的最小值为.【答案】2 f (x) = x + 11 + lx —2 | 的最小值为 a.3. [2014 •福建] 已知定义在R上的函数（1）求a的值；⑵若p, q, r是正实数，且满足p + q + r = a, 求证:p2+q:+r2^3.解：(1)因为|x+l + |x—2| | (x+1) — (x—2) |=3, 当且仅当一l〈x<2时，等号成立, 所以f(x)的最小值等于3,即a=3.⑵由⑴知p + q + r = 3,又p, q, r是正实数，所以(p' + q~ + r')(l-+l'+l/)2(pXl + qXl+rXl)'=(p + q + r)2=9,即 E+/+/23.4.[2014 •陕西]A.(不等式选做题)设a, b, m, n£R,且£ +b' = 5, ma + nb = 5,则+ 的最小值为.【答案】m5.[2014 •浙江](1)解不等式 2|x—2| — x+l|>3；(2)设正数 a, b, c 满足 abc=a + b + c, 求证：ab + 4bc + 9ac236,并给出等号成立条件. 解：(1)当 xW —1 时，2(2—x) + (x + 1) >3, 得xV2,此时x 〈一l ；当一lVx<2 时，2(2—x) — (x + 1) >3,得 xVO,此时 -l<x<0； 当 x>2 时，2(x — 2) — (x+l)>3,得 x>8,此时 x 〉8.综上所述，原不等式的解集是(-8, O)U (8, +8).(2)证明：由abc = a + b + c,得々+*+,=1.由柯西不等式， ab be caz 、得(ab + 4bc + 9ac) ~--F~ F — 2 (1 + 2 + 3)、[ab be ca ；所以ab + 4bc + 9ac236,当且仅当a = 2, b = 3, c = l 时，等号 成立.6.12015福建】已知〃>0*>0,0 0,函数/0)=1%+。
2021年高考数学考点60不等式的证明柯西不等式必刷题文含解析
考点60 不等式的证明、柯西不等式1．已知函数．（1）解不等式；（2）设函数的最小值为c，实数a，b满足，求证：．【答案】（1）；（2）见解析2．已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若的解集为，，求证：.【答案】(1)；(2)证明见解析.3．已知函数.(1)求不等式的解集；(2)设，证明: .【答案】(1) (2)见解析【解析】（1）当时，恒成立，所以；当时，，所以，综合可知，不等式的解集为.4．设函数，（实数）（1）当，求不等式的解集；（2）求证：.【答案】（1）；（2）【解析】（1）原不等式等价于，当时，可得，得；当时，可得，得不成立；当时，可得，得；综上所述，原不等式的解集为5．已知函数，关于的不等式的解集记为. （1）求；（2）已知，，求证：.【答案】（1）（2）见解析【解析】（1）由，得，即或或解得或，所以，集合.（2）证明：∵，，∴，∴，，，∵，∴.6．已知，且，证明：（1）；（2）.【答案】（1）见解析（2）见解析7．关于的不等式的解集为.（1）某某数的值；（2）若，且，求证：. 【答案】（1）1（2）见解析【解析】8．已知函数，.（1）解不等式；（2）设，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得原不等式为，等价于或或，解得或或，综上可得．∴原不等式的解集为．（2），当且仅当时等号成立．9．已知实数x, y满足.（1）解关于x的不等式；（2）若，证明：【答案】（1）；（2）9（2）且，.当且仅当时，取“=”.10．已知，且.（1）若恒成立，求的取值X围；（2）证明：.【答案】(1);(2)见解析.当时，，解得，故；综上，.（2），，.11．已知函数.（1）解不等式；（2）若对任意恒成立，求证：. 【答案】(1) ；(2)证明见解析.因为对任意恒成立，所以，又，所以．12．已知，不等式的解集是.（1）求集合；（2）设，证明：.【答案】（Ⅰ）. （Ⅱ）见解析.13．已知函数()21f x x x =+--. （1）求不等式()2f x ≥的解集；（2）记()f x 的最大值为k ，证明：对任意的正数a ，b ，c ，当a b c k ++=a b c k ≤成立.【答案】(1) 1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭;(2)见解析.14．已知实数,,a b c 满足()4a b c +=，证明： （1）()2228a b c +≥； （2）22228a b c ++≥. 【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）由()4a b c +=，得()2216a b c +=， 所以()222216a b bc c ++=， 即222162b bc c a ++=. 因为()222222b bc c b c ++≤+，当且仅当b c =时，取等号， 所以()222162b c a≤+， 所以()2228a b c ≤+，15．已知，．（1）求的最小值（2）证明：． 【答案】（1）3；（2）证明见解析． 【解析】（1）因为，，所以,即，当且仅当时等号成立，此时取得最小值3．（2）．16．已知函数()2F x x m x =-++的图象的对称轴为1x =.（1）求不等式()2F x x ≥+的解集；（2）若函数()f x 的最小值为M ，正数a ，b 满足a b M +=，求证：12924a b +≥. 【答案】(1) ][(),04,-∞⋃+∞ (2)见解析17．已知函数()23f x x x m =---R ；（1）某某数m 的取值X 围；（2）设实数t 为m 的最大值，若实数a ，b ，c 满足2222a b c t ++=，求222111123a b c +++++的最小值.【答案】（1）3m ≤-；（2）3518．已知函数()31f x x x =++-的最小值为m ． （1）求m 的值；（2）若0a >，0b >，a b m +=，求证1494a b +≥． 【答案】（1）4m =（2）见解析【解析】（1）()31314f x x x x x =++-≥++-=，取等号时，()()310x x +-≥，即31x -≤≤，故m=4．（2）由（1）a+b=4，所以14145444a b a b a b a b b a +⎛⎫⎛⎫+=+=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭． 因为2144a b a b b a b a +≥⋅=，取等号时，4a b b a =，因为a+b=4，所以a=43，83b =．故1494a b +≥． 19．（1）已知函数()3,f x x a x a R =--+∈.若[]0,3x ∈时，()4f x ≤，某某数a 的取值X 围； （2）已知,,a b c R +∈，且1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥. 【答案】(1）[－7，7]（2）见解析【解析】、（1）当[]0,3x ∈时，()4f x ≤即7x a x -≤+，由此77x x a x -≤-≤+在[]0,3上恒成立，故得7a ≥-且27a x ≤+．当[]0,3x ∈时，27x +的最小值为7，所以a 的取值X 围是[]7,7-． （2）因为()()()2220a b a c b c -+-+-≥，所以222a b c ab bc ac ++≥++，所以()2223a b c ∴++≥()21a b c ++=，故22213a b c ++≥.20．已知函数f(x)=x+2,g(x)=2-2x, （Ⅰ）若，且恒成立，某某数的取值X 围； （Ⅱ）若，求的最大值．【答案】(1);(2).21．已知函数.（1）解不等式；（2）记函数的最小值为，若，，均为正实数，且，求的最小值.【答案】(1)（2）22．选修4-5：不等式选讲（1）已知，都是正实数，且，求的最小值；（2），，求.【答案】(1);(2)见解析.【解析】（1）由柯西不等式得，当且仅当时取等号；∴，∴的最小值为.（2）. 23．已知函数．（Ⅰ）若，且恒成立，某某数的取值X围；（Ⅱ）若，求的最大值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.24．已知函数的最小值为（，，为正数）.（1）求的最小值；（2）求证：.【答案】（1）36；（2）见解析.【解析】（1）∵（当且仅当时取等号），由题意，得.根据柯西不等式，可知，∴.∴的最小值为36.（2）∵，，，∴，∴.25．已知a，b，c均为正数，且a＋b＋c＝1，则的最大值为________．【答案】。
