河北省邢台市2020-2021学年高二上学期期中考试试题 数学
金太阳2020-2021年学年度上学期期中考试高二试题
2020-2021学年度上学期期中考试高二试题数学考试时间：120分钟总分：150分第Ⅰ卷（选择题共60分）一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题只有一个选项符合题目要求.1.已知方程m y x =+32的曲线通过点()2,1-，则=m （）A 5B 8C 9D 102.已知向量()()4,,3,3,1,2k b a -=-=→→，且⎪⎭⎫ ⎝⎛-⊥→→→b a a ，则k 的值为（）A 8-B 6-C 6D 103.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为()()()M C B A ,2,5,6,1,6,2-为BC 的中点，则中线AM 所在直线的方程为（）A 02610=-+y xB 0228=-+y x C 0268=-+y x D 03410=--y x 4.已知点()()1,0,0,1B A ，圆()31:22=++y x C ，则（）A B A ,都在C 内B A 在C 外，B 在C 内C B A ,都在C 外D A 在C 内，B 在C 外5.在正方体1111D C B A ABCD -中，M 为BC 的中点，则异面直线MD 与1AB 所成角的余弦值是（）A 55B 552C 510D 5156.已知椭圆()012:2222>=+m m y m x C 的左、右焦点分别为P F F ,,21为C 上任意一点，若1221≥+PF PF ，则必有（）A 2621≤F F B 2621≥F F C 921≤F F D 921≥F F 7.设直线03=+--k y kx 过定点A ，直线082=--k y kx 过定点B ，则直线AB 的倾斜角为（）A 65πB 32πC 3πD 6π8.设21,F F 分别为双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，实轴为21A A ，若P 为C 的右支上的一点，线段1PF 的中点为M ，且2121127,A A M F PF M F =⊥，则C 的离心率为（）A 34B 35C 2D 37二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.以下关于向量的说法中正确的是（）A 若将所有空间单位向量的起点放在同一点，则中点围成一个球面B 若→→=b a ，则→→=ba C 若→a 与→b 共线，→b 与→c 共线，则→a 与→c 可能不共线D 若→→-=b a ，且→→=c b ，则→→=ca 10.已知双曲线16:22=-y x C ，则（）A C 的焦距为7B C 的虚轴长是实轴长的6倍C 双曲线1622=-x y 与C 的渐近线相同D 直线x y 3=上存在一点在C 上11.若过点()1,2-的圆M 与两坐标轴都相切，则直线01043=+-y x 与圆M 的位置关系可能是（）A 相交B 相切C 相离D 不能确定12.已知曲线C 的方程为()()()()0,1,3,0,3,0,101922--≤<=+D B A x y x ，点P 是C 上的动点，直线AP 与直线5=x 交于点M ，直线BP 与直线5=x 交于点N ，则DMN ∆的面积可能为（）A 73B 76C 68D 72第Ⅱ卷三．填空题（本题共4小题每小题5分，共20分）13.若直线()0814=+++y m x 与直线0932=--y x 平行，则这两条平行直线间的距离为__________.14.在四棱柱1111D C B A ABCD -中，→→→→++=11AA z AC y AB x BC ，则=--z y x _________.15.设椭圆()*22221112N n n y n x ∈=+++的焦距为n a .，则数列{}n a 的前n 项和为___________.16.已知动圆Q 与圆()94:221=++y x C 外切，与圆()94:222=-+y x C 内切，则动圆圆心的轨迹方程为______四．解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.（本小题满分10分）在①它的倾斜角比直线13-=x y 的倾斜角小12π，②与直线01=-+y x 垂直，③在y 轴上的截距为1-，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知直线l 过点()1,2，且__________，求直线l 的方程.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）已知椭圆C 的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，且短轴长为72，离心率为43.（1）求C 的标准方程；（2）若C 的焦点在x 轴上，C 的焦点恰为椭圆M 长轴的端点，且M 的离心率与双曲线15422=-x y 的离心率互为倒数，求M 的标准方程.19.（本小题满分12分）如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，E AB AA ,221==为1DD 的中点.（1）证明：⊥CE 平面E C B 11；（2）求二面角B E C B --11的余弦值.20.（本小题满分12分）如图，在三棱锥ABC D -中，⊥DA 平面BC AB ABC ⊥,且4,3,2===AD AB BC .（1）证明：BCD ∆为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且︒=∠=45,2EAD AE ，求AE 与平面BCD 所成角的正弦值.21.（本小题满分12分）已知P 是椭圆18:22=+y x C 上的动点.（1）若A 是C 上一点，且线段PA 的中点为⎪⎭⎫ ⎝⎛21,1，求直线PA 的斜率；（2）若Q 是圆()4911:22=++y x D 上的动点，求PQ 的最小值.22.（本小题满分12分）已知圆012:22=-+++Ey Dx y x C 过点()7,1-P ，圆心C 在直线022:=--y x l 上.（1）求圆C 的一般方程；（2）若不过原点O 的直线l 与圆C 交于B A ,两点，且12-=⋅→→OB OA ，试问直线l 是否过定点？若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由.。
2021-2022学年-有答案-河北省邢台市学校初二(上)期中考试数学试卷
2021-2022学年河北省邢台市学校初二（上）期中考试数学试卷一、选择题1. 近似数0.13是精确到（）A.十分位B.百分位C.千分位D.百位2. 买a台空调花费b元，则买10台这样的空调要花费（）A.a10b 元 B.10ab元 C.10ba元 D.10ab元3. 已知图中的两个三角形全等，则∠A的对应角是（）A.∠BCEB.∠EC.∠ACDD.∠B4. 把分式xx+y的分子、分母同时乘以n，分式的值保持不变，则n的值为（）A.任意有理数B.任意整数C.任意实数D.任意非零实数5. 已知实数a的一个平方根是−2，则此实数的算术平方根是（）A.±2B.−2C.2D.46. 已知两角及其夹边作三角形，所用的基本作图方法是（）A.平分已知角B.作已知直线的垂线C.作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段D.作已知直线的平行线7. 对于分式x−2x−a来说，当x=−1时，无意义，则a的值是（）A.1B.2C.−1D.−28. 若a表示正整数，且√15.1<a<√332，则a的值是( )A.3B.4C.15D.169. 在等式a2+2a+1a2+a =a+1M中，M为（）A.aB.a+1C.−aD.a2−110. 如图，直径为1个单位长度的圆从A点沿数轴向右滚动（无滑动）两周到达点B，则点B表示的数是（）A.π−1B.2π−1C.2πD.2π+111. 解分式方程x2x−1−3=21−2x时，去分母正确的是( )A.x−6x−3=−2B.x−3=−2C.x−3(2x−1)=2D.x−3(2x−1)=−212. 图中的小正方形边长都相等，若△MNP≅△MFQ，则点Q可能是图中的（）A.点DB.点CC.点BD.点A13. 下列各图中a，b，c为△ABC的边长，根据图中标注数据，判断四个三角形和如图△ABC不一定全等的是( )A. B.C. D.14. 如图，将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB 中，初始位置为CD ，当一端C 下滑至C ′时，另一端D 向右滑到D ′，则下列说法正确的是（ ）A.下滑过程中，始终有CC ′=DD ′B.下滑过程中，始终有CC ′≠DD ′C.若OC <OD ，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC ′=DD ′D.若OC >OD ，则下滑过程中，一定存在某个位置使得CC ′=DD ′二、填空题比较大小： −√263________−3（用“>”，“<”或“=”填空）.若实数x ，y 满足√x +|y −1|=0，则代数式x +y 的值为________.如图， AB =9cm ，AC =3cm ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点B 向点A 运动，同时点Q 在射线BD 上以xcm/s 的速度由点B 沿射线BD 的方向运动，它们运动的时间为t (s ).图① 图②(1)如图①，若AC ⊥AB ，BD ⊥AB ，当△ACP ≅△BPQ ，x =________，∠CPQ =________.(2)如图②， ∠CAB =∠DBA ，当△ACP 与△BPQ 全等时，x =________.三、解答题课堂上，老师让同学们从下列数中找一个无理数：−227，−√2，|−12|，0， 2π，−√83，其中，甲说“−227”，乙说“−√2”，丙说“2π”．(1)甲、乙、丙三个人中，说错的是________；(2)请将老师所给的数字按要求填入下面相应的区域内：尺规作图：如图，已知线段a，b，c，求作△ABC，使AB=a−b，AC=b，BC=c .（不写作法，保留作图痕迹）已知分式1−mm2−1÷(1+1m−1)．(1)请对分式进行化简；(2)如图，若m从−1≤m≤3中取一个合适的整数，则该分式的值对应的点落在数轴上的第________段上．（填写序号即可）已知：点E是△ABC边BC上一点，D是△ABC外一点，DE交AC于F，AC=AD，∠1=∠2=∠CED，求证：AB=AE.小辰想用一块面积为100cm2的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为90cm2的长方形纸片，使它的长与宽之比为5:3．小辰能否用这张正方形纸片裁出符合要求的长方形纸片？若能，请写出具体裁法；若不能，请说明理由．2020年春节寒假期间，小红同学完成寒假数学作业的情况是这样的：刚开始放假后放松调节了几天，随后每天都做相同页数的数学作业，做了5天后，由于新冠肺炎疫情的加重，当地加强了防控措施，对外出进行了限制，小红有更多的时间待在家里，做作业的效率提高到原来的2倍，结果比原来提前6天完成寒假数学作业，已知寒假数学作业共有34页，求小红原来每天做多少页的寒假数学作业？某数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你来加入．【探究与发现】(1)如图1，AD是△ABC的中线，延长AD至点E，使ED=AD，连接BE，证明：△ACD≅△EBD；【理解与应用】(2)如图2，EP是△DEF的中线，若EF=5，DE=3，设EP=x，则x的取值范围是________.(3)如图3，AD是△ABC的中线，E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：BE+ CF>EF.参考答案与试题解析2021-2022学年河北省邢台市学校初二（上）期中考试数学试卷一、选择题1.【答案】B【考点】近似数和有效数字【解析】此题暂无解析【解答】解：近似数0.13是精确到百分位.故选B.2.【答案】C【考点】列代数式【解析】已知a台空调花费b元，可以求出每台空调需要多少元，10×每台空调所需费用，即可求出买10台这样的空调需要的花费．【解答】解：由题意可得：每台空调需要：b元，a所以，买10台这样的空调需要的花费为：10b元.a故选C.3.【答案】A【考点】全等三角形的性质【解析】观察图形，AD与CE是对应边，根据对应边去找对应角．【解答】解：观察图形知，AD与CE是对应边，∴∠B与∠ACD是对应角.又∠D与∠E是对应角∴∠A与∠BCE是对应角．故选A.4.【答案】D【考点】分式的基本性质【解析】根据分式的基本性质即可得到答案.【解答】解：∵把分式xx+y的分子、分母同时乘以n(n≠0)，由分式的基本性质：分式的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变.∴nxn(x+y)=xx+y.故选D.5.【答案】C【考点】算术平方根平方根【解析】分别利用算术平方根以及平方根的定义分析得出答案．【解答】解：∵实数a的一个平方根是−2，∴a=4，∴4的算术平方根是2.故选C．6.【答案】C【考点】作一个角等于已知角作一条线段等于已知线段【解析】看利用ASA是怎么作三角形的即可．【解答】解：已知两角及其夹边作三角形，可先作一条线段等于已知线段，再在线段的两个端点分别作两个角等于已知角，故所用的基本作图方法是作一个角等于已知角及作一条线段等于已知线段.故选C.7.【答案】C【考点】无意义分式的条件【解析】根据分式无意义的条件是分母等于0即可得到答案.【解答】解：∵x=−1时，分式x−2x−a无意义，∴x−a=0，∴−1−a=0，即a=−1.故选C.8.【答案】B【考点】无理数的大小比较【解析】此题暂无解析【解答】解：∵√15.1<a<√16.5，a为正整数，∴a=√16=4.故选B.9.【答案】A【考点】约分分式的化简求值【解析】将分式的分子、分母分别因式分解后约去相同的因式即可．【解答】解：a 2+2a+1a2+a=(a+1)2a(a+1)=a+1a，所以M=a.故选A.10.【答案】B【考点】在数轴上表示实数【解析】根据圆的直径为1，可得圆的周长为π，接下来，观察图形可知，当圆向右滚动两周时，点A移动的距离刚好是圆的周长的两倍，可得AB，从而可以求出.【解答】解：∵圆的直径为1，∴圆的周长为πd=π×1=π.观察图形可知，当圆向右滚动两周时，点A移动的距离刚好是圆的周长的两倍，∴AB=2π，故点B所表示的数是2π−1.故选B．11.【答案】D【考点】解分式方程——可化为一元一次方程【解析】先变形，再两边同乘以2x−1，即可解答.【解答】解：x2x−1−3=21−2x，化为同分母得x2x−1−3=−22x−1，去分母得x−3(2x−1)=−2.故选D.12.【答案】A【考点】全等三角形的性质【解析】根据全等三角形的判定即可解决问题．【解答】解：如图，观察图象可知△MNP≅△MFD．故选A.13.【答案】A【考点】全等三角形的判定三角形内角和定理【解析】先利用三角形内角和计算出∠A =60∘，然后根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断．【解答】解：∵ ∠B =70∘ ，∠C =50∘，∴ ∠A =180∘−70∘−50∘=60∘.根据SSA 无法判断图甲中的三角形与△ABC 全等；根据SAS 可以判断图乙中的三角形与△ABC 全等；根据AAS 可以判断图丙中的三角形与△ABC 全等；根据SSS 可以判断图丁中的三角形与△ABC 全等．故选A ．14.【答案】D【考点】全等三角形的性质与判定全等三角形的应用【解析】根据全等三角形的性质解答即可．【解答】解：将一根笔直的竹竿斜放在竖直墙角AOB 中，初始位置为CD ，当一端C 下滑至C ′时，另一端D 向右滑到D ′，可得： CD =C ′D ′A ，下滑过程中，CC ′与DD ′不一定相等，故A 说法错误；B ，下滑过程中，当△OCD 与△OD ′C ′全等时， CC ′=DD ′，故B 说法错误；C ，若OC <OD ， 则下滑过程中，无法使△OCD 与△OD ′C ′全等，故不存在某个位置使得CC ′=DD ′ ，故C 说法错误；D ，若OC >OD ，则下滑过程中，当△OCD 与△OD ′C ′全等时，一定存在某个位置使得CC ′=DD ′，故D 说法正确.故选D ．二、填空题【答案】>【考点】实数大小比较【解析】首先将−3转化为−√273，再根据实数大小的比较方法，两个负数相比较，绝对值大的反而小，即可得到答案.【解答】解：∵ 3=√273>√263，∴ −√263>−√273即−√263>−3.故答案为：>.【答案】1【考点】非负数的性质：绝对值非负数的性质：算术平方根【解析】根据算术平方根的非负性、绝对值的非负性就可以求出x和y的值，再把x和y的值代入x+y计算即可解答.【解答】解：∵√x+|y−1|=0，∴√x=0，y−1=0，∴x=0，y=1，∴x+y=0+1=1.故答案为：1.