第二章 材料科学研究中的数学模型
数学建模在材料科学研究中的运用
数学建模在材料科学研究中的运用例一 探讨热膨胀系数同弹性模量关系的数学模型1、问题现代科技水平的不断发展,机械,航空等领域中对设备精度要求也越来越高。
材料科学中的热物性随着设备中机械精度的提高温度对设备精度的影响得到各国科研性工程技术人员的重视。
热物性理论研究日益加强,材料的热膨胀理论、热容理论、导热性、热稳定性等理论,都是研究的热点。
材料的热膨胀同弹性模量本质上都同材料晶体结构和原子间作用力有着密切的关系,两者之间有着必然的联系。
为了深入了解材料热膨胀机理，就需要建立热膨胀系数和弹性模量的模型。
2、建立模型固体材料的热膨胀本质归结为晶体原点间平均距离随温度升高而增大。
温度越高,质点振动越大,质点间距也相应增加,宏观上晶体就发生了膨胀。
现以较为典型的双原子模型解释。
如图示,设r 0 为双原子平衡时位置,横坐标为原子间距,纵坐标为原子间势能U ( r) 。
当温度升高后,原子由于振动加剧而使间距变为r = r o + x ,则原子势能变为U ( r) = U ( r o + x) 。
将函数U ( r o + x ) 在r = r o 处展开成泰勒级数: （1） 因为0d o =⎥⎦⎤⎢⎣⎡r dr U 略去x 3 及以后的高次项,则(1) 式成为2o22d d !21x r r U ) U ( r U ( r) o ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=。
........r d !31d d !213332o22+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=x d U x r r U x r dr dU ) U ( r U ( r) o o此时U ( r) 代表一条抛物线, 如图示虚线。
温度升高,原子在平衡位置r 0 处振幅增大, 但不会产生膨胀, 这与膨胀事实相反。
故考虑进x 3项,则由(1) 式得（2）(2) 式图形如图1实线所示。
由图可见,其原子振动平衡位置随温度升高(平行横坐标的平行线1 ,2 ,3 , ⋯代表升高的温度T1 , T2 ,T3 , ⋯) 将扩大,如图AB 点线所示,引起晶体膨胀。
数学与材料科学材料性能建模和优化
数学与材料科学材料性能建模和优化数学与材料科学：材料性能建模和优化在当今科技飞速发展的时代，材料科学作为一门关键的学科，对于推动各个领域的进步起着至关重要的作用。
从航空航天到电子设备，从生物医药到新能源开发，高性能材料的需求日益增长。
而数学，作为一门精确而强大的工具，在材料性能的建模和优化方面发挥着不可或缺的作用。
要理解数学在材料性能建模和优化中的角色，首先得明白材料性能是什么。
材料性能可以包括力学性能（如强度、硬度、韧性）、热学性能（如导热系数、热膨胀系数）、电学性能（如导电性、介电常数）、光学性能（如折射率、透光率）等等。
这些性能决定了材料在不同应用场景中的适用性和表现。
数学建模在材料科学中的应用，就像是给材料的各种性能和行为建立一个精确的“画像”。
通过收集大量的实验数据和观察结果，运用数学的语言和方法，将材料的性能与各种影响因素之间的关系量化表达出来。
比如，在研究金属材料的强度时，可以建立一个基于晶体结构、原子间结合力、位错运动等因素的数学模型。
这个模型能够帮助我们预测在不同的加工条件下，金属材料的强度会如何变化。
再来说说优化。
优化的目标是在众多可能的材料组成和工艺条件中，找到能够使材料性能达到最佳的方案。
这就像是在一个复杂的“迷宫”中寻找最优的路径。
数学中的优化理论和算法为我们提供了强大的工具。
例如，在设计一种新型的复合材料时，我们需要考虑不同组分的比例、纤维的排布方式、制造工艺参数等因素。
通过建立数学模型，并运用优化算法，可以快速地筛选出最优的设计方案，大大节省了实验和研发的时间和成本。
数学中的统计学方法在材料性能研究中也大有用处。
通过对大量实验数据的统计分析，可以揭示材料性能的分布规律，评估实验结果的可靠性，发现潜在的影响因素。
例如，在研究一批同类型材料的强度数据时，统计分析可以告诉我们强度的平均值、标准差等信息，帮助我们判断这批材料的质量稳定性。
