河北省高二数学上学期期中试题
河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题
河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题一、单选题1．三点()2,2A ，()5,1B ，(),4C m 在同一条直线上，则m 的值为（）A ．2B ．4C ．2-D ．4-2．若点()1,1P 在圆22222240x y mx my m m +-++-=的外部，则实数m 的取值范围是（）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．()()0,11,+∞ D ．()()0,22,+∞U 3．如图，直线1l ，2l ，3l ，4l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，则（）A ．1234k k k k <<<B ．2134k k k k <<<C ．1243k k k k <<<D ．2143k k k k <<<4．已知动圆过点()1,0A -，并且在圆22:(1)16B x y -+=内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A ．22132x y +=B ．221169x y +=C ．22143x y +=D ．22154x y +=5．已知圆221:20C x y x +-=，圆222:40C x y mx y n ++-+=，若圆2C 平分圆1C 的周长，则m n +=（）A ．2B ．－2C ．1D ．－16．如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1AB =，PA ⊥平面ABCD ，且E 为PC的中点，则AE CD ⋅=（）A ．13B ．12C ．13-D ．12-7．已知点(),P x y 为直线0x y +=上的动点n =则n 的最小值为（）A ．5B ．6CD 8．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M 与两定点()()0,0,2,0O A 的2时，则直线:1l x =-被动点M 所形成的轨迹截得的弦长为（）A ．B ．C ．D ．二、多选题9．关于空间向量，以下说法正确的是（）A ．若两个不同平面α，β的法向量分别是,u v，且()1,1,2u =- ，()6,4,1v =- ，则αβ⊥B ．若直线l 的方向向量为()0,4,0e =，平面α的法向量为()3,0,2n =- ，则直线//l αC ．若对空间中任意一点O ，有23AP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 四点共面D ．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线10．直线l 经过点()1,3，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（）A ．30x y -=B ．30x y +=C ．40x y +-=D ．20x y -+=11．下列结论正确的是（）A ．已知0ab ≠，O 为坐标原点，点(),P a b 是圆222x y r +=外一点，直线m 的方程是2(0)ax by r r +=>，则m 与圆相交B ．直线:230l kx y k +--=与圆22:(1)9C x y +-=恒相交C ．若直线:230l kx y k +--=平分圆22:(1)9C x y +-=的周长，则1k =-D ．若圆222:(4)(4)(1)M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r 的取值范围是()3,6三、填空题12．平面内，已知两点()13,0F -，()23,0F 及动点M ，若直线1MF ，2MF 的斜率之积是3-，则点M 的轨迹方程为．13．已知圆22:(1)(3)8M x y -++=与圆22:(3)(1)8N x y ++-=，则圆M 和圆N 的一条公切线的方程为.14．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AA AB λ=+，点Q 满足1AQ AA AB AD μ=++，其中[]0,2λ∈，[]0,2μ∈当μ=时，DP BQ ⊥．四、解答题15．已知ABC V 的顶点()3,2A -，若AB 边上的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，AC 边上的高线BN 所在直线方程为530x y +-=．(1)求顶点B 的坐标；(2)求直线BC 的方程．16．已知()4,2P -，()1,3Q -，(0,T 在圆C 上．(1)求圆C 的标准方程；(2)若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，O 为坐标原点，90AOB ∠=︒，求直线l 的方程．17．已知椭圆22:184x y C +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．(1)当P 为椭圆C 的上顶点时，求12F PF ∠的大小；(2)直线()2y k x =-与椭圆C 交于A ，B ，若AB =，求k 的值．18．如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PB ⊥底面ABCD ，3AB BC BP ===，2AE ED =.(1)在PC 上找一点F ，使得//EF 平面ABP ；(2)在（1）的条件下，求平面ADF 与平面ABCD 夹角的余弦值.19．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为12，短轴长为(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知点1A ，2A 分别为椭圆的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于1A ，2A 的动点，()3,0N -，直线PN 与曲线C 的另一个公共点为Q ，直线1A P 与2A Q 交于点M ，求证：当点P 变化时，点M 恒在一条定直线上．。
河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题
河北省保定市六校联盟2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题一、单选题1．已知()1,3,2a =-- ，()1,1,b m =- ，且2a b ⋅=-，则m =（）A ．1-B ．1C ．2-D ．22．过点()1,4A 的直线的方向向量为()1,2m =，则该直线方程为（）A ．220x y -+=B ．260x y +-=C ．270x y -+=D ．50x y +-=3．平行六面体1111ABCD A B C D -中，O 为11A C 与11B D 的交点，设1,,AB a AD b AA c ===，用,,a b c表示BO ，则（）A ．12BO a b c=-+ B ．12BO a c=+- C ．12BO a b c =-++ D ．1122BO a b c =-++ 4．已知离心率为2的双曲线2221y x m -=与椭圆222112x y n +=有相同的焦点，则22m n +=（）A ．21B ．19C ．13D ．115．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()4,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1M -，则椭圆E 的方程为（）A ．221182x y +=B ．221204x y +=C ．221248x y +=D ．221259x y +=6．P 是双曲线22916x y -=1的右支上一点，M 、N 分别是圆22(5)1x y ++=和22(5)x y -+=4上的点，则||||PM PN -的最大值为（）A ．6B ．7C ．8D ．97．直线y x b =+与曲线x =b 的取值范围为（）A ．[)1,1-B ．⎡⎣C ．(]{1,1-⋃D ．[){1,1- 8．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不含端点）上运动，则下列结论正确的是（）①1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是ππ,32⎛⎤ ⎥⎝⎦；③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化.A ．①②B ．①③C ．②③D ．③④二、多选题9．下列说法正确的是（）A10y ++=的倾斜角为120B ．经过点()2,1P ，且在x 轴，y 轴上截距互为相反数的直线方程为10x y --=C ．直线l ：20mx y m ++-=恒过点()1,2-D ．已知直线1l ：210ax ay ++=，2l ：()()1140a x a y --+-=，则“12l l ⊥”的充要条件是“3a =-或0a =”10．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，E 是1DD 的中点，则（）A ．11B C BD ⊥B ．点E 到直线1B C 的距离为C ．直线1B E 与平面11B C C 所成的角的正弦值为23D ．点1C 到平面1B CE 的距离为2311．法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆22221(0)x y a b a b +=>>或22221(0)y x a b a b +=>>的任意两条互相垂直的切线的交点Q 的轨迹是以坐标原点为圆心，这个圆称为蒙日圆.已知椭圆22:154x y C +=，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的蒙日圆方程为229x y +=B ．矩形G 的四边均与椭圆C 相切，若G 为正方形，则G 的边长为C ．若H 是椭圆C 的蒙日圆上一个动点，过H 作椭圆C 的两条切线，与该蒙日圆分别交于P ，Q 两点，则HPQ △面积的最大值为18D ．若P 是直线:230l x y +-=上的一点，过点P 作椭圆C 的两条切线与椭圆相切于M ，N 两点，O 是坐标原点，连接OP ，当MPN ∠为直角时，0OP k =或43-三、填空题12．若(1,,2),(2,2,)a b λμ=--=- ，若//a b，则λμ+的值为.13．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为()2,0B -，若将军从山脚下的点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，则“将军饮马”的最短总路程为.14．已知双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过左焦点1F 作直线l与双曲线交于A ，B 两点（B 在第一象限），若线段AB 的中垂线经过点2F ，且点2F 到直线l，则双曲线的离心率为.四、解答题15．已知关于,x y 的方程C ：22240x y x y m +--+=．(1)当m 为何值时，方程C 表示圆；(2)若圆C 与直线:240l x y +-=相交于,M N 两点，且||MN =m 的值．16．如图，四棱锥P ABCD -的侧面PCD 为正三角形，底面ABCD 为梯形，//AB CD ，平面PCD ⊥平面ABCD ，已知44CD AB ==，13PM MD =.(1)证明：AM //平面PBC ；(2)若,AC AD PA ==AM 与平面PAB 所成角的正弦值.17．已知双曲线2222:1(00)x y C a b a b -=>>，与双曲线22142x y -=有相同的渐近线，且经过点M，(1)求双曲线C 的标准方程(2)已知直线0x y m -+=与曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆2220x y +=上，求实数m 的值．18．如图1，在平行四边形ABCD 中，60A ∠=︒，=1AD ，=2AB ，将△ABD 沿BD 折起，使得平面A BC '⊥平面A BD '，如图2．(1)证明：A D '⊥平面BCD ；(2)在线段A C '上是否存在点M ，使得二面角M BD C --的大小为45°？若存在，求出A MA C''的值；若不存在，说明理由．19．已知O 为坐标原点，椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，122F F =，P 为椭圆的上顶点，以P 为圆心且过1F ，2F 的圆与直线x =.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知直线l 交椭圆C 于M ，N 两点.若直线l 的斜率等于1，求OMN 面积的最大值．。
河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二上学期期中数学试题
河北省石家庄市第二中学教育集团2023-2024学年高二上
学期期中数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
对于C 项，由已知122PF PF PF =>根据双曲线的定义可知，12PF PF -
18．(1)26
3 (2)证明见解析
【分析】（1）利用平面几何的知识证得1OO BD ^，从而利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；
（2）依题意，建立空间直角坐标系，由二面角1B CC D --的正弦值求得1AA ，即四棱台的高，从而利用台体的体积公式即可得解.
【详解】（1）连接11,B D BD 分别与11,A C AC 交于1,O O ，
易得1,O O 为11B D 与BD 的中点，又11BB DD =，所以1OO BD ^，因为在正方形ABCD 中，AC BD ^，
又1AC OO O =I ，,,AC OO Ì平面11ACC A ，所以BD ^平面11ACC A ，又1AA Ì平面11ACC A ，则1BD AA ^，
又1AC AA ^
，,,BD AC O BD AC Ç=Ì平面ABCD ，所以1AA ^平面ABCD .