【答案】2,90∘2或23【考点】全等三角形的性质全等三角形的判定【解析】【解答】解：(1)由△ACP≅△BPQ可知：AC=BP=3cm，=3s，∴运动了31则AP=9−3=6cm，∴BQ=AP=6cm，=2.∴x=63根据全等可知：∠APC=∠PQB，∠ACP=∠BPQ，∵∠APC+∠ACP=90∘，∴∠APC+∠BPQ=90∘，∴∠CPQ=90∘.故答案为：2；90∘.(2)①当△ACP≅△BPQ时，AC=BP=3cm，∴运动时间为3s，则AP=9−3=6cm，∴BQ=AP=6cm，=2.∴x=63②当△ACP≅△BQP时，cm，BQ=AC=3cm，AP=BP=92此时运动92s，x=3÷92=23.故答案为：2或23.三、解答题【答案】甲(2)正实数有：|−12|，2π，负分数有：−227.【考点】有理数的概念无理数的识别实数【解析】直接利用无理数的定义判断即可.直接按照各自数值的特点判断即可.【解答】解：(1)因为−227是负分数，属于有理数；−√2是无理数，2π是无理数．所以甲、乙、丙三个人中，说错的是甲．故答案为：甲.(2)正实数有：|−12|，2π，负分数有：−227.【答案】解：答案如图所示：【考点】作图—基本作图【解析】此题暂无解析【解答】解：答案如图所示：【答案】解：(1)原式=1−mm2−1÷m−1+1m−1=1−m(m+1)(m−1)⋅m−1m=1−1 m+1=m+1−1 m+1=mm+1.②【考点】分式的化简求值数轴【解析】（1）先算减法，再把除法变成乘法，孙乘法，最后算减法即可；（2）根据化简的结果和数轴得出即可．【解答】解：(1)原式=1−mm2−1÷m−1+1m−1=1−m(m+1)(m−1)⋅m−1m=1−1 m+1=m+1−1 m+1=mm+1.(2)∵原式=mm+1，m为整数且m≠±1，0，∴m可取2,3，∴该分式的值应落在数轴的②处.故答案为：②．【答案】证明：∵∠1=∠2，∴ ∠BAC=∠EAD，∵∠2=∠CED，∠AFD=∠CFE，∴∠C=∠D．∵AC=AD，∴△BAC≅△EAD，∴AB=AE．【考点】全等三角形的性质与判定【解析】【解答】证明：∵∠1=∠2，∴ ∠BAC=∠EAD，∵∠2=∠CED，∠AFD=∠CFE，∴∠C=∠D．∵AC=AD，∴△BAC≅△EAD，∴AB=AE．【答案】解：不能．理由如下：设长方形纸片的长为5x，则宽为3x，根据题意，得5x⋅3x=90，∴ x=√6，∴ 长方形纸片的长为5√6cm，∵√6>2，∴ 5√6>10，即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．答：无法裁出符合要求的长方形纸片．【考点】平方根实数大小比较【解析】此题暂无解析【解答】解：不能．理由如下：设长方形纸片的长为5x，则宽为3x，根据题意，得5x⋅3x=90，∴ x=√6，∴ 长方形纸片的长为5√6cm，∵√6>2，∴ 5√6>10，即长方形纸片的长大于正方形纸片的边长．答：无法裁出符合要求的长方形纸片．【答案】解：设小红原来每天做x页的寒假数学作业，则做作业的效率提高后每天做2x页的寒假数学作业，依题意，得：34x −(5+34−5x2x)=6，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：小红原来每天做2页的寒假数学作业．【考点】分式方程的应用【解析】设小红原来每天做×页的寒假数学作业，则做作业的效率提高后每天做2x页的寒假数学作业，依题意，得：34x −(5+34−5x2x)=6，解得：x+2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：小红原来每天做2页的寒假数学作业．【解答】解：设小红原来每天做x页的寒假数学作业，则做作业的效率提高后每天做2x页的寒假数学作业，依题意，得：34x −(5+34−5x2x)=6，解得：x=2，经检验，x=2是原方程的解，且符合题意．答：小红原来每天做2页的寒假数学作业．【答案】(1)证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ACD和△EBD中，{AD=ED,∠ADC=∠EDB, CD=BD,∴△ACD≅△EBD(SAS).1<x<4(3)解：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG，在△DFC和△DGB中，∵DF=DG，∠CDF=∠BDG，DC=DB，∴△DFC≅DGB(SAS)，∴BG=CF.在△EDF和△EDG.∵DF=DG，∠FDE=∠GDE，DE=DE，∴△EDF≅△EDG(SAS)，∴EF=EG.在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE>EG.又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF>EF.【考点】全等三角形的判定三角形的中线三角形三边关系全等三角形的性质与判定【解析】（1）根据全等三角形的判定即可得到结论；（2）延长EP至点Q，使PQ=PE，连接FQ，根据全等三角形的性质得到FQ=[DE= 3，根据三角形的三边关系即可得到结论；（3）延长FD至G，使得OD=DF，连接BG，EG，求证△DFC=DGB(SAS)，得到BG=CF，再证△EDF≅△EDG(SAS)，得到EF=EG，在△BEG中，两边之和大于第三边，可得BG+BE>EG，又EF=EG,BG=CF，即可证得BE+CF>EF.【解答】(1)证明：∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD.在△ACD和△EBD中，{AD=ED,∠ADC=∠EDB, CD=BD,∴△ACD≅△EBD(SAS).(2)解：延长EP至点G，使PE=GP，连接GD，∵EP是△DEF的中线，∴FP=DP，在△FPE和△DPG中，{EP=GP,∠FPE=∠DPG, FP=DP,△FPE≅△DPG(SAS)，∴EF=GD=5，EP=GP=x.∵在△GDE中，DE=3，∴GD−DE<GE<GD+DE，∴5−3<GE<5+3，∴2<2x<8，∴1<x<4.故答案为：1<x<4.(3)解：延长FD至G，使得GD=DF，连接BG，EG，在△DFC和△DGB中，∵DF=DG，∠CDF=∠BDG，DC=DB，∴△DFC≅DGB(SAS)，∴BG=CF.在△EDF和△EDG.∵DF=DG，∠FDE=∠GDE，DE=DE，∴△EDF≅△EDG(SAS)，∴EF=EG.在△BEG中，两边之和大于第三边，∴BG+BE>EG.又∵EF=EG，BG=CF，∴BE+CF>EF.。
河北省邢台市部分学校2023-2024学年高一上学期期中考试 数学含解析
2023~2024学年高一（上）质检联盟期中考试数学（答案在最后）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上；2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．问答非选择题时．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第一章至第三章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.英文单词excellent 的所有字母组成的集合共有（）A.6个元素B.7个元素C.8个元素D.9个元素2.命题“R x ∃∈，100020x +>”的否定是（）A.R x ∃∉，100020x +≤B.R x ∃∈，100020x +≤C.R x ∀∈，100020x +≤D.R x ∀∉，100020x +≤3.若a c >，b c >，则（）A.2ab c > B.2ab c < C.2a b c+> D.2a b c+<4.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2-D.25.函数()f x =的部分图象大致为（）A. B. C. D.6.设等腰三角形ABC 的腰长为x ，底边长为y ，且1y x =+，则“ABC 其中一条边长为6”是“ABC 的周长为16”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件7.若关于x 的不等式22340ax ax a ++-<对x ∈R 恒成立，则a 的取值集合为（）A.{}20a a -<< B.{}20a a -<≤ C.{}0a a < D.{}0a a ≤8.定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，且当213x x >>时，()()21210f x f x x x ->-恒成立，设()225a f x x =-+，52b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24c f x =+，则（）A.c a b>> B.c b a >> C.a c b>> D.b c a>>二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（）A.()2f x x =，()g x =B.()f x =，()g x=C .()9f x x=，()29x g x x = D.()1f x x =+，()211x g x x -=-10.已知幂函数()f x 满足f =，则（）A.()3f x x= B.()2f x =C.()f x 的图象经过原点D.()f x 的图象不经过第二象限11.“集合(){}22,2,N,N A x y xy a x y =+<∈∈只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（）A.312a <<B.724a <≤ C.23a ≤< D.3724a <<12.函数()()||4f x x x =--在[]ab ,上的最大值为4，最小值为10b -，则b a -的值可能为（）A. B.C.8D.9三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为______元．14.已知109x <<__________．15.已知()3221x bx f x x +=+是定义在[]2,3a a +上的奇函数，则=a ______，b =______．16.已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，且()0,x ∀∈+∞，()(6ff x =，则()100f =______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合{}22240A x x x =--≤，{}632B x m x m =-≤≤+．（1）若3m =，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求m 的取值范围．18.已知幂函数22()(44)m f x m m x +=++在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值；（2）若(21)(3)m m a a ---<+，求a 的取值范围.19.已知函数()221422f x x x +=++．（1）求()f x 的解析式；（2）试判断函数()()f x g x x=在)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明．20.已知某污水处理厂的月处理成本y （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系可近似地表示为()212580210400y x mx x =-+≤≤．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利z （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，21.已知定义在[]22-,上的函数()f x 满足[],1,1m n ∀∈-，()()()()222f m f n f m n f m n +=+⋅-，()00f ≠．（1）试判断()f x 的奇偶性，并说明理由．（2）证明：()2928f x x x +≥-．22.已知关于x 的不等式()22320bx ab b x a b ab --+-<．（1）当1b =，1a >时，求原不等式的解集；（2）当()1b a a =≤时，求原不等式的解集；（3）在（1）的条件下，若不等式恰有1000个整数解，求a的取值集合.2023~2024学年高一（上）质检联盟期中考试数学注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上；2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动．用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．问答非选择题时．将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第一章至第三章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.英文单词excellent 的所有字母组成的集合共有（）A.6个元素 B.7个元素C.8个元素D.9个元素【答案】A 【解析】【分析】根据集合中元素的互异性判断即可.【详解】excellent 的所有字母组成的集合为{}e,x,c,l,n,t ，共有6个元素．故选：A.2.命题“R x ∃∈，100020x +>”的否定是（）A.R x ∃∉，100020x +≤B.R x ∃∈，100020x +≤C.R x ∀∈，100020x +≤D.R x ∀∉，100020x +≤【答案】C 【解析】【分析】根据存在量词命题的否定判断.【详解】存在量词命题的否定为全称命题，所以命题“R x ∃∈，100020x +>”的否定是R x ∀∈，100020x +≤.故选：C.3.若a c >，b c >，则（）A.2ab c > B.2ab c < C.2a b c+> D.2a b c+<【答案】C 【解析】【分析】通过举反例和不等式性质即可得答案.【详解】取1a b ==，1c =-，有2ab c =，A ，B 均错误．因为a c >，b c >，所以2a b c +>，C 正确，D 错误．故选:C.4.函数2(21)31f x x x +=-+，则(3)f =（）A.1- B.1C.2- D.2【答案】A 【解析】【分析】由解析式代入计算函数值即可.【详解】设213x +=，得1x =，则(3)1311f =-+=-.故选：A.5.函数()f x =的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】B 【解析】【分析】先判断函数的奇偶性，由函数图象的对称性排除选项C ，再由函数在(0,)+∞的单调性或值域可得出正确答案.【详解】由已知()f x =，(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞，则()()f x f x -==--，故()f x 是奇函数，图象关于原点对称，故C 项错误；当,()0x ∈+∞时，0x >，则()0f x >，故AD 项错误，应选B.又设12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则33120,0x x <<<，故120xx<<0>>，即()12()f x f x >，故()f x 在(0,)+∞上单调递减.综上，函数()f x =图象的性质与选项B 中图象表示函数的性质基本一致.故选：B.6.设等腰三角形ABC 的腰长为x ，底边长为y ，且1y x =+，则“ABC 其中一条边长为6”是“ABC 的周长为16”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】利用充分条件、必要条件的定义直接判断即可.【详解】当ABC 的一条边长为6时，若6x =，则17=+=y x ，得ABC 的周长为212719+=+=x y ，若6y =，则5x =，得ABC 的周长为216x y +=，当ABC 的周长为16时，由216x y +=，且1y x =+，得5x =，6y =，则ABC 的一条边长为6，所以“ABC 其中一条边长为6”是“ABC 的周长为16”的必要不充分条件.故选：B7.若关于x 的不等式22340ax ax a ++-<对x ∈R 恒成立，则a 的取值集合为（）A.{}20a a -<< B.{}20a a -<≤ C.{}0a a < D.{}0a a ≤【答案】D 【解析】【分析】根据含参一元不等式恒成立对a 分类讨论即可得a 的取值集合.【详解】当0a =时，不等式22340ax ax a ++-<化为4<0-对x ∈R 恒成立；当0a ≠，要使得不等式22340ax ax a ++-<对x ∈R 恒成立，则()2Δ44340a a a a <⎧⎨=--<⎩，解得a<0综上，a 的取值集合为{}0a a ≤.故选：D .8.