2024年高考数学高频考点(新高考通用)柯西不等式(精讲+精练)解析版
【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。
比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。
4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。
【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式(含解析)
专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数22()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值.2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是()*n S n N ∈，11a=且1102n n n S S a -⋅+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式（Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈，不等式231111111n S S S +⋅>---3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,a b 满足2ab +=.(Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围. 4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数，且1λ≠).(1)求数列{}n a 的通项公式及λ的值； (2)设11nn k kC T ==∑.求证：当*n N ∈时，14nn C S ≤. 5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x 的解集；（2）若存在实数0x ，使得()205f x m m +-成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足33a b M +=，证明：02a b <+.6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()ln x e f x x xλλ-=-.（Ⅰ）当12λλ=时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当11λ=，20λ=时，()nf m e =，其中,(0,)m n ∈+∞，证明：20m n -<.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数()2121f x x x =++-，且不等式()4f x ≤的解集为M. (1)求M ；(2)若,x M y M ∈∈，求证：111x yy x+≤++． 8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,f x x a x a R =-+∈.（1）若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值.9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b cc b a+++++≥.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值； （2）设g （x ）＝f （x 12+）+f （x ﹣1），g （x ）的最大值为t ，若正数m ，n 满足m +n ＝t ，证明：49256m n +≥．11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式2124x x -++<的解集为M ． (1)求集合M ；(2)已知,a b M ∈，求证：()1a b ab -<-．12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，*n N ∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±；（Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c 满足122,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k ，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()ln(3121)f x x x =---+. （I ）求函数()f x 的定义域D ；（II ）证明：当,a b D ∈时，|||1|a b ab +<+.14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲 （1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->.15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》 设,,0a b c >，且1ab bc ca ++=.求证：（1）a b c ++≥（23()b c a b c ac ab.16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解.（1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数mn p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数()223f x x x =++-．()1解不等式：()7f x ≥；()2记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122mn+≥．18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．19．