微分方程也是数学在材料科学中的重要应用之一。
非线性偏微分方程在材料科学中的应用研究
非线性偏微分方程在材料科学中的应用研究非线性偏微分方程是材料科学中常见的数学模型之一，它广泛应用于材料科学的研究中。
在材料科学中，非线性偏微分方程可以用来描述材料的物理特性、变形、变化等现象，为材料科学的研究提供了重要的数学工具。
非线性偏微分方程的研究始于20世纪初，随着计算机技术的发展和数值计算方法的不断改进，非线性偏微分方程的研究得到了迅速发展。
目前，非线性偏微分方程已经成为材料科学中不可或缺的数学模型之一。
在材料科学中，非线性偏微分方程可以用来描述材料的各种物理特性。
例如，热传导方程可以用来描述材料的热传导特性；弹性方程可以用来描述材料的弹性特性；扩散方程可以用来描述材料中各种物质的扩散过程等等。
这些方程可以帮助我们更加深入地了解材料的物理特性，为材料科学的研究提供了重要的数学工具。
除了描述材料的物理特性外，非线性偏微分方程还可以用来描述材料的变形和变化过程。
例如，Navier-Stokes方程可以用来描述流体在材料中的运动；Maxwell方程可以用来描述电场和磁场在材料中的变化等等。
这些方程可以帮助我们更加深入地了解材料的变形和变化过程，为材料科学的研究提供了重要的数学工具。
在实际应用中，非线性偏微分方程往往需要通过数值计算方法来求解。
目前，数值计算方法已经非常成熟，可以高效地求解各种非线性偏微分方程。
通过数值计算方法，我们可以更加深入地了解材料的物理特性、变形和变化过程，为材料科学的研究提供了重要的支持。
总之，非线性偏微分方程在材料科学中具有重要的应用价值。
它可以用来描述材料的物理特性、变形和变化过程，为材料科学的研究提供了重要的数学工具。
随着计算机技术和数值计算方法的不断发展，相信非线性偏微分方程在材料科学中的应用将会越来越广泛。
数学在材料科学领域的应用
数学在材料科学领域的应用数学是一门抽象而精确的学科，而材料科学是一门实用而复杂的学科。
然而，这两个学科在许多方面相互交叉并相互促进。
在材料科学领域，数学的应用可以帮助我们更好地理解材料的性质、行为和性能。
本文将探讨在材料科学领域中数学的应用。
一、数学模型在材料科学领域，数学模型是研究材料行为的重要工具。
通过建立数学模型，我们可以描述材料的物理特性以及其在不同条件下的行为。
这些数学模型可以用来预测材料的性能、优化材料设计以及解决实际问题。
例如，在材料的力学性质研究中，数学模型可以用来描述材料的应力-应变关系。
通过建立适当的数学方程，我们可以预测材料在外力作用下的变形、强度以及断裂行为。
这些模型可以帮助工程师设计更安全和可靠的材料结构。
二、数值计算数值计算是数学在材料科学中的另一个重要应用。
在许多情况下，材料行为的解析解并不容易得到，或者只有数值计算才能获得准确的结果。
因此，通过数值计算方法，我们可以解决各种材料科学中的问题，例如材料的热传导、质量传输和相变行为等。
在材料模拟和设计中，数值计算可以通过有限元分析等方法来预测材料的性质和行为。
通过将材料划分为许多小的元素，我们可以对每个元素进行数值计算，并将结果整合在一起以获得材料的整体性能。
这种方法可以用于优化材料的结构，以满足特定的要求。
三、统计学统计学在材料科学领域的应用越来越重要。
材料的性质通常受到多种因素的影响，并且可能存在一定的不确定性。
通过统计学方法，我们可以对大量数据进行分析和处理，以确定材料的概率分布、相关性和可信度。
例如，在材料的疲劳寿命研究中，我们可以使用统计学方法来分析大量的实验数据，并建立疲劳寿命的概率模型。
这样，我们可以预测材料在不同加载条件下的寿命，并评估其可靠性。
这对于制定材料使用和维护策略非常重要。
四、优化算法优化算法也是数学在材料科学中的重要应用之一。
在材料设计和制造中，我们通常要寻找最优的材料组成、结构或制备工艺。
建模方法-最小二乘法
解得 从而得到
A= −4.48072, b = −1.0567
a = e = 11.3253×10
A
−3 −1.0567t
−3
y = 11.3253×10 e
= F (t)
(2)
