第7讲 数学文化

A.158
√B.162
C.182
D.324
解析 由三视图可知，该几何体是一个直五棱柱，
所以其体积V＝
1 2
×(4×3＋2×3＋6×6)×6＝162.
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5.中国古代数学著作《张丘建算经》中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，
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4.祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖
暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体＝Sh，其中S是柱体的底面积，h是
柱体的高.若某柱体的三视图如图所示(单位：cm)，则该柱体的体积(单位：cm3)是
√A.3 B.3.1 C.3.14 D.3.2
解析 设圆柱体的底面半径为r，高为h， 由圆柱的体积公式，得体积为V＝πr2h. 由题意知 V＝112×(2πr)2×h， 所以 πr2h＝112×(2πr)2×h，解得 π＝3.
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9 若在上述图(3)中随机选取一个点，则此点取自阴影部分的概率为__1_6__.
解析 设图(3)中最小阴影三角形的面积为S，由图可知图(3)中最大三角形的面积为16S，
图(3)中，阴影部分的面积为9S，根据几何概型概率计算公式可得，在图(3)中随机选取
一个点，则此点取自阴影部分的概率为
9 16
.
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设该数列为{an}，则该匹马首日行走的路程为 a1，公比为12， 则有a111－－12127＝700，则 a1＝3501×27128，则a111－－121214＝2235275(里).
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A.4
B.5
√C.6
D.7
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解析 由题意知，由细到粗每段的重量组成一个等差数列，记为{an}，设公差为d，
则有aa19＋ ＋aa210＝＝24，
⇒22aa11＋＋1d7＝d＝2，4
a1＝1156， ⇒d＝18.
9.(2019·鄂东南省级示范高中联考)《九章算术》是中国古代 的数学专著，其中的“更相减损术”可以用来求两个数的 最大公约数，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子 之数，以少减多，更相减损，求其等也.以等数约之”.翻译 成现代语言如下：第一步，任意给定两个正整数，判断他 们是否都是偶数，若是，用2约简，若不是，执行第二步； 第二步，以较大的数减去较小的数，接着把所得的差与较 小的数比较，并以大数减小数，继续这个操作，直到所得 的数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积 就是所求的最大公约数.现给出“更相减损术”的程序框图 如图所示，如果输入的a＝114，b＝30，则输出的n为
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12.(2019·凉山检测)十七世纪法国数学家费马提出猜想：“当整数n>2时，关于x，y， z的方程xn＋yn＝zn没有正整数解”.经历三百多年，于二十世纪九十年中期由英国数 学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想，使它终成费马大定理，则下面说法正确的是 A.存在至少一组正整数组(x，y，z)使方程x3＋y3＝z3有解 B.关于x，y的方程x3＋y3＝1有正有理数解
板块三 基础考点练透提速不失分
1.数的概念起源于大约300万年前的原始社会，如图1所示，当时的人类用在绳子上打
结的方法来记数，并以绳结的大小来表示猎物的大小，即“结绳计数”.图2所示的
是某个部落一段时间内所擒获猎物的数量，在从右向左依次排列的不同绳子上打结，
右边绳子上的结每满7个即在左边的绳子上打一个结，请根据图2计算该部落在该段
公元1986年为农历丙寅年.则2049年为农历
A.己亥年
√B.己巳年
C.己卯年
D.戊辰年
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解析 方法一 2 049－1 983＝66， 66除以10所得余数为6，即对应的天干为“己”； 66除以12所得的余数为6，即对应的地支为“巳”， 所以2 049年为农历己巳年. 方法二 易知(年份－3)除以10所得的余数对应天干， 则2 049－3＝2 046,2 046除以10所得的余数是6，即对应的天干为“己”. (年份－3)除以12所得的余数对应地支， 则2 049－3＝2 046，2 046除以12所得的余数是6， 即对应的地支为“巳”，所以2049年为农历己巳年.
