数学建模-第二章
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数学建模：第二章 古典模型
26
（4）设有n个人参加一宴会，已知没有 人认识所有的人，问是否有两个人，他们 认识的人一样多？
27
二、椅子问题
问题：将4条腿长相同的方椅子 放在不平的地上，怎样才能放平？
28
假定椅子中心不动，每条腿的着地点视 为几何上的点，用A、B、C、D表示，把AC 和BD连线看作坐标系中的x轴和y轴，把转 动椅子看作坐标的旋转如图2-6所示：
7
思考题： 在一个边长为1的正三角形内， 1 若要彼此间距离大于 ，最多不超过 n 多少个点？
8
问题２：
能否在8×8的方格表ABCD各个空格中分别 填写1、2、3这三个数中的任一个，使得每行、 每列及对角线AC、BD上的各个数的和都不相同？ 为什么？
A D
B 图 2-2
C
9
如图2-2，因为每行、每列及对角线上的 数都是8个,所以8个数的和最小值是1×8＝8， 最大值是3×8=24，共有17个不同的和。而由 题意知，每行、每列及对角线AC、BD上各个 数的和应有8+8+2=18个，所以要想使每行、 每列及两对角线上18个和都不相同是办不到 的。
10
三、学会估算 问题：能否将一张纸对折100次？
对折100次共2 层
100
2 1024 1000 10
10
3
所以 2 10 30 10 层就有 若每层纸厚度为0.05毫米，
100 30
5 1022 千米
即五万亿亿千米，而从地球到太阳也不过1.5亿 千米。 对折100次就无法办到了。
Fn 2 1
2n
进行试算：
F0 3
F1 5 F2 17
F3 257 都是素数
F 费尔马断言：“对任意自然数n，n 都是 素数。”，这是著名的费尔马猜想。
（4）设有n个人参加一宴会，已知没有 人认识所有的人，问是否有两个人，他们 认识的人一样多？
27
二、椅子问题
问题：将4条腿长相同的方椅子 放在不平的地上，怎样才能放平？
28
假定椅子中心不动，每条腿的着地点视 为几何上的点，用A、B、C、D表示，把AC 和BD连线看作坐标系中的x轴和y轴，把转 动椅子看作坐标的旋转如图2-6所示：
7
思考题： 在一个边长为1的正三角形内， 1 若要彼此间距离大于 ，最多不超过 n 多少个点？
8
问题２：
能否在8×8的方格表ABCD各个空格中分别 填写1、2、3这三个数中的任一个，使得每行、 每列及对角线AC、BD上的各个数的和都不相同？ 为什么？
A D
B 图 2-2
C
9
如图2-2，因为每行、每列及对角线上的 数都是8个,所以8个数的和最小值是1×8＝8， 最大值是3×8=24，共有17个不同的和。而由 题意知，每行、每列及对角线AC、BD上各个 数的和应有8+8+2=18个，所以要想使每行、 每列及两对角线上18个和都不相同是办不到 的。
10
三、学会估算 问题：能否将一张纸对折100次？
对折100次共2 层
100
2 1024 1000 10
10
3
所以 2 10 30 10 层就有 若每层纸厚度为0.05毫米，
100 30
5 1022 千米
即五万亿亿千米，而从地球到太阳也不过1.5亿 千米。 对折100次就无法办到了。
Fn 2 1
2n
进行试算：
F0 3
F1 5 F2 17
F3 257 都是素数
F 费尔马断言：“对任意自然数n，n 都是 素数。”，这是著名的费尔马猜想。
章绍辉数学建模第二章
第二章 习题二1.（1）按照“两秒准则”表明前后车距与车速成正比，这和“一车长度准则”是类似的。
在2.2节的基础上引入下面的符号: D ～前后车距（m ） v ～车速（m/s ）K ～按照“两秒准则”，D 与v 之间的比例系数（s ）,在“两秒准则”中，K=2 于是“两秒准则”的数学模型为（2）D K v K =⨯=而刹车距离的数学模型为212d kv k v =+ 要考虑“两秒准则”是否安全，即要比较D 与d 的大小212d D kv k v K v -=+-⨯（1） 代入k 1=0.75v ，k 2=0.082678，K=2，所以当d>D ，即刹车距离的理论大于前后车距时，认为不够安全；当d<D ，即刹车距离的理论小于前后车距时，认为足够安全。