定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，且当213x x >>时，()()21210f x f x x x ->-恒成立，设()225a f x x =-+，52b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()24c f x =+，则（）A.c a b >>B.c b a >>C.a c b>> D.b c a>>【答案】C 【解析】【分析】根据函数的对称性、单调性确定正确答案.【详解】依题意，定义域为R 的函数()f x 满足()()33f x f x -=+，所以()f x 的图象关于直线3x =对称，而213x x >>时，()()21210f x f x x x ->-恒成立，所以()f x 在区间()3,+∞上单调递增，5117332222b f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2213939252488x x x ⎛⎫-+=-+≥ ⎪⎝⎭，244x +≥，()2222132541024x x x x x x ⎛⎫-+-+=-+=-+> ⎪⎝⎭，所以22725442x x x -+>+≥>，所以a c b >>.故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.下列各选项中的两个函数是同一个函数的是（）A.()2f x x =，()g x =B.()f x =，()g x=C.()9f x x=，()29x g x x = D.()1f x x =+，()211x g x x -=-【答案】AC 【解析】【分析】由两函数的定义域与对应法则是否相同判断即可.【详解】选项A ，因为()2()g x x f x ===，且两函数定义域都是R ，故两函数是同一个函数，所以A 正确；选项B ，因为()f x =[)0,∞+，而()g x=(0,)+∞，故两函数不是同一个函数，所以B 错误；选项C ，()()299x g x f x x x===，且定义域都为{}0x x ≠，故两函数是同一个函数，所以C 正确；选项D ，()1f x x =+的定义域为R ，()211x g x x -=-的定义域为{}1x x ≠，故两函数不是同一个函数，所以D 错误.故选：AC.10.已知幂函数()f x 满足f =，则（）A.()3f x x= B.()2f x =C.()f x 的图象经过原点D.()f x 的图象不经过第二象限【答案】ACD 【解析】【分析】根据幂函数的概念与指数幂的运算得()3f x x =，结合图象逐项判断即可得答案.【详解】设幂函数()af x x =，根据题意可得a=，解得3a =，则()3f x x =，()f x 的图象如图所示：则()f x 的图象经过原点，不经过第二象限．故选：ACD.11.“集合(){}22,2,N,N A x y xy a x y =+<∈∈只有3个真子集”的一个充分不必要条件可以是（）A.312a <<B.724a <≤ C.23a ≤< D.3724a <<【答案】ABD 【解析】【分析】由集合A 中只有2个元素，求a 的取值范围，再通过包含关系验证结论成立的充分不必要条件.【详解】集合(){}22,2,N,N A x y xy a x y =+<∈∈只有3个真子集，即集合A 中只有2个元素，因为N,N x y ∈∈，则有：当0,0x y ==时，2220x y +=；当1,0x y ==时，2221x y +=；当0,1x y ==时，2222x y +=；则a 的取值范围为(]1,2，由31,2⎛⎫⎪⎝⎭(]1,2，7,24⎛⎤⎥⎝⎦(]1,2，37,24⎛⎫⎪⎝⎭(]1,2，可知选项ABD 中的范围符合充分不必要条件；又因为(]1,2与[)2,3之间没有包含关系，可知(]1,2是[)2,3的既不充分也不必要条件；故选：ABD.12.函数()()||4f x x x =--在[]a b ,上的最大值为4，最小值为10b -，则b a -的值可能为（）A. B. C.8 D.9【答案】BCD【解析】【分析】分类讨论x 得到()f x 的图象，然后分2b ≤、22b <≤+2>+b 可.【详解】当0x ≥时，22()4(2)44f x x x x =-+=--+≤；当0x <时，22()4(2)44f x x x x =+=+-≥-．作出()f x 的图象，如图所示．当0x <时，由2()44f x x x =+=，即2440x x +-=，解得2=--x 当2x =-时，(2)4f -=-．当0x ≥时，由2()44f x x x =-+=-，即2440x x -++=，解得2x =+．当2x =时，(2)4f =．根据()f x 在[]a b ,上的最大值为4，最小值为10b -，可对b 作如下讨论：若2b ≤，则1084b -≤-<-，不合题意；若22b <≤+81084b -<-≤-<-，不合题意；若2>+b 8104b -<-<-，令2410b b b -+=-，解得2b =-（舍去）或5．综上可得5b =，22a --≤≤，22a -≤-≤+37b a ≤-≤+故选：BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.某停车场的收费规则：停车1小时以内（含1小时整）收费5元；停车超过1小时，超出部分按每小时2元收费，不足1小时按1小时收费．王先生某日上午10：00进入该停车场停车，当日下午2：35驶出该停车场，则王先生应付的停车费为______元．【答案】13【解析】【分析】根据题意得到王先生的停车时长，然后求停车费即可.【详解】依题意得，王先生的停车时长为4小时35分，则按5小时计费，王先生应付的停车费为54213+⨯=元．故答案为：13.14.已知109x <<__________．【答案】16【解析】【分析】利用基本不等式的变形公式求解可得答案.【详解】因为109x <<，所以190x ->19191326x x +-=≤⨯=，当且仅当919x x =-，即118x =16．故答案为：16.15.已知()3221x bx f x x +=+是定义在[]2,3a a +上的奇函数，则=a ______，b =______．【答案】①.1-②.0【解析】【分析】由定义区间的对称性可解得a ，再由奇函数定义求解参数b 即可.【详解】因为()f x 是定义在[2],3a a +上的奇函数，所以230a a ++=，解得1a =-，又因为322()1x bx f x x +=+是奇函数，则()()()323232222()()111x b x x bx x bx f x f x x x x -+--++-===-=-++-+恒成立，即32322211x bx x bx x x -+--=++恒成立，化简得220bx =，因为该等式对[2,2]x ∀∈-恒成立，所以0b =.故答案为：1-；0.16.已知()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，且()0,x ∀∈+∞，()(6ff x =，则()100f =______．【答案】14【解析】【分析】由单调函数的性质，可得()f x 为定值，可以设()t f x =，则()f x t =又由()6f t =，可得()f x 的解析式求()100f .【详解】()0,x ∀∈+∞，()(6ff x =，()f x 是定义在()0,∞+上的单调函数，则()f x -为定值，设()t f x =()f x t =()6f t t ==，解得4t =，得()4f x =+所以()100414f =+=.故答案为：14.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知集合{}22240A x x x =--≤，{}632B x m x m =-≤≤+．（1）若3m =，求A B ⋂；（2）若A B A ⋃=，求m 的取值范围．【答案】（1）[]3,6（2）4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）解不等式得到集合A ，然后求交集即可；（2）根据A B A ⋃=得到B A ⊆，然后分B =∅和B ≠∅两种情况求解即可.【小问1详解】当3m =时，{}311B x x =≤≤，因为{}{}2224046A x x x x x =--≤=-≤≤，所以[]3,6A B ⋂=．【小问2详解】因为A B A ⋃=，所以B A ⊆．当B =∅时，632m m ->+，解得1m <．当B ≠∅时，63264326m m m m -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+≤⎩，解得413m ≤≤．综上，m 的取值范围为4,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．18.已知幂函数22()(44)m f x m m x +=++在(0,)+∞上单调递减.（1）求m 的值；（2）若(21)(3)m m a a ---<+，求a 的取值范围.【答案】（1）3m =-（2）(,4)-∞【解析】【分析】（1）由幂函数的定义以及单调性得出m 的值；（2）由3()g x x =解不等式得出a 的取值范围.【小问1详解】解：由幂函数的定义可得2441m m ++=，即2430m m ++=，解得1m =-或3m =-.因为()f x 在(0,)+∞上单调递减，所以20m +<，即2m <-，则3m =-.【小问2详解】设3()g x x =，()g x 是R 上的增函数.由（1）可知(21)(3)m m a a ---<+，即33(21)(3)a a -<+，则213a a -<+，解得4a <，即a 的取值范围为(,4)-∞.19.已知函数()221422f x x x +=++．（1）求()f x 的解析式；（2）试判断函数()()f xg x x =在)+∞上的单调性，并用单调性的定义证明．【答案】（1）()22f x x x =-+（2）单调递增，证明详见解析【解析】【分析】（1）利用凑配法求得()f x 的解析式.（2）先求得()g x 的解析式并判断出单调性，然后利用单调性的定义进行证明.【小问1详解】()221422f x x x +=++()()221212x x =+-++，所以()22f x x x =-+.【小问2详解】()()21f x g x x x x ==+-，()g x在)+∞上单调递增，证明如下：12x x <<，()()1212122211g x g x x x x x ⎛⎫-=+--+- ⎪⎝⎭()()12122112121212222x x x x x x x x x x x x x x --=-+-=+()()1212122x x x x x x --=，其中1212120,20,0x x x x x x -<->>，所以()()120g x g x -<，所以()()12g x g x <，所以()g x在)+∞上单调递增.20.已知某污水处理厂的月处理成本y （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系可近似地表示为()212580210400y x mx x =-+≤≤．当月处理量为120万吨时，月处理成本为49万元．该厂处理1万吨污水所收费用为0.9万元．（1）该厂每月污水处理量为多少万吨时，才能使每万吨的处理成本最低？（2）请写出该厂每月获利z （万元）与月处理量x （万吨）之间的函数关系式，并求出每月获利的最大值，【答案】（1）当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低（2）()225802140100x z x x =-+-≤≤，最大值为75万元【解析】【分析】（1）先求得m ，利用基本不等式求得正确答案.（2）先求得z 的解析式，然后根据二次函数的性质求得正确答案.【小问1详解】依题意，214912012025400m =⨯-⨯+，解得110m =，所以()211258021040010y x x x =-+≤≤，2511240010105y x x x =+-≥-=，当且仅当25,100400x x x==时等号成立，所以当每月污水处理量为100万吨时，每万吨的处理成本最低.【小问2详解】依题意，()22110.1250.92580214004000z x x x x x x ⎛⎫=-=-+-≤≤ ⎪⎝-+⎭，当12001200x =-=-万吨时，z 取得最大值为212002002575400-+-=⋅万元.21.已知定义在[]22-,上的函数()f x 满足[],1,1m n ∀∈-，()()()()222f m f n f m n f m n +=+⋅-，()00f ≠．（1）试判断()f x 的奇偶性，并说明理由．（2）证明：()2928f x x x +≥-．【答案】（1）偶函数，证明见详解（2）证明详解【解析】【分析】（1）令0m n ==，可得(0)1f =，再令n m =-，结合偶函数的定义即可判定；（2）令0n =，可得()1f x ≥-，又229122()1184y x x x =-+-=---≤-，即可证明原不等式成立.【小问1详解】()f x 为偶函数，理由如下：令0m n ==，由()()()()222f m f n f m n f m n +=+⋅-，得22(0)2(0)f f =，又()00f ≠，所以(0)1f =，令n m =-，则(2)(2)2(0)(2)f m f m f f m +-=，所以(2)(2)f m f m -=，即()()f x f x -=，[2,2]x ∈-，故()f x 为偶函数.【小问2详解】令0n =及(0)1f =，可得2(2)12()f m f m +=，所以2(2)2()11f m f m =-≥-，即()1f x ≥-，又229122()1184y x x x =-+-=---≤-，当1[2,2]4x =∈-时，等号成立，故29()28≥-+-f x x x ，即()2928f x x x +≥-，故原不等式得证.22.已知关于x 的不等式()22320bx ab b x a b ab --+-<．（1）当1b =，1a >时，求原不等式的解集；（2）当()1b a a =≤时，求原不等式的解集；（3）在（1）的条件下，若不等式恰有1000个整数解，求a 的取值集合.【答案】（1）{}21x a x a <<-（2）答案见解析（3）200110012a a ⎧<<⎨⎩或200310012a <≤或}1002a =【解析】【分析】（1）代入数据直接解不等式即可.（2）变换得到()()()2101a x a x a a --+<≤，考虑1a =，01a <<，0a =，a<0四种情况，解不等式得到答案.（3）根据解集确定999211001a a <--≤，考虑最小值分别为1001，1002，1003三种情况，计算得到答案.【小问1详解】当1b =时，原不等式即为()223120x a x a a --+-<，即()()210x a x a --+<．因为1a >，所以21a a <-，所以原不等式的解集为{}21x a x a <<-．【小问2详解】当()1b a a =≤时，原不等式可化为()()()2101a x a x a a --+<≤．当1a =时，原不等式即为()210x -<，此时，原不等式的解集为∅；当01a <<时，21a a >-，原不等式的解集为{}21x a x a -<<；当0a =时，原不等式即为00<，此时，原不等式的解集为∅；当a<0时，原不等式可化为()()210x a x a --+>，此时21a a >-，原不等式的解集为{21x x a <-或}x a >．综上所述：当0a =或1a =时，原不等式的解集为∅；当01a <<时，原不等式的解集为{}21x a x a -<<；当a<0时，原不等式的解集为{21x x a <-或}x a >．【小问3详解】原不等式的解集为{}21x a x a <<-．要使得原不等式恰有1000个整数解，则a 需满足999211001a a <--≤，解得10001002a <≤．若1000个整数解的最小值为1001，则最大值为2000，则100010012000212001a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，解得200110012a <<，此时，原不等式恰有1000个整数解．若1000个整数解的最小值为1002，则最大值为2001，则100110022001212002a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，解得200310012a <≤，此时，原不等式恰有1000个整数解．若1000个整数解的最小值为1003，则最大值为2002，则100210032002212003a a ≤<⎧⎨<-≤⎩，解得1002a =，此时，原不等式恰有1000个整数解．综上所述：200110012a a ⎧<<⎨⎩或200310012a <≤或}1002a =。
河北省邢台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题