1 A.12
√ 1
1
B.14
C.15
1 D.18
解析 不超过30的所有素数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，共10个，随机选取两个不同 的数，共有C120 ＝45(种)情况，而和为30的有7＋23,11＋19,13＋17这3种情况， ∴所求概率为435＝115. 故选C.
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赵爽弦图，以纪念我国古代数学家赵爽用此图证明了勾股定理.如图是用4个全等的直
角三角形以斜边为边长拼成的一个正方形.假设直角三角形的直角边长分别为3,5，在正
方形ABCD中随机取一点，则此点取自四边形EFGH内的概率是
√2 A.17
1
2
4
B.8
C.9
D.25
解析 因为直角三角形的直角边长分别为3,5， 所以正方形ABCD的面积为32＋52＝34， 易知四边形EFGH的面积为(5－3)2＝4. 故此点取自四边形 EFGH 内的概率 P＝344＝127.
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3.“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法.干支是天干和地
支的总称.天干、地支互相配合，配成六十组为一周，周而复始，依次循环.甲、乙、
丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸为天干；子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、
申、酉、戌、亥为地支.如：公元1984年为农历甲子年、公元1985年为农历乙丑年，
√ A.3 B.6 C.7 D.30
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解析 根据框图可列表如下. a 114 57 42 27 12 15 3 12 9 6 3 b 30 15 15 15 15 12 12 3 3 3 3 n 0 0 1 2 3 3 4 4 567 k 1 2 2 2 2 2 2 2 222
√C.关于x，y的方程x3＋y3＝1没有正有理数解
D.当整数n>3时，关于x，y，z的方程xn＋yn＝zn没有正实数解
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解析 由于B，C两个命题是对立的，故正确选项是这两个选项中的一个. 假设关于x，y的方程x3＋y3＝1有正有理数解， 故x，y可写成整数比值的形式， 不妨设 x＝mn ，y＝ba，其中 m，n 为互质的正整数，a，b 为互质的正整数. 代入方程得mn33＋ab33＝1，两边乘以 a3n3 得(am)3＋(bn)3＝(an)3， 由于am，bn，an都是正整数，这与费马大定理矛盾，故假设不成立， 所以关于x，y的方程x3＋y3＝1没有正有理数解.
由表可知，最后输出的k＝2，b＝3，n＝7.
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10.《九章算术》中有这样一个问题：“今有圆堢壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问积 几何？术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一.”这里所说的圆堢壔就是圆柱体，它的 体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一”，意思是圆柱体的体积为V＝112 ×底面圆 的周长的平方×高，则由此可推得圆周率π的取值为
行七百里.”其意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里数是前一天的
一半，连续行走7天，共走了700里.”若该匹马按此规律继续行走7天，则它这14天内
所走的总路程为
A. 175 里 32
√C.
22 575 32
里
B.1 050里 D.2 100里
解析 由题意可知，马每天行走的路程组成一个等比数列，
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13.部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形.谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰 数学家谢尔宾斯基1915年提出.具体操作是取一个实心正三角形，沿三角形的三边中点 连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重 复上述过程逐次得到各个图形，如图.
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2.(2019·桂林、崇左联考)如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》 中的“更相减损术”.执行该程序框图，若输入的a，b分别为12,18，则输出的a的值为
√ A.1 B.2 C.3 D.6
解析 ∵12＜18，b＝18－12＝6,12＞6， a＝12－6＝6，a＝b，输出a＝6.
√A.2寸
B.3寸 C.4寸 D.5寸
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解析 由三视图可知，该器具的上底面半径为12寸，下底面半径为6寸，高为12寸.
因为所接雨水的深度为 6 寸，所以水面半径为12×(12＋6)＝9(寸)， 则盆中水的体积为13π×6×(62＋92＋6×9)＝342π(立方寸)， 所以这一天该地的平均降雨量约为π3×421π22≈2(寸).
所以该金箠的总重量 M＝10×1156＋10× 2 9×18＝15.