（2）由（1）知1AA ^平面ABCD ，AB AD ^，故1,,AA AB AD 两两垂直，以点A 为原点，建立空间直角坐标系，如图，。
河北省巨鹿中学高二数学上学期期中试题 文(扫描版)
参考答案13. 6π; 14. ⎡-⎣; 16. 1⎡⎤-⎣⎦.三、解答题：（本大题共6小题，共70分） 17. （本题满分10分）解：∵ 命题p ：对任意实数x 都有210x ax ++>恒成立， ∴ 若p 是真命题，则有240a ∆=-<，解得22a -<<；若p 是假命题，则2a ≤-或2a ≥； …………………………………………3分 ∵ 命题q ：关于x 的方程20x x a -+=有实数根， ∴ 若q 是真命题，则有140a ∆=-≥，解得14a ≤； 若q 是假命题，则14a >； …………………………………………6分 ∵ p q ∨为真命题，p q ∧为假命题，∴ p 、q 一真一假． …………………………………………8分若p 真q 假，则有124a <<；若p 假q 真，则有2a ≤-． ∴ 实数1(,2](,2)4a ∈-∞-⋃． …………………………………………10分18. （本题满分12分）解：（Ⅰ）由点()2,3A -和点()2,5B --可得，线段AB 的中垂线方程为240x y ++=．…………………………………………2分∵ 圆经过()2,3A -和()2,5B --两点，圆心在直线230x y --=上，∴ 240230x y x y ++=⎧⎨--=⎩，解得1,2x y =-=-，即所求圆的圆心()1,2M --，………4分∴ 半径r AM ==M 的方程为()()221210x y +++=； ………6分 （Ⅱ）设圆N 的方程为220x y Dx Ey F ++++=，∵ 圆N 过点()1,0A -、()3,0B 和()0,1C ，∴ 列方程组得10,930,10,D F D F E F -+=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得2,2,3D E F =-==-，…………………10分∴ 圆N 的方程为222230x y x y +-+-=． ……………………………………12分 19. （本题满分12分）解：（Ⅰ）证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OD ．∵ 矩形11ACC A 中，O 是1A C 的中点，又点D 是BC 的中点， ∴ 1A BC ∆中，1OD A B ∥．∵ OD ⊂平面1ADC ，1A B ⊄平面1ADC ，∴ 1A B ∥平面1ADC ； ……………………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知O 是1A C 的中点，故点1A 到平面1ADC 的距离与点C 到平面1ADC 的距离相等，设为h ．∵ ABC ∆中，AB AC =，D 是BC 的中点， ∴AD BC ⊥．∵ 直三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面ABC ， ∴ 11,AD CC BC CC ⊥⊥，∴AD ⊥平面11BCC B ，1AD DC ⊥． 在1Rt C CD ∆中，1112,12CC AA CD BC ====，则1C D =，12ADC S AD ∆=； 在Rt ACD ∆中，12ACD S AD ∆=； ……………………………………8分 ∵ 三棱锥1C ADC -与三棱锥1C ACD -的体积相等，即111133ADC ACD S h S CC ∆∆⋅=⋅，∴11123232AD h AD ⨯⋅=⨯⨯，解得5h =． 即点1A 到平面1ADC的距离为5． ……………………………………12分20. （本题满分12分）解：（Ⅰ）∵ 由22430x ax a -+<得()()30x a x a --<，又0a >，故3a x a <<， ∴ 当1a =时，有13x <<，即命题p 为真时，()1,3x ∈．……………………2分解不等式组2260280x x x x ⎧--≤⎪⎨+->⎪⎩得，(]2,3x ∈，∴ 命题q 为真时，(]2,3x ∈． ……………………………………4分 ∵ p ∧q 为真命题， ∴ 命题p 、命题q 均为真，∴ ()2,3x ∈； ……………………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知命题p ：(),3x a a ∈，命题q ：(]2,3x ∈． 设集合(),3A a a =，集合(]2,3B =． ∵ p 是q 的必要不充分条件，∴ 集合B 是集合A 的真子集， ……………………………………10分 ∴ 02,33a a <≤⎧⎨>⎩，解得(]1,2a ∈． ……………………………………12分21. （本题满分12分）解：（Ⅰ）∵ 平面PAD ⊥底面ABCD ，平面PAD ⋂底面ABCD AD =，且PA AD ⊥， ∴ PA ⊥底面ABCD ； ……………………………………2分 （Ⅱ）∵ AB CD ∥，2CD AB =，E 是CD 的中点， ∴ AB DE ∥，且AB DE =，∴ 四边形ABED 是平行四边形，AD BE ∥． ∵ BE ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴ BE ∥平面PAD ； ……………………………………6分 （Ⅲ）∵ AB AD ⊥，四边形ABED 是平行四边形，∴ ,BE CD AD CD ⊥⊥．由（Ⅰ）知PA ⊥底面ABCD ，故PA CD ⊥， ∴ CD ⊥平面PAD ，CD PD ⊥． ∵ E 和F 分别是CD 和PC 的中点， ∴ PD EF ∥，∴ CD EF ⊥， ∴ CD ⊥平面BEF ，∴ 平面BEF ⊥平面PCD ． ……………………………………12分 22. （本题满分12分）解：（Ⅰ）直线l 方程变形为()()0472=-++-+y x m y x ，由⎩⎨⎧=-+=-+04072y x y x ，得⎩⎨⎧==13y x ，∴ 直线l 恒过定点()13，P ； ……………………………………4分 （Ⅱ）∵ 55<=PC ，∴ P 点在圆C 内部，∴ 直线l 与圆C 相交； ……………………………………8分 （Ⅲ）当l PC ⊥时，所截得的弦长最短，此时有1l PC k k ⋅=-，而211,12l PC m k k m +=-=-+，于是2112(1)m m +=-+，解得34m =-.……………12分。
河北省高二数学上学期期中试题
高二数学上学期期中试题1、将选项中所示的三角形绕直线l旋转一周，可以得到以下图所示的几何体的是〔〕A．B．C D．2、以下命题中真命题的序号是〔〕①假设棱柱被一平面所截，那么分成的两局部不一定是棱柱；②有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱；③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的多面体一定是棱锥；④当球心到平面的距离小于球面半径时，球面与平面的交线总是一个圆．A．①④ B．②③④C．①②③D．①②③④3、如图，圆锥的主视图是等边三角形，圆锥的底面半径为,假假设点有一只蚂蚁只能沿圆锥的外表爬行，它要想吃到母线的中点处的食物，那么它爬行的最短路程是〔〕A．6 B．C．4 D．4、如图是正方体的平面展开图，那么在这个正方体中：①BM与ED平行②CN与BE是异面直线③CN与BM成60 角④DM与BN是异面直线以上四个命题中，正确命题的个数是〔〕A．1 B．2 C．3 D．45、己知某三棱锥的三视图如下图，其中正视图和侧视图都是边长为2的等边三角形，那么该三棱锥的体积为〔〕A ．223B ．233C ．22D ．236、某空间几何体的三视图如下图，那么该几何体的外接球半径为〔 〕A ．2B ．3C ．5D ．227、如图，正方形ABCD 的边长为 2，,E F 分别为,BC CD 的中点，沿,,AE EF FA 将正方形折起，使,,B C D 重合于点O ，构成四面体A OEF -，那么四面体A OEF -的体积为〔 〕A ．13B ．2C ．12D ．58、 ,a b 为两条不同的直线，αβ， 为两个不同的平面，那么以下命题正确的选项是〔 〕A ．假设//a α，//b α，那么//a bB ．假设//a b ，//a α，b β//那么//αβC ．假设//a α，b α⊄，//a b ，那么//b αD ．//αβ，//a α，b β//，那么//a b9、在正方体1111ABCD A BC D -中，直线11AC 与平面11ABC D 所成角的正弦值为〔 〕A ．1B ．32C ．22D ．1210、如下图，平面四边形ABCD 中，AB=AD ，AB AD ⊥，BD CD ⊥，将其沿对角线BD 折成四面体A-BCD ，使面ABD ⊥面BCD ，那么以下说法中正确的选项是〔 〕①平面ACD ⊥平面ABD ；②AB AC ⊥；③平面ABC ⊥平面ACD.A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③11、三棱锥P ABC -中，,,PA PB PC 两两垂直，且1PA PB PC ===，那么三棱锥P ABC-外接球的外表积为( )A ．πB 3πC ．2πD ．3π12、如图，假设长方体1111ABCD A BC D -的六个面中存在三个面的面积分别是2,3,6，那么该长方体中线段1BD 的长是〔 〕A 14B ．27C ．28D ．32评卷人得分 二、填空题〔注释〕13、如下图，111A B C ∆是水平放置的平面图形ABC ∆的直观图〔斜二测画法〕，假设112A B =，11O C '=，那么ABC ∆的面积是________.14、在正方体1111ABCD A BC D -中，,M N 分别为棱1,AD D D 的中点，那么异面直线MN 与AC 所成的角大小为______．15、四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，侧棱PA ⊥平面ABCD ， 2.PA =假设在四棱锥P ABCD -的内部有一个半径为R 的球，那么R 的最大值为______16、如图，1111ABCD-A B C D 为正方体，下面结论中正确的选项是_______.〔把你认为正确的结论都填上〕①11AC ⊥平面1BD ；②1BD ⊥平面1ACB ； ③1BD 与底面11BCC B 2④过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60︒角的直线有2条.评卷人 得分三、解答题〔注释〕17、如下图，在四边形ABCD 中，90DAB ∠=°，120ADC =∠︒，33AB ，2CD =，1AD =，将四边形ABCD 绕AD 旋转一周所形成的一个几何体．〔Ⅰ〕求这个几何体的外表积；〔Ⅱ〕求这个几何体的体积．18、如图，在四棱锥P ABCD -中，223AB CD ==，2PD =，7PC =，//CD AB ，PD BC ⊥，E ，F 分别为棱AB ，PB 的中点.〔1〕证明：PD ⊥平面ABCD .〔2〕证明：平面//PAD 平面CEF .19、如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，M 为PC 的中点，N 为AB 的中点.〔1〕求证：AB PD ⊥；〔2〕求证：MN ∕∕平面PAD .20、如图，直三棱柱111ABC A B C -中，点 D 是棱BC 的中点，点F 在棱1CC 上，AB AC =，13AA =，2BC CF ==〔1〕假设点M 在棱1BB 上，且1BM =，求证：平面CAM ⊥平面ADF ；〔2〕棱AB 上是否存在一点E ，使得1 //C E 平面ADF 证明你的结论。
河北省保定市六校联盟2023-2024学年高二上学期期中考试 数学含解析