河北省邢台市第一中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试题一、单选题1．求2234A A +的值为（ ）A ．12B ．18C ．24D ．302．已知()02f x '=，则()()0002lim 5x f x x f x x x∆→+∆--∆=∆（ ）A ．65B ．2C ．103D ．123．在数列{}n a 中，12a =-，11n n n a a a +⋅=-，则2024a 的值为（ ） A ．2-B ．13C ．32D ．124．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564718a a a a +=，则3132310l og l o g l o ga a a ++⋅+=（ ）A ．12B ．10C ．5D ．32log 55．如图，已知12,F F 分别是双曲线2222:100x yC a b a b -=>>（，）的左、右焦点，过点1F 的直线与双曲线C 的左支交于点A ，B ，若1211302A F A FB F F A ⋅==u u u u r u u r u u r ，，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．y x =B ．y x =C ．y =D ．y x = 6．已知直线y kx b =+既是曲线ln y x =的切线，也是曲线ln()y x =--的切线，则（ ） A ．1e k =，0b =B ．1k =，0b =C ．1ek =，1b =-D ．1k =，1b =-7．令123C C C C nn n n n a =++++L ，则当2024n =时，a 除以15所得余数为（ ）A ．4B ．1C ．2D ．08．设A ，B ，C ，D 为抛物线24x y =上不同的四点，A ，D 关于该抛物线的对称轴对称，BC 平行于该抛物线在点D 处的切线l .设点D 到直线AB 和直线AC 的距离分别为1d ，2d ，已知12d d AD +.则sin BAC ∠=（ ）A ．12B C ．1 D二、多选题9．（多选）满足下列条件的点P 的轨迹一定在双曲线上的有（ ） A ．A （2，0），B （－2，3），|P A －PB |＝5 B ．A （2，0），B （－2，0），kP AkPB ＝2 C ．A （2，0），B （－2，0），kP AkPB ＝1 D ．A （2，0），B （－2，3），P A －PB ＝210．身高各不相同的六位同学,,,,,A B C D E F 站成一排照相，则说法正确的是（ ）A ．A 、C 、D 三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有120种站法B ．A 与C 同学不相邻，共有5424A A ⋅种站法C ．A 、C 、D 三位同学必须站在一起，且A 只能在C 与D 的中间，共有144种站法 D ．A 不在排头，B 不在排尾，共有504种站法11．已知函数()()()3213e 4032x f x m x x x m =--+≠，则下列结论正确的是（ ）A ．若0m <，则()f x 有两个极值点B ．若3x =是()f x 的唯一极值点，则1,e m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭C ．()f x 有唯一极值点的充要条件是1,e m ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭D ．若()f x 有三个极值点1x ，2x ，3x ，则1235x x x ++>.三、填空题12．“圆排列”亦称“循环排列”“环排列”，最早出现在中国《易经》的四象八卦组合.当A ，B ，C 三位同学围成一个圆时，其中一个排列“ABC ”与该排列旋转一个或几个位置得到的排列“BCA ”或“CAB ”是同一个排列，现有六位同学围成一个圆做游戏，其排列总数为.（用数字作答）13．已知椭圆的方程为22194x y +=，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点，2F 是椭圆的右焦点，则2ABF △的周长的最小值为．14．已知函数()e (ln )x f x x a x x =-+，若0a >，则()f x 的最小值为.四、解答题15．已知a ∈R ，函数()()32634x x f a x x =-+-．（1）若曲线()y f x =在点()()3,3f 处的切线与直线30x y -=垂直，求a 的值； （2）若函数()f x 在区间()1,4上单调递减，求a 的取值范围．16．“三角垛，下广，一面一十二个，上尖，问：计几何?”过去，商人们在堆放瓶瓶罐罐这类物品时，为了节省地方，常把它们垒成许多层，俗称“垛”，每层摆成三角形的就叫“三角垛”，“三角垛”自上而下，第1层1个，第2层（12+）个，第3层（123++）个，这样一道题目：用现在的话说，其意思就是：“有一个三角垛，最底层每条边上有12个物体，最上层只有1个尖），问：总共有多少个物体?”(1)第12层有多少个?（写出计算过程）(2)若用n a 表示第n 层的物体个数，请做如下计算： ①n a 的值为多少；②求数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前2024项和2024S .17．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点F P 为双曲线上一点，且满足：PF x ⊥轴，且3PF =.(1)求双曲线的标准方程；(2)过F 点作直线l 与双曲线的右支交于A 、B 两点（A 、B 不与P 点重合），且与12x =交于Q 点，问：是否存在常数t ，使得PA PB PQ k k tk +=成立?若存在，求出t 值；若不存在，请说明理由.18．已知函数()()e e 1x xf x a a x -=--+()R a ∈(1)若1a =-，求()f x 的取值范围； (2)若()f x 既存在极大值，又存在极小值. ①求a 的取值范围；②当01a <<时，12,x x 分别为()f x 的极大值点和极小值点，且()()120f x kf x +>，求实数k 的取值范围.19．在数列{}n a 中，若存在常数t ，使得()*1123n n a a a a a t n +=+∈N L 恒成立，则称数列{}n a 为“()H t 数列”． (1)若11n c n=+，试判断数列{}n c 是否为“()H t 数列”，请说明理由； (2)若数列{}n a 为“()H t 数列”，且12a =，数列{}n b 为等比数列，且2121log n i n n i a a b t +==+-∑，求数列{}n b 的通项公式；(3)若正项数列{}n a 为“()H t 数列”，且11a >，0t >，证明：ln 1n n a a <-．。
2020年河北省邢台市南和县第二中学高二数学理联考试题含解析
2020年河北省邢台市南和县第二中学高二数学理联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 正方体中，异面直线与所成角的正弦值为 ( ) A．B．C．D．参考答案：C2. 如果命题“且”是假命题，“”也是假命题，则( )A．命题“或”是假命题B．命题“或”是假命题C．命题“且”是真命题D．命题“且”是真命题参考答案：C3. 如图是“集合”的知识结构图，如果要加入“子集”，则应该放在（）A．“集合的概念”的下位B．“集合的表示”的下位C．“基本关系”的下位D．“基本运算”的下位参考答案：C【考点】结构图．【分析】知识结构图的作用是用图形直观地再现出知识之间的关联，由于子集是集合关系中的一种，由此易得出正确选项．【解答】解：子集是两个集合之间的包含关系，属于集合的关系，故在知识结构图中，子集应该放在集合的关系后面，即它的下位，由此知应选C故选C4. 已知f（x）=x2+2xf′（1）﹣6，则f′（1）等于（）A．4 B．﹣2 C．0 D．2参考答案：B【考点】63：导数的运算．【分析】对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=1代入导函数中，列出关于f'（1）的方程，进而得到f'（1）的值【解答】解：求导得：f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，得到f′（1）=2+2f′（1），解得：f′（1）=﹣2，故选：B．5. 四棱锥P-ABCD的底面是单位正方形，侧棱PB垂直于底面，且PB=，记θ=∠APD，则sinθ=（）A、 B、 C、 D、参考答案：C6. 观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝( )A．28 B．76 C．123 D．199参考答案：C略7. 在空间直角坐标系O-xyz中，点A(1,2,3)关于x轴的对称点的坐标为A．(1,－2,－3) B．(－1,2,3) C．(－1,－2,－3) D．(1,－2,3)参考答案：A8. 设,则下列不等式中恒成立的是 ( )A B C D参考答案：C9. 已知椭圆的离心率e=，则m的值为( )A.3B.3或C. D．或参考答案：B略10. 如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为125个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取一个小正方体，记它的涂漆面数为X，则X的均值E（X）=（）A．B．C．D．参考答案：B【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【分析】由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，根据上面的分析即可得出其概率及X的分布列，利用数学期望的计算公式即可得出．【解答】解：由题意可知：X所有可能取值为0，1，2，3．①8个顶点处的8个小正方体涂有3面，∴P（X=3）=；②每一条棱上除了两个顶点处的小正方体，还剩下3个，一共有3×12=36个小正方体涂有2面，∴P（X=2）=；③每个表面去掉四条棱上的16个小正方形，还剩下9个小正方形，因此一共有9×6=54个小正方体涂有一面，∴P（X=1）=．④由以上可知：还剩下125﹣（8+36+54）=27个内部的小正方体的6个面都没有涂油漆，∴P（X=0）=．因此E（X）==．故选B．【点评】正确找出所涂油漆的面数的正方体的个数及古典概型的概率计算公式、分布列与数学期望是解题的关键．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一个平面图形用斜二测画法作的直观图是一个边长为1cm的正方形，则原图形的周长为________________cm参考答案：812. 已知关于的方程在上恒有实数根，则实数的取值范围是.参考答案：13. 已知等比数列{}中，各项都是正数，且，成等差数列，则参考答案：14. “”是“”的___________条件．（充分不必要、必要不充分、充要既不充分也不必要）参考答案：必要不充分略15. 在平面直角坐标系xOy中，过点P（﹣5，a）作圆x2+y2﹣2ax+2y﹣1=0的两条切线，切点分别为M（x1，y1），N（x2，y2），且+=0，则实数a的值为．参考答案：3或﹣2【考点】圆的切线方程．【专题】计算题；直线与圆．【分析】两者的和实质上是一个斜率与另一个斜率的倒数和，进而可得两斜率乘积为﹣1，可得P，Q，R，T共线，即可求出实数a的值．【解答】解：设MN中点为Q（x0，y0），T（1，0），圆心R（a，﹣1），根据对称性，MN⊥PR，===，∵k MN=，+=0∴k MN?k TQ=﹣1，∴MN⊥TQ，∴P，Q，R，T共线，∴k PT=k RT，即，∴a2﹣a﹣6=0，∴a=3或﹣2．故答案为：3或﹣2．【点评】本题考查实数a的值，考查直线与圆的位置关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16. 已知直线与圆有公共点，则实数k的取值范围是．参考答案：设圆心(2,0)到直线的距离为d, 直线与圆有公共点，则d≤1, 即,两边平方并化简可得,解得≤k≤0,故应填.17. 等差数列项和为=参考答案：10三、解答题：本大题共5小题，共72分。
河北省邢台市2020年中考数学二模试卷(解析版)
河北省邢台市2020年中考数学二模试卷(解析版)一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列四个数中，最小的数是（）A．0B．﹣3C．﹣πD．﹣2．如图，a∥b，则下列结论中，不一定正确的是（）A．∠4＝∠5B．∠1+∠2＝180°C．∠2+∠3＝180°D．∠2+∠4＝180°3．下列关于代数式“3+a”的说法，正确的是（）A．表示3个a相加B．代数式的值比a大C．代数式的值比3大D．代数式的值随a的增大而减小4．如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（）A．B．C．D．5．体育老师对亮亮和薇薇两名同学的立定跳远进行了五次测试（满分为10分），把他们的成绩绘制成如统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A．亮亮的跳远成绩比薇薇的跳远成绩稳定B．亮亮的成绩越来越好，如果再跳一次一定还是10分C．亮亮的第三次成绩与第二次成绩相比，增长率超过50%D．亮亮和薇薇的成绩都在8分上下波动，两个人的成绩稳定性一样6．下列计算正确的是（）A．|﹣2|＝﹣2B．＝±2C．＝﹣2D．7．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（）A．3B．C．3D．68．由于新冠肺炎得到了有效控制，省教育厅要求各学校做好复课准备．某校计划对学校60个相同大小的教室进行全面清扫和消毒，在实际进行消毒时，每天消毒的教室数量是原计划的1.2倍，使得完成全部教室消毒的时间缩短了2天．设原计划每天可以清扫、消毒x个教室，则下列符合题意的方程是（）A．﹣1.2＝B．+2＝C．+1.2＝D．+2＝9．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，∠BAC＝30°，过点A，C的圆的圆心在边AB上，点M是优弧AC（不与点A，C重合）上的一点，则∠AMC＝（）A．75°B．60°C．55°D．52.5°10．能说明命题“关于x的不等式组的解集为无解”是假命题的反例是（）A．m＝﹣3B．m＝﹣2C．m＝﹣1D．m＝011．（2分）如图，有n个全等的正五边形按如下方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，拼接一圈后，中间形成一个正多边形，则n的值为（）A．5B．6C．8D．1012．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝1﹣k，下列结论不正确的是（）A．当方程有实数根时k≤2B．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根C．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2D．若x1，x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|13．（2分）如图，将直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，1），（7，1）．将三角板ABC沿x轴正方向平移，点B的对应点B'刚好落在反比例函数y ＝（x＞0）的图象上，则点C平移的距离CC'＝（）A．3B．5C．7D．1014．（2分）将两张面积分别为64和36的正方形纸片按两种方式放置在矩形ABCD中，如图1，图2．AB＝m，AD＝n，条形波纹表示两正方形的重叠部分，L形阴影表示未被两张正方形纸片覆盖的部分，图1，图2中L形阴影部分的面积分别为S1，S2．则下列结论：①BF＝m﹣8；②S1＝mn﹣6m﹣16；③S2＝mn﹣6n﹣16；④若m﹣n＝2，则S2﹣S1＝12．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．415．（2分）在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4.5，在图中按下列步骤进行尺规作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点M；②分别以M，B为圆心，以大于MB的长为半径画弧，两弧相交于点P；③画射线AP交CB于点E，交DC的延长线于点F，连接ME．下列说法错误的是（）A．EF＝BEB．＝2C．D．若cos∠AEB＝，则AE＝5.416．（2分）如图，点A（﹣5，m），B（3，n）在直线l：y＝﹣上．抛物线L：y＝ax2﹣2x+2（a≠0）与线段AB围成封闭图形G（包括边界），则G内的整点（横、纵坐标都为整数）最多有（）A．4个B．5个C．6个D．7个二、填空题（本大题有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分.）17．