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：不等式选讲 设正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证：32a b c b c c a a b ++≥+++. 20．（湖南省衡阳市2019届高三第三次联考三模（理）已知不等式2231x x -->的解集为 A ． （1）求A ；（2）若,m n A ∈，且4m n +=．证明：22811n m m n +≥--21．（江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二)数学试题含附加题）已知正数a ，b ，c 满足a ＋b＋c ＝2，求证：2221a b c b c c a a b++≥+++．22．（陕西省西安地区陕师大附中、西安高级中学等八校2019届高三4月联考数学理）已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围. 23．（安徽省江淮十校2019届高三第三次联考理）已知函数()|2|f x x a a =-+.（1）若对任意的[2,3]x ∈-，恒有()6f x 成立，求实数a 的取值范围；（2）设()|2|g x x b =+，且0a >，0b >时函数()()yf xg x 的最小值为3，求2242a b b a+的最小值. 24．（江苏省南通市2019届高三下学期4月阶段测试）已知,,a b c 均为正数，且243a b c ++=，求111111a b c +++++的最小值，并指出取得最小值时,,a b c 的值． 25．（贵州省2019年普通高等学校招生适应性考试理）已知函数()54f x x x =+--. （1）解关于x 的不等式()1f x x ≥+；（2）若函数()f x 的最大值为M ，设a ，b 为正实数，且()()11a b M ++=，求ab 的最大值. 26．（辽宁省凌源市2019届高三第一次联合模拟考试数学理）已知函数4,()f x x a x a R =-+∈． (Ⅰ)若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；(Ⅱ)设实数m 为(Ⅰ)中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值． 27．（山东省潍坊市2019届高三下学期高考模拟一模考试数学理）已知函数()121f x x x =--+的最大值为t .（1）求实数t 的值；（2）若()()21g x f x x =++，设0m >，0n >，且满足112t m n+=，求证：(2)(2)2g m g n ++≥.专题70 不等式的证明、柯西不等式与均值不等式1．（广西桂林市，贺州市，崇左市2019年高三下学期3月联合调研考试数学理）选修4-5：不等式选讲 设函数22()|||2|(,)f x x a x b a b R =-++∈. （1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集； （2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值. 【答案】（1）13(,][,)22x ∈-∞-⋃+∞；（2）【解析】（1）因为1a =，0b =，所以()1f x x x =-+， 当0x <时，1122x x x --≥⇒≤-，∴12x ≤-.当01x ≤<时，12x x x φ-+≥⇒∈； 当1x ≥时，3122x x x -+≥⇒≥，∴32x ≥.综上所述：][13,,22x ⎛⎫∈-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭. （2）∵2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=， 又根据柯西不等式知2a b +≤=a b =时取等号），故2+ab 的最大值为2．（天津市耀华中学2019届高三第二次校模拟考试数学理）已知数列{}n a 的前n 项和是()*n S n N ∈，11a=且1102n n n S S a -⋅+= （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式 （Ⅱ）求证：对任意的*n N ∈，不等式231111111n S S S +⋅>---【答案】（Ⅰ）()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩；（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）∵11a =且1102n n n S S a -⋅+=，即()()111022n n n n S S S S n --⋅+-=≥ 112n n n n S S S S --⋅=-两边同除以1n n S S -⋅得1112n n S S -=- ∴数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，以2为公差的等差数列． ∴()112121n n n S =+-=-，∴121n S n =-， 当1n =时，11a =当2n ≥时，()()()1112212112123n n n a S S n n n n --=-=-=----- ∴()()2,221231,1n n n n a n -⎧≥⎪--=⎨⎪=⎩．（Ⅱ）112112n n S n++=- 设数列{}n c 的前n项积为n T =，则)12n n n T c n T -==≥ 经检验1n =时也成立要证不等式231111111n S SS +⋅>---只需证不等式212n n +>两边平方即为2244114n n n n n+++>即证2244144n n n n ++>+，显然成立． 3．（山东省威海市2019届高三二模考试数学理）已知正实数,a b 满足2ab +=.(Ⅰ)(Ⅱ) 若对任意正实数,a b ，不等式|1||3|x x ab +--≥恒成立，求实数x 的取值范围.【答案】(Ⅰ)见解析.(Ⅱ) 3[,)2+∞. 【解析】(Ⅰ)22()262()212a b a b =+++≤+++=(Ⅱ)对正实数,a b 有2a b ab +，所以2≤，解得1ab ≤，当且仅当a b =时等号成立． 因为对任意正实数,a b ，|1||3|x x ab +--≥恒成立， 所以|1||3|1x x +--≥恒成立．当1x ≤-时，不等式化为1(3)1x x ----≥，整理得41-≥，所以不等式无解； 当13x时，不等式化为1(3)1x x +--≥，解得332x ≤≤；当3x ≥时，不等式化为1(3)1x x +--≥，整理得41≥，不等式恒成立． 综上可得x 的取值范围是3[,)2+∞．4．（天津市2019年3月九校联考高三数学理）已知数列{}n a 是公比为12的等比数列，且21a -是1a 与31a +的等比中项，其前n 项和为n S ；数列{}n b 是等差数列，18b =，其前n 项和n T 满足1n n T n b λ+=⋅(λ为常数，且1λ≠).(1)求数列{}n a 的通项公式及λ的值； (2)设11nn k kC T ==∑.求证：当*n N ∈时，14nn C S ≤. 【答案】(Ⅰ)12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，12λ=；(Ⅱ)证明见解析.