计算得到当速度超过15.12 m/s 时，“两秒准则”就不安全了，也就是说“两秒准则”适用于车速不是很快的情况。
另外，还可以通过绘图直观解释为什么“两秒准则”不够安全，用以下程序把刹车距离实测数据与“两秒准则”都画在同一幅图中：v=(20:5:80).*0.44704;d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,41820,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2;k1=0.75; k2=0.082678; K=2; d1=[v;v;v].*k1;d=d1+d2;plot([0,40],[0,K*40],'k')hold onplot(0:40,polyval([k2,k1,0],0:40),':k')plot([v;v;v],d,'ok')title('比较刹车距离实测数据、理论值和两秒准则')legend('两秒准则','刹车距离理论值',...'刹车距离的最小值、平均值和最大值',2)xlabel('车速v（m/s）')ylabel('距离（m）')hold off（2）“两秒准则”的不安全性在于，其刹车距离随着车速增长的速度赶不上理论刹车距离的增长速度，为此我们提出一个“t秒准则”，通过不断增加t的值使得刹车距离总是大于理论刹车距离。
数学建模第二章
P = R(t) – C(t)=(p0-rt)(w0+gt)(k0 + k t)
精品PPT
参数估计
w0=100 kg, g=2kg, p0=7.5 元, r=(7.8-7.5)/5=0.06 元, k=7.1 元 P(t) = R(t) – C(t) = (7.5－0.06 t)(100 + 2t) – (500+7.1t) P(t) = 250 + 1.9t – 0.12 t2.
第二章 数学(shùxué) 建模
精品PPT
回顾(huígù )
数学模型： 通过抽象和化简， 使用数学语言， 对实际问题的一个(yī ɡè)近似描述， 以便于人们更深刻地认识所研究的对象。 数学模型的特点： 实践性；应用性；综合性。
精品PPT
数学(shùxué)建模 (Mathematical modelling)
数学建模是一种数学的思考方 法，用数学的语言和方法，通过 抽象、简化建立能近似刻画并" 解决(jiějué)"实际问题的路径。
精品PPT
构建(ɡòu jiàn)数学模型的基本 步骤：
识别问题：什么是要探究的问题？要将不 同学科(xuékē)对问题的语言陈述用数学 方式表达。
做出假设：抓住主要因素，降低问题的复 杂性，确定所考虑到的因素之间的关系。 这包括引入参量、自变量、因变量。
度 v*, 使得疏散的时间最短？
精品PPT
精品PPT
V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
精品PPT
例6. 生猪饲养
一头重量是100 kg的猪， 在上一周每天增重约2 kg。 五天前售价为7.8元/kg，但现在猪价下降到
7.5元/kg， 饲料每天需花费(huāfèi)7.1元。 前期育肥的投入大约500元。 求出售猪的最佳时间。 目标（求什么）？ 实现目标的关键？ 有关的因素？
精品PPT
参数估计
w0=100 kg, g=2kg, p0=7.5 元, r=(7.8-7.5)/5=0.06 元, k=7.1 元 P(t) = R(t) – C(t) = (7.5－0.06 t)(100 + 2t) – (500+7.1t) P(t) = 250 + 1.9t – 0.12 t2.