请回答: 请回答: 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？ 怎样比较这两个数学模型的好坏呢？ 只要分别计算这两个数学模型的误差， 答 ： 只要分别计算这两个数学模型的误差 ， 从中挑选误差较小的模型即可。 从中挑选误差较小的模型即可。
δ = ∑δi2 = ∑[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0 i=0
m
m
[ = min ∑ S( xi ) − yi ]2
S( x)∈ ϕ i=0
m
3. 广义定义 通常把最小二乘法 δ 都考虑为加权平方和
2 2
即
δ = ∑ω(xi )[S∗( xi ) − yi ]2
2 2 i=0
m
ω( x) ≥ 0
i i
(2)使残差的绝对值之和为最小 使残差的绝对值之和为最小
∑e
i
i
= min
(3)使残差的平方和为最小 使残差的平方和为最小
∑e
i
2 i
= min
最小二乘法
2. 一般定义 已知： 一组数据（ 已知： 一组数据（xi，yi）(i=0,1,…,m)， ， 求： 在函数类 ϕ = span{ϕ0 ,ϕ1,...,ϕn }中找一 ∗ 使误差平方和最小， 个函数 y = S (x) ，使误差平方和最小， 即
y = 1.2408
(i = 1,...,16) 。 xi , yi ) 可由原始 (
计算出来。 数据 (ti , yi ) 计算出来。
00-计算材料学概论
2.2.5 状态方程
状态方程是与路径无关的函数。把物性与态变量的实际取 值联系起来(参见表2.2)，诸如电阻、屈服应力、自由焓等。
从头分子动力学和蒙特卡罗方法---------原子级别微结构的
行为
（材料物理）
有限元方法----------大尺度结构问题 （材料科学机械工程）
平均本构定律
计算材料学的研究对象跨度巨大。
第一章 引言
模型的时间空间跨度大，在集成不同尺度的模型过程中有 两种近似的方法。
顺序集成法（串联） 通过对空间和时间的离散化，采用非平均化方法在相对恰 当的较小尺度模拟推知本构定律，应用于下一个尺度。随 着模型尺度的增加唯象特征逐渐增加。
计算材料学
第一章 引言
Performance
Compositure
现代材料研究从某种意义上来说就是对微结构的研究。
第一章 引言
微结构，是指横跨埃到米的空间尺度上所有热力 学非平衡态晶格缺陷的集合。
空间尺度：几个埃～几米。 时间尺度: ps ～几年。 材料的研究目标之一：确定宏观性能与微观结构
之间的关系。 关键：确定和描述材料的晶格缺陷，以及晶格缺
陷的静态和动态特性。
第一章 引言
微结构的演变方向由热力学判断，而微结构实际 的演变路径则由动力学原理决定。热力学非平衡 机制会给出各种可能的、复杂的微结构。研究表 明，这样的微结构不是平衡态，而是处于远离平 衡的状态。正是这些非平衡状态，使得材料显示 出各种独特性质。
03材料科学研究中常用的数值分析方法
03材料科学研究中常用的数值分析方法材料科学是研究材料的结构、性能和制备方法的一门学科，经常需要借助数值分析方法来解决各种问题。
下面将介绍材料科学研究中常用的数值分析方法。
1. 分子动力学模拟（Molecular Dynamics, MD）：MD是一种重要的数值模拟方法，用于研究原子尺度下材料的结构、力学性能和热力学性质。
它通过在计算机上求解牛顿运动方程来模拟原子之间的相互作用和运动行为，从而得到有关材料的微观信息。
2. 有限元分析（Finite Element Analysis, FEA）：FEA是一种广泛应用于材料科学中的数值方法，用于研究材料的结构和力学性能。
它将复杂的连续体结构分割成有限数量的小单元，在每个小单元内近似计算材料的力学响应，并通过组合这些小单元的结果来模拟整个结构的行为。
3. 蒙特卡洛模拟（Monte Carlo Simulation）：蒙特卡洛模拟是一种基于随机数的数值计算方法，用于研究材料中的统计性质和随机过程。
它通过随机分布生成大量的样本，然后对这些样本进行统计分析，从而预测材料的宏观性质。
4. 相场模拟（Phase-Field Simulation）：相场模拟是一种计算方法，用于模拟材料的微观结构演化和相变行为。
它通过引入相场变量来描述材料中的各个相，然后通过求解相场方程来模拟相界的演化过程，从而揭示材料的微观结构和相变过程。
