抽屉原理及其应用论文草案

目录1．抽屉原理11．1抽屉原理的简单形式 11．2抽屉原理的加强形式 22．抽屉原理的应用42．1抽屉的构造42．1．1等分区间制造抽屉 42．1．2分割图形构造抽屉 52．1．3利用“对称性”构造抽屉 62．1．4用整数性质制造抽屉72．1．5利用染色制造抽屉82．1．6根据问题的需要制造抽屉92．2 抽屉原理在数学解题中的应用102．2．1解决代数问题102．2．2解决数论问题112．2．3解决几何问题122．2．4多次顺向运用抽屉原理122．2．5逆向运用抽屉原理132．3抽屉原理在生活中的应用132．3．1月黑穿袜子132．3．2手指纹和头发142．3．3电脑算命143．总结15参考文献16致谢171．抽屉原理抽屉原理又叫做鸽巢原理，指的是一件简单明了的事实：为数众多的鸽子飞进为数不多的巢穴里，则至少有一个巢穴飞进了两只或者更多的鸽子，其实有关于抽屉原理（鸽巢原理）的阐释，粗略的说就是如果有许多物体放进不足够多的盒子内，那么至少有一个盒子被两个或多个盒子占据。

我将在下面的论文当中给出更加精确的叙述。

1．1抽屉原理的简单形式抽屉原理的最简单的形式如下．n 个物体放进n个盒子，那么至少有一个盒子包含定理1．1．1[１]如果1两个或更多的物体．证明：（用反证法）如果n个盒子中每个盒子至多放一个物体，则放入n个盒子中的物体总数至多为n 个．这与假设有1n +个物体矛盾．从而定理得证．注意，无论是抽屉原理还是它的证明，对于找出含有两个或更多物体的盒子都没有任何帮助．我们只是简单断言，如果人们检查每一个盒子，那么他们会发现有的盒子，里面放有多于一个的物体．抽屉原理只是保证这样的盒子存在．因此，无论何时抽屉原理被用来证明一个排列或某种现象的存在性，除了考察所有的可能性外，它都不能对任何构造排列或寻找现象的例证给出任何指示．还要注意，抽屉原理的结论不能被推广到只存在n 个（或更少）物体的情形．这是应为我们可以把不同的物体放到n 个盒子的每一个中去．当然，在这些盒子中可以这样分发物体：一个盒子放入两个物体，但对任意分发这是没有保证的．抽屉原理只是断言，在n 个盒子中去论如何分发1n +个物体，总不能避免把两个物体放进同一个盒子中去．还存在一些与抽屉原理相关的其它原理，有必要正式叙述如下．(1) 如果将n 个物体放入n 个盒子并且没有一个盒子是空的，那么每个盒子恰好包含一个物体．(2) 如果将n 个物体放入n 个盒子并且没有盒子被放入多于一个的物体，那么每个盒子里有一个物体．现在把所阐明的这三个原理更抽象的表述为：令X 和Y 是两个有限集，并令:f X Y →是一个从X 到Y 得函数．（1）如果X 的元素多于Y 的元素，那么f 就不是一对一的．（2）如果X 和Y 含有相同个数的元素，并且f 是映上的，那么f 就是一对一的．（3）如果X 和Y 含有相同个数的元素，并且f 是一对一的，那么f 就是映上的．1．2抽屉原理的加强形式下列定理包含定理1．1．1作为它的特殊情形．定理1．2．1［１］ 设12,,,n q q q ⋯为正整数．如果将121n q q q n ++⋯+-+个物体放入n 个盒子内，那么，或者第一个盒子至少含有1q 个物体，或者第二个盒子至少含有2q 个物体，…，或者第n 个盒子至少含有n q 个物体．证明：设将121n q q q n ++⋯+-+个物体分放到n 个盒子中．如果对于每个12,i n =⋯，，，第i 个盒子含有少于i q 个物体，那么所有盒子中的物体总数不超过1212111 n n q q q q q q n -+-+⋯+-=++⋯+-（）（）（）该数比所分发的物体总数少1，因此我们断言，对于某一个12,i n =⋯，，，第i 个盒子至少包含i q 个物体．注意，能够将12n q q q n ++⋯+-个物体用下面的方法分到n 个盒子中，对所有的12,i n =⋯，，第i 个盒子都不能含有i q 个或更多的物体，我们可以通过将11q -个物体放入第一个盒子，将21q -个物体放入第二个盒子等来实现，抽屉原理的简单形式是由其强化形式的通过使12...2n q q q ===得到的，由此有121211n q q q n n n n ++⋯+-+=-+=+．在初等数学中抽屉原理的加强形式最常用于12,,,n q q q ⋯都等于同一个整数r 的特殊情况．在这种情况下，该定理叙述如下：推论1．2．1［１］ 如果()11n r -+个物体放入n 个盒子中，那么至少有一个盒子含有r 个或更多的物体．等价的，推论1．2．2［１］如果n 个非负整数12,,...,n m m m 的平均数大于1r -：12...1n m m m r n+++>- 那么至少有一个整数大于或等于r ．这两种表述之间的联系可以通过取()11n r -+个物体并放入n 个盒子中得到．对于12,i n =⋯，，，令i m 是第i 个盒子中的物体个数．于是这m 个数12,,...,n m m m 的平均数为12...(1)11(1)n m m m n r r n n n+++-+==-+ 由于这个平均数大于1r -，故而有一个整数i m 至少是r ．换句话说，这些盒子中有一个盒子至少含有r 个物体．推论1．2．3［１］ 如果n 个非负整数12,,...,n m m m 的平均数小于1r +：12...1n m m m r n+++<+ 那么至少有一个整数小于1r +．