第二章 数学(shùxué) 建模
精品PPT
回顾(huígù )
数学模型： 通过抽象和化简， 使用数学语言， 对实际问题的一个(yī ɡè)近似描述， 以便于人们更深刻地认识所研究的对象。 数学模型的特点： 实践性；应用性；综合性。
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数学(shùxué)建模 (Mathematical modelling)
数学建模是一种数学的思考方 法，用数学的语言和方法，通过 抽象、简化建立能近似刻画并" 解决(jiějué)"实际问题的路径。
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构建(ɡòu jiàn)数学模型的基本 步骤：
识别问题：什么是要探究的问题？要将不 同学科(xuékē)对问题的语言陈述用数学 方式表达。
做出假设：抓住主要因素，降低问题的复 杂性，确定所考虑到的因素之间的关系。 这包括引入参量、自变量、因变量。
度 v*, 使得疏散的时间最短？
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精品PPT
V=ad/(b+d) =7.83d/(75.60+d)
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例6. 生猪饲养
一头重量是100 kg的猪， 在上一周每天增重约2 kg。 五天前售价为7.8元/kg，但现在猪价下降到
7.5元/kg， 饲料每天需花费(huāfèi)7.1元。 前期育肥的投入大约500元。 求出售猪的最佳时间。 目标（求什么）？ 实现目标的关键？ 有关的因素？
数学建模第二章图形绘制
-0.1
0.1
y2=x.*x.*log(x);
-0.2
0
plot(x,y2,'r-'),grid on -0.3
-0.1
-0.4
-0.2
0
0.5
1
1.5
0
0.5
1
1.5
三、曲面绘制
命令 plot3(x,y,z) mesh(x,y,z) surf(x,y,z) meshc(x,y,z) surfc(x,y,z) surfl(x,y,z) hidden on/off
contourf(x,y,z)
绘制正投影于xoy面上的经过填充的等高线。
[c,h]=contour(z)
z为曲面s上的点阵，c为xoy面上的等高线阵，h为高度列向量， c和h将作为下面语句中的输入参数。
clabel(c)
给xoy面上的等高线增添标注，位置任意，但十分粗略，欠清 晰
clabel(c,h)
plot3(x,y,z)
0 5
4
0
2
0
-2
-5 -4
[x,y]=meshgrid(-4:0.4:4,-5:0.5:5); z=0.3*exp(-0.15*(x.^2+y.^2)); mesh(x,y,z)
0.4
0.3
0.2
0.1
0 5
4
0
2
0
-2
-5 -4
0.4
surf(x,y,z) 0.3
0.2
100
80
60
40
20
0 1000
500
0
-500
0
-1000 -500
1000 500
数学建模第二章
* *
方程的根：实根、虚根。全局的根、 方程的根：实根、虚根。全局的根、局部 的根。单根、重根。 的根。单根、重根。
介值定理 若函数 则方程
] f ( x在 [ a , b连续，且 ) 连续，
f ( a ) f (b ) < 0
f ( x ) = 0 ( a , b内至少有一个实根。 ) 内至少有一个实根。 在
x k +1
f ( xk ) ,k = 0,1,2, L = xk − f ′( x k )
2.1.2 非线性方程求解的MATLAB实现 非线性方程求解的MATLAB实现 MATLAB
MATLAB是matrix laboratory(矩阵实验室 的缩 是 矩阵实验室)的缩 矩阵实验室 软件包是由美国MathWorks公司 写， MATLAB软件包是由美国 软件包是由美国 公司 推出的。目前最为流行的版本MATLAB6.5，其最 推出的。目前最为流行的版本 ， 高版本已达到MATLAB7.7。 高版本已达到 。 对计算机编程与数值计算，之所以感到困难是因 对计算机编程与数值计算， 为受到编程技术与数学算法的制约 MATLAB对于问题的表达方式几乎与问题的数学 对于问题的表达方式几乎与问题的数学 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强， 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强，便 于进行科学工程计算的应用软件。 于进行科学工程计算的应用软件。
模型求解
利用MATLAB软件求解，见MATLAB界面操作 软件求解， 利用 软件求解 界面操作 第二问： 第二问：反复利用递推式可得