六校联盟高二年级期中联考数学（答案在最后）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+= D.50x y +-=3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -= B.双曲线E 的离心率为62C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为146.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦ D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦7.定义：设{}123,,a a a是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.68.下列命题中，是假命题的是（）①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题中是假命题的是（）A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.511.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是912.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A .OM PD⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB 所成角的余弦值为10三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.14.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.15.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB ，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 倍.（1）求点M 的轨迹方程；（2倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”2222222(2)x y x y x y +--+-+.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P 截得的弦长为22.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足2OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.六校联盟高二年级期中联考数学考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教A 版选择性必修第一册.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若直线a 的一个方向向量是()1,0,1m =，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，则直线a 与平面α所成的角为（）A.0︒B.45︒C.60︒D.90︒【答案】A 【解析】【分析】由直线与平面所成角的向量计算公式计算可得.【详解】已知直线a 的方向向量是()1,0,1m = ，平面α的一个法向量是()3,1,3n =-，设直线a 与平面α所成角为θ，则π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以·sin cos ,0m n m n m nθ====，所以0θ︒=，故直线a 与平面α所成角为0︒.故选：A .2.过圆22:260C x y x y +--=的圆心且与直线124x y+=垂直的直线的方程是（）A.210x y --=B.270x y +-=C.250x y -+=D.50x y +-=【答案】C【解析】【分析】求出圆的圆心，直线斜率，通过点斜式求直线方程【详解】因为圆22:260C x y x y +--=，即()()221310x y -+-=，所以圆心为()1,3，又直线124x y +=的斜率为2-，所以所求直线的斜率为12，∴所求直线的方程为()1312y x -=-，即250x y -+=.故选：C3.已知直线方程为sin30cos3050x y +︒-︒=，则该直线的倾斜角为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】D 【解析】【分析】先求出直线的斜率，进而可求出倾斜角.【详解】直线sin30cos3050x y +︒-︒=的斜率sin 30cos303k ︒=-=-︒，所以该直线的倾斜角为150︒.故选：D.4.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b-=>>的右焦点为F ，直线210y x =-过点F ，且与双曲线只有一个公共点，则下列说法正确的是（）A.双曲线E 的方程为221520x y -=B.双曲线E 的离心率为2C.双曲线ED.双曲线E 的顶点坐标为()5,0±【答案】A 【解析】【分析】根据直线与曲线有且只有一个公共点可知渐近线方程，再根据焦点坐标可得双曲线方程，进而判断各选项.【详解】由直线210y x =-过点F ，得()5,0F ，5c =，所以2225a b +=，又直线210y x =-与双曲线只有一个公共点，当直线210y x =-与双曲线渐近线平行时，2ba=，可得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，双曲线方程为221520x y -=，当直线与双曲线渐近线不平行时，联立直线与双曲线22221210x y a b y x ⎧-=⎪⎨⎪=-⎩，得()22222224401000b a x a x a b a -++-=，()()()222222240441000a b a a b a ∆=---=，即2241000a b -++=，又2225a b +=，则25750a +=，无解，所以双曲线方程为221520x y -=，A 选项正确；离心率c e a ===B 选项错误；顶点坐标为()，D 选项错误；实轴长为2a =C 选项错误；故选：A.5.加斯帕尔⋅蒙日是1819 世纪法国著名的几何学家，他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）.当椭圆方程为()222210x y a b a b +=>>时，蒙日圆方程为2222x y a b +=+.已知长方形G 的四边均与椭圆22:143x y M +=相切，则下列说法错误的是（）A.椭圆M 的离心率为12B.若G 为正方形，则G 的边长为25C.椭圆M 的蒙日圆方程为227xy +=D.长方形G 的面积的最大值为14【答案】B 【解析】【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A 正确；根据蒙日圆方程定义可知C 正确；结合长方形G 的对角线长和基本不等式可求得BD 错误.【详解】对于A ，由椭圆M 方程知：2a =，3b =221c a b =-=，∴椭圆M 的离心率12c e a ==，A 正确；对于BC ，由A 知：椭圆M 对应的蒙日圆方程为：227xy +=，正方形G 是圆227x y +=的内接正方形，∴正方形G 对角线长为圆的直径27，∴正方形G ()227142=，B 错误，C 正确；对于D ，设长方形G 的长和宽分别为,m n ，长方形G 的对角线长为圆的直径27，2228m n ∴+=，∴长方形G 的面积22142m n S mn +=≤=（当且仅当14m n ==，即长方形G 的面积的最大值为14，D 正确.故选：B.6.已知椭圆C :2212516x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点M 在椭圆C 上，则12MF F △的内切圆半径的取值范围为（）A.(]0,3 B.(]0,1 C.40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦D.30,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】寻找12MF F △的内切圆半径与三角形面积之间的关系，根据12MF F △面积的取值范围可以得到12MF F △的内切圆半径的取值范围.【详解】设12MF F △的内切圆半径为r ，椭圆方程为22221x y a b+=，则5a =，4b =，2229c a b =-=，即3c =，又()()1212121122822=++=+=△MF F S PF PF F F r a c r r ，所以1218=△MF F r S ，由于1212110641222<≤⋅=⨯⨯=△MF F S b F F ，所以302<≤r .故选：D7.定义：设{}123,,a a a 是空间的一个基底，若向量123p xa ya za =++ ，则称实数组(),,x y z 为向量p在基底{}123,,a a a下的坐标.已知{},,a b c 是空间的单位正交基底，(){}2,,2a b b b c -- 是空间的另一个基底.若向量p 在基底(){}2,,2a b b b c -- 下的坐标为()1,2,1-，则向量p在基底{},,a b c 下的模长为（）A.3B.C.9D.6【答案】A 【解析】【分析】根据基底的定义结合题意直接求解即可【详解】由题意得向量p 在基底(){}2,,2a b b b c --下的坐标为：()1,2,1-，则()22222p a b b b c a b c =--+-=--，所以向量p 在{},,a b c下的坐标为：()2,2,1--，3=，故A 项正确.故选：A.①若直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=平行，则a 的值为32或0；②若,A B 为双曲线2219y x -=上两点，则()1,1可以是线段AB 的中点；③经过任意两个不同的点()()111222,,,P x y P x y 的直线都可以用方程()()()()121121y y x x x x y y --=--表示；④向量()()1,2,,1,2,1a b λ=-=--的夹角为钝角时，实数λ的取值范围是5λ>-.A.①④B.③④C.①②④D.②④【答案】C 【解析】【分析】0a =时，两直线重合，①错误，利用点差法计算直线方程，与双曲线无交点，②错误，考虑12x x =和12x x ≠两种情况得到③正确，1λ=时不成立，④错误，得到答案.【详解】对①：当0a =时，直线220x ay +-=与直线()120a x ay -++=重合，错误；对②：若成立，设()11,A x y ，()22,B x y ，直线斜率存在设为k ，则221119y x -=，222219y x -=，相减得到()()()()1212121209y y y y x x x x +-+--=，即2209k-=，解得9k =，直线AB ：98y x =-，229819y x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得到272144730x x -+=，无解，错误；对③：当12x x =时，直线方程为1x x =；当12x x ≠时，直线方程为()211121y y y y x x x x --=--，两种情况可以合并为：()()()()121121y y x x x x y y --=--，正确；对④：当1λ=时，()()1,2,1,1,2,1a b =-=--，a b =- ，夹角为π，错误；故选：C二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.A.若{},,a b c 为空间的一个基底，则{},2,a b b c a c a ++++不能构成空间的另一个基底B.若非零向量a 与平面α内一个非零向量平行，则a所在直线与平面α也平行C.若平面,αβ的法向量分别为()()120,1,3,1,0,3n n ==，则//αβD.已知v 为直线l 的方向向量，1n 为平面α的法向量，则1//v n l α⊥⇔【答案】BCD 【解析】【分析】由()()2a b b c a c a +=++-+可判断选项A ；利用空间位置关系的向量证明判断B ，C ，D.【详解】选项A.设()()2a b x b c a y c a +=++++,即()()()1210x y a x b x y c --+--+= 由{},,a b c 为空间的一个基底，即,,a b c不共面，则101200x x y x y -=⎧⎪--=⎨⎪+=⎩，解得1,1x y ==-即()()2a b b c a c a +=++-+ ，所以,2,a b b c a c a ++++共面，即不能构成空间的另一个基底，故选项A 正确.选项B.若非零向量a与平面α平行，则所在直线可能与平面α平行，也可能在平面α内，选项B 不正确；选项C.显然向量()()120,1,3,1,0,3n n ==不共线，因此平面,αβ不平行，选项C 不正确；选项D.由1v n ⊥，得直线l 与平面α平行，也可能直线l 在平面α内，选项D 不正确；故选：BCD10.若点M 是圆22:(2)1C x y -+=上任意一点，则点M 到直线30kx y +-=的距离可以为（）A.0B.32C.3D.5【答案】ABC 【解析】【分析】根据圆上动点到过定点直线的距离最大为：圆心到定点的距离加上半径；当直线与圆相交时有最小距离0，从而可判断求解.