x15÷x3•x5＝．18．（4分）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[﹣1]＝．19．（4分）如图1，在三角形纸板ABC中，∠C＝90°，AC＝1cm，BC＝cm，点M是边AB上的一个点（不与点A，B重合），沿CM折叠纸板，点B的对应点是点B'．（1）如图2，当点B'在射线BA上时，∠BCM＝．（2）若∠AMB'＝30°，且点B'不在直线AC右侧，则点M到BC的距离是cm．三、解答题（本大题有7个小题，共67分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）（1）计算：+（﹣）﹣2﹣3tan60°+（π﹣）0；（2）先化简，再求值：，其中x＝+2．21．（8分）如果a，b都是非零整数，且a＝4b，那么就称a是“4倍数”．（1）30到35之间的“4倍数”是，小明说：232﹣212是“4倍数”，嘉淇说：122﹣6×12+9也是“4倍数”，他们谁说的对？．（2）设x是不为零的整数．①x（x+1）是的倍数；②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为，它（填“是”或“不是”）32的倍数．（3）设三个连续偶数的中间一个数是2n（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．22．（8分）今年在2月27日国务院对外新闻发布会上，中国疾控中心发言人提到：“在新冠肺炎低风险区域出行仍需戴口罩．”某单位复工，采购了一批医用外科口罩，单价分别为1元、1.5元、3元、5元、10元，每天随机配发给每位在岗员工一个口罩．现将连续10天口罩配发量的情况制成如统计表．配发量/个30252015天数/天2x y1已知配发量的平均数是23个，中位数是m个，众数是n个．（1）求x，y的值，并计算m﹣n；（2）将配发15个口罩那一天中不同型号的口罩发放情况进行统计，绘制成如图所示的尚不完整的统计图．补全统计图，并求小李当天获得不低于3元口罩的概率；（3）若继续发放两天口罩，且这12天口罩配发量的众数与前10天口罩配发量的众数不同（例如：只要在第11天，第12天都发放30个口罩，则这12天口罩发放量的众数为30个和20个），写出这12天口罩配发量的众数（括号内示例情况不必再述）．23．（8分）如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，﹣2），点B的坐标为（4，2），点P 是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k经过点P，并与l1交于点M，过点P作PN⊥l2，交l1于点N．（1）求l1的函数表达式；（2）当k＝时，①求点M的坐标；②求S△APM．（3）将点N的横坐标记为x n，在点P移动的过程中，直接写出x n的范围．24．（4分）如图，扇形AOB的半径为3，面积为3π．点C是的中点，连接AC，BC．求证：四边形OACB是菱形．25．（5分）如图1，扇形AOB的半径为3，面积为3π，点C是的中点，连接AC，BC，（1）求证四边形OACB是菱形；（2）如图2，∠POQ＝60°，∠POQ绕点O旋转，与AC，BC分别交于点M，N（点M，N与点A，B，C均不重合），与交于E，F两点．①求MC+NC的值；②如图2，连接FC，EC，若∠ECF的度数是定值，则直接写出∠ECF的度数；若不是，请说明理由．26．（12分）一家经营打印耗材的门店经销各种打印耗材，其中某一品牌硒鼓的进价为a元/个，售价为x元/个（a≤x≤48）．下面是门店在销售一段时间后销售情况的反馈：①若每个硒鼓按定价30元的8折出售，可获20%的利润；②如果硒鼓按30元/个的价格出售，每月可售出500个，在此基础上，售价每增加5元，月销售量就减少50个．（1）求a的值，并写出该品牌硒鼓每月的销售量y（个）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；（2）求该耗材店销售这种硒鼓每月获得的利润W（元）与售价x（元/个）之间的函数关系式，并求每月获得的最大利润；（3）在新冠肺炎流行期间，这种硒鼓的进价降低为n元/个，售价为x元/个（n≤x≤48）．耗材店在2月份仍然按照销售量与售价关系不变的方式销售，并决定将当月销售这种硒鼓获得的利润全部捐赠给火神山医院，支援武汉抗击新冠肺炎．若要使这个月销售这种硒鼓获得的利润G（元）随售价x（元/个）的增大而增大，请直接写出n的取值范围．27．（14分）如图1，直角三角形MPN的直角顶点P在矩形ABCD的对角线AC上（点P 不与点C重合，可与点A重合），满足tan N＝，PM⊥CD于点M，已知CD＝12，AD＝16．（1）若CP＝5，则MD＝；（2）当点M在∠DAC的平分线上时，求CM的长；（3）当点P的位置发生改变时：①如图2，△MPN的外接圆是否与AC一直保持相切？说明理由；②直接写出△MPN的外接圆与AD相切时CM的长．2020年河北省邢台市中考数学二模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列四个数中，最小的数是（）A．0B．﹣3C．﹣πD．﹣【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．【解答】解：∵，∴最小的数是﹣π．故选：C．【点评】本题考查了实数的大小比较法则的应用，主要考查学生的理解能力和比较能力，注意：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，绝对值大的反而小．2．如图，a∥b，则下列结论中，不一定正确的是（）A．∠4＝∠5B．∠1+∠2＝180°C．∠2+∠3＝180°D．∠2+∠4＝180°【分析】由a∥b，利用平行线的性质可得出∠4＝∠5，∠2+∠3＝180°，结合∠1＝∠3可得出∠1+∠2＝180°，再对照四个选项即可得出结论．【解答】解：∵a∥b，∴∠4＝∠5，∠2+∠3＝180°．又∵∠1＝∠3，∴∠1+∠2＝180°．故选：D．【点评】本题考查了平行线的性质以及对顶角，牢记各平行线的性质定理是解题的关键．3．下列关于代数式“3+a”的说法，正确的是（）A．表示3个a相加B．代数式的值比a大C．代数式的值比3大D．代数式的值随a的增大而减小【分析】说出代数式的意义，实际上就是把代数式用语言叙述出来．叙述时，要求既要表明运算的顺序，又要说出运算的最终结果．【解答】解：由于a是任意实数，所以代数式“3+a”的值不一定比3大，但随a的增大而增大．故选：B．【点评】本题考查了用语言表达代数式的意义，一定要理清代数式中含有的各种运算及其顺序．具体说法没有统一规定，以简明而不引起误会为出发点．4．如图，光线由上向下照射正五棱柱时的正投影是（）A．B．C．D．【分析】直接利用正投影的定义得出答案．【解答】解析：光线由上向下照射正五棱柱时的正投影与俯视图一致．故选：C．【点评】此题主要考查了平行投影，正确掌握相关定义是解题关键．5．体育老师对亮亮和薇薇两名同学的立定跳远进行了五次测试（满分为10分），把他们的成绩绘制成如统计图．根据图中信息，下列说法正确的是（）A．亮亮的跳远成绩比薇薇的跳远成绩稳定B．亮亮的成绩越来越好，如果再跳一次一定还是10分C．亮亮的第三次成绩与第二次成绩相比，增长率超过50%D．亮亮和薇薇的成绩都在8分上下波动，两个人的成绩稳定性一样【分析】根据方差的意义即可判断A、D；根据随机事件的不确定性即可判断B；求出亮亮的第三次成绩与第二次成绩相比的增长率，即可判断C．【解答】解：从两个折线图可以直观看出薇薇的跳远成绩较稳定，故A、D两个选项说法均错误，不符合题意；由于跳远成绩具有随机性，如果再跳一次不一定还是10分，故B选项说法错误，不符合题意；亮亮的第三次成绩与第二次成绩相比，增长率为，故C选项说法正确，符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…x n的平均数为，则方差S2＝[（x1﹣）2+（x2﹣）2+…+（x n﹣）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6．下列计算正确的是（）A．|﹣2|＝﹣2B．＝±2C．＝﹣2D．【分析】根据绝对值，二次根式的性质，立方根以及有理数的运算逐项进行计算即可．【解答】解：因为|﹣2|＝2，因此A不正确，因为＝2，因此B不正确，因为＝﹣2，因此C正确，因为（﹣1）÷（﹣）＝1×2＝2，因此D不正确，故选：C．【点评】本题考查绝对值，二次根式的性质，立方根以及有理数的运算，掌握绝对值，二次根式的性质，立方根以及有理数的运算法则是正确判断的前提．7．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点Q是AB边上的一个动点（点Q不与点B重合），点M，N分别是DQ，BQ的中点，则线段MN＝（）A．3B．C．3D．6【分析】根据正方形的性质和勾股定理，可以得到DB的长，然后三角形中位线，可以得到MN的长，本题得以解决．【解答】解：连接DB，∵四边形ABCD是正方形，AB＝6，∴∠A＝90°，AD＝AB＝6，∴DB＝＝＝6，∵点M，N分别是DQ，BQ的中点，∴MN是△DQB的中位线，∴MN＝DB＝3，故选：A．【点评】本题考查正方形的性质、三角形的中位线，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．8．由于新冠肺炎得到了有效控制，省教育厅要求各学校做好复课准备．某校计划对学校60个相同大小的教室进行全面清扫和消毒，在实际进行消毒时，每天消毒的教室数量是原计划的1.2倍，使得完成全部教室消毒的时间缩短了2天．设原计划每天可以清扫、消毒x个教室，则下列符合题意的方程是（）A．﹣1.2＝B．+2＝C．+1.2＝D．+2＝【分析】设原计划每天可以清扫、消毒x个教室，则实际每天清扫、消毒1.2x个教室．根据实际完成消毒时间缩短2天建立等量关系，列出方程即可．【解答】解析：设原计划每天可以清扫、消毒x个教室，则实际每天清扫、消毒1.2x个教室．根据题意，得．故选：D．【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程．9．如图，在△ABC中，∠ACB＝45°，∠BAC＝30°，过点A，C的圆的圆心在边AB上，点M是优弧AC（不与点A，C重合）上的一点，则∠AMC＝（）A．75°B．60°C．55°D．52.5°【分析】过点A，C的圆的圆心为O，连接OC，如图，利用等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠AOC＝120°，然后根据圆周角定理得到∠AMC的度数．【解答】解：过点A，C的圆的圆心为O，连接OC，如图，∵OA＝OC，∴∠OCA＝∠OAC＝30°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝120°，∴∠AMC＝∠AOC＝60°．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．10．能说明命题“关于x的不等式组的解集为无解”是假命题的反例是（）A．m＝﹣3B．m＝﹣2C．m＝﹣1D．m＝0【分析】先解出不等式组，根据不等式组的解集解答．【解答】解：，解①得，x≤1，解②得，x＞3+m，当3+m≥1，即m≥﹣2时，不等式组无解，则当m＝﹣3时，不等式组有解，∴当m＝﹣3时，不等式组无解是假命题，故选：A．【点评】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．11．（2分）如图，有n个全等的正五边形按如下方式拼接，使相邻的两个正五边形有公共顶点，所夹的锐角为24°，拼接一圈后，中间形成一个正多边形，则n的值为（）A．5B．6C．8D．10【分析】先求出正五边形每个内角，求得在每个顶点处的度数，再求得正六边形的每个内角，依此即可求解．【解答】解：正五边形每个内角的度数为108°，在每个顶点处有360°﹣108°×2﹣24°正六边形的每个内角为120°，因此这n个正五边形拼接一圈围成的内部为正六边形．故选：B．【点评】本题考查了正多边形和圆、多边形的内角与外角等知识；熟练掌握多边形内角和和外角和是解题的关键．12．（2分）关于x的一元二次方程x2﹣2x＝1﹣k，下列结论不正确的是（）A．当方程有实数根时k≤2B．当k＞0时，方程一定有两个不相等的实数根C．当k＝1时，方程的实数根为x1＝0，x2＝2D．若x1，x2为方程的两个实数根，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|【分析】根据一元二次方程的解，结合根的判别式解答即可．【解答】解：A、原方程可以化为（x﹣1）2＝2﹣k，当2﹣k≥0时，方程有实数解，即k ≤2，故A正确．B、∵当k≤2时，方程有实数根，∴当k＞2时，方程没有实数个；故B不正确；C、当k＝1时，则x2﹣2x＝0，解得x1＝0，x2＝2．故C正确；D、当k≤2时，由（x﹣1）2＝2﹣k可以求得，则有|x1﹣1|＝|x2﹣1|．故D正确；故选：B．【点评】本题考查的是一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程根的判别与方程解的关系是解题的关键．13．（2分）如图，将直角三角板ABC放在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（2，1），（7，1）．将三角板ABC沿x轴正方向平移，点B的对应点B'刚好落在反比例函数y ＝（x＞0）的图象上，则点C平移的距离CC'＝（）A．3B．5C．7D．10【分析】先根据平移的性质得到点B'的纵坐标为1，BB′＝CC′，则利用反比例函数解析式可确定B'（10，1），则BB'＝3，从而得到CC'的长度．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（2，1），（7，1）．将三角板ABC沿x轴正方向平移，∴点B'的纵坐标为1，BB′＝CC′，当y＝1时，＝1，解得x＝10，∴B'（10，1），∴BB'＝10﹣7＝3，∴CC'＝3．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k ≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了平移的性质．14．（2分）将两张面积分别为64和36的正方形纸片按两种方式放置在矩形ABCD中，如图1，图2．AB＝m，AD＝n，条形波纹表示两正方形的重叠部分，L形阴影表示未被两张正方形纸片覆盖的部分，图1，图2中L形阴影部分的面积分别为S1，S2．则下列结论：①BF＝m﹣8；②S1＝mn﹣6m﹣16；③S2＝mn﹣6n﹣16；④若m﹣n＝2，则S2﹣S1＝12．其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4【分析】①根据图形中线段的数量关系，可表示BF的长度；②利用图1中的面积关系可以表示出S1；③利用图1中的面积关系可以表示出S2；④将②和③中计算出的S1和S2相减，利用整式的混合运算计算它们的差即可．【解答】解：①BF＝AB﹣AF＝m﹣8，正确；②，正确；③，正确；④若m﹣n＝2，则S2﹣S1＝mn﹣6n﹣16﹣（mn﹣6m﹣16）＝6（m﹣n）＝6×2＝12，正确．故选：D．【点评】本题考查了整式的混合运算，利用图形，正确列式，是解题的关键．15．（2分）在平行四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4.5，在图中按下列步骤进行尺规作图：①以A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点M；②分别以M，B为圆心，以大于MB的长为半径画弧，两弧相交于点P；③画射线AP交CB于点E，交DC的延长线于点F，连接ME．下列说法错误的是（）A．EF＝BEB．＝2C．D．若cos∠AEB＝，则AE＝5.4【分析】利用等腰三角形的判定和性质，菱形的性质，解直角三角形等知识，一一判断即可．【解答】解：由尺规作图可知，AF平分∠DAB，由AB∥CD，AD∥CB，可知△DAF，△ABE，△FCE都为等腰三角形，且四边形ABEM为菱形．EB＝AB＝3，DF＝AD＝4.5，CE＝CF＝1.5．∴，．连接MB，MB垂直平分AE于点O．在Rt△EBO中，，∴EO＝2.7，∴AE＝5.4．故B，C，D正确，故选：A．【点评】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．16．（2分）如图，点A（﹣5，m），B（3，n）在直线l：y＝﹣上．抛物线L：y＝ax2﹣2x+2（a≠0）与线段AB围成封闭图形G（包括边界），则G内的整点（横、纵坐标都为整数）最多有（）A．4个B．5个C．6个D．7个【分析】求得A、B的坐标，然后分两种情况讨论画出函数的图象，根据图象即可得到结论．【解答】解：∵点A（﹣5，m），B（3，n）在直线l：y＝﹣上．∴m＝﹣×（﹣5）+＝5，n＝﹣×3+＝1，∴A（﹣5，5），B（3，1），线段AB上的整点有（3，1），（1，2），（﹣1，3），（﹣3，4），（﹣5，5）．