xn +1 = (1 + p ) xn − Q = (1 + p ) 2 xn −1 − (1 + p )Q − Q = (1 + p ) n x1 − [(1 + p ) n −1 + (1 + p ) n − 2 + L + (1 + p ) + 1]Q (1 + p ) n − 1 = (1 + p ) n x1 − Q p
方程的根：实根、虚根。全局的根、 方程的根：实根、虚根。全局的根、局部 的根。单根、重根。 的根。单根、重根。
介值定理 若函数 则方程
] f ( x在 [ a , b连续，且 ) 连续，
f ( a ) f (b ) < 0
f ( x ) = 0 ( a , b内至少有一个实根。 ) 内至少有一个实根。 在
x k +1
f ( xk ) ,k = 0,1,2, L = xk − f ′( x k )
2.1.2 非线性方程求解的MATLAB实现 非线性方程求解的MATLAB实现 MATLAB
MATLAB是matrix laboratory(矩阵实验室 的缩 是 矩阵实验室)的缩 矩阵实验室 软件包是由美国MathWorks公司 写， MATLAB软件包是由美国 软件包是由美国 公司 推出的。目前最为流行的版本MATLAB6.5，其最 推出的。目前最为流行的版本 ， 高版本已达到MATLAB7.7。 高版本已达到 。 对计算机编程与数值计算，之所以感到困难是因 对计算机编程与数值计算， 为受到编程技术与数学算法的制约 MATLAB对于问题的表达方式几乎与问题的数学 对于问题的表达方式几乎与问题的数学 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强， 表达形式完全一致，是效率较高，功能较强，便 于进行科学工程计算的应用软件。 于进行科学工程计算的应用软件。
模型求解
利用MATLAB软件求解，见MATLAB界面操作 软件求解， 利用 软件求解 界面操作 第二问： 第二问：反复利用递推式可得
xn +1 = (1 + p ) xn − Q = (1 + p ) 2 xn −1 − (1 + p )Q − Q = (1 + p ) n x1 − [(1 + p ) n −1 + (1 + p ) n − 2 + L + (1 + p ) + 1]Q (1 + p ) n − 1 = (1 + p ) n x1 − Q p
数学建模 第二章
25.6
19.8
1318603Fra bibliotek.435.0
26.5
1870
38.6
47.8
35.4
1880
50.2
65.5
43.5
1890
1 2
1900
:
1910
3
4
1920
62.9 76.6 92.0 106.5
89.6 122.5 167.6 229.3
56.2 70.2 84.7 102.5
泰州学院数学建模教案
1 2
Logistic 模型在经济领域中的应用(如耐用消费品
: 3
的售量)
4
泰州学院数学建模教案
2.3 数学建模的方法和步骤
数学建模的基本方法
机理分析 根据对客观事物特性的认识，找出反 映内部机理的数量规律
测试分析 将对象看作“黑箱”，通过对测量数 据的统计分析，找出与数据拟合最好的
15
模型
用机理分析建立模型结构, 二者结合 用测试分析确定模型参数
模型假设 针对问题特点和建模目的 作出合理的、简化的假设 在合理与简化之间作出折中
模型构成
17
用数学的语言、符号描述问题
发挥想像力
使用类比法
1
2 :
尽量采用简单的数学工具
3
4
泰州学院数学建模教案
模型求解
各种数学方法、软件和计算机技术
模型分析
如结果的误差分析、统计分析、模型对数据的 稳定性分析
18
3
4
泰州学院数学建模教案
例3 商人们怎样安全过河
问题(智力游戏)
随从们密约, 在河的任一岸, 一旦随从的人数比商人多, 河
数学建模第二章课件
第二章
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
初等模型
从现实对象到数学模型 数学建模的重要意义 数学建模步骤和示例 数学建模的分类 数学模型与能力的培养
问题一： 汽车租赁费用模型
• 国庆长假期间，小王租用了某汽车租赁公司一辆 桑塔纳汽车外出旅游。汽车租赁公司与小王签订 的租车合同中约定：次日下午6时前交车按一天计， 交车时验车。租车的收费标准见表： 车型 桑塔纳 基本租金（元∕辆•天） 200 里程收费（元 ∕km） 5
B出版社给作者的稿酬为：前4000册不支付版 税，但超过4000册部分支付10%的版税和每本3元 的稿酬。 请问作者选择哪家出版社？
一、模型假设与变量说明
•假设该书的定价是固定的，与选择的出版社无关。 •假设该书的销售量是固定的，即选择哪家出版社 对销售量没有影响。 •假设出版社的稿酬均按销售数量计。
问题二：理财模式
刘艳红老人最近以1百万元的价格卖掉自己的房屋 搬进养老院。有人向她建议将1百万用来投资，并将 投资回报用于支付各种保险。经过再三考虑，她决 定用其中一部分购买公司债券，剩余部分存入银行。 公司债券的年回报率是5.5%，银行的存款年利率是 3%。 （1）假设老人购买了 万元的公司债券试着建立 她的年收入模型。 （2）如果她希望收获45000元的年收入，则她至少 要购买多少公司债券。