【解析】(Ⅰ)由题意可得()()221311a a a -=+，即2111111124a a a ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得112a =，故数列的通项公式为12nn a ⎛⎫= ⎪⎝⎭. ()()1223188822162828n T b d b n T b d d d λλλλλ⎧⎧==+=⎧⎪⎪⇒⇒⇒=⎨⎨⎨=+=+⎪⎩⎩⎪=⎩. (Ⅱ)结合(Ⅰ)的结果可知：()()188412n n n n T n b n n λ++=⋅==+，则111141n T n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭， 121111111111114223141n n C T T T n n ⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++=- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 1111442nn S ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，14nn C S 1111114142nn ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⇔-- ⎪ ⎪⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭12n n ⇔+， 当n =1时，21n n =+；当n >1时，()01211111nn nn n n C C C n n =+=+++=+++>+.故题中的结论成立.5．（山西省太原市2019届高三模拟试题一理）已知函数()|21|2|1|f x x x =-++. （1）求不等式()5f x 的解集；（2）若存在实数0x ，使得()205f x m m +-成立的m 的最大值为M ，且实数a ，b 满足33a b M +=，证明：02a b <+. 【答案】(1) 3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)见证明 【解析】 （1）解：()21215f x x x =-++≤，15122x x ∴-++≤， 由绝对值得几何意义可得32x =-和1x =上述不等式中的等号成立，∴不等式()5f x ≤的解集为3,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）由绝对值得几何意义易得()1212f x x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭的最小值为3， 235m m ∴≤+-，12m ∴-≤≤，2M ∴=，332a b ∴+=，()()33222a b a b a ab b =+=+-+，220a ab b -+≥，0a b ∴+>，222ab a b ≤+，()24ab a b ∴≤+，()24a b ab +∴≤，332a b =+ ()()22a b a ab b =+-+ ()()23a b a b ab ⎡⎤=++-⎣⎦ ()314a b ≥+， 2a b ∴+≤，02a b ∴<+≤6．（河南省濮阳市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知函数12()ln x e f x x xλλ-=-.（Ⅰ）当12λλ=时，讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）当11λ=，20λ=时，()nf m e =，其中,(0,)m n ∈+∞，证明：20m n -<.【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）见解析 【解析】（Ⅰ）依题意，()0,x ∈+∞，()()()()111221'x x xxe e x ef x x xx λλλ----=-=.当11λ≤时，10xe λ->.所以当()0,1x ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. 所以函数()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增. 当11λ>时，令()'0f x =，解得1x =或1ln x λ=.若1e λ=，则()'0f x ≥，所以函数()f x 在()0,+∞上单调递增； 若11e λ<<，则1ln 1λ<，所以当()10,ln x λ∈时，()'0f x >，当()1ln ,1x λ∈时，()'0f x <，当()1,x ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()10,ln λ和()1,+∞上单调递增，在()1ln ,1λ上单调递减； 若1e λ>，则1ln 1λ>，所以当()0,1x ∈时，()'0f x >，当()11,ln x λ∈时，()'0f x <，当()1ln ,x λ∈+∞时，()'0f x >，所以函数()f x 在()0,1和()1ln ,λ+∞上单调递增，在()11,ln λ上单调递减.（Ⅱ）依题意，得()1x e f x x-=，所以1m n e e m -=.要证20m n -<，即证12n m >，即证2m n e e >，即证21mm e e m->,即证210m m e me -->，所以只需证0m >时，210mm e me -->成立即可. 令()21xx h x e xe=--，则()22=12xx x h x e e ⎛⎫-- ⎪⎝⎭.令()212xx g x e =--，则()211'0(0)22xg x e x =->>.所以()g x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00g x g >=，即2102xxe -->，所以()22'102x xx h x e e ⎛⎫=--> ⎪⎝⎭.所以()h x 在()0,+∞上单调递增.所以()()00h x h >=， 所以210mm e me -->，即20m n -<.7．（川省华文大教育联盟2019届高三第二次质量检测考试数学理）已知函数()2121f x x x =++-，且不等式()4f x ≤的解集为M. (1)求M ；(2)若,x M y M ∈∈，求证：111x yy x+≤++． 【答案】（1）[]1,1-；（2）见解析【解析】（1）解：当12x -时，不等式()4f x 变为21124x x --+-≤， 解得1-x ，此时1x -12-.当1122x -<时，不等式()4f x 变为21124x x ++-≤，此不等式恒成立，此时1122x-<.||||x y 当12x >时，不等式()4f x 变为21214x x ++-≤，解得1x ，此时112x <，综上，不等式的解集M 是[]1,1-；（2）证明：由题意，得[1,1],[1,1]x y ∈-∈-，则0||1,0||1x y ， 设||||x y ，||||||||||||1||11||1||1||1||1||1||x y x y x y y y x y y y y ++++==++++++故111x y yx+≤++8．（东北三省三校（哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2019届高三第一次模拟数学理）选修4-5：不等式选讲已知函数()|4|||,f x x a x a R =-+∈.（1）若不等式2()f x a ≥对x R ∀∈恒成立，求实数a 的取值范围；（2）设实数m 为（1）中a 的最大值，若实数,,x y z 满足42x y z m ++=，求222()x y y z +++的最小值.