当a＜0，图象过点A时，G中的整数点最多，把A（﹣5，5）代入y＝ax2﹣2x+2得，5＝25a+10+2，解得a＝﹣，∴y＝﹣x2﹣2x+2，∴顶点（﹣，），画出函数图象如图1：由图象可知，G内的整点（横、纵坐标都为整数）有6个；当a＞0，图象过点B时，G中的整数点最多，把B（3，1）代入y＝ax2﹣2x+2得，1＝9a﹣6+2，解得a＝，∴y＝x2﹣2x+2，画出图象如图2：由图象可知，G内的整点（横、纵坐标都为整数）有5个；故G内的整点（横、纵坐标都为整数）最多有6个，故选：C．【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象和性质，分类讨论是解题的关键．二、填空题（本大题有3个小题，共11分.17小题3分；18～19小题各有2个空，每空2分.）17．x15÷x3•x5＝x17．【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则计算得出答案．【解答】解析：x15÷x3•x5＝x15﹣3+5＝x17．故答案为：x17．【点评】此题主要考查了同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．18．（4分）已知关于x的方程5x﹣2＝3x+16的解与方程4a+1＝4（x+a）﹣5a的解相同，则a＝7；若[m]表示不大于m的最大整数，那么[﹣1]＝2．【分析】先解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，求出a 的值，代入a的值进而可得结果．【解答】解：解方程5x﹣2＝3x+16，得x＝9，将x＝9代入4a+1＝4（x+a）﹣5a，得a＝7，所以．故答案为：7；2．【点评】本题考查了同解方程，本题的关键是正确解一元一次方程．理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．19．（4分）如图1，在三角形纸板ABC中，∠C＝90°，AC＝1cm，BC＝cm，点M是边AB上的一个点（不与点A，B重合），沿CM折叠纸板，点B的对应点是点B'．（1）如图2，当点B'在射线BA上时，∠BCM＝60°．（2）若∠AMB'＝30°，且点B'不在直线AC右侧，则点M到BC的距离是cm．【分析】（1）由锐角三角函数可求∠B＝30°，由折叠的性质可得点M是BB'的中点，BC ＝B'C，由等腰三角形的性质可求CM⊥BB'，即可求解；（2）过点M作MN⊥BC于N，由题意可得点C，点A，点B'共线，由直角三角形的性质可求解．【解答】解：（1）如图2，当点B'在射线BA上时，由折叠的性质可得点M是BB'的中点，BC＝B'C，∴CM⊥BB'，∵∠C＝90°，AC＝1cm，BC＝cm，∴tan B＝＝，∴∠B＝30°，∴∠BCM＝60°，故答案为：60°；（2）如图3，过点M作MN⊥BC于N，由折叠的性质可得∠B＝∠B'＝30°，∵∠B'+∠B'MA＝60°，∴∠B'+∠B'MA＝60°＝∠BAC，∴点C，点A，点B'共线，∴∠ACM＝∠BCM＝45°，∵MN⊥BC，∴BN＝MN，MN＝NC，∵BN+NC＝BC＝cm，∴MN＝（cm），故答案为．【点评】本题考查了翻折变换，锐角三角函数，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．三、解答题（本大题有7个小题，共67分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）20．（8分）（1）计算：+（﹣）﹣2﹣3tan60°+（π﹣）0；（2）先化简，再求值：，其中x＝+2．【分析】（1）先计算立方根、负整数指数幂、零指数幂、代入三角函数值，再计算加减即可；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将x的值代入计算即可．【解答】解：（1）原式＝；（2）＝＝＝x（x﹣2）．当时，原式＝．【点评】本题主要考查实数的运算和分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则、立方根、负整数指数幂、零指数幂、熟记特殊锐角的三角函数值．21．（8分）如果a，b都是非零整数，且a＝4b，那么就称a是“4倍数”．（1）30到35之间的“4倍数”是32，小明说：232﹣212是“4倍数”，嘉淇说：122﹣6×12+9也是“4倍数”，他们谁说的对？小明．（2）设x是不为零的整数．①x（x+1）是2的倍数；②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为4x（4x+4）或16x（x+1），它是（填“是”或“不是”）32的倍数．（3）设三个连续偶数的中间一个数是2n（n是整数），写出它们的平方和，并说明它们的平方和是“4倍数”．【分析】（1）根据“4倍数”的定义即可求解；（2）①可得x和（x+1）必有1个是偶数，依此即可求解；②根据“4倍数”的定义即可求解；（3）根据因式分解的进行计算，然后进行分解即可求解．【解答】解：（1）30到35之间的“4倍数”是32；小明：232﹣212＝（23﹣21）×（23+21）＝2×44＝4×22，是“4倍数”，嘉淇：122﹣6×12+9＝（12﹣3）2＝92＝81，不是“4倍数”．故答案为：32，小明；（2）①∵x是不为零的整数，∴x和（x+1）必有1个是偶数，∴x（x+1）是2的倍数；故答案为：2；②任意两个连续的“4倍数”的积可表示为4x（4x+4）或16x（x+1），它是32的倍数．故答案为：4x（4x+4）或16x（x+1），是；（3）三个连续偶数为2n﹣2，2n，2n+2，（2n﹣2）2+（2n）2+（2n+2）2＝4n2﹣8n+4+4n2+4n2+8n+4＝12n2+8＝4（3n2+2），∵n为整数，∴4（3n2+2）是“4倍数”．【点评】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的应用是解答此题的关键．22．（8分）今年在2月27日国务院对外新闻发布会上，中国疾控中心发言人提到：“在新冠肺炎低风险区域出行仍需戴口罩．”某单位复工，采购了一批医用外科口罩，单价分别为1元、1.5元、3元、5元、10元，每天随机配发给每位在岗员工一个口罩．现将连续10天口罩配发量的情况制成如统计表．配发量/个30252015天数/天2x y1已知配发量的平均数是23个，中位数是m个，众数是n个．（1）求x，y的值，并计算m﹣n；（2）将配发15个口罩那一天中不同型号的口罩发放情况进行统计，绘制成如图所示的尚不完整的统计图．补全统计图，并求小李当天获得不低于3元口罩的概率；（3）若继续发放两天口罩，且这12天口罩配发量的众数与前10天口罩配发量的众数不同（例如：只要在第11天，第12天都发放30个口罩，则这12天口罩发放量的众数为30个和20个），写出这12天口罩配发量的众数（括号内示例情况不必再述）．【分析】（1）题中有两个等量关系：①配发口罩一共10天，②配发量的平均数是23个．依此列出二元一次方程组，解方程组求出x，y的值，再根据中位数与众数的定义求出m、n，代入m﹣n计算即可；（2）根据各组频数之和等于数据总数15，求出单价为3元的口罩的个数，即可补全统计图，用不低于3元口罩的个数除以15求出小李当天获得不低于3元口罩的概率；（3）根据“若继续发放两天口罩，且这12天口罩配发量的众数与前10天口罩配发量的众数不同”，得出第11天，第12天的口罩发放量，进而求出这12天口罩配发量的众数．【解答】解：（1）∵平均数为23个，∴，解得，将10个数据按从大到小的顺序排列，第5、6个数据分别是25，20，所以中位数m＝＝22.5，数据20出现了4次，次数最多，所以众数n＝20．∴m﹣n＝2.5．（2）补全统计图如图所示：在这5种型号中，单价不低于3元的有3元、5元、10元三种，∴小李当天获得不低于3元的口罩的概率为：．（3）由表格可知：配发量/个30252015天数/天2341因为这12天口罩配发量的众数发生改变，除示例情况外还有两种情况：情况一：两天都配发25个，众数变为25个；情况二：其中一天配发25个，另一天配发30个或15个，众数变为25个和20个．【点评】本题考查的是概率公式，中位数，众数，条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．23．（8分）如图，直线l1经过点A（0，2）和C（6，﹣2），点B的坐标为（4，2），点P 是线段AB上的动点（点P不与点A重合），直线l2：y＝kx+2k经过点P，并与l1交于点M，过点P作PN⊥l2，交l1于点N．（1）求l1的函数表达式；（2）当k＝时，①求点M的坐标；②求S△APM．（3）将点N的横坐标记为x n，在点P移动的过程中，直接写出x n的范围．【分析】（1）设l1的表达式为：y＝k1x+b，把A与C的坐标代入求出k1与b的值，即可确定出l1函数表达式；（2）①把k的值代入确定出l2表达式，与l1表达式联立求出解，得到M的坐标即可；②把y＝2代入l2的表达式求出x的值，确定出P的坐标，得到AP的长，求出M到AP的距离，即可求出三角形APM的面积；（3）由y＝kx+2k（k≠0）＝k（x+2）恒过点（﹣2，0），l2与线段AB有交点，得到点P 的运动范围是线段AB（点P不与点A重合），①点N的横坐标随着P A变小而变小，即x n趋于0；②当l2过点B时，此时点P与点B重合，求出此时x n的值，即可确定出x n 的范围．【解答】解：（1）设l1的表达式为：y＝k1x+b，将点A（0，2）和C（6，﹣2）代入得：，。
河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题
河北省邢台市第一中学2024-2025学年高二上学期开学数学试题一、单选题1．已知 2i z =+，则 izz =+（ ） A ．3i 4- B ．1i4- C ．3i 4+ D ．1i 4+2．若向量()1,2a =-r ，()2,3b =r ，则a r 在b r上的投影向量为（ ）A ．()8,12B ．812,1313⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．812,1313⎛⎫ ⎪⎝⎭D 3．一个平面图形用斜二测画法画出的直观图如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的周长为（ ）A ．8B ．C ．16D ．4．设l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法中错误的是（ ） A ．若l ⊥平面α，αβ∥，m β⊂，则l m ⊥ B ．若l α⊥，m β⊂，l m ∥，则αβ⊥ C ．若l αβ=I ，m α⊂，l m ∥，则m β∥D ．若l αβ=I ，m α⊂，m l ⊥，则αβ⊥5．已知数据1x ，2x ，3x ，…，10x ，满足：11i i x x --=（210i ≤≤），若去掉1x ，10x 后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（ ） A ．中位数不变 B ．第35百分位数不变 C ．平均数不变D ．方差不变6．ABC V 中，已知sin sin sin a b aB B A+=-，且()()cos cos 1cos2A B A B C --+=-，则ABC V 是（ ）A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形7．在长方体1111ABCD A B C D -中，已知2AB BC ==，13AA =，E 为11B C 的中点，则直线CE与1AD 所成角的余弦值为（ ）A B C D 8．若O 是ABC V 的外心，且()()2222252AC AB AB AO AC AO AO AB AC⋅⋅+⋅⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r u u u r ，则sin sin B C +的最大值是（ ）A B C ．52D ．二、多选题9．关于复数的命题正确的有（ ） A ．若复数12z z >，则1z ，2z ∈RB ．若复数()211i z m m =-++为纯虚数，则1m =±C ．若120z z =，则20z =或10z =D ．若12=z z ，则2212z z =10．下列命题正确的是（ ）A ．设,AB 是两个随机事件，且()12P A =，()13P B =，若()16P AB =，则,A B 是相互独立事件B ．若三个事件,,A BC 两两独立，则满足()()()()P ABC P A P B P C =C ．若()0P A >，()0P B >，则事件,A B 相互独立与,A B 互斥一定不能同时成立D ．若事件,A B 相互独立，()0.6P A =，()0.3P B =，则()0.54P AB AB =U 11．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是菱形，π3BAD ∠=，12AB AA ==，E 为1CC 的中点，点F 满足1DF xDC yDD =+u u u r u u u r u u u u r（[]0,1x ∈，[]0,1y ∈），下列结论正确的是（ ）A ．若12x =，则点F 到平面1DBB B ．若1x y +=，则四面体1-A BEF 的体积是定值C ．若1A F =FD ．若1x =，12y =，则存在点1P A B ∈，使得AP PF +三、填空题12．邢台一中高二年级研究性学习小组为了实地测量某塔的高度，选取与塔底中心O 在同一个水平面内的两个测量基点A 与B ，在A 点测得：塔顶P 的仰角为45°，O 在A 的北偏东60°处，B 在A 的正东方向36米处，且在B 点测得O 与A 的张角为45°，则此塔的高度约为米（四舍五入，保留整数. 1.414 1.732）.13．在边长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 是1111,,AB A D C D 的中点，那么过点E ，F ，G 的截面图形为（在“三角形、四边形、五边形、六边形”中选择一个）；截面图形的面积为．14．A 、B 、C 三点在半径为1的圆O 上运动，且AC BC ⊥，M 是圆O 外一点，3OM =，则2MA MB MC ++u u u r u u u r u u u u r的最大值是.四、解答题15．某年级数学兴趣小组组织游戏闯关活动，共设置了20道数学问题，满分100分.结束后在所有的答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩分成六段：()40,50，()50,60，……， 90,100 ，得到如图所示的频率分布直方图.(1)求频率分布直方图中a 的值，并估计该年级全体学生这次数学成绩的中位数；(2)活动中，甲、乙两位同学独立参加竞赛，已知甲同学答对了12道，乙同学答对了8道，假设每道数学问题难度相当，被答对的可能性都相同.任选一道数学问题，求甲、乙两位同学恰有一人答对的概率.16．如图，在等腰直角三角形ABC 中，AB AC ==,D E 是线段BC 上的点，且13DE BC =.(1)若13BD BC =u u u r u u u r ，M 是AB 边的中点，N 是AC 边靠近A 的四等分点，用向量,AB AC u u u r u u u r 表示,DN EM u u u r u u u u r ；(2)求AD AE u u u r u u u rg 的取值范围.17．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的六面体中（其中F ∈平面EDC ），四边形ABCD 是正方形，ED ⊥平面ABCD ，BF FE =，且平面FEB ⊥平面EDB .(1)设M 为棱EB 的中点，证明：A ，C ，F ，M 四点共面； (2)若24ED AB ==，求六面体EFABCD 的体积.18．如图，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，AB =1BC =，P 为ABC V 内一点，90BPC ∠=︒.(1)若12PB =，求PA ； (2)求PC PB +的取值范围； (3)若150APB ∠=︒，求tan PBA ∠.19．刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，用曲率刻画空间的弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差，其中多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制.例如：正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为π3.故其各个顶点的曲率均为π2π3π3-⨯=.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，N ，M 分别为AB ，1CC 的中点，且AB AC =.(1)当点A 的曲率为2π3时证明： ①CN ⊥平面11ABB A ； ②平面1AMB ⊥平面11ABB A .(2)当点A 的曲率为π2时，若12AA AB =，求二面角11A MB A --的正弦值.。