5. 密度泛函理论（Density Functional Theory, DFT）：DFT是一种量子力学计算方法，用于研究材料的电子结构、能带结构和电子密度分布。
它通过求解电子的波函数和相对应的波函数的运动方程，从而得到材料的电子能级和电子分布信息。
6. 多尺度模拟（Multiscale Simulation）：多尺度模拟是一种将不同尺度上的模型和方法相结合的研究方法，用于揭示材料的多尺度性质和相互作用。
它将材料的结构和行为建模在不同尺度上，然后通过耦合不同尺度模型和方法的结果，来获得更全面和准确的材料信息。
数学在材料科学中的作用
数学在材料科学中的作用数学是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念和关系的学科，广泛应用于各个领域，包括材料科学。
在材料科学中，数学扮演着至关重要的角色，它帮助我们理解和解决材料相关的问题，促进技术进步和创新。
本文将探讨数学在材料科学中的作用，并展示其在不同领域的应用。
1. 材料模型和预测数学在材料科学中的主要作用之一是通过建立模型来预测和描述材料的性质和行为。
通过数学公式和方程式，科学家们能够定量地描述材料的结构、力学行为、热学性质等。
例如，在材料力学中，弹性模型和塑性模型使用数学公式来描述材料的应变和变形。
这些模型不仅可以帮助我们理解材料的力学行为，还可以预测材料在不同载荷条件下的性能。
2. 缺陷分析和优化设计材料中的缺陷对材料的性能和行为有着重要影响。
数学在材料科学中的另一个作用是帮助分析和优化材料中的缺陷。
通过数学建模和计算方法，科学家们可以预测和理解材料中缺陷的形成、扩展和聚集过程。
例如，在材料研究中，常常使用数学方程式来描述晶体缺陷的扩散行为，以及材料中的孔隙形成和演化过程。
这些分析结果可以帮助研究人员设计和优化材料，提高其性能和可靠性。
3. 材料结构分析和优化数学在材料科学中的另一个关键作用是帮助分析和优化材料的结构。
材料的结构对其性能和功能具有重要影响。
通过数学方法和模型，科学家们可以确定材料的晶体结构、原子排列以及相互作用等。
例如，通过数学方法和计算模拟，可以确定不同晶体之间的晶格匹配程度，这对于合金材料的设计和制备非常重要。
此外，数学方法还可以帮助研究人员优化材料的结构，以实现特定的功能要求。
4. 材料性能预测和优化数学也可以用于预测和优化材料的性能。
通过建立数学模型和方程，科学家们可以预测材料的热学性能、电学性能、光学性能等。
例如，在太阳能电池研究中，数学模型可以用于预测材料对太阳光的吸收和转换效率。
这些预测结果可以指导材料设计和优化，以提高其性能和效率。
总结起来，数学在材料科学中扮演着不可或缺的角色。
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第一节 数学模型基础 一.基本概念 如在物理学中，力学的牛顿三定律，电子学 中的基尔霍夫定律，马尔萨斯的人口模型。 通常把客观存在的事物及其运动形态统称为实 体，模型则是对实体的特征及其变化规律的一种表示 或抽象。
数学模型就是利用数学语言对某种事物系 统的特征和数量关系建立起来的符号系统。
数学模型是有目的的对客观所做的一种抽象模 拟，它是数学公式、数学符号、程序、图表等刻画客 观事物的本质属性与内在联系，是对现实世界的抽 象，简化而又本质的描述。
激光冲击应力为一维平面波，在激光冲击区取一个微体积 元，仅在x方向考虑被压缩，即冲击波沿X方向传播，考虑应力 和应变的关系，为保持x的单轴应变条件而假设y= z,形变 侧面Y、Z方向尺寸不变，X方向有弹塑性变形，激光冲击后弹 性变形恢复不完全，导致了残余应力的产生。
x y
x
X0
y
x
2.根据Mises屈服准则有：
其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆 脱原来的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源 和前提条件，这是建立模型最关键的一步。