【详解】由题意得：圆心()2,0C ，半径：1r =，直线30kx y +-=过定点：()0,3P ，当圆心与定点P 的连线垂直直线时，M到直线有最大的距离且为：11CP r +=+=，当直线与圆相交时有最小距离0，故M到直线的距离范围为：01d ≤≤+故选项ABC 符合题意，D 项不符合题意.故选：ABC.11.已知椭圆22:1925x y C +=的两个焦点分别为12,F F ，O 为坐标原点，则以下说法正确的是（）A.若过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为12B.椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=C.若P 为椭圆C 上一点，且1PF 与2PF 的夹角为60︒，则12PF F △的面积为D.若P 为椭圆C 上一点，Q 为圆221x y +=上一点，则点,P Q 之间的最大距离是9【答案】BC 【解析】【分析】根据2ABF △的周长为4a 即可判断A ；设()[],,5,5P x y x ∈-，根据120PF PF ⋅=求出P 点的坐标即可判断B ；根据椭圆的定义结合余弦定理求出12PF PF 即可判断C ；求出OP 的最大值，再根据max max 1PQ OP =+即可判断D.【详解】设椭圆C 的长轴长为2a ，短轴长为2b ，焦距为2c ，则22225,9,16a b c ===，所以5,3,4a b c ===，对于A ，过1F 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，则2ABF △的周长为420a =，故A 错误；对于B ，可取()()120,4,0,4F F -，设()[],,5,5P x y y ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则()()12,4,,4PF x y PF x y =---=--，所以222221291616916702525PF PF x y y y y ⋅=+-=-+-=-= ，解得[]575,54y =±∈-，所以椭圆C 上存在点P ，使得120PF PF ⋅=，故B 正确；对于C ，由题意可得1212210,28PF PF a F F c +====，在12PF F △中，由余弦定理得2221212122cos60F F PF PF PF PF =+-︒，即()21212126431003PF PF PF PF PF PF =+-=-，所以1212PF PF =，所以12PF F △的面积为121sin 602PF PF ︒=C 正确；对于D ，设()[],,5,5P x y x ∈-，则221925x y +=，所以229925x y =-，则OP ==因为[]5,5y ∈-，所以[]20,25y ∈，所以[]3,5OP =，所以max max 16PQ OP =+=，故D 错误.故选：BC.12.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，且平面PAD ⊥平面,ABCD M 是线段PC 上的一点，则以下说法正确的是（）A.OM PD ⊥B.OM BC⊥C.若点M 为线段PC 的中点，则直线//OM 平面PABD.若13PM PC =，则直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10【答案】BCD 【解析】【分析】根据题意，由线面垂直的判断定理即可判断AB ，由线面平行的判定定理即可判断C ，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，即可判断D.【详解】连接OC ，因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60ADC ∠=︒，又PAD 为正三角形，O 为AD 的中点，所以AD PO ⊥，AD CO ⊥，又PO CO O = ，,PO CO ⊂平面POC ，所以AD ⊥平面POC ，又OM ⊂平面POC ，所以AD OM ⊥，又//AD BC ，所以OM BC ⊥，故B 正确；当点M 为线段PC 的中点时，取BP 的中点N ，连接,MN AN ，则//MN BC ，且12MN BC =，又O 为AD 的中点，底面ABCD 是边长为2的菱形，所以//AO BC ，且12AO BC =，所以//MN AO ，且MN AO =，所以四边形AOMN 为平行四边形，所以//OM AN ，又OM ⊄平面PAB ，AN ⊂平面PAB ，所以//OM 平面PAB ，故C 正确；因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD 为正三角形，O 为AD 中点，所以PO AD ⊥，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，且OC ⊂平面ABCD ，所以PO OC ⊥，又OD OC ⊥，OD OP O ⋂=，,OD OP ⊂平面OPD ，所以OC ⊥平面OPD ，又PD ⊂平面OPD ，所以OC PD ⊥，显然PD 与平面OPC 不垂直，故当点M 运动到点C 位置时，才有OM PD ⊥，故A错误；建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()(0,0,0,1,0,0,2,,0,,0,0,O A B C P ，又13PM PC =，所以0,,33M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，则1,,33AM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，()AB =，(AP =- ，设平面PAB 的法向量为(),,n x y z =，则0n AB x n AP x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令x =，则1,1y z =-=，所以)1,1n =-，设直线AM 与平面PAB 的夹角为θ，则sin cos ,10n AM n AM n AMθ⋅=<>==⋅，则310cos 10θ==，所以直线AM 与平面PAB所成角的余弦值为10，故D 正确；故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系Oxyz 中，())0,1,2,AM AN ==，则点M 到直线AN 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】先求出AM 在AN上的投影向量的模长，然后利用勾股定理求解即可【详解】AM 在AN 上的投影向量的模长32AN AM d AN⋅==.则点M 到直线AN的距离为112==故答案为：11214.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22680x y x +-+=相切，则双曲线的离心率为__________.【答案】4【解析】【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再表示出渐近线方程，利用圆心到直线的距离等于半径即可得到3c b =，即可求出离心率.【详解】圆22680x y x +-+=即()2231x y -+=，圆心为()3,0，半径1r =，双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，依题意1d ==，即3c b =，又222c a b =+，所以a =，所以离心率324c e a ===.故答案为：415.如图，已知一个二面角的平面角为120︒，它的棱上有两个点A 、B ，线段AC 、BD 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱AB，AC =，BD =，CD =，则线段AB 的长为__________.【答案】2【解析】【分析】过点A 作//AF BD ，且AF BD ==，在ACF △利用余弦定理可得CF =，再在CDF 中利用勾股定理求解.【详解】过点A 作//AF BD，且AF BD ==，则四边形ABDF 为平行四边形，DF AB ∴=，又BD AB ⊥ ，AF AB ∴⊥，AC AB ⊥ ，CAF ∴∠即为二面角的平面角，即120CAF ∠=︒，在ACF △中，(2222212cos 2142CF CA AF CA AF CAF ⎛⎫=+-⋅⋅∠=+--= ⎪⎝⎭，即CF =又AC AF A ⋂=，AC ，AF ⊂平面ACF ，AB ∴⊥平面ACF ，CF ⊂Q 平面ACF ,AB CF ∴⊥，FD CF ⊥，在CDF 中，(222224DF CD CF =-=-=，即2AB DF ==，故答案为：2.16.某地发生地震，呈曲线形状的公路EF 上任意一点到A 村的距离比到B 村的距离远4km ，B 村在A 村的正东方向6km 处，C 村在A 村的北偏东60︒方向处，为了救援灾民，救援队在曲线EF 上的M 处收到了一批救灾药品，现要向B C ､两村转运药品，那么从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为__________km .【答案】4-【解析】【分析】根据题意建立直角坐标系，结合双曲线定义可知曲线EF 的轨迹为双曲线的右支，从而求得其轨迹方程，结合图像得到4MB MC AC +≥-，由此得解.【详解】如图，以AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系，由题意得46MA MB -=<，根据双曲线定义知，轨迹为双曲线的右支，故24,2,26,3,a a c c b =====所以曲线EF 的轨迹方程为221(0)45x y x -=>，因为AC =所以244MB MC MC MA a AC +=+-≥-=，当且仅当,,A M C 共线时，等号成立，所以从M 处到B 、C 两村的路程之和的最小值为()4km .故答案为：634-.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知()()2,0,2,0A B -，动点M 与点A 的距离是它与点B 2倍.（1）求点M 的轨迹方程；（22倍改成(0)k k >倍，求点M 的轨迹.【答案】（1）22(6)32x y -+=（2）答案见解析【解析】【分析】（1）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简即可；（2）设点M 的坐标，利用两点之间的距离公式列出等式化简，化简过程中注意二次项系数为0的情况.【小问1详解】设点M 的坐标为(),x y ，由2MA =，2222(2)2(2)x y x y ++=-+221240x x y -++=，即22(6)32x y -+=.【小问2详解】设点M 的坐标为(),x y ，由MA k MB =，得2222(2)(2)x y x y ++=-+化简得()()()()2222221411410kxk x k y k -+++-+-=，当1k =时，方程为0x =，可知点M 的轨迹是线段AB 的垂直平分线；当0k >且1k ≠时，方程可化为()()2222222211611k k x y k k ⎡⎤+⎢⎥++=-⎢⎥-⎣⎦，点M 的轨迹是以()2221,01k k ⎛⎫+ ⎪ ⎪-⎝⎭为圆心，半径为241kk -的圆.18.已知椭圆2222:1(0)C b b x a a y +>>=上的任意一点到两个焦点的距离之和为3，过点()1,1P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点，且满足0PA PB +=，若M 为直线AB 上任意一点，O 为坐标原点，求OM 的最小值.【答案】2105.【解析】【分析】先求出椭圆方程，再利用点差法得到直线AB 的方程，利用点到直线距离公式求出答案.【详解】由题意得23c a a ==，解得2,a c b ====，所以椭圆方程为22162y x +=，因为221121623+=<，所以()1,1P 在椭圆内，所以直线AB 与椭圆总有两个交点，因为0PA PB += ，所以点P 为线段AB 的中点，设()()1122,,,A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=，22112222162162y x y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22222121062y y x x --+=，所以()()()()2121212130y y y y x x x x +-++-=，所以()()2121260y y x x -+-=，即()()212130y y x x -+-=，所以21213y y x x -=--，所以直线AB 为()131y x -=--，即340x y +-=，因为M 为直线AB 上任意一点，所以OM 的最小值为点O 到直线AB的距离5d ==.19.