2023-2024学年河北省邢台市五校质检联盟高二(上)期中数学试卷【答案版】
2023-2024学年河北省邢台市五校质检联盟高二（上）期中数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为（ ）A ．y =±53x B ．y =±35xC ．y =±34xD ．y =±43x2．方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根可分别作为（ ） A ．椭圆和双曲线的离心率 B ．椭圆和抛物线的离心率C ．双曲线和抛物线的离心率D ．两椭圆的离心率3．已知空间向量a →=(2，1，1)，|b →|=√2，cos〈a →，b →〉=√34，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．23b →B ．√34b →C ．43b →D ．34b →4．已知椭圆M ：x 25+y 2m=1和双曲线C ：x 25+y 2m−6=1，则m 的取值范围为（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，6）C ．（0，5）∪（5，6）D ．（6，+∞）5．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A （0，2），B （﹣1，0），C （4，0），则△ABC 的欧拉线方程为（ ） A ．4x ﹣3y ﹣6＝0B ．3x +4y +3＝0C ．4x +3y ﹣6＝0D ．3x +4y ﹣3＝06．已知圆C 与y 轴相切于点A （0，2），且与直线4x ﹣3y +9＝0相切，则圆C 的标准方程为（ ） A ．（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9 B ．（x +3）2+（y ﹣2）2＝9C ．（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9或(x +13)2+(y −2)2=19D ．（x +3）2+（y ﹣2）2＝9或(x −13)2+(y −2)2=197．已知F 是抛物线C ：x 2＝﹣4y 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，|AF |+|BF |＝10，则线段AB 的中点到x 轴的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上异于A ，B 的一点，直线P A ，PB 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，则|MN |的最小值为（ ）A ．152B ．7C ．132D ．6二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，圆O ：（x ﹣2）2+y 2＝a 与圆M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a ，则圆O 与圆M 的位置关系可能是（ ） A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离10．已知椭圆M ：x 29+y 25=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1斜率不为0的直线l 交该椭圆于A ，B两点，则（ ） A ．M 的长轴长为6B ．△AF 1F 2的周长为8C ．△ABF 2的周长为12D ．△AF 1F 2面积的最大值为2√511．若双曲线C 1：y 2−x 23=1与双曲线C 2关于直线y ＝x ﹣1对称，则双曲线C 2的焦点坐标可能为（ ） A ．（3，﹣1）B ．（3，1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（1，1）12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB ＝2，则给出的说法中正确的是（ ）A ．该几何体的表面积为18√3B ．该几何体的体积为4C ．二面角B ﹣EF ﹣H 的余弦值为−13D ．若点P ，Q 在线段BM ，CH 上移动，则PQ 的最小值为2√33三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆O ：x 2+y 2＝6相切，请写出C 的一个标准方程 ．14．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m +1＝0被圆C ：（x +2）2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则m ＝ ． 15．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝AP ＝3，EC →=2PE →，则AE →⋅DE →= ．16．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A ，若2|AB |＝2|AF 2|＝3|BF 1|，则C 的离心率为 ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知A 为抛物线C ：y 2＝4x 上的一个动点，F 为C 的焦点． （1）当|AF |＝2时，求A 的坐标；（2）若点B 的坐标为（4，0），求|AB |的最小值．18．（12分）（1）直线l 经过点（1，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的一般式方程； （2）过点（1，3）向圆（x +1）2+y 2＝4作切线，求切线方程． 19．（12分）已知椭圆M ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√63，且短轴长为2√2． （1）求M 的方程；（2）若直线l 与M 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为P(−12，−2)，求l 的一般式方程． 20．（12分）已知F 是双曲线C ：y 23−x 2=1的上焦点，经过F ，且倾斜角为π4的直线l 交C 于A ，B 两点．（1）求l 的斜截式方程；（2）若点P （m ，3）在以AB 为直径的圆内，求m 的取值范围．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，侧面P AD 是正三角形，AB ＝2，PB ＝3，∠BAD =π3．（1）求点A 到平面PBD 的距离； （2）求二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值．22．（12分）动点P 到定点F(√3，0)的距离和它到直线l ：x =4√33的距离的比是常数√32，记点P 的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）已知M （0，1），过点N （﹣2，1）的直线与E 交于不同的两点A ，B ，点A 在第二象限，点B 在x 轴的下方，直线MA ，MB 分别与x 轴交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．2023-2024学年河北省邢台市五校质检联盟高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．双曲线x 29−y 216=1的渐近线方程为（ ）A ．y =±53x B ．y =±35xC ．y =±34xD ．y =±43x解：由双曲线的方程x 29−y 216=1，可得其渐近线方程为y =±43x ．故选：D ．2．方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根可分别作为（ ） A ．椭圆和双曲线的离心率 B ．椭圆和抛物线的离心率C ．双曲线和抛物线的离心率D ．两椭圆的离心率解：由2x 2﹣3x +1＝0，得x =12或1，由椭圆的离心率的范围以及抛物线的离心率， 可知方程2x 2﹣3x +1＝0的两个根可分别作为椭圆和抛物线的离心率． 故选：B ．3．已知空间向量a →=(2，1，1)，|b →|=√2，cos〈a →，b →〉=√34，则a →在b →上的投影向量为（ ）A ．23b →B ．√34b →C ．43b →D ．34b →解：因为向量a →=（2，1，1），则|a →|=√6，|b →|=√2，所以a →在b →上的投影向量为|a →|cos〈a →，b →〉⋅b →|b →|=√6×√34×b →2=34b →．故选：D ． 4．已知椭圆M ：x 25+y 2m=1和双曲线C ：x 25+y 2m−6=1，则m 的取值范围为（ ）A ．（0，+∞）B ．（0，6）C ．（0，5）∪（5，6）D ．（6，+∞）解：由题意得{m ＞0m ≠5m −6＜0，解得0＜m ＜6，且m ≠5，所以m 的取值范围为（0，5）∪（5，6）．故选：C ．5．数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知△ABC 的顶点分别为A （0，2），B （﹣1，0），C （4，0），则△ABC 的欧拉线方程为（ ） A ．4x ﹣3y ﹣6＝0B ．3x +4y +3＝0C ．4x +3y ﹣6＝0D ．3x +4y ﹣3＝0解：∵△ABC 的顶点分别为A （0，2），B （﹣1，0），C （4，0）， ∴△ABC 的重心为G(1，23)．∵k AB ＝2，k AC =−12，∴k AB •k AC ＝﹣1，∴AB ⊥AC ， ∴△ABC 的外心为BC 的中点D(32，0)，三角形的外心、垂心和重心都在同一直线上，这条直线被后人称为三角形的欧拉线， ∴△ABC 的欧拉线方程为y−023−0=x−321−32，即4x +3y ﹣6＝0．故选：C ．6．已知圆C 与y 轴相切于点A （0，2），且与直线4x ﹣3y +9＝0相切，则圆C 的标准方程为（ ） A ．（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9 B ．（x +3）2+（y ﹣2）2＝9C ．（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9或(x +13)2+(y −2)2=19D ．（x +3）2+（y ﹣2）2＝9或(x −13)2+(y −2)2=19解：因为圆C 与y 轴相切于点A （0，2），所以可设圆C 的标准方程为（x ﹣a ）2+（y ﹣2）2＝a 2． 因为圆C 与直线4x ﹣3y +9＝0相切， 所以d =|4a+3|5=|a|， 所以a =−13或a ＝3，所以圆C 的标准方程为(x +13)2+(y −2)2=19或（x ﹣3）2+（y ﹣2）2＝9． 故选：C ．7．已知F 是抛物线C ：x 2＝﹣4y 的焦点，A ，B 是抛物线C 上的两点，|AF |+|BF |＝10，则线段AB 的中点到x 轴的距离为（ ） A ．3B ．4C ．5D ．6解：由题意得C 的准线为y ＝1， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 因为|AF |+|BF |＝10，所以A ，B 到准线y ＝1的距离之和为10， 可得y 1+1+y 2+1＝10， 可得y 1+y 2＝8，故线段AB 的中点到x 轴的距离为y 1+y 22−1＝4．故选：B ． 8．已知椭圆C ：x 24+y 23=1的左、右顶点分别为A ，B ，P 为C 上异于A ，B 的一点，直线P A ，PB 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点，则|MN |的最小值为（ ） A ．152B ．7C ．132D ．6解：设P （x 0，y 0），则x 024+y 023=1，易知A （﹣2，0），B （2，0），直线P A 和直线PB 的斜率之积k PA ⋅k PB =y 0x 0+2⋅yx 0−2=y 02x 02−4=−34，设直线P A 的方程为y ＝k （x +2），则M （4，6k ）， 直线PB 的方程为y =−34k (x −2)，则N(4，−32k)， 所以|MN|=|6k +32k |≥2√6k ⋅32k =6，（当且仅当k ＝±12时，等号成立）． 故选：D ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．已知a ＞0，圆O ：（x ﹣2）2+y 2＝a 与圆M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a ，则圆O 与圆M 的位置关系可能是（ ） A ．内切B ．相交C ．外切D ．外离解：由a ＞0，圆O ：（x ﹣2）2+y 2＝a 与圆M ：x 2+（y ﹣a ）2＝a ， 可得|OM|=√a 2+4，圆O 与圆M 的半径之和为√a +√a =2√a ， 因为（a ﹣2）2＝a 2﹣4a +4≥0，所以a 2+4≥4a ，即|OM|=√a 2+4≥2√a ， 所以圆O 与圆M 的位置关系是外切或外离． 故选：CD ． 10．已知椭圆M ：x 29+y 25=1的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1斜率不为0的直线l 交该椭圆于A ，B两点，则（ ）A ．M 的长轴长为6B ．△AF 1F 2的周长为8C ．△ABF 2的周长为12D ．△AF 1F 2面积的最大值为2√5解：由椭圆M ：x 29+y 25=1得a ＝3，b =√5，c ＝2，则M 的长轴长为6，△AF 1F 2的周长为2a +2c ＝10，△ABF 2的周长为4a ＝12． 当A 为M 的短轴端点时，△AF 1F 2的面积最大，且最大值为12×2c ×b =2√5．故选：ACD ． 11．若双曲线C 1：y 2−x 23=1与双曲线C 2关于直线y ＝x ﹣1对称，则双曲线C 2的焦点坐标可能为（ ） A ．（3，﹣1）B ．（3，1）C ．（﹣1，﹣1）D ．（1，1）解：由题意得双曲线C 1：y 2−x 23=1的焦点分别为（0，2），（0，﹣2）．设（0，2）关于直线y ＝x ﹣1对称的点为（a ，b ），则{b+22=a2−1，b−2a=−1，得{a =3，b =−1． 设（0，﹣2）关于直线y ＝x ﹣1对称的点为（m ，n ），则{n−22=m2−1，n+2m=−1，得{m =−1，n =−1． 故C 2的焦点坐标分别为（3，﹣1），（﹣1，﹣1）． 故选：AC ．12．清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若AB ＝2，则给出的说法中正确的是（ ）A ．该几何体的表面积为18√3B ．该几何体的体积为4C ．二面角B ﹣EF ﹣H 的余弦值为−13D ．若点P ，Q 在线段BM ，CH 上移动，则PQ 的最小值为2√33解：“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中， 因为AB ＝2，所以BE =√2．该几何体的表面积为24×√34×(√2)2=12√3，故A 错误；该几何体的体积为23−12×13×12×√2×√2×1=4，故B 正确； 设EF 的中点为O ，连接OB ，OH ，如图，则∠BOH 即二面角B ﹣EF ﹣H 的平面角，OB =OH =√62，cos ∠BOH =OB 2+OH 2−BH 22OB⋅OH =−13，故C 正确；建立如图所示的空间直角坐标系，设P （2，m ，m ）（0≤m ≤2），Q （2﹣n ，2，n ）（0≤n ≤2），PQ 2=n 2+(2−m)2+(n −m)2=2n 2+2m 2−4m −2mn +4=2(n −m 2)2+32(m −43)2+43≥43， 当且仅当m =43，n =23时，等号成立． 故PQ 的最小值为2√33，故D 正确． 故选：BCD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆O ：x 2+y 2＝6相切，请写出C 的一个标准方程： y 2=4√6x （答案不唯一） ．解：∵抛物线C 的顶点为坐标原点O ，对称轴为坐标轴，且C 的准线与圆O ：x 2+y 2＝6相切， 当焦点在x 轴正半轴时，可得准线方程为x =−√6，可得抛物线方程为：y 2=4√6x （本题答案不唯一）．（y 2=4√6x ，y 2=−4√6x ，x 2=4√6y ，x 2=−4√6y中任意一个即可）．故答案为：y 2=4√6x （答案不唯一）．14．已知直线l ：mx ﹣y ﹣m +1＝0被圆C ：（x +2）2+y 2＝4截得的弦长为2√3，则m ＝ 0或34 ．解：因为直线l 被圆C 截得的弦长为2√3，且圆的半径为2， 所以圆心C （﹣2，0）到直线l 的距离d =|−3m+1|√m 2+1=√22−(√3)2，解得m ＝0或34．