解之，得
x 360 km
由此可知，国庆期间小王驾车行驶了360km。
拓展思考：
如果一辆新桑塔纳的售价为9万元（含购臵税等），汽车的保 险费用为3000元∕年。根据国家规定：车的报废年限为15年。 公司估计该车一年中约有200天被租用。若不考虑维修费燃油 费等其他费用，试着确定使公司不亏损的最低租赁价格，并 为汽车租赁公司提供一个该款汽车的租赁方案。
初中数学建模案例集精之2第二章 角平分线四大模型
N MOA B P 2图4321A CP B D AB C图1A B D C AB D CPP ONM BA 第二章 角平分线四大模型模型1 角平分线上的点向两边作垂线如图，P 是∠MON 的平分线上一点，过点P 作PA ⊥OM 于点A ，PB ⊥ON 于点B 。
结论：PB=PA 。
模型分析利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
模型实例（1）如图①，在△ABC 中，∠C=90°，AD 平分∠CAB ，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB 的距离是 ； （2）如图②，∠1=∠2，+∠3=∠4。
求证：AP 平分∠BAC 。
热搜精练1．如图，在四边形ABCD 中，BC>AB ，AD=DC ，BD 平分∠ABC 。
求证：∠BAD+∠BCD=180°。
2．如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点 P ，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
模型2 截取构造对称全等如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB=OA ，连接PB 。
结论：△OPB ≌△OPA 。
图2DP AB C D C 1图P B A ABC DA BC DE DC B AP ONM B A 模型分析利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。
利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。
模型实例（1）如图①所示，在△ABC 中，AD 是△ABC 的外角平分线，P 是AD 上异于点A 的任意一点，试比较PB+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由；（2）如图②所示， AD 是△ABC 的内角平分线，其他条件不变，试比较 PC-PB 与AC-AB 的大小，并说明理由。
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背 景 与 问 题
常识： 常识：刹车距离与车速有关
问 题 分 析
刹 车 距 离
10英里 小时 ≈16公里 小时 车速下 秒钟行驶 英 英里/小时 公里/小时 车速下2秒钟行驶 英里 小时(≈ 公里 小时)车速下 秒钟行驶29英 尺(≈ 9米) ≈ 米 >>车身的平均长度 英尺 车身的平均长度15英尺 车身的平均长度 英尺(=4.6米) 米 “2秒准则”与“10英里 小时加一车身”规则不同 秒准则” 英里/小时加一车身 秒准则 英里 小时加一车身”
四、数学建模的简单实例
问题1：杀羊方案 现有26只羊，要求7天杀完且每天必须杀奇数只， 问各天分别杀几只？ 分析： 1). 这是一个有限问题，解决此类问题的一 类方法是枚举，你可以试试。 2). 依题意，设第 i 天杀 2ki + 1 (ki为自然数) 只， 建模： 则所提问题变为在自然数集上求解方程
t
7.21 6.88 6.32 5.84
• • • •
8 n
1
2
4
t = an
b
log t = a′ + b log n
最小二乘法
t = 7.21n
−0.11
与模型符合！ 与模型符合！
钓鱼比赛
问题: 问题
出于保护的目的,垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓 出于保护的目的 垂钓俱乐部想鼓励其他会员在钓 到鱼后马上把它们放生.该俱乐部还希望根据钓到鱼的 到鱼后马上把它们放生 该俱乐部还希望根据钓到鱼的 总重量来给予以下奖励:100磅俱乐部的荣誉会员 大奖 磅俱乐部的荣誉会员,大奖 总重量来给予以下奖励 磅俱乐部的荣誉会员 赛期间的钓鱼总重量的冠军,等等 等等.垂钓者怎么确定所钓 赛期间的钓鱼总重量的冠军 等等 垂钓者怎么确定所钓 到的鱼的重量.你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤 到的鱼的重量 你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤, 你可能会建议每位垂钓者带一个便挟秤 但是这样的秤用起来不方便,特别是对小鱼也并不准确 特别是对小鱼也并不准确. 但是这样的秤用起来不方便 特别是对小鱼也并不准确