如图，已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1CC 的中点.（1）求证：BD ⊥平面1A AE ；（2）求点B 到平面1AB E 的距离；（3）求平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）23（3）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明线线垂直，再由线面垂直的判定定理得证；（2）利用向量法求点面距离；（3）利用向量法求两个平面的夹角.【小问1详解】以点1D 为坐标原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x 轴、y 轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()()()()11111,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0,0,1,0,1,1,1,1,0,1,1A B C D A B C ，()10,0,1,0,1,2D E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故()()111,1,0,0,0,1,1,1,2DB A A AE ⎛⎫===-- ⎪⎝⎭ ，所以10,0DB A A DB AE ⋅=⋅= ，所以1,BD AA BD AE ⊥⊥，又1AA AE A ⋂=，1,AA AE ⊂平面1A AE ，因此BD ⊥平面1A AE .【小问2详解】平面1AB E 的法向量为()123,,m x x x =，()1110,1,1,1,0,2B A B E ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭ ，则1231130,10,2m B A x x m B E x x ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩取11x =，可得()1,2,2m =，又()10,0,1B B = ，则点B 到平面1AB E 的距离为123B B m d m ⋅== .【小问3详解】设平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角为θ，因为平面1111D C B A 的一个法向量为()0,0,1n = ，所以2cos ,3m n m n m n ⋅== ，故3sin θ=，所以平面1AB E 和底面1111D C B A 夹角的正弦值为3.20.瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中，ABC 满足AC BC =，顶点(1,0)A -、(1,2)B ，且其“欧拉线”与圆()222:5(0)M x y r r ++=>相切.（1）求ABC 的“欧拉线”方程；（2）若圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，求a 的范围；（3）若点(),x y 在ABC 的“欧拉线”.【答案】（1）10x y +-=（2）a ⎡∈⎣（3）2【解析】【分析】（1）根据题意，得出等腰三角形欧拉线为底边上的垂直平分线，利用点斜式求出直线方程；（2）因两圆有公共点，利用两圆的圆心距与半径的关系求出的范围（3）依题意，转化为直线上的动点到两定点的距离之和的最小值，根据点关于直线对称求出对称点即可得结果.【小问1详解】因为AC BC =，所以ABC 是等腰三角形，由三线合一得：ABC 的外心、重心、垂心均在边AB 的垂直平分线上，设ABC 的欧拉线为l ，则l 过AB 的中点，且与直线AB 垂直，由()()1,01,2A B -､可得：AB 的中点1102,22D -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，即()()200,1,111AB D k -==--，所以1l k =-，故l 的方程为10x y +-=.【小问2详解】因为l 与圆222:(5)M x y r ++=相切，故r ==圆22()2x y a +-=的圆心坐标为()0,a，半径1r =，则要想圆M 与圆22()2x y a +-=有公共点，只需两圆圆心的距离小于等于半径之和，大于等于半径之差的绝对值，故≤≤a ⎡∈⎣.【小问3详解】，所以该式子是表示点(),x y 到点()1,1、点()2,0的距离之和，又10x y +-=，所以上述式子表示直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值.设点()1,1E 关于直线10x y +-=的对称点为(),G s t ，则有11,11110,22t s s t -⎧=⎪⎪-⎨++⎪+-=⎪⎩解得00s t =⎧⎨=⎩，即()0,0G .所以2FG =，所以直线10x y +-=上的点(),x y 到点()1,1E 、点()2,0F 的距离之和的最小值为2FG =.21.已知圆P 与直线2x =相切，圆心P 在直线0x y +=上，且直线20x y --=被圆P截得的弦长为.（1）求圆P 的方程；（2）若直线:4l y kx =-与圆P 交于不同的两点,C D ，且30PCD ∠=︒，求直线l 的斜率；（3）若点Q 是直线1:40l x y --=上的动点，过Q 作圆P 的两条切线,QM QN ，切点分别为,M N ，求四边形PMQN 面积的最小值.【答案】（1）224x y +=（2）（3）4【解析】【分析】（1）根据条件可知圆心坐标为(),P a a -，结合圆与直线2x =相切得到半径，再利用弦长公式求解即可；（2）由（1）可知点P 即为原点，根据条件得到原点O 到直线l 的距离，利用点到直线距离公式求解即可；（3）根据当1PQ l ⊥时，PQ 最小，此时四边形PMQN 的面积最小进行求解.【详解】（1）设圆P 的圆心为(),P a a -，半径为r ，因为圆P 与直线2x =相切，所以2r a =-.又直线20x y --=被圆P 截得的弦长为，=0,2,a r =⎧⎨=⎩即圆心坐标为()0,0,2r =，所以圆P 的方程为224x y +=.（2）依题意，P 即为坐标原点,2O OC OD ==，且30OCD ∠= ，则点()0,0O 到CD 的距离为1，于1=，解得k =，所以直线l 的斜率为（3）由切线长定理可得QM QN =，又因为PM PN =，所以PMQ PNQ ≅ ，所以四边形PMQN 的面积22PMQ S S PM MQ MQ ==⋅= ，因为||MQ =1QP l ⊥时，QP 取最小值，且min ||QP ==，所以四边形PMQN 的面积的最小值为4S ==.22.已知点A 在曲线22:186x y C +=上，O 为坐标原点，若点B 满足OA = ，记动点B 的轨迹为Γ.（1）求Γ的方程；（2）设Γ的右焦点为F ，过点F 且斜率不为0的直线l 交椭圆Γ于,P Q 两点，若MF 与x 轴垂直，且M 是MF 与Γ在第一象限的交点，记直线MP 与直线MQ 的斜率分别为12,k k ，当120k k +=时，求MPQ 的面积.【答案】（1）22143x y +=（2）8【解析】【分析】（1）设()(),,,A A B x y A x y，根据OA = ，把B 点的坐标用A 点的坐标表示，再代入曲线22:186x y C +=即可得解；（2）设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，再结合120k k +=可求出m ，即可得直线l 的方程，进而可求出三角形的面积.【小问1详解】设()(),,,A A B x y A x y ，因为点A 在曲线22:186x y C +=上，所以22186A A x y +=，因为OA =，所以A A x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩，代入22186A A x y +=可得22(2)(2)186+=，即22143x y +=，即Γ的方程为22143x y +=；【小问2详解】由（1）知，Γ的右焦点为()1,0F ，令1x =，则21143y +=，解得32y =±，所以31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，据题意设直线l 的方程为()()()112210,1,,1,x my m P my y Q my y =+≠++，则121212112233232322,22y y y y k k my my my my ----====，于是由120k k +=得12122323022y y my my --+=，化简得()()121243*y y y y =+，由221,34120x my x y =+⎧⎨+-=⎩，消去x 整理，得()2234690m y my ++-=，()()222Δ(6)363414410m m m =++=+>，由根与系数的关系得12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，代入()*式得：2218363434m m m -=-++，解得2m =，所以直线l 的方程为210x y --=，方法一：()2121239Δ14421720,,416y y y y =+=+=-=-，所以154PQ ===，点M 到直线l的距离355d ==，所以1115359522458MPQ S PQ d ==⨯⨯= .方法二：由题意可知1324MPQ MPF MQF P Q P Q S S S MF x x x x =+=-=- ，210x y --=代入2234120x y +-=消去y ，得242110x x --=，所以()2111Δ(2)44111800,,024P Q P Q x x x x =--⨯⨯-=>+==-<，所以33448MPQ P Q S x x =-=== .【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；,x y所满足（3）相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.。
河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题(含答案解析)
河北省唐山市十县一中联盟2023-2024学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题二、多选题9．在正方体1111ABCD A B C D -中，,E F 分别为,AB BC 的中点，则下列说法不正确的是三、填空题四、双空题五、问答题⊥(1)求证：AA BD六、证明题(1)求证：BD ⊥平面POA ；(2)求平面PAB 与平面PAO 夹角的余弦值．22．已知圆22:5C x y +=，过圆上一点()2,1P -作直线PA 设直线,PA PB 的斜率为12,k k ．参考答案：故选：A 5．B【分析】利用点线距离公式求圆心与直线的距离，【详解】由圆22:4C x y +=所以(0,0)C 到直线4mx ny +=又(),m n 在圆22:4C x y +=上，则所以直线4mx ny +=与圆C 相切故选：B 6．D【分析】先根据圆的方程得到两圆的圆心和半径，于半径之和，进而列出不等式可得【详解】圆M ：2(2)x y ++圆N ：2264x y y a +-+-=则13a <，圆心坐标为()0,3因圆M 与圆N 外离，所以圆心距大于半径之和，即得913a <<，故选：D 7．B【分析】在四面体中，用向量加法法则表示【详解】在四面体中，因为设2,1AC BD ==，且AB BD ⋅故选：B 9．BCD【分析】由正方体的性质，结合线面垂直、可.【详解】由题设//EF AC ，AC 由1DD ⊥面ABCD ，EF ⊂面又1DD BD D =I ，1,DD BD ⊂EF ⊂面1B EF ，故平面1B EF ⊥由1AA ⊥面ABCD ，BD ⊂面1AA AC A = ，1,AA AC ⊂面BD ⊂面1A BD ，则面1A BD ⊥故选：BCD 10．AC【分析】由直线方程求定点可判定【详解】直线方程可化为(3故直线l 恒过定点()1,1P ，A 易知圆心()1,2C -，半径r 显然当直线l 过圆心时，AB 故B 错误；当CP l ⊥时，此时弦AB 最短，即故C 正确；当35m =-时，则弦长AB =故选：AC 11．