故答案为：0或34．15．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马．如图，四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，P A ⊥平面ABCD ，且AB ＝AD ＝AP ＝3，EC →=2PE →，则AE →⋅DE →= 3 ．解：因为P A ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形， 所以AP ，AB ，AD 两两互相垂直，以A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则D （0，3，0），P （0，0，3），C （3，3，0），因为PE →=13PC →=13(3，3，−3)=(1，1，−1)，所以E （1，1，2）， 因为AE →=(1，1，2)，DE →=(1，−2，2)， 所以AE →⋅DE →=1×1+1×(−2)+2×2=3． 故答案为：3．16．如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A ，若2|AB |＝2|AF 2|＝3|BF 1|，则C 的离心率为√693．解：如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左，右焦点，过F 1的直线l 与C 的左、右两个分支分别交于点B ，A ，连接BF 2，由双曲线的定义，可得|AF 1|﹣|AF 2|＝|BF 1|＝2a ，得|AB |＝|AF 2|＝3a ，|BF 2|＝|BF 1|+2a ＝4a ．在△ABF 2中，cos ∠F 1AF 2=|AB|2+|AF 2|2−|BF 2|22|AB||AF 2|=19，在△AF 1F 2中，由|F 1F 2|2=|AF 1|2+|AF 2|2−2|AF 1||AF 2|cos∠F 1AF 2， 得4c 2=25a 2+9a 2−2×5a ×3a ×19，得e =c a =√693． 故答案为：√693．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知A 为抛物线C ：y 2＝4x 上的一个动点，F 为C 的焦点． （1）当|AF |＝2时，求A 的坐标；（2）若点B 的坐标为（4，0），求|AB |的最小值． 解：（1）由题意得焦点F （1，0），准线方程为x ＝﹣1， 设A （x ，y ），当|AF |＝2时，由抛物线定义可知， A 到x ＝﹣1的距离为2，即x +1＝2，故x ＝1， 由y 2＝4，得y ＝±2，所以A 的坐标为（1，2）或（1，﹣2）；（2）设A （x 1，y 1），则x 1≥0，y 12=4x 1，则|AB|=√(x 1−4)2+y 12=√(x 1−4)2+4x 1=√x 12−4x 1+16=√(x 1−2)2+12，故当x 1＝2时，|AB |取得最小值，且最小值为2√3．18．（12分）（1）直线l 经过点（1，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线l 的一般式方程； （2）过点（1，3）向圆（x +1）2+y 2＝4作切线，求切线方程．解：（1）直线l 经过点（1，﹣3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等， 当直线l 的截距为0时，直线l 的方程为y ＝﹣3x ，即3x +y ＝0． 当直线l 的截距不为0时，设直线l 的方程为xa+y b=1，则{1a +−3b =1|a|=|b|，解得{a =−2b =−2或{a =4b =−4，若{a =−2b =−2，则直线l 的方程为x +y ＝﹣2，即x +y +2＝0； 若{a =4b =−4，则直线l 的方程为x 4+y −4=1，即x ﹣y ﹣4＝0． 综上，直线l 的一般式方程是3x +y ＝0或x +y +2＝0或x ﹣y ﹣4＝0． （2）过点（1，3）向圆（x +1）2+y 2＝4作切线， 当切线斜率不存在时，符合题意，此时切线方程为x ＝1；当切线斜率存在时，设切线方程为y ﹣3＝k （x ﹣1），即kx ﹣y ﹣k +3＝0， 则√k 2+1=2，解得k =512，所以切线方程为5x ﹣12y +31＝0．故所求切线方程为x ＝1或5x ﹣12y +31＝0． 19．（12分）已知椭圆M ：y 2a 2+x 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√63，且短轴长为2√2． （1）求M 的方程；（2）若直线l 与M 交于A ，B 两点，且弦AB 的中点为P(−12，−2)，求l 的一般式方程．解：（1）由题意知，{√1−(b a )2=√632b =2√2，解得b =√2，a =√6，故M 的方程为y 26+x 22=1． （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则{x 122+y 126=1x 222+y 226=1， 两式相减，得(x 1−x 2)(x 1+x 2)2+(y 1−y 2)(y 1+y 2)6=0，因为弦AB 的中点为P(−12，−2)， 所以x 1+x 2＝﹣1，y 1+y 2＝﹣4， 所以l 的斜率k =y 1−y2x 1−x 2=−34，故l 的方程为y +2=−34(x +12)，即6x +8y +19＝0．20．（12分）已知F 是双曲线C ：y 23−x 2=1的上焦点，经过F ，且倾斜角为π4的直线l 交C 于A ，B 两点．（1）求l 的斜截式方程；（2）若点P （m ，3）在以AB 为直径的圆内，求m 的取值范围． 解：（1）由题意得F （0，2），l 的斜率为tan π4=1，所以l 的斜截式方程为y ＝x +2； （2）设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），由{y 23−x 2=1y =x +2，得2x 2﹣4x ﹣1＝0，则{x 1+x 2=2x 1x 2=−12，则|AB|=√1+12×√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=2√3， 设AB 的中点为N （x 0，y 0），则x 0=x 1+x 22=1，y 0＝1+2＝3， 故以AB 为直径的圆的方程为（x ﹣1）2+（y ﹣3）2＝3， 依题意得（m ﹣1）2+（3﹣3）2＜3，解得1−√3＜m ＜1+√3， 故m 的取值范围是（1−√3，1+√3）．21．（12分）如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 是菱形，侧面P AD 是正三角形，AB ＝2，PB ＝3，∠BAD =π3．（1）求点A 到平面PBD 的距离； （2）求二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值．解：（1）如图，取AD 的中点O ，连接PO ，OB ． ∵△P AD 和△ABD 为正三角形， ∴PO ⊥AD ，OB ⊥AD ，又PO ∩OB ＝O ， ∴AD ⊥平面POB ，又在△POB 中，PO =OB =√3，PB ＝3，∴∠POB =2π3，故以OA ，OB 所在直线分别为x ，y 轴，建系如图，则根据题意可知：A （1，0，0），B(0，√3，0)，C(−2，√3，0)，D （﹣1，0，0），P(0，−√32，32)． 设平面PBD 的法向量为n →=(x ，y ，z)，∵PD →=(−1，√32，−32)，BD →=(−1，−√3，0)，∴{n →⋅PD →=−x +√32y −32z =0n →⋅BD →=−x −√3y =0，取n →=(−√3，1，√3)， 又AB →=(−1，√3，0)，∴点A 到平面PBD 的距离d =|n →⋅AB →||n →|=2√37=2√217；（2）设平面PCD 的法向量为m →=(x ，y ，z)， ∵PD →=(−1，√32，−32)，CD →=(1，−√3，0)，∴{m →⋅PD →=−x +√32y −32z =0m →⋅CD →=x −√3y =0，取m →=(3，√3，−1)． 又由图可知二面角B ﹣PD ﹣C 为锐角， ∴二面角B ﹣PD ﹣C 的余弦值为：|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →||n →|=3313×√7=3√27391．22．（12分）动点P 到定点F(√3，0)的距离和它到直线l ：x =4√33的距离的比是常数√32，记点P 的轨迹为曲线E ．（1）求E 的方程；（2）已知M （0，1），过点N （﹣2，1）的直线与E 交于不同的两点A ，B ，点A 在第二象限，点B 在x 轴的下方，直线MA ，MB 分别与x 轴交于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值．解：（1）设点P （x ，y ），依题意可得√(x−√3)2+y 2|4√33−x|=√32， 化简得x 2+4y 2＝4，即E 的方程为x 24+y 2=1；（2）设直线AB 的方程为y ﹣1＝k （x +2），k ＜0，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 联立{y =kx +2k +1x 24+y 2=1，可得（1+4k 2）x 2+8k （2k +1）x +16k 2+16k ＝0，则Δ＞0，x1+x2=−8k(2k+1)1+4k2，x1⋅x2=16k(k+1)1+4k2，直线MA的方程为y=y1−1x1x+1，∴x C=x11−y1，同理x D=x21−y2，∵y1＝kx1+2k+1，y2＝kx2+2k+1，∴y1﹣y2＝k（x1﹣x2），x D−x C=x2−k(x2+2)−x1−k(x1+2)=2(x1−x2)k(x1+2)(x2+2)，∴S ACBD=12|x D−x C||y1−y2|=|(x1−x2)2(x1+2)(x2+2)|=|(x1+x2)2−4x1x2x1x2+2(x1+x2)+4|=|64k2(2k+1)2(1+4k2)2−4⋅16k(k+1)1+4k216k(k+1)1+4k2−16k(2k+1)1+4k2+4|=−16k4k2+1=16(−4k)+(−1k)≤164=4，当且仅当k=−12时，四边形ACBD的面积最大，最大值为4．。
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17.(10 分)
在①m>0，且 C 的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为 3＋ 3 ，②C 的焦距为 6，
③C 上一点到两焦点距离之差的绝对值为 4 这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中。
问题：已知双曲线 C： x2 − y2 = 1， m 2m
，求 C 的方程。
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。
旗开得胜
(2)用(1)中的回归方程预测当宣传费为 14 万元时的利润。
n
∑ 附：回归直线 y$ = b$x + a$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 bˆ =
i=1 n
xi yi
− nxy , aˆ =
y − bˆx
∑ xi2 − nx 2
i=1
8
8
∑ ∑ 参考数据： xi yi = 241, xi2 = 356 。
9
上的动点，直线 AP 与直线 x＝5 交于点 M，直线 BP 与直线 x＝5 交于点 N，则△DMN 的面
积可能为
A.73 B.76 C.68 D.72
ห้องสมุดไป่ตู้
第 II 卷
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。把答案填在答题卡中的横线上。
13.椭圆 x2 + y2 = 1的左焦点的坐标为
抛物线焦点的距离为 6，则|OM|＝
A.5
B.3 5
C.6
D.6 2
8.设
F1，F2 分别为双曲线
x2 C： a2
−
y2 b2
= 1(a
> 0,b
> 0) 的左、右焦点，实轴为
A1A2。若
P
7
为 C 右支上的一点，线段 PF1 的中点为 M，且 F2M⊥PF1，|F2M|＝ |A1A2|，则 C 的离心
1 读万卷书 行万里路
旗开得胜 在做家务的过程中体验劳动的艰辛与快乐。某同学要在洗碗拖地、收纳衣服、做饭买菜这五
种家务中任选两种，则该同学没有选择洗碗的概率为
A. 7
B. 3
C. 1
D. 2
10
5
2
5
x2 5.已知椭圆 C：2m2
+
y2 m2
= 1(m > 0) 的左右焦点分别为 F1，F2，P 为 C 上任意一点，则|PF1|
则
A.这组数据的中位数为 8.5 B.这组数据的众数为 8
C.这组数据的中位数为 8
D.这组数据的众数为 9
10.已知双曲线 C：x2－ y2 ＝1，则 6
A.C 的焦距为 7
B.C 的虚轴长是实轴长的 6 倍
y2
C.双曲线 －x2＝1 与 C 的渐近线相同
6
D.直线 y＝3x 上存在一点在 C 上
B.x＝－ 1 16
C.y＝－1
D.y＝－ 1 16
3.某中学初中部有 600 名学生，高中部有 800 名学生，其性别比例如图所示，则该校男生比
女生多
A.60 人 B.100 人 C.150 人 D.180 人 4.2020 年“五一”劳动节某中学组织开展了“劳动美”社会实践活动，鼓励孩子们居家劳动，
2
率为
A. 4
B. 5
C.2
D. 7
3
3
3
二、选择题：本题共 4 小题，每个小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分。
9.某射击运动员进行了 14 次射击训练，统计数据如下表：
2 读万卷书 行万里路
旗开得胜
＋|PF2|≥12 的一个充分不必要条件是
A.|F1F2|≥6
B.|F1F2|≥6 2
C.|F1F2|≥4 3
D.|F1F2|≥9
x2 6.双曲线 sin2 400
−
y2 cos2 400
= 1的渐近线的斜率为
A.±tan50° B.±tan40° C.±sin50° D.±sin40°
7.已知抛物线关于 x 轴对称，它的顶点为坐标原点 O，并且经过点 M(3，y0)，若点 M 到该
18.(12 分)
如今，中国的“双十一”已经变成了全民狂欢的“电商购物日”某电商统计了近 8 年“双十
一”期间该电商的宣传费用 x(单位：万元)和利润 y(单位：十万元)的数据，得到下列表格：
4 读万卷书 行万里路
(1)由表中数据，求 y 关于 x 的线性回归方程 y$ = b$x + a$ ( b$ ， a$ 精确到 0.01)；
邢台市 2020～2021 学年高二(上)期中测试
旗开得胜
数学
考生注意：
1.本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分，共 150 分。考试时间 120 分钟。
2.请将各题答案填写在答题卡上。
3.本试卷主要考试内容：人教 A 版必修 3，选修 2－1 第一、二章。
第I卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有
。
75
3
读万卷书 行万里路
旗开得胜 14.已知一组数据 x1，x2，x3，…，x10 的方差为 5，则数据 3x1－10，3x2－10，3x3－10，…，
3x10－10 的方差为
。
15.设有下列四个命题：
①若 A>0，B<0，则直线 Ax＋By－2＝0 不经过第二象限；
②抛物线 x2＝－8y 的焦点在圆 x2＋(y＋1)2＝2 的内部；
③若方程 x2＋ y2 m
＝1 表示双曲线，则 m<0；
④不等式 lg(x2－1)<1 的解集为(－ 11 ， 11 )。
其中所有真命题的序号是
。
16.已知动圆 Q 与圆 C1：x2＋(y＋4)2＝9 外切，与圆 C2：x2＋(y－4)2＝9 内切，则动圆圆心
Q 的轨迹方程为
。
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
一项是符合题目要求的。
1.已知命题 p： ∀ x∈R，2x2＋2x＋1>0，则 p 的否定是
A. ∃ x∈R，2x2＋2x＋1>0
B. ∀ x∈R，2x2＋2x＋1<0
C. ∃ x∈R，2x2＋2x＋1≤0
D. ∀ x∈R，2x2＋2x＋1≤0
2.抛物线 x2＝ 1 y 的准线方程为 4
A.x＝－1
i =1
i =1
11.下列判断中正确的是
A.“x>2ln2”是“x>ln3”的充分不必要条件
B.“a>1”是“函数 f(x)＝x2－ax＋a2－1 有两个正零点”的充要条件
C.“b2＝ac”是“a，b，c 成等比数列”的必要不充分条件
D.“a>2b”是“a2>4b2”的既不充分也不必要条件
y2
12.已知曲线 C 的方程为 x2＋ ＝1(0<x≤1)，A(0，－3)，B(0，3)，D(－1，0)，点 P 是 C