【答案】（1）44a -≤≤ ；（2）1621【解析】（1）因为函数()4f x x a x =-+244x a x a a ≥--=≥恒成立，解得44a -≤≤ ；（2）由第一问可知4m =，即4244()24x y z x y y z ++=⇒+-+= 由柯西不等式可得：2222222[4()2][4(2)1][()]x y y z x y y z +-+≤+-+⋅+++化简：2221621[()]x y y z ≤⨯+++即22216()21x y y z +++≥当且紧当：421x y y z+==-时取等号， 故最小值为1621．9．（重庆市南开中学2019届高三第三次教学质量检测考试数学理）已知函数()2145f x x x =++-的最小值为M . （1）求M ；（2）若正实数a ，b ，c 满足a b c M ++=，求证：2222227a b a c b cc b a+++++≥.【答案】（1）72；（2）详见解析. 【解析】解：（1）()146,21562,24564,4x x f x x x x x ⎧-<-⎪⎪⎪=--≤<⎨⎪⎪-≥⎪⎩，由于函数y=146,2x x -<-,是减函数，y=1562,24x x --≤<,是减函数，y=564,4x x -≥，是增函数， 故当54x =时，()f x 取得最小值72M =.（2）222222222a b a c b c ab ac bcc b a c b a +++++≥++b c a c a b a b c c b c a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()27a b c ≥++=.10．（广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学理）已知函数f （x ）＝|ax ﹣1|﹣|2x +a |的图象如图所示． （1）求a 的值；（2）设g（x）＝f（x1 2 +）+f（x﹣1），g（x）的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：49256m n+≥．【答案】（1）2a=；（2）见解析【解析】（1）解：由()01f=-，得11a-=-，即2a=±.由()13f-=，得123a a+--=，所以2a=.（2）证明：由（1）知()2122f x x x=--+，所以()()1123232g x f x f x x x⎛⎫=++-=--+⎪⎝⎭36,2334,2236,2xx xx⎧≤-⎪⎪⎪=--<≤⎨⎪⎪->⎪⎩，显然()g x的最大值为6，即6t=.因为6(0,0)m n m n+=>>，所以()491491491366n mm nm n m n m n⎛⎫⎛⎫+=++=++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为4949212n m n mm n m n+≥⋅=（当且仅当125m=，185n=时取等号），所以()49125131266m n+≥⨯+=.11．（河南省顶级名校2018－2019年度高三第四次联合质量测评数学理）设不等式2124x x-++<的解集为M．(1)求集合M；(2)已知,a b M ∈，求证：()1a b ab -<-． 【答案】（1）{|11}x x -<<（2）见解析 【解析】（1）原不等式等价于122124x x x ⎧≥⎪⎨⎪-++<⎩或1221224x x x ⎧-<<⎪⎨⎪-++<⎩或21224x x x ≤-⎧⎨---<⎩ 解得：112x ≤<或112x -<< 所以原不等式的解集为{}11x x -<<（2）由（1）知，当,a b M ∈时，11a -<<，11b -<< 所以21a <，21b <从而()()()()2222222211110a b ab a b a b a b---=+--=--<可得1a b ab -<-12．（北京市顺义区2019届高三第二次统练数学理）在数列{}n a 中，若221n n a a D --=（2n ≥，*n N ∈，D 为常数），则称{}n a 为“平方等差数列”． （Ⅰ）若数列{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b ==，写出34,b b 的值； （Ⅱ）如果一个公比为q 的等比数列为“平方等差数列”，求证：1q =±； （Ⅲ）若一个“平方等差数列”{}n c满足122,0n c c c ==>，设数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ．是否存在正整数,p k，使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立？若存在，求出,p k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）34b b ==Ⅱ）见解析（Ⅲ）1p k == 【解析】（Ⅰ）由{}n b 是“平方等差数列”，121,2b b == 22213D ⇒=-=于是2232437b b D =+=+=，22437310b b D =+=+=所以34b b ==（Ⅱ）设数列{}n a 是等比数列，所以11n n a a q -=（q 为公比且0q ≠）则22221n n a a q-= 若{}n a 为“平方等差数列”，则有()()22222222242211111n n n n n a a a qa q a qqD -----=-=-=因为D 为与n 无关的常数，所以21q = 即1q =±（Ⅲ）因为数列{}n c 是“平方等差数列”，122,0n c c c ==>则4D =，()()22114414n c c n D n n =+-=+-= n c ⇒=所以数列1n c ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1...2n T =+假设存在正整数,p k 使不等式112n +>⎪⎭对一切*n N ∈都成立，即)21n+++>当1n =时，)121> 94p k ⇒+<又,p k 为正整数 1p k ⇒==) (21)++>对一切*n N ∈都成立()*2n N =>=∈所以：))...21 (2)1⎡⎤++>+++=⎣⎦所以存在1p k ==使不等式1n T 对一切*n N ∈都成立13．（四川省攀枝花市2019届高三第二次统一考试数学理）[选修4-5：不等式选讲] 已知函数()ln(3121)f x x x =---+. （I ）求函数()f x 的定义域D ；（II ）证明：当,a b D ∈时，|||1|a b ab +<+. 【答案】（Ⅰ）()1,1- （Ⅱ）见证明 【解析】（Ⅰ）由31210x x ---+> 1213x x ⇒-++<1233x x ⎧≤-⎪⇒⎨⎪-<⎩或11223x x ⎧-<≤⎪⎨⎪+<⎩或133x x >⎧⎨<⎩ 112x ⇒-<≤-或112x -<<或x φ∈ 11x ⇒-<<所以函数()f x 的定义域D 为()1,1-． （Ⅱ）法一：()()()()222222221111a bab a b a b a b +-+=+--=--因为,a b D ∈，所以21a <，21b <． 故()()2210a bab +-+<，即()()221a b ab +<+所以1a b ab +<+．法二：当(),1,1a b D ∈=-时， ∴21a <，21b < ∴()()22110a b--<，即 22221ab a b +<+，∴()()2211a b ab a b ab +<+⇒+<+．