BD3B 选项，连接,AC BD 相交于点Q ，连接111,A C B D 连接QK ，则四棱台外接球的球心O 在直线QK 上，连接1,OA OA ，则1OA OA R ==，因为114,2A A D D ==，所以1142,22,C C A A ==由A 选项知，3QK =，设OK m =，则OQ =由勾股定理得22221A K OK OQ AQ +=+，即2m +C 选项，过点N 作NW ⊥平面ABCD 于点W ，则则2223MN NW WM WM =+=+，由几何关系知，当W 与点G 重合，且,,M G H 三点共线时，最小值为1，故MN 的最小值为2312MN =+=，D 选项，连接1111,,A B A C BC ，则点1A 到平面1B BCC 其中由A 选项，可知正四棱台的高为3，侧高为故1111111111123323333A BBC B A B C A B C V V S --==⋅=⨯= 故三棱锥111A BB C -的高为1111132332A BBC BB C V S -== ，故选：BD 12．ABD【分析】设动点坐标，根据13PA PB =可求得动点轨迹方程，求得切线长；B 选项可知PO 是APB △内角APB ∠以求得动点M 的轨迹，判断两曲线的位置关系来判断是否存在；小可以求解.【详解】设P 点坐标为(,)x y ，由13PA PB =，则((2260x y x ++=，所以动点轨迹是以(3,0)C -为圆心，A 选项，过点B 作曲线C 的切线，切线长为81-B 选项，当,,A B P 三点不共线时，由三角形内角平分线定理可知，的角平分线，所以APO BPO ∠=∠.故B 选项正确C 选项，因为2MO MA =，设(,)M x y ，则()222x x ++所以动点M 的轨迹为圆心2C 8(,0)3-，半径为2r =2213CC r r =<-，所以两圆位置关系为内含，所以在故C 错误.D 选项，因为13PA PB =，所以（2）11BD BD DD b =+= ()(BD AC b a c b ∴⋅=-+⋅20．(1)证明见解析(2)64．【分析】(1)取1A B 的中点F ，连接DF (2)建立空间直角坐标系，求出平面ABE 【详解】（1）取1A B 的中点F ，连接DF ,D F 分别为1,AB A B 的中点，1DF AA ∴∥，且112DF AA =，又11C E AA ∥且1112C E AA =，1DF C E ∴∥且1DF C E =，∴四边形1DEC F 为平行四边形，则DE DE ⊄ 平面111,A BC FC ⊂平面11A BC ，DE ∴ 平面11A BC ．所以()(11,2,3,1,0,BA AB =-=- 设平面ABE 的法向量为(,,m x y =以O 为原点，OA 、ON 、则()()33,0,0,3,0,0,A H()）当直线AB 斜率存在时，设直线()(11:,,,AB y kx m A x y B =+将直线:AB y kx m =+代入圆C 的方程得()22212k x kmx m +++-()()22222222441502151k m k m km x k m k -+->=-+-=+1221211,22y y k x x --==++，1221211122y y k x x --+=+=++．。
2023-2024学年河北省唐山市十县高二上学期期中考试数学质量检测模拟试题(含解析)
2023-2024学年河北省唐山市十县高二上册期中考试数学模拟试题一、单选题1．直线l ：230x y -+=的斜率和在x 轴上的截距分别为（）A ．12，3B ．12，3-C ．12-，3D ．12-，3-【正确答案】B【分析】由230x y -+=可得322x y =+，据此可得答案.【详解】323022x x y y -+=⇔=+，则直线斜率为12，又令0y =，则30322x x +=⇒=-，故直线在x 轴上的截距分别为3-.故选：B2．已知点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则BC =（）A B ．5CD ．【正确答案】A【分析】求出点B 、C 的坐标，利用空间中两点间的距离公式可求得BC 的值.【详解】因为点B 、C 分别为点()3,4,5A 在坐标平面Oxy 和Oyz 内的射影，则()3,4,0B 、()0,4,5C ，因此，BC =.故选：A.3．直线1l ：16x y -+=，直线2l ：30x y --=，则1l 与2l 之间的距离为（）A B ．2C ．D ．4【正确答案】C【分析】根据平行线的距离公式d .【详解】d =故选:C.4．已知空间三点O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，则以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为（）A ．8B ．4C ．D ．【正确答案】D【分析】先求出OA ，OB 的长度和夹角，再用面积公式求出OAB 的面积进而求得四边形的面积.【详解】因为O (0，0，0)，A (12)，B -1，2)，所以OA ==，2OB =，1,2),OA OB ==-11221cos ,2OA OB -+⨯== ，所以sin ,2OA OB = ，以OA ，OB 为邻边的平行四边形的面积为1222ABC S =⨯⨯= 故选：D.5．已知圆M 的半径为r 且圆心在x 轴上，圆M 与圆22:220N x y x y +--=相交于AB 两点，若直线AB 的方程为y x =，则（）A ．AB =r B ．AB 4=，rC ．AB =2r =D ．AB 4=，2r =【正确答案】C【分析】分析可知圆心N 在直线AB 上，可求得AB ，求出圆心M 的坐标，可求得圆心M 到直线AB 的距离，利用勾股定理可求得r 的值.【详解】圆N 的标准方程为()()22112x y -+-=，圆心为()1,1N易知点N 在直线AB 上，所以，AB =因为圆心N 在直线AB 上，则圆心N 为线段AB 的中点，易知过圆心N 且与直线AB 垂直的直线的方程为20x y +-=，该直线交x 轴于点()2,0M ，点M 到直线AB 的距离为d ==2r ∴==.故选：C.6．已知直线1l 与直线2:20l x y a -+=关于x 轴对称，且直线1l 过点()2,1，则=a （）A ．5-B ．5C ．4-D ．4【正确答案】A【分析】分析可知，直线2l 经过点()2,1关于x 轴的对称点，由此可求得实数a 的值.【详解】点()2,1关于x 轴的对称点的坐标为()2,1-，由题意可知，直线2l 过点()2,1-，则2210a ⨯++=，解得5a =-.故选：A.7．在棱长为3的正四面体ABCD 中，2AM MB = ，2CN ND =，则MN = （）A ．2B CD ．【正确答案】B【分析】将MN 用AB、AC 、AD 表示，利用空间向量数量积的运算性质可求得MN .【详解】因为2AM MB =，所以，23AM AB = ，又因为2CN ND =，则()2AN AC AD AN -=- ，所以，1233AN AC AD =+ ，所以，122333MN AN AM AC AD AB =-=+- ，由空间向量的数量积可得293cos602AB AC AB AD AC AD ⋅=⋅=⋅==，因此，1223MN AC AD AB =+-==故选：B.8．已知P 是圆()22:54C x y -+=上一动点，()1,0A -，M 为线段AP 的中点，O 为坐标原点，则（）A ．22MA MO +为定值B ．22MA MC +为定值C ．22MO MC +为定值D ．222MA MO MC ++为定值【正确答案】B【分析】设点()00,P x y ，可得220001021x y x +=-，求出点M 的坐标，利用平面两点间的距离公式化简可得出合适的选项.【详解】设点()00,P x y ，则()220054x y -+=，可得220001021x y x +=-，则点001,22x y M -⎛⎫ ⎪⎝⎭.圆C 的圆心为()5,0C ，半径为2.对于A 选项，()22222200000022022********M x y x x y y A M x O +++-⎛⎫=+++=⎝+ ⎪⎭()0002102121224144x x x -++-==不是定值，A 错；对于B 选项，222222000002021110611524242M x y x y x y x A MC --+-+⎛⎫⎛⎫=++-+=⎪ ⎪⎝⎝+⎭⎭0010211061202x x --+==，B 对；对于C 选项，()()2222220000020020022212121021221214441524x y x x x x y MO M x y C +-+--+++=+==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭7924x -=不是定值，C 错；对于D 选项，()222222222220000000003201221115244244x y x x y x y x y MA MO MC +-+-+-⎛⎫⎛⎫++=++++-+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()0003102120122105944x x x --++==不是定值，D 错.故选：B.二、多选题9．已知平行六面体111ABCD A B C D -，则下列各式运算结果是1AC uuu r的为（）A ．1AB AD AA ++B ．11111AA A B A D ++C ．1AB BC CC ++ D ．1AB AC CC ++ 【正确答案】ABC【分析】利用空间向量的加法化简可得出合适的选项.【详解】如下图所示：对于A 选项，111AB AD AA AB BC CC AC ++=++=，A 对；对于B 选项，1111111A C A B B A B C C A A D =+++=+，B 对；对于C 选项，11AB BC CC AC =++，C 对；对于D 选项，111AB AC CC AB BC C AC C +=+++≠，D 错.故选：ABC.10．直线:310l x ++=，则（）A ．点(3-在l 上B ．l 的倾斜角为5π6C ．l 的图象不过第一象限D ．l 的方向向量为)3,1【正确答案】BC【分析】利用点与直线的位置关系可判断A 选项；求出直线l 的斜率，可得出直线l 的倾斜角，可判断B 选项；作出直线l 的图象可判断C 选项；求出直线l 的方向向量，可判断D 选项.【详解】对于A 选项，22310-++≠ ，所以，点(3-不在l 上，A 错；对于B 选项，直线l 的斜率为33k =-，故l 的倾斜角为5π6，B 对；对于C 选项，直线l 交x 轴于点()1,0-，交y 轴于点30,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，如下图所示：由图可知，直线l 不过第一象限，C 对；对于D 选项，直线l 的一个方向向量为)1-，而向量)1-与这里(不共线，D 错.故选：BC.11．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点M ，N ，P ，Q 分别为棱A 1D 1，B 1B ，AB ，D 1D 的中点，则（）A ．MN PQ=B ．直线MN 与直线BQ 相交C ．点Q 到直线MND ．点D 到平面MNP 的距离为11【正确答案】AC【分析】A 选项：用勾股定理可求出长度；B 选项：作BQ 的平行线与MN 相交，则可判断是否为异面直线；C 选项：求出三边长度，即可求出结果；D 选项：过点M 做//MH DP ，利用线面平行将点M 到平面DPN 的距离转化为点H 到平面DPN 的距离，等体积转化得到D MPN V -=D HPN V -，求体积和面积计算距离.【详解】A 选项：MN PQ =，故A 正确；B 选项：连接1D N ，则1D N 与MN 相交，1//BQ D N ，则MN 与BQ 为异面直线，故B 错误；C 选项：连接,MQ QN，则MQ =，QN =MN =MQ MN ⊥，所以Q 到直线MN 的距离即为MQ ，故C 正确；D 选项：过点M 做//MH DP ，DP ⊂平面DPN ，MH ⊄平面DPN ，则//MH 平面DPN ，所以点M到平面DPN 的距离等于点H 到平面DPN 的距离，点H 到直线PN 3424+=，1524HPN S == ，又点D 到平面HPN 的距离为2，所以1552346M DPN H DPN D HPN V V V ---===⨯⨯=，又D MPN V -=M DPN V -，MP =PN =MN =1222PMN S ==，设点M 到平面DPN 的距离为h ，则有15326h ⨯⨯=，所以11h =，故D 错误.故选：AC12．已知()1,0A 、()4,0B ，P 为圆22:4C x y +=上一动点，则（）A ．PAB S 的最大值为3B ．PA PB +的最大值为9C ．A 到直线PB 距离的最大值为43D ．2PB PA=【正确答案】ABD【分析】求出点P 到直线AB 的最大距离，结合三角形的面积公式可判断A 选项；求出PBA ∠的最大值，可得出A 到直线PB 距离的最大值，可判断C 选项；利用平面两点间的距离公式结合圆的方程可判断D 选项；利用圆的几何性质可判断B 选项.