对模型的抽象、简化不是无条件的，必须按照假设的合理性 原理进行，假设合理性原则有以下几点： (1) 目的性原则 从原型中抽象出与建模目的有关的因素，简化那些与建模无 关的或关系不大的因素。 (2) 简明性原则 所给出的假设条件要简单、准确，有利于构造模型。 (3) 真实性原则 假设要科学，简化带来的误差应满足实际问题所能允许 的误差范围。 (4) 全面性原则 对事物原型本身作出假设的同时，还要给出原型所处的 环境条件。
x-y|b
在弹性范围内，应力与应变的关系为：
x=+2x y=+2y z=+2z
式中：＝
（１）
质约束， x＝（V0-V)/V, y =z=0,V是体积，
x＋ y＋z，因为是单轴变形，侧面受到介
＝／2(+u)，和u是材料的拉梅常数，是泊松比。
二．数学模型的分类 1）按照对实体的认识过程来分，数学模 型可以分为描述性数学模型和解释性数学模型。
描述性模型是从特殊到一般，从分析具体客观事物 及其状态开始，最终得到一个数学模型。 解释性数学模型是由一般到特殊，从一般的公理系 统出发，借助数学壳体，对公理系统给出正确解释。
2）按照建立模型的数学方法分，可以分为 初等模型，图论模型，规划论模型，微分方程 模型，最优控制模型，随机模型，模拟模型。
5. 模型分析
根据建模目的要求，对模型求解的数字结果， 或进行稳定性分析，或进行系统参数的灵敏度分 析、误差分析。通过分析，如果不符合要求，就修 改或增减建模假设条件，重新建模。 如果通过分析符合要求，还可以对模型进行评 价、预测、优化等方面的分析和探讨。
6.模型检验
模型分析符合要求之后，还必须回到客观实 际中去对模型进行检验，看是否符合客观实际。
其中b为参量；
在玻璃（K9)的约束层的条件下，激光冲击 产生的峰压可以估算为：
Pmax=0.2871/3(A.q0)2/3 如果有max=pmax代入公式（４） x=pmaxe-bx y=
1- (5)
pmaxe-bx
显然该式(5)所表达的是Pmax未卸载时残余 应力的情形。令x=0，取Pmax＝2.8GPa，
随机模型是根据概率论的方法讨论描述随机现象 的数学模型。例如描述高分子材料链式化学反应的数 学模型。 模拟模型是用其他现象或过程来描述所研究的现 象或过程，用模型的性质来代表原来的性质。例如采 用非牛顿流体力学和流变学来描述高聚物加工过程、 建立液晶高分子材料本构方程。
3）按照模型的应用领域分为人口模型、 交通模型等。 4）按照模型的特征分，可分为静态模型 和动态模型、确定性模型和随机模型、离散 模型和连续性模型、线性模型和非线性模型 等。
3.构造模型
在建模假设的基础上，进一步分析建模假设的内 容，首先区分哪些是常量、哪些是变量，哪些是已知 的量，哪些是未知的量，然后查明各种量所处的地 位、作用和它们之间的关系，选择适当的数学工具和 构造模型的方法对其进行表征，构造出刻画实际问题
的数学模型。
4．模型求解
构造数学模型之后，根据已知条件和数据，分 析模型的特征和模型的结构特点，设计或选择求解 模型的数学方法和算法，然后编写计算机程序或运 用与算法相适应的软件包，并借助计算机完成对模 型的求解。
一般采用的建模基本步骤如下：
1. 建模准备
建模准备是确立建模课题的过程，就是要了 解问题的实际背景，明确建模的目的。掌握与课题 有关的第一手资料，汇集与课题有关的信息和数 据，弄清问题的实际背景和建模的目的，进行建模 筹划。
2.建模假设
建模假设就是根据建模的目的对原型进行适当的
抽象、简化，把那些反映问题本质属性的形态、量及
目前，人们对残余应力的测试一般采用的是一种破坏 性的测试方法，而这种方法极大的防碍了激光冲击强化技术 在工程中的应用，造成大量人力物力的浪费，增加了生产的 成本，限制了人们对被加工性能的有效控制。 Shock wave 激光冲击的基本力学模型：
弹性形变 塑性形变
１. 假设：
1) 假设在微秒时间内结构在厚度方向上所有质量都受到波 及，而结构塑性动力响应通常需要经历毫秒以至更长时间才 会达到结构的最大形变； ２）假设被冲击的工件材料为理想的刚塑性材料； ３）激光冲击压力为GPa;
在塑性变形状态，应变增量是弹性和塑性增量之和。
因而在X方向有：
dx=dxe+dxp
因为不存在塑性膨胀，所以有
dxp＋ dyp +dzp =0