14．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）选修4-5：不等式选讲 （1）如果关于x 的不等式15x x m ++-≤无解，求实数m 的取值范围； （2）若,a b 为不相等的正数，求证：0a b b a a b a b ->. 【答案】（1）(),6∞-；（2）见解析 【解析】（1）令15y x x =++-= 24,16,1524,5x x x x x -+≤-⎧⎪-<<⎨⎪-≥⎩，则当1x ≤-时，6y ≥；当15x -<<时，6y =；当5x ≥时，6y ≥，综上可得6y ≥，即156x x ++-≥． 故要使不等式15x x m ++-≤的解集是空集， 则有6m <，所以实数m 的取值范围为(),6∞-． （2）证明：由,a b 为不相等的正数， 要证0a b b a a b a b ->，即证a b b a a b a b >， 只需证1a b b aab-->，整理得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，①当a b >时，0,1a a b b ->>，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，②当a b <时，0,01a a b b -<<<，可得1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，综上可得当,a b 均为正数时1a ba b -⎛⎫> ⎪⎝⎭，从而0a b b a a b a b ->成立．15．（黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第一次模拟考试（内考)数学理）《选修4-5：不等式选讲》 设,,0a b c >，且1ab bc ca ++=.求证：（1）a b c ++≥（23()b c a b c ac ab.【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】（1）要证a b c ++≥,,0a b c >，因此只需证明()23a b c ++≥.即证：()22223a b c ab bc ca +++++≥，而1ab bc ca ++=， 故需证明：()22223a b c ab bc ca +++++≥ ()ab bc ca ++.即证：222a b c ab bc ca ++≥++.而这可以由ab bc ca ++≤ 222222222a b b c c a +++++= 222a b c ++（当且仅当a b c ==时等号成立）证得.∴原不等式成立.（2=.由于（1）中已证a b c ++≥≥.即证1，即证ab bc ca ≤++.而2ab ac+=≤，2ab bc +≤，2bc ca+≤.∴≤ ab bc ca ++（a b c ===时等号成立）.∴原不等式成立. 16．（江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考数学理）若关于x 的不等式22210x x t +---≥在实数范围内有解.（1）求实数t 的取值范围；（2）若实数t 的最大值为a ，且正实数mn p ，，满足23m n p a ++=，求证：123m p n p+++≥. 【答案】（Ⅰ） 3t ≤ （Ⅱ）见证明 【解析】解：（Ⅰ）因为22210x x t +---≥所以2221x x t +--≥ 又因为()222122213x x x x +--≤+--= 所以3t ≤（Ⅱ）由（1）可知，3a =,则方法一：()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭()41221141433223m p n p m p n p ⎛⎡⎤++ =+++≥++=⎢⎥ ++⎣⎦⎝ 123m p n p∴+≥++ 方法二：利用柯西不等式()()1211422322m p n p m p n p m p n p ⎛⎫⎡⎤+=++++ ⎪⎣⎦++++⎝⎭2133≥= 123m p n p∴+≥++ 17．（2019年四川省达州市高考理科数学一诊）设函数()223f x x x =++-．()1解不等式：()7f x ≥；()2记函数()f x 的最小值为a ，已知0m >，0n >，且2m n a +=，求证：122mn+≥．【答案】（1）][(),22,-∞-⋃+∞；（2）见解析 【解析】 解：()()1223f x x x =++-，()311513313x x f x x x x x -+<-⎧⎪∴=+-≤≤⎨⎪->⎩，①当1x <-时，不等式()7f x ≥即为317x -+≥，解得，2x ≤-，②当13x -≤≤时，不等式()7f x ≥即为57x +≥，解得23x ≤≤， ③当3x >时，不等式()7f x ≥即为317x -≥，解得3x >综上所述，不等式()7f x ≥的解集为][(),22,-∞-⋃+∞()2证明：由()1可知，4a =，24m n ∴+=，即214m n+=，()121121412442444m n m n m n m n n m ⎛⎛⎫⎛⎫∴+=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，即122m n+≥． 18．（广东省广雅中学、执信、六中、深外四校2020届高三8月开学联考数学理）已知a ，b ，c +∈R ，满足1abc =． （1）求证：()2333a b c a b c bc ac ab++≥++； （2）求证：()()()22211132a b c b a c c a b ++≥+++．【答案】（1）见解析（2）见解析 【解析】（1）左边()2223a b c =++由柯西不等式得：()()()2222111a b c a b c ++++≥++⋅（取等号的条件是a b c ==），即所以()2333a b c a b c bc ac ab++≥++，原不等式得证。
高考常用不等式
高考常用不等式
高考常用不等式是指在高考数学中常常出现的不等式。
这些不等式不仅在解题过程中有很大的用处，而且也对学生掌握数学知识有很大的帮助。
以下是一些高考常用不等式：
1、均值不等式：对于任意正实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：
其中，a1,a2,...,an的算术平均数为
2、柯西不等式：对于任意两个向量x=(x1,x2,...,xn)和
y=(y1,y2,...,yn)，有以下不等式成立：
其中，x和y的内积为
3、三角不等式：对于任意两个实数x和y，有以下不等式成立：
其中，|x|表示x的绝对值。
4、AM-GM不等式：对于任意n个正实数a1,a2,...,an，有以下不等式成立：
其中，a1,a2,...,an的几何平均数为
5、洛必达法则：对于两个函数f(x)和g(x)，若存在极限
则有以下不等式成立：
以上是高考常用不等式的一些例子。
在高考数学中，学生需要掌握这些不等式的使用方法，以便在解题过程中能够熟练运用。
同时，学生还需要理解这些不等式的证明过程，以提高自己的数学素养。
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(完整版)均值不等式高考一轮复习(教师总结含历年高考真题)