【详解】对于A 选项，圆C 上的一点P 到直线AB 的最大距离为圆C 的半径2，故PAB S 的最大值为1232AB ⨯⨯=，A 对；对于C 选项，如下图所示：点A 到直线PB 的距离为sin AB PBA ∠，圆C 的圆心为原点O ，当直线PB 与圆C 相切时，此时PBA ∠最大，则点A 到直线PB 的距离取最大值，连接OP ，则OP PB ⊥，则122OP OB ==，故30PBA ∠=o ，因此，点A 到直线PB 的距离为33sin 302=，C 错；对于D 选项，设点()00,P x y ，则22004x y +=，所以，2PB =2PA ===，D 对；对于B 选项，()33369222PA PB PB PO OB +=≤+=⨯=，当且仅当点P 为直线BO 与圆C 的交点，且点O 在线段BP 上时，等号成立，所以，PA PB +的最大值为9，B 对.故选：ABD.三、填空题13．已知向量()1,2,1a =- ，()2,,1b k =，()()a b a b +⊥- ，则k =__________．【正确答案】1±【分析】分析可得()()220a b a b a b +⋅-=-= ，利用空间向量数量积的坐标运算可求得实数k 的值.【详解】因为()()a b a b +⊥- ，则()()()222650a b a b a b k +⋅-=-=-+= ，解得1k =±.故答案为.1±14．设直线1l ：210ax y -+=，直线2l ：()30x a y a +-+=，若1l ∥2l ，则实数a ＝____________．【正确答案】2【分析】由两直线1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=平行，可得12210A B A B -=，由此列式求出a 的值，然后再检验即可．【详解】若1l ∥2l ，则(3)(2)10a a ---⨯=，解得2a =或1a =，当2a =时，直线1l ：2210x y -+=，直线2l ：20x y -+=，符合题意；当1a =时，直线1l ：210x y -+=，直线2l ：210x y -+=，两直线重合，不符合题意.故2．15．已知圆锥PO (P 为圆锥顶点，O 为底面圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形，A ，B ，C 为底面圆周上三点，空间一动点Q ，满足()1PQ xPA yPB x y PC =++--，则PQ 的最小值为____________．【分析】化简向量关系式证明,,,Q A B C 四点共面，结合轴截面特征可求PQ的最小值.【详解】因为()1PQ xPA yPB x y PC =++--，所以x PQ PC xPA y P PB P C C y --+-= ，CQ xCA yCB =+ ，所以,,CQ CA CB共面，又A ，B ，C 为底面圆周上三点，所以点Q 为平面ABC 上一点，由已知PO ⊥平面ABC ，所以PQ PO ≥ ，又圆锥PO 的轴截面是边长为2的等边三角形，所以PO =，所以PQ16．设直线l ：()()110R a x ay a +--=∈与圆C ：224x y +=交于,A B 两点，则AB 的取值范围是___________．【正确答案】4]【分析】由直线系方程求得直线所过定点，求出圆心到定点的距离，再确定弦长最短和最长时的位置，求得弦长，即可得到AB 的取值范围．【详解】直线l ：()()110R a x ay a +--=∈即为()10a x y x -+-=，由010x y x -=⎧⎨-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩,可得直线l 过定点(1,1)P ，圆C ：224x y +=的圆心坐标为(0,0)C ，半径2r =，由于22114+<,故(1,1)P 在圆C ：224x y +=内，||CP ==，则当直线l CP ⊥时，AB 最小，min ||AB =AB 的最大值即为圆的直径，∴AB 的取值范围是⎡⎤⎣⎦故⎡⎤⎣⎦．四、解答题17．已知ABC 三个顶点的坐标分别为()2,4A 、()1,1B -、()9,3C -，求：(1)BC 边上的中线所在直线的方程；(2)BC 边上的高所在直线的方程；(3)BAC ∠的平分线所在直线的方程．【正确答案】(1)52180x y +-=(2)5220x y --=(3)2x =【分析】（1）求出线段BC 的中点坐标，利用两点式可得出BC 边上的中线所在直线的方程；（2）求出直线BC 的斜率，可得出BC 边上的高所在直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程；（3）分析可得0AB AC k k +=，数形结合可得出BAC ∠的平分线所在直线的方程.【详解】（1）解：BC 的中点为()41-,，所以BC 边上的中线所在直线的方程为421442y x --=---，整理可得52180x y +-=.（2）解：132195BC k +==--- ，则BC 边上的高所在直线的斜率为52，所以BC 边上的高所在直线的方程为()5422y x -=-，整理可得5220x y --=.（3）解：41121AB k -==+ ，43129AC k +==--，所以0AB AC k k +=，所以，BAC ∠的平分线所在直线的方程为2x =.18．已知长方体111ABCD A B C D -中，2AB =，4BC =，13AA =，点M ，N 分别在棱CD ，11A D 上，且11A N =，DM a =．(1)若1MN B N ⊥，求a ；(2)若MN 平面1A BD ，求a ．【正确答案】(1)32a =(2)12a =【分析】以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，（1）得出MN 与1B N 的坐标，由已知得出10MN B N ⋅= ，即可列式解出答案；（2）得出MN 与1A B uuu r 的坐标，求出平面1A BD 的法向量，即可根据已知MN 平面1A BD ，列式求解得出答案.【详解】（1）以A 为原点，以AB ，AD ，1AA 为x ，y ，z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,4,0D ，()12,0,3B ，(),4,0M a ，()0,1,3N ，所以(),3,3MN a =-- ，()12,1,0B N =- ，1MN B N ⊥ ，10MN B N ∴⋅= ，即230a -=，解得32a =；（2）由（1）得(),3,3MN a =-- ，()10,0,3A ，()2,0,0B ，()12,0,3A B =- ，设平面1A BD 的法向量为n，则100BD n A B n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，取()6,3,4n = 由MN 平面1A BD ，得0n MN ⋅= ，解得12a =.19．在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =2，AA 1=M 为BB 1的中点．(1)求AB 与平面MAC 所成角的正弦值；(2)证明：平面MA 1C 1⊥平面MAC ．【正确答案】4(2)证明见解析【分析】建立空间直角坐标系,利用线面角公式即可算出答案；利用两个平面的法向量的数量积为零，即可证明.【详解】（1）解：取AC 的中点O ，则OB AC ⊥，以O 为原点．以OA ，OB 为x ，y 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．即O (0，0，0)，A (1，0，0)，C (-1，0，0)，B (030)，M (033所以()1,3,0AB =- ，()2,0,0AC =- ，(1,3,3AM =- 设平面MAC 的法向量为n，则00AC n AM n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1n =- 所以()36cos 4,22AB n ==⨯ 故AB 与平面MAC 64（2）解：由（1）得A 1(1，0，23，C 1(-1，0，23，则()(1112,0,01,3,3A C A M =-=-- 设平面11MA C 的法向量为m ，则11100A C m A M m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 取()0,1,1m = 所以0m n ⋅= ，即m n ⊥ ，故平面MA 1C 1⊥平面MAC ．20．已知圆O ：221x y +=与圆C ：22680x y x y m +--+=相外切．(1)求m 的值；(2)若直线l 与圆O 和圆C 都相切，求满足条件的所有l 的方程．【正确答案】(1)9m =(2)10x +=或724250x y --=或3450x y +-=【分析】(1)把两圆相外切转化为圆心间距离等于半径和,计算求解即可.(2)先设直线再满足直线和圆相切即圆心到直线距离等于半径,计算得解.【详解】（1）圆O 的圆心为O (0，0)，半径1r =由圆C ：22680x y x y m +--+=得()()223425x y m -+-=-，25m <．所以圆C 的圆心C (3，4)，半径R 因为两圆相外切，所以1OC R =+，5OC ==,4=，解得9m =（2）由（1）得圆C ：()()223416x y -+-=①当直线l 的斜率不存在时，设l 的方程为x t=依题意134t t ⎧=⎪⎨-=⎪⎩，解得1t =-，即l 的方程为=1x -②当直线l 的斜率存在时，设l 的方程为y kx b =+，依题意14⎧=⎪⎪=，所以344k b b +-=当344k b b +-=时，334b k =-，代入上式可得()223491)(k k -=+，解得724k =，即2524b =-所以此时l 的方程为7252424y x =-当344k b b +-=-时543b k =-，代入上式可得()()2243251k k -=+，解得34k =-即54b =所以此时l 的方程为3544y x =-+故满足题设的l 的方程为10x +=或724250x y --=或3450x y +-=．21．如图，四边形ABCD 为正方形，以BD 为折痕把BCD △折起，使点C 到达点P 的位置，且二面角A BD P --为直二面角，E 为棱BP 上一点．(1)求直线AD 与BP 所成角；(2)当PE EB 为何值时，平面ADE 与平面PAB 23【正确答案】(1)60 (2)12PE EB =【分析】（1）连接AC 、BD ，设AC BD O = ，推导出PO ⊥底面ABD ，然后以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图空间直角坐标系，设1OA =，利用空间向量法可求得直线AD 与BP 所成角；（2）设PE PB λ= ，其中01λ≤≤，利用空间向量法可得出关于λ的等式，解之即可得出结论.【详解】（1）解：连接AC 、BD ，设AC BD O = ，则O 为BD 的中点，由已知AB AD =，PB PD =，则OP BD ⊥，AO BD ⊥，所以AOP ∠为二面角A BD P --的平面角，所以90AOP ∠= ，因此AO OP ⊥，因为AO BD O = ，AO 、BD ⊂平面ABD ，故PO ⊥底面ABD ．以O 为原点，以OA 、OB 、OP 为x 、y 、z 轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OA =．则()1,0,0A 、()0,1,0B 、()0,1,0D -、()0,0,1P ，()1,1,0AD =-- ，()0,1,1BP =- ，所以1cos ,222AD BP AD BP AD BP ⋅<>===⨯⋅ ，故直线AD 与BP 所成角为60 ．（2）解：设平面PAB 的法向量为()111,,m x y z = ，()1,1,0AB =-uu u r ，()1,0,1AP =- ，则111100m AB x y m AP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取11x =，可得()1,1,1m = ，设()()0,1,10,,PE PB λλλλ==-=- ，其中01λ≤≤，()()()1,0,10,,1,,1AE AP PE λλλλ=+=-+-=-- ，()1,1,0AD =-- ，设平面ADE 的法向量为()222,,x n y z = ，则()22222010n AD x y n AE x y z λλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-++-=⎪⎩，取1x λ=-，可得()1,1,1n λλλ=--+ ，由题意可得cos ,3m n m n m n ⋅<>==⋅ ，因为01λ≤≤，解得13λ=，则13PE PB = ，故12PE EB =，因此，当12PE EB =时，平面ADE 与平面PAB 夹角的余弦值为23.22．