推论1．2．4［１］ 如果n 个非负整数12,,...,n m m m 的平均数至少等于r ，那么这n 个整数12,,...,n m m m 至少有一个满足i m r ≥．推论1．2．5［２］ m 个物体放入n 个盒子中，则至少有一个盒子中有不少于11m n -⎡⎤+⎢⎥⎣⎦个物体． 注：符号[]x 表示不超过实数x 的最大整数．证明：（反证法）若不然，则每一个集合中最多有1m n -⎡⎤⎢⎥⎣⎦个物体，这时， n 个盒子中就最多有1m n n -⎡⎤⨯⎢⎥⎣⎦个物体． 因为11m m n n --⎡⎤≤⎢⎥⎣⎦，所以111m m n n m m n n --⎡⎤⨯≤⨯=-<⎢⎥⎣⎦，这与已知条件m 个物体放入n 个盒子中矛盾，故上述推论成立．抽屉原理的形式比较多变，在具体的应用中也会有不同的变化，但本质上都是一样的．上述定理及推论的证明均采用反证法，这种证明方法对于证明元素个数多于抽屉个数的问题时有其普遍意义，平均重叠原则［３］：把一个量S 任意分成n 份，则其中至少有一份不大于S n，也至少有一份不少于S n ． 不等式重叠原则［３］：若,,,a b c d R ∈，且a c b d +>+，则a b >，c d >至少有一个成立．面积重叠原则［３］：在平面上有n 个面积分别是1A ，2A ，…n A 的图形，把这n 个图形按任何方式一一搬到某一个面积为A 的固定图形上去，（1）如果12...n A A A A +++>，则至少有两个有公共点；（2）如果12...n A A A A +++<，则固定图形中至少有一个点未被盖住．2．抽屉原理的应用应用抽屉原理的基本思想是根据不同问题自身特点，洞察问题本质，先弄清对哪些元素进行分类，再找出分类的规律，即所谓的构造抽屉，构造抽屉是应用抽屉原理的关键．在介绍抽屉原理的应用之前，本文先用几个具体的例子来介绍几种常用的构造抽屉的方法．2．1抽屉的构造2．1．1等分区间制造抽屉当问题的结论与区间有关时，可等分某个区间，设计出若干个抽屉．例1［２］ 求证：对于任给的正无理数α及任意大的自然数n ，存在．．一个有理数k m ，使得1k m mn α-<． 证明：把区间（0，1）进行n 等分，得n 个小区间1122310,,,,,,...,,1n n n n n n n -⎛⎤⎛⎤⎛⎤⎛⎫ ⎪⎥⎥⎥⎝⎦⎝⎦⎝⎦⎝⎭． 由抽屉原理知，这些区间内的1n +个数中，必有两个数落在某一个区间，从而这两个数的差的绝对值小于1n． 设(1,2,...,1)i p N i n ∈=+，则由α是正无理数得[]01i i p p αα<-<所以这1n +个数[](1,2,...,1)i i p p i n αα-=+中，必有2个数，不妨设为[]11p p αα-和[]22p p αα-，它们的差的绝对值小于1n，即 [][]12121()()p p p p n ααα---<设[][]1212,p p m p p k αα-=-=，则1m k nα-<，即1k m mn α-< 上述例子涉及区间问题，把区间（0，1）进行n 等分，得n 个小区间，自然就得到了n 个抽屉，而1n +个数可以作为1n +个物体，此处可以利用抽屉原理解决问题．2．1．2分割图形构造抽屉在一个几何图形内有若干已知点，我们可以根据问题的要求把图形进行适当的分割，用这些分割成的图形作为抽屉，再对已知点进行分类，集中对某一个或几个抽屉进行进行讨论，使问题得到解决．例2［４］ 在边长为2米的正方形内，任意放入13个点．求证：必有．．4个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米．(1) (2)证明：把边长为2米的正方形分割成面积为1平方米的4个小正方形，如图1．因为13=3×4+1，所以由抽屉原理知，至少有4个点落在同一个面积为1平方米的小正方形内（或边上），以这4个点为顶点的四边形的面积总小于或等于小正方形的面积，即以这4个点为顶点的四边形的面积不超过1平方米．注：此例是通过分割图形构造抽屉． 将正方形等分成4个矩形来制造抽屉也可以解决本题，如图2．2．1．3利用“对称性”构造抽屉“对称性”是数学中常用的处理问题的一种方法．同样，在构造抽屉的过程中也可以利用“对称性”来解决问题，这种方法不易观察，需要不断的训练．例3［３］ 九条直线中的每一条直线都把正方形分成面积比为2：3的两个四边形．证明:这九条直线中至少有．．．三条经过同一点． 证明：如图，设CD 是一条这样的这样的直线．我们再画出这两个梯形的中位线AB ，因这两个梯形有相等的高，所以他们的面积比应等于对应的中位线长的比，即等于:AP PB (或者:BP PA )因为点P 有确定的位置，它在正方形一对对边中点的连线上，并且:23AP PB ：，由几何上的对称性，这种点共有4个，即图中的,,,P Q R S ．已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须过,,,P Q R S 这4点中的一点．把,,,P Q R S 当成4个抽屉，9条直线当成9个物体，即可看出必有3条分割直线经过同一个点．正方形是个比较规则的图形，在正方形中有很多对称关系，对解题减小了一点难度。