基础篇一、单变量部分1、 求)0(1>+=x xx y 最小值及对应的x 值答案当x=1最小值2 2、 2、（添负号）求)0(1<+=x xx y 最大值-23、（添系数）求)31,0()31(∈-=x x x y 最大值1214、（添项）求)2(24>-+=x x x y 最小值65、（添根号）02>≥x 求24x x y -=最大值26、（取倒数或除分子）求)0(12>+=x x x y 最大值217、（换元法）求)1(132>-+=x xxx y 最大值-9 8、（换元法）求)2(522->++=x x x y 最大值42二、多变量部分1、（凑系数或消元法）已知041>>a ，b>0且4a+b=1求ab 最大值161 2、（乘“1”法或拆“1”法）已知x>0,y>0，x+y=1求yx 94+最小值25 3、（放缩法）已知正数a ，b 满足ab=a+b+3则求ab 范围),9[+∞ 三、均值+解不等式1. 若正数a,b 满足ab=a+2b+6则ab 的取值范围是______),18[+∞_________2、已知x>0,y>0, x+2y+2xy=8则x+2y 的最小值__________4__________ 练习1. 已知x>0，y>0，且182=+yx 则xy 的最小值_______64_______ 2.)0(1324>++=k kk y 最小值_________2_________ 3. 设0≥a ，0≥b ，1222=+b a ，则21b a +的最大值为_________423_________4. 已知45<x ，求函数54124-+-=x x y 的最大值________1________ 5. 已知x>0,y>0且191=+yx 求x+y 的最小值______16__________ 6. 已知)0,0(232>>=+y x yx 则xy 的最小值是___6_____ 7. 已知a>0,b>0,a+b=2，则b a y 41+=的最小值______29________ 8. 已知+∈R y x ,且满足143=+yx 则xy 的最大值________3_______11、已知x>0,y>0,z>0,x-y+2z=0,则2y xz=_____________D_______ A 、最小值8 B 、最大值8C 、最小值81D 、最大值81注:消y12、设R y x ∈,则)41(12222y xy x +⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+的最小值是_______9_________ 13、若R b a ∈,,且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是（D ）A 、ab b a 222>+ B 、ab b a 2≥+C 、abb a 211>+ D 、2≥+b a a b 14、若a,b,c,d,x,y 是正实数，且cd ab +=P ，ydx b cy ax Q +⋅+=则有（C ）A 、P=QB 、Q P ≥C 、Q P ≤D 、P>Q15、已知25≥x 则4254)(2-+-=x x x x f 有（D ）A 、有最大值45 B 、有最小值45 C 、最大值1 D 、最小值116、建造一个容积为83m ，深为2m 的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价分别为每平方米120元和80元，那么水池的最低总造价为1760元 17、函数y=x(3-2x))10(≤≤x 的最大值为89 18、函数1)(+=x xx f 的最大值是（C ）A 、52B 、21C 、22D 、119、已知正数x,y 满足141=+yx 则xy 有（C ）A 、最小值161B 、最大值16C 、最小值16D 、最大值16120、若-4<x<1，则当22222-+-x x x 取最大值时，x 的值为（A ）A 、-3B 、-2C 、-1D 、021、若122=+yx ，则x+y 的取值范围是（D ） A 、[0,2] B 、[-2,0] C 、),2[+∞- D 、]2,(--∞22、某商场中秋前30天月饼销售总量f(t)与时间t(300≤<t )的关系大致满足1610)(2++=t t t f 则该商场前t 天月饼的平均销售量最少为18 23、已知点P （x,y ）在直线x+3y-2=0上，那么代数式yx273+的最小值是6提高篇一、函数与均值 1、)2(21>-+=a a a m ,)0(2122<⎪⎭⎫ ⎝⎛=-x n x 则m,n 之间关系_____m ≥n______________2、 设x ≥0,x x P -+=22,2)cos (sin x x Q +=则（ C ） A 、Q P ≥ B 、Q P ≤ C 、P>Q D 、P<Q3、已知函数()x a x f 21+-=若()02≥+x x f 在()+∞,0上恒成立，则a 的取值范围是__),41[)0,(+∞⋃-∞_4、若对任意x>0,a x x x≤++132恒成立，则a 的取值范围是_______51≥a ____________5、函数xxxy 2log 2log +=的值域_______),3[]1,(+∞⋃--∞___________ 6、设a,b,c 都是正实数，且a,b 满足191=+ba 则使cb a ≥+恒成立的c 的取值范围是_D__A 、]8,0(B 、（0,10] C(0,12] D 、（0,16] 7、已知函数())1,0(log 1)1(≠>+=-a a ax f x 的图象恒过定点P ，又点P的坐标满足方程mx+ny=1,则mn 的最大值为_________81_____________ 8、已知函数()()),0(22+∞∈++=x xax x x f⑴当21=a 时，求f(x)的最小值答案：22+⑵若对任意),0(+∞∈x ，f(x)>6恒成立，求正实数a 的取值范围___a>4__ 9、0)1(42>-++x k x 对]3,1[∈x 恒成立，求k 的范围 10、若a+b=2则ba33+的最小值为______6___________11、设x,y,z 均为大于1的实数，且z 为x 和y 的等比中项，则yzx z lg lg lg 4lg +的最小值为A A 、89 B 、49 C 、29D 、9 12、已知a>1，b>1，且lga+lgb=6，则b a lg lg ⋅的最大值为（B ）A 、6B 、9C 、12D 、1813、R y x ∈,且x+y=5,则yx33+的最小值为（D ） A 、10 B 、36 C 、64 D 、31814、设a>0,b>0,若3是a 3与b3的等比中项，则ba 11+的最小值为（B ） A 、8 B 、4 C 、1 D 、4115、函数)1,0(1≠>=-a a ay x的图象恒过点A ，若点A 在直线mx+ny-1=0（mn>0）上，则nm 11+的最小值为4 16、当x>1时，不等式a x x ≥-+11恒成立，则实数a 的取值范围是（D ）A 、]2,(-∞B 、),2[+∞C 、),3[+∞D 、]3,(-∞17、函数)1,0(1)3(log ≠>-+=a a x y a 的图象恒过定点A ，若点A 在直线mx+ny+2=0上，其中m>0,n>0,则nm 12+的最小值为（D ） A 、22 B 、4 C 、25 D 、29二、数列与均值1、已知x>0,y>0，x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则cdba2）（+的最小值是__4_2、已知等比数列{a n}中a2=1，则其前3项的和S3的取值范围是。
近五年(2017-2021)高考数学真题分类汇编14 不等式选讲【含答案】
又 在 的最小值必为 与 之一，所以 且 ，得 .
