第一章 离散随机信号统计分析基础

❖ 如果我们把对温漂电压的观察看作为一个随机试验，那么，每一次的记录，就是
随机试验的一次实现，相应的结果就是一个样本函数：
xi (t)
❖
所能有经样历本的函整数个的过x集程i (合，t)该集合就i＝是1一,个2随,…机过,N程,，N也→即随∞机，信就号构，成记了之温为漂：电压可
X(t)
物随机变理量 意义：x1 (t1 ), x2 (t1 ), , xN (t1 )
lim
M
1 2M
1
M
x(n)x(n
nM
m)
x
(m)
例1.2.3 讨论例1.2.1随机相位正弦序列的各
态遍历性。
解 对 X (n) Asin(2fnTs )，其单一的时间样本
x(n) Asin(2fnTs ) ， 为一常数，对 X (n)
作时间平均，显然
mx (n)
lim
M
2
1 M
自相关函数和自协方差函数的关系
❖ 1 X (m) X (m) mX2 XY (m) XY (m) mX mY
❖ 2当 mX 0 时
X (m) X (m) XY (m) XY (m)
工程实际中，当m趋于无穷大时，可以认 为不相关，存在：
lim
m
X
(m)
E[
X
*
(n)
X
自相关函数 X (n1, n2 ) 和 n1,n2 的选取无关，而仅和 n1, n之2 差有关，那么，我 们称X(n)为宽平稳的随机信号，或广义平稳随机信号 。其具有以下的统 计特征. ❖ 1）均值为常值。
2）自相关函数和自协方差函数均只是m的函数。
目的：使问题简化，实际工程中大部分属于这种
严平稳随机信号：指概率特性不随时间的平移而变化（或说与 时间基准点无关）的随机信号。只有当X(n)是高斯随机过程 时，宽平稳才是严平稳。
③两信号错开一个时间间隔0处相关程度有可能 最高，它反映两信号x(t)、y（t)之间主传输通道的 滞后时间。
自功率谱密度函数
Sx ( )
R（x ）e-jtd
或Sx ( f )
R（x ）e-j2
f
td
Rx ( )
S（x f
）ej2
f
df
自相关函数和自谱密度函数构成一对傅立叶变换对。自谱
二、随机信号的统计特性
要完整地描述一个各态历经随机过程，理论上要 有无限长时间记录。但实际上这是不可能的。通 常用统计方法对以下三个方面进行数学描述：
1）幅值域描述: 均值、方均值、方差、概率密 度函数等。
（2）时间域描述:自相关函数、互相关函数。 （3）频率域描述: 自功率谱密度函数、互功率 谱密度函数。
解 由定义，X(n)的均值和自相关分别是：
mX (n) E[Asin(2fnTs )]
2 0
A sin(2f nTs
)
1
2
d
0
X (n1, n2 ) E[ A2 sin(2fn1Ts ) sin(2fn2Ts )]
A2
2
2
0 sin(2fn1Ts ) sin(2fn2Ts )d
)E[Y
(n2
)]
m*X
(n1
)mY
(n2
)
E[X *(n1)Y (n2 )] m*X (n1)mY (n2 )
XY (n1, n2 ) E[ X * (n1 )Y (n2 )] m*X (n1 )mY (n2 )
§1.2 平稳随机信号的时域统计描述
❖ 1。定义： 一个离散随机信号X(n)，如果其均值与时间n无关，其
❖ （7）互协方差函数
XY (n1,n2 ) E{[ X (n1) mX (n1)]*[Y(n2 ) mY (n2 )]}
❖ 注：如果 XY (n1 , n2 ) 0 称信号X和Y是不相关的 。可得：
❖ XY
(n1
,
n2
)
E[
X
*
(n1
)Y
(n2
)]
E[
X
*
(n1
)]mY
(n2
)
m*X
(n1
是一个
❖ 当t在时间轴上取值时，我们可得到m个随机变量，显然，描
述数这（t或m1 ,个概t2随率,机密变度,量t）m最：全面的方X法(t是1 )利, X用(其t2m),维的,概X率(t分m布) 函
m维的概率分布函数 （理论上有意义，实际应用困难繁琐，一阶二阶）
PX (x1, x2 , , xm;t1,t2 , ,tm ) P{X (t1) x1, X (t2 ) x2, , X (tm ) xm}