车速 (英里 小时 英里/小时 英尺/秒 英里 小时) (英尺 秒) 英尺 20 30 40 50 60 70 80 29.3 44.0 58.7 73.3 88.0 102.7 117.3
最小二乘法 ⇒ k=0.06
计算刹车距离、 计算刹车距离、刹车时间
模型
d = t 1 v + kv 2 = 0 . 75 v + 0 . 06 v 2
2
d = d1 + d 2
d 1 = t1 v
d 2 = kv
d = t1 v + kv 2
d = t1v + kv 2 模型
参数估计 • 反应时间 t1的经验估计值为 的经验估计值为0.75秒 秒 • 利用交通部门提供的一组实际数据拟合 k
实际刹车距离 英尺） （英尺） 42（44） （ ） 73.5（78） 73.5（78） 116（124） （ ） 173（186） （ ） 248（268） （ ） 343（372） （ ） 464（506） （ ） 计算刹车距离 英尺） （英尺） 39.0 76.6 126.2 187.8 261.4 347.1 444.8 刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
c)
4)所有鲈鱼都是几何相似的 任何鲈鱼的体积都和某个特征 所有鲈鱼都是几何相似的,任何鲈鱼的体积都和某个特征 所有鲈鱼都是几何相似的 量的立方成正比. 量的立方成正比.
建立模型: 建立模型 选取鱼的长度 l作为特征量
模型建立 : V ∝ l3 V = kl 3 利用所给数据对上述模 型中 的参数进行拟合
划艇比赛的成绩
问 题
赛艇 种类 单人 双人 四人 八人 对四种赛艇（单人、双人、四人、八人） 次国际大赛冠 对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。 军的成绩进行比较，发现与浆手数有某种关系。试建立 数学模型揭示这种关系。 数学模型揭示这种关系。 2000米成绩 t (分) 米成绩 分 艇长l 艇长 1 2 3 4 平均 (米) 米 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 艇宽b 艇宽 (米) 米 0.293 0.356 0.574 0.610 l/b 27.0 27.4 21.0 30.0 空艇重w 空艇重 0(kg) 浆手数n 浆手数 16.3 13.6 18.1 14.7
准 备
调查赛艇的尺寸和重量
l /b, w0/n 基本不变
பைடு நூலகம்
问题分析
分析赛艇速度与浆手数量之间的关系 赛艇速度由前进动力和前进阻力决定 • 前进动力 ~ 浆手的划浆功率 • 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 前进 划浆 动力 浆手 功率 数量 艇 浸没 前进 重 面积 阻力 赛艇 速度 赛艇 速度
• 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定 对浆手体重、功率、 • 运用合适的物理定律建立模型
6：00 5分钟 共走了25分钟。
4. 某人由A处到B处去，途中需到河边取些水，如 下图。问走那条路最近？（用尽可能简单的办 法求解。）
A B 河 d
初等模型
1 汽车刹车距离 2 划艇比赛的成绩 3 钓鱼比赛 4 席位分配
汽车刹车距离
美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： 美国的某些司机培训课程中的驾驶规则： • 正常驾驶条件下 车速每增 英里 小时， 正常驾驶条件下, 车速每增10英里 小时， 英里/小时 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 后面与前车的距离应增一个车身的长度。 • 实现这个规则的简便办法是 “2秒准则” ： 秒准则” 秒准则 • 后车司机从前车经过某一标志开始默数 2秒钟后到达同一标志，而不管车速如何 秒钟后到达同一标志， 秒钟后到达同一标志 秒准则” 车身” 判断 “2秒准则” 与 “车身”规则是否一 秒准则 样； 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。 建立数学模型，寻求更好的驾驶规则。
三、数学建模
1、数学建模含义 数学建模是指从实际问题出发经数学方法的处理再 回到实际问题的若干次循环。这是一个双向翻译过程。 实际问题 数学模型 模型求解 实际问题
2. 数学建模的重心 数学建模的重心是“建”，建好了模型才能为数学处 理打好基础。 3.数学建模工作者的知识结构 实际问题的专业知识；广博的数学理论；熟练使用 数学计算软件并具有一定的计算机编程能力。
数学建模
z
x
y
z
x
y
一、模型的概念和种类
我们常见 的模型 玩具、照片…... 风洞中的飞机….. 地图、电路图…..