所以 的取值范围为 .
小结:形如 (或 )型的不等式主要有两种解法：
(1)分段讨论法：利用绝对值号内式子对应方程的根，将数轴分为 ， ， (此处设 )三个部分，将每部分去掉绝对值号并分别列出对应的不等式求解，然后取各个不等式解集的并集．
（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）＝f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1＜x＜2、x≥2三类讨论，可求得g（x）max ，从而可得m的取值范围．
【解析】
解：（1）∵f（x）＝|x+1|﹣|x﹣2| ，f（x）≥1，
∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；
当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；
【解析】
（1）当 时， .
当 时， ，解得： ；
当 时， ，无解；
当 时， ，解得： ；
综上所述： 的解集为 或 .
（2） （当且仅当 时取等号），
，解得： 或 ，
的取值范围为 .
【小结】
本题考查绝对值不等式的求解、利用绝对值三角不等式求解最值的问题，属于常考题型.
4．（1）解析解析；（2） .
【分析】
【解析】
（1）
当且仅当 时取等号
，即：
（2） ，当且仅当 时取等号
又 ， ， （当且仅当 时等号同时成立）
又
【小结】
本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.
9．4
【解析】
分析：根据柯西不等式 可得结果.
（2）若不等 的解集包含[–1，1]，求 的取值范围．
02柯西不等式与平均值不等式(含经典例题+答案)
柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立． 例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立． 例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立． 例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。
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1、(2008江苏)设a ，b ，c 为正实数，求证：
333111a
b
c
+++abc ≥．
2、（2010辽宁理数）已知c b a ,,均为正数，证明：36
)111(2222≥+++++c
b
a
c b a ，并确
定c b a ,,为何值时，等号成立。
3、（2012江苏理数）已知实数x ，y 满足：1
1|||2|3
6
x y x y +<-<，，求证：5
||18
y <． 4、（2013新课标Ⅱ）设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:
(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222
1a b c b c a
++≥.
5、（2012福建）已知函数f (x )=m -|x -2|,m ∈R,且f (x +2)≥0的解集为[-1,1].
(1)求m 的值; (2)若a ,b ,c ∈R,且1a + 12b + 1
3c =m ,求证:a + 2b +3c ≥9
6、（2011浙江）设正数z y x ,,满足122=++z y x . (1)求zx yz xy ++3的最大值； （2）证明：
26
125
111113≥+++++xz yz xy 7. (2017全国新课标II 卷) 已知3
3
0,0,2a b a b >>+=。
证明： （1）5
5
()()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤。
8.(2017天津) 若,a b ∈R ，0ab >，则4441
a b ab
++的最小值为___________.
9. 【2015高考新课标2，理24】设,,,a b c d 均为正数，且a b c d +=+，证明：
（Ⅰ）若ab cd >+>
（Ⅱ）>是a b c d -<-的充要条件． 10. 【2015高考福建，理21】选修4-5：不等式选讲
已知0,0,0a b c >>>，函数()||||f x x a x b c =++-+的最小值为4． (Ⅰ)求a b c ++的值； (Ⅱ)求2221
14
9
a b c ++的最小值．
11.【2015高考陕西，理24】（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<．
（I ）求实数a ，b 的值；（II ）求+的最大值． 【均值不等式】
例题1：已知y x ,均为正数，且y x >，求证：3221
22
2+≥+-+
y y
xy x x ． 例题2：已知z y x ,,均为正数．求证：
z
y x xy z zx y yz x 111++≥++． 变式：设z y x ,,为正数，证明：()()()()y x z z x y z y x z y x +++++≥++2
223332． 【柯西不等式】
例题1：若正数c b a ,,满足1=++c b a ，求
1
21
121121++
+++c b a 的最小值．
变式：若21
,32
x ⎛⎫
∈- ⎪⎝
⎭
<例题2：已知z y x ,,是正数．
()1若1=+y x ，求y y x x +++2222的最小值； ()2若1222=+++++z z
y y x x ，求证：12222
22≥+++++z
z y y x x ． 变式1：设0,,>c b a ，1=++c b a ，求证：
5
3
222≥-+-+-c c b b a a ． 变式2：已知正数y x ,满足xyz z y x =++，求zx
yz
xy
211+
+
的最大值．
【能力提升】
1、 设c b a ,,均为正实数，求证：
b
a c a c
b
c b a ++
+++≥++1
11212121．。