❖ 对随机变量X，我们一般用它的分布函数、概率密度等特征来描述 。
❖ 概率分布函数：
x
P(x) Pr obability( X x) p(x)dx
❖ 概率密度：
❖
p(x) dP(x) dx
均值： E[X ]
xp(x)dx
均方值：D 2 E[ X 2 ] x 2 p(x)dx
离散随机信号：X(n)
❖ 数学特征是时间n的函数（物理意义）：
❖ 1：均值（数学期望）
m ( n ) E [ X ( n )] lim
1
N
x (n , i)
X
N N i 1
2：方差 ❖
2 X
(n)
E[ X (n) mX (n) 2 ]
lim
N
1 N
N i1
2
x(n,i) mX (n)
❖ 3：均方值
D
2 X
(n)
E[ X (n) 2 ]
lim
N
1 N
N i 1
x(n, i) 2
❖ （4）自相关函数
X (n1, n2 )
E[X *(n1)X (n2 )]
lim
N
1 N
N i1
x*(n1,i)x(n2 ,i)
（5）自协方差函数： ❖
“集合平均”，该集合平均是由X(n)的无穷样本在相
自相关函数性质
自相关函数的应用
当延时很大时，随机噪声的自相关函数趋于零，而周期信号 的自相关函数仍是周期函数，且其周期不变。
互相关函数描述一个信号的取值对另一个信号的依 赖程度。
互相关函数具有以下性质：
①两周期信号具有相同的频率，才有互相关函数， 即两个非同频的周期信号是不相关的。
②两个相同周期的信号的互相关函数仍是周期函 数，其周期与原信号的周期相同，并不丢失相位信 息。
2。平稳随机信号相关函数的性质
❖ 性质1： X (m) X (0)
❖ 性质2： 若X(n)是实信号，则
X (m) X (m)
，
❖
即自相关函数为实偶函数；
若X(n)是复信号，则
X
(m)
* X
(m)
。
即自相关函数是Hermitian对称的。
❖ 性质3 ：
XY
(m)
* YX
(m)
❖ 性质4： XY (m) 2 X (0)Y (0)
X (n) Asin(2fnTs )
式中A,f均为常数，Φ是一随机变量，在0~2π内
服从均匀分布，即
p(
)
1 2π
0 2π
显然，对应Φ的 一0 个取值，可其得它到一条正弦曲
线（因为Φ在0~2π内的取值是随机的，所以
其每一个样本x(n)都是一条正弦信号）。求其
均值及其自相关函数，并判断其平稳性。
第一章 离散随机信号统计分析基础
❖ 本章目的：对随机信号做一个简短的回顾，并且
介绍一些在以后各章中我们将要用的概念 。
❖ 主要包括：1。随机信号 的基本概念 ❖ 2。平稳随机信号的时域统计描述 ❖ 3。平稳随机信号的z域及频域的统计描述 ❖ 4。线性系统对随机信号的响应 ❖ 5。随机信号的模型
随机信号分析
图1.2.2 例1.2.4中的X(n)
§1.3 平稳随机信号的z域及频域的统计表达
lim
m
X
(m)
0
lim
m
Y
(m)
mx2
❖ 1.3.1 x (m)与 x (m) 的z变换及其收敛域
Z[ x (m)] x (z)
x (z) x (m)z m m
x (m)
1
2j
cx (z)z m1dz
有
x (m)
1
2
(n
m)]
E[
X
*
(n)]E[
X
(n
m)]
m
2 X
lim
m
X
(m)
lim
m
X
(m)
mX2
0
lim
m
XY
(m)
mX
mY
lim
m
XY
(m)
0
自相关函数反映的其它信息
E[ X (n) 2 ] X (0)
m
2 X
X ()
2 X
E[
X
(n)
2
]
m
2 X
X
(0) X ()
X (0)
例1.2.1 随机相位正弦序列
2 sin(2fn1Ts ) sin(2fn2Ts )
由此可以看出，虽然X(n)的均值和时间无关，但其自相关
函数不能写成 X (n1 , n2 ) 的形式，也即 X (n2 n1 )
和 n1 , n2 的选取位置有关，所以随机振幅正弦波不是宽
平稳的。
❖ 3 平稳随机信号的各态遍历性 ❖ 为什么？
X (m)
E[X * (n)X (n m)]
lim
N
1 N
N i 1
x* (n,i)x(n m,i)