微元体中的残余应力是弹性和塑性应变引起的， dx=d+2(dxe+dxp) dy=d+2（dye+dyp） dz=d+2(dze+dzp）
第二节 建立数学模型的一般步骤和原则
数学模型的建立，简称数学建模。数学 建模是构造刻画客观事物原型的数学模型并 用以分析、研究和解决实际问题的一种科学 方法。
运用这种科学方法，必须从实际问题出发，紧紧围绕 建模的目的，抽象，简化，逐步完善，直到构造出一个能够 用于分析、研究和解决实际问题的数学模型。是一种定量解 决实际问题的科学方法，还是一种从无到有的创新活动过 程。
第二章 材料科学研究中的数学模型
数学模型是数学科学连接其他非数学学 科的中介和科学研究的有力工具。数学建 模是一种具有创新性的科学方法，它将现 实问题简化，抽象为一个数学问题或数学 模型，然后用适当的数学方法求解，进而 对现实问题进行定量分析和研究，最终达 到解决实际问题的目的。 本章将介绍数学模型的基本概念，建立 数学模型的基本步骤、原则和方法。
＝0.29，则b不论取何值，y=-1.12GPa，这显然与实际测 量值y=-400MPa相去甚远，因此必须对式（５）加以修 正。 首先，由弹性力学原理可知： ＝ ／ E 因此，材料的弹塑性形变与弹性模量关系较大，材料受到 相同外力作用时，弹性模量大的材料，弹塑性形变小；因此 有：
yE
7. 模型应用
模型应用是数学建模的目的。一个成功的数学模 型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解 决实际问题，充分发挥数学模型在生产和科研中特殊 作用。
以上介绍的数学建模基本步骤应该根据具体问题灵活应 用，或交叉进行，或平行进行，不必拘泥于一种模式，最大限 度地发挥主观能动性和聪明才智。
实例：激光冲击残余应力的估算
（6)
其次，由冲击动力学原理可知，，当材料的冲击变形深度 相同时，材料本身的弹性模量大，屈服极限高，冲击波对材 料产生的残余应力的影响就深。如果材料本身弹性模量小， 局部极限低，冲击波对材料产生的残余应力深度就浅。 因此有：
结合（４）（５）（６）（７）
ye-bx/E
(7)
x EPmaxe-bx/E y E
二、模拟方法
模型的结构和性质已经了解，但其数量及其求 解却相当麻烦。如果有另一种系统，结构和性质与其 相同，而且构造出的模型也类似，就可以把后一种模 型看成是原来模型的模拟，而对后一个模型去分析或 实验并求得其结果。 分为：实验模型来模拟理论模型和简单理论模型来 模拟分析较复杂理论模型。
（２）
激光冲击应力作用后，在冲击强化区的r，z 方向上由弹性应力引起的弹性变形难以完全 恢复，所以，在激光冲击区形成残余应力，于是可 得简单算式： (3) y= 1- x
实际上x是随冲击应力波的衰减而变化，故残余 应力y也是随x的变化而变化，设： x e-x
有x=maxe-bx (4)
1- (8)
Pmaxe-bx/E
然而此时，还需使公式（８）满足边界条件X=0时， 解决y与实际残余应力值相差太远的问题，因此还必须在
公式（８）中加入一个系数K,即：
x=EkPmaxe-bx/E y=Ek 1- Pmaxe-bx/E
(9)
公式(9)较好地反映了材料受到激光冲击作用时的综合力学 性能与残余应力之间的关系，只需代入相应的参数并利用相 应的实验数据对式(9)进行拟合，从而求得K和b，就可以拟 合出激光冲击强化工作产生的残余应力的一般计算公式。
z
(2)熔体为不可压缩的流体，即其熔体密度保持不 变； (3) 熔体在毛细管中的流动为充分发展流动； (4)毛细管内的温度沿全长不变，即聚合物熔体为等 温流动； (5) 熔体流动为轴向层流，z向为流动方向，z 向的 速度uz不为零，r与方向的速度为零，即 ur=u=0； (6) 熔体在流道壁面上r=R处没有滑动，即当r=R 时，uz=0； (7) 重力可以忽略； 根据以上假设，可知聚合物熔体挤出过程中的流 场具有以下分布形式： Uz=uz(r,z)
利用45钢试样的一组残余应力数据对式（9) 进行拟合，从而求得K=2.3x10-6(MPa)-1;
b=2.16x108(MPa/m)，将所得的k,b数据代入公式 （9）得到激光冲击强化残余应力的一般估算经验公 式： x=2.3x10-6EPmaxe-2.16x10 x/E