已知圆C ：()222(0)x a y r r -+=>，四点P 1(1，1)，P 2(0，2)，P 3(1，P 4(1，中恰有三点在圆C 上．(1)求圆C 的方程；(2)设以k 为斜率的直线l 经过点Q (4，-2)，但不经过点P 2，若l 与圆C 相交于不同两点A ，B ．①求k 的取值范围；②证明：直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值．【正确答案】(1)224x y +=(2)①413k -<<-或10k -≤<；②证明见解析【分析】（1）先判断出2P ，3P ，4P 在圆C 上，然后通过列方程组的方法求得,a r ，从而求得圆C 的方程.（2）①将直线l 的方程代入圆C 的方程，化简后利用0∆>求得k 的取值范围.②利用根与系数关系证得22P A P B k k +为定值.【详解】（1）显然圆C 关于x 轴对称，3P (1，4P (1，关于x 轴对称，所以3P 、4P 在圆C 上，因此1P 不在圆C 上，即2P ，3P ，4P 在圆C 上，代入圆的方程可得:()2222413a r a r ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，解得02a r =⎧⎨=⎩．所以圆C 的方程为224x y +=．（2）直线l ：2(4)y k x +=-，1k ≠-．①将直线l ：2(4)y k x +=-代入圆C 的方程得()()222218416160k x k k x k k +-+++=．()()()2222844116160k k k k k ∆=+-++>，解得403k -<<，又1k ≠-，所以413k -<<-或10k -≤<，②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则2122841k k x x k ++=+，212216161k k x x k +⋅=+，2112P A y k x -=，2222P B y k x -=，112(4)y k x +=-，222(4)y k x +=-，所以()()22121221244244144P A P B x x k k k k k k k x x k +++=-+⋅=-+⋅=-+，圆直线P 2A 与直线P 2B 的斜率之和为定值.。
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河北省2016-2017学年高二数学上学期期中试题（总分100，时间120分钟） 第Ⅰ卷（总分80分）一、选择题（每个题有且只有一个答案，1-10每个2分，11-30每个3分）1、下面对算法的理解不正确的一项是（ ） A ．一个算法应包含有限的步骤，而不能是无限的B ．算法中的每一步骤都应当是确定的，而不应当是含糊的，模棱两可的C ．算法中的每一步骤都应当有效地执行，并得到确定的结果D ．一个问题只能设计出一种算法2、任何一个算法都必须有的基本结构为（ ） A ．顺序结构B ．条件结构C ．循环结构D ．三个都有3、下列关于程序框和功能描述正确的是（ ）⑴ ⑵ ⑶ ⑷ A ．⑴是处理框；⑵ 是判断框；⑶ 是终端框；⑷是输入、输出框 B ．⑴是终端框；⑵ 是输入、输出框；⑶ 是处理框；⑷是判断框 C ．⑴是处理框；⑵ 是输入、输出框；⑶ 是终端框；⑷是判断框 D ．⑴是终端框；⑵ 是处理框；⑶ 是输入、输出框；⑷是判断框 4、下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A 4M =B M M =-C 3B A ==D 0x y +=5. 1010111（2）= __________（10）A. 85B. 86C. 84D.48 6、 给出以下四个问题, （ ）①输入一个数x ,输出它的相反数. ②求面积为6的正方形的周长.③求三个数a,b,c 中的最大数.④求二进数111111的值.其中不需要用条件语句来描述其算法的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．为了了解所加工一批零件的长度，抽测了其中200个零件的长度，在这个问题中，200个零件的长度是( )．A．总体B．个体是每一个零件C．总体的一个样本 D．样本容量8．用随机数表法从100名学生(其中男生25人)中抽取20人进行评教，某男学生被抽到的概率是( )．A.1100B.125C.15D.149．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175]的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为( )．A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.810．下列两个变量之间的关系是相关关系的是( )．A．正方体的棱长与体积B．单位面积的产量为常数时，土地面积与总产量C．日照时间与水稻的亩产量D．电压一定时，电流与电阻11.如图是根据某校10位高一同学的身高(单位：cm)画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生身高的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生身高的个位数字，从图中可以得到这10位同学身高的中位数是( )．A．161 cm B．162 cm C．163 cm D．164 cm12．甲校有3 600名学生，乙校有5 400名学生，丙校有1 800名学生．为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层抽样法，抽取一个容量为90的样本，应该在这三校分别抽取的学生人数是( )．A．30,30,30 B．30,45,15 C．20,30,10 D．30,50,1013．从一堆苹果中任取10只，称得它们的质量如下(单位：克)：125,120,122,105,130,114,116,95,120,134，则样本数据落在[114.5,124.5)内的频率为( )．A．0.2 B．0.3 C．0.4 D．0.514．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，产品的数量之比依次为3∶4∶7，现在用分层抽样的方法抽出容量为n的样本，样本中A型产品有15件，那么样本容量n为( )．A．50 B．60 C．70 D．8015．某学校为了了解2010年高考数学科的考试成绩，在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科400名考生，理科600名考生，艺术和体育类考生共200名，从中抽取120名考生作为样本．(2)从10名家长中抽取3名参加座谈会．Ⅰ.简单随机抽样法；Ⅱ.系统抽样法；Ⅲ.分层抽样法．问题与方法配对正确的是( )．A．(1)Ⅲ，(2)ⅠB．(1)Ⅰ，(2)ⅡC．(1)Ⅱ，(2)ⅢD．(1)Ⅲ，(2)Ⅱ16．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( )．A. 65B.65C. 2 D．217．下列结论正确的是( )．①函数关系是一种确定性关系；②相关关系是一种非确定性关系；③回归分析是对具有函数关系的两个变量进行统计分析的一种方法；④回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④18．在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，则下列说法中正确的是( )．A．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B．1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌C．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有19．设(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图)，以下结论正确的是( )．A．直线l过点(x，y)B．x和y的相关系数为直线l的斜率C．x和y的相关系数在0到1之间D．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同20.若用水量x与某种产品的产量y的回归直线方程是ˆy=2x＋1250，若用水量为 50kg时，预计的某种产品的产量是（）A．1350 kg B．大于 1350 kg C．小于1350kg D．以上都不对21.执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是( )．A．120 B．720 C．1 440 D．5 04022.如右框图，当x1＝6，x2＝9，p＝8.5时，x3等于( )．A．7 B．8 C．10 D．1123．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出－现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级品)的概率为( )．A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.0824．某工厂对一批产品进行了抽样检测，如图是根据抽样检测后的产品净重(单位：克)数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是[96,106]，样本数据分组为[96,98)，[98,100)，[100,102)，[102,104)，[104,106]，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是( )．A．90 B．75 C．60 D．4525．执行如图所示的程序框图，输出的S值为( )．A ．－3B ．－12 C.13D ．226．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率为( )． A.15 B.25 C.35 D.45 27．读程序回答问题甲 乙 i ＝1S ＝0WHILE i ＜＝1 000 S ＝S ＋i i ＝i ＋1WEND PRINT S WEND i ＝1 000S ＝0DO S ＝S ＋ii ＝i －1LOOP UNTIL i ＜1PRINT S END对甲、乙两程序和输出结果判断正确的是( )． A ．程序不同，结果不同 B ．程序不同，结果相同 C ．程序相同，结果不同 D ．程序相同，结果相同28．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( )．A ．0.40B ．0.30C ．0.60D ．0.9029．某程序框图如图所示，若输出的S ＝57，则判断框内为( )．A ．k ＞4?B ．k ＞5?C ．k ＞6?D ．k ＞7?30．从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，则所取的3个球中至少有1个白球的概率是( )．A.110 B.310 C.35 D.910第Ⅱ卷（总分20分）三、解答题（每个题写出详细的解答过程，其中31,32每题6分，33题8分） 31. 由经验得知，在某商场付款处排队等候付款的人数及概率如下表：(1)至多有2人排队的概率是多少? (2)至少有2人排队的概率是多少?（要求要有解答过程）32. 一批食品，每袋的标准重量是50g ，为了了解这批食品的实际重量情况，从中随机抽取10袋食品，称出各袋的重量（单位：g ），并得到其茎叶图（如图）． （1）求这10袋食品重量的众数，并求这批食品实际重量的平均数；（2）若某袋食品的实际重量小于或等于47g ，则视为不合格产品，试估计这批食品重量的合格率．排队人数 0 1 2 3 4 5人以上 概率0.10.160.30.30.10.044 5 6 6 95 0 0 0 1 1 233. 某服装店经营某种服装，在某周内获利润y （元）与该周每天销售这种服装件数x 之间数据关系见下表; x 34 5 6 7 8 9 y66697381899091已知∑=712i ix=280，45309712=∑=i iy，348771=∑=i i i y x 线性回归方程，（1）求x ，y ； （2）画出散点图；（3）求纯利润y 与每天销售件数x 之间的回归直线方程.。