-----实物模型 -----物理模型 -----符号模型
模型是为了一定的目的，对客观事物的一部分进行简缩、 抽象、提炼出来的原型的替代物。 模型集中反映了原型中人们需要的那一部分特征。
3. 某人家住T市在他乡工作，每天下班后乘火车 于6:00抵达T市车站，他的妻子驾车准时到车站 接他回家。一日他提前下班搭早一班火车于5:30 抵达T市车站，随即步行回家，他的妻子像往常一 样驾车前来，在半路上遇到他接回家时，发现比 往常提前了10分钟。问他步行了多长时间？ 5：30 车 站 5分钟 5：55 相遇 家 早10钟
模型假设
符号： 符号：艇速 v, 浸没面积 s, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 1）艇形状相同(l/b为常数 w0与n成正比 ）艇形状相同 为常数 为常数), 成正比 2）v是常数，阻力 f与 sv2成正比 ） 是常数 是常数， 与 3）w相同，p不变，p与w成正比 ） 相同 相同， 不变 不变， 与 成正比 艇的静态特性 艇的动态特性 浆手的特征
二、数学模型
1、数学语言及其功能 1）简明性： 能以较小的篇幅容纳更多的研究对象的信息。
能用需要的数学方法作运算或推理处理。 2）可运算性：
3）广泛性： 同一种数学表达能表现很多类现象或现象的
内部关系。
2. 数学模型 用数学语言对实物或实际问题所作的抽象表 达，被称之为数学模型。 数学模型。 数学模型
7
∑ (2k
i =1
i
+ 1) = 26
于是，我们有了该问题的数学语言表达——数学模型 求解： 用反证法容易证明本问题的解不存在。
问题2 问题2：哥尼斯堡七桥问题
五、数学建模过程
数学建模流程图解
问题分析 模型评价 模型应用
模型假设 符号设定 建立模型
Y
模型检验
N
模型求解
练习题：考察想象力、 练习题：考察想象力、洞察力和判断力 1. 某甲早8时从山下旅店出发沿一条路径上山， 下午5时到达山顶并留宿；次日早8时沿同一条路 径下山，下午5时回到旅店。某乙说，甲必在两天 中的同一时刻经过路径中的同一地点。为什么？ 甲 A B 甲
问题分析: 问题分析 根据某一个容易测量的量来预测鱼的重量 影响因素: 影响因素 鱼的种类
性别 季节…… 季节
问题假设: 问题假设 1).单一鱼种 平均重量密度一致 忽略性别和 单一鱼种;2)平均重量密度一致 单一鱼种 平均重量密度一致;3)忽略性别和
季节
总长度 l
总长度 l’
总长度 l’’
a)
b)
长度,l(英寸) 重量,w(盎司)
14.5 27
车速 (英里 小时 英里/小时 英里 小时) 20 30 40 50 60 70 80 刹车时间 （秒） 1.5 1.8 2.1 2.5 3.0 3.6 4.3
“2秒准则”应修正为 “t 秒准 秒准则” 秒准则 则” 0~10 10~40 40~60 车速（英里/小时 小时） 车速（英里 小时）